Cours avec Exercices avec solutions
Tronc CS
PROF : ATMANI NAJIB
Les Transformations du plan
Leçon : Transformations du plan
Présentation globale
I) symétrie axiale et symétrie centrale et translation et l’homothétie
II. Propriété caractéristique de la symétrie centrale et la translation et l’homothétie
III. Propriété des transformations
IV) images des figures par les transformations
I) symétrie axiale et symétrie centrale et translation du plan au point unique M' tel que :
et l’homothétie
u  MM  La translation de
1° symétrie axiale
Définition :    est une droite du plan.
u est notée : t u
D’où : t u  M   M  ssi
vecteur
La symétrie axiale d’axe    est la transformation qui
transforme tout point M du plan au point unique M’ tel que : u  MM 
4° Homothétie
(Δ) est la médiatrice du
Définition1:Ω est un point du plan et k un nombre réel .
segment [MM']
L’homothétie de centre Ω et de rapport k est la
La symétrie axiale d’axe
transformation qui transforme tout point M du plan au point
(Δ) est notée : S   
unique M' tel que : M   k M

D’où : S     M   M
L’homothétie de centre Ω et de rapport k est notée : h (  , k )
ssi (Δ) est la médiatrice
D’où : h  M   M  ssi M   k M
du segment [MM']
S   N   N 
Exemple : soit L’homothétie de centre O et de rapport
k  2 donc h (O ,2)
S   M   M 
2° Symétrie centrale
Définition :
 est un point du plan
La symétrie centrale de centre Ω est la transformation qui
transforme tout point M du plan au point unique M' tel que
h  A   A  ssi OA   2OA
h  B   B  ssi OB   2OB
M   M
La symétrie centrale de centre Ω est notée :
D’où :
S
S   M   M  ssi M   M
II. Propriété caractéristique de la symétrie centrale
et la translation et l’homothétie
1° Propriété caractéristique de l’homothétie

Soit k 
3° Translation
Définition : u est un vecteur du plan . La translation de
vecteur
 Soit l’homothétie
h(  , k )
et M et N deux points tq
h  M   M  et h  N   N  alors M   k M et
u est la transformation qui transforme tout point M N   k N
D’où:
   M   N   M   N    k M  k N  k M  N
MN

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1



le coefficient d’alignement.
La symétrie centrale conserve le milieu.
 la réciproque est vraie c a d si T une transformation du La symétrie centrale conserve la distance.
plan P tq si T(M)=M' et T(N)=N’ on a
La symétrie centrale conserve la mesure des angles.

La symétrie centrale conserve le parallélisme et
   k MN k   1
MN
l’orthogonalité.
on en déduit T est une homothétie
Propriéts de La symétrie axiale :
Propriété : Soit T une transformation du plan P et k   Propriétés de conservation
T est une homothétie ssi T transforme deux points M et N La symétrie axiale conserve l’alignement des points et le
coefficient d’alignement.
   k MN
du plan en deux points M’ et N’ tq M N
2° Propriété caractéristique de la symétrie centrale La symétrie axiale conserve le milieu.
Si on prend k  1 on trouve la propriété caractéristique La symétrie axiale conserve la distance.
La symétrie axiale conserve la mesure des angles.
de la symétrie centrale
La symétrie axiale conserve le parallélisme et
Propriété : Soit T une transformation du plan P
l’orthogonalité
T est une symétrie centrale ssi T transforme deux points M
   k M   N  k MN
MN
   MN
et N du plan en deux points M’ et N’ tq M N
3° Propriété caractéristique de la translation
Propriéts de L’homothétie
Propriétés de conservation
L’homothétie conserve l’alignement des points et le
coefficient d’alignement.
Soit la translation t u
L’homothétie conserve le milieu.
 Si on a t u  M   M  et t u  N   N  alors u  MM  L’homothétie ne conserve pas les distance.
L’homothétie conserve la mesure des angles.
L’homothétie conserve le parallélisme et l’orthogonalité.
et u  NN  donc MM   NN 
IV) images des figures par les transformations
 N
 est un parallélogramme donc
Donc MM N
1)Image d’une figure par une Translation:
   MN
MN
L’image d’une droite par une translation est une droite
Si T une transformation du plan P tq a T  M   M 
qui lui est parallèle.
L’image d’une demi-droite par une translation est une
et T  A   A  tq A M   AM
demi-droite qui lui est parallèle.
L’image d’un segment par une translation est un segment
Alors MM   AA  en déduit que T une translation de
de même longueur.
vecteur u  AA 
L’image d’un cercle par une translation est un cercle de
Propriété : Soit T une transformation du plan P
même rayon.
T est une translation ssi T transforme deux points M et N 2)Image d’une figure par une symétrie centrale:
L’image d’une droite par une symétrie centrale est une
   MN
du plan en deux points M’ et N’ tq M N
droite qui lui est parallèle. L’image d’une demi-droite par
III. Propriété des transformations
une symétrie centrale est une demi-droite qui lui est
Définition
parallèle.
Un point A est invariant si son image A’ est lui-même ;
L’image d’un segment par une symétrie centrale est un
c’est-à-dire A’ = A.
segment de même longueur.
Propriété1 :
Dans une symétrie de centre I, seul le centre de symétrie, I L’image d’un cercle par une symétrie centrale est un cercle
de même rayon.
est un point invariant
Dans une symétrie axial d’axe Δ , les points invariants sont 3)Image d’une figure par une symétrie axiale:
les points de la droite Δ .
L’image d’une droite par une symétrie axiale est une
Dans une translation de vecteur ≠ 0, il n’y a aucun point droite q homothétie qui ne lui est parallèle. Que si la
droite est parallèle à l’axe de la symétrie.
invariant.
L’image d’une demi-droite par une symétrie axiale est une
Propriétés de la translation :
demi-droite.
Propriétés de conservation
L’image d’un segment par une symétrie axiale est un
La Translation conserve l’alignement des Points et le
segment de même longueur. L’image d’un cercle par une
coefficient d’alignement.
symétrie axiale est un cercle de même rayon.
La Translation conserve le Milieu.
4)Image d’une figure par une symétrie homothétie:
La Translation conserve la distance.
L’image d’une droite par une homothétie est une droite
La Translation conserve la mesure des angles.
qui lui est parallèle.
La Translation conserve le Parallélismes et l’orthogonalité. L’image d’une demi-droite par homothétie est une demidroite qui lui est parallèle. L’image d’un segment par
Propriéts de La symétrie centrale :
homothétie est un segment.
Propriétés de conservation
L’image d’un cercle par homothétie est un cercle.
La symétrie centrale conserve l’alignement des points et
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2
Exercice 1 :
ABCD un losange de centre O et I le milieu du segment
 AB 
et J le milieu du segment  AD 
1)faite une figure
2)Déterminer SO  A et SO  B  et SO  O  et SO   AB  
3)Déterminer S AC   B  et S AC   A  et S AC   O  et
S AC   AB et S AC   I  et S AC    OI  
4)Déterminer t BC  A et tIJ  B  et t IJ
Alors 2BO  2IJ par suite BO  IJ donc t IJ  B   O

On a BO  IJ et O le milieu du segment  BD 
donc BO  OD
Donc
OD  IJ c a
d
tIJ  O   D
et on a
t IJ  B   O
OB
donc
Solution :
2) S O  A   C Car OA  OC
S O  B   D Car OB  OD
S O O   O Car O est invariant
S O  A   C

On a 
donc S O   AB    CD 
S
B

D



 O
tIJ OB   DO
Exercice 2:Écrire l’expression vectorielle suivante
2
IC   IB en utilisant une homothétie
3
Et on a  AB  CD  car L’image d’une droite par une
Solution :
symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.
3)
Soit l’homothétie
 S  AC   B   D car  AC  est la médiatrice du segment
 BD 
 S  AC   A   A car tous les points de la droite
 AC 
sont invariants
 S  AC  O   O car O   AC  et tous les points de la
 AC  sont invariants
S  AC   A   A
 On a 
donc S  AC   AB    AD 
S
B

D


  AC 
 On a I le milieu du segment  AB  et
S  AC   AB    AD  donc S  AC   I  est le milieu du
segment  AD  donc c’est J donc S  AC   I   J
S  AC  O   O
 On a 
donc S  AC   OI    OJ 
S
I

J


  AC 
droite
4)
 On a ABCD un losange donc AD  BC donc
t BC  A   D
 On a ABD un triangle et I le milieu du segment  AB 
et J le milieu du segment  AD 
Donc BD  2IJ et on a O le milieu du segment  BD 
donc BD  2BO
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h
2
( I , )
3
2
IC   IB ssi h  B   C
3
Exercice 3 :Écrire les expressions vectorielles suivantes
en utilisant une homothétie
2IA  3 AB  0 Avec I un point donné
2B   BA Avec  un point donné
3IA  5 AB  0 Avec I un point donné
Solution : h  I , k  :
1) h  A   B ssi IB  k IA


2IA  3 AB  0 ssi 2 IA  3 AI  IB  0 ssi
2IA  3IA  3IB  0 ssi IA  3IB  0
1
 1
Ssi IB  IA donc h  I , 
3
 3
2) 2B   BA ssi 2B  A  B ssi
2B  B  A ssi 2B  AB ssi B  A
donc h  , 1


3) 3IA  5 AB  0 ssi 3IA  5 AI  IB  0 ssi
3IA  5 AI  5IB  0 ssi 3IA  5IA  5IB  0
8
 8
Ssi 8IA  5IB ssi IB  IA donc h  I , 
5
 5
Exercice 4 : ABCD un parallélogramme et I et J
2
deux points tq CI  CB et IJ  DC
3
3
1)faite une figure
Et on
a
2)Monter que la droite  BJ  est l’image de la droite  AI 
par la translation t AB et que peut-on en déduire pour les
droites  BJ  et  AI  ?
3)Soit l’homothétie h de centre I qui transforme le point
B en C
a) Montrer que h   AB     CD 
b) Montrer que le rapport k de l’homothétie est k  2
4)Soit le point K tq KI  2 AB
a) Montrer que h  J   K
b) Montrer que AI 
1
CK
2
Solution :
1)La figure
2) t AB  I   J ‫؟؟؟؟؟‬
IJ  AB donc ABJI parallélogramme donc BJ  AI
1
Donc CK  2 AI donc AI  CK
2
C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un
proverbe.
C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices
Que l’on devient un mathématicien
On a ABCD parallélogramme donc DC  AB
Et on a IJ  DC donc IJ  AB c a d t AB  I   J
On a AB  AB donc t AB  A  B

t AB  I   J
alors t AB   AI     BJ 

t AB  A  B
On donc 
Déduction : on sait que L’image d’une droite par une
translation est une droite qui lui est parallèle donc
 AI   BJ 
3)a) on a h  B   C
et on sait que L’image d’une droite
par une homothétie est une droite qui lui est parallèle et
donc passe par l’image de B c a d C donc
h   AB     CD 
3)b) on a h  B   C donc IC  k IB
Et on sait que CI 


2
CB donc 3CI  2CB donc
3
3CI  2 CI  IB donc 3CI  2CI  2IB
Donc 3CI  2CI  2IB donc CI  2IB donc
IC  2IB
Donc k  2
4)a) h  J   K ‫؟؟؟؟؟‬
On a IJ  DC et on a KI  2 AB donc KI  2IJ donc
IK  2IJ donc h  J   K

h  J   K
donc CK  2BJ d’après la
h
B

C




4)b) on a 
propriété caractéristique de l’homothétie
Donc CK  2 BJ donc CK  2 BJ donc
CK  2BJ
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4