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```1 Luenberger
1. (Amortization) A debt of \$25,000 is to be amortized over 7 years at 7% interest. What value of
monthly payments will achieve this?
Monto \$ 25.000
Periodos 84 meses
Tasa 7%
Por lo que el pago mensual asciende a \$ 377.32
3. (Uncertain annuity 0) Gavin's grandfather, Mr. Jones, has just turned 90 years old and is applying
for a lifetime annuity that will pay \$10,000 per year, starting 1 year from now, until he dies. He asks
Gavin to analyze it for him. Gavin finds that according to statistical summaries, the chance
(probability) that Mr. Jones will die at any particular age is as follows:
Age
90
0.07
Probability
91
0.08
92
0.09
93
0.10
94
0.10
95
0.10
96
0.10
97
0.10
98
10.00
99
0.07
100
0.05
101
0.04
Then Gavin (and you) answer the following questions:
(a) What is the life expectancy of Mr. Jones?
(A) Esperanza de vida = Σ (probabilidad x edad) = 90 * 0.07 + 91 * 0.08 + 92 * 0.09 + ... + 101 * 0.04 = 95.13
a&ntilde;os
(b) What is the present value of an annuity at 8% interest that has a lifetime equal to Mr. Jones's life
expectancy? (For an annuity of a nonintegral number of years, use an averaging method.)
A&ntilde;o
1
2
3
4
5
6
Monto
\$ 10,000.00
\$ 10,000.00
\$ 10,000.00
\$ 10,000.00
\$ 10,000.00
\$ 10,000.00
Tasa
8.00%
8.00%
8.00%
8.00%
8.00%
8.00%
\$
\$
\$
\$
\$
\$
VP
9,259.26
8,573.39
7,938.32
7,350.30
6,805.83
6,301.70
\$39,927.10
\$46,228.80
AL A&Ntilde;O 95
AL A&Ntilde;O 96
Asumiendo que en el a&ntilde;o 6 s&oacute;lo se paga la fracci&oacute;n 0.13 de la anualidad, al momento de la muerte).
A&Ntilde;O 95
A&Ntilde;O 96
\$ 39,927.10
\$ 46,228.80
0.87 \$
0.13 \$
Calculo al 95.13
34,736.58
6,009.74
40,746.32
(c) What is the expected present value of the annuity?
El PV esperado de anualidad = Σ {probabilidad x PV (n) para el Sr. Jones morir al final de los a&ntilde;os 90 a 101
Ammount:
Tasa
Probability
Age
Periodo
\$ 10,000.00
8%
1.00
90
0
0.93
91
1
0.86
0.85
92
2
0.73
0.76
93
3
0.60
0.66
94
4
0.49
0.56
95
5
0.38
0.46
96
6
0.29
0.36
97
7
0.21
0.26
98
8
0.14
0.16
99
9
0.08
0.09
100
10
0.04
0.04
101
11
0.02
PV =
\$ 38,386.95
5. (Callable bond) The Z Corporation issues a 10%, 20-year bond at a time when yields are 10%. The
bond has a call provision that allows the corporation to force a bond holder to redeem his or her bond
at face value plus 5%. After 5 years the corporation finds that exercise of this call provision is
advantageous. What can you deduce about the yield at that time? (Assume one coupon payment
per year.)
After ﬁve years, the payment the company needs to make if exercising the call provision is
P C 5 = (1 + 0 . 05) &times; 100 = 105
(1+l )^{15}(10-105 l)+100 l-10&gt;0
l=
&lt; 9.3666%
7. (Annual worth) One advantage of the annual worth method is that it simplifies the comparison of
investment projects that are repetitive but have different cycle times. Consider the automobile
purchase problem of Example 2.7. Find the annual worths of the two (single-cycle) options, and
determine directly which is preferable.
Auto A
Ciclo Sencillo 1 \$ 22,487
A&ntilde;os Vida Util
4
Rate
10%
AA=22,487 / [(1 - 1.1^-4) / (1 - 1.1^-1)]
A A=
\$ 6,449.08 MEJOR OPCION
Auto B
Ciclo Sencillo 2 \$ 37,582
A&ntilde;os Vida Util
6
Rate
10%
AB= 37,582 / [(1 - 1.1^-6) / (1 - 1.1^-1)]
AB=
\$ 7,844.64
8. (Variable-rate mortgage) The Smith family just took out a variable-rate mortgage on their new
home. The mortgage value is \$100,000, the term is 30 years, and initially the interest rate is 8%. The
interest rate is guaranteed for 5 years, after which time the rate will be adjusted according to
prevailing rates. The new rate can be applied to their loan either by changing. the payment amount
or by changing the length of the mortgage.
(a) What is the original yearly mortgage payment? (Assume payments are yearly.)
El valor actual (P) de una anualidad que paga un monto A de cada per&iacute;odo individual por per&iacute;odos de 'm'
por
'n'
a&ntilde;os
a
un
tipo
de
inter&eacute;s
anual
'r'
viene
por
(a) P= \$100,000 n = 30, m = 1, n * m = 30, r = 8%, r/m = 8% = 0.08
A = \$8,882.74 Pago de la Hipoteca
(b) What will be the mortgage balance after 5 years?
(b) El saldo de la hipoteca despu&eacute;s de 5 a&ntilde;os es:
Saldo hipotecario despu&eacute;s de 5 a&ntilde;os = \$ 94,821.30
(c) If the interest rate on the mortgage changes to 9% after 5 years, what will be the new yearly
payment that keeps the termination time the same?
(c) Aqu&iacute; se tiene que modificar el tiempo de finalizaci&oacute;n, es decir de 30 - 5 = 25, por lo tanto, se tiene que
encontrar el nuevo pago que completar&aacute; el pr&eacute;stamo en este tiempo, es decir:
P=
n=
m=
r=
n*m=
r/ m
94,821.30
25
1
9%
25
0.09
A=
9,653.40
El nuevo pago anual que se mantendr&aacute; durante el tiempo de terminaci&oacute;n igual es \$ 9653.40
(d) Under the interest change in (c), what will be the new term if the payments remain the same?
d) Aqu&iacute; se necesitan mantener los mismos pagos mensuales que recibimos en (a), pero necesitamos
encontrar el nuevo t&eacute;rmino (tiempo de terminaci&oacute;n) al cual el pr&eacute;stamo se completar&aacute; despu&eacute;s del
cambio de tasa de inter&eacute;s (que aument&oacute; al 9% de 8%, por lo tanto, si sus pagos son iguales en el tipo de
inter&eacute;s del 9%, el nuevo plazo va a aumentar).
N = 37.56 a&ntilde;os
En otras palabras, tardar&aacute; (37.56 + 5 = 42.56 a&ntilde;os) para pagar el pr&eacute;stamo cuando se mantienen los
pagos iguales despu&eacute;s de 5 a&ntilde;os en el tipo de inter&eacute;s del 9%.
9. (Bond price) An 8% bond with 18 years to maturity has a yield of 9%. What is the price of this
bond?
Cupones=2 por a&ntilde;o
l = 9%, l/2 = 4,5%
N=18, n*m=36
C = 8% o el pago del cup&oacute;n pagado por a&ntilde;o = 8% * 100 = \$ 8
Sustituyendo los valores anteriores en la f&oacute;rmula del precio de los bonos:
P = \$ 91.17
10. (Duration) Find the price and duration of a 10-year, 8% bond that is trading at a yield of 10%
Basado en la f&oacute;rmula para el precio de un bono y su duraci&oacute;n,
El precio del bono es
P = \$83.537
Duracion del bono es
D = 6.84
11. (Annuity duration 0) Find the duration D and the modified duration DM of a perpetual annuity
that pays an amount A at the beginning of each year, with the first such payment being I year from
now. Assume a constant interest rate r compounded yearly. [Hint: It is not necessary to evaluate any
new summations.]
La duraci&oacute;n se mide en a&ntilde;os, por lo que no mide directamente el cambio en los precios de los bonos con
respecto a los cambios en el rendimiento. Sin embargo, el riesgo de tasa de inter&eacute;s puede compararse
f&aacute;cilmente comparando las duraciones de diferentes bonos o carteras. Por otra parte, la duraci&oacute;n
modificada mide la sensibilidad de los cambios en el precio de los bonos con cambios en el rendimiento.
Espec&iacute;ficamente:
12. (Bond selection) Consider the four bonds having annual payments as shown in Table 3.9.
They are traded to produce a 15% yield.
(a) Determine the price of each bond.
Para todos los Bonos , Yield λ = 15%, m = 1
For Bond A, F = 1000, C = 100, n = 3
For Bond B, F = 1000, C = 50, n = 3
For Bond C, F = 1000, C = 0, n = 3 (Zero coupon bond of 3 year duration)
For Bond D, F = 1000, C = 0, n = 1 (Zero coupon bond of 1 year duration)
FV =
l=
m=
n=
n*m=
l/ m =
C=
Pago Cupon =
Precio del Bono
Bond A
\$ 1,000.00
15%
1
3
3
15.00%
10%
\$ 100.00
Bond B
\$ 1,000.00
15%
1
3
3
15.00%
5%
\$
50.00
\$885.84
\$771.68
Bond C
\$ 1,000.00
15%
1
3
3
15.00%
Bond D
\$ 1,000.00
15%
1
1
1
15.00%
\$
\$
\$657.52
\$869.57
(b) Determine the duration of each bond (not the modified duration).
Duraci&oacute;n
Bond A
2.72
Bond B
2.84
Bond C
3.00
Bond D
1.00
(c) Which bond is most sensitive to a change in yield?
De la f&oacute;rmula de sensibilidad a los precios de los bonos, se encuentra que el bono C es m&aacute;s sensible a un
cambio en el rendimiento (por supuesto, es un bono de cup&oacute;n cero con una duraci&oacute;n de 3 a&ntilde;os).
(d) Suppose you owe \$2000 at the end of 2 years. Concern about interest rate risk suggests that a
portfolio consisting of the bonds and the obligation should be immunized, If VA, VB, VC and VD are
the total values of bonds purchased of types A, B, C and D, respectively, what are the necessary
constraints to implement the immunization? [Hint: There are two equations. (Do not Solve.)]
Present Value of the obligation P = 2000 / (1.15 ^ 2) = \$1512.29
Si VA + VB + VC + VD representan el valor de cada bono (que es igual al precio del bono multiplicado por el
VA + VB + VC + VD =
P
=
\$1512.29
DA * VA + DB * VB + DC * VC + DD * VD = 2 * 1512.29
2.72 * VA + 2.84 * VB + 3 * VC + VD = 3024.58
(e) In order to immunize the portfolio, you decide to use bond C and another bond, Which other bond
should you choose? Find the amounts (in total value) of each of these to purchase
Una de las limitaciones de la inmunizaci&oacute;n es que la duraci&oacute;n media de la cartera de bonos debe ser
mayor o igual a la duraci&oacute;n de la obligaci&oacute;n, en este caso si se selecciona el bono D con C, entonces la
duraci&oacute;n media (3 + 1) / 2 = 2 coincide con la duraci&oacute;n de la obligaci&oacute;n que es exactamente 2 a&ntilde;os, por lo
tanto, seleccionamos el bono C y el bono D, luego de la restricci&oacute;n de inmunizaci&oacute;n de la cartera de bonos
en la secci&oacute;n (d), tenemos
VC + VD =1,512.29
Resolviendo se obtiene, VC = VD = \$756.14
Bono C = VC / PC = 756.14 / 657.52 = 1.15
Bono D = VD / PD = 756.14 / 869.57 = 0.87
Por lo tanto, si uno compra 1.15 acciones de bonos C y 0.87 acciones de bonos D, la cartera de bonos ser&aacute;
Lo cual nos indica que no hay forma de inmunizar dicha cartera.
(f) You decided in (e) to use bond C in the immunization. Would other choices, including perhaps a
combination of bonds, lead to lower cost?
Basado en las restricciones de inmunizaci&oacute;n de la cartera de bonos, la suma del valor total de los bonos
debe ser igual al valor presente de la obligaci&oacute;n, la alternativa de los bonos no conducir&aacute; a un menor
costo, pero uno debe asegurarse de que la duraci&oacute;n media de los bonos en la cartera debe ser mayor o
igual a la duraci&oacute;n de la obligaci&oacute;n.
Analice la informaci&oacute;n sobre los siguientes bonos y determine si hay oportunidades de arbitraje. Si
existieran, de qu&eacute; forma implementar&iacute;a una estrategia para ganar dinero sin riesgo.
a) Explique qu&eacute; factores afectan la duraci&oacute;n.
 Vencimiento: A medida que aumenta el vencimiento de un bono, la duraci&oacute;n Tambi&eacute;n
aumenta.
 Rendimiento: A medida que aumenta el nivel de rendimiento de un bono, la duraci&oacute;n
Disminuye.
 Nivel de Cup&oacute;n: La duraci&oacute;n se ve afectada por el nivel y la frecuencia del pago del cup&oacute;n. En
general, cuanto menor sea el pago del cup&oacute;n, mayor ser&aacute; la duraci&oacute;n. Es decir, si la duraci&oacute;n es
m&aacute;s alta, generalmente significa que el bono tiene m&aacute;s riesgo.
b) Si anticipa un alza en tasas, la duraci&oacute;n del portafolio debe ser mayor o menor.
La duraci&oacute;n debe ser menor
c) Que acciones pueden tomarse para reducir o aumentar la duraci&oacute;n de un portafolio de
bonos.
Se pueden hacer compras o ventas de futuros de tasa de inter&eacute;s, dependiendo de qu&eacute; es lo que
se quiera realizar
1. Para los bonos con igual duraci&oacute;n, los bonos cup&oacute;n cero tienen la menor convexidad y los
bonos de alto cup&oacute;n tienen m&aacute;s.
2. Para los bonos con vencimientos iguales, los bonos cup&oacute;n cero tienen la mayor convexidad.
3. El aumento de la duraci&oacute;n en una cantidad que es m&aacute;s de uno aumenta la convexidad en m&aacute;s
4. A medida que disminuyen los rendimientos, aumenta la duraci&oacute;n.
5. A medida que los rendimientos aumentan, la duraci&oacute;n disminuye.
e) Por que la convexidad siempre tiene un efecto positivo sobre el precio del bono sin
importar si las tasas suben o bajen.
La convexidad es la tasa a la que la duraci&oacute;n cambia a medida que nos movemos alej&aacute;ndonos
del punto mencionado sobre la curva de rendimientos. Mediante la convexidad podemos
corregir la inexactitud del comportamiento linear de la duraci&oacute;n
f) Por qu&eacute; existen bonos con convexidad negativa. Qu&eacute; implicaciones tiene esta propiedad en un
portafolio de bonos.
La convexidad negativa, la no convexa y la compresi&oacute;n de precios son todos los t&eacute;rminos que se refieren
al comportamiento de los precios de los valores negociables cuando los precios se acercan o superan el
precio de rescate del valor. P.e bonos prepagables.
4.- Pregunta de examenes anteriores: Financial Times October 16,2016
Considerando el contexto econ&oacute;mico de la nota, explique:
a) La duraci&oacute;n del portafolio debe de aumentar o disminuir.
La duraci&oacute;n debe disminuir, ya que los rendimientos se est&aacute;n incrementando.
b) Con este objetivo explique c&oacute;mo afecta la duraci&oacute;n del portafolio:
1. Aumentar el porcentaje de deuda de corto plazo que financia el portafolio.
Si los pasivos son sensibles a las variaciones en las tasas de inter&eacute;s; el riesgo proveniente de la
variaci&oacute;n de estas en el mercado no solamente afectar&aacute; la cartera de inversiones, sino tambi&eacute;n
la de pasivos, lo que podr&iacute;a devenir en cambios en la posici&oacute;n patrimonial, toda vez que cambios
en las tasas de inter&eacute;s incidan positivamente en los pasivos (haci&eacute;ndolos crecer) y
negativamente en los activos (haci&eacute;ndolos decrecer).
2. Entrar en una estrategia de inmunizaci&oacute;n
Ser&iacute;a conveniente a fin de que la cartera que se mantiene el portafolio a fin de hacerlo menos
adverso a cambios en las tasas de inter&eacute;s.
c) Es conveniente reducir o aumentar la convexidad del portafolio.
Es conveniente aumentar la convexidad del portafolio.
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