CAPITULO 1
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CAMPO ELECTROSTÁTICO NO VÁCUO
1
Cargas Eléctricas (símbolo q)
(Propriedades)
• Várias experiências demonstraram a existência de
forças eléctricas e de cargas;
Por exemplo:
– Depois de correr um pente no cabelo seco, o pente é capaz
de atrair pedaços de papel. A força atractiva é
suficientemente forte para suspender o papel;
– O mesmo efeito acontece quando esfregamos certos
materiais, como por exemplo vidro com seda ou borracha
com pele;
2
Cargas Eléctricas (símbolo q)
(Propriedades)
• Outra experiência simples é esfregar um balão com lã.
O balão adquire cargas eléctricas durante algumas
horas;
• Quando os materiais tem esse comportamento, dizemse que estão electrizados ou que estão electricamente
carregados.
3
Cargas Eléctricas (símbolo q)
(Propriedades)
• Muitas
experiências
(simples)
demonstraram,
também, que existe dois tipos de cargas eléctricas:
– Positiva (+q)
– Negativa (-q)
• O nome de “positivo” e “negativo” foi dado por
Benjamin Franklin (1706–1790)
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4
© José L. Costa Neves
Electromagnetismo e Óptica 10/11
Cargas Eléctricas (símbolo q)
(Propriedades)
• Quando esfregamos uma vareta de vidro com um pano
de seda, ambos os objectos adquirem cargas
eléctricas. A vareta de vidro fica electrizado
positivamente.
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Cargas Eléctricas (símbolo q)
(Propriedades)
• Quando esfregamos uma vareta de plástico com pele,
ambos os objectos adquirem cargas eléctricas. A
vareta de plástico fica electrizado negativamente.
 cargas com o mesmo sinais repelem-se. Cargas com
sinais contrários atraem-se.
6
Curiosidade!!!
7
Condutores e Isoladores
• Condutores: são materiais, nos quais as cargas eléctricas
movem livremente.
– Exemplos: cobre, alumínio, mercúrio, etc.
• Isoladores: são materiais, nos quais as cargas eléctricas
não podem mover.
– Exemplo: vidro, borracha, cerâmica, etc.
Nota:
Quando os materiais são carregados por fricção , só a área
esfregada é que se torna carregado. A carga não se pode mover
para outras regiões do material.
8
Condutores e Isoladores
• Materiais tais como cobre, alumínio e prata são
bons condutores. Esses materiais ao serem
carregados, a carga distribui automaticamente pela
superfície inteira do material.
• Materiais tais como vidro e borracha são bons
isoladores. Quando são carregados por fricção, só a
área esfregada se torna carregada. A carga não se
pode mover para outras regiões do material.
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© José L. Costa Neves
Electromagnetismo e Óptica 10/11
Condutores e Isoladores
?
Ao carregar uma barra de cobre usando o
mecanismo de fricção em pele ou lã, quais os
cuidados que se devem ter em conta.
10
Condutores e Isoladores
• Semi-condutores: são materiais em que as
propriedades eléctricas estão entre as propriedades
dos condutores e dos isoladores. São utilizados na
fabricação de dispositivos electrónicos (transístores,
díodos). As propriedades eléctricas podem ser
alteradas adicionando quantidades controladas de
átomos de outros materiais.
– Exemplo: Silício, Germano
11
Carregamento de condutores
(indução)
12
Carregamento de isoladores
(indução)
13
Lei de Coulomb
 Charles Coulomb (1736–1806) mediu a
amplitude da força eléctrica entre duas
cargas (objectos carregados) usando a
balança de torção por ele inventado.
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© José L. Costa Neves
Electromagnetismo e Óptica 10/11
Lei de Coulomb
 Coulomb confirmou que a força eléctrica (Fe) entre duas
pequenas cargas (pequenas) carregadas é directamente
proporcional ao inverso do quadro da distância r que separa
as duas cargas;
1
Fe  2
r
15
Lei de Coulomb
 Considere duas cargas (q1 e q2)
estacionárias distanciadas de r.
 As duas cargas exercem entre si um
força F com as seguintes propriedades:
1. A força actua ao longo da linha de acção
que une as duas cargas;
2. A força é atractiva se as cargas tiverem
sinais contrários e repulsiva se as cargas
tiverem o mesmo sinal;
3. A amplitude da força, designada de força de Coulomb é dada pela
seguinte equação:
 0 (epsilon) constante de permissividade no vácuo
 0  8, 85  10
12
2 2
N .m C
16
Lei de Coulomb
 Força de Coulomb (escrita usual):
Fe  ke
q1 q2
r2
Onde:
 Força Gravitacional
m1m2
F G 2
r
ke  constante de Coulomb
ke 
1
4 0
A força de Coulomb tem uma expressão semelhante a da força gravitacional. A única
diferença é que a força gravitacional é sempre atractiva enquanto a força de Coulomb
pode ser atractiva ou repulsiva
17
Unidade da Carga
 Unidade SI da Carga – “Coulomb” (símbolo C);
 Exemplo:
Considere duas cargas:
q1 = q2 = q = 1C.
Distância de separação: r = 1m;
A força eléctrica, Fe:
1 q2
1
12
9
Fe 


8,99

10
N
2
12 2
4 0 r
4  3,14  8,85 10 1
18
Unidade da Carga
(Precisão da definição)
 Definição da corrente eléctrica : quantidade de carga que
passa por unidade de tempo através da secção transversal
de um condutor.
Então: dq = idt
se corrente i for de 1 ampere (símbolo A), durante um
segundo (1s), na secção transversal de um condutor passa
uma carga de 1 Coulomb.
19
Lei de Coulomb
(Exemplo 1)
 Átomo de Hidrogénio: em média o electrão e o protão
estão separados a uma distância de aproximadamente
5.3 10-11 m
 Determine as amplitudes da força eléctrica e da força
gravitacional entre as duas partículas.
20
Lei de Coulomb
(Solução do Exemplo 1)
 A amplitude da força atractiva é dada pela lei de Coulomb.
Fe  ke
q1 q2
r2
1,60 10 C 

9 N.m  
-8
  8,99 10

8,2

10
N
2
2 
C   5,3 10-11 m 

2
-19
2
 A amplitude da força gravitacional é dada pela lei da
gravidade (Newton).
Fg  G
me m p
r2
-31
-27
2
9,1095

10
kg
1,67261

10
kg 




-11 N.m
- 47
  6,7 10


3,6

10
N

2
2
-11
kg 

 5,3 10 m 
A força gravitacional entre partículas atómicas é desprezável quando comparado com a
força eléctrica.
21
Lei de Coulomb
(Vectorial)
 A lei de Coulomb permite calcular a força eléctrica entre
duas partículas carregadas. No entanto devemos lembrar
que a força obtida é uma quantidade vectorial.
 A força eléctrica F12 (lei Coulomb na forma vectorial)
exercida por uma carga q1 sobre uma segunda carga q2,
pode ser escrita de seguinte forma:
q1q2
F12  ke 2 rˆ
r
Onde:
rˆ  Vector unitário direccionado de q1 para q2
22
Lei de Coulomb
(Vectorial)
 A força eléctrica F21 exercida por q2 sobre q1, tem o mesmo
módulo que F12, mas sentido contrário.
F21  F12
Notas:
– Se produto (q1q2) > 0 a força é repulsiva.
– Se o produto (q1q2) < 0 a força é atractiva.
23
Lei de Coulomb
(Principio da Sobreposição)
 Principio da sobreposição: A forca eléctrica total sobre uma
carga q1 numa posição r1 devido a presença de cargas Qi (i = 2;
3 … N) colocadas nas posições ri é a soma vectorial das forças
sobre q1 devido as cargas individuais:
24
Principio da Sobreposição
(Exemplo 2)
 Considere três cargas pontuais localizadas no vértice de um
triângulo rectângulo, como mostra a figura. Sabendo que:
q1  q3  5, 0C

q2  2, 0C
 Determine a força eléctrica total sobre a carga q3 (a = 10 cm).
25
Principio da Sobreposição
(Solução do Exemplo 2)
 1º passo:
Determinar a força eléctrica que q2 exerce sobre q3, F23 .
Dado que o produto (q2q3) < 0 a força é atractiva e tem
amplitude igual:
q2 q3
F23  ke

2
r
  2, 0 10

9 N.m
8,99

10

2 
C


2
-6
C  5, 0 10-6 C 
 0,10 m 
2
 9,0 N
26
Principio da Sobreposição
(Solução do Exemplo 2)
 2º passo:
Determinar a força eléctrica que q1 exerce sobre q3, F13 .
Dado que o produto (q1q3) > 0 a força é repulsiva e tem
amplitude igual:
F13  ke
q1 q3
r
2

-6
-6
2
5,
0

10
C
5,
0

10
C




9 N.m
 11,0 N
 8,99 10
2
2 
C 

2  0,10 m


27
Principio da Sobreposição
(Solução do Exemplo 2)
 3º passo:
Determinar as componentes da força F13
A força eléctrica F13 é repulsiva e faz um ângulo de 45
graus com o eixo dos x. Assim, as componentes da força
segundo x e y são iguais, com amplitude dado por:
F13x  F13 y  F13 cos 45  7,9 N
28
Principio da Sobreposição
(Solução do Exemplo 2)
 4º passo:
Determinar a força eléctrica total, F3 .
A força eléctrica F23 é negativa e está direccionado
segundo o eixo dos x. As componentes da força total F3
segundo x e y são dados por:
F3 x  F13 x  F23x  7,9  9  1,1 N
F3 y  F13 y  F23 y  7,9  0  7,9 N
 F3   1,1e x  7, 9e y 
A força eléctrica total: 

 F3  9, 97 N
  98º (segundo o eixo x)

 F3
29
CAPITULO 1
_______________________________
CAMPO ELÉCTRICO
30
CAMPO ELÉCTRICO, E
(Introdução)
 Quando se aproximam duas cargas e elas
interagem pela força de Coulomb como é que
elas sabem da existência uma da outra, não
estando em contacto directo?
 Resposta: acção à distância, explicada em termos
da existência de um campo criado pelas cargas;
31
CAMPO ELÉCTRICO
(Introdução)
 O campo eléctrico criado por uma carga é o conjunto
de valores que o campo eléctrico assume na região
do espaço à volta dessa carga.
 Como o campo eléctrico é um vector, em cada ponto
do espaço vai estar definido um vector que é o valor
do campo eléctrico nesse ponto.
32
CAMPO ELÉCTRICO
(Introdução)
Objecto Carregado
Gera um campo eléctrico, E.
Ao colocar uma carga de teste q, na região onde
existe o campo eléctrico E, este campo exerce uma
força F sobre a carga q
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© José L. Costa Neves
Electromagnetismo e Óptica 18/19
CAMPO ELÉCTRICO
(Definição)
 O campo eléctrico num ponto do espaço, onde se
encontra uma carga de teste q0 (positiva), define-se
como a força eléctrica por unidade de carga:
Unidade SI: N/C
• Carga de teste: é uma carga que não altera o campo existente.
34
CAMPO ELÉCTRICO
(Definição)
35
CAMPO ELÉCTRICO
Devido a uma carga Pontual
 Considere uma carga positiva q, como mostra a figura
seguinte. Num ponto P é colocada uma carga de
teste q0. A distância entre q e q0 é definido pelo
vector posição r.
 De acordo com a Lei de
Coulomb a força eléctrica
exercida sobre q0 vale:
36
CAMPO ELÉCTRICO
Devido a uma carga Pontual
 O campo eléctrico devida a
carga de teste q0 colocada em P
calcula-se de seguinte forma:
Fe
q
E
 k e 2 rˆ
q0
r
 Se a carga q for positiva, o campo eléctrico tem direcção
radial e aponta para fora. Se q for negativa, o campo
aponta para dentro, mantendo a direcção radial.
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© José L. Costa Neves
Electromagnetismo e Óptica 18/19
CAMPO ELÉCTRICO
Devido a uma carga Pontual
38
CAMPO ELÉCTRICO
(Grupo de carga pontuais)
 Principio da Sobreposição: Em qualquer
ponto, o campo eléctrico total devido a um
grupo de cargas é igual a soma dos campos
eléctricos individuais das cargas, nesse ponto.
39
CAMPO ELÉCTRICO
(Grupo de carga pontuais)
 Exemplo:
40
CAMPO ELÉCTRICO
(Grupo de carga pontuais)
 Solução:
41
CAMPO ELÉCTRICO
(Dipolos Eléctricos)
 Um sistema de duas cargas iguais, de sinais
contrários, separadas por uma distância d, designa-se
por Dipolo Eléctrico.
 Todos os dipolos eléctricos estão associados a um
vector, designado de momento do dipolo electrico,
símbolo p, definido por: p = qd.
 A direcção de p, coincide com a linha de acção que
une as duas cargas, da carga negativa para a carga
positiva.
42
CAMPO ELÉCTRICO
(Dipolos Eléctricos)
43
DIPOLOS ELÉCTRICOS
(Campo Eléctrico gerado – EX 1)
44
DIPOLOS ELÉCTRICOS
(Solução do EX 1)
45
DIPOLOS ELÉCTRICOS
(Campo Eléctrico gerado – EX 2)
46
DIPOLOS ELÉCTRICOS
(Solução – EX 2)
47
DIPOLOS ELÉCTRICOS
(Solução – EX 2 , continuação)
48
CAMPO ELÉCTRICO
(Distribuição contínua de carga)
 Quando a distância entre cargas pontuais
pertencentes a um grupo de cargas é muito pequena,
a análise em termos de cargas pontuais perde o
interesse. Neste tipo de situação, o sistema é
modelado como um sistema de cargas eléctricas
contínua.
 Exemplos de distribuições contínua de cargas:
 Linha carregada - distribuição linear de carga;
 Superfície carregada - distribuição superficial de carga;
 Volume carregado - distribuição volumétrica de carga;
49
CAMPO ELÉCTRICO
(Distribuição contínua de carga)
• Procedimentos:
1. Dividir a distribuição de cargas contínuas em
elementos de cargas infinitésimais, ∆q;
2. Calcular o campo eléctrico, ∆E (num ponto)
gerado por cada elemento de carga infinitesimal;
3. Finalmente, calcular o campo eléctrico total, E,
somando todas as contribuições (principio da
sobreposição);
50
CAMPO ELÉCTRICO
(Distribuição contínua de carga)
• Campo eléctrico, devido ao
elemento de carga infinitesimal,
∆q:
• Campo eléctrico total, resultante
da soma das contribuições:
51
CAMPO ELÉCTRICO
(Distribuição contínua de carga)
• Densidade de carga
 Se a carga estiver uniformemente distribuída através de um
volume V, a densidade de carga [C/m3] é dada por;
 Se a carga estiver uniformemente distribuída através de uma
superfície de Área A, a densidade de carga [C/m2] é dada por;
 Se a carga estiver uniformemente distribuída através de uma
linha de comprimento l, a densidade de carga [C/m] é dada por;
52
CAMPO ELÉCTRICO
(Distribuição contínua de carga)
• Densidade de carga
 Para distribuições de cargas contínuas não
uniformes.
53
CAMPO ELÉCTRICO
(Distribuição contínua de carga)
Linha Carregada
Considera uma vara de comprimento l,
uniformemente carregado, positivamente, com uma
densidade linear de carga . A carga total é igual a Q.
Determine o campo eléctrico num ponto P, localizado
ao longo do eixo da vara, como mostra a figura.
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CAMPO ELÉCTRICO
(linha carregada - solução)
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Electromagnetismo e Óptica 18/19
CAMPO ELÉCTRICO
(Distribuição contínua de carga)
Anel Carregado
Um anel de raio a, possui uma carga Q, positiva,
uniformemente distribuída. Calcule o campo eléctrico
num ponto P, localizado a uma distância x do centro
do anel, perpendicular ao plano do anel, como mostra
a figura.
56
CAMPO ELÉCTRICO
(Anel carregado - solução)
57
CAMPO ELÉCTRICO
(Anel carregado - solução)
____________________________________________________________________________________________
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Electromagnetismo e Óptica 18/19
CAMPO ELÉCTRICO
(Distribuição contínua de carga)
Disco Carregado
Um disco de raio R, possui uma densidade de carga
superficial , uniformemente distribuída. Calcule o
campo eléctrico num ponto P, localizado a uma
distância x do centro do disco, como mostra a figura.
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Electromagnetismo e Óptica 18/19
CAMPO ELÉCTRICO
(Disco carregado - solução)
 Considerando que o disco é formado por
um conjunto de anéis concêntricos de
raio r, e espessura dr, como mostra a
figura, podemos calcular o campo total,
somando, no ponto P, as contribuições de
cada anel.
 área do anel de raio r e espessura r:
 Carga do anel de raio r e espessura r:
60
CAMPO ELÉCTRICO
(Disco carregado - solução)
61
CAMPO ELÉCTRICO
(Disco carregado - solução)
 Para R >> x (x >0), o campo é
calculado, usando a seguinte
aproximação:
62
CAMPO ELÉCTRICO
(Linhas de campo)
 Linhas do Campo Eléctrico
Michael Faraday introduziu o conceito de linhas do
campo eléctrico, como forma prática, de visualização
do vector campo eléctrico, sem necessidade de
recorrer as ferramentas da matemática.
 Relação entre linhas do campo Eléctrico e o vector E:
1. Em qualquer ponto o vector campo eléctrico é tangente as
linhas do campo eléctrico;
2. Amplitude do vector campo eléctrico é directamente
proporcional a densidade de linhas de campo eléctrico.
63
CAMPO ELÉCTRICO
(Linhas de campo)
64
CAMPO ELÉCTRICO
(Linhas de campo)
 Exemplo de linhas do campo eléctrico atravessando duas
superfície. A amplitude do campo eléctrico na superfície A é
superior a amplitude do campo na superfície B, porque a
densidade de linhas de campo por unidade de área é maior em
A do que em B.
65
CAMPO ELÉCTRICO
(Linhas de campo)
 Exemplo de linhas do campo eléctrico gerado por um plano
infinito, carregado uniformemente.
66
CAMPO ELÉCTRICO
(Linhas de campo)
 As Linhas de campo começam na carga positiva e terminam na
carga negativa;
 Para cargas isoladas, as linhas de campo prolongam-se até ao
infinito ou vêm do infinito;
 Como a matéria é neutra, não há cargas isoladas, pelo que as
linhas de campo têm sempre um principio e um fim.
67
CAMPO ELÉCTRICO
(Linhas de campo)
 Exemplo de linhas de campo criado por uma carga pontual
68
CAMPO ELÉCTRICO
(Linhas de campo)
 Exemplo de linhas de campo criado por um dipolo eléctrico
69
CAMPO ELÉCTRICO
(Linhas de campo)
 Exemplo de linhas de campo criado por duas cargas positivas
____________________________________________________________________________________________
70
© José L. Costa Neves
Electromagnetismo e Óptica 18/19
CAMPO ELÉCTRICO
(Movimento de partículas carregadas )
 Movimento de partículas carregadas em campos eléctricos
uniforme:
Quando uma partícula com carga q e massa m é colocada numa
região onde existe um campo eléctrico, sobre a partícula é
exercida uma força (eléctrica), Fe, de modulo igual a qE. Está
força irá causar a aceleração da partícula que é calculada
usando a 2ª lei de Newton.
Admitindo que somente
a Fe é que actua sobre a
partícula
71
CAMPO ELÉCTRICO
(Comportamento de um dipolo electrico)
 Estudar o comportamento de um dipolo eléctrico num campo
eléctrico uniforme:
72
CAMPO ELÉCTRICO
(Comportamento de um dipolo electrico)
 Estudar o comportamento de um dipolo eléctrico num campo
eléctrico uniforme:
O vector momento do dipolo, p = qd,
aponta ao longo da linha que une as
duas cargas, da carga negativa para a
carga positiva
73
CAMPO ELÉCTRICO
(Comportamento de um dipolo electrico)
 Estudar o comportamento de um dipolo eléctrico num campo
eléctrico uniforme:
A força resultante sobre o dipolo
eléctrico é nula
Fres  F   F   0
mas existe um binário (torque), 
que faz rodar o dipolo e tende a
alinha-lo com o campo E.
74
CAMPO ELÉCTRICO
(Comportamento de um dipolo electrico)
 Estudar o comportamento de um dipolo eléctrico num campo
eléctrico uniforme:


O torque total gerado pelas forças  F  F  sobre o dipolo (em
relação ao centro) é:
     
d
d
sin   F sin 
2
2
  qEd sin    pE sin 
  F
Forma vectorial:
  p E
75