ESTRUTURAS DE BETÃO I
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
Coordenação: José Noronha da Camara
Ano Lectivo 2014/2015
Introdução
Estas
folhas
de
apoio
às
aulas
têm
como
objectivo
facilitar
o
seu
acompanhamento e correspondem, em geral, à sequência e organização da
exposição incluindo, ainda, a resolução de problemas. São apontamentos de síntese
que não dispensam a consulta de restantes apontamentos da disciplina e da
bibliografia proposta, onde deve ser realçado o recente livro sobre Estruturas de Betão
da autoria do Prof. Júlio Appleton.
Estes apontamentos resultaram da experiência de ensino e de textos anteriores da
disciplina para os quais contribuíram os docentes que têm vindo a leccionar o Betão
Estrutural, sob a orientação do Prof. Júlio Appleton, que foi, nesta escola, nos últimos
30 anos e até ao ano lectivo 2010/2011, o responsável por esta área da engenharia de
estruturas.
Durante o ano lectivo 2003/2004 o Prof. Júlio Appleton com a Engª Carla Marchão,
organizaram a 1ª versão destas folhas de apoio às aulas. A estas foram sendo
introduzidas várias contribuições, mais directamente, dos Profs. José Camara, António
Costa, João Almeida e Sérgio Cruz.
Deve-se realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a transmissão do
conhecimento
sobre
as
características
do
comportamento
estrutural
e
fundamentação dos modelos de cálculo, aspectos que se repercutem depois,
naturalmente, nas prescrições normativas, com algumas variações.
Ao longo destes últimos anos têm sido referidas na disciplina, em geral, as normas
europeias (Eurocódigos), já aprovados na versão definitiva (EN). Refira-se que, no
entanto, não houve ainda uma aprovação formal, sendo possível utilizar, no âmbito
profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP – Regulamento de
Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação europeia
(Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão).
Refira-se que, sendo esta disciplina integrada na área da engenharia de estruturas,
é fundamental que os alunos tenham uma boa percepção do comportamento das
estruturas, em geral, e, de uma forma “quase imediata”, das estruturas isostáticas. As
matérias tratadas na Resistência dos Materiais, referentes ao comportamento de
peças lineares em tracção, flexão, esforço transverso, torção e em zonas onde a
hipótese de Bernoulli não é válida (Princípio de Saint-Venant), por exemplo, junto dos
apoios de vigas e/ou de zonas de actuação de cargas concentradas) são uma base
fundamental. É também importante relembrar o comportamento elástico-plástico das
estruturas, para se poder compreender a influência das características do
comportamento não linear dos materiais na resposta das estruturas. Este aspecto é
particularmente
importante
para
os
elementos
de
betão
estrutural
e,
consequentemente para o estudo das Estruturas de Betão.
Também os Teoremas Limite da Teoria da Plasticidade, Estático e Cinemático, que na
versão curricular actual são apresentados na disciplina de Estruturas Metálicas, são
fundamentais (principalmente o Estático) para a boa compreensão das metodologias
de dimensionamento e verificação da segurança das estruturas e, em particular das
Estruturas de Betão.
Finalmente refira-se que no ano lectivo 2014/2015 os docentes que acompanharão a
disciplina são:
 José N. da Camara (Coordenador da disciplina)
 Eduardo Júlio
 João F. de Almeida
 António Costa
 Rui Rodrigues
IST, Setembro de 2014
ÍNDICE
1
INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DO BETÃO ESTRUTURAL
1
1.1.
Elemento de betão sem inclusão de armaduras
1
1.2.
Elemento de betão armado
4
1.2.1 Cálculo das tensões numa secção após fendilhação
5
1.2.2 Cálculo do momento de cedência da secção
9
1.3.
Diferença do comportamento secção/estrutura
10
2
CONCEITO DE SEGURANÇA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS
12
2.1
Objectivos de segurança na engenharia estrutural em geral
12
2.2
Filosofia adoptada na verificação da segurança em relação aos Estados Limites Últimos
14
2.3
Filosofia adoptada na verificação da segurança em relação aos Estados Limites de
Utilização
16
3
MATERIAIS
24
3.1
Caracterização dos betões
24
3.1.1 Tensões de rotura do betão
25
3.1.2 Módulo de elasticidade do betão
25
3.1.3 Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão fc
25
3.2
26
Caracterização das armaduras
3.2.1 Classificação das armaduras para betão armado
26
4
VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA À ROTURA POR FLEXÃO
28
4.1
Relações tensão-extensão dos materiais para verificação da segurança aos E.L. Últimos
28
4.1.1 Betão
28
4.1.2 AÇO
29
4.2
Análise da secção. Método Geral
30
4.3
Método do diagrama rectangular
31
4.3.1 Cálculo de MRD
31
4.4
Resistência à flexão simples com o aumento de armaduras
39
4.5
Dimensionamento à Flexão Simples – Grandezas Adimensionais
41
4.5.1 Método Geral
41
4.5.1.1 Grandezas adimensionais
42
4.5.2 Método do Diagrama Rectangular Simplificado
43
4.5.2.1 Grandezas adimensionais
43
4.5.3 Utilização de Tabelas
44
4.5.3.1 Determinação da capacidade resistente (Análise)
44
4.5.3.2 Dimensionamento de armaduras
44
4.6
Estimativa do Momento Resistente
46
4.7
Parâmetros que influenciam o valor do Momento Resistente
48
4.8
Dimensionamento de secções com outras formas
49
4.8.1 Largura efectiva de uma secção em T
49
4.8.1.1 Avaliação da largura efectiva
50
4.8.2 Dimensionamento de secções em “T” por tabelas
51
4.8.3 Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento à flexão simples
53
5
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS
57
5.1
Recobrimento das armaduras
58
5.2
Distância livre entre armaduras (s)
58
5.3
Agrupamentos de armaduras
59
5.4
Dobragem de varões
60
5.5
Posicionamento das armaduras
61
5.6
Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras
61
5.7
Disposições construtivas em vigas – Armaduras longitudinais de flexão
62
5.7.1 Quantidades mínima e máxima de armadura
62
5.7.2 Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade
62
6
INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETÃO
64
6.1
Análise Elástica seguida de Redistribuição de Esforços
65
6.2
Aplicação directa do cálculo plástico (Teorema estático)
68
6.3
Exemplos de Aplicação Prática da Não Linearidade na Verificação da Segurança das
Estruturas
69
7
ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO
73
7.1
Comportamento elástico e modelo de comportamento na rotura ao Esforço Transverso 73
7.2
Possíveis modos de rotura e verificações de segurança correspondentes
81
7.3
Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão
87
7.3.1 Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de extremidade
88
7.3.2 Armadura longitudinal no vão
89
7.3.3 Apoio de continuidade
90
7.4
Disposições das armaduras transversais
91
7.5
Espaçamento entre estribos e sua pormenorização
91
7.6
Amarração de Armaduras
96
7.6.1 Comprimento de amarração
96
7.6.2 Comprimento de emenda
99
7.7
Armadura de Ligação Banzo-Alma
111
7.8
Armadura de suspensão
113
7.8.1 Carga distribuída aplicada na parte inferior da viga
113
7.8.2 Apoios indirectos
114
7.9
121
Transmissão de Cargas concentradas próximas dos apoios
7.10 Armadura Inclinada
125
7.11 Secções com Largura Variável
126
7.12 Forças de Desvio
126
7.13 Torção
128
7.13.1 Torção de equilíbrio
128
7.13.2 Torção de compatibilidade
129
7.13.3 Torção analisada como esforço transverso
130
7.13.4 Dimensionamento das paredes sujeitas a um esforço transverso
133
7.14 Efeito conjunto Torção / Esforço Transverso
137
7.15 Disposições construtivas relativas a armaduras de torção
137
7.15.1 Armadura transversal
137
7.15.2 Armadura longitudinal
138
7.16 Dimensionamento Conjunto da Secção
138
8
DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO
143
8.1
Introdução
143
8.2
Mecanismos de Deterioração
144
8.2.1 Deterioração por Corrosão das Armaduras
144
8.3
Deterioração do betão
152
8.4
Ambiente de Exposição
156
8.5
Período de Iniciação e Período de Propagação
159
8.6
- Metodologia para a Garantia da Durabilidade
161
8.7
Outros aspectos importantes para a garantia da durabilidade das construções
165
8.8
Manutenção, Inspecções e Eventuais Reforços
167
9
VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO (ESTADOS LIMITES DE
UTILIZAÇÃO – SLS)
169
9.1
Introdução
169
9.2
Verificação aos Estados Limites de Utilização
169
9.3
Acções
169
9.4
Materiais
170
9.4.1 Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de
utilização
170
9.4.2 Efeitos diferidos no tempo do betão
172
9.4.2.1
Fluência
173
9.4.2.2
Retracção
175
9.5
Estado Limite de Abertura de Fendas
177
9.5.1 Mecanismo da fendilhação E ABERTURA DE FENDAS
177
9.6
189
Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação
9.6.1 Limitação das tensões em serviço
190
9.7
194
Armadura mínima
9.7.1 Tracção
194
9.7.2 Flexão
196
9.8
Limites admissíveis de fendilhação relativos ao aspecto e à durabilidade
205
9.9
Controlo da fendilhação sem cálculo directo (EC2)
205
9.10 Estado Limite de Deformação
208
9.10.1 Limites de Deformação
208
9.10.2 - Questões na Avaliação e na Limitação da deformação
209
9.10.3 - Avaliação directa da deformação
214
9.10.3.1 - Cálculo da curvatura em estado I
214
9.10.3.2 - Cálculo da curvatura em estado II
215
9.10.4 Cálculo das deformações
216
9.10.4.1 Método Bilinear
217
10
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE
ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL NÃO DESPREZÁVEL
225
10.1 Flexão Composta e Desviada
225
10.2 Resistência à flexão composta
225
10.2.1 Diagramas de deformações na rotura
225
10.2.2 Determinação dos esforços resistentes
226
10.3 Flexão Desviada
230
10.3.1 Rotura convencional
231
10.3.2 Determinação dos esforços resistentes
231
10.4 Disposições construtivas de pilares
234
10.4.1 Armadura longitudinal
234
10.4.2 Armadura longitudinal
235
10.4.3 Armadura transversal
235
11
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES ISOLADOS AOS ESTADOS LIMITE
ÚLTIMOS
243
11.1 Comportamento de elementos esbeltos
243
11.2 Esbelteza
243
11.3 Imperfeições geométricas
244
11.3.1 Excentricidade inicial
245
11.4 Importância dos Efeitos de 2ª ordem e tipos de rotura associados
246
11.5 Consideração dos efeitos de 2ª ordem
248
11.5.1 Métodos de análise simplificados
249
11.5.2 Método da curvatura nominal
251
11.5.3 Método da rigidez nominal
257
11.6 Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura
258
12
268
ESTRUTURAS EM PÓRTICO
12.1 Classificação das estruturas
268
12.2 Comprimento de encurvadura
269
12.3 Efeitos das imperfeições geométricas em estruturas porticadas ou mistas
271
12.4 Efeitos de segunda ordem em pórticos
271
12.4.1 Verificação da segurança de pórticos contraventados
272
12.4.2 Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados
273
Bibliografia de referência
281
Estruturas de Betão I
1 Introdução ao Comportamento do Betão Estrutural
Nesta introdução ao comportamento do betão armado resume-se de uma forma
simplificada,
mas
muito
abrangente,
as
principais
características
do
seu
funcionamento em flexão. É importante que, desde logo, se compreenda o essencial
das características da resposta do betão estrutural e se as enquadre na base do
aprendido anteriormente no curso, em particular, na disciplina de Resistência de
Materiais.
Iremos começar por discutir o comportamento de uma peça de betão simples e, depois
introduzir as armaduras em aço, que vêm dar conteúdo e eficiência a este material
compósito que, durante o Seculo XX e até à actualidade, tem sido o responsável pelo
desenvolvimento das infra-estruturas que sustentam todo o nosso modo de
organização da sociedade.
Comecemos por referir algumas notações correntes na engenharia de estruturas, em
geral, e no betão estrutural, em particular, que são internacionalmente aceites.
Notações:
f – resistência do material
fc – tensão de rotura do betão à compressão
fck – tensão característica de rotura do betão à compressão
fct – tensão de rotura do betão à tracção
Ec – módulo de elasticidade do betão
fy – tensão de cedência do aço
fyk– tensão característica de cedência do aço
fu – tensão de rotura do aço
Es – módulo de elasticidade do aço
1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS
Considere-se a viga de betão simples ilustrada na figura seguinte, bem como os
diagramas de esforços correspondentes a uma carga pontual genérica P aplicada a
meio vão.
1
Estruturas de Betão I
P
0.50
0.20
5.00
P/2
DEV
P/2
P/2
(+)
P/2
(-)
DMF
(+)
PL/4
Como se sabe, o maior momento flector ocorre a meio vão, estando, na hipótese de
comportamento elástico, esta secção sujeita ao seguinte diagrama de tensões
normais:
2
Tensões:  =
My
M
Ic ; máx = W c
h/2
G
M
h/2
I
em que W c = y
máx
(módulo de flexão)
3
y
1
2
bh
2
bh
Para uma secção rectangular, W c = 12  h = 6
Para um determinado nível de carga P ocorrerá uma fenda, com início na região mais
traccionada da peça, ou seja na parte inferior da secção de meio vão (por ser a secção
submetida a um momento flector maior) e, na sequência, a rotura da viga. De facto, a
partir do início da formação da fenda deixa de ser possível existir uma distribuição de
tensões na secção que equilibre o momento aplicado.
Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e cargadeslocamento que ilustram o comportamento desta viga, desde o início do
carregamento até à rotura, verificando-se que esta é frágil.
2
Estruturas de Betão I
a) Diagrama momento-curvatura
b) Diagrama carga-deslocamento
M
P
EI (rigidez de flexão)

1/ R
Este comportamento resulta da lei de comportamento do material betão:

fc
Índice c – “concrete”
(20 a 80 MPa)
fc – tensão de rotura do betão à compressão
Ec (30GPa)
fct – tensão de rotura do betão à tracção
3.5‰

f ct (2 a 5 MPa)
Ec – módulo de elasticidade do betão
Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um
material que possui um bom comportamento e resistência à compressão, com uma
resposta “quase linear” para níveis de tensões baixos a médios, e uma baixa
resistência à tracção (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistência à compressão). Esta
última característica é responsável pela rotura do betão simples, como ilustrado no
exemplo anterior, e pela formação de fendas no betão armado, como se irá estudar na
disciplina.
Cálculo do momento de fendilhação
Admita-se que: fct = 2.0 MPa
E, como,
M
Mv
bh2
= W = I
e Wc = 6 (para uma secção rectangular)
c
c
O momento de fendilhação pode ser avaliado pela expressão:
Mcr = fctW c = 2  103
0.20  0.502
= 16.7 kNm
6
A carga P, que está associada ao momento de fendilhação, pode ser estimada, para
aquela estrutura e carregamento, através da seguinte relação:
PL
4Mcr
4  16.7
Mcr = 4  P = L =
= 13.4 kN
5
3
Estruturas de Betão I
Conclusão: Uma viga de betão simples não explora, minimamente, a capacidade
resistente do material em compressão, pois a máxima tensão que se
pode mobilizar é igual, ou da mesma ordem de grandeza, da resistência à
tracção. O comportamento fica, assim, associado a uma baixa
capacidade de carga, condicionada pelo aparecimento de uma fenda, e,
na sequência, uma rotura frágil.
Solução: Introduzir um material com boa resistência à tracção nas regiões onde é
necessário, ou seja, nas zonas traccionadas das peças. Ao se adoptar aí
armaduras de aço explora-se muito melhor a capacidade resistente do
elemento de betão, pois passa a haver a possibilidade de equilibrar
compressões mais elevadas no betão através das tracções que passam a
se poder mobilizar nas armaduras. Além disso, por via da ductilidade
associada ao aço, temos também um comportamento dúctil na rotura.
Tem-se, assim, o Betão Estrutural (betão + armaduras de aço).
Esta análise realizada para um elemento de betão simples submetido à flexão
pode, e deve, ser equacionada, pelos alunos, para a situação mais simples da
Resistência dos Materiais que é a de um tirante (esforço axial simples).
1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO
Analisemos, então as principais características do comportamento do betão armado
resultante da introdução das armaduras de aço nas peças de betão.
O aço é um material dúctil com uma boa resistência à tracção, mas também à
compressão (ver figura seguinte). Por outro lado, a sua disposição em varões permite
um bom envolvimento pelo betão e, consequentemente, condições para uma boa
aderência entre os materiais.

(200 a 800 MPa)
fu
fy
Índice y – “yeld” (cedência)
Es (200GPa)
2.5 a 10%

fy  fy
+
-
fy
Com a introdução destas armaduras no betão obtém-se um comportamento conjunto
com boa ligação e extremamente eficiente em termos da resposta estrutural. De facto,
4
Estruturas de Betão I
com o aparecimento de fendas nalgumas secções de betão, as tracções passam, no
essencial, para as armaduras, o que permite garantir o equilíbrio da secção para um
nível de cargas muito superior. Este aspecto será, desde já, clarificado no parágrafo
1.3.
Entretanto, é importante desde já percepcionar as características globais da resposta,
que é claramente não linear, de um elemento de betão armado. Nas figuras seguintes
podem observar-se diagramas tipo, de momentos-curvaturas médias e cargadeslocamento, respectivamente, para elementos e estruturas de betão armado, desde
o início do carregamento até à rotura. Verifica-se que, com o início das fendas (1), há
alguma perda de rigidez mas que a capacidade resistente máxima só se atinge para
cargas superiores depois de verificada a cedência das armaduras (2) e explorada,
depois, a ductilidade (3). A cedência da armadura corresponde a se atingir o
momento de cedência da secção, sendo que, a partir daí, o momento na secção só
pode aumentar devido a um incremento residual da tensão do aço entre o valor de
cedência e o último, ou um ligeiro aumento do braço devido a uma acomodação das
compressões mais junto às fibras extremas da secção. Entretanto o elemento de betão
armado pode continuar a aumentar a curvatura, com um comportamento característico
de um material dúctil.
Ao longo desta disciplina analisar-se-ão estas características do comportamento e o
seu enquadramento nas disposições regulamentares para assegurar os níveis de
segurança e de qualidade de comportamento necessários.
a) Diagrama momento-curvatura
I
M
(2)
b) Diagrama carga-deslocamento
P
II
(3)
(2)
(3)
(1) - fendilhação do betão
(1)
(1)
(2) - cedência das armaduras
(3) - rotura
1/ R

1.2.1 CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO
Na sequência, analisa-se, primeiro, um conceito importante no betão estrutural que é o
de que as quantidades de aço devem assegurar, pelo menos, a substituição das
tracções que se libertam a quando da abertura de uma fenda, e depois, a avaliação
de tensões numa secção fendilhada. Também nesta análise é importante que o
aluno faça o paralelo com a situação equivalente da tracção simples.
5
Estruturas de Betão I
Para se compreender estes aspectos do comportamento comecemos por analisar a
resposta à flexão de uma secção de betão armado, tomando-se o exemplo seguinte:
Admita-se:
As = 10.0 cm
d
0.50
2
d = 0.45 m (altura útil da armadura)
Ec = 30 GPa
Es = 200 GPa
0.20
(i)
Avaliação simplificada da quantidade de armadura mínima necessária para
substituir o papel das tracções no betão quando se forma uma fenda (Análise em
Estado não fendilhado - Estado I – desprezando as armaduras, como é
razoável, em geral, em termos práticos)
A força de tracção disponibilizada pelas armaduras deve ser superior à força de
tracção no betão que se liberta quando se forma a fenda, tal que, de uma forma
simplificada (admitindo fct = 2MPa e fy = 400 MPa):

Fc
h 1
Fs Fct As, min fy b  2  2 fct
Fct
b
h/2  As, min 0.2 
0.5
1
3
4
2
4  210  400103  10 = 1.25 cm
f ct
(antes de fendilhar)
(Refira-se que no exemplo apresentado a armadura admitida é
2
2
superior a este valor, pois: As = 10cm >> 1.25cm )
Vejamos, agora, a avaliação da distribuição de tensões numa secção fendilhada
(denominada por Estado II) de acordo com as hipóteses usualmente admitidas.
(ii)
Cálculo do estado de tensão nas secções, após a fendilhação do betão
Hipóteses consideradas para o denominado Estado II
 O betão não resiste à tracção
 As secções mantêm-se planas após a fendilhação
6
Estruturas de Betão I
c
c
(Fc)
(-)
x
LN
d
z
(+)
s
M cr
s (Fs)
b
Cálculo da posição da linha neutra
Através da determinação do centro de gravidade da secção homogeneizada,
x=
Ai xi
bx  x/2 + As Es/Ec d
Es
x
Es
=
x bx + As E  = bx  2 + As E  d 
bx
+
A

E
/E


c
c
s
s
c
Ai

bx2
Es
Es
bx2
Es
bx2 + As E  x = 2 + As E  d 
= As
(d - x)
2
Ec
c
c
(equação que traduz a igualdade de momentos estáticos)
Para a secção em estudo,
0.2x2
200
-4
2
-3
2 = 1010 x 30 (0.45 - x)  0.1x + 6.6710 x - 0.03 = 0  x = 0.143 m
x
0.143
z (braço das forças resultantes) = d - 3 = 0.45 = 0.40 m
3
Avaliemos, agora para o momento de fendilhação, anteriormente estimado (parágrafo
1.1) a distribuição de tensões na secção, após fendilhação:
Cálculo da tensão no betão (c)
Por equilíbrio: Mcr = Fs z = Fc z =16.7 kNm
Fc =
c x  b
2
Mcr
16.7
 Fc = z = 0.40 = 41.8 kN
2Fc
2  41.8
c = bx =
= 2923 kN/m2 2.9 MPa
0.20  0.143
Cálculo da tensão nas armaduras (s)
Fs = s Ass =
Fs
41.8
=
= 41800 kN/m2 = 41.8 MPa
As
10  10-4
7
Estruturas de Betão I
Cálculo das extensões máxima no betão e nas armaduras (c e s)


 = E 


c
s
ou
c
2923
= E =
= 0.09710-3 0.1‰
30106
c
s
41800
= E =
= 0.2‰
200106
s
c
x
d-x
0.45 - 0.143
= d - x s = x c=
 0.09710-3 = 0.2‰
0.143
s
c = 0.1‰
-2.9
(-)
0.143
LN
M = 16.7 kNm
(+)
s = 0.2‰
41.8
 [MPa]

Verifica-se que, para a quantidade de armadura da secção (10 cm2), bastante superior
à mínima estimada (1.25cm2), o nível de tensões nas armaduras (41.8 MPa), depois
de se formar a fenda, é muito inferior ao da cedência característica (400MPa), ou seja,
há, neste caso uma reserva muito grande até se atingir a cedência.
Avaliemos agora, para este exemplo, as curvaturas das secções depois e antes da
fendilhação.
Cálculo da curvatura em Estado II
1 c + s
0.110-3 + 0.210-3
=
=
= 6.6710-4 m-1
R
d
0.45
Curvatura em Estado I, sem considerar as armaduras:
2.0
c
(-)
c
2.0
c = E =
= 6.6710-5
30103
c
M = 16.7 kNm
(+)
2.0
 [MPa]
c
1 2  6.6710-5
=2.6710-4 m-1
R=
0.5
8
Estruturas de Betão I
Verifica-se, assim, que, para esta secção e com esta armadura, se verifica uma perda
de rigidez considerável quando se perde a participação do betão traccionado, de:
1/RII
1/RI  2.5. Refira-se que este valor seria maior ou menor consoante a quantidade de
armadura adoptada fosse, respectivamente, inferior ou superior aos 10 cm2
considerados.
Estas curvaturas podem ser directamente calculadas dividindo o momento pelas
rigidezes homogeneizadas, se for o caso, nos referidos Estados I e II, tal que:
Estado I sem considerar as armaduras:
1
M
=
Rc Ec Ic
Estado I com consideração das armaduras:
Estado II:
1
M
=
R Ec I
1
M
=
R Ec I
M
I
II
Ec I
Ec I
Ec I
1 /R
Ic, I e I, são, respectivamente, a inércia de secção só de betão, de betão e armaduras
homogeneizada no betão em situação não fendilhada (valor de I  Ic) e fendilhada (I)
sem considerar o betão à tracção.
1.2.2 CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO
Em estado II (secção fendilhada sem participação de betão à tracção) a linha neutra e
a rigidez da secção é única, como avaliada anteriormente. Assim, a um acréscimo do
momento flector irá somente corresponder um aumento de curvatura com
consequente aumento de tensões, i.e., com o braço entre as resultantes das forças de
compressão e tracção a se manter constante.
c
c1 c2
(-)
LN
M
(+)
s1 s2
s
M1
M2 M1
9
Estruturas de Betão I
A continuação da aplicação do momento M conduz, portanto, ao aumento das tensões
nas fibras, proporcionalmente ao momento. No entanto, para níveis superiores de
carga, pode o betão entrar numa região de comportamento com alguma não
linearidade.
c1
c2
Fc
Fc
LN
LN
z1
M1
z2
M 1  M2
F s1
M2
F s2
A variação do braço é, no entanto, pouco significativa (z1  z2), pelo que a avaliação do
momento de cedência se pode fazer tomando para a força F a força correspondente à
cedência das armaduras, tal que:
My  z  Fy
com
Fy = Asfsy
Em que z é o braço atrás determinado.
Cálculo do momento de cedência da secção
s = fy = 400 MPa  Fy = 400  103  10  10-4 = 400 kN
z = 0.40m  My = 0.4  400 = 160 kNm
Verifica-se que, para esta secção, a diferença entre os momentos de fendilhação e de
cedência é significativa, de 16.7 kNm para 160 kNm, o que mostra bem o papel das
armaduras.
1.3. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO/ESTRUTURA
As estruturas são compostas por inúmeras secções sendo que só algumas fendilham.
Nestas secções há uma perda brusca de rigidez (aumento de deformação
significativo), como mostra o gráfico a), corresponde à passagem do Estado I ao II. No
entanto, considerando o comportamento médio de um elemento estrutural (como o
representado na direita da figura), vai-se verificar uma diminuição mais gradual da
rigidez média (gráfico b)). A razão é simples: em termos médios teremos secções
efectivamente fendilhadas, mas entre estas haverá outras com o betão traccionado,
portanto menos deformáveis.
10
Estruturas de Betão I
a) Secção

My
Mcr
I
b) Elemento
(2)
I
M
II
(3)
(2)
My
(1)
Mcr
II
(3)
R
(1)
M

M
1 /R
Este efeito de atenuação da importância da perda de rigidez, a quando da fendilhação,
é ainda mais notório, quando se analisa a resposta da estrutura no seu conjunto. De
facto, ao nível da deformação global da estrutura, não se chega a notar um aumento
pontual da deformação. Verifica-se, isso sim, uma diminuição da rigidez para cargas
superiores ás do início do processo de formação de fendas (zona do diagrama cargadeslocamento de (1) para (2)) – ver figura seguinte. Nesta relação, a perda de rigidez
por abertura de fendas numa ou noutra secção, dilui-se em termos da resposta global,
mas, mesmo assim, com implicações na deformação da viga.
P
(2)
(3)
(1)

Para níveis de carga superiores a zona da viga passível de ter fendas é aquela em
que os esforços sejam superiores aos de início da fendilhação, como se mostra na
figura seguinte.
P
DMF
Região onde ocorre
fendilhação para Pmáx
Mcr
Mmáx
Refira-se que, como referido anteriormente, à medida que se verifica o incremento de
carga as tensões nos materiais aumentam até que se atinge, em princípio na secção
mais esforçada, a cedência do aço, ou seja o momento de cedência - (ponto (2) dos
11
Estruturas de Betão I
diagramas). Este nível de carga corresponde, “grosso modo”, à capacidade máxima da
secção, verificando-se, a partir daí, só um ligeiro aumento até ao momento último,
associado a um grande aumento de deformações. É a zona de comportamento
associada à exploração da capacidade última da secção à flexão, que se verifica, em
geral, com desenvolvimento de uma resposta dúctil. Evidentemente que, em estruturas
hiperstáticas,
as
zonas
principais
das
estruturas
não
entram,
em
geral,
simultaneamente em cedência. Assim, a partir do seu início numa determinada
secção, há lugar, ainda, para incrementos de carga até se mobilizar a capacidade
máxima da estrutura.
2 Conceito de Segurança no Dimensionamento de Estruturas
O conceito de segurança a exigir às estruturas não é obviamente específico ao betão
estrutural, sendo aplicado a estruturas construídas em qualquer material, em particular
às estruturas metálicas e/ou mistas (betão/aço). Na sequência, apresenta-se um
resumo dos princípios fundamentais das metodologias de verificação da segurança
que reputamos essencial, nesta fase da aprendizagem dos alunos, para se
compreender o enquadramento das preocupações dos engenheiros na concepção e
projecto das Estruturas de Betão.
2.1 OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL
Há dois objectivos fundamentais a considerar pelos engenheiros de estruturas para
assegurar, à sociedade em geral, um nível de segurança adequado às construções.
Seguidamente referem-se esses dois objectivos gerais, particularizando-se, para cada
um deles, o tipo de verificações em causa.
1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situação de serviço, ou
seja, na sua utilização corrente
Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos
Estados Limite de Utilização:

Limitar a deformação (Para as estruturas, em geral, e não só de betão)
De acordo com as recomendações mais recentes, e para o caso de pisos de edifícios,
a deformação final ou o incremento de deformação após a execução de paredes de
alvenaria, deve ser limitada, para as acções com carácter de permanência,
respectivamente, a:
L
L
serviçoadmissível 250 ou 500


12
Estruturas de Betão I
Trata-se no primeiro caso de uma questão de aspecto e funcionalidade e no segundo
caso para evitar fendas nas alvenarias que não conseguem, a partir de um certo
ponto, acompanhar a deformação da sua base de suporte sem fendilharem.

Limitar o nível de tensões máximas no betão e no aço
Segundo as disposições regulamentares mais recentes o nível máximo das tensões no
aço e no betão deve ser limitado, em serviço. Estes limites dependem do tipo e nível
das acções, como se verificará no curso.

Controlar as aberturas de fendas (Aspecto claramente específico ás
estruturas de betão armado):
serviçoadmissível (0.2 a 0.4mm)
Sendo a existência de fendas uma situação normal no Betão Armado, há que limitar a
sua abertura, em geral, para um nível de acções com carácter de permanência. Esta
necessidade advém, de razões de aceitabilidade estética e, em ambientes mais
agressivos, para não serem veículo de um processo mais rápido de degradação do
betão estrutural (questão de durabilidade, como se verá no curso).

Garantir um adequado comportamento dinâmico (estruturas em geral)
Este aspecto da verificação do comportamento em serviço das estruturas, só será
analisado na disciplina de uma forma indirecta, devendo ser aprofundado
posteriormente no curso. No fundo trata-se de controlar as frequências próprias de
vibração das estruturas, de tal forma a evitar situações de ressonância com a
frequência das acções.
Exemplo: Nas pontes de peões verificar que a frequência principal de vibração vertical
da estrutura não se aproxima da frequência da excitação, neste caso, as cadências
dos passos dos utilizadores.
2) Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas
situações de rotura (rotura local ou global da estrutura)
Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos
Estados Limite Últimos
Para além de assegurar um comportamento adequado da estrutura nas condições da
sua utilização, o engenheiro de estruturas tem de, com um nível de confiança
muitíssimo superior, poder garantir que não há possibilidade de qualquer tipo de
rotura, seja localizada, por falta de capacidade resistente, como numa peça linear,
por:
13
Estruturas de Betão I

Tracção ou Compressão

Flexão

Esforço Transverso

Torção

Qualquer combinação destas

Zonas particulares de apoios e/ou introdução de cargas
Seja global, por perda de equilíbrio conjunto da estrutura, como o derrubamento
de um muro de suporte.
As características de comportamento do betão estrutural, próximo da rotura, e as
hipóteses admitidas para avaliação das capacidades resistentes dos elementos
estruturais, acima referidas, e das estruturas, no seu conjunto, serão analisadas nos
Capítulos seguintes.
2.2 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS
LIMITES ÚLTIMOS
Para garantir o objectivo acima enunciado, da não rotura, a regulamentação das
estruturas, em geral, tem vindo a introduzir, a partir dos anos 60, uma filosofia de
segurança que, tendo em conta a variabilidade das características dos materiais, do
valor das acções e da avaliação da resposta estrutural, assegura uma probabilidade
de rotura de 1 x 10-5, ou seja, quase nula.
Este formato baseia-se, de uma forma simplificada, na avaliação de valores
característicos para os materiais e acções, e ainda à adopção de coeficientes parciais
de segurança adequadamente definidos. Vejamos, então, com algum pormenor, essa
valoração.
1) Definição de valores característicos para:

Valores das acções Ssk (95% de probabilidade de não serem excedidos)

Resistências dos materiais SRk (95% de probabilidade de serem superiores).
2) Adopção de coeficientes de segurança parciais que:

Majorem as cargas, consoante o tipo de acção:

Acções permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida
g = 1.0 ou 1.35 (consoante a acção for ou não favorável)
14
Estruturas de Betão I

Acções variáveis: variam durante a vida útil da estrutura (ex: sobrecarga,
vento, sismo, variação de temperatura, etc.)
q = 0.0 ou 1.5 (consoante a acção for ou não desfavorável)

Acções acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrência durante a
vida útil da estrutura (ex: explosões, choques, incêndios, etc.) a = 1.0

Minorem as resistências dos diferentes tipos de materiais:

Armaduras (s = 1.15)

Betão (c = 1.5)
Exemplo: fyd =
fyk
fck
; fcd =
s
c
3) Estabelecimento de combinações de acções, conforme especificado no RSA
Exemplo: Ssd = gSg + q (Sq + 0iSqi)
(0i  1 – coeficiente de combinação da
acção variável i)
Sq – acção variável de base
Sqi – restantes acções variáveis
4) A avaliação dos efeitos das acções na estrutura é usualmente realizada com base
numa análise elástica linear da mesma, mas com as eventuais/necessárias
adaptações para ter em conta, nas estruturas hiperstáticas, o efeito do comportamento
não linear do betão estrutural (como constatado nos parágrafos anteriores).
Com base nos modelos estruturais adoptados há, então, que avaliar os efeitos das
acções. Tem-se, por exemplo, para a flexão, os denominados momentos de cálculo
ou dimensionamento, que, para o caso de uma única carga variável, corresponde a:
Msd = g Mg + qMq
5) A avaliação das capacidades resistentes (forças ou esforços) depende da geometria
do elemento, das características dos materiais e do tipo de esforço.
Por exemplo para o momento resistente, como vimos anteriormente, teremos, de
fyk
uma forma simplificada, : MRd = As  1.15 z.
No Capítulo seguinte a avaliação deste valor será detalhadamente apresentada.
6) Verificação da condição de segurança geral: SSd  SRd
Exemplo para os momentos: Msd  MRd
15
Estruturas de Betão I
No caso do exemplo anterior, e considerando só a sobrecarga (q = 1.5), tem-se
(tomando o braço de forças, z, avaliado para o comportamento elástico):
PL
5
400
M = 4  Msd = 1.5  P  4  MRd = 10  10-4  1.15  103  0.40
Donde resulta, como valor de carga que pode ser aplicada à estrutura, com um nível
de segurança adequado em relação à rotura por flexão (ou seja, verifica a segurança
ao Estado Limite Último de Flexão):
P  74.2 kN
O procedimento de verificação da segurança acima resumido pode ser ilustrado com
base nos diagramas de distribuição probabilística dos efeitos das acções e da
avaliação das resistências, como indicado na figura seguinte. A partir de valores
característicos, superiores e inferiores, respectivamente para as acções e materiais,
majoram-se e minoram-se esses valores, com coeficientes parciais de segurança,
para só depois estabelecer a condição de segurança.
Percebe-se que a margem de segurança disponível que se obtém com este
procedimento é muito grande. Repare-se na diferença entre os valores médios
expectáveis das acções e das resistências. No entanto, a justificação da garantia da
probabilidade de não rotura ser de 1 x 10-5,como acima referida, está fora do âmbito
destas folhas, e desta disciplina.
Ssm
Ssk
Ssd
SRd
SRk
Acções ou efeitos das acções
SRm
Resistência
2.3 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS
LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Para assegurar o comportamento adequado nas condições de serviço, pretende-se
avaliar, agora, tão bem quanto possível, a resposta efectiva da estrutura quando em
utilização. Com esse objectivo faz sentido tomar valores de acções que se esperam
efectivamente actuem a estrutura (e não valores característicos superiores e/ou
majorados) e valores médios para o comportamento dos materiais (certamente que
não valores característicos inferiores e/ou minorados).
16
Estruturas de Betão I
Esta formulação conduz a que a probabilidade de serem excedidos os valores
admissíveis seja da ordem de 1 x 10-1.
Vejamos então, em termos práticos, com que bases se fazem estas verificações:
1) Definição dos valores da acção que actuam na estrutura adoptando, por um lado,
para os pesos próprios dos materiais estruturais e/ou de outros revestimentos
utilizados densidades médias e, por outro lado, valores de sobrecargas com
probabilidades reais de virem a actuar as estruturas (percentagens mais pequenas do
valor característico têm mais probabilidade de ocorrerem).
2) Estabelecimento de combinações de acções, conforme preconizado no RSA:

Combinação quase permanente de acções: Estado limite de longa duração
( 50% do tempo de vida da estrutura)

Combinação frequente acções: Estado limite de curta duração ( 5% do
tempo de vida da estrutura)

Scqp = G + 2iQi
Sfreq = G + 1 Q + 2iQi
Combinação característica: Estado limite de muito curta duração (algumas
horas no período de vida da estrutura)
Sraro = G + Q + 1iQi
2 < 1 < 1.0)
Q – acção variável de base
Qi – restantes acções variáveis
3) A avaliação dos efeitos das acções deve ser realizada considerando, em geral, as
propriedades médias dos materiais por forma a estimar o comportamento previsível. É
importante referir que, para o efeito de cargas exteriores a hipótese de comportamento
linear é razoável e usual, para a obtenção de esforços, mas já não é para avaliação
das deformações, a menos que, convenientemente, corrigidas. Por outro lado, devido
a deformações impostas à estrutura, a grandeza dos esforços depende fortemente da
rigidez da estrutura, e, então, a rigidez elástica deve ser diminuída, logo na avaliação
de esforços.
É, portanto, necessário considerar, de uma forma simplificada, os efeitos da
fendilhação (perda de rigidez) e da fluência do betão nas características da resposta e
na forma de avaliar os efeitos das acções. Estes assuntos irão os alunos analisar ao
longo do curso.
4) Posteriormente há que fazer as verificações de segurança, atrás mencionadas,
como a limitação da deformação, o controlo do nível de tensões nos materiais e o
controlo das aberturas de fendas. Estas verificações são estabelecidas nos
17
Estruturas de Betão I
regulamentos, para certas combinações de acções. Refira-se que um certo limite é
dependente da duração de tempo em que possa subsistir.
Por exemplo, para o caso da deformação, é importante garantir a sua limitação para a
situação quase-permanente, mas não para a eventualidade de, numa ou várias
situações na vida da estrutura, se ter uma sobrecarga maior. Assim:
combinação quase permanente  admissível
Por outro lado, uma abertura de fendas máxima de 0.5 mm pode ser considerada
aceitável para a combinação característica de acções, pois só acontece muito
esporadicamente, mas não para uma situação com carácter de permanência, em que
se aponta na regulamentação para um limite de 0.3 mm.
18
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 1
Considere a estrutura de um piso estrutural, que será tomado como referência nos
capítulos seguintes, a construir com os materiais indicados e as acções previstas
referidas, e que se representa na planta seguinte:
Materiais: C25/30, A400
4.00
4.00
4.00
4.00
Acções:
Peso próprio
Revestimento=2.0 kN/m
Sobrecarga = 3.0 kN/m
10.00
S2
2
2
Coeficientes de majoração:
G = Q = 1.5
Coeficientes de combinação:
S1
3.00
1 = 0.4 ;2 = 0.2
Secção da viga: 0.300.85 m
2
Espessura da laje: 0.15m
a) Determinar, para as secções S1 e S2 da viga, os valores dos esforços, para a
verificação da segurança à rotura.
b) Calcular, para as mesmas secções, os esforços para as combinações em serviço,
rara, frequente e quase-permanente.
19
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
No processo de verificação da segurança de uma estrutura é fundamental encontrar
um modelo de análise da estrutura, que nunca deve ser confundido, com a própria
estrutura. Trata-se, no essencial, de “um modelo da estrutura” que serve de base
para a análise, dimensionamento e verificação de segurança, neste caso da viga
central em causa.
1. Modelo de cálculo:
Modelo para o cálculo da viga
Corte transversal à viga
rev, q
g, q
S2
0.15
S1
0.70
10.00
3.00
0.30
4.00
Comentários ao modelo de cálculo, escolhido, com algumas simplificações:

Consideram-se as vigas sem continuidade na ligação aos pilares;

Considera-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais.
2. Cálculo das acções na viga
2.1. Carga permanente

Peso próprio
pp = betão Área = [4  0.15 + (0.85 - 0.15)  0.30]  25 = 20.3kN/m

Revestimento
rev = 2.0  4.0 = 8.0kN/m
cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m
2.2. Sobrecarga
sc = 3.0  4.0 = 12.0kN/m
20
Estruturas de Betão I
3. Diagrama de esforços para uma carga unitária (poder-se-ia considerar logo à
partida considerar o valor das cargas)
p=1 kN/m
S2
S1
10.00
3.00
RA
DEV
[kN]
RB
4.55
3.0
(+)
(+)
(-)
x
5.45
DMF
[kNm]
4.5
(-)
(+)
10.25
(i) Cálculo das reacções de apoio
13
MA = 0  10  RB- 1.0  13  2 = 0  RB = 8.45kN
F = 0  RA + RB = 13  RA = 13 - 8.45 = 4.55kN
(ii) Cálculo do momento flector a ½ vão
3
MB = - 1  3  2 = - 4.5kN/m
102 4.5
M½vão = 1  8 - 2 = 10.25kNm
pL2/8
L/2
L/2
(iii) Cálculo do momento flector máximo
4.55 + 5.45 10.0
= x x = 4.55m
4.55
Mmáx =
4.55 4.55
= 10.35kNm
2
M½vão Mmáx
21
Estruturas de Betão I
ALÍNEA A)
Secção S1
Secção S2
MS1
G = – 4.5  28.3 = - 127.35 kNm
MS2
G = 10.25  28.3 = 290.1 kNm
MS1
Q = – 4.5  12.0 = - 54 kNm
MS2
Q = 10.25  12.0 = 123.0 kNm
VS1
G = –5.45  28.3 = 154.2 kN
VS1
Q = –5.45  12.0 = 65.4 kN
Valores de cálculo dos esforços
S1
S1
MS1
sd = 1.5 (M G + M Q ) = 1.5  (-127.35 - 54) = -272.0 kNm
S2
S2
MS2
sd = 1.5 (M G + M Q ) = 1.5  (290.1 + 123) = 619.7 kNm
S1
S1
VS1
Sd = 1.5 (V G + V Q ) = 1.5  (-154.2 - 65.4) = -329.4 kN
Consideração de alternância de sobrecarga
A sobrecarga, sendo uma acção variável, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para
cada caso, há que verificar a hipótese de carga mais desfavorável.
Chama-se, desde já a atenção, para que na consola e sobre o apoio adjacente, os
esforços só dependem das cargas na própria consola e, portanto, os valores máximos
são os avaliados anteriormente.
Por outro lado, se se considerar apenas a actuação da sobrecarga no tramo apoiado,
o momento flector obtido a meio vão desse tramo será superior ao calculado
considerando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculo anterior).
Deste modo,
q
g
MS2
Q
12  102
=
= 150 kNm ; MS2
G = 10.25  28.3 = 290.1 kNm
8
 MS2
sd = 1.5  (290.1 + 150) = 660.2kNm
22
Estruturas de Betão I
Refira-se que, sendo a viga isostática, a distribuição de esforços para uma qualquer
combinação de acções é única. Ora isto é diferente do que acontece nas estruturas
hiperstáticas onde são possíveis distribuições de esforços distintas que equilibram as
mesmas acções... e que são compatíveis com o comportamento, efectivamente não
linear, dos materiais.
Alínea b)
Secção S1
Mc rara = MG + MQ = -127.35 - 54 = - 181.4kNm
Mcfreq = MG + 1 MQ = -127.35 - 0.4  54 = -149.0kNm
Mcqp = MG + 2 MQ = -127.35 - 0.2  54 = – 138.2kNm
Vc rara = VG + VQ = 154.2 + 65.4 = 219.6kN
Vcfreq = VG + 1 VQ = 154.2 + 0.4  65.4 = 180.36kN
Vcqp = VG + 2 VQ = 154.2 + 0.2  65.4 = 167.3kN
Secção S2
Mc rara = MG + MQ = 290.1 + 123.0 = 413.1kNm
Mcfreq = MG + 1 MQ = 290.1 + 0.4  123 = 339.3kNm
Mcqp = MG + 2 MQ = 290.1 + 0.2  123 = 314.7kNm
Verifica-se também que o nível de esforços considerados para a verificação da
segurança à rotura são significativamente superiores aos correspondentes das
combinações de acções em serviço, e que estes últimos são tão menores, quão a
probabilidade de ocorrência seja maior.
23
Estruturas de Betão I
3 Materiais
3.1
CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES
O betão tem como referido anteriormente, e os alunos certamente saberão nesta fase
do curso, um comportamento não linear. Ou seja, tem uma relação tensão-extensão
que não segue a lei de Hook, em particular para tensões mais elevadas. Como se verá
na sequência, até certos níveis limitados de tensão, é razoável admitir o
comportamento como linear.
Os betões são, em termos regulamentares, classificados por classes de resistência,
como certamente analisaram na disciplina de materiais.
As classes de resistência estão definidas de acordo com os valores característicos de
tensão de rotura à compressão aos 28 dias de idade, referidos a provetes cúbicos ou
provetes cilíndricos, apesar destes últimos serem aqueles que se consideram como
referência na avaliação da segurança estrutural.
No quadro seguinte apresentam-se, para as várias classes de resistência do betão, os
valores característicos e de cálculo das tensões de rotura à compressão (fck e fcd), bem
como o valor médio da tensão de rotura à tracção (fctm) e módulo de elasticidade aos
28 dias (Ec, 28).
B15
B20
B25
B30
B35
B40
B45
B50
B55
C12/15
C16/20
C20/25
C25/30
C30/37
C35/45
C40/50
C45/55
C50/60
15
20
25
30
37
45
50
55
60
12
16
20
25
30
35
40
45
50
8.0
10.7
13.3
16.7
20.0
23.3
26.7
30.0
33.3
1.6
1.9
2.2
2.6
2.9
3.2
3.5
3.8
4.1
27.0
29
30
31
33
34
35
36
37
Classe
cub.
fck
cil.
[MPa]
fcd
[MPa]
fctm
[MPa]
Ec,28
[GPa]
24
Estruturas de Betão I
3.1.1 TENSÕES DE ROTURA DO BETÃO
A partir dos valores característicos das tensões de rotura à compressão ou à tracção,
definem-se os valores denominados de dimensionamento ou de cálculo à rotura:
fcd =
fcil.
ck
c
, fctd =
fctk
c
com
cubos
c = 1.5 (fcil.
ck  0.8 f ck )
O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção pode ser estimado pela
expressão:
fctm = 0.30 f2/3
ck
Nota: o valor de fcd é definido a partir da resistência em cilindros, dado que estes provetes são
mais representativos da resistência do betão em peças longas.
3.1.2 MÓDULO DE ELASTICIDADE DO BETÃO
Na análise de estruturas é usual admitir um comportamento elástico, como atrás já
referido, considerando-se, em geral, o módulo de elasticidade secante do betão aos 28
dias de idade. Este módulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica,
encontra-se definido para c = 0 e c = 0.4 fck. Refira-se a propósito, que este tipo de
hipótese é adoptada, na prática da engenharia, com muita frequência, considerandose, posteriormente, formas mais ou menos directas de ter em consideração o efectivo
comportamento não linear do betão armado, quer em condições de serviço, quer,
por maioria de razão, próximo da rotura.
c
Ec
fcm
0.4 fck
c
3.1.3 VALOR CARACTERÍSTICO DA TENSÃO DE ROTURA DO BETÃO À COMPRESSÃO FC
A partir de um certo número de resultados de ensaios, é possível avaliar o valor
característico do betão.
25
Estruturas de Betão I
Assim:
fck = fcm -  Sn ,
Sn – desvio padrão das resistências das amostras
 – parâmetro que depende do número de ensaios
3.2
n
6
10
15

1.87
1.62
1.48
CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS
As armaduras a utilizar no betão estrutural podem dividir-se em:

armaduras para betão armado

armaduras de pré-esforço
As primeiras são também denominadas de armaduras passivas, pois só são
solicitadas em resposta a acções exteriores.
As armaduras de pré-esforço são compostas por aços com capacidade resistente da
ordem de 3 a 4 vezes superiores às passivas e são chamadas de activas, pois são
traccionadas antes da actuação das solicitações exteriores.
Nestes elementos referem-se unicamente as primeiras pois o pré-esforço é introduzido
na disciplina de Estruturas de Betão II.
3.2.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ARMADURAS PARA BETÃO ARMADO
Os aços são classificados tendo em consideração o processo de fabrico, a rugosidade
da superfície e a sua capacidade resistente. Assim temos:



processo de fabrico

aço natural (laminado a quente)
(N)

aço endurecido a frio
(E)
aderência

alta aderência (superfície rugosa ou nervurada) (R)

aderência normal (superfície lisa)
(L)
resistência

(A235), A400, A500
26
Estruturas de Betão I
O aço A235 foi utilizado na construção em Portugal, em geral com varões lisos, mas já
não é produzido actualmente.
As armaduras designam-se, assim, com a seguinte simbologia base:
Designação das armaduras: A500
N
fyk
R
SD
aderência
processo de fabrico
ductilidade especial
Os aços de dureza natural A400 NR e A500 NR produzidos em Portugal,
apresentam apenas duas famílias de nervuras – ver figura abaixo. Nos aços A400
todas as nervuras de uma família são paralelas ao passo que no A500 as nervuras
têm alternadamente inclinações diferentes, pelo menos de um dos lados.
A diferenciação, entre aços com ductilidade especial (SD), recomendados em zonas
sísmicas, e os correntes, é ilustrada na figura, sendo que, no essencial, os SD tem as
mesmas nervuras nas duas faces.
Tipo A400NR
Tipo A500NR
Tipo A400NR SD
Tipo A500NR SD
Identificação do tipo de aço
Os aços endurecidos a frio (E) são produzidos por laminagem com impressão de um
perfil nervurado, constituído por três famílias de nervuras dispostas em 3 planos.
27
Estruturas de Betão I
4 Verificações de Segurança à Rotura por Flexão
Para a avaliação das capacidades resistentes das secções de betão à flexão, no
âmbito da filosofia de segurança em relação à rotura, começa-se por mostrar como se
caracterizam os comportamentos dos materiais a adoptar naquela avaliação.
Posteriormente, e a partir de hipóteses admitidas para a deformação da secção na
rotura, mostra-se como se avaliam os esforços resistentes de flexão.
4.1 RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA
AOS E.L. ÚLTIMOS
4.1.1 BETÃO
A partir da relação tensão-extensão característica do betão, referida anteriormente, é
definida uma relação simplificada, com base numa parábola e num rectângulo com um
valor máximo de resistência, o qual é obtido do valor característico, pela aplicação do
correspondente coeficiente parcial de segurança de 1.5.
c
fcd = 
f ck
fck
, c = 1.5
c
0.8    1.0
para 0  c  c2
c = fcd
f cd
para c2  c  cu2
Para as classes de resistência até C50/60,
c2
c2[‰]
cu2[‰]
2.0
3.5
cu2 c
(Diagrama parábola rectângulo)
Para uma definição analítica detalhada destas curvas pode ser consultada bibliografia
referida para a disciplina.
Na avaliação do valor de fcd, para além do coeficiente parcial de segurança, aparece o
coeficiente . Este parâmetro tem em consideração a diminuição da tensão de rotura
do betão quando sujeito a tensões elevadas prolongadas. De facto, se o betão for
solicitado com constância, durante um certo período de tempo, a uma tensão um
pouco inferior à máxima (entre 85% a 100% de f c) acaba por atingir a rotura. De
acordo, por exemplo, com o REBAP, a tensão máxima no betão está limitada a 0.85
fcd, ou seja considerando  = 0.85. No entanto, o EC-2 propõe, para casos correntes,
28
Estruturas de Betão I
1.0 fcd, pois nas condições de carregamento com persistência o betão estará, em
geral, solicitado a níveis de tensões bem inferiores às acima referidas, tendo-se
considerado demasiado penalizante tomar esse efeito na verificação da segurança à
rotura. Na disciplina, e na prática da engenharia em geral no futuro, tenderá a utilizarse a hipótese proposta no EC2. No entanto, e para já, o mais importante é perceber a
razão do sentido físico deste coeficiente.
4.1.2 AÇO
Para a verificação da segurança aos E.L. Últimos pode ser considerada uma das duas
relações constitutivas indicadas pelo EC-2, e presentes na figura seguinte, i.e.,
considerando ou não (hipótese muitas vezes admitida como simplificação) algum
incremento de resistência a partir da cedência, quantificado pelo coeficiente k.
s
fyd =
2
k f yk
f yk
k f yd
fyk
, s = 1.15
s
ud = 0.9 uk
f yd
1
Classe
fyk
[MPa]
fyd
[MPa]
yd
-3
[10 ]
A235
235
205
1.025
A400
400
348
1.74
A500
500
435
2.175
Es =200 GPa
ud
yd
uk
s
O valor da extensão máxima convencional do aço, ud (igual a 90% do valor
característico uk), a considerar depende da classe de ductilidade das armaduras. No
quadro seguinte são indicados os valores característicos das extensões últimas, para
as diferentes classes de ductilidade, que são da ordem dos 25 a 75‰, portanto, muito
superiores aos do betão de 3.5 ‰.
Classe de
ductilidade
A
B
C
k
1.05
1.08
1.15
<1.35
uk [%]
2.5
5.0
7.5
Refira-se que o REBAP limita a 10‰ a extensão última convencional de
dimensionamento, ud, valor claramente inferior aos acima referidos. No entanto, uma
vez que para este valor de extensão, o aço se encontra bem na cedência, as
29
Estruturas de Betão I
repercursões em termos da avaliação das capacidades resistentes à flexão, são
praticamente nulas, como se verá no sub-capítulo seguinte.
Em Portugal os aços são denominados por NR, ER ou NR SD, como referido em
3.2.1, onde é explicada a simbologia e a forma como se pode proceder à sua
identificação superficial. Para a construção corrente é normal utilizarem-se ferros NR,
sendo em zonas de maior sismicidade, a utilização de aços SD fundamental. Estas
classificações actuais dos aços em Portugal, correspondem às características de
ductilidade das classes B (NR) e C (NR SD) definidas no EC2 e acima mencionadas.
4.2 ANÁLISE DA SECÇÃO. MÉTODO GERAL
Definidas as características dos materiais, a capacidade resistente à flexão simples,
mas também à tracção e compressão isoladas e/ou estas em sobreposição com a
flexão, resultam do estabelecimento das condições de equilíbrio e do estabelecimento
das condições de deformação da secção e das condições limite. No que se segue vai
se analisar a situação de flexão simples mas é importante que os alunos estabeleçam,
por si, as situações de tracção e compressão simples. A flexão composta será tratada
posteriormente no curso.
Hipóteses adoptadas na rotura convencional de dimensionamento
1- Apesar da complexidade do estado de deformação do betão armado, próximo da
rotura, a Hipótese de Bernoulli é considerada.
2- A situação última limite é atingida, quando se verifica uma das extensões últimas
seguintes:
-
c- = 3.5‰ (Deformação máxima de encurtamento no betão)
-
s = ud (Deformação máxima de alongamento nas armaduras)
3- A participação do betão à tracção não é considerada:
-
c = 0 se c> 0 o betão à tracção tem tensão nula
c 3.5‰
Fc
x
(-)
LN
z
MRd
(+)
s ud
Fs
30
Estruturas de Betão I
Com base nas relações constitutivas dos materiais e das hipóteses anteriores,
estabelecem-se as equações de equilíbrio na secção. Assim, se as expressarmos em
função das resultantes das tensões de tracção e compressão, tem-se:
Equações de Equilíbrio (sendo Fs e Fc as resultantes das tensões de tracção e
compressão, respectivamente.):

Equilíbrio axial (Esforço axial nulo): Fs = Fc

Equilíbrio de momentos: MRd = Fs  z
4.3 MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR
Neste método simplifica-se a forma de distribuição das compressões no betão e
despreza-se a participação do aço à compressão, o que permite resolver as equações
anteriores, de forma simples.
c
(-)
 f cd
 f cd
c

x
0.8x
 f cd
0.7‰
3.5‰ c
Deste modo,
c
 f cd
(-)
x
Fc
0.8x
0.4x
LN
d
z = d - 0.4x
(+)
s
Fs
4.3.1 CÁLCULO DE MRD
Se forem conhecidos a geometria da secção, a quantidade de armadura e as
resistências dos materiais, a avaliação da capacidade resistente segue os seguintes
passos (trata-se um problema dito de análise pois a secção e armaduras estão
totalmente definidas):
i) Admitir que s = fyd (s  yd), ou seja, que as armaduras estão em cedência
ii) Determinar posição da linha neutra
Por equilíbrio axial, Fc = Fs  fcd Ac (x) = As fyd  x = ?
31
Estruturas de Betão I
iii) Calcular o momento resistente
Por equilíbrio de momentos, MRd = As fyd (d - 0.4x)
iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: s  yd
Rotura convencional: c = 3.5‰ ou s = ud
c = 3.5‰
(-)
x
A partir da posição da linha neutra anteriormente calculada, se
admitirmos que a rotura se dá pelo betão, obtém-se a
(+)
s
extensão ao nível da armadura.
 Se s  yd  a hipótese considerada inicialmente, de admitir o aço em cedência
está correcta.
 Se s < yd  Fs < As fyd, trata-se de uma situação não desejável pois nem se
estaria a tirar partido da resistência máxima do aço.
A posição da Linha Neutra para essa situação limite pode ser avaliada para os aços
A400 e A500 por:
Posição da LN para c = 3.5 ‰ e s = yd (início da cedência do aço)
c
A400: yd = 1.74 ‰
= 3.5‰
(-)
x
d
=
 x = 0.67 d
3.5 3.5 + 1.74
x
d
A500: yd = 2.175 ‰
x
d
=
3.5
3.5 + 2.175  x = 0.62 d
(+)
s=yd
Deste modo, se x  0.67 d no caso de se utilizar aço A400, ou se x  0.62 d no caso
de se utilizar aço A500, pode se concluir, desde logo, que o aço está em cedência.
Por outro lado, conhecida a posição da Linha Neutra, é possível confirmar se a rotura
convencional se dá pelo betão. Exemplifica-se, seguidamente, para aços das classes
B (NR) e C (NR SD).

Para um aço de Classe C: Posição da LN para c = 3.5‰ e ud = 0.9  75‰ = 67.5‰
c = 3.5‰
(-)
x
d
x
d
3.5 = 71 x = 0.05 d
(+)
ud
32
Estruturas de Betão I
Deste modo,
c< 3.5‰
se x < 0.05 d (situação pouco corrente)  
s = ud
c = 3.5‰
se x > 0.05 d 
s < ud
(rotura pela armadura)
(rotura pelo betão)
Se tratasse de um aço de Classe B ter-se-ia para este limite x = 0.072 d
Constata-se, assim, que, para uma grande gama de possíveis posições da Linha
Neutra, a rotura convencional dá-se pelo betão e o aço está em cedência. Esta
diferenciação (rotura convencional pelo aço ou betão), nem é importante pois de
qualquer maneira a capacidade máxima resistente do aço é explorada.
No entanto, é importante no dimensionamento das secções de betão armado controlar
melhor a posição da Linha Neutra por uma razão essencial: Um elemento de betão
armado deve apresentar ductilidade em situação de rotura, i.e., deve poder
evidenciar deformações apreciáveis por cedência das armaduras, sem perda de
capacidade resistente. Esta característica é fundamental nas estruturas e, para tal, é
importante assegurar valores x/d limitados, pois verifica-se, experimentalmente, que
aquele é um parâmetro que influencia directamente a ductilidade do elemento.
A Ductilidade ou Capacidade de Deformação Plástica das Secções é medida pela
relação (1/R)u/(1/R)y, i.e., a relação entre as curvaturas última e de cedência, como
ilustrado na figura seguinte.
MRd
As4 (x4;s4;menor ductilidade)
As3 (x3;s3)
As2 (x2;s2)
(1)
cx = -3.5‰
1
R
(2) As1 (x1;s1;maior ductilidade)
(-)
As1 < As2< As3 < As4
(+)
As
(1 / R) y
(1 /R) u (1 / R)
(1) s=syd
x
s
1
cx
R =- x
(2) Rotura da secção por esmagamento do betão comprimido c 3.5‰) ou
menos correntemente, por deformação de armaduras c  ud)
Para garantir um nível mínimo de ductilidade disponível deve procurar garantir-se
que, pelo menos, x  0.4 a 0.5 d, portanto com x/d claramente na zona de cedência do
aço.
33
Estruturas de Betão I
É importante referir que no dimensionamento à rotura dos elementos estruturais se
deve sempre avaliar as vertentes de resistência e de ductilidade.
A situação mais corrente com que o engenheiro se defronta na prática, depois de ter
feita a análise estrutural, ter avaliado a distribuição de esforços actuantes, ter definido
uma geometria para a secção e escolhido os materiais, é a de querer avaliar a
quantidade de armadura a considerar para verificar a segurança (trata-se um problema
dito de dimensionamento).
Dimensionamento das armaduras:
Dados: geometria da secção, fcd, fyd, Msd
f cd
Fc
0.8x
x
LN
d
z
As
Msd
Fs
b
i) Admitir que s = fyd (s  yd), ou seja, que as armaduras estão em cedência
ii) Determinar posição da linha neutra
Por equilíbrio de momentos, Msd = Fc  z = fcd b 0.8 x (d - 0.4x)  x = ...  Fc = ...
iii) Calcular a área de armadura necessária
Por equilíbrio axial, Fc = Fs  fcd b 0.8x = As fyd  As= ?
iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: s  y
34
Estruturas de Betão I
Exercício 2
Considere a viga representada na figura seguinte e adopte G = Q = 1.5
q
0.55
320
0.30
5.00
Materiais: C25/30 (fcd = 16.7MPa)
A400 (fyd = 348MPa)
Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga.
Resolução
Método do diagrama rectangular simplificado
0.85 fcd
Fc
0.8x
x
0.4x
LN
d
z
M Rd
Fs
1. Cálculo do MRd

Equações de equilíbrio (flexão simples)
F = 0  Fc = Fs
(1)
M = 0  MRd = Fs  z = Fs  (d - 0.4x)
(2)
(Este exercício está resolvido com  = 0.85)
Fc = 0.8x  b  0.85 fcd = 0.8x  0.30  0.85  16.7  103 = 3406.8x
Fs = As  fyd = 9.42  10-4  348  103 = 327.8kN (As(320) = 9.42cm2)
327.8
(1) Fc = Fs x = 3406.8 = 0.096m  z = d – 0.4x = 0.55 – 0.4  0.096 = 0.51m
35
Estruturas de Betão I
(2) MRd = Fs  z = 327.8  0.51 = 167.2kNm

Verificação da hipótese de cedência do aço (s  yd)
c
= 3.5‰
(-)
s
3.5‰
=
s = 16.6‰>>yd
0.454
0.096
0.096
0.55
0.454
(+)
s
yd =
fyd
348
=
= 1.74‰
s
200103
x 0.096
d = 0.55 = 0.175
Ductilidade da secção (como critério mínimo é desejável que x/d ~ (0.4 a 0.5) ou,
~
equivalentemente, s > 4‰ a 5‰,
3. Cálculo da sobrecarga máxima (Msd  MRd)
Msd =
psd L2
8  167.7
 167.7kNm  psd 
= 53.7kN/m
8
52
53.7
psd = 1.5 (g + q) q = 1.5 - 0.30  0.60  25 = 31.3kN/m
36
Estruturas de Betão I
Exercício 3 (mesma base do exercício 1)
Considere a mesma estrutura de piso e considere os cálculos já realizados:
Materiais: C25/30, A400
4.00
4.00
4.00
4.00
Acções:
Peso próprio
Revestimento = 2.0kN/m2
10.00
S2
Sobrecarga = 3.0kN/m2
Coeficientes de majoração:
G = Q = 1.5
S1
3.00
Coeficientes de combinação:
1 = 0.4 ;2 = 0.2
Secção da viga: 0.30  0.85m2
Espessura da laje: 0.15m
a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão
da viga (Secções S1 e S2)
a.1) utilizando o método do diagrama rectangular simplificado
a.2) Fs  z
a.3) com recurso a tabelas
a.4) pormenorize as armaduras de flexão
37
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DA ALÍNEA A):
1. Modelo de cálculo:
g, q
S2
0.85
S1
10.00
3.00
0.30
2. Envolvente do diagrama de esforços
272.0
DMF
[kNm]
(-)
S2
S1
(+)
660.2
ALÍNEA A.1)

+ = 660.2 kNm)
Secção S2 (Msd
0.85 f cd
Fc
0.8x
x
LN
0.80
z
As
M sd
Fs
0.30
Resolução com  = 0.85:
Fc = 0.85 fcd  0.8x  b = 0.85  16.7  103  0.8x  0.3 = 3406.8x
Fs = As  fyd = As  348  103
Equilíbrio de momentos:
MAS = Msd  3406.8x  (0.8 - 0.4x) = 660.2  x = 0.282m
Fc = 3406.8  0.282 = 960.7kN
Equilíbrio de forças:
Fs = Fc  As  348  103 = 960.7  As =
960.7
 104 = 27.6 cm2
348  103
Verificação da hipótese de cedência do aço
38
Estruturas de Betão I
c = 3.5‰
Admitindo que c = 3.5‰
(-)
0.282
c = 3.5‰ 0.282
= 0.518 s = 6.43‰ > yd = 1.74‰
s
0.518
x
d = 0.35
(+)
s
 A armadura está em cedência e a secção tem um nível de ductilidade aceitável.

- = 272.0 kNm)
Secção S1 (Msd
0.30
As
Fs
z
0.80
M sd
LN
x
Fc
0.8x
0.85 f cd
Equilíbrio de momentos:
MAS = Msd  3406.8x  (0.8 - 0.4x) = 272.0  x = 0.105m  Fc = 357.7kN
Então x/d = 0.13  Bom em termos de ductilidade disponível
Equilíbrio de forças
Fs = Fc  As  348  103 = 357.7  As =
357.7
 104 = 10.28cm2
348103
Verificação da hipótese de cedência do aço
s
0.695
Admitindo que c = 3.5‰ tem-se: 3.5‰ = 0.105  s = 23.2‰ >>yd
4.4 RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS
Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformação de uma secção de
betão armado, para quatro áreas de armadura distintas (área de armadura crescente).
39
Estruturas de Betão I

M Rd,1

M Rd,2
c
c
(-)
x1

M Rd,3
c
(-)
c
(-)
x2
M Rd,4
(-)
x3
x4
M Rd
(+)
(+)
s
As
(+)
s
(+)
s
s

(As muito pequeno)
(As maior)
(...)
(...)
1
2
3
4
Apresentam-se, em seguida, as relações constitutivas do aço e do betão, com
indicação qualitativa da evolução das tensões e extensões dos dois materiais, com a
variação da armadura.
c
s
3 e 4
2
 f cd
3
f syd
1 e 2
1
4
2‰
3.5‰ c
ud
syd
s
Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos níveis de armadura, existe
proporcionalidade entre a área de armadura e o momento resistente da secção. À
medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relação deixa de ser linear, ou
seja, o aumento da armadura traduz-se em acréscimos menores de momento
resistente. Este comportamento deve-se à sucessiva diminuição do braço do binário
(z) com o aumento da área de armadura, até que a armadura deixa de poder estar em
cedência (caso 4) e, portanto, o aumento de armadura perde toda a eficiência.
M Rd
M4
M3
M2
M1
1
2
3
4
As
40
Estruturas de Betão I
4.5 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – GRANDEZAS ADIMENSIONAIS
4.5.1 MÉTODO GERAL
d2
c
s2
As2
x
c
Fs2
(-)
Fc
Fc = fcd b x
x
Fs2 = s2 As2
LN
M Fs1 = s1 As1
d
(+)
s1
As1
Fs1
b
 fcd =
 c dA

Ac
bx
; x =

 c y dA
 c dA

– coeficiente que define a relação da resultante das tensões de compressão no
betão pela força de uma compressão uniforme com fcd, em toda a zona comprimida.
 – coeficiente que define a posição da resultante das tensões de compressão no
betão, função de x.

Equações de Equilíbrio

Equilíbrio axial: Fc = Fsfcd bx + s2 As2 = s1 As1

Equilíbrio de momentos: MAs = M M =  fcd b x (d - x) + s2 As2 (d - d2) (2)
(1)
(Equações não lineares)

Cálculo por iterações
x
i) Fixar c = 3.5‰ e um valor de x (por exemplo, tal que, d = 0.5)
ii) Calcular as forças axiais F
 Se |Fc + Fs2| > Fs1 
c  3.5‰
(-)
x
a LN tem de subir para diminuir FC, tendo uma das
extensões, c ou s, o valor máximo e, a outra, um
valor igual ou inferior ao limite.
d
(+)
sud
É necessário diminuir o valor de x até que F = 0
41
Estruturas de Betão I
c  3.5‰
 Se |Fc + Fs2| < Fs1
(-)
x
(a LN tem de baixar para aumentar Fc)
(+)
s
É necessário aumentar o valor de x até que F = 0.
ii) Calcular MRd
Definida a posição da LN e o diagrama de extensão, calculam-se as tensões e o
valor de MRd
Nota: Este é um processo de cálculo moroso. Na prática recorre-se a programas de
cálculo automático ou a tabelas de cálculo.
Para elaborar tabelas é necessário trabalhar com grandezas adimensionais,
por forma a que sejam aplicáveis a secções com qualquer geometria.
4.5.1.1 Grandezas adimensionais

Equações de Equilíbrio
fcd

bx = s1 As1 - s2 As2
(1)

M
fcd b x (d - x) + s2 As2 (d - d2)
=
(2)
Substituindo (1) em (2),
M = s1 As1 (d - x) - s2 As2 (d - x) + s2 As2 (d - d2)
= s1 As1 (d - x) + s2 As2 (x - d2)
(3)
Considerando As2 =  As1 e s = fyd, a equação (3) toma a forma
x
x d2
M = As1fyd d 1 -  d  +  As1fyd d  d - d 




Transformando esta equação numa forma adimensional (dividindo todos os termos por
b d2fcd), resulta
M
As1 fyd 
x
As1 fyd  x
d2 
=
1-  + 


2
b d fcd
b d fcd 
d
b d fcd  d
d 




d2
 =  (1 – k) +  k - d 


42
Estruturas de Betão I
Definem-se, assim, os parâmetros , w e k, de uso corrente na concepção e
dimensionamento de estruturas de betão:
M
 = b d2 f
cd
(Momento flector reduzido);
As1 fyd
= bdf
cd
(Percentagem mecânica de armadura)
x
k= d
(Posição da L. Neutra adimensional)
4.5.2 MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR SIMPLIFICADO
4.5.2.1 Grandezas adimensionais
c
x
(-)

Fc
0.8x
0.4x
LN
d
z
MRd
(+)
As
s
Fs
b
MRd = Fs  z = Fs (d - 0.4x)
Admitindo que o aço está na cedência, MRd = As  fyd (d - 0.4x)
Transformando a equação anterior numa forma adimensional, resulta
MRd
As fyd 
x As fyd 
x
b d2 fcd = b d fcd 1 - 0.4 d = b d fcd 1 - 0.4 dRd =  (1 - 0.4k)
MRd
x
Rd = b d2 f (momento flector reduzido); k = d
cd
As
= bd
fyd
fcd
(percentagem mecânica de armadura)
Fc = Fs0.8  (kd)  bfcd=Asfydk = 1.47
As fyd
= 1.47 ( =0.85)085).85)
b d fcd
Visto que Rd =  (1 - 0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtém-se a seguinte
expressão para cálculo do momento flector reduzido em função da percentagem
mecânica de armadura:
Rd =  (1 - 0.588  )
43
Estruturas de Betão I
4.5.3 UTILIZAÇÃO DE TABELAS
As tabelas podem ser utilizadas para:
i) Determinar o momento resistente de uma secção, dadas as armaduras;
ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante
4.5.3.1 Determinação da capacidade resistente (Análise)
Tabelas
Dado As1 e As2 determina-se  e     MRd =  b d2fcd
()
4.5.3.2 Dimensionamento de armaduras
Dado Msd determina-se =
Msd Tabelas
fcd
 1  As1 = 1 bd
 As2 =  As1
2
b d fcd ()
fyd
Refira-se que as tabelas da disciplina foram desenvolvidas para  = 0.85
Notas:
(i) No dimensionamento de uma secção, a posição da L.N. deve ser controlada por
forma a que se tenha a garantia de um nível de ductilidade adequado.
Caso isso não aconteça, será conveniente dispor de armaduras de compressão
específicas ou modificar a secção da viga (aumentar a altura é mais eficiente que
adaptar a largura, no entanto, na prática do projecto, a altura está muitas vezes mais
condicionada).
(ii) Numa viga, existe, de qualquer forma, sempre armadura de compressão, por
razões construtivas, em geral, com um nível não inferior a  = 0.1.
Directamente através dos valores adimensionais do momento (), e não considerando
o papel da armadura de compressão, é possível ter, para uma dada secção, uma
noção do nível de esforço actuante e da potencial ductilidade.

Momento elevado  k próximo de 0.668 (A400)  s próximo de yd
 0.30 (secção pouco dúctil)

Momento médio  k < 0.5 (secção dúctil, dimensionamento adequado)
  0.10 a 0.25

Momento pequeno    0.10 (situação aceitável, a secção estará “folgada”)
IMPORTANTE: Estes valores devem ser tomados como referência para um
dimensionamento adequado e não como imposições regulamentares ou outras. Por
44
Estruturas de Betão I
exemplo, é possível ter valores de  mais elevados e ter-se, ainda, um nível de
ductilidade adequado, com utilização de armadura de compressão.
No quadro seguinte, e para a flexão simples, apresentam-se as relações de
dimensionamento  -  relativas à aplicação do REBAP ( = 0.85) e do EC2 ( = 1)
com relações constitutivas dos aços de acordo com as Classes A, B e C.

0,35
0,30
0,25
0,20
EC2 - k=1,00
EC2 - Classe A - k=1,05
EC2 - Classe B - k=1,08
EC2 - Classe C - k=1,15
EC2 - Classe C - k=1,35
REBAP
0,15
0,10
0,05
0,00
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45

Verifica-se que as diferenças nos valores resistentes são pouco significativas, sendo a
maior entre o REBAP (linha inferior) e o EC2, tomando a classe de aço C com k = 1.35
(linha superior).
As diferenças mais importantes são devidas à consideração do aumento da resistência
do aço para além da cedência (coeficiente k). Refira-se que na prática seria sempre
desajustado tomar para o aço C um valor superior a k = 1.15 pois, havendo a
possibilidade deste variar entre 1.15 e 1.35, ter-se-ia que tomar, sempre, o menor.
O facto de se adoptar para o betão o coeficiente  0,85 (em vez do 1), só tem
influência relevante para esforços elevados, pois aí começa a ter alguma influência a
diminuição do braço das forças, devido ao aumento da zona das compressões.
45
Estruturas de Betão I
4.6 ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE
Fc
d
z
M
Fs
As
Para momentos de ordem de grandeza pequena a média verifica-se que, para
secções rectangulares, é razoável admitir, de umas forma simplificada: z  0.9 d.
M
M = Fsz Asfyd 0.9 d  As = 0.9 d f
yd
De facto, pela observação das tabelas de flexão simples (pág. 9), com  = 0, verificase que:

para  = 0.15, z  (1 - 0.4 k) d = (1 - 0.4 x 0.247) d = 0.9 d

para < 0.15, z > 0.9 d, portanto a hipótese anterior é conservadora para o
dimensionamento da armadura.

para > 0.15, z < 0.9 d, então a hipótese referida, com pouca armadura de
compressão, pode ser menos conservadora. No entanto, mesmo para um valor
de  da ordem de 0.25 e para um  = 0.4tem-se também k = 0.247, e, por
conseguinte, z  0.9 d.
CONCLUSÃO IMPORTANTE:
Verifica-se, assim, que dentro da gama de valores de momentos, correntemente
recomendados e utilizados na prática, esta hipótese simplificativa permite uma rápida
e eficiente estimativa dos momentos flectores resistentes.
Para a resolução de problemas em geral e para a prática de projecto, formas simples
de avaliação e controlo de resultados são de inestimável valor.
46
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.)
ALÍNEA A.2)
Fs = As fyd 
M
 M  0.9 d fyd AsAs = 0.9 d f
yd

z  0.9d
+ = 660.2kNm  A =
Msd
s
660.2
 104 = 26.34cm2
0.9  0.8  348103
- = 272.0kNm  A =
Msd
s
272.0
 104 = 10.86cm2
0.9  0.8  348103
ALÍNEA A.3)

+
Secção S2 (Msd
= 660.2 kNm)
Msd
 = b d2 f =
cd
As = bd

=
660.2
= 0.206   = 0.241; k = 0.351
0.30.8216.7103
fcd
16.7
= 0.241  0.30  0.80 
 104 = 27.76 cm2
fyd
348
- = 272.0 kNm)
Secção S1 (Msd
272.0
= 0.085   = 0.091; k = 0.163
0.3  0.82 16.7103
fcd
16.7
As = bd f = 0.091  0.30  0.80  348  104 = 10.48cm2
yd
É importante comparar os resultados obtidos pelos dois métodos, e perceber,
como referido no texto, que se for limitado, é razoável assumir a metodologia
simplificada.
47
Estruturas de Betão I
4.7 PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE

Armadura de tracção
Fc
2Fc
M Rd
z
As
<z
2As
Fs
2Fs
O momento resistente é quase proporcional à área de armadura, para momentos não
muito elevados. Para momentos elevados, a variação é menos significativa.

Armadura de compressão
Fc
Fc
M Rd
z
As1
F s2
As2
F s1
z
F s1
As1
A influência da armadura de compressão no valor do momento resistente, apenas é
importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, a variação é
pouco significativa.
Largura da secção

Fc
Fc
z
As
Fs
z
M Rd
As
Fs
A influência da largura da secção no valor do momento resistente, apenas é
importante para esforços elevados. Para esforços habituais, em que geralmente a área
comprimida é limitada, a variação é pouco significativa.
48
Estruturas de Betão I

Classe do betão
Fc
Fc
As
z
M Rd
z
As
Fs
Fs
A influência do aumento da classe do betão tem uma influência equivalente à dos
parâmetros anteriores, largura da secção e/ou armadura de compressão, portanto só
se torna importante para esforços mais significativos, aliás de uma forma equivalente
ao facto de se considerar ou não o coeficiente  = 0.85.
4.8 DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES COM OUTRAS FORMAS
4.8.1 LARGURA EFECTIVA DE UMA SECÇÃO EM T
No dimensionamento de vigas com banzos ou com ligação a lajes, pode tirar-se
partido da existência dos banzos, principalmente se se situarem na zona comprimida
da secção.
hf
d0
b1
bw
b2
Neste caso, a distribuição de tensões no banzo não é uniforme: as zonas laterais
deformam-se menos que a zona central da alma (devido à deformação por corte) –
efeito de “shearlag”, tal como se pode observar na planta e corte ilustrados de
seguida.
Simplificadamente, considera-se uma largura efectiva (bef) onde se admite que a
distribuição de tensões é uniforme

Fc
49
Estruturas de Betão I
b ef
x,max
M
4.8.1.1 Avaliação da largura efectiva
(i) Banzo comprimido
bef
bef2
bef1
hf
b1
b1
bw
b2
b2
b
Para o caso genérico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtida
através da expressão:
bef = befi + bw b
Temos, assim, a largura da alma e um valor complementar de cada lado, tal que:
befi = 0.2 bi + 0.1 L0  0.2 L0, com befi  b
L0 representa a distância entre pontos de momento flector nulo e pode ser
avaliado por:
L1
L0  L1+0.15L2
L3
L2
0.7 L2
0.15(L2+L3)
0.85 L3
Evidentemente que, em termos práticos é possível simplificar esta avaliação, desde
que se estime um valor inferior, pois é conservativo e pouco significativo em termos do
resultado.
(ii) Banzo traccionado
No caso de se tratar de um banzo traccionado, é proposto tomar, para além da alma
da viga, uma largura função da espessura do banzo dada por 4hf (hf – espessura do
50
Estruturas de Betão I
banzo) em que as armaduras de tracção podem ser distribuídas. No entanto, se for
possível, em termos de pormenorização, uma solução com todas as armaduras de
cálculo na largura da alma é preferível. De qualquer maneira, deve se procurar sempre
ter pelo menos, 50 a 60 % da armadura de cálculo na alma.
4.8.2 DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM “T” POR TABELAS
Esta metodologia verifica-se ser, em geral, um pouco fastidiosa, pois exige a consulta
de várias tabelas e realização de interpolações, podendo em geral ser evitada, em
particular se se verificar que a Linha Neutra se encontra no banzo comprimido.
Exemplo com indicação do processo de interpolação:
b
hf
=
5
;
bw
d = 0.125
hf/d = 0.10 1
b
bw = 4

 a

hf/d = 0.15 2
hf/d = 0.10 3
b
bw = 6

 b

hf/d = 0.15 4






Casos particulares:
Dado que se considera que o betão não resiste à tracção, o dimensionamento de uma
secção em “T” pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma secção
rectangular nos seguintes casos:
(i) se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece na
generalidade dos casos) – secção rectangular de largura bef;
b ef
b ef
Fc
LN
Fc
LN
M
As
Fs
M
As
Fs
bw
51
Estruturas de Betão I
(ii) se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver traccionado – secção
rectangular de largura bw
b ef
Fs
Fs
As
As
M
LN
M
LN
Fc
bw
Fc
bw
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 – ALÍNEA A3 – CONSIDERANDO A SECÇÃO EM T
Dimensionamento das armaduras considerando a contribuição da laje à compressão
Viga em “T”
b ef
hf = 0.15 m
hf
h = 0.85m
h
bw = 0.30m
bw
bef = befi + bw = 1.22  2 + 0.30 = 2.74 m
3.7
bef1 = 0.2 b1 + 0.1 L0 = 0.2  2 + 0.1  0.85  10 = 1.22 m  1.7m
0.2 L0 = 0.2  0.85  10 = 1.7 m
Hipóteses para o dimensionamento da secção, para momentos positivos:
(i) Se a L.N. estiver no banzo da secção, o dimensionamento pode ser efectuado como
se a secção fosse rectangular, de largura bef.
(ii) Se a L.N. estiver na alma da secção, o dimensionamento deverá de ser efectuado
com base em tabelas de secção em “T” (ou recorrendo ao método do diagrama
rectangular simplificado).
Para verificar se a L.N. está no banzo,
MSd = 660.2kNm   =
660.2
= 0.023  k = 0.076
2.740.8216.7103
x = k  d = 0.076  0.8 = 0.06 m  0.15 m  a LN está claramente no banzo
52
Estruturas de Betão I
 = 0.023   = 0.024  As =  b d
fcd
16.7
= 0.024  2.74  0.8 
 104 = 24.77cm2
fyd
348
É importante comparar este resultado com o obtido anteriormente e verificar que neste
caso se obteve um valor inferior, em aproximadamente 10%, em relação ao da
consideração da viga rectangular. Isto deve-se ao facto de neste caso se poder dispor
de um braço maior. Note-se, que a hipótese de considerar a secção como rectangular, é
conservativa em termos de verificação da segurança.
4.8.3 SIMPLIFICAÇÃO DE SECÇÕES PARA EFEITOS DE DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO
SIMPLES
1) Secção real
b
b

bw
2bw
b'
b'
2) Secção real
bw
2bw

b
b
3) Secção real
bw
bw

b
b
53
Estruturas de Betão I
Secções a considerar no dimensionamento à flexão
1)
b
M
M
2bw

b'
b
b'
(se a LN estiver no banzo)
(se a LN estiver no banzo)
Nota: Se a LN estiver na alma da secção, o dimensionamento poderá ser efectuado
com base numa secção em T (considerando a existência do banzo que estiver
comprimido, e desprezando o banzo traccionado)
2) e 3)

bw
M
b
bw
(se a LN estiver na alma)
(se a LN estiver na alma)
M
b
(se a LN estiver no banzo)
(se a LN estiver no banzo)
54
Estruturas de Betão I
Exercício 4
Considere a estrutura da figura seguinte:
sc
cp
S2
3.50
S1
3.50
10.00
0.20
0.20
Materiais: C20/25, A400
Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m
1.00
sobrecarga = 40.0 kN/m
0.15
Coeficientes de majoração: G = Q = 1.5
1.00
a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão
da viga (secções S1 e S2)
b) Pormenorize as armaduras de flexão.
55
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4
ALÍNEA A)
1. Esforços de dimensionamento
p sd
3.50
10.00
3.50
551.3
DMF
[kNm]
551.3
(-)
(-)
(+)
573.8
psd = 1.5  (20 + 40) = 90 kN/m
MsdS1 = MsdS2
psd L12
90  3.52
== -551.3 kNm
2
2
psd L22
90  102
S1
=
- Msd =
- 551.3 = 573.8 kNm
8
8
2. Determinação das armaduras (E.L.U. flexão)

+ = 573.8 kNm)
Secção S2 (Msd
0.20
0.20
LN
LN
M sd
1.00

1.00
0.40
Msd
573.8
 = bd2 f =
= 0.120   = 0.131
0.40  0.952 13.3103
cd
fcd
13.3
As = bd f = 0.131  0.40  0.95  348.0  104 = 19.03 cm2
yd
56
Estruturas de Betão I

- = 551.3 kNm)
Secção S1 (Msd
Hipótese: a LN encontra-se no banzo da secção
M sd

LN
1.00
LN
1.00
=
1.00

Msd
551.3
=
= 0.046 k = 0.112
2
bd fcd
1.0  0.952  13.3  103
x
k = d  x = k d = 0.112  0.95 = 0.106  LN está no banzo
 = 0.046 w = 0.048
As = bd
fcd
13.3
= 0.048  1. 0  0.95 
 104 = 17.42cm2
fyd
348.0
5 Disposições Construtivas Gerais
As disposições das armaduras nas peças de betão armado são de extrema
importância quer para a boa resposta estrutural do betão estrutural, quer para
assegurar que durante a construção, em particular no processo de betonagem, se
assegura o posicionamento previsto para os ferros. Referimos agora, e na sequência
as bases relativas a estas disposições.
Poderemos, talvez, diferenciar entre armaduras principais e secundárias, mas é acima
de tudo preciso compreender que o importante é a eficiência final do conjunto.
Armaduras principais: Asseguram a resistência do elemento estrutural relativamente à
segurança à rotura (não só de flexão, como vimos anteriormente, mas também a
outros efeitos) e contribuem para assegurar um comportamento adequado nas
condições de serviço, como vamos ver noutro Capítulo do curso.
Armaduras secundárias: Têm como função ajudar a rigidificar as malhas de
armaduras, para a sua colocação em obra, assegurando o posicionamento correcto e
estável das armaduras durante a betonagem.
57
Estruturas de Betão I
est = 6 ou 8 mm (o diâmetro de 6 é muito pouco
utilizado em obras de média ou alta dimensão)
10 a 12 mm (para vigas mais importantes)
d
h
long = 12 a 16 mm (para vigas menos solicitadas)
= 20 a 25 mm (para vigas mais robustas)
c – recobrimento
c
s
b
Obtém-se como estimativa da altura útil:
Altura útil: d = h - c - est -
long
2
5.1 RECOBRIMENTO DAS ARMADURAS
O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funções:
(i) mecânica: Destina-se a garantir que há betão suficiente a envolver a armadura, e
assim garantir a sua aderência por forma a que se verifique uma eficiente transmissão
de forças entre o betão e o aço (c   ou eq)
(ii)
durabilidade:
protecção
contra
a
entrada
dos
agentes
agressivos
e
consequentemente dificultando que o processo de corrosão das armaduras se possa
verificar (recobrimento definido em função da agressividade do ambiente de exposição
e da compacidade do betão)
Estes aspectos são mencionados e analisados no capítulo referente à durabilidade do
betão armado.
5.2 DISTÂNCIA LIVRE ENTRE ARMADURAS (S)
A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a
betonagem em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e
as necessárias condições de aderência e protecção.
No caso de armaduras para betão armado, temos, em termos regulamentares os
seguintes valores:
smin = {maior, eq maior, (dg + 5 mm), 2 cm}
onde dg representa a máxima dimensão dos inertes.
58
Estruturas de Betão I
No entanto, se estes são valores mínimos, deve-se projectar, pretendendo
espaçamentos com folga em relação a estes.
A distância livre entre uma camada de armaduras longitudinais numa viga, igualmente
espaçadas, pode ser calculada pela expressão:
s=
b - 2c - 2est - n long
, n – número de varões
n-1
É necessário, na pormenorização garantir que a distância entre varões assegura o
espaço necessário para introdução do vibrador do betão (aconselhável: 4 a 5 cm
junto à face inferior e 7 a 10 cm junto à face superior). Nalguns casos, em particular na
face superior é normal que não se adoptem espaçamentos iguais entre ferros para
assegurar este objectivo.
Nas figuras seguintes apresentam-se dois exemplos de pormenorização de uma viga
que dá apoio na parte superior a uma laje, nas zonas mais solicitadas à tracção nas
faces inferiores (vão) e superiores (apoio).
5.3 AGRUPAMENTOS DE ARMADURAS
Os agrupamentos de armaduras devem ser evitados sempre que possível, dado que
prejudicam a aderência aço/betão. No entanto, se essa for a forma de garantir uma
malha muito apertada de ferros é, sem dúvida, uma solução justificável.
Regulamentarmente definem-se algumas restrições aos agrupamentos. Assim:
O agrupamento de varões com diâmetros diferentes pode ser adoptado desde que o
quociente dos diâmetros não exceda o valor 1.7.
Relativamente ao número máximo de varões que é possível agrupar, temos:
- Para o caso de armaduras verticais comprimidas ou numa zona de emenda de
varões, n  4
- Em todos os restantes casos, n  3
Em qualquer direcção não pode haver mais que 2 varões em contacto.
59
Estruturas de Betão I
O diâmetro equivalente de um agrupamento pode ser calculado pela expressão
eq =
2i  55mm
Exemplos:
(desaconselhável)
(aceitável)
(mais indicado)
Evidentemente que soluções que incluam varões isolados e outros agrupados são
possíveis, tentando sempre seguir as indicações gerais referidas, em especial, não
dificultar a betonagem e o bom envolvimento das armaduras pelo betão.
5.4 DOBRAGEM DE VARÕES
Em muitas situações as armaduras têm de ser dobradas, como as armaduras
longitudinais nas extremidades das vigas e, em geral, as armaduras transversais.
Condições a satisfazer:
- Não afectar a resistência do aço;
- Não provocar o esmagamento ou fendilhação do betão quando a armadura for
traccionada.
O diâmetro mínimo de dobragem para não afectar a resistência do aço depende, no
essencial, do diâmetro do varão e são indicados no quadro seguinte do EC2. Estes
valores são considerados mínimos havendo que ter precauções complementares no
que diz respeito ao risco de esmagamento e de fendilhação inconveniente do betão,
em particular se as dobragen se verificarem junto à superfície da peça, como indicado
com detalhe, por exemplo, no EC2.
Quadro – Diâmetro mínimo do mandril a fim de evitar danificar a armadura
Diâmetro mínimo do mandril para cotovelos,
Diâmetro do varão
ganchos e laços
 16 mm
4
> 16 mm
7
60
Estruturas de Betão I
5.5 POSICIONAMENTO DAS ARMADURAS
O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes
elementos:

Espaçadores – garantem o recobrimento das armaduras
c

Cavaletes – garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores nas
lajes
h

Varões construtivos (armaduras secundárias) – Colocados de tantos em tantos
metros (dependente da rigidez do ferro em causa) garantem o espaçamento
vertical dos varões longitudinais principais, durante a betonagem.
5.6 PRINCÍPIOS A TER EM ATENÇÃO NA PORMENORIZAÇÃO DAS ARMADURAS
A escolha do tipo de pormenorização no que respeita ao número de varões e
diâmetros a adoptar deve ter em atenção os seguintes factores, que apontam,
eventualmente para opções contraditórias:
-
custo da mão de obra  menor número de varões
-
facilidade de betonagem  menor número de varões
-
liberdade de dispensa  maior número de varões
-
mais eficiente limitação da fendilhação  maior número de varões
Na pormenorização das armaduras longitudinais das vigas só os três primeiros
aspectos são significativos, havendo que ganhar experiência e ter bom senso nas
escolhas, sendo certo que não há que procurar a solução óptima, mas sim uma BOA
SOLUÇÃO.
61
Estruturas de Betão I
5.7 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS – ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXÃO
5.7.1 QUANTIDADES MÍNIMA E MÁXIMA DE ARMADURA
A quantidade mínima de armadura a adoptar numa viga, neste caso definida no EC2,
é dada pela seguinte expressão:
fctm
As,min = 0.26 f bt d
yk
onde bt é definida, como sendo a largura média da zona traccionada em flexão.
Esta quantidade de armadura tem a ver com a necessidade de assegurar um mínimo
de robustez aos elementos de betão armado, em especial garantir, com uma certa
reserva, que, ao se dar a fendilhação, a quantidade de armadura é suficiente para
reter as tracções que se libertam do betão sem cedência do aço, garantindo um
comportamento dúctil.
Chama-se, desde já a atenção para que, numa viga em T, com banzo traccionado é
mais prático separar, por um lado, a alma, com a sua largura, bw, ou, se esta for
variável, com seu valor médio, para aplicar a expressão anterior e, por outro lado, os
banzos, como elementos traccionados, com uma armadura mínima, a distribuir nas
duas faces do banzo, tal que;
As  fsy k > Ac,banzo  fctm, ou seja As,min = Ac,banzo  fctm/fsyk
A questão da armadura mínima, como forma de controlar a fendilhação, em termos do
comportamento em serviço, para situações de efeitos de deformações impostas, será
retomado no Capítulo referente ao comportamento em serviço.
A quantidade máxima de armadura a adoptar, fora das secções de emenda, é dada
em termos regulamentares por:
As,máx = 0.04 Ac
onde Ac representa a área da secção de betão.
No entanto, em termos práticos, esta limitação tem pouca relevância, pois os
critérios de dimensionamento à rotura atrás apresentados, com limitação dos valores
de momento reduzido e posição da linha neutra (garantia de ductilidade) conduzem a
quantidades de armadura bastante inferiores.
5.7.2 ARMADURA LONGITUDINAL SUPERIOR NOS APOIOS DE EXTREMIDADE
Sempre que existir ligação monolítica entre uma viga e um pilar de extremidade, e
caso esta ligação não tenha sido considerada no modelo de cálculo, deverá adoptar-
62
Estruturas de Betão I
se uma armadura superior dimensionada, pelo menos, para um momento flector igual
a 15% do momento flector máximo no vão.
Deste modo,
–
+
As,apoio = máx {As,min, 0.15 As,vão}
63
Estruturas de Betão I
6 Introdução ao Comportamento Não Linear de Estruturas de Betão
Como referido e ilustrado no Capítulo 1, o comportamento do betão armado é não
linear desde o início da fendilhação, que se verifica para níveis de carga relativamente
reduzidos. Verificou-se que o betão estrutural tem um comportamento dividido, no
essencial, em 3 fases, antes da fendilhação, no processo de fendilhação antes da
cedência do aço e daí até à rotura. Da hipótese de admitir, em estruturas hiperstáticas,
o comportamento linear dos materiais na avaliação da distribuição de esforços
resulta, desde logo, uma “aproximação”, para o nível de acções de serviço, e, por
maioria de razão, próximo da rotura.
Para analisar os efeitos da acção de cargas, o fundamental no desenvolvimento do
projecto de estruturas é tomar uma solução de distribuição de esforços equilibrada (o
que, naturalmente, é respeitado pela solução elástica). Assim, pode ter-se como
referência a solução de distribuição elástica, mas podemos tomar uma outra, dentro de
limites bastante folgados, como se verá (mantendo sempre o equilíbrio). De facto,
na fase próxima do esgotamento da capacidade resistente, a distribuição de esforços
depende é da distribuição das resistências, ou seja, no caso do betão armado, da
distribuição das armaduras adoptadas no projecto. A distribuição de esforços adaptase às resistências disponíveis, desde que haja ductilidade disponível nas zonas mais
esforçadas, ou, o que é equivalente, essas zonas tenham capacidade de deformação
plástica. E o betão armado é dimensionado, como se analisou no capítulo 3, para isso
mesmo.
Por outro lado, mesmo em condições de serviço, é natural haver, devido às perdas de
rigidez por fendilhação, variações dos valores de momentos, por exemplo numa viga
contínua, entre o vão e apoio, de mais ou menos 10%, tomando-se, no entanto, por
simplicidade, em projecto, a distribuição elástica.
Para os efeitos de deformações impostas, por exemplo, variações de temperatura ou
assentamentos diferenciais de apoios, a perda de rigidez associada à não linearidade
do comportamento (fendilhação e fluência para efeitos demorados no tempo) faz
diminuir claramente os esforços em relação aos “elásticos”, mesmo em condições de
serviço. Próximo da rotura, e se houver ductilidade disponível, o que será o caso se os
elementos forem bem dimensionados, os esforços podem quase se anular.
No que se segue analisa-se, para o caso de cargas verticais, como e quando se
pode ter em conta o comportamento não linear do betão estrutural, na definição da
distribuição de esforços para o dimensionamento à rotura.
64
Estruturas de Betão I
6.1 ANÁLISE ELÁSTICA SEGUIDA DE REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS
Como acima referido, a partir da distribuição elástica é possível, e por vezes mesmo
aconselhável, tomar para o dimensionamento da estrutura uma outra, respeitando, na
mesma, o equilíbrio.
Na figura seguinte esquematiza-se este possível procedimento, que permite “passar”,
para uma dada combinação de acções, parte dos esforços do apoio para o vão,
respeitando sempre o equilíbrio. Resulta, neste caso, uma menor necessidade de
armaduras sobre o apoio e um aumento no vão. Esta opção pode ser muito útil na
região do apoio, pois:
 Pode melhorar as condições de ductilidade.
 Pode facilitar a pormenorização de armaduras.
p
Li+1
Li
MEL
MELR =  MEL
DMF
M = MEL - MEL = MEL(1 - autoequilibrado
Refira-se que, apesar de ser em geral menos interesante, é também possível
considerar a redistribuição de esforços em sentido contrario, do vão para o apoio.
Em termos regulamentares são referidas, em geral, algunas limitações, tais como:
Para 0.5  l
li
i+1
2
xu
  0.44 + k2 d
para fck  50 MPa
k2 = 1.25
 0.7 para os aços das classes B e C, correspondentes aos aços NR e NR
SD utilizados em Portugal.
Verifica-se, assim, como ilustrado na figura seguinte, que esta possibilidade depende
da posição da Linha Neutra na rotura, que, com vimos no Capítulo 3, é o parâmetro
indirecto principal de medida da ductilidade, ou da capacidade de deformação plástica
disponível.
65
Estruturas de Betão I

1.0
0.208
0.448
xu/d
Na figura abaixo ilustra-se, para uma viga contínua, como a redistribuição de esforços
é implementada, sendo equivalente a somar um diagrama de esforços autoequilibrado.
MEL
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
+
(+)
M
=
(-)
(+)
MELR
(-)
(+)
(+)
Refira-se que para uma viga bi-encastrada, a aplicação de uma redistribuição de  =
0.75 corresponde a passar os momentos no apoio e vão de, respectivamente, (pl2/12)
e (pl2/24) (metade do anterior), para valores iguais no vão e apoio de (pl2/16) !! O aluno
deve analisar esta afirmação, de uma forma simples, verificando, por exemplo, que,
em ambos os casos a soma, em módulo, dos esforços no apoio e vão é igual a (pl2/8).
Isto mostra o relativamente largo espectro de possibilidades que são possíveis, para a
distribuição dos momentos de dimensionamento, e consequentemente de armaduras
no betão armado. Dito isto, é importante mencionar que esta possibilidade não sendo,
evidentemente, obrigatória, constitui uma opção de projecto, com eventuais vantagens
como anteriormente salientado.
A justificação desta possibilidade, pode ser compreendida, de uma forma
simplificada, se se tomar a distribuição elástica e se considerar uma rótula na secção
a partir da qual se quer redistribuir os esforços. Então, aplicando aí o valor do
momento a redistribuir, obtém-se o valor da rotação plástica necessária, rqd (ver a
figura abaixo).
66
Estruturas de Betão I
rqd =
2 M
3EI
l
Assim, esta rotação tem de ser inferior à capacidade de rotação plástica da zona,
neste caso sobre o apoio, por sua vez dependente, como salientado, principalmente
da posição da Linha Neutra na rotura:
rqd < adm
O valor da capacidade de rotação plástica adm não é facilmente quantificável. Na
figura do EC2 abaixo representada, são indicados esses valores em função de xu/d, e
das características do aço e betão. Estes valores são em geral conservativos, sendo
resultantes das campanhas experimentais realizados ao longo das últimas décadas e
de análises numéricas com modelos não lineares.
67
Estruturas de Betão I
pl,d (mrad)
35
30
C 50/60
25
20
C 90/105
Classe C
15
Classe B
10
C 50/60
5
C 90/105
0
0
0,05
0,10 0,15
0,20 0,25
0,30 0,35
0,40 0,45
(xu/d)
Os valores de redistribuição possível (coeficiente  atrás indicado) estão
calibrados de forma a respeitar estes procedimentos de verificação da
capacidade de rotação disponível, pelo que podem ser implementados sem este
tipo de avaliação directa.
6.2 APLICAÇÃO DIRECTA DO CÁLCULO PLÁSTICO (TEOREMA ESTÁTICO)
A regulamentação de estruturas de betão permite igualmente a utilização directa do
teorema estático da teoria da Plasticidade, que assegura que:
i)
considerando uma distribuição de esforços em equilíbrio com as cargas de
dimensionamento;
ii) e que, em nenhuma zona, a capacidade resistente seja ultrapassada, a carga
de rotura é superior à considerada.
Evidentemente que este teorema é extremamente eficiente e útil, mas deve ser
usado com alguma precaução nas estruturas de betão, uma vez que:
a. como anteriormente analisado, a ductilidade das secções de betão armado é
limitada;
b. como se discutirá posteriormente, para afastamentos muito importantes em
relação à solução elástica, é importante verificar o impacto deste procedimento
sobre o comportamento em serviço, em particular no controlo da abertura de
fendas.
No entanto, dentro da gama de variações de momentos analisada, havendo o cuidado
de assegurar no dimensionamento uma boa ductilidade, como vimos neste Capítulo 6,
os princípios baseados na Teoria da Plasticidade podem ser considerados.
68
Estruturas de Betão I
6.3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO PRÁTICA DA NÃO LINEARIDADE NA VERIFICAÇÃO DA
SEGURANÇA DAS ESTRUTURAS
A alternância de sobrecargas deve ser considerada na verificação da segurança,
sempre que exista a possibilidade desse tipo de carregamentos. A consideração da
alternância de sobrecargas implica aumento dos esforços máximos nas zonas do vão
e apoio e, consequentemente, nas quantidades máximas de armaduras.
No entanto, no caso de estruturas hiperstáticas, a consideração de comportamento
elástico na estrutura para cada combinação de acções é claramente uma hipótese
bastante conservativa. Como ilustrado na figura seguinte, no segundo caso de carga o
momento elástico do vão mais carregado é maior e o do apoio menor, quando
comparados com o primeiro (HC1). No entanto, como indicado na figura, se para o
segundo caso de carga se aplicar uma redistribuição do vão para o apoio, obtém-se
uma envolvente de esforços em que os esforços máximos no vão mais carregado e
apoio são coincidentes com os do 1º caso de carga. Assim considerando a
redistribuição de esforços, neste caso para uma das combinações de acções, verificase que a alternância das sobrecargas afecta a envolvente de esforços ao longo do
vão, mas não os valores máximos no vão e apoio, valores estes que condicionam as
quantidades máximas de armaduras a adoptar.
2) Hipótese de carga 2 (HC2)
1) Hipótese de carga 1 (HC1)
sc
sc
cp
cp
pl 2 /8
DMEL
pl 2 /8
L
L
L
L
DMEL
HC1
HC2
HC2
PL
M
EL
M
DMELR
HC1, HC2
HC1
HC2
pl 2 /8
De referir dois aspectos em relação a este exemplo:

Se se considerasse um 3º caso de carga, carregando só o 2º vão com a
sobrecarga, o procedimento seria equivalente obtendo-se uma envolvente
simétrica.
69
Estruturas de Betão I

Haveria, neste exemplo, a possibilidade de, em alternativa à redistribuição
adoptada no 2º caso de carga do vão para o apoio, redistribuir os momentos de
cada um dos casos de carga, fixando, por exemplo, um valor intermédio. Neste
caso diminuía-se o nível de redistribuição para cada um dos casos de carga e
obtinha-se uma solução de dimensionamento, talvez mais razoável.
A conclusão seria, sempre, que a consideração da alternância afectaria a
envolvente de esforços (nas zonas intermédias das vigas) mas não os valores
máximos no apoio e no vão, para além do necessário para garantir o equilíbrio
para cada combinação de acções.
Esta conclusão é muito importante e é a justificação pela qual, em muitas situações
práticas de projecto, em que se modela com base no comportamento elástico, se
dispensa a consideração explícita da alternância das sobrecargas. Esta conclusão é,
em muitos casos, aplicada directamente quando o nível das sobrecargas é pouco
importante face ao das cargas permanentes. No entanto, mesmo se este não for o
caso, a possibilidade de redistribuição de esforços nas estruturas de betão permite
sempre encontrar uma envolvente com menores valores máximos de esforços no vão
e apoio e que garantem, na mesma, o equilíbrio das cargas, para cada combinação de
carga. Se não se tirar partido desta possibilidade está a se assumir uma opção
conservativa.
Refira-se, por último, que, para cargas verticais, a distribuição de esforços para
verificação da segurança aos Estados Limites de Utilização deve ser a distribuição
elástica. Nestas condições, há que verificar se o nível de tensões nas armaduras em
serviço é aceitável, na zona onde foi aplicada a redistribuição no dimensionamento à
rotura, em termos do controlo da fendilhação, como atrás mencionado e se discute
com mais detalhe no Capítulo correspondente.
Para a determinação da carga última de uma estrutura existente os princípios da
Teoria da Plasticidade são particularmente úteis. Nesses casos, as capacidades
resistentes e as características de ductilidade são avaliadas com base na
caracterização possível dos materiais e quantidades de armadura presentes. A partir
destes valores pode ser estimada a máxima carga que pode ser suportada pela viga,
como esquematizado na figura seguinte.
70
Estruturas de Betão I
pRd = ?
L
L
MRd
DMF
(-)
(+)
+
MRd
2
pRd L /8
Para a avaliação da capacidade última admite-se que, na rotura, é mobilizada, em
cada tramo, a capacidade resistente máxima das secções de vão e apoio. Então, por
simples equilíbrio, pode determinar-se a carga última, tal que:
l2 MRd
+
PRd 8  2 + MRd
Rigorosamente (porque o momento máximo não ocorre a
meio vão) pRd seria obtido das equações:
l MRd
x = 2 - pl
+ -M- x
MRd
Rd l
PRd =
Lx x2
2 - 2
Será, evidentemente, necessário verificar se, a redistribuição em relação à solução
elástica, é razoável para a ductilidade disponível na estrutura existente.
Apresenta-se, para terminar, um problema semelhante para duas cargas concentradas
aplicadas nos meios vãos das vigas.
PRd
L/2
PRd
L/2
L
L
MRd
DMF
(-)
(+)
+
MRd
+
MRd
71
Estruturas de Betão I
Neste caso a carga P resistente de dimensionamento, PRd, seria obtida a partir da
expressão:
l MRd
+
PRd  4 = 2 + MRd
72
Estruturas de Betão I
7 ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO
Apresenta-se, seguidamente, as principais características do comportamento de vigas
de betão armado quando submetidas, ao esforço transverso, à torção em zonas
correntes, introduzindo-se igualmente as zonas “D” (de Descontinuidade) associadas.
Mostra-se, neste capítulo, como se desenvolve o processo de fendilhação e explica-se
o encaminhamento das cargas ao longo das vigas, em situações próximas à rotura. O
modelo base adoptado para o dimensionamento ao Estado Limite Último é
apresentado e são derivadas as expressões que constituem as verificações de
segurança correspondentes. Os aspectos referentes à pormenorização das vigas, que
derivam desta formulação geral e outros, como os da suspensão de cargas, zonas de
ligação banzo-alma, cargas próximas dos apoios, são igualmente apresentados neste
capítulo.
Tratando-se estas notas de um elemento de estudo também utilizado na exposição
das aulas do curso, com o objectivo de melhorar a sua apresentação, várias das
figuras incluídas ao longo do texto são, em particular, directamente reproduzidas dos
documentos (ver Referências):
Muttoni, A., Schwartz, J., Thürlimann, B. 1998 : “Design of Concrete Structures With Stress
Fields”, Birkhäuser, Basel.
fib, 1999 : “FIP/fib Recommendations for Practical Design of Structural Concrete”, SETO,
London.
7.1
COMPORTAMENTO ELÁSTICO E MODELO DE COMPORTAMENTO NA ROTURA AO
ESFORÇO TRANSVERSO
Numa viga simplesmente apoiada submetida a duas cargas concentradas, com
comportamento elástico, definem-se trajectórias principais de tensão, de tracção e
compressão, como indicado na figura seguinte.



+
A
trajectórias das compressões principais
trajectórias das tracções principais
73
Estruturas de Betão I
Elemento A
t
c
Quando t = fct, inicia-se a fendilhação por esforço transverso
Se, na zona de corte junto aos apoios, se tomar um elemento A, verifica-se que o
Estado de tensão é o que está representado, com as direcções principais de tensão
inclinadas. É natural que, ao se atingir, na direcção das tracções principais, o valor da
resistência do betão, fct, surjam fendas inclinadas em relação ao eixo. A fendilhação
que se desenvolve terá um andamento aproximado ao desenhado no esquema
seguinte com as fendas a se formarem, no essencial, perpendicularmente às
direcções de tracção, quer na zona de flexão pura quer na de flexão/corte.
Flexão +
Flexão
Esforço transverso
Flexão +
Esforço transverso
Com o aumento da carga, a fendilhação desenvolve-se, prolongando-se as fendas até
próximo da zona comprimida. Verifica-se que as fendas “cortam” a possibilidade de
encaminhamento das tracções inclinadas de acordo com o comportamento elástico.
Nestas condições, se forem dispostos, na zona de corte, armaduras transversais
verticais (estribos) as tracções são re-encaminhadas nessa direcção. Podemos
então compreender, neste caso, a transmissão de tensões ou forças na viga, entre a
carga aplicada e a reacção de apoio, como representado no esquema seguinte.
Verifica-se que se formam dois campos de tensões de compressão, em forma de
leque, ligados por campos de tensões de tracção verticais, correspondentes aos
estribos colocados entre as carga e a reacção de apoio. A carga aplicada transmite-se,
assim, à parte inferior da viga, sendo posteriormente transferida à parte superior por
tracções nos estribos e, finalmente, é encaminhada para o apoio por compressões
inclinadas que se concentram na largura do apoio.
74
Estruturas de Betão I
d
É de referir que este tipo de mecanismo de transmissão de carga em elementos de
betão armado submetidos à flexão com esforço transverso havia sido compreendido,
por Ritter e Morsch, desde os primeiros ensaios experimentais com o betão armado,
como identificado nas imagens abaixo reproduzidas, datadas do final e princípio dos
séculos XIX e XX, respectivamente.
Ritter (1899)
Mörsch (1909, 1922)
Na figura que se segue, também dessa época, mostram-se modelos curiosos de
avaliação da distribuição das forças no betão e armaduras (nessa altura lisas e
portanto sempre terminadas em gancho), numa zona fendilhada de betão armado
junto a um apoio. Refira-se que, neste caso, as armaduras transversais não eram
75
Estruturas de Betão I
estribos mas sim parte da armadura longitudinal que era dobrada a 45º, quando
deixava de ser necessária para a flexão. Até aos anos 60/70, era corrente repartir as
necessidades de armadura para o esforço transverso entre estribos e armaduras
longitudinais dobradas.
Mörsch (1922)
Se admitirmos, como representado na figura seguinte (a) que a inclinação das
compressões se mantém constante (), podemos interpretar e compreender o
esquema de transmissão das cargas ao longo da viga, com a representação dos
campos de tensões. Notem-se os campos de compressão em leque, atrás referidos,
junto ás reacções dos apoios, e os campos de tensão paralelos, com inclinação , na
zona corrente da viga. Saliente-se que os campos de compressões incluem uma zona
de betão com várias fendas e os de tracção um conjunto de estribos, o que se pode
compreender ao analisar em conjunto os dois esquemas (a) e (b).

a)

b)
76
Estruturas de Betão I
Este modelo contínuo de transmissão de tensões poderá também representar-se por
um modelo discreto, constituído pelas resultantes dos campos de tensões,
assim equivalente a uma treliça, onde as armaduras transversais e longitudinais
funcionam como tirantes e o betão comprimido entre fendas inclinadas como escora
ou biela, com resultante igual ao campo de compressões que representa (ver figura
seguinte). Neste modelo, também as acções aplicadas nos nós correspondem à
resultante das cargas distribuídas na zona de influência respectiva.
z

z cotg 
z cotg 
z cotg 
bielas comprimidas (resultante da zona de compressões correspondente)
tirantes (resultante das forças de tracção nos estribos no comprimento
z cotg)
Assim, neste modelo de treliça, cada barra vertical e inclinada representa,
respectivamente, a resultante de um campo de tensões de tracções e compressões,
numa largura de z cotg  (ver figura seguinte). Por outro lado, refira-se que as barras
longitudinais, inferior e superior, representam, no essencial, os “banzos” traccionados
e comprimidos por flexão.
(1) Campo de tracções verticais
(2) Campo de compressões inclinadas
z cotg 
z cotg 
estribos verticais (ou inclinados)
bielas inclinadas
(1) Campo de tracções e compressões paralelas ao eixo
compressão
tracção
77
Estruturas de Betão I
Com base nesta modelação ver-se à que é possível relacionar os esforços (M e V)
com as tensões nos diferentes elementos, ou seja, nas armaduras transversais,
armaduras longitudinais e bielas comprimidas (inclinadas ou longitudinais). Antes
porém convém chamar a atenção que este modelo, com origem, como se viu, nos
primórdios do betão armado, sendo estaticamente válido e representando as
características principais do comportamento, só corresponde a uma aproximação da
modelação da resposta do betão armado. Ao longo das últimas dezenas de anos têm
sido propostas diferentes adaptações ao modelo base de Ritter/Morsch. A figura
seguinte, sintetiza os resultados de inúmeros ensaios experimentais de medição das
capacidades resistentes ao esforço transverso, obtidos em diferentes laboratórios.
Indica-se a relação experimental entre o valor de esforço transverso último
(apresentado numa forma adimensional, v =
Vu
) e a quantidade de estribos
b z fc
(representada nas ordenadas pela percentagem mecânica, w =
Asw fy
. ).
s b fc
Estes parâmetros adimensionais são, para o caso do esforço transverso, equiparáveis
aos correspondentes à flexão e, como se verá adiante, o nível de esforço transverso
máximo de dimensionamento, para uma dada geometria e betão, corresponde
aproximadamente a vRd = 0.30.
78
Estruturas de Betão I
Compreende-se então que, não sendo um problema simples, ao longo destes anos
tenham sido propostos diferentes modelos para uma mais fiável avaliação. No
entanto, um bom modelo, para aplicação prática, deve ser sempre simples e de fácil
compreensão física.
Uma das questões relevantes que se coloca é a influência que o corte entre os
agregados ao longo das fendas inclinadas tem na influência na inclinação das
compressões na alma da viga, que não são as mesmas das fendas principais, como
se realça seguidamente. O escorregamento (com atrito) entre o betão nas faces das
fendas gera tensões de corte e compressão, que induzem no betão entre fendas um
estado de tensão que, sobreposto ao da “treliça pura”, reduz a inclinação das
compressões principais na alma, verificando-se assim não existir coincidência entre as
inclinações das fendas e das compressões principais.
79
Estruturas de Betão I
ATRITO ENTRE AGREGADOS (Décadas de 80 / 90)
A INCLINAÇÃO DO CAMPO DE COMPRESSÕES () É INFERIOR À DA “FENDA” ( r)
O modelo proposto presentemente no EC2 permite ao projectista a escolha do
ângulo  de inclinação das compressões, desde que cotg  se situe entre 1 ( =
45) e 2.5 ( = 22). Uma vez tomada a opção, em todo o processo de
dimensionamento, que se apresenta seguidamente, há que ser consistente com essa
escolha. Esta liberdade baseia-se no método estático da Teoria da Plasticidade,
segundo o qual, se se adoptar uma solução equilibrada em que a resistência não seja
ultrapassada em nenhum elemento a capacidade resistente da peça é superior ou
igual à considerada. A limitação imposta tem a ver com a maior ou menor capacidade
de adaptação da distribuição de tensões ás resistências disponíveis. Na disciplina
propõe-se que se adopte, em geral, um valor intermédio, por exemplo 30º. Por outro
lado, sugere-se a consideração de valores superiores para níveis elevados de esforço
transverso e/ou em caso da presença de um esforço axial de tracção, e inferiores nas
hipótese contrárias (níveis mais reduzidos de esforço transverso ou existência de
esforço axial de compressão).
80
Estruturas de Betão I
7.2
POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA E VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA CORRESPONDENTES
Com base no modelo de campos de tensões, com um ângulo de inclinação das
compressões constante, ou do seu modelo simplificado de treliça, vamos analisar,
seguidamente, os possíveis modos de rotura e avaliar as capacidades resistentes
correspondentes.
Nas figuras seguintes ilustra-se:
(i)
A rotura do campo de tracções vertical, ou seja dos estribos.
(ii)
A rotura por esgotamento da resistência das compressões do campo
comprimido de tensões.
(i)
Rotura dos estribos
(ii) Rotura por esmagamento do betão (nas
bielas comprimidas)
Há ainda que considerar, como veremos à frente em 7.3.1:
(ii)
Rotura por arrancamento da armadura inferior do apoio (amarração
insuficiente) ou rotura da armadura (armadura insuficiente)
O esquema seguinte mostra as zonas onde se pode verificar a rotura, ou seja, as
tracções nas armaduras transversais, as tensões principais de compressão no
betão (é interessante notar também o pormenor do desvio das tensões do banzo
superior para as biela inclinadas da alma) e, ainda, da força necessária na armadura
longitudinal inferior no apoio de extremidade.
81
Estruturas de Betão I
A rotura pelos estribos ocorrerá se a força resultante da capacidade resistente à
tracção do conjunto dos estribos, colocados no comprimento z cotg  fôr insuficiente
para transmitir a carga do banzo inferior ao superior.
- ensaios, Kaufmann, W., Marti, P. 1996 : “Versuche an Stahlbetontragern unter Normal- und Querkraft”,
Swiss Federal Institute of Technology Zurich, Zurich.
Ora, a força a que este conjunto de estribos está sujeita é igual ao esforço transverso
da viga, avaliado a uma certa distância do apoio, Vsd (x), como indicado nos esquemas
seguintes, para um apoio de extremidade e outro de continuidade.
82
Estruturas de Betão I
cargas que se transmitem
directamente para o apoio
cargas que se transmitem
directamente para o apoio
z

b

z cotg 
DEVsd
z cotg 
b
Vsd(x)
x
x
Vsd(x)
zona do diagrama de esforço transverso que interessa
para efeitos de dimensionamento da armadura transversal
Assim, e como claramente apresentado no esquema seguinte, a força de tracção, Fs,
necessária para evitar a rotura pela “fenda” diagonal, é igual ao esforço transverso
avaliado à distância x do apoio. Então, a quantidade de armadura necessária vezes a
tensão de dimensionamento do aço, fyd, terá de ser superior àquela força. Se
dividirmos a área desses estribos pelo comprimento z cotg , obtém-se a quantidade
de armadura, Asw, por cada alinhamento de estribos com afastamento s, dada por
Asw/s.
Vsd (x)
Fs Vsd  Asw fyd Vsd (x) 
Asw
Vsd (x)
Asw
Vsd (x)
 s fyd


s
z cotg  fyd
z cotg 
Asw
b
z cotg 
b
x = 2 + z cotg ; z  0.9d
Asw
s - área de aço por unidade de comprimento (armadura distribuída por m).
Vsd (x)
- força vertical por unidade de comprimento.
z cotg 
Assim, definido o valor de , passa a se poder estabelecer uma relação directa entre o
esforço transverso resistente e a quantidade de armadura transversal, como proposto
no Eurocódigo 2.
83
Estruturas de Betão I
EUROCÓDIGO 2:
O valor do esforço transverso resistente, condicionado pelas armaduras transversais é
dado pela expressão (1) tal que:
VRd,s =
Asw
Asw
Vsd
s z fywd cotg  s  z cotg  fywd
(1)
onde fywd representa o valor de cálculo da tensão de cedência da armadura de esforço
transverso.
Por outro lado, a capacidade resistente deste sistema de transmissão de forças pode,
também, ser condicionada pela capacidade resistente do betão à compressão na
zona da alma, ou seja, no campo de tensões com a inclinação, . A avaliação do nível
da tensão de compressão no campo paralelo de tensões pode ser deduzido como se
segue, a partir da força Fc, cuja componente vertical é igual a Vsd.
- ensaios, Kaufmann, W., Marti, P. 1996 : “Versuche an Stahlbetontragern unter Normal- und Querkraft”,
Swiss Federal Institute of Technology Zurich, Zurich.
Fc
Fc
Vsd

a
Fs

sen  =
b
sen  =
c =
z cotg 
Vsd
Vsd
 Fc =
Fc
sen 
Fc
c = b a
w
a
 a = (z cotg )  sen  = z cos  = z cos 
z cotg 
Vsd (x)
Vsd
 c =
0.9d bw sen  cos 
sen  bw z cos 
Refira-se que, como também ilustra a fotografia anterior, devido ao estado de tensão e
deformação mais favorável que ocorre na região do apoio, a eventual rotura do betão
84
Estruturas de Betão I
à compressão não se verifica no campo de tensões “em leque”, mas sim no campo
paralelo adjacente, como indicado no esquema seguinte.

Rotura
z cotg 
R
É assim oportuno relembrar, sumariamente, a influência dos estados multi-axiais de
tensão sobre o comportamento de regiões comprimidas de betão.
O estabelecimento da classe de resistência de um betão é efectuado a partir dos
resultados de ensaios à compressão uniaxial. No entanto, como se ilustra na figura
seguinte, em situações em que ocorra compressão transversal, por efeito de
confinamento ou cintagem, verifica-se um aumento da resistência à compressão, e,
sobretudo da ductilidade da região confinada.
Por outro lado, se existir tracção na direcção transversal às compressões, com
fendilhação como indicado no esquema seguinte, situação que ocorre nas almas das
vigas com fendilhação inclinada, verifica-se uma redução da capacidade resistente à
compressão. É este outro efeito que está representado no elemento de betão armado
abaixo indicado e nas relações tensão/extensão do betão, no caso de existir ou não, a
referida tracção transversal, com fendilhação associada. Esta redução da resistência à
compressão depende essencialmente do valor da extensão transversal, principalmente
relacionada com a abertura das fendas diagonais.
85
Estruturas de Betão I
De forma simplificada, estes efeitos são considerados na EN1992 através da
verificação:
fck
c  0.6 1 - 250  fcd


Assim, definido o modelo de calculo e o ângulo , passa a se poder estabelecer uma
relação directa entre o esforço transverso resistente e a compressão máxima
admissível na alma, como proposto no Eurocódigo 2.
EUROCÓDIGO 2
O valor do esforço transverso resistente, condicionado pela resistência do betão na
alma, é dado pela expressão (2) tal que:
VRd,max = cw bw z 1
fcd
cotg  + tg 
(2)
fck
onde cw = 1 para estruturas sem pré-esforço e 1 = 0.6 1 - 250 


Então, esta expressão pode ser escrita na forma:
VRd,max = bw z 0.6 1 -


fck 
fcd
VRd,max (cotg  + tg )
fck 

= 0.6 1 f
250 cotg  + tg 
z bw
 250 cd
VRd,max
fck
= 0.6 1 - 250fcd, equivalente às deduções acima descritas.
z bw sen  cos 


Refira-se que o máximo valor de Vrd se verifica para o caso do ângulo  ser de 45º, e
que neste caso o valor reduzido de esforço transverso, já atrás referido, é dado por
Vrd
vrd = b df e toma no máximo um valor de 0.3.
w cd
86
Estruturas de Betão I
Este pode então ser considerado como o maior valor de esforço transverso reduzido
que pode ser
resistido para uma
dada secção e resistência de betão,
independentemente da quantidade de armadura.
Finalmente, nas zonas dos apoios, haverá que verificar a adequabilidade das suas
dimensões, para o que, de forma simplificada, também a EN1992 indica os seguintes
valores limites de tensões resistentes, respectivamente para os casos de apoios sem e
com continuidade:
c ≤ 0.85 (1-fck/250) fcd
c ≤ 1.0 (1-fck/250) fcd
7.3 Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão
Numa zona intermédia da viga, se consideramos a actuar os esforços M e V, a
resultante das tensões axiais têm naturalmente de ser nula, pois não há esforço axial.
Deste modo, para equilibrar a componente horizontal da força inclinada na biela, Fc, e
acima avaliada, têm de se verificar, tracções na direcção longitudinal, nos “banzos”
superior e inferior da viga. Estas provocam, assim, uma variação nas compressões e
tracções devidas ao momento flector, M. Este efeito pode ser compreendido pelo
esquema abaixo indicado.
V cotg 
2
Vsd

Fc
Fc

V cotg 
2
FV
= Fc cos  =
T
Vsd

FT
V
cos  = V cotg 
sen 
A componente horizontal das compressões inclinadas no betão impõe, por equilíbrio
axial, a necessidade de uma força de tracção,FV
, que se distribui igualmente pelos
T
87
Estruturas de Betão I
banzos comprimido e traccionado, por forma a não alterar o momento aplicado à
secção.
Considerando a sobreposição dos efeitos de flexão e esforço transverso, verifica-se
então, como abaixo esquematizado, que haverá no banzo traccionado um incremento
de tracção e no comprimido um alívio das compressões. Refira-se que na zona de
momento nulo de uma viga, com esforço transverso diferente de zero, geram-se
tracções superiores e inferiores.
FM
FV
M
FM
+
V
FM
=
FV
V
FV
M
FM
FV
M
V
FM = z ; FV = 2 cotg 
Este efeito deve ser considerado na pormenorização das armaduras, como se verá na
análise da dispensa longitudinal das armaduras de flexão.
7.3.1 Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de
extremidade
Analisemos, agora, o sistema de transmissão de forças junto ao apoio simples,
referindo-nos às figuras seguintes, com representação dos campos de tensões ou só
das suas resultantes. Verifica-se que, por um simples equilíbrio de nó de treliça, se
gera uma tracção na armadura longitudinal, FT, dependente da reacção do apoio e da
inclinação da resultante do campo de tensões em leque, 1
88
Estruturas de Betão I
z
1
b

z cotg 
b + z cotg 
2 2
Fc
R = Fc sen 1  Fc =
1
R
sen 1
FT
FT = Fc cos 1  FT = R
R
cos 1
= R cotg 1
sen 1
b z
2 + 2 cotg 
b
cotg 1 =
=
0.5
z
z + 0.5 cotg 
Como FT depende da largura do apoio, pode tomar-se por simplificação:
1) “Apoio pontual” (b = 0) ↔ cotg 1 = 0.5 cotg  FT =
R
cotg 
2
2) z  2b
b
↔ cotg 1 =0.5 2b+ 0.5 cotg  = 0.25 + 0.5 cotg   FT =R (0.25 + 0.5 cotg )
Aproximadamente, e de uma forma conservativa, poderá em geral considerar-se:
↔ FT = 1.20 R (1 40)
Refira-se que a área de armadura longitudinal inferior a adoptar nestes apoios sem
continuidade deverá ser sempre, pelo menos, 25% da área de armadura adoptada na
zona do meio vão.
7.3.2
Armadura longitudinal no vão
Considera-se, agora, a análise da situação corrente de uma viga simplesmente
apoiada, como a representada na figura seguinte, e com base no modelo acima
descrito, definem-se os diagramas da força de tracção na armadura longitudinal.
89
Estruturas de Betão I
M
FT
M/z
+
V
FT
V/2 cotg 
=
M+V
FT
M/z + V/2 cotg 
Verifica-se que a variação da força de tracção ao longo do vão tem uma menor
variação ao longo do vão não sendo nula junto ao apoio (ver §1.2.4) e que na zona do
vão não é afectada em relação à da flexão, no vão central.
Em termos práticos, verifica-se, ser mais conveniente, para determinar a tracção
necessária em vez de somar as duas forças, avaliar a distancia, x (ver esquema a
seguir), segundo o eixo longitudinal, processo que se denomina de translacção do
diagrama de momentos.
d M
1 dM
V
 = dx  z  = z dx = z
 
por outro lado,  tg  =
V/2 cotg 
x
V
1 V
z
 2 cotg  x = z  x = 2 cotg 
flexão
As

M/z
V/2 cotg 
x
necessária
As
Refira-se que a análise da dispensa de armadura longitudinal será, na prática,
efectuada, não a partir do diagrama de momentos flectores, mas deste, depois de
efectuada esta translacção, no valor dez/2 cotg .
7.3.3
Apoio de continuidade
A análise da zona de um apoio de continuidade é extremamente interessante pois,
trata-se de uma região com momento flector e esforço transverso significativos, à
esquerda e direita.
90
Estruturas de Betão I
Geram-se dois campos de tensão em leque a partir do apoio, verificando-se que, com
base no modelo de escoras e tirantes, a tracção superior tem tendência a formar um
patamar constante, com valor dependente só do momento flector (ver figura em baixo).
De facto a influência do esforço transverso, ou seja da inclinação das compressões na
força de tracção, só se faz sentir a uma certa distância do apoio, não influenciando o
valor máximo de força de tracção devida à flexão, mas tão só alargando essa zona.
FT = const.
M +V
cotg 
z 2
z



1

1
z cotg 
M -V
cotg 
z 2
z cotg 
b
DFT
V
cotg 
2
M/z
Define-se assim, também na zona de momento negativos, um diagrama de flexão com
translacção, a partir do qual deve ser definida a dispensa de armaduras.
7.4 Disposições das armaduras transversais
A área mínima de armadura transversal, que se justifica pela mesma razão da flexão,
pode ser quantificada através da imposição de uma percentagem de armadura, dada,
no EC2, por:
w,min =
0.08 fck
fyk
A percentagem geométrica de armadura transversal é definida através da expressão:
w,min =
Asw
s  bw
7.5 Espaçamento entre estribos e sua pormenorização
Por forma a evitar que a fenda se forme entre estribos, o espaçamento máximo entre
estribos deverá respeitar a condição:
s  0.75 d (1 + cotg ),
onde d representa a altura útil do elemento e  a eventual inclinação da armadura
transversal.
91
Estruturas de Betão I
Usualmente utilizam-se espaçamentos entre 0.075 e 0.30 m (ou, preferencialmente,
para vigas correntes, entre 0.10 e 0.25 m), não devendo ultrapassar-se, em geral, 0.5
d.
A armadura transversal é em geral, formada por um ou mais estribos, cada um com
dois ramos, que deverão em princípio, serem fechados. O EC2 abre, no entanto, a
possibilidade a outras hipóteses.
O espaçamento transversal entre ramos de estribos deve ser tal que:
st  0.75 d  600 mm
Assim para vigas largas, com mais de 60 cm, ou menos largas mas pouco altas, é, por
razões de eficiência na transmissão das compressões das bielas aos estribos
verticais, necessário ter mais do que um estribo (2 ramos) – ver figura seguinte.
Verifica-se que as tensões de compressão tendem a se apoiar nos cantos dos estribos
(onde também existem ferros longitudinais) e que, como se percebe, não devem estar
muito afastados para uma maior uniformidade da transmissão de forças.
92
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 5
Considere a estrutura da figura seguinte:
q = 12kN/m
g = 25kN/m
0.60
0.30
5.00
Materiais: C25/30, A400NR
Responda ás seguintes questões, tentando compreender e interpretar as implicações
de adoptar diferentes ângulos de inclinação das bielas de compressão:
a) Calcule as armaduras transversais admitindo, para inclinação das bielas de
compressão, ângulos de 30 e 45.
b) Verifique, para ambas as situações, a tensão máxima de compressão nas bielas.
c) Calcule, para ambas as situações, os efeitos na armadura longitudinal.
d) Pormenorize a armadura longitudinal ao longo da viga.
93
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5
ALÍNEA A)
1. Determinação dos esforços
psd = g g + q q = 1.5 (12 + 25) = 55.5 kN/m
Msd =
pL2
55.5  52
=
= 173.4kNm
8
8
Vsd =
55.5  5
= 138.8 kN
2
2. Cálculo das armaduras transversais para  = 30
z cotg  = 0.9 d  cotg  = 0.9  0.55  cotg 30 = 0.87m
Vsd (z cotg  = 138.8 - 0.87  55.5 = 90.5kN
Asw
Vsd
90.5

=
 104 = 3.0 cm2/m
s
z cotg  fyd
0.87  348  103
3. Cálculo das armaduras transversais para  = 45
z cotg  = 0.9  0.55  cotg 45 = 0.5m
Vsd (z cotg  = 138.8 - 0.5  55.5 = 111.1kN
Asw
111.1
2
s = 348  103 0.5 = 6.39cm /m
ALÍNEA B)
i)  = 30
c =
Vsd
90.5
=
= 1393kN/m2
0.9 d bw sen  cos  0.30.5sen 30cos 30
ii)  = 45
c =

111.1
= 1481kN/m2
0.3  0.5  sen 45 cos 45
fck
25
c  0.6 1 - 250  fcd = 0.6 1 - 250   16.7  103 = 9018 kN/m2




94
Estruturas de Betão I
ALÍNEA C)
1. Armadura no apoio de extremidade
i) Considerando um apoio pontual
b = 0  Fs =
R
cotg 
2
 = 30  F

 = 45  F
s
=
138.8
 cotg 30 = 120.2kN
2
s
=
138.8
 cotg 45 = 69.4kN
2
ii) Considerando a largura do apoio
Fs = 1.2 R = 1.2  138.8 = 166.6kN
Fs
166.6
 As  f =
 104 = 4.79cm2
348  103
yd
Comentário: menor   maior área de armadura nos apoios
2. Cálculo do comprimento de translacção
z
0.5
 = 30 x = 2 cotg  = 2 cotg 30 = 0.43m
z
0.5
 = 45 x = 2 cotg  = 2 cotg 45 = 0.25m
Comentário: menor   maior comprimento de translacção
95
Estruturas de Betão I
7.6 Amarração de Armaduras
7.6.1
Comprimento de amarração
Considere-se um varão de aço embebido, num determinado comprimento, no interior
de um bloco de betão, conforme ilustrado na figura seguinte e admita-se uma tensão
de corte entre o betão e o aço, com distribuição constante.
f bd
Fs = As sd
lb,rqd
fbd – tensão de aderência de cálculo (b- bond ; d- design)
Nestas condições é possível definir o valor do comprimento necessário lb,rqd para que,
quando o varão for submetido a uma força de tracção, não haja escorregamento entre
os dois materiais. Deste modo,
FRc  Fs Ac  fbd  Fs ,
onde Ac =  lb e representa a área de betão em contacto com a armadura.
2
Ac  fbd  Fs   lb,rqd fbd = As sd   lb,rqd fbd = 4 sd
De onde resulta
lb,rqd =
 sd
(Comprimento de amarração base)
4 fbd
O valor da tensão de aderência (fbd) pode ser calculado, segundo o EC2, através da seguinte
expressão:
fbd = 2.25 12 fctd
onde,
fctd representa o valor de dimensionamento da resistência do betão à tracção;
1 é um coeficiente que depende da qualidade da aderência e da posição do varão
durante a betonagem (1 = 1.0 para boas condições de aderência; 1 = 0.7 para
outras condições de aderência);
96
Estruturas de Betão I
2 é um coeficiente que depende do diâmetro do varão (2 = 1.0 para   32 mm; 2
= (132 - ) / 100 para   32 mm).
Os varões dizem-se em condições de boa aderência se verificarem uma das
seguintes condições:

formem com a horizontal um ângulo entre 45º e 90º;

estejam integrados em elementos com espessura (na direcção da betonagem)
inferior ou igual a 25 cm;
quando a espessura excede 25 cm, os varões estão em boas condições de

aderência se se situarem na metade inferior do elemento ou a mais de 30 cm da
sua face superior.
O comprimento de amarração necessário lbd pode ser avaliado através da
expressão:
lbd = 1 2 3 4 5 lb,rqd  lb,min
onde,
1
é um coeficiente que tem em conta a forma do varão na zona da amarração;
2
é um coeficiente que tem em conta o recobrimento do varão;
3
é um coeficiente que tem em consideração o efeito do cintagem das armaduras
transversais à amarração;
4
é um coeficiente que tem em consideração o efeito de varões transversais
soldados ao longo do comprimento de amarração;
5
é um coeficiente que tem em consideração o efeito favorável da existência de
tensões de compressão transversais ao plano de escorregamento, ao longo do
comprimento de amarração.
Sendo clara a influência de todos estes factores no comprimento de amarração, na
prática tomam-se, em geral, opções simplificativas que devem ser conservativas.
De qualquer forma, há que assegurar, um comprimento de amarração mínimo lb,min,
tal que:

varões traccionados: lb,min = máx {0.3 lb,rqd; 10; 100 mm}

varões comprimidos: lb,min = máx {0.6 lb,rqd; 10; 100 mm}
97
Estruturas de Betão I
Simplificadamente, e para varões traccionados com amarrações curvas tem-se lb,eq =
1 lb,rqd = 0.7 lb,rqd
ou
5

lb,eq
lb,eq
( 90)
Esta redução é válida se a distância livre entre varões e/ou o recobrimento na direcção
perpendicular à amarração forem superiores a 3.
Por exemplo para varões comprimidos ou traccionados com barras transversais
soldadas (situação não muito corrente) o EC2 propõe:
lb,eq =4 lb,rqd= 0.7 lb,rqd
t 0.6
5
lb,eq
Para se ter uma rápida avaliação dos comprimentos de amarração é extremamente útil
ter o multiplicador do diâmetro tal que: lb = k como expresso na tabela seguinte, sem
considerar os coeficientes , e admitindo s = fyd.
VALORES DE k = lb /  para s = fyd
C20/25
C25
C30
C35
C40
C45
C50
1 = 1
39
32
29
26
23
22
20
1 = 0.7
55
46
41
38
33
30
28
1 = 1
48
40
36
33
30
27
25
1 = 0.7
69
57
52
47
43
38
36
A400
A500
Exemplifica-se seguidamente a avaliação do comprimento de amarração necessário
de um varão 16 solicitado por uma força de 45kN.
98
Estruturas de Betão I
Materiais:
lb,rqd
C25/30
A400NR
45 kN
1.8
fbd = 2.25 1 2 fctd = 2.25  1.0  1.0  1.5 = 2.7 MPa
 sd
 223.9
lbd = lb,rqd = 4 f = 4
2.7 = 20.7  = 0.33 m
bd
Este valor é inferior ao da tabela pois o nível de tensão é menor que fyd.
sd =
7.6.2
45
= 223.9 MPa
2.01  10-4
Comprimento de emenda
As emendas dos varões das armaduras ordinárias devem, se possível, ser evitadas e
caso sejam necessárias, devem ser efectuadas em zonas em que os varões estejam
sujeitos a tensões pouco elevadas.
As emendas de varões podem ser realizadas por sobreposição, por soldadura, ou por
meio de dispositivos mecânicos especiais (acopladores, por exemplo).
As emendas por sobreposição devem satisfazer os seguintes critérios:

Não localizar as emendas nas zonas de maiores esforços;

Procurar manter a simetria;

A distância livre entre armaduras não deve ser superior a 4 ou 50 mm, caso
contrário o comprimento de emenda deve ser acrescido de (s – 4);

A distância longitudinal entre duas emendas adjacentes não deverá ser inferior a
0.3 l0;

No caso de duas emendas adjacentes, a distância livre entre varões não deve
ser inferior a 2 ou 20 mm;
99
Estruturas de Betão I

A percentagem de varões a emendar numa mesma secção transversal pode ser
de 100% caso os varões estejam dispostos numa única camada, ou de 50% se os
varões estiverem dispostos em várias camadas.
O comprimento de emenda (l0) deve ser calculado, de acordo com o EC2, com a
expressão:
l0
F
F
l0 = 1 2 3 5 6 lb,rqd  l0,min
onde os coeficientes , são os definidos anteriormente e 6 é um coeficiente que tem
em conta a relação entre a secção dos varões emendados e a secção total dos varões
existentes na mesma secção transversal.
Normalmente há que considerar valores mínimos do comprimento de emenda, que
o EC2 define como sendo l0,min = max {0.3 6 lb,rqd;15;200mm}
Para que duas emendas possam ser consideradas em secções diferentes há que
respeitar as seguintes indicações:
0.65 l0 0.65 l0
Nas zonas de emendas geram-se tensões de tracção na direcção transversal que
podem recomendar a disposição de armaduras específicas se aquelas forem
elevadas. Nesse sentido as necessidades de reforço na zona da emenda (dispensável
no caso   20 mm ou se a percentagem de varões emendados seja inferior ou igual a
25%) é dada, no EC2, por:
a) Armadura em tracção
100
Estruturas de Betão I
a) Armaduras em tracção
b) Armadura em compressão
a) Armaduras em tracção
b) Armaduras em compressão
b) Armaduras em compressão
101
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5 (CONT.)
Materiais: C25/30, A400NR
q = 12kN/m
g = 25kN/m
0.60
0.30
5.00
ALÍNEA D)
1. Cálculo da armadura necessária a meio vão
Msd
Msd = 173.4kNm  = bd2 f =
cd
As = b d
173.4
2
3 = 0.114  = 0.124
0.30.55 16.710
fcd
= 9.84cm2
fyd
Adoptam-se 216 + 220 (10.3cm2)
Visto que Aapoio
 4.79cm2 , é possível dispensar 216
s
2. Cálculo do MRd correspondente a 220 (6.28cm2)
fyd 6.28  10-4
348
=

= 0.079   = 0.075
fcd
16.7
0.3  0.55
As
= bd
MRd =  b d2 fcd = 0.075  0.3  0.552  16.7  103 = 113.7kNm
3. Determinação da secção de dispensa de armadura
55.5 kN/m
x2
M(x) = 138.8  x - 55.5  2 =
= 138.8 x - 27.75x2
138.8 kN
138.8 kN
x
Msd = MRd  138x - 27.75x2 = 113.7 
x = 3.97m  x = 1.03m
DMF
(+)
M(x)
fbd = 2.25 1 2 fctd = 2.25  1.0  1.0 
1.8
= 2.7 MPa
1.5
102
Estruturas de Betão I
sd =
6.28
 sd 0.016 212.2
 348 = 212.2MPa  lbd=
=
=19.6 = 0.31m
10.3
4 fbd
4
2.7
z
aL = 2 cotg  = 0.43m
Secções de dispensa de armadura:
x1 = 1.03 - aL - Lb.net = 1.03 - 0.43 - 0.31 = 0.29 m
x2 = 3.97 + aL + Lb.net = 3.97 + 0.43 + 0.31 = 4.71m
103
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 6
Para a estrutura já analisada no Exercício 1 determine:
a) As armaduras transversais necessárias ao longo da viga
b) A distribuição de armaduras longitudinais ao longo da viga
c) Pormenorize as armaduras na viga
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6
ALÍNEA A)
1. Determinação do esforço transverso solicitante
p=1 kN/m
10.00
DEV
[kN]
3.00
4.55
3.0
(+)
(+)
(-)
5.45
Considerando alternância de sobrecarga,
p=1 kN/m
DEV
[kN]
5.0
(+)
(-)
5.0
p=1 kN/m
3.0
(+)
DEV
[kN]
( )
0.45
A
Vsd
= 1.5  (28.25  4.55) + 1.5  (12  5) = 282.8kN
104
Estruturas de Betão I
VB.esq
= 1.5  (28.25  5.45) + 1.5  (12  5.45) = 392.0kN
sd
VB.dir
= 1.5  (28.25 + 12)  3 = 181.1kN
sd
i) Envolvente do diagrama de esforço transverso
282.8
282.8
181.1
(+)
(+)
329.0
181.1

(-)
329.0
ii) Determinação de Vsd (z cotg 
Considerando  = 30,
d = 0.80m ; z  0.9 d = 0.72 m
z cotg  = 0.72  cotg 30 = 1.25 m
Vsd,A (z cotg = 282.8 - 60.4  1.25 = 207.3 kN
Vsd,B esq (z cotg = 329 - 60.4  1.25 = 253.5 kN
Vsd,B dir (z cotg = 181.1 - 60.4  1.25 = 105.6 kN
2. Verificação das compressões
i) Bielas comprimidas
cmáx =
Vsd (zcotg 
253.5
=
= 2710.3kN/m2  2.7MPa
zbw sen cos 0.72  0.30  sen 30  cos30
fck
25
cmáx0.6 1 - 250  fcd = 0.6 1 - 250   16.7  103 = 9018 kN/m2




ii) Apoio
R
c = A  0.85 fcd
ap
B
Rsd
= 329.0 + 181.1 = 510.1kN
c =
510.1
= 5667.8kN/m2 5.7MPa
0.3  0.3
0.85 fcd = 0.85  16.7 = 14.2MPa
105
Estruturas de Betão I
3. Cálculo da armadura transversal nos apoios
i) Apoio A
Asw Vsd (z cotg 
207.3
=
=
 104 = 4.78cm2/m
s
z cotg  fyd
0.72  cotg 30  348  103
ii) Apoio B (esq.)
Asw
253.5
=
 104 = 5.84cm2/m
s
0.72  cotg 30  348  103
iii) Apoio B (dir.)
Asw
105.6
=
 104 = 2.43cm2/m
s
0.72  cotg 30 348103
iv) Cálculo da armadura mínima
w,min =
0.08 fck
0.08 25
=
= 0.001
fyk
400
Asw
1
Asw
w,min = 0.001    
= 0.001   = 0.0010  0.30  104 = 3.0cm2/m
s
b
 min w
 s min
(adoptam-se estribos 8//0.25)
4. Determinação da zona da viga em que se adopta (Asw/s)min
i) Cálculo de VRd, min
Estribos 8//0.25  4.02 cm2/m
Asw
VRd= s  z cotg   fyd = 4.02  10-4  0.72  cotg 30  348  103 = 174.5kN
329.0
282.8
1
174.5
181.1
60.4
x1
x1 =
282.8 - 174.5
= 1.79m
60.4
x2
;
x2 =
329 - 174.5
= 2.56m
60.4
ALÍNEA B)
Aapoio
 416 + 212; Avão
 625
s
s
106
Estruturas de Betão I
1. Cálculo do comprimento de translacção
z
0.72
aL = 2 cotg  = 2 cotg 30 = 0.62m
2. Armadura inferior
i) Plano de dispensas: 625  425  225
ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas
2
Armadura
As [cm ]


MRd [kNm]
425
19.63
0.170
0.154
493.8
225
9.82
0.085
0.080
256.5
x1
x3
x2
x4
272.0
256.5
256.5
493.8
660.2
493.8
iii) Cálculo das coordenadas x
Carregamento correspondente ao máximo momento no vão
sc=12.0 kN/m
cp=28.3 kN/m
10.00
3.00
282.8 kN
DMF
[kNm]
(-)
(+)
x
60.4 kN/m
M(x)
x
M(x) = 282.8  x - 60.4 
x2
= 282.8  x - 30.2x2
2
282.8 kN
107
Estruturas de Betão I
MSd = 493.8kNm  282.8  x - 30.2  x2 = 493.8  x3 = 7.04m  x2 = 2.32m
MSd = 256.5kNm  282.8  x - 30.2  x2 = 256.5  x4 = 8.35m  x1 = 1.02m
iv) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura

Dispensa de 625  425
x2’ = x2 – aL - Lb.net = 2.32 - 0.62 - 0.54 = 1.16 m
x3’ = x3 + aL + Lb.net = 7.04 + 0.62 + 0.54 = 8.20 m
1.8
fbd = 2.25 12 fctd = 2.25  1.0  1.0  1.5 = 2.7 MPa
4
 sd 0.025 232
sd = 6  348 = 232 MPa  lbd= 4 f =
4
2.7 = 0.54 m
bd

Dispensa de 425  225
x1’ = x1 - aL - Lb.net = 1.02 - 0.62 - 0.40 = 0.0 m
x4’ = x4 + aL + Lb.net = 8.35 + 0.62 + 0.40 = 9.37 m
2
 sd 0.025 174
sd = 4  348 = 174 MPa  lbd= 4 f =
4
2.7 = 0.40m
bd
v) Verificação da armadura no apoio
1) Considerando pilares 0.30  0.30 [m2]:
b
0.30
FT = Rcotg1 = R  0.5  z +0.5 cotg = 282.8  0.5  0.72 + 0.5 cotg 30 =




303.8kN
As =
303.8
 104 = 8.73cm2 < As (425) = 19.63cm2
348  103
2) Considerando indirectamente a dimensão do pilar
FT = 1.2 R = 1.2  282.8 = 339.4 kN  As = 9.75cm2 < 19.63cm2
3) Considerando um apoio pontual
FT =
R
282.8
cotg 1 =
 cotg 30 = 244.9kN  As = 7.04cm2 < 19.63cm2
2
2
3. Armadura superior
i) Plano de dispensas: 416 + 212  416  216
108
Estruturas de Betão I
ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas
2
Armadura
As [cm ]


MRd [kNm]
416
8.04
0.070
0.066
211.6
216
4.02
0.035
0.034
109.0
272.0
211.6
211.6
109.0
109.0
x2 x1
x4
x3
iii) Cálculo das coordenadas x
Carregamento correspondente ao máximo momento negativo no apoio e no vão à
esquerda do apoio:
sc=12.0 kN/m
cp=28.3 kN/m
pconsola
= 60.4kN/m
sd
pvão
= 1.5  28.25 = 42.4kN/m
sd
Vdir
= 3.0  (12 + 28.25)  1.5 = 181.1kN
sd
Vesq
= (5.45  28.25 + 0.45  12.0)  1.5 = 239.0kN
sd
Consola
60.4 kN/m
272 kNm
Msd(x) = 60.4  x 
Msd(x)
x
x
- 181.1  x + 272.0 =
2
30.2x2 - 181.1x + 272.0
181.1 kN
Msd = 211.6kNm  30.2 x12 - 181.1x1 + 272.0 = 211.6  x1 = 0.35m
Msd = 109.0kNm  30.2 x32 - 181.1x3 + 272.0 = 109.0  x3 = 1.10m
109
Estruturas de Betão I
Vão
42.4 kN/m
272 kNm
x
Msd(x) = 42.4  x  2 – 239.0  x + 272.0 =
Msd(x)
21.2x2 - 239x + 272.0
x
239.0 kN
Msd = 211.6kNm  21.2 x22 - 239 x2 + 272.0 = 211.6  x2 = 0.26m
Msd = 109.0kNm  21.2 x42 - 239 x4 + 272.0 = 109.0  x4 = 0.73m
Msd = 0  21.2 x52 - 239 x5 + 272.0 = 0  x5 = 1.28 m
4) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura

Dispensa de 416 + 212  416
x1’ = x1 + aL + Lb.net = 0.35 + 0.62 + 0.43 = 1.40 m
x2’ = x2 + aL + Lb.net = 0.26 + 0.62 + 0.43 = 1.31 m
fbd = 2.25 12 fctd = 2.25  0.7  1.0 
sd =

1.8
= 1.89 MPa
1.5
8.04
 sd 0.012 271.6
 348 = 271.6MPa  lbd =
=
= 0.43m
8.04+2.26
4 fbd
4
1.89
Dispensa de 416  216
x3’ = x3 + aL + Lb.net = 1.10 + 0.62 + 0.36 = 2.08 m
x4’ = x4 + aL + Lb.net = 0.73 + 0.62 + 0.36 = 1.71 m
x5’ = 1.28 + 0.62 + 0.22 = 2.12m
2
 sd 0.016 174
sd = 4  348 = 174 MPa  lbd= 4 f =
4
1.89 = 0.37m
bd
Lb,min = 10  = 0.16 m
110
Estruturas de Betão I
7.7 ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA
Como referido na flexão de secções em T as compressões no banzo distribuem-se
neste, não ficando limitadas à alma. O sistema base de resistência ao esforço
transverso desenvolve-se na alma, que distribui, então, as compressões (ou tracções
se se tratar de um banzo traccionado) para os banzos.
A compreensão deste mecanismo não é imediata e para a facilitar é fundamental a
representação gráfica como a que se reproduz na figura seguinte, com indicação dos
campos de tensões nos planos da alma e dos banzos e respectivas forças resultantes.
Na figura está representado um modelo em que, numa análise a partir da reacção de
apoio, se verifica que as tensões na alma do campo em leque ao atingirem o banzo
dispersam neste, para um e outro lado, gerando tracções de equilíbrio transversais no
banzo, numa zona já mais afastada do apoio. Tal verifica-se, depois, para os restantes
campos paralelos de tensões, obtendo-se a distribuição de compressões no banzo da
zona do vão, prevista na flexão.
111
Estruturas de Betão I
Se se definirem dois ângulos para as treliças da alma e do banzo, 1 e
2respectivamente, é possível avaliar as forças em causa a partir de um campo de
tensões paralelo na alma como apresentado de seguida.
z
Fc'
1
cotg
2 f c'
fc
z
1
Fc
1
tg 
z co
Onde,
fc
representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas da alma
fc’
representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas do banzo
Fc e Fc’ representam as resultantes dessas forças distribuídas
Em planta, a avaliação da força FT
z cotg 1
Fc'
2
Fc cos 1
FT
pode ser estimada como se apresenta de seguida:
Fc
sen 2
FT = Fc'  sen 2 = 2 cos 1
=
cos 2
Fc
= 2  tg 2 cos 1
FT
Asf
FT
Fc sen 1
Asf = f  s =
=
z cotg 1 fyd 2 z cotg 2 fyd
syd
Como Fc =
V
Asf
V

=
s
2 z cotg 2 fyd
sen 1
Considerando que 1 = 2 , a armadura de ligação banzo-alma deve ser igual ou
Asf
1 Asw
superior a metade da armadura de esforço transverso  s  = 2  s .




A este propósito, no que se refere em particular aos campos de compressões nos
banzos (2), sugere a EN1992, pelas razões já anteriormente discutidas, que se
considere [1 ≤ cotg 2 ≤ 2] no caso de banzos comprimidos, e [1 ≤ cotg 2 ≤ 1.25] para
situações de banzos traccionados.
112
Estruturas de Betão I
Refira-se que, em geral, numa viga pertencente a uma laje vigada, a armadura da laje
é normalmente suficiente para absorver as forças de tracção na ligação banzo-alma,
pelo que não se justifica a determinação de armadura específica, nesses casos.
7.8 ARMADURA DE SUSPENSÃO
Analisámos a transmissão de forças ao longo das vigas de betão armado, em
situações próximas da rotura para as situações em que a carga é transmitida ao banzo
superior da viga, como são as situações correntes. No entanto, há casos em que tal
não se verifica havendo que prevêr mecanismos de transmissão de carga adequados
e dimensionar as armaduras correspondentes.
São, por exemplo, os dois casos que vamos analisar, a saber:
 A situação de uma transmissão contínua da carga à parte inferior da viga, como
por exemplo de uma viga invertida, com a laje apoiada no banzo inferior.
 As situações de apoio de uma viga noutra, denominadas de apoios indirectos,
em que a carga é transmitida pela biela comprimida da viga secundária, à parte
inferior da viga principal.
7.8.1 CARGA DISTRIBUÍDA APLICADA NA PARTE INFERIOR DA VIGA
Como se esquematiza nas secções transversais abaixo indicadas a laje apoia-se na
parte inferior da viga pelo que tem de ser transmitida para a face superior da através
de uma armadura de suspensão. Este processo de “suspensão” deve ser efectuado ao
longo da viga para a carga distribuída transmitida pela laje, psd/m. No fundo a
armadura deve ser dimensionada para absorver a carga suspensa por metro, tal que:
psd/m
As/m > f
yd
Para a aplicação de carga excêntrica é judicioso admitir a suspensão só com um
ramo.
113
Estruturas de Betão I
Naturalmente, que a quantidade de armadura necessária para transmitir a carga ao
banzo superior tem de ser adicionada à de esforço transverso (correspondente ao
processo de transmissão das cargas do banzo superior da viga aos seus apoios).
7.8.2 APOIOS INDIRECTOS
Denomina-se por apoio indirecto de uma viga a situação desta se apoiar através da
ligação a outra viga, em vez de directamente sobre um dispositivo de apoio ou pilar.
Nestes casos, numa viga de betão armada com fendilhação desenvolvida, temos que:
1- A carga da viga I (ver esquemas seguintes) é transmitida pelas bielas
comprimidas à parte inferior da viga principal (viga II neste esquema).
2- A partir daí a carga é suspensa para o banzo superior da viga II, através de
estribos a colocar na região de ligação das vigas.
3- Uma vez “suspensa”, a carga está em condições de ser “encaminhada” para os
apoios da viga principal (II), seguindo o modelo geral de esforço transverso.
114
Estruturas de Betão I
Representa-se na figura seguinte o modelo de cálculo, para o caso de duas vigas.
Refira-se que, no caso geral de uma grelha, a armadura de suspensão é calculada
para a diferença de esforço transverso à esquerda e direita das vigas, havendo que
identificar qual é a principal.
1
P
2
115
Estruturas de Betão I
1
A viga  transmite as cargas à viga 
2
através das bielas comprimidas.
V
h2 A carga transmitida à viga principal  terá de
h1
ser transmitida para a face superior através
V
de estribos de suspensão As = f 

yd

Como indicado nas figuras anteriores (ver pormenor em planta), a armadura de
suspensão deve preferencialmente localizar-se na região de ligação das vigas. No
entanto, caso necessário, poderá alargar-se ligeiramente a zona de distribuição desta
armaduras, como se esquematiza na figura seguinte.
 h1/2
 h1/3
1
 h2/3
 h2/2
2
116
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 7
Considere a estrutura da figura seguinte:
sc
cp
S2
3.50
S1
10.00
3.50
0.20
0.20
Materiais: C20/25, A400
Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m
1.00
sobrecarga = 40.0 kN/m
0.15
Coeficientes de majoração: G = Q = 1.5
1.00
a) Para a estrutura já analisada no Exercício 4, verifique a segurança ao Estado Limite
Último de Esforço Transverso e pormenorize as armaduras transversais na secção.
117
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 7
ALÍNEA A)
1. Verificação da segurança ao E.L.U. de Esforço Transverso
i) Determinação de Vsd
psd = 1.5  (20 + 40) = 90kN/m
DET
[kN]
450.0
315.0
(+)
(-)
(-)
(+)
315.0
450.0
 = 30º  z cotg  = 0.9  0.95  cotg 30 = 1.48m
Vsd, dir (z cotg  = 450 - 1.48  90 = 316.8.5kN
Vsd, esq (z cotg  = 315 - 1.48  90 = 181.8kN
ii) Verificação das compressões na alma
c =
Vsd (z cotg 
316.8
=
= 2139.2kN/m2
z  bw  sen   cos  0.9  0.95  0.40  sen 30  cos 30
fck
20
c  0.6 1 - 250  fcd = 0.6 1 - 250   13.3  103 = 7342 kN/m2




iii) Cálculo da armadura transversal junto aos apoios
Asw
Vsd (z cotg 
=
s
z fyd cotg 
316.8
 Asw  =
 104 = 6.15cm2/m
 s dir 1.48  348  103
181.8
 Asw  =
 104 = 3.53cm2/m
 s esq 1.48  348  103
2. Cálculo da armadura de suspensão
Nota: Admite-se que a sobrecarga está a actuar no banzo inferior
118
Estruturas de Betão I
cp* = cp–ppalmas= 20 - (0.20  1.0  2)  25 = 10kN/m
Força de suspensão: Fs = 1.5 (10 + 40) = 75.0kN/m
cp*+sc
75.0
 As 
=
 104 = 2.16cm2/m
s
 suspensão 348103
(a adicionar à armadura de esforço transverso)
dir
Asw 
As 
 As 
=
+
= 6.15 + 2.16 = 8.31cm2/m
 s TOT  s dir  s susp
esq
 As 
 Asw  +  As  = 3.53 + 2.16 = 5.69m
=
 s TOT  s esq  s susp
3. Cálculo da armadura transversal mínima
w,min =
0.08 fck
0.08 20
=
= 0.0009
fyk
400
Asw
1
Asw
4
2
w,min=0.0009  s   b =0.0009  s  = 0.00090.4010 =3.6cm /m
 min w
 min
4. Cálculo da armadura de ligação banzo-alma
Asf
Vsd
s = 2 z cotg 2 fsyd
1 = 2
Asf
1  Asw 
=
s
2  s 
 As dir = 6.15 = 3.08cm2/m ;  As esq = 3.53 = 1.77cm2/m
2
2
 s 
 s 
5. Armadura transversal de flexão no banzo
cp* + sc = 10 + 40 = 50 kN/m
cp*+sc
psd = 1.5  50 / 0.6 = 125.0 kN/m2
0.80
119
Estruturas de Betão I
pL2 125  0.802
= 6.7kN/m
12 =
12
0.80
pL2/12
pL2/24
Msd
=b d2 f =
cd
As=bd
6.7
= 0.035  = 0.037
1.0  0.12  13.3  103
2
fcd
13.3
= 0.037  1.0  0.12 
 104 = 1.70cm2/m
fyd
348
3.08
(AsTOT/ramo)dir =  2  + 1.70 = 3.24cm2/m


1.77
(AsTOT/ramo)esq =  2  + 1.70 = 2.59cm2/m


120
121
(considerar a totalidade do esforço transverso para o dimensionamento da armadura).
A carga é totalmente transmitida segundo o modelo geral de esforço transverso
a>2z
a < z/2
- 2151.41
- 2090.52
- 2030.51
- 1971.42
- 1913.29
- 1294.69
- 1245.40
- 1197.37
- 1150.72
- 1105.57
- 1062.08
- 980.58
- 942.86
- 907.36
- 243.41
- 874.21
- 843.53
- 263.24
- 282.80
- 815.43
1111.11
- 302.04
- 790.00
1156.04
- 320.92
1205.52
1259.67
- 730.68
1382.29
1449.20
- 719.94
- 709.53
1518.89
1596.60
- 699.48
1682.51
- 689.78
1776.74
- 680.46
- 671.50
- 662.93
- 654.74
- 646.95
- 639.54
- 632.54
- 625.94
- 619.73
- 613.93
- 608.53
- 603.41
- 596.31
- 590.08
- 585.02
- 581.08
- 577.54
- 574.39
- 571.64
4777.30
4777.32
4777.34
4777.36
4777.39
4777.41
4777.44
4777.47
4777.49
4777.53
4777.56
4777.59
4777.63
4777.66
4777.70
4777.74
4777.78
4777.82
4777.82
4777.80
4777.79
4777.77
4777.74
4777.71
4777.67
4777.63
4777.58
4777.53
4777.48
4777.42
4777.35
4777.28
4777.21
4777.13
4777.05
4776.90
4776.66
4776.42
4776.18
4775.95
4775.72
4775.50
4775.29
4775.08
4774.87
4774.67
4774.48
4774.29
4774.11
4773.93
4773.76
4773.59
4773.43
4772.86
4772.04
4771.19
4770.31
4769.39
4768.44
4767.46
4766.44
4765.40
4764.32
4763.21
4762.06
4760.89
4759.68
4758.44
4757.17
4755.87
4754.54
4752.79
4751.05
4749.36
4747.72
4746.13
4743.10
4741.65
4740.26
4738.91
4737.62
4736.37
4735.17
4734.02
4732.92
4731.87
4730.87
4730.10
4730.05
4729.84
4729.50
4729.01
4728.38
4727.60
4726.69
4725.64
4724.45
4723.13
4721.68
4720.09
4718.37
4716.53
4714.56
4712.46
4710.24
4723.55
4752.87
4783.62
4815.89
4849.75
4885.27
4922.53
4961.59
5002.52
5045.40
5090.30
5137.28
5186.41
5237.75
5291.36
5347.31
5405.66
5466.44
5433.02
5372.51
5312.95
5254.42
5197.05
5140.98
5086.34
5033.34
- 567.37
z
- 565.87
- 564.78
- 564.12
- 563.88
4103.67
4103.68
4103.68
4103.69
4103.69
4103.70
4103.70
4103.71
4103.72
4103.73
4103.74
4103.75
4103.76
4103.77
4103.78
4103.80
4103.81
4103.83
4103.83
4103.83
4103.83
4103.82
4103.82
4103.81
4103.80
4103.79
4103.77
4103.75
4103.73
4103.71
4103.69
4103.67
4103.64
4103.61
4103.58
4103.55
4103.37
4103.19
4103.01
4102.83
4102.64
4102.45
4102.26
4102.07
4101.88
4101.68
4101.48
4101.28
4101.08
4100.88
4100.67
4100.46
4100.25
4099.95
4099.43
4098.89
4098.34
4097.76
4097.16
4096.54
4095.90
4095.24
4094.56
4093.86
4093.14
4092.40
4091.64
4090.86
4090.06
4089.24
4088.40
4087.36
4086.18
4085.01
4083.86
4082.72
4081.60
4080.50
4079.41
4078.33
4077.27
4076.23
4075.20
4074.18
4073.18
4072.20
4071.23
4070.27
4069.33
4070.22
4071.34
4072.41
4073.42
4074.37
4075.27
4076.11
4076.90
4077.63
4078.31
4078.93
4079.50
4080.02
4080.49
4080.91
4081.28
4081.61
4083.58
4095.13
4107.95
4122.10
4137.69
4154.79
4173.48
4193.85
4215.98
4239.96
4265.87
4293.79
4323.81
4356.00
4390.43
4427.20
4466.36
4507.99
4513.73
4467.39
4421.35
4330.51
4375.69
4285.90
4241.97
4198.86
4156.71
- 564.08
- 564.71
- 565.78
- 567.28
- 569.21
- 571.58
3307.48
3307.46
3307.44
3307.42
3307.40
3307.38
3307.36
3307.34
3307.32
3307.29
3307.27
3307.25
3307.24
3307.24
3307.25
3307.26
3307.27
3307.29
3307.30
3307.33
3307.35
3307.37
3307.40
3307.43
3307.47
3307.51
3307.54
3307.59
3307.63
3307.68
3307.63
3307.55
3307.45
3307.33
3307.20
3307.06
3306.90
3306.73
3306.54
3306.33
3306.12
3305.88
3305.10
3304.80
3304.50
3304.18
3303.96
3303.73
3303.50
3303.28
3303.06
3302.84
3302.62
3302.40
3302.18
3301.96
3301.74
3301.53
3301.31
3301.10
3300.89
3300.67
3300.46
3300.18
3299.73
3299.25
3298.72
3298.16
3297.55
3296.91
3294.72
3293.91
3293.06
3290.26
3289.24
3288.19
3287.09
3288.18
3290.56
3293.04
3295.63
3298.32
3306.99
3304.00
3301.11
3310.08
3313.27
3316.56
2484.74
2479.35
3323.42
3319.94
3326.99
3334.42
3330.66
3342.20
3338.26
3326.92
3334.45
3311.77
3315.49
3320.57
2991.60
2962.69
- 581.26
- 585.35
2449.28
2449.27
2449.28
2449.29
2449.31
2449.34
2449.38
2449.43
1754.06
2449.48
1754.10
2449.54
1754.15
2449.61
1754.20
2449.69
1754.26
2449.77
1754.33
2449.86
1754.40
2449.96
1754.48
2450.07
1754.57
2450.19
1754.66
2450.31
1754.76
2450.39
1754.91
2450.43
1755.07
2450.45
1755.20
2450.43
1755.30
2450.39
1755.37
2450.32
1755.42
2450.22
1755.44
2450.09
2449.93
1755.40
1755.44
2449.75
1755.34
2449.53
1755.26
2449.29
1755.14
1755.00
1754.84
2448.38
1754.64
2448.02
1754.42
2447.63
1754.17
2447.26
1753.90
2447.20
1753.87
2447.17
1753.87
2447.16
1753.90
2447.17
1753.94
2447.21
1754.01
2447.28
1754.10
2447.36
1754.20
2447.48
1754.33
2447.61
1754.48
2447.78
1754.65
2447.96
1754.84
2448.17
1755.05
2448.41
1755.29
2448.67
1755.54
2448.95
1755.81
2449.26
1756.11
2449.59
1756.42
2449.93
2450.22
1757.44
1756.83
2450.41
1757.94
2450.50
1758.33
2450.47
1758.61
2450.35
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-
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C
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- 266.99
- 267.59
- 267.07
1514.78
1109.89
1080.15
1352.90
1218.57
1108.48
1137.84
1012.79
1002.40
- 1958.84
- 1972.21
- 1984.21
-

armadura transversal).
A carga é transmitida directamente para o apoio (não sendo necessário acréscimo de

London):
indicações (“FIP/fib Recommendations for Practical Design of Structural Concrete” 1999, SETO,
Com base no modelo apresentado, podem em geral considerar-se as seguintes
F
F2
1522.91
1125.54
1094.76
1358.84
1232.21
1154.11
1139.23
1011.05
1034.61
- 1509.98
F1
a1
F2
aF
“processo de encaminhamento” até ao apoio.
directamente) e a restante, F2, necessitando de armadura transversal no seu
elemento de betão estrutural, identificam-se as parcelas, F1 (carga que se transmite
No modelo de dimensionamento indicado, adaptado ao comportamento de um
transversais), podendo a restante parcela ser directamente transmitida ao apoio.
da carga parece dirigir-se à zona inferior da viga (necessitando por isso de armaduras
Efectivamente, como sugerem as trajectórias elásticas de tensões, apenas uma parte
apoios podem transmitir-se, ainda que parcialmente, directamente aos apoios.
Como se ilustra na figura seguinte, cargas concentradas aplicadas na proximidade dos
7.9 TRANSMISSÃO DE CARGAS CONCENTRADAS PRÓXIMAS DOS APOIOS
Estruturas de Betão I
Estruturas de Betão I

z/2 < a < 2 z
Para o dimensionamento das armaduras transversais correspondente à carga F, pode
apenas ser considerada a parcela F1, dada por,
F1 = 
2a
 1
 z - 1 3 F
que, na sua transmissão ao apoio, requer transferência de carga do banzo inferior ao
superior.
122
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 8
Considere a estrutura seguinte.
P
0.65
0.40 0.40 0.40
0.40
5.00
Calcule as armaduras transversais necessárias, considerando apenas a actuação da
carga Psd = 300kN.
123
Estruturas de Betão I
Resolução do Exercício 8
Neste caso,
z
z = 0.9  0.60 = 0.54m e a = 0.8m  2 = 0.27m < a < 2 z = 1.08m,
pelo que, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e a outra parte é
transmitida pelo mecanismo de treliça.
1. Determinação da parcela da carga considerada para o dimensionamento da
armadura transversal
300 kN
A
B
0.80
4.20
RB=48 kN
RA=252 kN
DEV
[kN]
MA = 0  -300  0.8 + RB  5.0 = 0
 RB = 48kN
252
RA = 300 - 48 - 252kN
(+)
(-)
48
2  0.8
1
P1.Sd =  0.54 - 1  3  Psd = 0.65 Psd


2. Cálculo da armadura transversal
As 
0.65  252
As
4.7
 104 = 4.7cm2  s = 0.40 = 11.75cm2/m
348  103
11.75
= 5.88cm2/m
2
3. Cálculo da armadura longitudinal
Rsd,1
Rsd,1 = 0.65  252 = 163.8 kN
Rsd,2
Rsd,2 = 0.35  252 = 88.2 kN
Fsd = Rsd,1 cotg 1 + Rsd,2 cotg 2 =
1
ASL =
2
Fsd
0.4
0.8
= 163.8  0.54 + 88.2  0.54 = 252kN
252
 104 = 7.24cm2
348103
124
Estruturas de Betão I
7.10
ARMADURA INCLINADA
Nos casos em que a armadura de esforço transverso for constituída por armadura
inclinada (e não vertical), há que adaptar o modelo de treliça apresentado
anteriormente.
Apresenta-se,
seguidamente
a
dedução
das
expressões
de
dimensionamento para esses casos.
Fs V

z

z cotg 
z cotg 
z cotg  + z cotg 
bielas comprimidas
tirantes
F
Fs
Asw  fyd
Vsd

Vsd
Vsd
1
 Asw 

sen 
sen  fyd

Asw
Vsd
1
1
=


s
fyd
sen  z (cotg  + cotg )

Asw
Vsd
=
s
z (cotg  + cotg ) sen  fyd
Barras horizontais (força de tracção a distribuir nos banzos superior e inferior):
FT = Fc cos - Fs cos =
Vsd
Vsd
cos cos
sen 
sen 
 FT = Vsd (cotg  - cotg )
É interessante verificar que para armaduras inclinadas a 45 e com a inclinação das
bielas também a 45 não há influência o esforço transverso nos banzos traccionados e
comprimidos de flexão.
Compressões na alma:
c =
Vsd (1 + cotg2 )
fck
 0.6 1 - 250 fcd
bw z (cotg  + cotg )


ou
fck
(cotg  + cotg )
Vmax
= bw z 0.6 1 - 250 fcd
rd


(1 + cotg2 )
Verifica-se que, naturalmente, estas expressões são equivalentes às deduzidas
anteriormente se  = 90.
125
Estruturas de Betão I
7.11
SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL
Nos casos em que as secções apresentam largura variável, bw considera-se, para
efeito da avaliação das compressões nas bielas de compressão, a menor largura
numa zona compreendida entre a armadura traccionada e ¾ da altura útil.
bw
d
3/4 d
bw
No caso de secções circulares, poderá considerar-se, para efeitos da verificação da
segurança ao esforço transverso, uma secção rectangular equivalente, com as
seguintes características:
AsL
de

AsL/2
be0.9D
D
D
de = 0.45D + 0.64 d -  (expressão aferida experimentalmente)
 2
7.12
FORÇAS DE DESVIO
Apresenta-se
seguidamente
alguns
aspectos
que
são
necessários
ter
em
consideração na pormenorização de armaduras longitudinais em situações de
mudança de direcção das armaduras ou da superfície do betão.
Quando um varão de uma armadura traccionada possui um ponto anguloso, gera-se
uma força de desvio nesse ponto, tal como ilustrado na figura seguinte.
Fs
FD
Fs
Nestes casos, há que ter em atenção a posição do varão e o valor e sentido da força
de desvio da armadura. Se essa força é no sentido do interior da peça é facilmente
absorvida. Pelo contrário se a força tem o sentido do interior para o exterior da peça,
poderá provocar a rotura local da camada de betão de recobrimento.
126
Estruturas de Betão I
(a) Situação em que não ocorre rotura
(b) Situação em que poderá ocorrer rotura
Para contrariar este efeito há que tomar disposições de pormenorização que a seguir
se referem dependentes da maior ou menor variação angular.
i) >15 - Solução muito usual de “amarrar” a armadura de um e outro lado do desvio
angular, evitando-se a força de desvio para o exterior.
M

M
ii) <15 - Situação possível de manter a armadura contínua e “suspender” a força de
desvio, amarrando-a na face contrária.
Secção A-A
A
M
M
ou
A
Por outro lado, poderá haver situações em que a força de desvio se verifica do lado
das compressões, gerando-se a tendência para o canto de betão “saltar” devido à
menor resistência do betão à tracção.
Nestes casos pode-se “agarrar” a força de desvio da zona comprimida do betão
amarrando-a, com estribos, na face oposta.
127
Estruturas de Betão I
FD
Fc
M
M
7.13
Fc
TORÇÃO
Em regime elástico linear as tensões tangenciais na secção têm a distribuição
esquematizada na figura seguinte, de onde decorre que, para um elemento de betão
armado, a fendilhação diagonal desenvolver-se-á, na direcção longitudinal, ao longo
do contorno da secção. Assim sendo, os modelos anteriormente apresentados para o
esforço transverso serão neste capítulo generalizados ao estudo de elementos de
betão submetidos à torção.
Por outro lado, como se analisa de seguida, em várias situações de dimensionamento
prático verifica-se que é possível equilibrar as cargas sem torção, através de uma
determinada redistribuição de esforços, solução que se adopta correntemente. Para tal
é importante, desde já, distinguir as situações de torção de equilíbrio e de
compatibilidade.
7.13.1 TORÇÃO DE EQUILÍBRIO
A distribuição de esforços tem de incluir a torção para o equilíbrio da estrutura, ou
seja, não é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a existência
de momentos torsores.
128
Estruturas de Betão I
Exemplo simples:
Fs
DMT
[kNm]
(-)
A barra longitudinal tem necessariamente de ter torção, pois trata-se de uma estrutura
isostática.
7.13.2 TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE
Como ilustrado na figura seguinte, ao ocorrer a fendilhação por torção, verifica-se uma
importante redução da rigidez de torção. Pode também observar-se que, tanto a
capacidade resistente à torção como a rigidez após fendilhação, apresentam valores
muito próximos para vigas maciças ou ocas, com iguais dimensões exteriores e
quantidades de armaduras.
Se a estrutura é hiperstática a distribuição de esforços depende, como é conhecido, da
relação entre a rigidez de flexão e torção. No caso limite de se considerar uma rigidez
de torção nula é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a
existência de momento torsor na estrutura.
Como se referiu, a redução de rigidez de torção é muito significativa, após a
fendilhação, pelo que a estrutura tende a equilibrar as cargas com poucos esforços de
torção. Assim, nesses casos, em muitas situações admite-se, na verificação da
129
Estruturas de Betão I
segurança à rotura, uma distribuição de esforços sem torção, com base na tendência
natural do comportamento e no método estático da Teoria da Plasticidade.
Exemplo:
Como se compreende, é neste caso possível equilibrar, com ou sem esforços de
torção na barra transversal, as cargas aplicadas a esta estrutura. De facto, se a rigidez
de torção da barra transversal fôr nula, a barra longitudinal pode apoiar-se
indirectamente na viga transversal sem transmissão do momento negativo.
7.13.3 TORÇÃO ANALISADA COMO ESFORÇO TRANSVERSO
No que se segue apresenta-se os mecanismos de funcionamento estrutural de peças
submetidas à torção, próximo da rotura, em elementos de betão armado. Como se
ilustra nos esquemas juntos, para uma viga constituída por uma secção em caixão, o
momento torsor de peça linear é estaticamente equivalente aos 4 esforços
transversos que se desenvolvem nas paredes da secção.
130
Estruturas de Betão I
A torção pode assim ser equiparada, em termos de dimensionamento, a 4 modelos de
esforço transverso nas 2 almas e nos 2 banzos, com a necessidade de verificar a
segurança nos mesmos campos de tensão correspondentes. Há, assim, necessidade
de avaliar a armadura transversal necessária, verificar a limitação das compressões e,
particularmente neste caso, calcular a armadura longitudinal que se desenvove nas
ligações das “paredes” da secção.
Para a análise de uma secção de betão armado sujeita a um momento torsor, pode
definir-se, então, uma secção oca (secção oca eficaz), conforme ilustrado na figura
131
Estruturas de Betão I
que se segue. Como anteriormente salientado, relembra-se que, mesmo para uma
secção compacta, as zonas do contorno são as mais eficientes na resposta à torção.
Tal tendência é reforçada num elemento de betão armado fendilhado por torção pelo
que se propõe, em geral, na sua verificação da segurança, um mecanismo resistente
que não considera o betão da zona interior da peça.
de torção
2c’  tef
A
u
onde,
hef
T
c’ = c + estribo + long/2
hm
A – área da secção de betão
u – perímetro da secção
bm
secção oca eficaz
Representando a secção oca eficaz pela sua linha média, por condições de equílibrio:
Em secções de parede fina,  =
T
2e
 – área interior à linha média da secção
T
e – espessura da parede

pelo que, neste caso,  =
T
2 hm bm tef
A resultante de cada uma destas tensões tangenciais não é mais que um esforço de
corte em cada parede da secção,
132
Estruturas de Betão I
VH
VH =   tef  bm =
T
2 hm
VV =   tef  hm =
T
2 bm
T
VV
confirmando-se assim que a torção é equivalente à consideração de esforços
transversos no contorno.
7.13.4 DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORÇO TRANSVERSO
Considerando, portanto, o modelo de treliça com  a definir pelo projectista, e partindo
das verificações de esforço transverso, temos o seguinte.
Compressão
Tomando uma parede vertical da secção:
c =
Vv
T
=
tef hm cos  sen  2 bm tm hef cos  sen 
 c =
Tsd
fck
 0.6 1 - 250  fcd ,
2 Aef tef cos  sen 


Aef = bm  hm
(parede horizontal: conclusão semelhante)
Armadura transversal de torção
numa parede vertical,
Ast
Tsd
Ast
Vv
T
s = hm cotg  fyd = 2 bm hm tef cotg  fyd  s = 2 Aef cotg  fyd
(área de cada ramo do estribo)
É importante referir que se tomasse uma parede horizontal as expressões de
dimensionamento, função directa do momento torsor, seriam as mesmas.
Armadura longitudinal de torção
Como se verificou na verificação de segurança ao esforço transverso o equilíbrio da
treliça só é possível com tracções longitudinais de valor FT = V cotg  a distribuir
igualmente nos banzos superior e inferior. No caso do esforço transverso com flexão,
133
Estruturas de Betão I
verificou-se que esse incremento de força no banzo traccionado podia ser considerado
através de uma translacção do diagrama de flexão, sendo que no banzo comprimido
correspondia mesmo a um efeito favorável de redução das tensões de compressão.
No caso da torção as forças de tracção desenvolvem-se ao longo de todo o contorno,
sendo em geral mais prático, para o dimensionamento das armaduras longitudinais,
considerá-las explicitamente, em conjunto com as forças correspondentes aos efeitos
de flexão.
H
Numa parede vertical,
VV
VV
hm
' = Vv  cotg 
ASL
fyd
'' = VH  cotg 
Numa parede horizontal, ASL
f
yd
(FT = V cotg )
VH
bm
Nas quatro paredes,
ASL = 2 [Vv + VH]
=T
cotg 
T
T  cotg 
=2
+
=
fyd
2 bm 2 hm fyd
Tsd cotg  uef
2 (bm + hm) cotg 
uef cotg 
, ou
2 bm hm
fyd = T 2 Aef fyd ASL =
2 Aef fyd
ASL Tsd cotg 
uef = 2 Aef fyd
É interessante verificar que para  igual a 45º as quantidades de armadura transversal
e longitudinal por unidade de comprimento são iguais como seria normal na torção.
134
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 9
Determine o momento torsor resistente da secção indicada na figura.
420
Materiais: C25/30
Est. 8//0.15
0.40
A400
Recobrimento = 2.5cm
0.40
135
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 9
1. Determinação das características da secção oca eficaz
A
0.42
hef u =
= 0.1 m
4  0.4
hef = 2c' = 2  (2.5 + 0.8 + 1) = 8.6 cm  hef = 0.09m
bm = hm = 0.40 - 0.09 = 0.31m
Aef = bm  hm = 0.31  0.31 = 0.096 m2
uef = 0.31  4 = 1.24 m
Ast
= 3.35 cm2/m
s
;
ASL = 12.57 cm2
2. Verificação das compressões
(Adopta-se  = 30)
c =
Tsd
fck
 0.6 1 - 250  fcd 
2 Aef hef cos  sen 


Tsd  0.54 fcd  2  Aef  hef  cos  sen  
 Tsd  0.54  16.7  103  2  0.096  0.09  cos 30  sen 30 = 67.5kNm
3. Armadura transversal
Ast
Tsd  s  2  Aef  cotg  fyd=3.35  10-4  2  0.096  cotg 30  348  103 
 Tsd  38.7kNm
4. Armadura longitudinal
Tsd 
ASL  2  Aef  fsyd 12.57  10-4  2  0.096  348  103
=
= 39.1kNm
cotg  uef
cotg 30  1.24
 TRd = 38.7kNm
136
Estruturas de Betão I
7.14
EFEITO CONJUNTO TORÇÃO / ESFORÇO TRANSVERSO
Quando a torção está associada ao esforço transverso, há que ter em conta o seu
efeito conjunto, como se esquematiza seguidamente.
Q3
T/2hm
V/2
V/2
Q1
T/2bm
+
Q2
=
Q4
Em que os esforços de corte totais nas diferentes paredes da secção são dados por:
Q1 =
7.15
V
T
V
T
T
+
; Q2 = ; Q3 = Q4 =
2 2 bm
2 2 bm
2 hm
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORÇÃO
Especificamente em relação às disposições de armadura de torção refere-se o
seguinte.
7.15.1 ARMADURA TRANSVERSAL
O espaçamento máximo da armadura transversal deve ser, de acordo com o EC2, tal
que:
1
smáx = min 8 uef,b,h


A recomendação da figura para que s seja inferior a 12 vezes o diâmetro longitudinal é
também importante.
Evidentemente se houver sobreposição com o esforço transverso as disposições
condicionantes devem prevalecer.
A armadura transversal deve ter o fecho dos estribos bem amarrados (ver figura
seguinte), em particular os comprimentos dos ganchos de amarração.
137
Estruturas de Betão I
7.15.2 ARMADURA LONGITUDINAL
Devem-se seguir as seguintes orientações:
(i) Espaçamento máximo da armadura longitudinal: smáx = 35 cm
(ii) Disposição da armadura na secção transversal: Armadura disposta ao longo do
contorno interior das cintas. Em cada vértice da secção deverá existir, pelo menos,
1 varão e esses cantos devem ter, se possível, um reforço de armadura em
relação ao restante.
7.16
DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECÇÃO
Chama-se particularmente a atenção para a consideração, na verificação da
segurança, da sobreposição das compressões, quando se tem presente esforço
transverso e torção, que limita o conjunto dos valores máximos esforço
transverso/momento torsor. Também ao nível da pormenorização das armaduras há
que considerar em conjunto as armaduras transversais de torção e esforço transverso
e de torção e flexão.
Finalmente, apresenta-se, em termos esquemáticos, as dependências, em termos de
quantidades de armadura e/ou verificações das compressões máximas, entre as
diferentes verificações de segurança.
Msd
AsL
Vsd
c
Asw
s
compressão no banzo
armaduras longitudinais
aL
Tsd
c
Ast
s
AsL
c
compressão nas bielas inclinadas
armaduras transversais
138
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 10
Verifique a segurança ao estado limite último da viga indicada na figura, na secção dos
apoios.
30 kN/m
0.15
psd
0.15
0.50
0.30
1.00
5.00
(os apoios impedem a rotação da viga segundo o seu eixo)
Materiais: C25/30; A400
Recobrimento = 2.5cm
139
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 10
1. Determinação dos esforços
30 kN/m
DMF
[kNm]
pL2 30  52
Msd = 8 =
= 93.8kNm
8
(+)
93.8
DET
[kN] 75.0
(+)
pL
30  5
Vsd = 2 =
= 75kNm
2
(-)
75.0
11.25
(+)
Tsd = 30  0.15 
(-)
5
= 11.25 kNm
2
11.25
2. Características da secção oca eficaz
A
0.5  0.5
hef = u = 2 (0.3 + 0.5) = 0.09m
hef  (2.5 + 0.6 + 0.5) 2  7cm
hm = 0.5 - 0.09 = 0.41m
;
bm = 0.3 - 0.9 = 0.21
Aef = 0.21 x 0.41 = 0.0862
z = hm
uef = 2 (0.21 + 0.41) = 1.24m
p
p
Cargas transmitidas
directamente ao apoio
h ef

z cotg 

Vzcotg
= 75 - 30  0.41  cotg 30 = 53kN
sd

Tzcotg
= 11.25 - (30  0.15) 0.41  cotg 30 = 8.05kNm
sd
140
Estruturas de Betão I
Verificação das Compressões
Torçãoc =
=
Tsd
=
2 Aef hef sen  cos 
1201
8.05
= 1201 kN/m2
2  0.086  0.09  sen 30 cos 30
Esf. Transverso: c =
=
Vsd
=
b z sen  cos 
53.7
= 1008 kN/m2
0.3  0.41  sen 30 cos 30
1008
1201
TOTAL
= 1201 + 1008 = 2209 kN/m2
c
1201-1008
= 193
fck
c ≤ 0.6 1 - 250  fcd = 9018 kN/m2


2209
1201
Armadura transversal
Ast
Tsd
8.05
Torção:  =
=
= 0.78cm/m2
s 2 Aef cotg  fyd 2  0.086  cotg 30  34.8
(por ramo)
Asw
Vsd
53.7
Esf. Transverso: s =
=
= 2.17cm2/m
z cotg  fyd 0.41  cotg 30  34.8
(2 ramos)
2.17
Ast + Asw
= 0.78 + 2 = 1.87cm2/m
s
s

 /ramo
Est 6//0.15 (1.88 cm2/m)
Armadura longitudinal no apoio
Torção: ASl =
Tsd  cotg  uef
2 Aef fyd
(Tsd no apoio)
p
cotg 1 = 0.5
b=0
z
b
+ 0.5 cotg 
z
 cotg 1 = 0.5 cotg 
1

z
b = 2  cotg 1 = 0.25 + 0.5 cotg 
z cotg 
z cotg 
2
b
141
Estruturas de Betão I
Asl =
Tsd (0.25 + 0.5 cotg ) uef 11.25 (0.25 + 0.5 cotg 30) 1.24
=
= 2.6cm2 (4 faces)
2 Aef fyd
2  0.086  34.8
Esforço transverso:
ASl,ap =
(Vsd no apoio)
Vsd cotg 1 75 (0.25 + 0.5 cotg 30)
=
= 2.41cm2
fyd
34.8
0.21
Face inferior: Asl = 2.41 + 2.6 1.24 = 2.85cm2
0.21
Face superior: Asl = 2.6 1.24 = 0.44cm2
;
Faces laterais: Asl = 2.6
0.41
2
1.24 = 0.86cm
Pormenorização
As (1/2 vão)
2
Msd = 93.8kN
26
= 0.092   = 0.099
Ent 6//0.15
26
= 6.39cm2 (216 + 212)
142
Estruturas de Betão I
8 DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E PRÉESFORÇADO
8.1 Introdução
Neste capítulo definem-se as principais causas de deterioração das estruturas de
betão, explicam-se os respectivos mecanismos de degradação e definem-se as
disposições
construtivas
e
de
qualidade
de
materiais
para
contrariar
o
desenvolvimento desses processos. Estas disposições são enquadradas no que se
denomina de garantia da durabilidade.
Durabilidade de uma Estrutura – Aptidão de uma estrutura para desempenhar as
funções para que havia sido concebida durante o período de vida previsto, sem que
para tal seja necessário despender custos de manutenção e reparação imprevistos.
Evidentemente que os objetivos de durabilidade requeridos dependem do período de
vida previsto para a estrutura, da sua importância e custos de investimento
associados, definindo-se 5 categorias como apresentado no quadro seguinte
Categorias para
Valores indicativos
Exemplos
o período de
do período de vida
vida
(anos)
1
10
2
10 a 25
Partes estruturais substituíveis (apoios, ...)
3
15 a 30
Estruturas para agricultura ou similares
4
50
Estruturas de edifícios e outras estruturas comuns
5
100
Monumentos, pontes e outras obras públicas
Estruturas temporárias (1)
(1) Estruturas que podem ser desmontadas para serem reutilizadas não são consideradas temporárias
Verifica-se assim que para obras mais correntes a categoria a adoptar é a 4
correspondente a um período de vida de 50 anos.
143
Estruturas de Betão I
8.2
Mecanismos de Deterioração
A deterioração das estruturas de betão é causada por fenómenos físicos e químicos
de diversas naturezas.
Normalmente distinguem-se os mecanismos que conduzem à deterioração das
armaduras e os mecanismos que conduzem à deterioração do betão pois envolvem
fenómenos muito diferentes.
8.2.1 Deterioração por Corrosão das Armaduras
A deterioração por corrosão de armaduras está, em geral, associada à despassivação
do aço pela acção da carbonatação ou dos cloretos. Após ocorrer a despassivação, o
processo de corrosão do aço desenvolve-se originando a perda de secção dos varões
e a fendilhação e delaminação do betão de recobrimento dado que os produtos
originados na corrosão apresentam uma elevada expansão e, por conseguinte, geram
tensões de tracção muito elevadas no betão.
A figura seguinte apresenta uma estrutura em que o processo de corrosão por acção
da carbonatação se desenvolveu observando uma delaminação extensa do betão de
recobrimento. Como é fácil de entender este tipo de anomalia causa uma perda
significativa da capacidade resistente dos elementos estruturais, não só pela perda de
secção da armadura, mas também por perda de aderência dos varões ao betão.
144
Estruturas de Betão I
- Despassivação das armaduras
No betão não contaminado as armaduras encontram-se protegidas contra a corrosão
devido à elevada alcalinidade do meio que é conferida pelos hidróxidos resultantes
das reacções de hidratação do cimento.


Hidróxido de sódio e potássio 
Hidróxido de cálcio
 pH  12.5 a 13.5
Nestas condições forma-se à superfície da armadura uma barreira de protecção
(película passiva) que impede a sua corrosão.
Protecção das armaduras no betão
Quando o pH desce para valores inferiores a 10 - 11, ou o teor de cloretos ultrapassa
o valor crítico, ocorre a destruição da película passiva.
A despassivação das armaduras vai originar o início do mecanismo da corrosão
Corrosão das armaduras após a dissolução da película passiva
145
Estruturas de Betão I
Para se avaliar a possibilidade ou o risco de despassivação das armaduras recorre-se
a ensaios de medição da profundidade de carbonatação e medição do teor em
cloretos do betão

Profundidade da carbonatação
 Interesse
em
relacionar
a
profundidade
da
carbonatação
com
o
recobrimento.
 Pode ser realizado em carotes de pequeno diâmetro (ver figura) ou furos
(ensaiando o betão em profundidades crescentes até se deixar de verificar a
carbonatação) aspergindo o betão com fenolftaleína.
Ensaio de carbonatação com fenolftaleína

Teor em cloretos
 Interesse em relacionar o teor crítico de cloretos com o recobrimento.
 Pode ser realizado analisando amostras de betão extraídas a diferentes
níveis de profundidade com auxílio de uma broca ou a amostras obtidas de
carotes.
146
Estruturas de Betão I
-
Cl
(% massa de cimento)
prof. de perfuração
varão
0.4% teor crítico
Recobrimento (mm)
- Corrosão das Armaduras
O mecanismo da corrosão é um processo electroquímico que pode ser comparado ao
funcionamento de uma pilha. Neste mecanismo estão envolvidas reacções químicas e
correntes eléctricas.
Para que a corrosão se possa desenvolver é necessário a presença dos seguintes
elementos:
Ânodo
Zona da armadura despassivada
Cátodo
Zona da armadura com acesso ao oxigénio
Condutor eléctrico
Armadura
Electrólito
Betão
Na figura seguinte está representado de forma simplificada o mecanismo da corrosão.
147
Estruturas de Betão I
Modelo de uma célula de corrosão
No ânodo formam-se os produtos da corrosão aos quais está associado um grande
aumento de volume. Geram-se tensões de tracção muito elevadas que acabam por
fendilhar e delaminar o betão de recobrimento.
Volume relativo dos produtos da corrosão
148
Estruturas de Betão I
Caracterizado o mecanismo da corrosão podem ser ilustradas as situações em que
não ocorre corrosão significativa das armaduras
 A armadura não está despassivada  não se forma o ânodo
 Em elementos submersos não há disponibilidade de oxigénio  a reacção
catódica é reduzida
 Em elementos situados em ambientes secos o betão tem uma condutividade
baixa  a intensidade de corrente eléctrica que passa no electrólito é muito
reduzida
- Efeitos da Deterioração
Os efeitos de corrosão das armaduras traduzem-se nos seguintes aspectos:
 Fendilhação e delaminação do betão de recobrimento
 Perda de aderência aço/betão
 Perda de secção e ductilidade do aço
A figura mostra uma parede de umas docas marítimas com uma delaminação do betão
de recobrimento num estado muito avançado devido, essencialmente, à acção dos
cloretos.
Os efeitos estruturais podem traduzir-se numa alteração do comportamento dos
mecanismos resistentes dos elementos estruturais como se ilustra na figura seguinte
relativa a uma viga em que se simula o efeito da delaminação do betão junto ao apoio.
149
Estruturas de Betão I
A delaminação do betão ao reduzir ou anular a aderência altera o andamento dos
campos de tensão com consequências relevantes ao nível dos valores das tensões
actuantes.
Modelo de transmissão de cargas para o apoio
Alteração modelo de transmissão de cargas devida à deterioração
150
Estruturas de Betão I
A capacidade resistente das secções é também significativamente afectada pela
corrosão como se ilustra seguidamente para o caso do momento resistente.
MR = FS x Z = FC x Z
A corrosão por acção dos cloretos é muito gravosa dado conduzir ao fenómeno
designado por corrosão localizada onde se verificam elevadas perdas de secção das
armaduras como se ilustra nas figura seguintes.
Corrosão localizada de varões numa parede
Corrosão localizada de um estribo
151
Estruturas de Betão I
A corrosão por acção da carbonatação não apresenta, em geral, este tipo de problema
dado tratar-se de uma corrosão uniforme. Nestes casos é a perda de aderência que
constitui o principal aspecto que afecta a capacidade resistente do elemento.
8.3 Deterioração do betão
Relativamente à deterioração do betão, os mecanismos podem ser de natureza física
e química.
Os de natureza física estão associados ao desgaste por abrasão, situação que ocorre
normalmente em pavimentos sujeitos a tráfego intenso, desgaste por erosão quando
os elementos estão sujeitos à acção da água em movimento transportando partículas
sólidas. Uma outra situação é relativa a um fenómeno designado por cavitação o qual
pode ocorrer em elementos sob a acção do escoamento de água com elevada
velocidade. Nestes casos, uma mudança brusca da direcção do escoamento pode
originar bolhas de vapor de água no interior do líquido as quais implodem com grande
libertação de energia afectando as camadas superficiais do betão.
Os mecanismos de natureza química são os que ocorrem com maior frequência. A
deterioração pode estar associada à decomposição da pasta de cimento com a
consequente perda das propriedades ligantes e, por conseguinte, perda de resistência
do betão ou a reacções expansivas dos componentes da pasta de cimento ou, ainda,
a fenómenos que envolvem reacções químicas com os agregados.
Relativamente à deterioração que envolve a pasta de cimento referem-se os seguintes
fenómenos:
–
acção dos ácidos, águas puras e sais de amónio e magnésio que provocam a
decomposição dos compostos hidratados do cimento;
–
acção da água do mar, nomeadamente as reacções que envolvem os iões
agressivos que a constituem: sulfatos e magnésio;
–
acção dos sulfatos
Relativamente à deterioração que envolve os agregados referem-se a reacção entre
os álcalis e a sílica reactiva e outros tipos de minerais como alguns tipos de
carbonatos.
As reacções químicas mais significativas e as suas consequências são as seguintes:
 Reacção dos sulfatos com os aluminatos da pasta de cimento
 Reacção expansiva  fendilhação do betão, perda de resistência
152
Estruturas de Betão I
 Reacção dos álcalis com os agregados reactivos do betão
 Reacção expansiva  fendilhação do betão
 Reacção dos ácidos, sais de magnésio, sais de amónio e águas puras sulfatos
com a pasta de cimento
 Perda das propriedades ligantes  perda de resistência
As reacções álcalis-agregado apresentam um grande significado em Portugal, tendo
sido identificadas em diversas obras nos últimos anos. Estas reacções são lentas,
desenvolvendo-se num período de 10 a 30 anos até que os seus efeitos sejam
visíveis.
A deterioração resulta da hidratação de um gel da reacção entre os álcalis sódio e
potássio (Na+ e K+), iões de hidróxido e agregados reactivos (sílica, silicatos e
carbonatos). Para que ocorra expansão significativa é necessário que haja água
suficiente para hidratar o gel da reacção pelo que são as estruturas em contacto com
água as mais sensíveis a este fenómeno.
As figuras seguintes ilustram as consequências deste tipo de deterioração.
Arco
Pilares
Efeitos da reacção expansiva álcalis-sílica no arco e pilares de um viaduto
153
Estruturas de Betão I
Efeitos da reacção expansiva álcalis-sílica numa viga pré-esforçada
Um aspecto que interessa referir é que nos elementos estruturais sujeitos a
compressões significativas a fendilhação tende a ter a direcção das tensões de
compressão por efeito da sobreposição das tensões provocadas pelas acções
actuantes com as induzidas pela expansão.
As reacções sulfáticas podem ser de origem externa ou interna. As de origem externa
ocorrem, em geral, quando os elementos estão expostos a águas freáticas ou a solos
contaminados com sulfatos. Estes iões agressivos penetram para o interior do betão e
vão reagir com os aluminatos de cálcio resultantes da hidratação do cimento dando
origem a etringite (trisulfoaluminato de cálcio hidratado). Este produto é fortemente
expansivo originando a fendilhação e decomposição do betão. Por vezes observa-se
um produto branco que resulta da reacção como indicado na figura seguinte. A
deterioração processa-se de forma progressiva do exterior para o interior dos
elementos.
Efeitos da reacção sulfática externa observando-se uma substância branca
A reacção sulfática interna resulta da reacção entre o sulfato de cálcio do cimento com
os aluminatos de cálcio. Como se sabe, o cimento contem uma certa quantidade de
sulfato de cálcio que actua como regulador de presa. Este produto é consumido nas
primeiras idades, quando o betão ainda não endureceu, pelo que não causa
problemas. Todavia, se o sulfato de cálcio não for consumido nas primeiras idades, vai
154
Estruturas de Betão I
reagir posteriormente com os aluminatos causando expansão significativa e a
correspondente deterioração. Este fenómeno pode ocorrer se a temperatura do betão
na fase de presa e endurecimento atingir valores muito elevados (em geral acima de
70 ºC). Trata-se de um tipo de deterioração que tem especial relevância em elementos
que envolvem a betonagem de grandes massas de betão. Nestes casos o calor de
hidratação do cimento pode aumentar a temperatura do betão para valores acima dos
70 ºC inibindo a reacção dos sulfatos do cimento. Outra situação refere-se aos casos
em que se utiliza cura a vapor para acelerar o endurecimento do betão como, por
exemplo, na pré-fabricação. A figura seguinte ilustra uma viga em que a reacção
sulfática interna se desenvolveu.
A especificação LNEC E 461 define as metodologias preventivas para evitar o
desenvolvimento das reacções expansivas internas (sulfatos e álcalis-agregado).
Outro tipo de deterioração do betão é a acção dos ciclos de gelo-degelo que causam a
fendilhação do betão. Trata-se de um processo de deterioração que vai progredindo
sucessivamente da superfície para o interior do betão. Em Portugal este mecanismo
apresenta reduzido significado dadas as temperaturas amenas no país. A acção do
fogo pode originar a decomposição do betão se as temperaturas dos elementos
atingirem valores elevados, acima de 500 ºC. Nos esgotos surge um outro tipo de
deterioração designado por ataque biológico. Trata-se na realidade de um ataque
ácido que é produzido por bactérias.
155
Estruturas de Betão I
8.4 Ambiente de Exposição
Consoante as condições de exposição dos elementos estruturais, naturalmente que os
riscos de deterioração são diferentes. Em termos regulamentares definem-se então
diferentes classes de exposição como indicado no quadro a seguir apresentado.
CLASSES DE EXPOSIÇÃO
Designação da Descrição do ambiente
Exemplos informativos de condições
classe
em que podem ocorrer as classes de
exposição
1 Nenhum risco de corrosão ou ataque
X0
Para betão sem armadura ou elementos Betão no interior de edifícios com uma
metálicos
embebidos:
todas
as humidade do ar ambiente muito baixa
exposições excepto em situação de
gelo/degelo, abrasão ou ataque químico
Para betão com armadura ou elementos
metálicos embebidos: muito seco
2 Corrosão induzida por carbonatação
XC1
Seco ou permanentemente húmido
Betão no interior de edifícios com uma
humidade do ar ambiente baixa
Betão permanentemente submerso em
água
XC2
Húmido, raramente seco
Superfícies de betão sujeitas a contacto
prolongado com água
Um grande número de fundações
XC3
Humidade moderada
Betão no interior de edifícios com uma
humidade do ar ambiente moderada ou
elevada
Betão exterior protegido da chuva
XC4
Alternadamente húmido e seco
Superfícies de betão sujeitas a contacto
com água, não incluídas na classe de
exposição XC2
3 Corrosão induzida por cloretos
XD1
Humidade moderada
Superfícies de betão expostas a cloretos
transportados pelo ar
XD2
Húmido, raramente seco
Piscinas
Elementos de betão expostos a águas
industriais contendo cloretos
XD3
Alternadamente húmido e seco
Elementos de pontes expostos
pulverizações contendo cloretos
a
Pavimentos
Lajes de parques de estacionamento
156
Estruturas de Betão I
4 Corrosão induzida por cloretos presentes na água do mar
XS1
Exposto ao sal transportado pelo ar mas Estruturas próximas da costa ou na costa
não em contacto directo com a água do
mar
XS2
Permanentemente submerso
Elementos de estruturas marítimas
XS3
Zonas sujeitas aos efeitos das marés, da Elementos de estruturas marítimas
rebentação e da neblina marítima
5. Ataque gelo/degelo
XF1
Saturação moderada em água, sem Superfícies verticais de betão expostas à
chuva e ao gelo
produto descongelante
XF2
Saturação moderada em água, com Superfícies verticais de betão de
estruturas rodoviárias expostas ao gelo e
produtos descongelantes
a produtos descongelantes transportados
pelo ar
XF3
Saturação
elevada
em
água,
produtos descongelantes
XF4
Saturação
elevada
em
sem Superfícies horizontais de betão expostas
à chuva e ao gelo
água
com Estradas e tabuleiros de pontes expostos
a produtos descongelantes
produtos descongelantes ou com água do
Superfícies de betão expostas a
mar
pulverizações directas contendo produtos
descongelantes e expostas ao gelo
Zonas sujeitas aos efeitos da rebentação
de estruturas marítimas expostas ao gelo
6. Ataque químico
XA1
Ambiente químico ligeiramente agressivo, Terrenos naturais e água no terreno
de acordo com a EN 206-1, Quadro 2
XA2
Ambiente
químico
moderadamente Terrenos naturais e água no terreno
agressivo, de acordo com a EN 206-1,
Quadro 2
XA3
Ambiente químico altamente agressivo, Terrenos naturais e água no terreno
de acordo com a EN 206-1, Quadro 2
Nota: Este quadro é parte integrante da EN1992-1-1 (EC2) – Capítulo 4. A composição do
betão afecta quer a protecção das armaduras quer a resistência do betão aos ataques. O
Anexo E dá classes de resistência indicativas para as diferentes classes de exposição. Tal
pode conduzir à escolha de classes de resistência mais elevadas do que as que seriam
necessárias ao cálculo estrutural. Neste caso, deve adoptar-se o valor de fctm associado à
resistência mais elevada para o cálculo da armadura mínima e para o controlo da largura de
fendas (ver 7.3.2 a 7.3.4).
157
Estruturas de Betão I
Apresentam-se seguidamente dois exemplos com a indicação das classes de
exposição consoante os ambientes a que os elementos estruturais estão expostos.
Exemplo 1: Ambiente exterior afastado da orla marítima
XC4 / XD
Ambiente Exterior – microambientes possíveis
Ambientes: XC – Corrosão por acção da carbonatação
XD – Risco de corrosão induzida por acção de cloretos de origem diversa
da água do mar
XA – Ataque químico
XC4 – Betão sujeito a contacto pouco prolongado com a água
XC4/XD3 – Betão sujeito a contacto prolongado com a água e com o risco de
pulverizações contendo cloretos
XC3 – Betão exterior protegido da chuva
XC2 – Ambiente húmido raramente seco como correntemente nas fundações
XA – betão em contacto com solos ou águas agressivas (XA1; XA2; XA3)
158
Estruturas de Betão I
Exemplo 2: Ambiente marítimo
CORTE TIPO
XC3/XS1
XC4/XS1
XC4/XS3
XC4/XS3/XA1
XC2/XS2/XA1
Ambientes XS – Corrosão induzida por cloretos na água do mar
XC – Corrosão induzida por carbonatação
XA – Ataque químico
Zona Atmosférica – Corrosão das Armaduras (XS1 – Sal transportado pelo ar mas
sem contacto directo com a água; XC3/XC4 – carbonatação )
Zona de Rebentação – Corrosão das Armaduras (XS3 – Zona sujeita a ciclos de
molhagem/secagem com água do mar; XC4 – carbonatação)
Zona de Maré – Corrosão das Armaduras XS3; Ataque Químico do betão XA1; XC4 –
carbonatação
Zona Submersa – Corrosão das Armaduras XS2; Ataque Químico do betão XA1; XC2
– carbonatação
8.5 Período de Iniciação e Período de Propagação
No processo de deterioração das estruturas estão geralmente envolvidas duas fases
conforme ilustrado na figura seguinte.
A primeira fase corresponde ao período em que os agentes agressivos penetram para
o interior do betão mas não desenvolvem deterioração significativa. Nesta fase a
estrutura pode estar sujeita a um nível de contaminação elevado sem que haja sinais
159
Estruturas de Betão I
visíveis de deterioração (fase de iniciação). A segunda fase corresponde ao período
em que os fenómenos de deterioração desenvolvem-se de forma significativa (fase de
propagação).
Num problema de corrosão de armaduras o fim do período de iniciação representa a
despassivação das armaduras e o período de propagação corresponde ao
desenvolvimento da corrosão.
Face ao referido, verifica-se que é necessário programar acções de inspecção, mesmo
que não existam sinais de deterioração visíveis, por forma a permitir realizar
operações de manutenção antes que os mecanismos de deterioração mais severos se
desenvolvam.
Os custos de reparação de uma estrutura que se apresente na fase de propagação
são sempre elevados. Uma forma de aumentar o período de iniciação, mesmo em
ambientes agressivos, é através da garantia de um recobrimento eficiente e betão com
boa compacidade, como explicitado nas figuras seguintes.
Influência do recobrimento na profundidade de carbonatação
160
Estruturas de Betão I
Recobrimento mínimo e qualidade (resistência) do betão – Valores de referência
8.6 - Metodologia para a Garantia da Durabilidade
A garantia da durabilidade é naturalmente um problema estatístico. Os parâmetros
associados à avaliação destes fenómenos (ex: corrosão) têm uma determinada
variabilidade que pode ser caracterizada por distribuições estatísticas. Trata-se de um
problema semelhante ao da verificação da segurança estrutural sob a acção de cargas
actuantes.
A avaliação não pode ser feita com base em valores médios. Deve ser feita em termos
de probabilidade de ocorrência. Por exemplo de 10%, para um certo período de vida.
A figura seguinte ilustra de uma forma simplificada como é que o problema pode ser
analisado. A situação em análise refere-se à despassivação das armaduras onde o
recobrimento das armaduras se representa por R (resistência) e a profundidade de
carbonatação por S (acção). Ambos os parâmetros são definidos em função do tempo.
Para cada período de tempo é possível definir uma probabilidade de falha pf. O
período de vida útil da estrutura é definido para uma determinada probabilidade de
falha assumida com aceitável (2 a 10% dependendo da importância da estrutura).
Importa referir que a despassivação das armaduras não é um problema de estado
161
Estruturas de Betão I
limite último, podendo ser considerada uma situação idêntica a um estado limite de
serviço, razão pela qual se assumem probabilidades de falha da ordem de 10%.
O problema pode, também, ser analisado em termos do tempo de vida útil conforme
ilustrado na parte inferior do gráfico em que T L é a distribuição da viga útil da estrutura
e Tg é a vida útil pretendida associada a uma determinada probabilidade de falha.
O problema apresenta alguma complexidade na sua análise dada a dificuldade de
caracterizar de forma adequada a variabilidade dos parâmetros que influenciam a
despassivação das armaduras.
No entanto, apesar da dificuldade estatística, foi possível definir valores de
recobrimentos e características dos betões de forma a assegurar a durabilidade
necessária (período de vida) para as diferentes classes de exposição ambiental.
Para definir o recobrimento das armaduras o Eurocódigo 2 introduz o conceito de
classe estrutural, indicando para cada classe os recobrimentos a adoptar em função
das diferentes classes de exposição ambiental conforme indicado nos quadros
seguintes.
Refira-se que em Portugal, e para um período de vida de 50 anos, a classe de referência
a adoptar é a S4. Apresentam-se seguidamente os quadros para avaliação daquelas
características.
162
Estruturas de Betão I
Armadura Ordinária
Requisitos relativos à condição de exposição ambiental para C min,dur (mm)
Classe
Estrutural
Classe de exposição
X0
XC1
XC2/XC3
XC4
XD1/XS1
XD2/XS2
XD3/XS3
S1
10
10
10
15
20
25
30
S2
10
10
15
20
25
30
35
S3
10
10
20
25
30
35
40
S4
10
15
25
30
35
40
45
S5
15
20
30
35
40
45
50
S6
20
25
35
40
45
50
55
Armaduras Pré-Esforçadas
Requisitos relativos à condição de exposição ambiental para C min,dur (mm)
Classe
Estrutural
Classe de exposição
X0
XC1
XC2/XC3
XC4
XD1/XS1
XD2/XS2
XD3/XS3
S1
10
15
20
25
30
35
40
S2
10
15
25
30
35
40
45
S3
10
20
30
35
40
45
50
S4
10
25
35
40
45
50
55
S5
15
30
40
45
50
55
60
S6
20
35
45
50
55
60
65
A classificação estrutural é alterada a partir da classe de referência S4 tendo em conta
os parâmetros indicados no quadro seguinte.
Classe Estrutural
Critério
Condições de exposição de acordo com o quadro
X0
XC1
XC2/XC3
XC4
XD1
XD2/XS1
XD3/XS2/ XS3
Período de vida útil
de 100 anos
aumentar
2 classes
aumentar
2 classes
aumentar
2 classes
aumentar
2 classes
aumentar
2 classes
aumentar
2 classes
aumentar 2
classes
Classe de
resistência
 C30/37
reduzir 1
classe
 C30/37
reduzir 1
classe
 C35/45
reduzir 1
classe
 C40/50
reduzir 1
classe
C40/50
reduzir 1
classe
 C40/50
reduzir 1
classe
C45/55
reduzir 1
classe
Elemento tipo laje
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
reduzir 1
classe
(se a posição das
armaduras não for
afectada pelo
processo construtivo)
Controlo de
qualidade especial
para a produção do
betão
*a ou C50/60 – CEM I/IIA
*a
*b
*b ou C60/75 – CEM I/IIA
163
Estruturas de Betão I
O valor a indicar nos desenhos é o do recobrimento nominal.
Cnom = Cmin + C
C – Tolerância (rigor) no posicionamento das armaduras (10mm)
Em Portugal os requisitos de composição do betão e de recobrimento das armaduras
são definidos na NP EN 201-1, nomeadamente na Especificação LNEC E 464 que
integra o Anexo Nacional daquela norma.
Para além do recobrimento a Especificação LNEC E 464 estabelece os requisitos da
qualidade dos betões para as várias condições de agressividade ambiental:
Limites da composição e da classe de resistência do betão sob acção da
carbonatação, para uma vida útil de 50 anos
Tipo de
cimento
Classe de
exposição
CEM I (Referência); CEM II/A
(1)
CEM II/B ; CEM III/A
(2)
CEM V/A
(1)
(2)
; CEM IV
(2)
;
XC1
XC2
XC3
XC4
XC1
XC2
XC3
XC4
Mínimo
recobrimento
nominal (mm)
25
35
35
40
25
35
35
40
Máxima razão
água/cimento
0.65
0.65
0.60
0.60
0.65
0.65
0.55
0.55
240
240
280
280
260
260
300
300
C30/37
LC30/33
C25/30
LC25/28
C25/30
LC25/28
Mínima
dosagem de
cimento, C
3
(kg/m )
Mínima classe
de resistência
C25/30
LC25/28
C25/30
C30/37
LC25/28 LC30/33
C30/37
C30/37
LC30/33 LC30/33
(1) Não aplicável aos cimentos II/A-T e II/A-W e aos cimentos II/B-T e II/B-W, respectivamente
(2) Não aplicável aos cimentos com percentagem inferior a 50% de clínquer portland, em massa
164
Estruturas de Betão I
Limites da composição e da classe de resistência do betão sob acção de cloretos,
para uma vida útil de 50 anos
Tipo de cimento
CEM IV/A (Referência); CEM IV/B;
CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM
(1)
II/B ; CEM II/A-D
Classe de
exposição
Mínimo
recobrimento
nominal (mm)
Máxima razão
água/cimento
Mínima dosagem
de cimento, C
3
(kg/m )
Mínima classe de
resistência
CEM I; CEM II/A
(1)
XS1/XD1
XS2/XD2
XS3/XD3
XS1/XD1
XS2/XD1
XS3/XD3
45
50
55
45
50
55
0,55
0,50
0,45
0,45
0,45
0,40
320
320
340
360
360
380
C30/37
LC30/33
C30/37
LC30/33
C35/45
LC35/38
C40/50
LC40/44
C40/50
LC40/44
C50/60
LC50/55
(1) Não aplicável aos cimentos II –T, II-W, II/B-L e II/B-LL
Limites da composição e da classe de resistência à compressão do betão sob ataque
químico, para uma vida útil de 50 anos
Tipo de cimento
Classe de
exposição
Máxima razão
água/cimento
Mínima dosagem
de cimento, C
3
(kg/m )
Mínima classe de
resistência
CEM IV/A (Referência); CEM IV/B;
CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM CEM I; CEM II/A (1)
(1)
II/B ; CEM II/A-D
XA1
XA2
0,55
0,50
320
C30/37
LC30/33
(2)
XA3
(2)
(2)
XA3
(2)
XA1
XA2
0,45
0,50
0,45
0,45
340
360
340
360
380
C35/45
LC35/38
C35/45
LC35/38
C35/45
LC35/38
C40/50
LC40/44
C40/50
LC40/44
(1) Não aplicável aos cimentos II-T, II-W, II/B-L e II/B-LL.
(2) Quando a agressividade resultar da presença de sulfatos, os cimentos devem satisfazer os
requisitos mencionados na secção 5, nomeadamente no Quadro 10, aplicando-se ao betão as
exigências estabelecidas neste quadro para o CEM IV.
8.7 Outros aspectos importantes para a garantia da durabilidade das
construções
As medidas a considerar para garantir a durabilidade das estruturas envolvem vários
aspectos para além da composição do betão e do recobrimento, nomeadamente:
165
Estruturas de Betão I
Concepção e projecto
Forma Estrutural

Adoptar sempre que possível formas simples que minimizem a área de exposição
ao ambiente

Evitar saliências e cantos
Adoptar formas arredondadas

Conceber uma drenagem adequada, minimizando o contacto da estrutura com a
água

Controlar os efeitos das deformações impostas, nomeadamente no que se refere à
fendilhação

Adoptar disposições particulares tais como a protecção do betão com
revestimentos e a utilização de armaduras em aço inoxidável.
Execução
Controlo Técnico de Execução, nomeadamente:
Recobrimentos
Qualidade do Betão
Cura
Indicam-se seguidamente quais as responsabilidades e tarefas dos diferentes
intervenientes no processo de garantia de qualidade de uma construção.
Dono de Obra
166
Estruturas de Betão I
Especificar o uso da estrutura, o período de vida útil e os requisitos para o projecto e
construção
Projectista
Conceber e projectar a estrutura
Identificar as condições de exposição
Especificar os materiais e recobrimentos
Definir eventuais medidas de protecção adicional
Elaborar as especificações técnicas relativas a materiais e execução dos trabalhos
Elaborar o manual de manutenção da estrutura
Empreiteiro
Executar a estrutura de acordo com os requisitos especificados no projecto
Controlar a composição do betão (razão A/C, tipo de cimento, agregados, ...)
Controlar a betonagem e cura do betão
Controlar os recobrimentos
Utilizador
Realizar a manutenção da estrutura
Desenvolver acções de inspecção/avaliação do comportamento da estrutura sempre
que necessário
Evitar alterações na utilização da estrutura que agravem a agressividade das
condições de exposição
8.8 MANUTENÇÃO, INSPECÇÕES E EVENTUAIS REFORÇOS
Muitas vezes, na sequência de avaliação de estruturas durante a sua vida útil, pode
resultar a necessidade de uma reparação ou reforço.
Todas as intervenções de reabilitação, para além das acções correntes de
manutenção, deverão ser efectuadas com base num projecto que envolva acções de
inspecção e avaliação de modo a identificar as causas das anomalias e a definir as
medidas adequadas à sua resolução.
Nas figuras seguintes apresenta-se uma tal situação em que foram identificadas as
causas de uma fendilhação acentuada dos pilares e definidas as medidas mais
adequadas para atenuar o desenvolvimento da deterioração.
Inspecção (avaliação de uma situação de reacção álcalis-agregados) e início da
reparação/reforço
167
Estruturas de Betão I
Solução de reparação/reforço (encamisamento e tinta impermeabilizante) e aspecto
final
168
Estruturas de Betão I
9 VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO (ESTADOS
LIMITES DE UTILIZAÇÃO – SLS)
9.1
Introdução
No
início
da
disciplina
discutiram-se
as
características
fundamentais
do
comportamento à flexão do betão armado e foi explicada a fundamentação base das
verificações de segurança das estruturas. Posteriormente apresentaram-se e
aplicaram-se os modelos para garantia da segurança à rotura de elementos lineares,
sem esforço axial (vigas).
Neste capítulo apresentam-se os princípios e a aplicação para a verificação da
segurança em serviço das estruturas de betão armado, ou seja, da Verificação dos
Estados Limites de Utilização.
9.2
Verificação aos Estados Limites de Utilização
Como explicado anteriormente, na avaliação destes Estados Limites de Utilização, há
que ter como principal objectivo:
Garantir um bom comportamento das estruturas em situações correntes de
serviço, assegurando um nível de fendilhação aceitável (através do contolo da
abertura máxima de fendas), limitar a deformação a valores funcionalmente
aceitáveis para os objectivos da construção em causa e tornar a eventual sensibilidade
das estruturas à vibração, limitada a valores que não gerem desconforto.
Por outro lado, nas verificações da segurança aos Estados Limites de Utilização, as
acções tomam valores de actuação expectável (não são majoradas e as
sobrecargas podem não actuar com todo o seu valor) e o comportamento dos
materiais é simulado através da utilização de propriedades médias (não
minoradas).
9.3
Acções
Como vimos temos, então, nas verificações aos estados limites de utilização,
combinações de acções com diferentes probabilidades de ocorrência:

Combinação rara ou característica: Situação de carregamento com pequena
probabilidade de ocorrência apropriada para analisar um estado limite de muito
curta duração – algumas horas no tempo de vida da estrutura.
Gm + Qk +  1i Qik
i
169
Estruturas de Betão I

Combinação frequente: Caso com probabilidade de ocorrência superior ou igual
a 5% do tempo de vida da estrutura, e aplicável a estados limites de curta
duração.
Gm + 1 Qk +  2i Qik
i

Combinação quase-permanente: Situação de solicitação com probabilidade de
ocorrência superior a 50% do tempo de vida da estrutura, portanto adequada
para analisar estados limites definidos como de longa duração.
Gm +  2i Qik
i
Refira-se que é para este nível de acções que o comportamento em termos de
deformação e controlo da abertura de fendas é, em geral, importante.
Nestas expressões o significado das variáveis é a seguinte:
Gm – valor médio das acções permanentes
Qk – valor característico da acção variável base
Qik – valor característico das restantes acções variáveis
Relembra-se que se tem sempre, para os coeficientes : 2i < 1i < 1
9.4
Materiais
Estes terão naturalmente um comportamento elástico, havendo no entanto que
considerar o facto do betão fendilhar, e ainda, as suas características de
comportamento ao longo do tempo, ou seja a fluência e a retracção.
Referem-se seguidamente estas características de uma forma necessariamente
resumida, havendo que consultar outros elementos para a sua mais correcta
quantificação.
9.4.1 Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados
limites de utilização
Com base no diagrama médio esperado (no desenho referido como “real”) de
comportamento do aço, enquadra-se a resposta característica, de cálculo à rotura e,
indica-se, ainda, a zona esperada em termos do comportamento em serviço.
170
Estruturas de Betão I
(i) AÇO
s
curva real
curva característica
curva de cálculo
f yk
f yd
curva simplificada de cálculo
aos E.L. Últimos
Es
E.L. Utilização
s
0.2%
f yd
Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, temos, portanto,
simplesmente a relação esquematizada, tendo como limite absoluto a tensão de
cedência (ver §2.1.2.2):
s
Es = 200 GPa
s
Para o betão as características das relações tensões – extensões do betão são
indicadas na figura seguinte, vendo-se que o módulo de elasticidade é definido,
aproximadamente, com a rigidez secante para uma tensão de 40% do valor resistente
para a curva média do comportamento.
171
Estruturas de Betão I
(ii) BETÃO
c
f cm
f ck
curva real
Ec
curva característica
curva simplificada de cálculo
aos E.L. Últimos
0.85 f cd
0.4 f cm
2‰
c
3.5‰
c
Assim, para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, o
comportamento do betão é considerado, para acções de curto prazo, como sendo
elástico e linear, limitado ao valor resistente de tracção e tendo a compressão limites
regulamentares referidas em §2.1.2.2.
c
Ec
c
f ctm
O betão, ao longo do tempo, por efeito do fenómeno da retracção, ou da fluência, se
estiver submetido a um nível de tensão permanente, aumenta a sua deformação.
Estes efeitos têm implicações nas estruturas ao nível das deformações, mas também
podem causar, ao longo do tempo, em estruturas hiperstáticos, esforços,
naturalmente auto-equilibrados.
9.4.2 Efeitos diferidos no tempo do betão
Analisa-se, então, seguidamente, as características do comportamento do betão no
tempo que depende de dois efeitos:

Fluência, dependente da actuação de tensões aplicadas com permanência.

Retracção, que se verifica independentemente de outros efeitos.
172
Estruturas de Betão I
9.4.2.1 Fluência
A fluência pode ser definida como sendo o aumento da deformação no tempo, sob a
acção de um estado de tensão constante (resultado, essencialmente, da variação de
volume da pasta de cimento que envolve os agregados).
No esquema seguinte ilustra-se o efeito desta característica do comportamento:
(a) Instante de aplicação da carga (t0)
(b) Tempo t
p
p
c(to)
c (t0)
c (t0) = E (t )
c
c(to)
cc(t,to)
cc (t, t0) =  (t, t0) c (t0)
0
onde,
cc (t,t0) representa a deformação por fluência
 (t,t0) representa o coeficiente de fluência (quociente entre o incremento de
extensão, cc, no intervalo de tempo [t, t0] e a extensão inicial, c (t0))
A fluência do material betão depende, no entanto, de muitos parâmetros que não são
neste contexto, analisados. São eles:

idade do carregamento (t0)

período do carregamento [t, t0]

humidade relativa do ambiente (> humidade  < fluência)

temperatura relativa do ambiente (> temperatura  >fluência)

composição do betão

consistência do betão

forma da secção
173
Estruturas de Betão I
Para idades de carregamento usuais, a partir dos 14 a 28 dias após betonagem, este
coeficiente toma valores tal que,  (t, t0)  2 a 4. Para casos correntes, e na falta de
outros dados poderá utilizar-se, como primeira referência, o valor de  2.5 e para
avaliações mais detalhadas pode recorrer-se a muitos modelos existentes, em
particular o referido no EC2. Avalia-se, agora, o efeito da fluência, na deformação do
betão e, posteriormente, de uma viga de betão armado não fendilhada.
Determinação da deformação a longo prazo (t) tendo em consideração o efeito da
fluência:
t = 10 000 dias ( 27 anos)
c (t0)
c (t0)
c (t, t0) = c (t0) + cc (t, t0) = c (t0) +  (t, t0) c (t0) = E (t ) +  (t, t0) E (t )
c 0
c 0
c (t, t0) =
c (t0)
(1 + ) = c (t0) (1 + )
Ec (t0)
c
Ec
c (t, t0) = * , com Ec* =
Ec
1+
A fluência é linear com o nível de tensão, desde que o nível de tensão seja limitado a
c ~
<0.45 fc esta esteja limitada (§2.1.2.2).
Este efeito afecta directamente a deformação de uma estrutura, podendo ser
considerado, de uma forma simplista, como uma perda de rigidez no tempo, devido
ao abaixamento do módulo de elasticidade.
Para o caso de uma viga simplesmente apoiada, não fendilhada, apresenta-se
seguidamente o efeito da fluência na deformação com base no princípio dos trabalhos
virtuais, em que se chama a atenção para a dependência da flecha dos valores e
distribuição das curvaturas na estrutura.
p
1
 = fR
 

pelo P.T.V.,  = 
L
M.
1
dx
R
Como se pode observar na figura seguinte, a fluência do betão provoca ao nível da
secção um aumento das extensões do betão e, consequentemente, um aumento da
curvatura.
174
Estruturas de Betão I
c(to)
cc(t,to) c(to)
(-)
1
|c (t0)| + |cc (t, t0)| + s
=

R (t)
d
(-)
d
(+)
2
(+)
s
s
c (t0) + |cc (t, t0)|
h
Chama-se a atenção para que as armaduras contribuem, um pouco, para restringir o
aumento de deformação por fluência do betão sendo que no comportamento em
Estado I, não fendilhado, essa restrição não é muito significativa, como mostra a
expressão acima indicada. Refira-se que no Estado II em que o betão activo é só de
compressão a variação de extensão no aço é pouco significativa e portanto o
incremento de curvatura relativamente ao estado inicial é menor que no estado I.
9.4.2.2 Retracção
A retracção do betão impõe uma diminuição da dimensão de uma peça de betão no
tempo, independentemente do estado de tensão da peça, portanto mesmo na
ausência de outras acções, variações de temperatura ou cargas aplicadas.
Seguidamente ilustra-se o efeito da retracção do betão ao nível de um prisma de betão
e, como acção, num tabuleiro contínuo de ponte. Neste exemplo, chama-se a atenção
para que o valor de retracção do betão pode tomar valores diversos, mas que a sua
ordem de grandeza varia entre 0.2 a 0.4‰, podendo ser melhor avaliado recorrendo
às indicações, por exemplo, do EC2.
cs(t,to)
to
t

cs (t, t0)  - 200  10-6 a - 40010-6 = - 2.0  10-4 a - 4.0  10-4
100 m
L
 = L  L =  L
L = -4.0  10-4  100m = -0.04m

175
Estruturas de Betão I
Para um tabuleiro de uma ponte de 100m seria de esperar, aproximadamente, um
encurtamento ao longo do tempo devido ao efeito da retracção, com um valor da
ordem de 4cm, distribuído em partes iguais pelos dois apoios, se estes forem móveis
longitudinalmente.
A retracção pode ser tratada como o efeito de uma diminuição de temperatura com um
valor equivalente de, Tequivalente, como se pode verificar:
 = 10-5/C – coeficiente de dilatação térmica do betão
cs = -2  10-4 a -4  10-4  Tequivalente = -20C a -40C
(T =  T = 10-5/C  (-20 a -40) = -2  10-4 a -4  10-4)
Refere-se, desde já, que, se a retracção livre for impedida, por restrições ao nível da
secção ou da estrutura, isto é, se houver hipersticidade, produzem-se tensões de
tracção que poderão contribuir para a ocorrência de fendilhação.
A retracção do betão depende de, inúmeros factores, de uma forma semelhante à
fluência, dos quais se podem destacar:
–
Humidade e temperatura relativa do ambiente
–
Consistência do betão na altura da betonagem
–
Forma da secção (espessura fictícia do elemento)
Além de poder afectar o estado de tensão na secção, a retracção pode também
contribuir para um incremento de deformação ao longo do tempo, como se ilustra,
de seguida, para uma viga não fendilhada só, com armadura inferior.
c
d
(-)
1 c - s
Curvatura: R = d
s
De facto, numa secção de betão de uma viga, com distribuição de armadura não
simétrica, a retracção do betão é inferior na face inferior, por efeito da restrição à
deformação provocada pela armadura. Essa curvatura será assim tendencialmente
positiva na zona do vão e negativa na zona dos apoios, contribuindo, em ambas as
situações, para o aumento da flecha das vigas.
1
 = fR
 
176
Estruturas de Betão I
p

9.5
– 1
pelo P.T.V.,  =  M.
dx
R
L
Estado Limite de Abertura de Fendas
A análise e compreensão do fenómeno da formação de fendas e da sua evolução até
à sua estabilização, incluindo o processo de transmissão de tensões entre o betão e
as armaduras, e, finalmente, a forma de estimar as aberturas das fendas, não é
simples. Têm sido desenvolvidos inúmeros modelos, mais ou menos sofisticados, para
a sua explicação e avaliação das variáveis em jogo.
No que se segue descreve-se de uma forma simplificada as características principais
do mecanismo de fendilhação, para depois explicar a formulação da avaliação das
aberturas de fendas e do seu controlo indirecto a partir dos parâmetros mais
condicionantes.
9.5.1 Mecanismo da fendilhação E ABERTURA DE FENDAS
Para a apresentação do processo de fendilhação vamos tomar o elemento estrutural
mais simples que é o de uma barra de betão armado sujeita à tracção.
N
N
c
As
Ac
Antes de fendilhar, Estado I, a distribuição de tensões segue o comportamento elástico
tendo-se, aproximadamente: 
N
c = A
c
s = s Es ; c = c Ec
Como s = c 
s
Es
Es
E
= E  s = E c  s = c , com  = s
Ec
c
c
c
Quando se tiver c = fctm há-de surgir uma fenda numa dada secção, que por uma
razão ou outra esteja mais enfraquecida, passando o esforço axial nessa secção a ser
resistido só pelo aço. Há assim um brusco aumento de tensão no aço, maior ou
menor, consoante a quantidade de armadura presente.
De facto, com o aparecimento da 1ª fenda, ou seja, na passagem para a secção
fendilhada, o incremento de tensão na armadura, s, pode ser avaliado por:
177
Estruturas de Betão I
N
Ac
c = fct  fct Ac = As s  s = A fct
s
N
 s =
1
As
f , com  = A (% de armadura)
 ct
c
A tensão total, a seguir indicada, é calculada em Estado II, sendo a de Estado I, fct,
em geral muito inferior.
s
s =  fct + s
f yk
s
f ct
min

As
Refira-se que, como tem sido referido neste curso, min = A é a % mínima de
c
armadura para que, quando se forma a 1ª fenda, a armadura não atinja a cedência
(não plastifique). Para quantidades de armadura superiores o nível de tensão instalado
na fenda estará no domínio elástico, havendo, por efeito da aderência aço/betão, na
região adjacente à fenda, uma transferência de tensões do aço para o betão. A uma
distância, s, como indicado na figura, restabelece-se um estado de tensão com
tracções no betão que permitem condições para se poder formar outra fenda.
c

m
N
N
N
c = A = fct  N = fct Ac
c
s
Esta distância, s, é considerada como a distância mínima, para que se possa formar
outra fenda.
Assim, a distância mínima entre fendas (s), para um tirante, pode obter-se através de:
Nmáximobetão = Naderencia  fct Ac = m  Acontacto  fct Ac = m  u  s  smin =
As
As 2
Como,  = A  Ac =
=

4
c
 smin =
e
fct Ac

m u
Ac
2
1

u =   u =

=
4

4
fct


m
4
178
Estruturas de Betão I
Caso se trate de um problema de flexão, em particular para vigas com alturas
pequenas e lajes, a zona traccionada de transmissão de tensões entre o aço e o betão
é triangular.
M
m
f ct
s
1
Dado que nestes casos Nmácximo betão = fct  Ac  2 , esta distância tem tendência a ser
metade:smin =
fct
1



2
m
4
Em geral para peças com uma maior dimensão, a transmissão de tensões do aço para
o betão ocorre apenas numa zona restrita em torno da armadura, como representado
na figura abaixo indicada, definindo-se uma área efectiva, Ac,ef.
d
hc,ef
Ac,ef

Ac,ef representa a área efectiva de betão mobilizada por aderência, sendo a altura hc,ef
definida através de:
hc,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2]
Poderá definir-se então uma percentagem de armadura (p,ef) relativa à área de betão
efectiva, calculada de acordo com a expressão
As
p,ef = A
c.ef
Deste modo, a distância mínima entre fendas poderá ser calculada através de:
smin = 0.25 k1 k2

p,ef
Comparando com a expressão anterior verifica-se que é equivalente sendo que k1
representa a problemática das condições de aderência e k2 a forma do diagrama de
extensões na zona de transmissão de tensões ao betão. De acordo com o EC2, estes
tomam os seguintes valores:
179
Estruturas de Betão I
k1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões, e que
toma os seguintes valores:
0.8 para varões de alta aderência (nervurados ou rugosos)

1.6 para varões lisos
k2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção, e
que toma, em geral, os seguintes valores:
1.0 para a tracção
0.5 para a flexão de lajes ou vigas pouco altas
Nos casos de tracção excêntrica ou de flexão de vigas mais altas, valores intermédios
de k2, podem ser avaliados pela expressão:
k2 =
M
2
1 + 2
2 1
1.0  1 = 2 (tracção pura)
k2 = 
0.5  2 = 0
1
Ac,ef
Nota: Quando forem utilizados, na mesma secção transversal, varões com diâmetros
diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro equivalente (eq), dado por
eq =
n112 + n222
n11 + n22
Refira-se que, uma vez estabilizada a formação de fendas na zona traccionada, isto é,
quando não houver condições para a formação de mais fendas, a distância entre elas
deverá ser variável, teoricamente, entre o valor mínimo e duas vezes esse valor.
Na figura seguinte ilustra-se o ensaio de uma viga de secção em I à flexão, em que se
mostram dois pormenores da zona central, um em que se está no processo de
fendilhação de fendas e outro em que o processo de fendilhação estabilizada já se
encontra definido. Refira-se que na viga estão marcados com traços a cores o
andamento das fendas à medida que a carga evoluiu.
180
Estruturas de Betão I
Por sua vez o Eurocódigo 2 define uma distância máxima entre fendas a ser
calculada através da seguinte expressão que corresponde a 1.7 vezes o valor anterior,
acrescido do termo complementar 2c, tal que:


sr,max = 1.7 2c + 0.25 k1 k2
 

= 3.4c + 0.425 k1 k2
p,ef
p,ef
E onde c representa o recobrimento das armaduras e o termo 2c contabiliza o facto da
abertura de fendas na superfície ser um pouco maior que junto à armadura.
181
Estruturas de Betão I
Estado I
c1=s1
Fissura
c
N=Nf

hef
Ac,ef
c
c1=fct
Escorregamento
l
0
Pode constatar-se da análise da expressão que:
Tensão de
aderência
Maior quantidade de armadura  menor distância entre fendas

bm
Naturalmente que com uma maior densidade de armadura a transmissão de
tensões para o betão é mais eficiente.
b
Menores s  menor distância entre fendas

Fisicamente compreende-se pois, para a mesma quantidade de aço, com
diâmetros menores a relação entre a superfície dos varões e a área de aço é
maior.
Para a avaliação da abertura de fendas é preciso, para além da estimativa da
distância previsível entre fendas, determinar o valor médio da diferença entre a
extensão do aço (que é maior naturalmente) e a extensão do betão, na zona da fenda.
Então vejamos qual seria a abertura de fendas num elemento fendilhado de betão
armado, sem mobilização de aderência aço/betão.
N
N
s
s
s
L
w
s = L = s
As
 w = s s
Ac
w - abertura de fendas
s
N
s = E e s = A 
s
s
s - distância entre fendas
s
w
s
w
s

As aberturas de fendas seriam avaliadas, naturalmente, pelo produto da extensão do
aço, uma vez que o betão não teria tensões, vezes o comprimento de influência de
cada fenda.
Na realidade o cálculo da abertura de fendas baseia-se neste princípio só que há que
contabilizar, por um lado, a menor extensão do aço fora da secção das fendas e, por
outro lado, a extensão do betão, que contribui um pouco para diminuir a abertura da
fenda.
182
Estruturas de Betão I
Há assim necessidade de avaliar a extensão relativa média entre o aço e o betão
que pode ser determinada pela seguinte expressão:
srm = sm - cm
Na figura seguinte pode compreender-se o sentido desta expressão pois representase, em termos médios, a distribuição de tensões e extensões no aço e no betão ao
longo de um elemento fendilhado de betão armado, com fendilhação estabilizada.
L
L0
N
N
srm
s
c
s;c
sm
cm
sr
srm
Onde,
L L - L0
sm = L = L
(deformação média da armadura)
0
0
sr – extensão relativa entre o aço e o betão
srm – extensão média relativa entre o aço e o betão
(i) Determinação da extensão média do aço
Como se pode observar no gráfico seguinte, que representa a extensão média do aço
em função do esforço axial, aquela é inferior à extensão do aço em estado II (sII), pois
na zona entre fendas o betão retém parte da força de tracção aplicada. Denomina-se,
em geral, a este efeito a contribuição do betão entre fendas que está
esquematicamente representado na figura seguinte.
Verifica-se que a força média no aço entre fendas, é inferior à avaliada na secção
fendilhada e, por conseguinte, a extensão média do aço é inferior à de Estado II puro.
183
Estruturas de Betão I
N
I
II
N
Contribuição do betão entre fendas
Ncr
sI
sm sII
sm
Deste modo,
Fs - Fc
s As - kt fct,ef Ac,ef
s
fct,ef
sm = E A =
= E - kt
E
A
Esp,ef
s s
s
s
s
Onde,
s
representa tensão no aço calculada com base na secção fendilhada;
kt
é um factor de integração da distribuição de extensões, e que tem em conta a
duração ou a repetição das cargas (kt = 0.6 para acções de curta duração; kt = 0.4
para acções de longa duração);
fct,ef representa o valor médio da tensão resistente do betão à tracção, em geral igual
fctm;
As 
p,ef representa a percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva 
Ac.ef
(ii) Determinação da extensão média do betão
Ora, a extensão média no betão é dada pela deformação média do betão entre fendas
que é devida precisamente à mesma força retirada ao aço.
c
Fc
kt fct,ef Ac
fct,ef
cm = E = E A = E A = kt E
c
c c
c c
c
Deste modo, a extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada
pela diferença entre ambos, ou seja:
s
fct,ef
fct,ef
s
fct,ef 
Esp,ef
sm - cm = E - kt
- kt E = E - kt
1+ E 


E

E

s
c
s
c
s p,ef
s p,ef
sm - cm =
s
fct,ef
- kt
(1 + ep,ef)
Es
Esp,ef
Es
com e = E
c
184
Estruturas de Betão I
Determinação do valor máximo da largura de fendas
O valor máximo da abertura de fendas obtém-se, então, através da expressão:
wk = sr,maxsrm = sr,max (sm - cm)
185
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 11
Considere a estrutura representada na figura seguinte.
g = q = 1.5
sc = 12 kN/m
cp = 20 kN/m
6.00
3.00
1 = 0.6 ; 2 = 0.4
Materiais: C25/30
A400NR
Recobrimento:2.5cm
Secção do tirante: 0.25  0.25 m2
a) Verifique o estado limite último de tracção no tirante.
b) Calcule a abertura característica de fendas no tirante para uma combinação
frequente de acções.
186
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 11
ALÍNEA A)
1. Determinação dos esforços
p=1 kN/m
MA = 0  RB6 – 1  9  4.5 = 0
6.00
3.00
RB
RA
 RB = 6.75kN
(reacção no tirante)
psd = 1.5  (20 + 12) = 48 kN/m
Nsd.tirante = 6.75  48 = 324 kN (tracção pura)
Nsd
324
As = f =
 104 = 9.31 cm2 Adoptam-se 812
348103
yd
ALÍNEA B)
1. Cálculo da distância máxima entre fendas
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

p,ef
(i) Determinação de p,ef
As
9.05  10-4
p,ef = A
= 0.0583 = 0.0155
c.ef
0.0925
0.065
L
0.012
h - d = rec + est + 2 = 0.025 + 0.006 + 2
= 0.037m
2.5 (h - d) = 2.5  0.037 = 0.0925 m
Ac.ef = 0.25  0.25 - 0.065  0.065 = 0.0583 m2
(ii) Cálculo de sr,max
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

0.012
= 3.4  0.025 + 0.425  0.8  1.0 
= 0.348 m
0.0155
p,ef
(k1 = 0.8 – varões nervurados; k2 = 1.0 – tracção simples)
2. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão
187
Estruturas de Betão I
sm – cm =
=
s
fct,ef
- kt
(1 + ep,ef) =
Es
Esp,ef
202.9  103
2.6  103
(1+ 6.56  0.0155) = 6.45  10-4
6 - 0.4
200  10
200  106  0.0155
Nfr = Ncp + 1Nsc = 6.75 (20 + 0.6  12) = 183.6kN
Nfr
183.6
s = A =
= 202.9 MPa
9.05  10-4
s
kt = 0.4 – acções de longa duração
Es
200
e = E = 30.5 = 6.56
c
3. Cálculo do valor característico da abertura de fendas
wk = sr,max (sm - cm) = 0.348  6.45  10-4 = 0.224  10-3m = 0.2 mm
188
Estruturas de Betão I
9.6
Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação
No caso de se tratar de um problema de flexão, para a avaliação da abertura de
fendas na zona traccionada há então que avaliar o nível de tensão nas armaduras
na zona da fenda e aplicar a formulação atrás apresentada.
Se Mactuante > Mcr (= w  fctm) para o cálculo de tensões na secção, é necessário
considerar a secção fendilhada.
No estado II a posição da LN, poderá ser obtida através da igualdade dos momentos
estáticos das zonas comprimidas e traccionadas e, posteriormente, a distribuição de
tensões, como analisado no início da disciplina, ou directamente, através de tabelas.
Refira-se que o valor do módulo de flexão deve ter em consideração de uma forma
indirecta o efeito da fluência pois, como se viu, pode definir-se um módulo de
elasticidade equivalente, tal que: Ec* =
Ec
. De facto a diminuição do módulo de
1+
elasticidade aumenta a zona comprimida e, consequentemente, também aumenta um
pouco a tensão no aço por diminuição do braço de forças. Em geral toma-se um valor
de de 0.5 a 1.5 ( = 10 a 15) para as combinações frequentes de acções e para as
quase-permanentes de 2 a 2.5 ( = 18 a 22).
Cálculo de tensões através de tabelas
c
d2
As2
s2
x
Valores a avaliar:  = As2/As1; d2/d
Parâmetros a calcular:
d
=
As1
Ms
N
s1
b
Es
AsL
Ms
; =
; es =
Ec
bd
N
Ms – Momento actuante na secção em
relação à armadura As1
–
es
Flexão simples  N = 0  d = 
–
es Ms/N
Flexão composta  N  0  d = d
Cs
Em função dos parâmetros  e es/d 
Cc
Ms
c
s1 = Cs b d2 ; s2 =  x (x - 0.1d) ;
Ms
c = - Cc b d2 ;
Cc
x = (C + C ) d
c
s
189
Estruturas de Betão I
9.6.1 Limitação das tensões em serviço
Refira-se que as tensões devem ser limitadas em serviço, sendo que as disposições
do EC2 são as seguintes:
 No Aço
 Para a acção de cargas e para a combinação característica:
s  0.8 fyk
 Para a acção de deformações impostas, a tratar no parágrafo seguinte:
s  fyk
Estas disposições têm em consideração a garantia da não cedência do aço, pois
nesse caso, a abertura de fendas pode tomar valores grandes e de valor não
controlável. No caso da deformação imposta, e como se verá no próximo parágrafo há
uma maior certeza que o esforço desenvolvido está limitado (neste caso ao de
fendilhação), por isso admite-se fyk que corresponde ainda a uma reserva em relação a
fym.
 No Betão
 Para as acções características de acções: c  0.6 fck
 Para as acções quase permanentes: c  0.45 fck
O 1º limite tem a ver com o risco de se gerar, para este nível de acções alguma
fendilhação transversal e o 2º limite justifica-se para limitar a possibilidade de se poder
ter um nível superior de fluência, em que deixa de haver um regime proporcional,
tensão-deformação a longo prazo.
Refira-se que, como mencionado no subcapítulo 2.3, a distribuição de esforços em
serviço devido a cargas, a considerar em projecto, deve ser a elástica. Isto apesar de
se reconhecer que há desvios por deformação de rigidez relativas entre zonas não
fendilhadas e fendilhadas e, nestas, com maior ou menor quantidades de armadura.
No que diz respeito às deformações impostas, como veremos de seguida para o caso
do tirante, mas que se verifica também em situações de flexão, os esforços em serviço
são claramente inferiores aos elásticos, desde que haja perda de rigidez por
fendilhação, ou a acção seja de longo prazo (efeito da fluência), e são da ordem de
grandeza do esforço de fendilhação se a deformação imposta actuar isoladamente.
190
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 12
Continuemos a nos referir ao mesmo exemplo:
Materiais: C25/30, A400NR
Acções:
4.00
4.00
4.00
4.00
Peso próprio
Revestimento=2.0 kN/m
Sobrecarga = 3.0 kN/m
10.00
S2
2
2
Coeficientes de majoração:
G = Q = 1.5
S1
3.00
Coeficientes de combinação:
1 = 0.4 ; 2 = 0.2
Secção da viga: 0.300.85 m
Espessura da laje: 0.15m
a) Determine a abertura de fendas na secção S1 para uma combinação frequente de
acções.
191
2
Estruturas de Betão I
Resolução do Exercício 12
1. Cálculo dos esforços
pfrequente = cp + 1sc = 28.25 + 0.4  12 = 33.1kN/m
pfr
S2
S1
3.00
10.00
S1
M fr
DMF
(-)
S1
fr
M
pL
33.1  3
= 149kNm
2 =
2
2
=
2
(+)
2. Cálculo do momento de fendilhação (Mcr)
M
bh2
0.30  0.852
 = w  Mcr = w  fctm = 6  fctm =
 2.6103 = 93.9 kNm < MS1
fr
6
fctm (C25/30) = 2.6MPa
Deste modo, para combinação frequente, a secção do apoio está fendilhada
3. Cálculo de tensões em estado II (Tabelas)
516
As1 = A (516) = 10.05cm2
As2 = A (225) = 9.82cm2
M
d
=
As1 10.05  10-4
=
= 0.0042
bd
0.3  0.8
As2 9.82
 = A = 10.05 = 0.98  1
225
s1
0.30
d2/d 0.05 ; = 15
Nota: para ter em conta o efeito de fluência pode tomar-se   15 ou 18  

Es

Ec/(1 + )
Cs = 17.35
 = 15 0.0042 = 0.063 
(pag.120) Cc = 6.03
Posição da LN: x =
Cc
6.03
d=
 0.8 = 0.21m
Cc + Cs
6.03 + 17.35
Mfr
Tensão na armadura: M = Mfr S = Cs b d2 = 15  17.35 
149
= 202 MPa
0.3  0.82
192
Estruturas de Betão I
4. Cálculo da distância máxima entre fendas
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

p,ef
(i) Determinação de p,ef
As
10.05  10-4
p,ef = A
=
= 0.027
0.0375
c.ef
Ac,ef
hc,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2]
hc,ef
h - d  0.05 m  2.5 (h - d) = 2.5  0.05 = 0.125 m
(h - x)/3 = (0.85 - 0.21) / 3 = 0.21 m
h/2 = 0.85 / 2 = 0.43 m
 Ac.ef = 0.30  0.125 = 0.0375 m2
(ii) Cálculo de sr,max
Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

0.016
= 3.4  0.03 + 0.425  0.8  0.9  0.027 = 0.283 m
p,ef
k1 = 0.8 (varões nervurados)
0.125
1
2
k2 =
1 + 2 1 + 0.8 1
=
= 0.9
2 1
2 1
1
2
=

0.85 - 0.21 0.85 - 0.21 - 0.125
0.21
 2 =
0.515 1
0.64 = 0.8 1
5. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão
s
fct,ef
sm-cm = E - kt
(1 + ep,ef) =
Esp,ef
s
=
202.0  103
2.6  103
(1+ 6.56  0.027) = 7.8  10-4
6 - 0.4
200  10
200  106  0.027
kt = 0.4 – acções de longa duração
e =
Es
200
=
= 6.56
Ec
30.5
6. Cálculo do valor característico da abertura de fendas
wk = sr,max (sm - cm) = 0.283  7.8  10-4 = 0.22  10-3m = 0.22 mm
193
Estruturas de Betão I
9.7
Armadura mínima
Nesta fase do curso já se referiu a necessidade de quantidades de armadura mínima à
tracção, à flexão, ao esforço transverso, etc, com o objectivo de assegurar, no
essencial, que, em caso de rotura, esta não seja frágil.
No que se segue, a problemática é bem diferente, apesar de poder conduzir a
resultados quantitativos que, nalgumas situações, são coincidentes. Neste contexto
pretende-se, principalmente, obter quantidades mínimas de armaduras distribuídas
nos elementos estruturais de tal modo que, se se formarem fendas, por efeitos de
cargas ou de deformações impostas, tais como a própria retracção do betão ou uma
variação de temperatura (em situações de restrição a essa deformação livre), as
aberturas, em condições de serviço se encontrem dentro de limites controlados.
9.7.1 Tracção
Considere-se o tirante de betão armado representado na figura seguinte, mas agora
submetido ao efeito de uma força ou de uma deformação imposta.
N
N
f ct
194
Estruturas de Betão I
A diferença principal é a de que num caso se aplica a força e mede a deformação e,
noutro, aplica-se a deformação e mede-se a força. Se em termos de comportamento
elástico são situações equivalentes, nas estruturas de betão armado devido ao seu
comportamento não linear a curto prazo, por fendilhação, e a longo prazo, por fluência
do betão, as respostas podem ter características bem diversas.
Verifica-se que, em ambos os casos, até à formação da 1ª fenda, o comportamento é
elástico e equivalente mas, após a fenda, surgem duas respostas distintas:
1 - Para o caso de aplicação da carga verifica-se um aumento da deformação global
do conjunto devido à perda de rigidez na abertura de cada nova fenda.
Assim, se não estiver presente uma quantidade de armadura suficiente para equilibrar
a carga de fendilhação, verifica-se uma rotura frágil do tirante. É com base nesta
situação que se define a armadura mínima devido ao efeito de cargas, como referido
nos capítulos iniciais, tal que:
Ncr = Ac  fct  Ac  fct  As fyk  As.min = Ac
fct
, por tracção
fyk
2 - Para o caso da deformação imposta a perda de rigidez por formação de cada
nova fenda faz com que a carga diminua.
Neste enquadramento, a formação da 1ª fenda não é preocupante, pois o esforço
diminui. No entanto, com o crescimento da deformação imposta, se a capacidade das
armaduras é inferior ao esforço necessário para se formar a 2ª fenda o tirante
plastifica na zona da 1ª fenda (ver figura a) seguinte). Assim, não se formam mais
fendas, concentrando-se toda a deformação imposta naquela fenda, que atinge,
rapidamente, valores inaceitáveis.
s2
s2
I
Patamar de cedência
II
sr,1
I
fy
II
sr,n
sr,1
sr,n = 1,30 a 1,35 sr,1
fy
Formação de fendas
˜ 0,10
Fendilhação estabilizada
imp
imp
w1
wn
w
a)  min,y
w
wn = 1,20 w1
b) min,w = min (wadm) > min,y
195
Estruturas de Betão I
No caso da deformação imposta, permitir a formação de várias fendas, as aberturas
são mais aceitáveis (ver figura b) anterior), chegando-se à conclusão que a quantidade
mínima de armadura para garantir este comportamento é equivalente à de não
fragilidade, por efeito de cargas (situação 1).
9.7.2 Flexão
O caso da flexão é, em parte, equivalente ao da tracção na medida em que a zona
traccionada da secção funciona como um tirante. A diferença é que a distribuição de
tensões antes da fendilhação é triangular e não uniforme, como se mostra
seguidamente, e já referido no início do curso.
c
(-)
M
M h
h/2
b
bh
Área de betão traccionada: Act = 2
As.min =
Força de tracção no betão: FT =
1
f A
2 ct ct
(+)
f ct
1
fct
A
2 ct fyk
De acordo com o Eurocódigo 2, a expressão para o cálculo da área de armadura
mínima, em termos do comportamento em serviço, e tendo como base, as
características da resposta a deformações impostas é dada pela seguinte
expressão:
As.min = kc k Act
fct.ef
s
Em que a quantidade de armadura é avaliada admitindo que, durante o processo de
fendilhação, o esforço máximo mantém-se constante, da ordem de grandeza do
esforço de fendilhação, e se limita o nível de tensão nas armaduras a s.
Naquela expressão:
As,min representa a área mínima de armadura a colocar na zona traccionada;
Act representa a área de betão traccionada;
s representa o nível de tensão máximo no aço que se pretende admitir, podendo
ser, no limite, igual a fyk.
fct,ef representa o valor médio da resistência do betão à tracção na idade em que
se espera que ocorram as primeiras fendas;
196
Estruturas de Betão I
k é um coeficiente que considera, para deformações impostas em parede
espessas, o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes (diminuição da
resistência efectiva à tracção devido à instalação de estados auto-equilibrados
de tensões), cujo valor varia com a espessura (ou altura) do elemento, de acordo
com o gráfico seguinte:
k
1.0
0.65
0.3
0.8
h [m]
Para fendilhação devida a cargas aplicadas, k = 1.0
kc é um coeficiente que tem em conta quer a forma da distribuição de tensões na
secção, imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da força.

Para tracção simples: kc = 1.0

Para flexão simples kc = 0.4

Para banzos traccionados de secções em caixão ou em “T” (EC2)
Fcr
kc = 0.9 A f
 0.5
ct ct,ef
Em que Fcr representa o valor absoluto da força de tracção no banzo, no instante que
antecede a fendilhação, devida ao momento de fendilhação (Mcr calculado utilizando o
valor de fct,ef). Como simplificação é natural considerar para estes casos k c = 0.9 ou
mesmo uma situação de tirante puro, k = 1.0.

Para flexão composta, o EC2 propõe a generalização destes princípio tal
que:
kc = 0.4 1-

c
  1.0
k1 (h / h*) fct,ef
Onde,
c representa a tensão média actuante no betão, na secção rectangular
ou na alma da secção, se tiver outra forma (c = NEd / b h), sendo NEd o
esforço normal actuante para a combinação de acções considerada
(compressão com sinal positivo);
197
Estruturas de Betão I
k1 é um coeficiente que considera o efeito dos esforços normais na
distribuição de tensões: k1 = 1.5 se o esforço normal for de compressão;
k1 = 2h*/3h se o esforço normal for de tracção;
h* = min (h; 1.0 m);
A variação de kc da tensão média na secção é a ilustrada para 3 secções no gráfico
seguinte.
1,00
Estimativa do coeficiente kc
0,80
0,60
Caso 1 - 1,50x0,50
Caso 2 - 1,00x0,40
0,40
Caso 3 - 0,20x1,00
0,20
Tensão média [kN/m2]
0,00
-7500
-6000
-4500
-3000
-1500
0
1500
3000
4500
Esta é uma forma de aumentar ou diminuir a armadura mínima de flexão consoante
haja um esforço axial, respectivamente, de tracção ou compressão.
Apresenta-se seguidamente a exemplificação da aplicação de algumas destas
disposições.
(i)
Armadura mínima para situações de tracção devidas a deformações
impostas restringidas.
Muro de suporte
Nestes casos o encurtamento por retracção ou abaixamento de temperatura
diferencial entre a fundação e a parede vertical do muro geram, na parede, um estado
de tensão de tracção bastante aproximado ao de um tirante especialmente se o muro
for tal que l/h  4. Assim a armadura mínima de tracção deve ser disposta
longitudinalmente e nas duas faces. Note-se que não interferem com as armaduras
necessárias para suporte das terras, dispostas na vertical.
198
Estruturas de Betão I
fct.ef
As.min = kc k Act
s
Em que:
fct,ef = 2.9 MPa ; fyk = 500 MPa
kc = 1.0 (efeito de tracção)
k = 1.0 se h  0.30 m e k = 0.65 se h  0.80m (efeito da diminuição do esforço de
fendilhação da parede devido à deformação imposta por causa das tensões autoequilibradas)
Problema: fendilhação no muro, pelo facto da sapata (betonada
16 / 0.15
16 / 0.15
anteriormente) constituir um impedimento ao livre encurtamento
do muro por efeito da retracção e temperatura.
h = 0.50
É necessário adoptar armadura mínima na direcção horizontal:
As.min/face = kc k Act
fct,ef
h fct,ef
2
= 1.0 k(h)  2  f
[cm /m/face]
s
yk
k = k(h) (deformação imposta)  0.85
kc = 1.0 (tracção pura)
0.5
Act= 1.0 m 2 = 0.25 m
2.9
2
Asmin = 100 251.0 0.85 500 = 12.3 cm /m (16//0.15)
Varanda (consola)
Um caso semelhante, mas agora devido a uma retracção ou abaixamento de
temperatura diferencial entre o exterior e interior de um edifício, é o de varandas.
Problema: fendilhação na consola, pelo facto da laje
interior
h=0.20
constituir
um
impedimento
ao
livre
encurtamento da consola devido a variações de
temperatura e/ou retracção.
É necessário adoptar armadura mínima na direcção paralela ao apoio:
As.min = kc k Act
fct,ef
fct,ef
= 1.0  k(h)  h 
[cm2/m]
fyk
s
k = k(h) (deformação imposta) = 1.0
kc = 1.0 (tracção pura)
199
Estruturas de Betão I
Act = 1.0 
0.2
= 0.10 m
2
2.9
As,min = 100  1.0  1.0  500 = 5.8cm2/m (10//0.125)
(ii)
Armadura mínima de flexão simples (considerando Act =Ac/2)
Expressão geral: As.min = k kc Act
fct.ef
s
Esta armadura mínima é necessária, por exemplo, para o caso de uma deformação
imposta que gere um efeito de flexão em serviço, como um assentamento diferencial
de apoio numa viga hiperstática. Então temos:
Ac
3
As,min = 1  0.4  2  400 = 0.15% Ac
Naquela expressão considerou-se:
k = 1.0 (situação de deformação imposta sem gerar tensão auto-equilibrada)
kc = 0.4 1-

c
 = 0.4 (para secções rectangulares sem esforço normal)
k1 (h / h*) fct,ef
fct,ef  3 MPa
s = fyk = 400MPa (A400)
Verifica-se que, como seria de esperar, esta quantidade de armadura é da mesma
ordem de grandeza da armadura mínima de flexão definida para assegurar uma rotura
dúctil (explicação no capítulo inicial e expressão do subcapítulo 5.7.1).
(iii)
Armadura mínima em banzos traccionados
Quando uma viga de betão armado com banzos traccionados fendilha, aos banzos é
imposta uma deformação, e mesmo que na alma exista armadura suficiente para
garantir a segurança á rotura, as zonas laterais vão fendilhar e precisam de ter uma
armadura mínima (ver figura) para que as fendas sejam repartidas e com aberturas
aceitáveis.
Pode também, em secções em caixão, haver deformações impostas relativas entre
banzos e almas de espessuras diferentes, que geram distribuições de tracções
semelhantes aos das consolas (i). Havendo essa possibilidade é exigido também, por
essa via, a disposição de armadura mínima.
Num caso e noutro a deformação de comportamento, entre ter essa quantidade de
armadura ou não, está representado na figura seguinte.
200
Estruturas de Betão I
Apresenta-se seguidamente a avaliação das armaduras mínimas para este tipo de
elementos no caso da acção de um momento positivo.

(-)
M
ou
M
(+)
h
h
quase tracção pura
As.min = kc k Act
fct,ef
fct,ef
= 1.0  0.9  Act 
(cm2)  Asmin/m = 1.0  0.9  100 
fyk
s
h fct,ef
2
2 fyk (cm /m/face)
k = 1.0 (efeito de uma carga)
kc = 0.9
Fcr
 0.9 (para banzos, caso se considere, simplificadamente, que o
Act fct,ef
diagrama de tensões ao longo do banzo é quase constante)
Se h = 0.25 m; fct,ed = 3 MPa e f yk = 500 MPa  Asmin/m/face = 7.5 cm2/m/face 
12//0.15
(iv)
Armadura de alma (para vigas com h > 1m)
É conhecido que, nas almas de vigas altas, se se tiver uma distribuição só com
armadura na zona inferior, a fendilhação nesta zona é distribuída, mas com tendência
a concentrar-se na alma (fenómeno denominado, em geral, por arborescência)
originando aí fendas com aberturas maiores e não aceitáveis (esquema seguinte).
201
Estruturas de Betão I
Para controlar estas fendas, há que colocar uma armadura mínima que pode ser
calculada por metro a distribuir nas duas faces da alma. Este é um fenómeno
semelhante ao dos banzos traccionados mas numa zona restringida superior e
inferiormente, respectivamente, pela compressão e armadura principal, sendo,
portanto, mais favorável. O EC2 propõe adoptar uma percentagem de armadura um
pouco inferior, ou seja com k kc = 0.5:
As.min = kc k Act
fct,ef
s
= 0.5  Act 
bh fct,ef
2
2  fyk (cm )  Asmin/m = 0.5  100 
b fct,ef

(cm2/m/face)
2 fyk
Se h = 0.30 m; fct,ef = 3 MPa e fyk = 500 MPa  Asmin = 4.5cm2/m/face  (10//0.15)
A armadura calculada, deverá, em princípio e por simplificação, ser extendida a toda a
alma, visto que, numa viga contínua a zona traccionada da alma está em baixo na
zona do vão, e em cima nos apoios.
202
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 13
Considere a estrutura da figura seguinte:
sc
cp
S2
3.50
10.00
S1
3.50
0.20
0.20
Materiais: C20/25, A400
Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m
1.00
sobrecarga = 40.0 kN/m
0.15
Coeficientes de majoração: G = Q = 1.5
1.00
a) Para a estrutura já analisada, calcule as armaduras longitudinais mínimas e
pormenorize a secção transversal.
203
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 13
ALÍNEA A)
1. Armadura mínima de flexão
k = 1.0 (cargas aplicadas)
kc = 0.4 (para secções rectangulares ou almas sujeitas a
Act
flexão simples)
fct.ef
0.20  1.0 2.2
As.min = kc k Act
= 0.4  1.0 
 400  104 = 2.2cm2 a colocar junto à face
2
s
inferior de cada alma
2. Armadura no banzo
k = 1.0 (cargas aplicadas)
kc = 0.9
(para banzos, considerando que o diagrama de
tensões ao longo do banzo é constante)
Act
0.15 2.2
As.min/m = 0.9  1.0  1.0  2  400  104 = 2.23 cm2/m/face  (8/0.20)
4.46 cm2 / 2 faces = 2.23 cm2/face
3. Armadura de alma
Act
kkc = 0.5 [valor médio proposto no EC2]
h/2
fct.ef
0.20
2.2
As.min/m = kc k Act
 Asmin/m = 0.5  2  1 m  400  104 = 2.75 cm2/m/face 
s
(8/0.15)
Embora para um momento com um dado sinal a armadura de alma não seja
necessária junto à zona comprimida, sob o ponto de vista prático essa armadura é
disposta em toda a alma sendo mais fácil calculá-la por metro (de altura).
204
Estruturas de Betão I
9.8
Limites admissíveis de fendilhação relativos ao aspecto e à durabilidade
Na ausência de requisitos específicos (impermeabilização, por exemplo), para
elementos de betão armado, o EC2 estabelece os seguintes limites, de aberturas de
fendas, em função do ambiente envolvente (as classes de exposição estão clarificadas
no Modulo 4):
Classe de exposição
X0, XC1
Valores recomendados
de wmax [mm]
0.4
XC2, XC3, XC4
XD1, XD2
0.3
XS1, XS2, XS3
Estes limites resultam dos conhecimentos actuais que apontam para que fendas com
aberturas, não superiores a valores da ordem de 0.3 a 0.4 mm, não são prejudiciais no
processo de contrariar o desenvolvimento de degradação por corrosão das armaduras.
O limite mais folgado de abertura de fendas definido para o caso das classes de
exposição X0 e XC1, é apresentado como um limite, apenas para garantir um
aspecto aceitável do elemento. Por outro lado, para casos especiais de tanques com
necessidades de garantir certos níveis de estanquidade, disposições mais exigentes
são requeridas (ver EC2 – parte 3).
A abertura máxima de fendas deve ser calculada para a combinação de acções
quase-permanentes, que actuam a estrutura quase constantemente ao longo do
tempo.
9.9
Controlo da fendilhação sem cálculo directo (EC2)
É possível, em geral, limitar as aberturas das fendas a valores aceitáveis como os
acima referidos, e evitar uma fendilhação com valores de aberturas não controladas,
caso se utilizem as disposições e quantidades mínimas de armadura atrás referidas, e,
ainda, de acordo com o EC2, que:

para fendilhação provocada, essencialmente, por deformações impostas
impedidas, se limitem os diâmetros dos varões a utilizar em função da tensão na
armadura no instante após a fendilhação (Quadro 7.2N);
205
Estruturas de Betão I

para fendilhações causadas principalmente por cargas aplicadas se limitem ou
os diâmetros dos varões (Tabela 7.3N) ou o espaçamento entre varões (Tabela
7.3), ambos função da tensão na armadura, para os esforços correspondentes à
combinação de acções em causa.
Na página seguinte apresentam-se os Quadros do EC2 sobre esta matéria e os
comentários associados.
Para cargas aplicadas poderá estimar-se, numa 1ª aproximação, a tensão nas
armaduras para uma combinação em serviço, considerando que:s 
Mcomb.serviço
 fyd.
MRd
Está a se admitir para a combinação fundamental de acções, uma tensão f yd, e que o
braço em serviço é o mesmo. Evidentemente que s deve ser melhor avaliado como
indicado, por exemplo, em 9.6.
Para deformações impostas a armadura mínima obtém-se, efectivamente,
considerando s = fyk. No entanto, se o diâmetro das armaduras não satisfizer o
estabelecido na tabela 7.2N, para assegurar a abertura máxima de fendas requerida
deverá adoptar-se o par (s,  que respeita o controlo indirecto daquele valor. Por
outro lado, a armadura necessária deverá ser calculada através da expressão de As,min
considerando esse valor de s.
De notar que os Quadro foram definidos para certas hipóteses de valores dos
parâmetros e que se são referidas duas expressões, para a tracção e flexão, de
correcção para outras condições.
Refira-se, finalmente, que nos casos da restrição à deformação imposta se verificar só
ao longo dos bordos, como no caso do muro e da varanda, atrás exemplificados, a
avaliação de armadura não é um problema tecnicamente resolvido. No entanto,
aconselha-se, neste momento, a sua avaliação, como apresentado nos exemplos.
206
Estruturas de Betão I
Quadro 7.2N – Diâmetros máximos dos varões *s para controlo da fendilhação1
Tensão no aço2
[MPa]
160
Diâmetros máximos dos varões [mm]
wk= 0,4 mm
wk= 0,3 mm
wk= 0,2 mm
40
32
25
200
32
25
16
240
20
16
12
280
16
12
8
320
12
10
6
360
10
8
5
400
8
6
4
450
6
5
-
NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses:
c = 25 mm; fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0;
kt = 0,4
2. Para as combinações de acções apropriadas
Quadro 7.3N – Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação1
Tensão no aço2
[MPa]
Espaçamento máximo dos varões [mm]
wk=0,4 mm
wk=0,3 mm
wk=0,2 mm
160
300
300
200
200
300
250
150
240
250
200
100
280
200
150
50
320
150
100
-
360
100
50
-
Para as Notas, ver o Quadro 7.2N.
O diâmetro máximo dos varões deverá ser modificado como se indica a seguir:
Flexão (com pelo menos parte da secção em compressão):


s s (fct,eff /2,9)
k c hcr
2(h-d)
(7.6N)
Tracção (tracção simples):


s =  s (fct,eff/2,9)hcr/(8(h-d))
(7.7N)
em que:
s
diâmetro modificado máximo dos varões;


s
diâmetro máximo dos varões indicado no Quadro 7.2N;
h
altura total da secção;
hcr
altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores característicos do
pré-esforço e os esforços normais para a combinação quase-permanente de acções;
d
altura útil ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras;
Quando toda a secção está sob tracção, h - d é a distância mínima do centro de gravidade das armaduras
à face do betão (no caso em que a disposição das armaduras não é simétrica, considerar-se as duas
faces).
207
Estruturas de Betão I
9.10 Estado Limite de Deformação
As estruturas sob a acção das diferentes solicitações deformam-se havendo
necessidade de limitar essa deformação a limites aceitáveis do ponto de vista do
aspecto, da funcionalidade da estrutura e do controlo de danos em elementos não
estruturais, assentes sobre a estrutura.
Assim, não são facilmente aceitáveis:
- Pelos utilizadores, pavimentos cuja deformação seja visível, em particular em obras
com níveis superiores de exigência.
- Para o bom funcionamento dos sistemas de drenagem das coberturas dos edifícios,
flechas que dificultem ou inviabilizem o esquema previsto.
- Fendas bem visíveis nas alvenarias de fachada ou interiores em edifícios, ou de
danos em caixilharias, acabamentos, etc., sinais de menor qualidade de construção
e, no caso das paredes exteriores, definindo caminhos preferenciais de entrada de
humidades.
9.10.1 Limites de Deformação
Os limites a definir para a flecha numa estrutura não são facilmente definíveis pois a
fronteira do que é ou não possível aceitar não é absoluta. Resulta, em muito, do que
tem sido observado, ao longo dos anos, em situações de deficiente e bom
comportamento. A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites
para diferentes tipos de utilização dos pisos. De qualquer maneira, para os casos
correntes de edifícios de escritórios, comerciais ou de habitação, o EC2 (parágrafo
7.4.1), seguindo as recomendações da norma acima referidas, define os seguintes
objectivos máximos de deformação, em função do vão:
208
Estruturas de Betão I
L
para a deformação total devida combinação de acções quase-permanentes
250
L
para o incremento de deformação após construídas as paredes de alvenaria das
500
divisórias. Este limite pode ser adaptável face à sensibilidade da solução construtiva.
Refira-se que estes valores de deformação se referem ao diferencial entre os pontos e
apoio e o ponto de flecha máxima. Isto é, em particular nos pisos elevados de um
edifício, a deformação dos pilares deve ser descontada, apesar de, em geral, não ser
muito significativa.
Refira-se que, para pontes, os limites usuais, embora não limitados de forma
absoluta, apontam para valores da ordem de L/1000.
Note-se o facto dos limites de deformação estarem associados à dimensão do vão,
limitando-se, assim, a inclinação da deformada.
Um aspecto importante salientar é que, como estratégia de dimensionamento, se
devem prosseguir objectivos, com alguma folga, em relação aos limites acima
referidos.
9.10.2 - Questões na Avaliação e na Limitação da deformação
Para a avaliação das deformações em estruturas de betão armado há que ter, em
particular atenção as suas características de comportamento em serviço. Ora
enquanto não fendilhadas e para efeitos de comportamento a curto prazo, a
deformação das estruturas de betão dependem do módulo de elasticidade do betão,
com uma pequena influência das armaduras (ver esquema abaixo).
M
p
EI I
a
1/r
curvatura:
1
M
=
r
EII
–
1 –
1
deslocamento: a =  r M dx a = EI 
L M M dx
L
I
(P.T.V.)
–
M  diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a.
209
Estruturas de Betão I
No entanto, compreende-se que, a fendilhação, correspondente a uma perda de
rigidez, embora localizada numa zona, afecta a deformação global.
Ora, coloca-se assim, a necessidade de:

Avaliar as relações momentos-curvatura das zonas fendilhadas.

Considerar uma distribuição de curvaturas ou, equivalentemente, de
rigidezes, tendo em conta o comportamento ao longo dos elementos.
Na figura que se segue mostra-se como nas zonas fendilhadas (submetidas a esforços
superiores aos de fendilhação) as curvaturas definidas, com base em relações médias,
são maiores do que as esperadas para um comportamento em Estado I.
p
M
Estado I
EII
Estado II
M
EIII
Mcr
M
Mcr
1/r
1
r
Por forma a se ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma
curvatura média para cada zona do elemento, que os ensaios experimentais
mostraram estar entre os conhecidos Estados I e II. Esta resposta era expectável pois
a participação do betão à tracção entre fendas faz com que a deformação seja inferior
à do Estado II em que se despreza todo o betão à tracção.
Uma constatação interessante dos resultados experimentais é a perda de rigidez muito
significativa logo após a fendilhação, no denominado processo de formação de fendas,
a que se segue uma certa nova rigidificação depois da fendilhação estabilizada até ao
início da cedência do aço.
A
curvatura
média
que
é
proposta
tem
um
andamento
que
reproduz,
aproximadamente, as características principais do comportamento experimental.
210
Estruturas de Betão I
M
M
I
M
EII
II
EIII
M
Mcr
I
M
II
(1-)s
M
s
(1/r)I
s
(1/r)m (1/r)II
1/r
Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura
média pode ser calculada através de uma ponderação entre as curvaturas em estado I
e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (
1
1
1
= (1 - )
+
rm
rI
rII
sr  2

 s 
com  = 1 - 1 2 
Este coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples, pode ser obtido através
da seguinte expressão, devido à relação directa momentos-tensões.
 = 1 - 1 2 
Mcr2
 M  para M > Mcr
onde,
1 – coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões
( 1 = 1.0 para varões de alta aderência;  1 = 0.5 para varões aderência
normal);
2 – coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (2 = 1.0
para uma única carga de curta duração; 2 = 0.5 para cargas actuando
com permanência ou para vários ciclos de cargas);
sr – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado)
resultante da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação;
s – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado)
resultante da actuação do valor da carga para a qual se pretende calcular
a flecha.
1
1
Notar que se M < Mcr   = 0  r = r
m
I
211
Estruturas de Betão I
Verifica-se, então, que a avaliação da deformação de uma estrutura de betão armado
pode se basear na resposta elástica a curto prazo, considerando a secção não
fendilhada de betão, com uma posterior correcção. Esta pode ser conseguida por um
coeficiente, bem calibrado, que tenha em consideração as perdas de rigidez conjunta
por fendilhação e fluência do betão. Essa é uma opção possível e prática, que dá
origem ao denominado método dos coeficientes globais, que temos vindo a propor
na disciplina.
Antes de expor a metodologia para avaliação dos coeficientes globais é interessante
realçar os principais parâmetros que afectam a deformação das estruturas em geral, e
dos sistemas vigados, com ou sem continuidade, em particular. Como se ilustra na
figura seguinte e verifica na expressão base de avaliação das flechas,
ac = K
pL4
EI
a defomação depende das condições de fronteira, associada ao parâmetro, k, e tem
uma fortíssima dependência do vão e da inércia, em particular da altura pois, tem-se,
por exemplo, para uma secção rectangular, a seguinte relação flecha/vão:
bh3
ac
12 p L 3
I = 12  L = K b E  h 
 
p
ac
L
Relembre-se que o coeficiente, k, toma os valores de 5/385, 1/184.6 e 1/385,
respectivamente, nos casos de vigas simplesmente apoiadas, apoiadas/encastradas e
bi-encastradas, o que mostra a importância do grau de continuidade de uma viga na
deformação.
Tendo em consideração as condições de fronteira, a esbelteza e, ainda, as influências
da fendilhação, fluência do betão e da sua retracção, foi possível definir, no âmbito do
EC2, e de forma mais ou menos equivalente ao feito noutros códigos, um quadro que
permite o controlo indirecto (sem cálculo explícito) dos limites de deformação atrás
referidos, pela consideração de uma esbelteza, (L/h), mínima.
212
Estruturas de Betão I
Quadro 7.4N – Valores básicos da relação vão/altura útil para elementos de betão
armado sem esforço normal de compressão
Sistema estrutural
Betão fortemente solicitado
Betão levemente solicitado
K
 = 1,5 %
 = 0,5 %
1,0
14
20
1,3
18
26
1,5
20
30
1,2
17
24
0,4
6
8
Viga simplesmente apoiada, laje
simplesmente apoiada armada numa ou
em duas direcções
Vão extremo de uma viga contínua ou de
uma laje contínua armada numa direcção
ou de uma laje armada em duas
direcções contínua ao longo do lado
maior
Vão interior de uma viga ou de uma laje
armada numa ou em duas direcções
Laje sem vigas apoiada sobre pilares
(laje fungiforme) (em relação ao maior
vão)
Consola
NOTA 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, e o cálculo poderá frequentemente revelar que é
possível utilizar elementos mais esbeltos.
NOTA 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor
vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão.
NOTA 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem, para a flecha a meio vão, a uma
limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.
Assim, para um dado vão e condições tipo de continuidade, é possível ter um valor
mínimo de altura para assegurar condições de deformabilidade aceitáveis, desde que,
tenham sido adoptadas quantidades de armadura que verifiquem as condições de
segurança à rotura.
Verifica-se no quadro que para maiores percentagens de armadura (situação usual
nas vigas) o limite de esbelteza é mais exigente (menor) do que nas lajes (menores
percentagens de armadura). Quando na rotura se precisa de mais armadura, a zona
comprimida é maior, e para um nível equivalente de tensões no aço em serviço, a
curvatura é maior e, portanto, mais desfavorável para a deformação.
213
Estruturas de Betão I
Naturalmente que os valores resultantes da aplicação do quadro devem ser
conservativos e, portanto, são possíveis, soluções mais esbeltas, desde que a
deformação seja devidamente avaliada.
No entanto realce-se que o limite de esbelteza para controlo da deformabilidade é
muito mais condicionante para as lajes do que das vigas. Para estas, como se pode
ver no Quadro, para valores de l/h correntes em edifícios, entre 8 a 14, e
independentemente das condições de fronteira, está-se na banda de valores
aceitáveis, deste ponto de vista. Conclui-se, então, que as dimensões das vigas são,
por um lado, condicionadas em geral pela verificação da segurança à rotura e, por
outro lado, as vigas são extremamente eficientes como elementos estruturais de
limitação das deformações nos pisos estruturais.
9.10.3 - Avaliação directa da deformação
No que se segue explicar-se-á o essencial para a avaliação explícita da deformação
de uma viga ou de uma laje de betão armado, de acordo com o método dos
coeficientes globais, atrás referido, começando-se por analisar a avaliação das
curvaturas em Estados I e II.
9.10.3.1 - Cálculo da curvatura em estado I
No Estado I a influência das armaduras não é muito significativa na deformação das
estruturas de betão armado, quer a curto prazo, quer no que respeita aos efeitos da
fluência e da retracção. No entanto, na realidade as armaduras rigidificam um pouco a
secção, sob a acção de cargas e, se a sua distribuição não for simétrica, contribuem
para o aumento da deformação por efeito da retracção.
Cada um destes efeitos foi matematicamente expresso e depois representado
graficamente em trabalhos do Comité Europeu do Betão (CEB) nos inícios dos anos
80, estando reproduzidos, em detalhe, no Volume das Tabelas da disciplina.
A curvatura em estado não fendilhado pode ser avaliada através da expressão:
1
1
1
1
rI = ks1 rc + k1    ks1 rc + rcs1 ,
Onde,
1
1
M
– curvatura base elástica:  r = E I 
rc
 c
c c
ks1 – coeficiente que considera, a acção das armaduras, a curto prazo, sendo
naturalmente inferior a 1, e tanto menor quanto maior a % de armadura.
214
Estruturas de Betão I
 – coeficiente de fluência que dá o incremento da deformação de curto prazo,
se não houvesse armaduras.
k1 – coeficiente que quantifica o grau de restrição que a armadura oferece ao
incremento de deformação por fluência do betão (efeito equivalente ao k s1,
mas agora ao incremento de deformação a longo prazo)
1
-r
rcs1 
1
cs1
cs
= kcs1 d 

Esta parcela é independente das restantes pois não tem nada a ver com as
cargas, e permite a avaliação da curvatura por retracção, que depende, no
essencial, da maior ou menor simetria na distribuição das armaduras na secção.
9.10.3.2 - Cálculo da curvatura em estado II
Para o Estado II, isto é, secção fendilhada sem considerar o betão à tracção é possível
proceder exactamente ás mesmas hipóteses e definir coeficientes equivalentes. Desta
forma pode escrever-se a equação:
1
1
1
1
rII = ks2 rc + k2    ks2 rc + rcs2 ,
Com  r

1
cs2
cs
= kcs2 d 

De notar que ks2 é, naturalmente maior que 1, pois representa a relação entre a
curvatura da secção do Estado II com a avaliada só com betão (ver gráfico
exemplificativo)
215
Estruturas de Betão I
Este gráfico representa a perda de rigidez, que é significativa, função da quantidade
de armadura, do Estado I para o II, sendo tanto maior quanto menor a quantidade de
armadura. Saliente-se que para uma percentagem, de armadura de flexão principal
de 0.75% (aproximadamente, 5 vezes a mínima), vale 0.052 a que corresponde
uma relação de rigidezes III/Ic da ordem de 1/5.
Os restantes coeficientes têm um significado semelhante sendo que k 2 é
necessariamente muito pequeno pois, numa secção fendilhada, a restrição ao
aumento da deformação ao longo do tempo é grande. Repare-se que a zona
traccionada só pode, quando muito, ajustar um pouco a sua deformação, pois é só aço
e este não flui.
9.10.4 Cálculo das deformações
Tendo a distribuição de momentos, para uma dada combinação de acções e podendo
avaliar a curto ou longo prazo a curvatura média em qualquer zona da viga, a
deformação resulta directamente do integral (ver também a figura):
216
Estruturas de Betão I
1 –
a =  r M dx
L
p
1
M
Mcr
M
1
r
a
No entanto, em termos de implementação mais rápida definem-se seguidamente dois
métodos, o método bilinear que é referido no EC2, ou o dos coeficientes globais,
que resulta daquele e que permite uma avaliação mais directa da deformação,
mediante hipóteses simplificativas que se descrevem.
9.10.4.1 Método Bilinear
Trata-se de avaliar a deformação das vigas, por um lado, como não fendilhadas e, por
outro lado, em Estado II, sem betão à tracção.
Conhecidos os materiais e a distribuição de armaduras é possível determinar os
coeficientes atrás definidos para uma secção determinante.
i) Cálculo dos coeficientes
ks1, k1, kcs1,  e
ks2, k2, kcs2
ii) Cálculo do coeficiente de repartição, 
A hipótese considerada é de tomar um momento intermédio na zona fendilhada para
efeitos da avaliação do coeficiente de repartição, tal que:
Mcr
M = MD Mcr   = 1 - 1 2 M = constante
D
onde MD representa o momento na secção determinante, ou seja o maior na zona.
Sabendo que a flecha no vão depende das curvaturas no vão, mas também do que se
passa sobre os apoios, podemos tomar um valor ponderado, tendo em consideração
essas zonas, como se mostra nos seguintes exemplos.
217
Estruturas de Betão I
Secções determinantes (secções de momentos máximos)
 = vão
 = apoio
=
2 vão + apoio
3
=
apoio 1 + 2 vão + apoio 2
4
A flecha pode então ser obtida função da dos Estados I e II tomando  constante.
iii) Cálculo de flechas
L 1 –
L
1
1 –
 = constante  a =  r M dx =  (1 - ) r +  r  M dx = 
0 m
0 
I
II 
L1 –
L 1 –
 a = (1 – )  r M dx +   r M dx 
0 I
0 II
com
a = (1 - ) aI +  aII
L
1
cs  –
aI =  ks1 (1 + k1) 
+ kcs1
M dx
rc
d 
0 
L
1
cs  –
aII =  ks2 (1 + k2) 
+ kcs2
M dx
r
d 

0
c
Tomando uma secção como determinante, ter-se-iam coeficientes constantes e
portanto:
L 1 –
–
cs
aI = ks1 (1 + k1)  r M dx + kcs1 d L M dx
0 c
0
L 1 –
–
cs
aII = ks2 (1 + k2)  r M dx + kcs2 d L M dx
0 c
0
Em que o integral associado à curvatura elástica, corresponde à deformação elástica
da viga, ac.
Este é o método bilinear, que para mais fácil implementação pode ser proposto na
forma do método dos coeficientes globais, como se mostra de seguida.
Assim, desprezando a parcela da retracção tem-se:
aI = ks1 (1 + k1) ac e
aII = ks2 (1 + k2) ac
Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a
a = (1 - ) aI + aII = (1 - ) ks1 (1 + k1) ac + ks2 (1 + k2) ac 
218
Estruturas de Betão I
 a = [(1 - ) ks1 (1 + k1) + ks2 (1 + k2)] ac = k ac
Neste caso define-se, portanto, um coeficiente global, k, que afecta directamente a
deformação elástica, tal que:
a = k ac
Este coeficiente, k, foi avaliado para diferentes valores de armaduras, , e níveis de
fendilhação,Mcr/MD, tendo sido desenvolvidos gráficos de fácil consulta para a
avaliação, como o indicado seguidamente admitindo uma situação de curto prazo e 1º
carregamento, k0, e outra de longo prazo, kt, para um coeficiente de fluência de 3.5.
Para outras situações e para a consideração da retracção, outros gráficos são
disponibilizados nas Tabelas da disciplina.
219
Estruturas de Betão I
Então para a aplicação do Método dos Coeficientes Globais temos então que:
a) Cálcular o deslocamento ac considerando um modelo elástico linear e rigidez de
flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas.
b) Avaliação de coeficientes K para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a
fluência, para as secções determinantes.
Deslocamento instantâneo (t = 0): a0 = k0 (h/d)3 ac
Deslocamento a longo prazo (t = ): at = kt (h/d)3 ac
(tabelas pág. 97)
(tabelas págs. 98 e 99)
ac – flecha base (por exemplo tabelas páginas 154 e 155 ou cálculo elástico de
estrutura)
k0 – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da
fendilhação (função de d/h, , Mcr / MD ).
kt – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da
fendilhação e da fluência (função de , d/h, , Mcr/MD) em que  é sempre
avaliado com o módulo de elasticidade instantâneo do betão.
 – coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de
compressão (função de ’/, , ) – ver volume de tabelas
220
Estruturas de Betão I
c) Definição de um coeficiente global único por uma ponderação equivalente á
definida para o coeficiente de repartição, tal que:
k = kvão
k = kapoio
k=
2 kvão + kapoio
3
k=
kapoio 1 + 2 kvão + kapoio 2
4
Para os sistemas contínuos verifica-se que, sendo o coeficiente corrector da
deformação elástica, dependente das quantidades de armadura adoptadas no vão
e apoios, no dimensionamento à rotura, uma redistribuição de esforços limitada
(ver Capítulo 2) conducente a colocar menos armadura no apoio e mais no vão ou
vice-versa, não afecta a deformação da estrutura.
Assim, a avaliação da deformação, a curto ou a longo prazo é tal que:
a0 =
Em que os coeficiente
k
k0 ac
e
at = kt ac
maiúsculos correspondem ao produto dos k minúsculos com
os factores (h/d)3 e  quando pertinente.
Saliente-se que, para avaliar o incremento de deformação ao longo do tempo, após a
colocação das paredes de alvenaria ou outra solução de comportamento frágil, há que
subtrair à avaliação da deformação total prevista a deformação a curto prazo para o
peso próprio e das cargas actuantes nessa fase. Portanto as verificações
regulamentares serão:
Em geral:
at (g + 2 q) = kt ac (g + 2 q)  L/250
Com paredes de alvenaria ou outros acabamentos frágeis:
 at (g + 2 q) = kt ac (g + 2 q) - k0 ac (pp + par.)  L/500
221
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 14
Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2.1)
p
0.55
320
0.60
0.30
5.00
Materiais: C25/30
A400 NR
Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (pfreq = 20 kN/m)
222
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 14
1. Cálculo da flecha elástica
a) Pelo P.T.V.,
p fr
pL
20  5
= 62.5 kNm
8 =
8
2
DMF
[kNm]
Mmax =
2
(+)
62.5
D 1/R
1
M
R = EI
1
DMF
[m]
Mmax =
(+)
PL
5
4 = 4 = 1.25 m
1.25m
–
 MM
1 –
1 5
2.52

a=
M dx = 
dx =   62.5  1.25  1 + 2  = 9.88  10-4m
EI 3
5 

L r
L EI
(tabelas pág. 153)
E = 30.5  106 kN/m2

  EI = 164700 kNm2
0.3  0.6
4 
I=
=
0.0054
m
12

3
b) Por tabelas (pág. 154)
5
pL4
5
20  54
 = 384  EI = 384  164700 = 9.88  10-4 m  ac = 9.9  10-4m
2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais)
(Considera-se  = 2.5)
Es
200
 = E = 30.5 = 6.6
c
As
9.42  10-4
 = bd =
= 0.0057
0.3  0.55

   = 0.038


223
Estruturas de Betão I
bh2
0.30  0.602
 fctm =
 2.5  103 = 45kNm 
  Mcr = 0.72
6
6
 Mfr

Mfr = 62.5kNm > Mcr
Mcr = W  fctm =
( = 2.5)  kt = 3.75
As'
’ = bd = 0  ’/ = 0   = 1
h 3
0.60 3
at =  d   kt ac =  0.55   3.75  9.9  10-4 = 0.0048 m = 4.8 mm




3. Cálculo da flecha instantânea
 = 0.038 
 (Acções repetidas)  k = 2.3
Mcr
0

Mfr = 0.72 
h 3
0.60 3
k0 ac = 
 2.3  9.99  10-4 = 0.003 m = 3 mm
d
 0.55 
a0 = 
224
Estruturas de Betão I
10 Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos de Elementos
com Esforço Axial não Desprezável
10.1 Flexão Composta e Desviada
O comportamento do betão armado em flexão composta (flexão + esforço axial) em
seviço e na rotura (como vamos analisar no que se segue) não é mais do que a
generalização da flexão simples. A flexão desviada, por sua vez, corresponde à
situação de se poder verificar a flexão, simultaneamente nas duas direcções principais.
10.2 Resistência à flexão composta
A capacidade resistente de um elemento de betão armado á flexão composta, como
se verá de seguida ou à flexão desviada (flexão em duas direcções, com ou sem
esforço axial) como se analisará posteriormente, é baseada na definição de extensões
máximas para o betão ou para o aço.
Os critérios de deformações limites para a secção são os mesmos da flexão simples,
sendo que, naturalmente, com um esforço axial de compressão, a tendência seja para
que a zona comprimida de betão seja maior. Assim temos:

s  ud

c(-)  3.5‰

Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰  c(-)  3.5‰
Extensões uniformes
c
c
Extensões não uniformes
f cd
2‰ c 3.5‰
c 3.5‰
f cd
2‰
(-)
2‰
(-)
ou
(-)
0
0
10.2.1 Diagramas de deformações na rotura
Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5
zonas com diagramas associados à rotura:
225
Estruturas de Betão I
Tracção
Compressão
ud
3.5‰ 2‰ 0
As2
M
2
1
N
3
As1
5
4
syd
2‰
ud
Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (s1 = ud, s2ud)
Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (s1 = ud, c  3.5‰)
(-)
Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (yds1 10‰, c = 3.5‰)
(-)
Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (s1yd, c
(-)
Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ c
= 3.5‰)
 3.5‰)
máx
De uma forma equivalente ao referido para a flexão simples podemos referir que:


Zonas 1, 2 e em parte da zona 3 a rotura tem boas características de ductilidade.
Parte da zona 3 e zonas 4 e 5 com rotura tendencialmente mais frágil. Esta
característica pode ser contrariada, como referiremos mais tarde, com a adopção
de armadura transversal, dita de confinamento. Com bom confinamento, o betão
interior às cintas pode ter deformações bem superiores aos 3.5‰ e, assim, melhora
a ductilidade global.
10.2.2 Determinação dos esforços resistentes
Ora, definidos os inúmeros diagramas de extensões a que representam situações
últimas, pode-se, para cada um deles, conhecer a distribuição de tensões e,
posteriormente, determinar o par de esforços (Mrd, Nrd) correspondente.
Esse procedimento para um determinado diagrama de rotura, de uma secção com
dois níveis de armadura (As1 e As2) está representado na figura seguinte.
A s2
As1
s2
MRd
NRd
c
Fs2
(-)
Fc
(+)
s1
Fs1
yc
ys2
ys1
A coordenada, y, pode ser definida em relação ao centro geométrico da secção ou em
relação ao nível da armadura inferior, sendo mais conveniente adoptar a primeira
226
Estruturas de Betão I
hipótese, pois é em relação a esse ponto que são, em geral, referidos os esforços
actuantes.
Equações de Equilíbrio:

Equilíbrio axial: Fc + Fs2 - Fs1 = NRd

Equilíbrio de momentos: Fc  yc + Fs2  ys2 + Fs1  ys1 = MRd
Assim, para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço NRd - MRd
Se generalizar o procedimento, para todos os possíveis diagramas de rotura, obtém-se
(ver figura seguinte):
(i) O diagrama de interacção NRd - MRd (fig. a) para aquela secção e quantidade de
armadura.
(ii) Os diferentes diagramas de capacidade resistente (fig. b), se repetirmos o processo
para várias quantidades de armadura.
NRd
(-)
N Rd
(-)
As
M Rd
MRd
a) Diagrama de interacção, NRd - MRd para
b)
uma dada distribuição de armaduras,
quantidades de armadura
Diagrama
de
interacção
para
várias
Em termos práticos, o diagrama de interacção representa a envolvente resistente da
secção de tal maneira que, para qualquer par de esforços actuantes, Nsd - Msd, no
contorno ou interior a essa envolvente, a segurança está verificada.
Se, de uma forma equivalente ao desenvolvido para a flexão simples, se escreverem
as equações de equilíbrio em termos de grandezas adimensionais obtêm-se as
denominadas curvas de dimensionamento, que são definidas para certas
distribuições tipo de armaduras nas secções.
227
Estruturas de Betão I
As grandezas adimensionais que se definem são as seguintes:
 Esforço normal reduzido:
NRd
= bhf
cd
 Momento flector reduzido:
MRd
 = b h2 f
cd
 Percentagem mecânica de armadura: tot =
Astot
bh
fyd
fcd
Refira-se que o esforço axial reduzido corresponde à relação entre as tensões
média actuante e de resistência de cálculo do betão. Por outro lado, para o
momento reduzido toma-se agora a altura total, h, e não a altura útil, considerada
na flexão simples.
Na figura da página seguinte apresenta-se um desses diagramas tipo, dito de
dimensionamento, admitindo uma distribuição uniforme de armadura no contorno.
Em termos de avaliação da quantidade de armadura, para verificar a segurança,
para um par de esforços (Nsd, Msd) calculam-se os esforços reduzidos,sd e sd, e,
consultando os ditos diagramas de dimensionamento, determina-se a % mecânica
de armadura necessária, tot, e de seguida o valor de As,tot. Esta quantidade de
armadura deve ser distribuído na secção de acordo com o admitido no
diagrama de dimensionamento.
É interessante chamar a atenção, desde já, que a máxima capacidade resistente
se verifica para um nível de esforço axial reduzido de 0.4. Para compreender o
efeito de uma compressão moderada na resistência à flexão da secção, considerese o seguinte diagrama de interacção  - , bem como os diagramas de tensão na
rotura para as situações A e B ilustradas.

A s2
h
As 1
b
0.4
B
A

228
Estruturas de Betão I
A
Fs2,A
B
Fc,A
As1 f yd
Fs2,B
Fc,B
MRd,A
As1 f yd
NRd
MRd,B
MRd,A< MRd,B
Compreende-se que a existência de um esforço axial aumenta as resultantes de
compressão (Fc e Fs2) e, consequentemente, o MRd apesar da diminuição do braço de
Fc. Este efeito é verificado até níveis moderados de esforço axial.
229
Estruturas de Betão I
10.3 Flexão Desviada
A flexão desviada corresponde à actuação simultânea de um esforço axial e de flexão
segundo os dois eixos principais.
230
Estruturas de Betão I
10.3.1 Rotura convencional
Os critérios de rotura mantêm-se, tal que:

s  ud

c(-)  3.5‰

Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰  c(-)  3.5‰
A questão que se coloca de diferente neste caso é que a linha neutra na rotura não é
paralela a nenhum eixo principal da secção.
10.3.2 Determinação dos esforços resistentes
Considerada uma dada orientação e posicionamento para a linha neutra de uma
secção de betão armado é definido o diagrama de extensões correspondente à rotura,
como indicado na figura seguinte.

My
(+)
Mz
Fs1
Fs2
(-)
c
Fc
Definido o diagrama de extensões é obtido o de tensões e, consequentemente,
através das equações de equilíbrio, os esforços (NRd, MRd,y, MRd,z).
Ora:
(i) Se para cada orientação da Linha Neutra, se “varrer” a secção com todos os
possíveis diagramas de rotura.
(ii) Se se repetir o trabalho anterior para todas as orientações possíveis da Linha
Neutra.
Obtém-se um diagrama de interacção tridimensional (NRd, MRd,y, MRd,z) – ver figura
seguinte, para aquela quantidade de armadura. Representa-se também um corte para
um dado nível de esforço axial actuante.
231
Estruturas de Betão I
Se se repetir o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de
base para o dimensionamento e verificação da segurança. De facto, como na flexão
composta, podem estabelecer-se as equações de equilíbrio através de grandezas
adimensionais:
 Esforço normal reduzido:  =
NRd
b h fcd
 Momentos flectores reduzidos: y =
MRd,y
MRd,z
; z = 2
b h2 fcd
b h fcd
Astot
 Percentagem mecânica de armadura tot = b h
fsyd
fcd
Nas figuras que se seguem mostra-se como representando a calote tridimensional por
cortes para igual esforço axial, se podem obter valores de quantidades de armaduras
para esforços actuantes, sd, y,sd e z,sd. Poderiam ser realizados, em alternativa,
cortes para determinadas relações Rd,y/Rd,z.
232
Estruturas de Betão I
Simplificadamente, é possível, para um dado esforço axial, Nsd, fazer a verificação da
segurança em flexão desviada, utilizando só o cálculo em flexão composta, em cada
uma das duas direcções, e verificar no final a seguinte condição:


 Msd,y  +  Msd,z   1.0
 MRd,y   MRd,z 
233
Estruturas de Betão I
onde  é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os
seguintes valores:

Secções transversais circulares ou elípticas:  = 2

Secções transversais rectangulares
Nsd / NRd
 0.1
0.7
1.0

1.0
1.5
2.0
Refira-se que NRD corresponde à capacidade resistente da secção submetida
unicamente a esforço axial de compressão.
10.4 Disposições construtivas de pilares
As armaduras dos pilares devem seguir disposições que correspondam a soluções
estruturalmente eficientes, económicas e construtivamente viáveis. Os regulamentos,
por sua vez, definem disposições mínimas em termos de quantidades, afastamentos e
diâmetros de armaduras longitudinais e transversais. No que se segue referem-se as
disposições do EC 2, para estruturas em zonas de pouca sismicidade, referindo-se,
que em termos práticos em Portugal, há que ter em atenção, em particular nestas
disposições, as indicações do EC8.
10.4.1 Armadura longitudinal
(i) Quantidades mínimas e máximas de armadura
As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de aço
utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte
expressão (EC2):
As, min =
0.10 Nsd
 0.002 Ac
fyd
Trata-se de um valor dependente do valor do esforço axial, que no mínimo pode valer
0.2%. Refira-se que, em zonas de maior sismicidade o EC8 impõe um mínimo
bastante superior de 1%, o que será, em geral, mais adequado.
A quantidade máxima de armadura é dada por sua vez por:
As, máx = 0.04 Ac (fora das secções de emenda)
Nota: Nas secções de emenda, poderá ter-se uma armadura até 0.08 Ac.
234
Estruturas de Betão I
Valores desta ordem de grandeza devem ser evitados, pois além de serem difíceis de
implementar em termos construtivos, correspondem a soluções potencialmente de
baixa ductilidade.
É importante referir que as emendas das armaduras longitudinais devem ser
preferencialmente, na zona intermédia do pilar, sendo essa disposição obrigatória em
zonas sísmicas (ver pormenor na página seguinte).
(ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento
Apresentam-se agora algumas disposições mínimas para as armaduras nos pilares.
10.4.2 Armadura longitudinal
Quanto a disposições mínimas ao longo do perímetro temos:

1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou

4 varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável
adoptar pelo menos 6 varões.

A disposição das armaduras nos pilares deve ser distribuída no contorno,
com eventual reforço nas zonas do canto, mas, sempre, de forma a que a
distância entre 2 varões consecutivos não seja superior a 30 cms.
O diâmetro mínimo dos varões longitudinais, de acordo com o EC2 é de 8 mm, no
entanto, não se deve adoptar em pilares diâmetros inferiores a 12 mm,
excepcionalmente, 10 mm.
10.4.3 Armadura transversal
É importante referir que a armadura transversal dos pilares têm várias funções que se
salientam seguidamente:

Cintar o betão, em particular nas extremidades, onde se concentram os maiores
efeitos de flexão.

Resistir ao esforço transverso que num pilar é constante ao longo do seu
comprimento.

Contrariar e impedir a encurvadura localizada dos varões longitudinais.

Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e
betonagem;
Refira-se que, em zonas com alguma sismicidade, as cintas devem ser mantidas na
zona dos nós de ligação com as vigas (ver no desenho).
235
Estruturas de Betão I
a)
PORMENOR DOS ESTRIBOS
ESC. 1/10
1 - Varões do pilar inferior fora do
perímetro da secção do pilar superior
2- Varões que não se interrompem no nó
3- Varões do nível superior com amarração
no pilar inferior
b)
Exemplos de disposição de armaduras com
variação de dimensões do pilar em altura
DISPOSIÇÃO GERAL DE
Exemplo ARMADURAS
de disposição
de armaduras
EM PILARES
Sem Esc.
longitudinais num pilar
a) variação pequena < 5 cm
b) variação superior
Espaçamento das cintas de acordo com o EC2:
smáx = min (20 L,menor; bmin; 40 cm)
O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 smáx, ou seja, 12L,menor (refira-se
que o Documento de Aplicação Nacional impõe este valor mínimo mesmo na zona
intermédia do pilar), nos seguintes casos:
-
Nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior dimensão do pilar;
236
Estruturas de Betão I
Esta disposição tem em consideração melhorar a cintagem do betão e, portanto a
ductilidade da secção, nas zonas de maiores esforços de flexão.
-
Nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes varões
seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao longo do
comprimento de emenda.
Esta disposição tem a ver com a resistência às tracções que se geram
perpendicularmente às emendas de varões, como indicado no Capítulo 7.6.
Refira-se que as disposições do EC8 nesta matéria são mais exigentes, em particular
nas zonas junto às extremidades, propondo aí como mínimo, para o espaçamento de
cintas, 8  L.
Diâmetro
cinta = max (6 mm; 0.25 L,maior) – Recomendável: 8 mm
Forma da armadura / cintagem mínima
As formas das armaduras transversais devem seguir disposições apertadas para
garantirem eficiência de cintagem e de contrariar o risco de encurvadura dos varões
isolados.

Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser abraçados por
armadura transversal.

Em zonas comprimidas, é necessário cintar todos os varões longitudinais que se
encontrem a mais de 15 cm de varões cintados (ver pormenor das secções
transversais).
237
Estruturas de Betão I
8Ø20+4Ø16
3 Cintas Ø8//0.15
8Ø20+8Ø16
2 Cintas Ø8//0.15
4Ø20+8Ø16
2 Cintas Ø8//0.15
12Ø20+12Ø16
3 Cintas Ø8//0.15
Exemplos de disposição de armaduras transversais em secções rectangulares de pilares
238
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 15
Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme
indicado. Dimensione e pormenorize a secção.
Nsd = -1200 kN
As/2
M sd
N sd
0.50
Msd = 150 kNm
As/2
Materiais: A400NR
0.30
C20/25
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 15
Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas)
d1  0.05m 
d
  h1 = 0.10 ; A400

h = 0.50m
Nsd
-1200
Esforço normal reduzido:  = b h f =
= -0.60
0.30  0.50  13.3  103
cd
Msd
150
Momento flector reduzido:  = b h2 f =
= 0.15
0.30  0.502  13.3  103
cd
fcd
13.3
tot = 0.20  Astot = tot b h f = 0.20  0.30  0.50  348  104 = 11.47cm2
yd



rotura pelo betão
c2
-3.5
Na rotura
= 0 a 1  armaduras traccionadas não atingem a cedência
s1
Zona 
239
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 16
Considere um pilar com secção transversal circular com  = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 16
d1
d1 = 0.05  h = 0.10
=
Nsd
-1400
=
= -0.427
 r2 fcd
  0.252  16.7  103
MSd
250
=
=
= 0.152
2 r3 fcd
2    0.253  16.7  103




tot
= 0.30
fcd
16.7
Astot = tot  r2  f = 0.30    0.252  348  104 = 28.3cm2
yd
240
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 17
Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo
indicados.
z
Nsd = -1200 kN
Msd,y = 150 kNm
Msd,z = 100 kNm
y
0.50
Materiais: A400
0.30
C20/25
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 17
Flexão desviada com esforço axial (Tabelas)
M sdz
Astot/4
M sdy
Nsd
-1200
= bhf =
= -0.60
0.30

0.50
 13.3  103
cd
Msdy
150
y = b h 2 f =
= 0.15
2
0.30

0.50
 13.3  103
cd
Msdz
150
z = b2 h f =
= 0.167
2
0.30

0.50
 13.3  103
cd
Como z  y  1 = z = 0.167 e 2 = y = 0.15
= -0.6
1 = 0.167
2 = 0.15

 

tot
= 0.60
fcd
13.3
 Astot = tot b h f
= 0.60  0.30  0.50  348  104 = 34.4cm2
syd
241
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 18
Considere um pilar com secção transversal circular com  = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm;
Msdy = 200 kNm
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 18
Msd = 1502 + 2002 = 250 kNm  Flexão composta
d1
d1 = 0.05  h = 0.10
=
Nsd
-1400
=
= 0.427
2
 r fcd
  0.252  16.7  103
MSd
250
=
=
= 0.152
2 r3 fcd
2    0.253  16.7  103
Astot = tot  r2 




tot
= 0.30
fcd
16.7
= 0.30    0.252 
 104 = 28.3cm2
fsyd
348
242
Estruturas de Betão I
11 Verificação da segurança de pilares isolados aos estados limite últimos
A verificação da segurança dos pilares pode não depender só dos efeitos das acções
avaliados com a estrutura não deformada. Neste capítulo analisamos, para os pilares
de betão armado, as recomendações regulamentares para se ter em consideração os
efeitos das deformações estruturais nos esforços actuantes de dimensionamento.
11.1 Comportamento de elementos esbeltos
Nos elementos de betão armado não solicitados por cargas axiais, os esforços são,
em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Nestes
casos a influência da deformação da estrutura nos esforços actuantes é desprezável.
Sempre que as imperfeições geométricas ou as próprias deformações da estrutura
possam ter um efeito importante nos esforços solicitantes (em particular no caso de
pilares esbeltos), as condições de equilíbrio devem ser estabelecidas na estrutura
deformada (Teoria de 2ª ordem).
Vimos, assim que a esbelteza dos pilares é um parâmetro importante para a avaliação
destes efeitos. Revemos seguidamente esse conceito e exemplificamos em casos
simples.
11.2 Esbelteza
A esbelteza de um pilar é dada por:
=
l0
i
onde:
l0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de
momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada)


i representa o raio de giração da secção i =
I 

A 
É fundamental compreender que o momento de inércia da secção a considerar é o
referente ao eixo perpendicular ao plano de encurvadura.
Quanto maior for a esbelteza maior é a sensibilidade aos efeitos da influência do
esforço axial nos esforços de flexão, apresentando-se, seguidamente, a avaliação do
comprimento de encurvadura, para casos tipo de condições de fronteira.
243
Estruturas de Betão I
Elementos contraventados
l0 = 0.7L
l0 = L
l0 = L/2
Elementos não contraventados
l0 = 2L
l0 = L
l0= 2L
11.3 Imperfeições geométricas
O efeito desfavorável de possíveis desvios na geometria da estrutura ou posição do
carregamento deverá ser tido em consideração no dimensionamento.
Os efeitos das imperfeições geométricas poderão ser avaliados de forma geral
considerando a estrutura inclinada de um ângulo i.
Para elementos isolados, estes efeitos poderão ser considerados de forma
simplificada através de uma excentricidade inicial ei ou através de uma força horizontal
equivalente Hi.
244
Estruturas de Betão I
ei
N
N
Hi

L = l0/2
i
i
a) Elementos não contraventados
b) Elementos contraventados
11.3.1 Excentricidade inicial
Com base na estrutura inclinada de i a excentricidade inicial poderá ser calculada
através da seguinte expressão
ei = i l0 / 2
onde l0 representa o comprimento efectivo de encurvadura.
A inclinação i pode ser calculada através da seguinte expressão:
i = 0hm
onde,
0 representa o valor de inclinação base que pode ser tomado igual a 1/200;
h representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do
elemento (h = 2 /
l e 2/3  h  1);
m representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos
verticais existente na estrutura (m =
0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número
de elementos verticais).
Caso se tratem de colunas isoladas em estruturas contraventadas, poderá considerarse simplificadamente que ei = l0 / 400.
A análise dos efeitos da imperfeição geométrica podem ser avaliados considerando
uma força horizontal equivalente que deverá actuar na posição em que provoque o
máximo momento flector e pode ser obtida através das seguintes expressões:
(i) Elementos não contraventados: Hi = N i
(ii) Elementos contraventados: Hi = 2 Ni
245
Estruturas de Betão I
ei
N
N
Hi
=
L
Hi L = N ei  Hi = N ei/L  Hi = N i
i
Mi = N ei
Mi = Hi L
i
Mi = N ei
Hi L/4 = N ei  Hi = N (4ei/L)  Hi = 2 N i
=
Mi = Hi L/4
11.4 Importância dos Efeitos de 2ª ordem e tipos de rotura associados
No que se segue ilustram-se os efeitos de 2ª ordem mostrando-se que as condições
de equilíbrio devem ser satisfeitas na estrutura deformada, depois de aplicadas as
cargas.
246
Estruturas de Betão I
Exemplos:
N
N
Teoria de 1ª ordem:
M=Ne
v
L
L
Teoria de 2ª ordem:
M = N (e + v)  M = N  e + N  v
N  e – momento de 1ª ordem
v
N  v – momento de 2ª ordem
l0
Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares,  = i , como se representa
seguidamente.

N
Ne
Ne
1
Nv
-  pequeno  efeitos de 2ª ordem desprezáveis
(Teoria de 1ª ordem)
2
 -  médio/elevado  efeitos de 2ª ordem relevantes
(Teoria de 2ª ordem)
Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis
M
se: M2ªordem  0.10 M1ªordem ( N  v  0.1 N  e)
A rotura de um pilar terá, em geral, uma rotura por esgotamento da sua capacidade
resistente, com influência ou não de efeitos de 2ª ordem, como exposto, mas poderá
ter, em caso de uma esbelteza elevada, uma instabilidade elasto-plástica antes da
rotura da secção, como se ilustra de seguida.
247
Estruturas de Betão I
N
N
1
e1
N
2
e2
N
3
e1
e 2 e1
N
N
Ne 1
Ne 1
Ne 1
1
1
2
Nu , Mu
Ne 2
2
N CR , M CR
2
N
2
Nu , Mu
3
Ne 2
3
N u , Mu
3
3
N CR , M CR
M
Relação N - M para e2 =0
Elemento pouco esbelto: análise de 1ª ordem - Mu = Nu e1  rotura da secção
Relação N - M para e2  0
Elemento com esbelteza moderada: análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1 + e2)  rotura da
secção
Relação N - M para e2  0
Elemento com esbelteza elevada análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1 + e2)  rotura por
instabilidade
11.5 Consideração dos efeitos de 2ª ordem
O cálculo rigoroso dos efeitos de 2ª ordem obriga a estabelecer as condições de
equilíbrio na estrutura deformada considerando o comportamento não linear do betão
armado. Isto significa a realização de análises não lineares da estrutura tendo em
conta as não linearidades geométricas da deformada e as não linearidades físicas dos
materiais.
Este método é designado por Método Geral sendo válido para qualquer tipo de
elemento estrutural ou estrutura submetida a qualquer tipo de carregamento.
Trata-se de uma metodologia que envolve um esforço de cálculo significativo e a sua
utilização no projecto de estruturas apenas se justifica em algumas situações
particulares.
Tendo em conta a complexidade deste tipo de análises a regulamentação permite a
utilização de métodos simplificados para quantificar os efeitos de 2ª ordem.
248
Estruturas de Betão I
11.5.1 Métodos de análise simplificados
O EC2 contempla a utilização de dois métodos simplificados para calcular os efeitos
de 2ª ordem:
- Método da curvatura nominal
Este método consiste em estimar a curvatura (1/r) na secção mais esforçada para
efeitos do cálculo da deformada de 2ª ordem da estrutura a partir da qual é calculado o
momento de 2ª ordem.
- Método da rigidez nominal
O método consiste em estimar a rigidez de flexão EI do elemento estrutural a qual é
utilizada na análise linear de 2ª ordem.
Os dois métodos apresentam a mesma fundamentação conforme se demonstra a
seguir.
Considerando uma coluna bi-articulada sujeita a um esforço axial N e a uma carga
transversal (ou a uma imperfeição geométrica) o momento total actuante incluindo os
efeitos de 2ª ordem é obtido de acordo com a seguinte expressão:
N
r
v
M0
M2
1/r
0
M = M0 + M 2
1
M = M0 + M2 = M0 + N v = M0 + N r
l02
c
em que:
M – momento total
M0 – momento de 1ª ordem
M2 – momento de 2ª ordem
v – deslocamento associado à curvatura 1/r
l0 – comprimento do elemento (comprimento de encurvadura)
249
Estruturas de Betão I
c – factor que depende da distribuição da curvatura
O deslocamento v pode ser obtido pela integração das curvaturas ao longo da coluna,
admitindo uma distribuição proporcional à dos momentos:
–
 MM
–
1 –
1
M


v=
M dx =
dx = EI  MM dx = EI
r
EI
 l0
 l0
 l0
l02
1
c = r
l02
c
Em que c tem os seguintes valores função da distribuição do momento flector ao longo
da coluna:
distribuição parabólica:
c=9.6
distribuição uniforme (constante):
c= 8
distribuição triangular simétrica:
c=12
Sendo M e 1/r o momento e a curvatura na secção mais esforçada do pilar.
A diferença entre os dois métodos reside nas hipóteses admitidas para a consideração
de um valor de curvatura ou, o que pode ser equivalente, de um valor para a rigidez
fendilhada. De seguida apresentam-se as hipóteses base consideradas em ambas as
metodologias.
- No método da curvatura nominal a curvatura 1/r é a associada à deformada do
elemento correspondente ao momento de cedência. Admite-se, para a curvatura base,
que as armaduras de compressão entram em cedência simultaneamente com a de
tracção (ver fig. seguinte). De acordo com o EC2 este valor é depois modificado para
poder ter em conta o nível de esforço axial e a fluência do betão, como veremos.
syd
syd
(+)
(-)
1 syd + syd
syd
r = 0.9d = 0.45d
0.9d
A razão pela qual a curvatura de cedência é considerada neste cálculo pode ser
compreendida tomando uma relação momento curvatura tipo de uma secção em
flexão composta. Se se representar o crescimento do momento de 2ª ordem com a
curvatura, percebe-se que a máxima resistência disponível para o momento de 1ª
ordem deve ser avaliada para a fase de perda significativas de rigidez da secção com
a cedência da armadura (ver figura seguinte).
250
Estruturas de Betão I
N
M
M 1ª ordem
 M yd
M Rd,max
v (1/r)
(1ª ordem)
M 2ª ordem = N v (1/r)
1/r
M 1ª ordem
N
- No método da rigidez nominal a curvatura 1/r é expressa em termos de rigidez
nominal à flexão:
1
M
r = EI
Nesta proposta de metodologia a rigidez EI é definida como se verá tendo em conta,
explicitamente, a influência da fendilhação e da fluência.
Importa referir que neste tipo de análises o comprimento l0 deve ser considerado como
um comprimento que traduz a forma da deformada final do elemento estrutural.
Dado que os métodos simplificados se baseiam na análise de uma coluna biarticulada, a adopção do comprimento l0 permite a consideração de outras condições
de fronteira de pilares.
11.5.2 Método da curvatura nominal
Método de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª
ordem, corrigindo os esforços actuantes para ter em conta os efeitos de 2ª ordem, ou
seja da própria deformada da estrutura.
251
Estruturas de Betão I
e
v e
N
e +e 2
N
N
Msd = Nsd (e + e2)
De acordo com o EC2, e como já explicado, a excentricidade 2ª ordem pode ser
calculada com base numa curvatura nominal através da seguinte expressão:
e2 =
1
r
l02
c
onde c representa um factor que depende da distribuição da curvatura ao longo do
elemento. Normalmente adopta-se c = 10, excepto se o momento de primeira ordem
for constante, situação em que se poderá adoptar c = 8.
A curvatura (1/r) pode ser determinada a partir da expressão:
1
1
r = Kr K r0
onde,
Kr
representa um factor correctivo que tem em consideração o nível de esforço
axial;
K
representa um coeficiente destinado a ter em conta o efeito da fluência;
1
yd
1 / r0 representa a curvatura base  r  0.45d .
 0

O coeficiente Kr destina-se a ter em conta o facto de, em determinados casos, a maior
perda de rigidez se dá antes da armadura atingir a extensão de cedência, o que
conduz a uma curvatura inferior ao valor base. Este factor de redução pode ser
determinado através de:
Kr =
u - 
 1.0
u - bal
252
Estruturas de Betão I

representa o valor do esforço normal reduzido;
bal
representa o valor do esforço normal reduzido na zona do máximo
momento resistente (em geral, bal  0.4);
u
= 1 + , com  = As fyd / (Ac fcd).
O efeito da fluência é considerado através da introdução do coeficiente K, que
pretende corrigir os casos em que a curvatura base seria inferior à curvatura real
devido ao facto de não se considerar o efeito da fluência. Assim:
K = 1 + ef  1.0
ef representa o coeficiente de fluência efectivo  ef=  (t, t0)

M0cqp 
;
M0sd 

= 0.35 + fck / 200 -  / 150;
M0cqp
representa o momento de primeira ordem para a combinação quasepermanente de acções;
M0sd
representa o momento de primeira ordem para a combinação fundamental.
O efeito da fluência poderá ser desprezado, o que equivale a assumir que ef = 0, caso
sejam verificadas as três condições seguintes:  (, t0)  2;  75; M0sd / Nsd  h.
Os efeitos de 2ª ordem poderão ser considerados, tal como no caso das imperfeições
geométricas, através de uma força horizontal equivalente.
Esta força poderá ser uma força concentrada ou outra força equivalente, que produza
os mesmos esforços que o efeito de 2ª ordem (ver exemplos seguintes).
253
Estruturas de Betão I
- Elementos não contraventados
N
H
L
0
2
2
e2

0
N
l0
M = H 2
M2 = N e2
l0
H 2 = N e2

e2
H = 2N l
0

H = N 2
N
- Elementos contraventados
e2
0

H
2
M2 = N e2
l0
H 4 = N e2

e2
H = 4N l
0
l0
M = H 4

H = 2N 2
Procede-se seguidamente à verificação do estado limite último de flexão composta
na secção crítica (secção mais esforçada), tendo em consideração este método.
254
Estruturas de Betão I
Assim tomemos os seguintes esforços:
Nsd
Msd = M0sd + Nsd e2
em que: M0sd = M0e + Nsd ei
Secção crítica:
(i) Elementos contraventados
A localização da secção crítica depende do diagrama de Msd conforme se pode
observar na figura seguinte. Nesta figura considera-se uma coluna genérica e
representam-se os esforços relativos às cargas actuantes e ao efeito de 2ª ordem.
M 02 N
M1

+
M1
N
M2
=
M2
M TOT = M1 + M 2
M 01
Verifica-se que, em geral, a secção crítica se localiza numa zona intermédia e que a
sua determinação requeria um certo esforço de cálculo.
O EC2 ultrapassa esta dificuldade indicando uma metodologia simplificada para
estimar o momento máximo. Essa metodologia consiste em tomar para o momento
associado às cargas actuantes um valor constante, avaliado numa zona intermédia do
pilar, o qual é somado directamente aos momentos relativos às imperfeições
geométricas e aos efeitos de 2ª ordem.
255
Estruturas de Betão I
N
ei
+
0
N
e2
+
N e2
N ei
0.6 M02 + 0.4 M01
0.4 M02
M0e = máx 
MSd
2
i
M0e
=
MSd = M0e + Nei + N e2
com : |M02|  |M01|
Todavia, como é possível verificar na primeira figura, os efeitos da imperfeição
geométrica e de 2ª ordem também se fazem sentir nos nós pelo que o momento
máximo pode, eventualmente, ocorrer numa das extremidades do elemento.
As dificuldades atrás referidas poderiam ser ultrapassadas se os efeitos das
imperfeições geométricas e de 2ª ordem forem considerados através da força
horizontal equivalente de acordo com exposto anteriormente.
(ii) Elementos não contraventados
Nos elementos não contraventados os esforços máximos ocorrem nos nós como se
pode observar na figura seguinte pelo que não se coloca a problemática atrás referida.
M 02 N
+
M1
N
=
M2
M TOT = M1 + M 2
M 01
256
Estruturas de Betão I
11.5.3 Método da rigidez nominal
Considerando a coluna bi-articulada definida em 2.5.1 com comprimento l = l0, o
momento de 2ª ordem pode ser calculado da seguinte forma:
1
M2 = N v = N r
l02
M
=
N
c
EI
l02
l02
=
N
c
c EI (M0 + M2)
onde M0 é o momento de 1ª ordem e c é um parâmetro que depende da distribuição
da curvatura (assume-se que a distribuição das curvaturas de 1ª e 2ª ordem são
proporcionais ao longo do vão).
Desenvolvendo a expressão anterior em ordem a M2, tem-se:
N l02
c EI
M2 = M0
l02
1-N
c EI
1
1
= M0 c EI
= M0 N
B
/N-1
-1
l02
N
em que:
c EI
2 EI
NB = l 2 ≈ l 2
0
0
(carga crítica do pilar)
O momento total do pilar pode ser calculado, então, da seguinte forma:
1 
M = M0 + M2 = M0 1 + N

B
1


N


O parâmetro
1
N
1- N
B

M=
M0
N
1NB
é o conhecido factor de amplificação do momento de 1ª ordem,
em problemas associados à instabilidade de estruturas.
- Rigidez nominal
A rigidez de flexão EI a usar no cálculo de NB deve ter consideração o efeito da
fendilhação e da fluência. O EC2 considera a seguinte expressão para cálculo da
rigidez nominal:
EI = Kc Ecd Ic + Ks Es Is
em que:
Ecd
valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão, Ecd = Ecm/cE, com cE = 1.2
Ic
momento de inércia da secção transversal de betão
Es
módulo de elasticidade do aço das armaduras,
257
Estruturas de Betão I
Is
momento de inércia das armaduras, em relação ao centro da área do betão
Kc
coeficiente que toma em conta os efeitos da fendilhação e da fluência,
Ks
coeficiente que toma em conta a contribuição das armaduras.
- Em geral:
Ks = 1
Kc = k1 k2 / (1 + ef)
em que:

= As/Ac
ef
coeficiente de fluência efectivo;
k1
é um coeficiente que depende da classe de resistência do betão:
k1 =
k2
fck / 20 (MPa)
é um coeficiente que depende do esforço normal e da esbelteza:
k2 =  .

 0,20
170
- Nos casos em que   0,01, no EC2 propõe-se, para simplificar:
Ks = 0
Kc = 0,3 / (1 + 0,5ef)
Note-se que Kc introduz uma perda de rigidez, muito significativa, da ordem de 4 a 6,
em relação à rigidez de cálculo da secção só de betão. A dificuldade na aplicação
mais precisa desta proposta pode residir no cálculo da rigidez nominal a qual, para ter
em consideração as armaduras, exige um processo iterativo.
11.6 Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de
encurvadura
Para o caso de elementos isolados, os efeitos de segunda ordem poderão ser
desprezados se for satisfeita a condição
  lim =
20  A  B  C

onde,
 = l0 / i e representa o coeficiente de esbelteza (i representa o raio de giração
da secção transversal não fendilhada);
258
Estruturas de Betão I
A = 1 / (1 + 0.2 ef ) (se ef for desconhecido pode adoptar-se A = 0.7);
B =
1+2
(se  for desconhecido pode adoptar-se B = 1.1);
C = 1.7 - rm;
ef representa o coeficiente de fluência efectivo;
 = Asfyd / Acfcd e representa a percentagem mecânica de armadura;
rm = M01 / M02 onde M01 e M02 representam os momentos de primeira ordem nas
extremidades de um elemento, sendo |M02|  |M01|;
 = Nsd / (Ac fcd) e representa o esforço normal reduzido
O parâmetro C é o que apresenta, nos casos correntes, uma maior variação (entre
0.7 e 2.7) pelo que é fundamental a sua correcta avaliação, dado ter uma influência
significativa no valor de lim.
259
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 19
Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços:
N
Secção transversal
H
0.40
0.30
3.00
Esforços característicos: Ng = 550 kN; Nq = 250 kN
Hq = 20kN
(1 = 0.6; 2 = 0.4)
Materiais: C25/30; A400NR
260
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 19
1. Cálculo da esbelteza
L0
2  3.0
 = i = 0.0866 = 69.3
i=
I
A =
9  10-4
bh3
0.4  0.33
= 0.0866 m; I = 12 =
= 9  10-4 m4
12
0.30  0.40
2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas
ei = i l0 / 2
i = 0hm
h = 2 /
m =
3.0 = 1.15 < 1.0  h = 1.0
l =2/
0.5 (1 + 1/m) = 1.0
1
i = 200
l0
6.0
ei = 400 = 400 = 0.015 m
3. Determinação dos esforços de dimensionamento
Nsd = 1.5  (550 + 250) = 1200 kN; M0sd = 20  3  1.5 + 0.015  1200 = 108.0 kN
3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem
Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar a
condição seguinte:
 = 69.3  lim =
20  A  B  C

C = 1.7 - rm = 1.7
rm= M01 / M02= 0
Nsd
=A f =
c cd
1200
= 0.599
0.30  0.40  16.7  103
261
Estruturas de Betão I
lim =
20  0.7  1.1  1.7
= 33.8
0.599
 os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis
3.2. Quantificação dos esforços de cálculo
Nsd = 1200 kN
Msd = M0sd + Nsd e2
(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem
1
e2 = r
L02
c
1
1
=
K
r K
r
r0
1
yd
1.74  10-3
=
=
= 1.55  10-2 m-1
r0
0.45d
0.45  0.25
Kr =
u - 
1.5 - 0.6
= 1.5 - 0.4 = 0.82  1.0
u - bal
Nsd
1200
= A f =
= 0.60
0.30  0.40  16.7  103
c cd
u = 1 +   1 + 0.5 = 1.5
Estima-se em 0.5 a percentagem mecânica de armadura. Refira-se que este
parâmetro tem influência reduzida no valor de Kr.
K = 1 + ef  1
M0cqp
33.8
ef= (t, t0) M
= 2.5  108 = 0.78
0sd
M0cqp = 20  3  0.4 + 0.015  (550 + 0.4  250) = 33.8 kNm
fck

25
69.3
= 0.35 + 200 - 150 = 0.35 + 200 - 150 = 0.013
K = 1 + 0.013  0.78 = 1.01  1
1
1
-2
-1
=
K
r K
r
r0 = 0.82  1.01  1.55  10 = 0.013 m
1
e2 = r
L02
62
=
0.013

c
10 = 0.047 m
Msd = M0sd + Nsd e2 = 108 + 1200  0.047 = 164.4 kNm
262
Estruturas de Betão I
4. Cálculo da armadura (flexão composta)
Nsd
-1200
= b h f =
= -0.60
0.3  0.4  16.7  103
cd
Msd
164.4
 = b h2 f =
= 0.273
2
0.4

0.3
 16.7  103
cd

 


tot
= 0.62
d1
0.05
h = 0.3 = 0.167  0.15 ; A400
fcd
16.7
Astot = tot  bh  f
= 0.62  0.30  0.40  348  104 = 35.7cm2
syd
263
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 20
Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços:
N
Secção transversal
0.25
0.25
Esforços característicos: Ng = 380 kN; Nq = 220 kN
5.00
(1 = 0.4; 2 = 0.2)
Materiais: C20/25; A400NR
264
Estruturas de Betão I
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 20
1. Cálculo da esbelteza
=
L0
5
=
= 69.3
i
0.0722
i=
I
A =
3.255  10-4
b h3
0.254
-4
4
=
0.0722
m
;
I
=
=
2
0.25
12
12 = 3.255  10 m
2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas
ei = i l0 / 2
i = 0hm =
h = 2 /
1
 0.89 = 0.0045
200
5.0 = 0.89 ; m =
l =2/
0.5 (1 + 1/m) = 1.0
5.0
ei = i l0 / 2 = 0.0045  2 = 0.011 m
3. Esforços de dimensionamento
Nsd = (380 + 220)  1.5 = 900 kN; M0sd = 0.011  900 = 9.9 kNm
3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem
Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar
condição seguinte:
 = 69.3 / lim =
20  A  B  C
20  0.7  1.1  1.7
=
= 25.2
n
1.083
C = 1.7 - rm = 1.7
rm= M01 / M02= 0
Nsd
900
= A f =
= 1.083
0.25  0.25  13.3  103
c cd
lim =
20  0.7  1.1  1.7
= 25.2
1.083
 os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis
265
Estruturas de Betão I
3.2. Quantificação dos esforços de cálculo
Nsd = 900 kN; Msd = M0sd + Nsd e2
(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem
1
e2 = r
L02
c
1
1
r = Kr K r0
1
yd
1.74  10-3
=
=
= 1.93  10-2 m-1
r0
0.45d
0.45  0.20
Kr =
u - 
1.5 - 1.083
=
= 0.38 1.0
1.5 - 0.4
u - bal
Nsd
900
= A f =
= 1.083
2
0.25  13.3  103
c cd
u = 1 +  1 + 0.5 = 1.5
K = 1 + ef
ef= (t, t0)
M0cqp
4.7
= 2.5 
= 1.2
M0sd
9.9
M0cqp = 0.011  (380 + 0.2  220) = 4.7 kNm
fck

20
69.3
= 0.35 + 200 - 150 = 0.35 + 200 - 150 = -0.012
K = 1 - 0.012  1.2 = 0.99  K = 1
1
1
-2
-1
r = Kr K r0 = 0.38  1.0  1.93  10 = 0.0073 m
1
e2 = r
L02
52
=
0.0073

c
10 = 0.0183 m
Msd = M0sd + Nsd e2 = 9.9 + 900  0.0183 = 26.4 kNm
3. Cálculo da armadura (flexão composta)
d1
0.05
h = 0.25 = 0.20 ; A400  Tabelas pág. 45
266
Estruturas de Betão I
Nsd
-900
= b h f =
= -1.083
0.252  13.3  103
cd
Msd
27.9
 = b h2 f =
= 0.127
0.253  13.3  103
cd




tot
= 0.65
fcd
13.3
Astot = tot b h  f
= 0.65  0.252  348  104 = 15.5cm2
syd
267
Estruturas de Betão I
12 Estruturas em Pórtico
12.1 Classificação das estruturas
Uma vez que os esforços de 2ª ordem dependem da deformabilidade lateral dos
pórticos convém classificar as estruturas relativamente a esta característica.

Estruturas contraventadas: estruturas com elementos verticais de grande rigidez
com capacidade resistente para absorver a maior parte das acções horizontais.
paredes
ou
núcleos
Neste tipo de estruturas a deformação lateral é condicionada pelos elementos de
contraventamento sendo este o tipo estrutural mais comum.
A deformação lateral global da estrutura pode ou não ser desprezável consoante a
rigidez dos elementos de contraventamento e as cargas actuantes.
Embora a deformação global da estrutura possa ter significado, a deformação relativa
entre pisos consecutivos é desprezável. Deste modo para os pilares há apenas que
verificar se há ou não que considerar efeitos locais de 2ª ordem para o
dimensionamento de cada um deles, admitindo a estrutura contraventada. Por outro
lado no dimensionamento dos elementos de contraventamento os efeitos globais de 2ª
ordem devem ou não ser considerados, consoante os deslocamentos laterais são
significativos ou desprezáveis, respectivamente.

Estruturas não contraventadas: estruturas sem elementos de contraventamento
Nestas estruturas, que devem sempre que possível ser evitadas, a deformação lateral
é, em geral, significativa. Os pilares e paredes devem ser dimensionados para os
efeitos globais de 2ª ordem sendo ainda necessário verificar se os efeitos locais são
condicionantes.
268
Estruturas de Betão I
12.2 Comprimento de encurvadura
O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento
nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado
pela expressão:
l0 = l
onde l representa o comprimento livre do elemento e  é um factor que depende das
condições de ligação das extremidades do elemento
Estruturas contraventadas
Estruturas não contraventadas
l
l0  l (  1)
l
l0  l (  1)
O comprimento de encurvadura de acordo com o EC2 é obtido pelas seguintes
expressões (calibradas com recurso a análises não lineares):
- Elementos contraventados

l0 = 0,5l 1 

 

k1
k2
  1 

0,45  k1   0,45  k 2 
- Elementos não contraventados


l0 = l max 1  10 
k1, k2

k1  k 2
k  
k  
; 1  1   1  2  
k1  k 2  1  k1   1  k 2  
são parâmetros relativos às extremidades do pilar que traduzem a rigidez
relativa à rotação dos nós:
k
= ( / M)(E / l)
/M
inverso da rigidez à rotação dos elementos que concorrem no nó e que
restringem a rotação desse nó;
E
rigidez de flexão do pilar;
269
Estruturas de Betão I
l
altura livre do pilar entre ligações de extremidade
O inverso da rigidez, /M, pode ser definido aproximadamente por:
/M = 1/(4 EI/L) para elementos com ligações de continuidade nas extremidades
/M = 1/(3 EI/L) para elementos rotulados na extremidade oposta à da ligação em
análise
Nos casos gerais em que apenas as vigas contribuem para a restrição à rotação dos
nós tem-se:
(EI / L) pilares
ki =
(EI / L) vigas
nó i:
viga
pilar
Em que  toma o valor de 3 ou 4 consoante os casos atrás referidos.
O parâmetro k pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó:
Maior rotação  maior deformação  maior l0  maiores efeitos de 2ª ordem.
Exemplo de cálculo de l0:
Determinar o comprimento de encurvadura do pilar indicado na figura.
3.00
2
0.6
0.5
0.3
0.3
0.3
3.00
0.3
1
0.5
0.3
0.4
0.3
4.00
6.00
5.00
Classificação da estrutura: Estrutura não contraventada
0.34
1
0.34
1
12  4 + 12  3
(EI / L) pilares (I / L) pilares
k1 =
=
=
= 0.117
3
3
(4EI / L) vigas (4I / L) vigas 0.3  0.5  4 + 0.3  0.4  4
12
6
12
5
270
Estruturas de Betão I
0.34
1

2
12
3
k2 =
= 0.074
3
0.3  0.6
4
0.3  0.53
4

+

12
6
12
5


k1  k 2
k  
k 
l0 = l max
; 1  1   1  2 
 1  10 
k1  k 2  1  k1   1  k 2 







l0 = l . max (1.20; 1.18)
l0 = 3  1.2 = 3.60 m
12.3 Efeitos das imperfeições geométricas em estruturas porticadas ou mistas
Em estruturas porticadas ou mistas (com pórticos e paredes) os efeitos das
imperfeições geométricas podem ser avaliados considerando a estrutura inclinada de
um ângulo i. Uma metodologia alternativa consiste na aplicação de forças horizontais
ao nível dos vários pisos do pórtico que conduzam ao mesmo efeito da inclinação i.
N
i
Hi

Hi = N i
12.4 Efeitos de segunda ordem em pórticos
Para o caso de estruturas porticadas com elementos de contraventamento (por
exemplo: paredes ou núcleos de betão armado), os efeitos globais de segunda ordem
poderão ser desprezados se for satisfeita a condição
Fv,sd k1
Ecd Ic
s
L2
s + 1.6
onde,
Fv,sd representa a carga vertical total;
s
representa o número de pisos;
L
representa a altura total do edifício acima do nível a partir do qual os
deslocamentos horizontais estão restringidos;
271
Estruturas de Betão I
Ecd
representa o valor de dimensionamento do módulo de elasticidade do
betão (Ecd = Ecm / cE = Ecm / 1.2);
Ic
representa o momento de inércia da secção transversal dos elementos de
contraventamento (em estado não fendilhado);
k1
é um coeficiente que em geral toma o valor 0.31, ou o valor 0.62 caso se
verifique que os elementos de contraventamento não estão fendilhados em
estado limite último.
Esta expressão é válida caso se verifiquem as condições seguintes:
-
Estrutura aproximadamente simétrica;
-
Deformações globais por corte desprezáveis;
-
Rotação da base dos elementos de contraventamento desprezável;
-
Elementos de contraventamento com rigidez aproximadamente constante em altura;
-
Cargas verticais semelhantes nos vários pisos.
12.4.1 Verificação da segurança de pórticos contraventados
Caso os efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados apenas há
que verificar os efeitos locais de 2ª ordem. Assim os pilares devem ser analisados,
como elementos isolados de acordo com o definido em 2.6/2.7, tendo em
consideração 3.2.
Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª ordem.
Caso os efeitos globais de 2ª ordem não possam ser desprezados, caso de
deslocamentos globais da estrutura significativos (deslocamentos entre o topo e a
base do edifício), os deslocamentos entre pisos estão limitados, dada a elevada
rigidez dos elementos de contraventamento, isto se tiverem em planta uma disposição
aproximadamente simétrica.
É
razoável
admitir,
nestes
casos,
que
os
elementos
contraventados
têm
deslocamentos horizontais limitados, pelo que há apenas que verificar os efeitos locais
de 2ª ordem nos pilares, de acordo com 2.6/2.7, tendo em consideração 3.2.
Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª e 2ª
ordem.
272
Estruturas de Betão I
Elementos de contraventamento (paredes)
Os efeitos de 2ª ordem podem ser avaliados por uma metodologia idêntica à referida
para as imperfeições geométricas.
N
2
H

H = N  2
A inclinação 2 é calculada com base no comprimento de encurvadura e este pode ser
estimado como se apresenta seguidamente.
comprimento de encurvadura do
elemento de contraventamento
0
2
12.4.2 Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados
No caso de estruturas em que os efeitos globais de segunda ordem tenham que ser
considerados, a análise de pilares isolados em estruturas introduz alguns problemas:

A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é
realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos
horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade
de 2ª ordem em todos os pilares.

Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por
equilíbrio, conduzem a um aumento de esforços nas vigas adjacentes. A análise
de pilares isolados não tem em conta este efeito.
Desde modo, verifica-se que a análise dos pilares isolados não é adequada pelo que a
metodologia a adoptar deve contemplar o comportamento global da estrutura.
273
Estruturas de Betão I
Formas mais correctas de ter em conta os efeitos de2ª ordem
1. Análise da estrutura inclinada (deformada)

2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços
provocados pelos efeitos de 2ª ordem.
H 2
H 1

Esta metodologia em pórticos com muitos pisos perde sentido, por ser muito
desfavorável. No que se segue é ilustrada a análise de um pórtico simples de um piso.
Considere-se o pórtico na posição deformada:

N1
N2

P2
P1
L


e2
1
0
e
2
0
274
Estruturas de Betão I
O ângulo  e o deslocamento δ podem ser determinados com base no comprimento de
encurvadura l0 e na excentricidade e2 da seguinte forma:
e2 2 e2
=l1= l1
0
0
2
;
e2
 = L = 2L l 1
0
O momento global de 2ª ordem é:
MTOTAL
= (N1 + N2)  
2
e2
MTOTAL
= (N1 + N2) 2L l 1
2
0
e2; l0  parâmetros relativos ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência
(pilar condicionante)
A força horizontal equivalente que conduz ao mesmo momento global nos pilares pode
ser calculada da seguinte forma:
H
MTOTAL
= HL
H
 HL = (N1 + N2) 2L
 H = 2 (N1 + N2)
L
e2
l0
l0; e2parâmetros relativos ao pilar
condicionante
Definição do Pilar Condicionante:
Considerando que o deslocamento horizontal no topo dos pilares é idêntico, as
características que determinam qual o primeiro pilar a atingir a curvatura de cedência
são a altura da secção, as condições de fronteira e o nível de esforço axial actuante.
As duas primeiras características caracterizam a rigidez do pilar, a terceira determina a
extensão máxima na armadura.
Considere-se a seguinte metodologia para definir um único parâmetro que tenha em
consideração as características atrás referidas:
- a excentricidade de 2ª ordem e2 é função da curvatura de cedência do pilar: e2 =
2
1 l0
r 10
275
e2
l0
Estruturas de Betão I
h
N
n
+
-
1
1
r  r0
n
e2
1/r
0.4
n
0
1
r0
0.4
m
N
A curvatura base é definida pela seguinte expressão:
1
yd
yd
r0 = 0.45d  0.4h
A curvatura de cedência pode ser estimada de forma aproximada, a partir da curvatura
base, pela seguinte expressão:
1
yd 0.4 yd
r = 0.4h  =  h
sendo: e2 = 
l0
2


e2 =
2
yd l 0
 h 10
2
l0 yd l 0
=
2  h 10
com   0.4

=
1
l0
1
l0 L
yd
  = yd
5
5
h
h
 é o deslocamento do pórtico associado ao pilar que atinge primeiro a curvatura de
cedência:
  = i,mínimo
Donde se conclui que o pilar condicionante é o pilar com menor relação
L l0
h
(  0.4)
276
Estruturas de Betão I
EXERCÍCIO 21
G2
G1
g, q
W
P2
P1
5,0
0.3
0.3
0.4
0.6
10,0
C25/30
g = 17kN/m
0 = 0.4
A500 NR
q = 13.5kN/m
G = 1.35
Rec: 3cm
G1 = 600kN
Q = 1.5
G2 = 400kN
W =  100kN
Dimensionamento dos pilares
—
Estrutura não contraventada
l0
Esbeltezas  = i
l0 = 2l = 2  5 = 10m
P1:
i=
0.6
= 0.115m
12

10
 = 0.115 = 87
P2:
i=
0.6
= 0.173m
12

10
 = 0.173 = 58
277
Estruturas de Betão I
—
Efeito das imperfeições geométricas
i = 0 h m
h =
;
2
2
=
= 0.894
l
5
1
0 = 200
; m =
0.5 1 +

1
i = 200  0.894  0.87 = 0.0039 ;
1
=
m
1
0.5 1 +  = 0.87
2

ei = 0.0039  5 = 0.0194m
0.0194
0.0039
0.0039
Força horizontal equivalente:
Hi = Ni
Combinação que envolve a acção do vento
Sd = 1.35 Sg + 1.5 0 Sq  1.5 SW
N = N1 + N2 =1.35 (600 + 400) + 10 (1.35  17 + 1.5  0.4  13.5) = 1660kN
Hi = 1660  0.0039 = 6.47kN
H i = 6.47
R1 =
EI1
L31
EI1 EI2
+
L31 L32
H1 =
0.43
6.47 = 1.49kN
0.4 + 0.63

3
0.23
R2 = Hi - R1 = 4.98kN
R1
R2
Esforços de 1ª ordem
P1
 W1 = 0.23  100 = 23kN
10
Nsd = 1.35  400 + 2 (1.35  17 + 1.5  0.4  13.5) = 695kN
M0sd = 1.5  23  5 + 1.49  5 = 180kNm
278
Estruturas de Betão I
 W2 = 100 - 23 = 77kN
P2
10
Nsd = 1.35  600 + 2 (1.35  17 + 1.5  0.4  15) = 965kN
M0sd = 1.5  77  5 + 4.98  5 = 602,4kNm
- Efeitos de 2ª ordem
Pórtico não contraventado  necessidade de considerar os efeitos de 2ª ordem
Excentricidade de 2ª ordem
A excentricidade de 2ª ordem é calculada para o pilar que atinge primeiro a curvatura
de cedência (pilar condicionante)
- pilar condicionante: pilar com menor relação
P1 -  =
695
= 0.35
0.3  0.4  16700
P2 -  =
965
= 0.32
0.3  0.6  16700
l0 L
h
(  0.4)
Pilar P1:
l0 L
= 10  5 /(0.4  0.4) = 312.5
h
( = 0.35)
Pilar P2:
l0 L
= 10  5/(0.4  0.6) = 208.5
h
( = 0.32)
(condicionante)
O pilar condicionante coincide, em geral, com o pilar mais rígido como é possível
observar na figura seguinte.
1
o
2
oo
o
P2
o

1/r0
1 1
 1
1 = 2 =  r M  r = r

1
2
1 1
e2 r = r k1 k2
0

yd
0.45d
P1
Para um determinado deslocamento horizontal δ o pilar mais rígido (P2) atinge primeiro
a cedência donde se conclui que e2 é condicionada pelo pilar mais rígido.
P2
2
1 l0
 e2 = r 10 ;
1
1
r = k r k  r0 ;
1
yd
r0 = 0.45d
279
Estruturas de Betão I
1 2.175  10-3
=
= 8.79  10-3/m
r0 0.45  0.55
k= 1 + ef  1.0
 = 0.35 +
ef = 
fck

25 58
= 0.35 +
= 0.088
200 150
200 150
24.9
M0cqp = 4.98  5 = 24.9kNm
 ef = 2.5
= 0.1
602.4
M0sd = 602.4kNm
M0cqp
M0sd
k = 1 + 0.088  0.1  1.0
kr =
n - 
 1.0 ;
n - bal
Nsd
 = A f ; u = 1 + w
c cd
= 0.32 ; bal = 0.4 ; w  0.5 (estimativa)
1.5 - 0.343
kr = 1.5 - 0.4 = 1.05  kr = 1.0
(  0.4  kr = 1.0)
102
e2 = 8.79  10-3 10 = 0.0879m
Força horizontal equivalente: H =
H = 1660 
2N e2
l0
;
l0 = 2l  H = N e2/l = (N1 + N2)
e2
l
0.0879
= 29.18kN
5
Momento de 2ª ordem
P1
 M2 = 0.23  29.18  5 = 33.56kNm
P2
 M2 = 0.77  29.18  5 = 112.34kNm
Esforços de dimensionamento
P1
Nsd = 695kN
 
Msd = M0sd + M2 = 180 + 33.56 = 213.56kNm
 = 0.35 ;  =
213.56
= 0.266  w = 0.44
0.3  0.42  16700
Astot = 20.3cm2
Msd 213.56
Vsd = l =
= 42.7kN
5
Asw
Vsd
42.7
2
Asw
s = z cotg  fyd = 0.9  0.35  2  43.5 = 1.56cm /m   s min
280
0,3
Estruturas de Betão I
420 + 416
( = 1.7%)
Cintas 6//0.15
0,4
Nsd = 965kN
 
Msd = 602.4 + 112.34 = 714.74kNm
P2
 = 0.32

 w = 0.76
 = 0.396
Astot = 52.5cm2
Asw
= 3.32cm2/m
s
220
425
216
714.74
= 142.9kN
5
425
220
Vsd =
0,3
825 + 420
Cintas 8//0.15
( = 3.1%)
0,6
BIBLIOGRAFIA DE REFERÊNCIA
Bibliografia Principal e Geral
Appleton, J. 2013 : “ Estruturas de Betão – Volumes 1 e 2”, Edições Orion, Amadora
fib : “Structural Concrete – Textbook on Behaviour Design and Performance” 2009, Volume 1:
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fib : “Structural Concrete – Textbook on Behaviour Design and Performance” 2009, Volume 2:
Basis of design (fib bulletins 52), International Federation for Structural Concrete, Lausanne.
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Design of durable concrete structures (fib bulletins 53), International Federation for Structural
Concrete, Lausanne.
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Reineck, K.-H., Almeida, J., Appleton, J., Corres, H., Friedrich, T., Ganz, H., Kalny, M.,
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Schlaich, J., Schäfer, K., Jennewein, M. 1987 : “Toward a consistent design for structural
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Ghali, A.; Favre, R., 1986 : “Concrete Structures: Stresses and Deformations” - Chapman and
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Renaud Favre, Jean-Paul Jaccoud, Olivier Burdet, Hazem Charif, 1997 : “Dimensionnement des
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Polytechnique Fédérale de Lausanne, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes
Documentos Normativos
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edifícios”, IPQ, Lisboa.
NP EN 206 -1: 2005 – Betão – Parte 1: Especificação, desempenho, produção e conformidade
Especificação LNEC E464 – Betões. Metodologia Prescritiva para a Vida Útil de Projecto de 50 e
de 100 anos face às Acções Ambientais.
Especificação LNECE465 – Betões. Metodologia para estimar as propriedades de desempenho
que permitem satisfazer a vida útil de projecto de estruturas de betão armado e pré-esforçado
sob as exposições ambientais XC e XS.
Especificação LNEC E461 – Metodologias para prevenir reacções expansivas internas.
282