6eme

A et B. Figures symétriques
1. Symétrique d’un point
2. Construction symétrique d’un point a) Compas et équerre b) Compas
C. Propriété de la symétrie axiale
1. segment
2. droite
3. Points alignes
4. Cercle
5. Angle
6. Autre propriétés (aires)
7. Rappel des propriétés
8. Construction de la symétrique d’une figure

Que connaissez vous?

Cahiers SESAMATHS
Exercice
1 p. 106

• Définition :
Deux figures sont dites
symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent
par pliage le long de la droite (d).
F2
F1
F3
Les figures F1 et F2 se superposent par pliage le long de la droite (d).
Les figures F3 et F4 sont symétriques par rapport à la droite (d).
F4

Que connaissez vous de la symétrie?
miroir
La même chose de l’autre coté?
opposé
F2
F1
F3
Les figures F1 et F2 se superposent par pliage le long de la droite (d).
Les figures F3 et F4 sont symétriques par rapport à la droite (d).
F4

• Vocabulaire
La symétrie par rapport à une droite est appelée symétrie orthogonale par rapport à cette droite ou symétrie axiale

Cahiers SESAMATHS
Exercices
2,3, 4 p. 106

• Visuellement:
Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à une droite (d) s’ils se superposent par pliage le long de cette droite.
• Maths:
Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à une droite (d) si :
[AA ′ ] ⊥ (𝑑) 𝑑 coupe [AA ′ ] en son milieu.
Définition :
On dit que le point A’ est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) si la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’].
Remarque :
Si le point A appartient à la droite (d), alors A et
A’ sont confondus
Dans ce cas, A est son propre symétrique par rapport à (d).

• Méthodes: a. Equerre et compas b. Compas seul c. quadrillage

90°
H
Puis on prolonge le trait avec l’équerre.
Droite (AH)
H
H
1. Avec l’equerre, tracer la perpendiculaire à (d) passant par A. Elle coupe (d) en H.
2. Sur (AH), placer le point A' tel que
HA' = AH. (cette longueur peut être reportée avec le compas ou la règle graduée.)
On obtient ainsi le symétrique A’ du point A par rapport
à la droite (d).

1. On prend deux points distincts M et N de la droite
(d)
2. Avec le compas on trace le cercle de centre M passant par
A puis le cercle de centre N passant par A en conservant le rayon!
Ces deux cercles se coupent en A et aussi en un autre point A’ symétrique du point A par rapport à la droite (d).

1. On prend deux points distincts M et N de la droite
(d)
2. Avec le compas on trace le cercle de centre M passant par
A puis le cercle de centre N passant par A en conservant le rayon!
Ces deux cercles se coupent en A et aussi en un la droite (d).

1 – Propriétés de la médiatrice:
Lorsque l’on fait le symétrique d’un point par rapport a un axe de symétrie, cet axe peut aussi être appeler la mediatrice !

. Propriété n°1 :
La médiatrice d'un segment est la perpendiculaire à ce segment en son milieu
Ce qui peut se traduire par deux phrases réciproques :
1. Si une droite (d) coupe un segment perpendiculairement et en son milieu , alors c'est la médiatrice de ce segment.
2. Si une droite (d) est la médiatrice d'un segment , alors elle est perpendiculaire à ce segment et le coupe en son milieu.

En écriture mathématique cela se traduit de la manière suivante
Hypotheses:
AA ′ ⊥ 𝑑
(𝑑) coupe [AA ′ ] en son milieu
Ce qui veut dire ici que ce théorème mathématiques est valide dans les deux sens….
Conclusion:
(d) est la médiatrice de [AB]

En écriture mathématique cela se traduit de la manière suivante
Hypotheses:
Si (d) est la médiatrice de [AA’]
Conclusion:
AA ′ ⊥ 𝑑
(𝑑) coupe [AA ′ ] en son milieu
Ce qui veut dire ici que ce théorème mathématiques est valide dans les deux sens….

On dit que l e symétrique d’un segment par rapport à une droite (d) est un segment de même longueur.
Propriété n°2 : La symétrie axiale conserve les longueurs, les périmètres, les aires

En écriture mathématique cela se traduit de la manière suivante
Hypothèse:
A’ est le symétrique de A par rapport a (d)
B’ est le symétrique de B par rapport a (d)
Conclusion
[A’B’] = [AB]

On peut aussi utiliser cette formulation, en effet elle est équivalente
Hypothèse:
Le segment [A’B’] est le symétrique du segment [AB] par rapport a (d)
Conclusion
[A’B’] = [AB]

Le symétrique d’un angle par rapport à une droite (d) est un angle de même mesure.
L’angle BÂC et l’angle B’Â’C’ ont la même mesure.
Propriété n°3: La symétrie axiale conserve les angles.

Construction voir fiche
Définition: La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
La bissectrice d’un angle est aussi son axe de symétrie!
La demi-droite [Oz) est la bissectrice de l’angle

a. Rapporteur et règle:
On veut tracer la bissectrice de l’angle xOy
On place le rapporteur sur l’angle xOy
On mesure l’angle (xOy = 60 degre)
On divise cette mesure par 2 est place le point M tel que xOM=(1/2) x xOy
On retire le rapporteur
Avec la règle on trace ;la demi-droite [OM) – La
BISSECTRICE de l’angle xOy

a. Au compas
On veut tracer la bissectrice de l’angle xOy
On trace un arc de cercle de centre O qui coupe les 2 demi-droites en A et B
On trace 2 arcs de cercle de même rayon de centre A et de centre B
Ils se coupe en M.
On trace la demi droite [OM), c’est la
bissectrice de l’angle xOy

• La médiatrice est l’axe de symétrie d’un point.
• La symétrie axiale conserve les longueurs/distances , périmètres et aires inclus.
• La symétrie axiale conserve les angles: le symétrique d’un angle par rapport à une droite (d) est un angle de même mesure .
• La bissectrice est l’axe de symétrie d’un angle, c’est souvent la diagonale d’une figure.

A. Rectangle:
Il a deux axes de symétrie: les médiatrices de ses cotés d2
A B d1
D
C
On remarque:
Les droites (d1) et (d2) sont respectivement les médiatrices des côtés [AD], [BC] et des côtés [AB] et [DC]

B. Losange
Il a deux axes de symétrie: les droites qui portent ses diagonales
A
B
Bissectrice
D
C
On remarque:
Les droites (AC) et (BD) sont les axes de symétries de ce losange

C. Le Carré:
Un carré est à la fois un rectangle et un losange
Il a donc 4 axes de symétrie:
Les 2 médiatrices de ses côtés (comme le rectangle)
Les 2 droites qui portent ses diagonales
(comme le losange)

D. Triangle isocèle:
Ce triangle a:
- 1 seul axe de symétrie: la médiatrice de sa base
- 2 angles égaux
- 2 côtés de mêmes longueurs
A Médiatrice et bissectrice
On remarque:
A est le sommet principal du triangle ABC
BC est la base du triangle ABC
La droite (AI) est la médiatrice du triangle, la bissectrice du sommet
C I B

E. Triangle équilatéral:
Ce triangle a:
- 3 axes de symétrie: Les médiatrices de ses côtés
- 3 côtés égaux
A
- 3 angle égaux
Médiatrice et bissectrice
B
C
On remarque:
Les axes de symétrie d’un triangle équilatéral sont les médiatrices de ses côtés

• Numéros 1 et 2 p.117:
Optionnels:
Numéro 7, p.116: Construction de triangles
Numéro 4, p.117: Angles

CORRECTION:
Numéros 1 et 2, p.116
losange
Triangle isocèle
Carre
Rectangle