Frequency Response
Lesson #9
Circuit Analysis
Sections 8.1
BME 373 Electronics II –
J.Schesser
90
Frequency Response
• To understand how electronic circuits are
analyzed
• To understand electronic circuits responses
to various frequencies
BME 373 Electronics II –
J.Schesser
91
Bode Plots
• A method to understand how the frequency response of an
electronic circuit can be viewed.
– Signal processed by electronic circuits vary in frequency
• Voice: 20 Hz to 20 kHz
• Electrocardiograms: 0.05 Hz to 100 Hz
• Video: DC to 4.5 MHz
– Aids in designing how a circuit can be designed to avoid signal
distortion.
• Some Mathematical Principles
– Laplace Transform variable: s
• Impedance of circuit parameters: Capacitance => 1/(sC)
Inductance => sL
Resistance => R
– To study frequency response: replace s => jω
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92
Example:
• Network Function
of a Low Pass Filter:
R
Vin(s)
+
--
Av ( s ) 
Vo
1 sC
1

( s) 
Vin
R  1 sC RCs  1
1/ RC
1
p


s  1/ RC s  p s  1
p
1
1
1
p


; where f p 
Av ( j ) 
j
j 2 f
f
2
1
 1 j( )  1
p
p
fp

+
1
sC
Vo(s)
• Poles and Zeroes:
--
– Poles: Values of s where the denominator of the
network function are zero
– Zeroes: Values of s where the numerator of the
network function are zero
• Sanity Checks: at ω=0, ω ∞, at other ω’s
(e.g., at poles or zero break frequencies or
resonance frequencies)
BME 373 Electronics II –
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93
Break Frequency
Let's subsitute s  j  j2πf
1
Av ( f ) 
j2 RCf 1
As an example: let's choose f  1 2πRC
1
1
1


Av ( f ) 
 2 2



45

.707

45
j1 1
2
1 1 45
So if Vin(t)  A cos(2πft), then at f  1 / 2πRC, Vo (t)  .707A cos(t / RC - 45 )
Now let's generalize:
V
1
1
1
1




tan
( f / fb );
Av ( f )  o 
2
1
2
Vin j( f fb ) 1
1  (f / fb )  tan ( f / fb )
1  (f / fb )
where fb 
1
and is called the break frequency (half power point or 3-dB point)
2πRC
BME 373 Electronics II –
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94
Bode Plot Logarithmic Plot of Magnitude vs. Frequency
Magnitude
Av ( f ) 
1
  tan 1(f / fb )
fb
1
0
1  (f / fb )
2
10
100
1
1  (f / f b )
2
Av ( f ) dB  20 log( 1  (f / fb )2 )
Av ( f b ) 
-20
-30
 10 log[1  (f / fb )2 ]
fb   / 2  1.57
1000
Av ( f b ) dB  10 log[1  (f b /f b )2 ]
-3dB
-10
dB
Av ( f ) 
0.1
1
1  (f b /f b )2
 10 log 2
 10  .301
 3dB
 1
2
2
Av ( f b )  1
2
-40
frequency (Hz)
We see that for f  0, Av (f) dB  0
But for f  fb , Av ( f ) dB  - 10 log [( f / fb ) 2 ]  20 log( f / fb )
which is a straight line of slope -20dB for each multiple of 10 (decade) in frequency
and with intercept at fb
BME 373 Electronics II –
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95
Bode Plot Logarithmic Plot of Angle vs. Frequency
0.1
1
fb
10
100
1000
0
 ( f )   tan 1 (f/f b )
f b   / 2  1.57
-10
We see that for f  0 ,  ( f )  0
-20
Magnitude
But for f  f b ,  ( f )  90
-45
-30
-40
-50
-90
frequency (Hz)
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96
Degrees

Phase Angle
dB
for f  f b ,  ( f b )   45
0
An Example:
One Pole and One Zero
R1=9k
+
30
Vin(s)
C=0.3133μF
+
Zero
20
--
Pole
fz=500 Hz
Vo(s)
Composite
Magnitude
10
fP=50 Hz
dB
R2=1k
0
--
0.1
10
100
1000
10000
100000
-10
V
R2  1 sC
Av ( s )  o ( s ) 
Vin
R1  R2  1 sC

1
-20
sCR2  1
sC ( R1  R2 )  1
-30
frequency (Hz)
Av ( f ) 
j 2 fCR2  1
j 2 fC ( R1  R2 )  1
Av ( f ) 
Av ( f ) 
1  ( f / f z )2
j( f / f z )  1

 tan 1 ( f / f z )  tan 1 ( f / f p ),
2
j( f / f p )  1
1 ( f / f p )
j 2 fCR2  1
j 2 fC ( R1  R2 )  1
Av ( f ) 
j 2 fCR2  1
R2

as f  
j 2 fC ( R1  R2 )  1 ( R1  R2 )
where f z 
and f p 
1
 500 Hz
2πCR2
Av ( f ) f  
1
 50 Hz
2πC ( R1  R2 )
Av ( f ) dB  20 log 1  ( f / f z )  20 log 1  ( f / f p )
2
 ( f )  tan 1 ( f / f z )  tan 1 ( f / f p )
2
1k
 .1
(1k  9k )
Av ( f ) dB f   20 log.1  20 dB
BME 373 Electronics II –
J.Schesser
97
Example (Continued)
0
0.1
1
10
100
1000
10000
0
100000
Magnitude
-10
Phase Angle
-10
-30
-20
Degrees
dB
-20
-40
-50
-30
-60
frequency (Hz)
 ( f )  tan 1 ( f / f z )  tan 1 ( f / f p )
BME 373 Electronics II –
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98
Another Example:
High Pass Filter
C=1F
R1=30k
Av ( s ) 
+
Vin(s)
R2=10 k
+

Vo(s)
--
--
Av ( f ) 
where f p 
20
Zero
Pole
Constant
10
Composite
fP=3.98 Hz
Magnitude
0
dB
0.1
1
10
100
1000
10000
100000
Vo
R2
(s) 
Vin
R1  R2  1 sC
sCR2
, pole at s  -1 [( R1  R2 )C ] and zero at s  0
sC ( R1  R2 )  1
 R2   j ( f / f p ) 
j 2 fCR2



j 2 fC ( R1  R2 )  1  R1  R2   j ( f / f p )  1 
1
2 (R1  R2 )C
f / fp
 R2 
Av ( f )  
90  tan 1 ( f / f p ),

2
 R1  R2  1  ( f / f p )
where f p 
1
 3.98 Hz
2πC ( R1  R2 )
-10
Av ( f )  .25
-20
f / 3.98
1  (f / 3.98 )
2
90  tan 1 ( f / 3.98 p )
Av ( f ) dB  20 log.25  20 log f / 3.98  20 log 1  ( f / 3.98) 2
-30
 12  20 log f / 3.98  20 log 1  ( f / 3.98) 2
-40
frequency (Hz)
Av ( f ) dB f   12
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99
Another Example:
High Pass Filter (Continued)
0.1
1
10
100
1000
10000
0
100000
90
Magnitude
80
Phase Angle
-10
70
60
dB
50
40
-30
Degrees
-20
30
20
-40
10
-50
0
frequency (Hz)
 ( f )  90  tan 1 ( f/ 3.98 )
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100
RLC Circuits
R1
R1
L1
C1
L1
C1
L1
C1
R1
jL
H ( j ) 
R  jL  1
jC
jL

R  j (L  1 )
C
L

R 2  (L  1 ) 2
C
(L  1 )
1

C ]
90  tan [
R
R
H ( j ) 
R  j L  1
j C
R

R  j (L  1 )
C

R
R  (L  1 ) 2
C
2
(L  1 )
1
C ]
  tan [
R
OR

  2 LC
(1   LC )  jRC
OR
H ( j ) 


1
j C
R  j L 
1
j C
1
j C
R  j (L 
1
)
C
1
C
1 2
R  (L 
)
C
  90  tan 1[
1
)
C ]
R
(L 
2
jRC
OR
2
(
1


LC
)

j

RC
1
 LC

]

180   tan 1[ RC
2
2
2
2
2

RC

RC
(1   LC ) 
(1   LC )  (RC )
90  tan 1[
] (1   LC )  jRC
2
2
2
2
(
1


LC
)
(
1


LC
)

(

RC
)
RC
1

  tan 1[
]
H ( j 0)  0180
(1   2 LC )
(1   2 LC ) 2  (RC ) 2
H ( j 0)  090
H ( j 1 )  1 L 90
H ( j 0)  10
R C
H ( j 1 )  10
LC
LC
1
1 L
H ( j  )  10
H( j
)
  90 
H ( j  )  0  90
R C
LC
H ( j  )  10
2
2

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101
RLC Circuits
R
( sC )( sL )
s2
s2



H (s) 
1
( sC )( sL )  sRC  1 s 2  s R  1
( s  s1 )( s  s2 )
R  sL 
sC
L LC
R
R
4
  ( )2 
 RC  ( RC ) 2  4 LC
L
LC ; Let p   s , p   s
 L
where s1 , s2 
1
1
2
2
2 LC
2
sL
C
L
4
4
4
4
R
R
R
R
R
R
R
R
 ( )2 
 ( )2 
 ( )2 
 ( )2 
R
R
4
R
4
R
4
1
1 R
R
L
L
LC
L
L
LC
L
L
LC
L
L
LC

 ; p1  p2 

 [( ) 2  ( ( ) 2 
 ( )2 
)  {( ) 2 
}] 
p1  p2 
L
L
LC
L
LC
L
LC
LC
2
2
2
2
4 L
L
2
(2 f ) 2
f2



p1 p2
p1 p2
f1 f 2
p
p
s2
( j ) 2
 H ( j ) 



H (s) 
; where f1  1 ; f 2  2
( s  p1 )( s  p2 )
( j  p1 )( j  p2 ) ( j   1)( j   1) ( j 2 f  1)( j 2 f  1) ( j f  1)( j f  1)
2
2
p1
p2
p1
p2
f1
f2
f2
f1 f 2

f
f
( )2  1 ( )2  1
f1
f2
   tan 1 (
f
f
)  tan 1 ( )
f1
f2
OR


(1 
f2
f1 f 2
f2
f
f
)  j(  )
f1 f 2
f 2 f1

f2
f1 f 2
f
f

f
f
   tan 1 ( 2 21 )
f
f2 2
f
f 2
1
(1 
) (  )
f
f1 f 2
f 2 f1
1 f2
BME 373 Electronics II –
J.Schesser
102
RLC Circuits
H ( j 0)  0180
f1
3
f2
f
f1
f
  tan 1 (1)  tan 1 ( 1 ) 

 tan 1 ( 1 )
H ( jf1 ) 
2
2
4
f2
f2
f
2 ( f1 )  ( f 2 )
2 ( 1 )2  1
f2
H ( j f1 f 2 ) 
1
f1 f 2

f2
1
f1 f 2 
f1 f 2 

  
 
 
f1  f 2 2 f1  f 2 2
2
f1 f 2
f1 f 2
f1
1
LC  
R
2
L
f1=100 Hz
f2=1000 Hz
f2
f2
3
f
f1
f

 tan 1 ( 2 )
  tan 1 ( 2 )  tan 1 (1) 
H ( jf 2 ) 
2
2
4
f1
f1
f
2 ( f1 )  ( f 2 )
2 ( 2 )2  1
f1
If f 2  f1 ; H ( jf 2 ) 
H ( j  )  10
f2
2 ( f1 )  ( f 2 )
2
2

f
3
1
3 
1

 tan 1 ( 2 ) 

 

4
f1
4 2
2
2 4

BME 373 Electronics II –
J.Schesser
103
RLC Circuits
L1
C1
R
R
s
s
( sC )( R)
R1
L
L
H (s) 



1
R 1
(
)(
)
1
(
)(
)
sC
sL
sRC
s
s
s
s




2
1
2
R  sL 
s s 
sC
L LC
4
R
R
  ( )2 
 RC  ( RC ) 2  4 LC
L
L
LC
where s1 , s2 
; Let p1   s1 , p2   s2

2 LC
2
4
4
4
4
R
R
R
R
R
R
R
R
 ( )2 
 ( )2 
 ( )2 
 ( )2 
R
L
LC  L
L
LC  ; p  p  L
L
LC  L
L
LC  1 [( R ) 2  R ( ( R ) 2  4  ( R ) 2  4 )  {( R ) 2  4 }]  1
p1  p2  L
1
2
L
L
LC
L
LC
L
LC
LC
2
2
L
2
2
4 L
( p  p2 )
(f  f )
j 1
jf 1 2
s ( p1  p2 )
j ( p1  p2 )
p1 p2
f1 f 2
p
p
 H ( j ) 


H (s) 
; where f1  1 ; f 2  2
f
f


( s  p1 )( s  p2 )
( j  p1 )( j  p2 ) ( j  1)( j
2
2
 1) ( j  1)( j  1)
p1
p2
f1
f2
R
( f1  f 2 )
f1 f 2
f
f

  tan 1 ( )  tan 1 ( )

2
f1
f2
f
f
( )2  1 ( )2  1
f1
f2
f
OR
( f1  f 2 )
(f  f )
f
f
f 1 2

f1 f 2
f1 f 2
f
f



  tan 1 ( 2 21 )
2
f2
f
f
f
2
f
f
f
(1 
)  j(  )
1
(1 
)2  (  )2
f1 f 2
f 2 f1
f
f1 f 2
f 2 f1
1 f2
jf
f1 f 2
f1 f 2
f2
f f
f1


 f2 ; 1 2 
 f1 ;
f1  f 2 f (1  f 2 ) (1  f 2 )
f1  f 2 (1  f1 )
1
f1
f1
f2
BME 373 Electronics II –
J.Schesser
104
RLC Circuits
H ( j 0)  090
( f1  f 2 )
f2
f
f1  f 2
f


H ( jf1 ) 
  tan 1 (1)  tan 1 ( 1 ) 
  tan 1 ( 1 )
2
2
f2
f
2
4
f1 2
2 ( f1 )  ( f 2 )
2
2 ( ) 1
f2
f1=100 Hz
f2=1000 Hz
( f1  f 2 )
f1 f 2
 
H ( j f1 f 2 ) 
   10
1 1
(  ) 2 2
f 2 f1
( f1  f 2 )
f1
f
f1  f 2
f


H ( jf 2 )  H ( jf1 ) 
  tan 1 ( 2 )  tan 1 (1) 
  tan 1 ( 2 )
2
2
f1
2
f1
4
f
2 ( f 2 )  ( f1 )
2 ( 2 )2  1
f1
If f 2  f1 ; H ( jf 2 ) 
f1  f 2
2 ( f 2 )  ( f1 )
H ( j  )  0  90
2
2


4
 tan 1 (
f2
1

)

f1
4
2

BME 373 Electronics II –
J.Schesser
105
RLC Circuits
R1
L1
C1
1
sC
1
1
1
LC
LC



H (s) 
R 1
1



sC
sL
sRC
s
s
(
)(
)
1
(
)( s  s2 )
2
1
R  sL 
s s 
sC
L LC
R
R
4
  ( )2 
 RC  ( RC ) 2  4 LC
L
L
LC

where s1 , s2 
; Let p1   s1 , p2   s2
2 LC
2
R
R
R
R
R
R
R
R
4
4
4
4
 ( )2 
 ( )2 
 ( )2 
 ( )2 
R
L
LC  L
L
LC  ; p  p  L
L
LC  L
L
LC  1 [( R ) 2  R ( ( R )2  4  ( R ) 2  4 )  {( R ) 2  4 }]  1
p1  p2  L
1
2
L
2
2
2
2
4 L
L
L
LC
L
LC
L
LC
LC
p1 p2
p1 p2
1
1
p1
p2
 H ( j ) 


H (s) 
; where f1 
; f2 
( s  p1 )( s  p2 )
( j  p1 )( j  p2 ) ( j   1)( j   1) ( j f  1)( j f  1)
2
2
p1
p2
f1
f2

1
f
f
( )2  1 ( )2  1
f1
f2
f
f
  tan 1 ( )  tan 1 ( )
f1
f2
OR
f
f

1
f
f
1


  tan 1 ( 2 21 )
2
f
f
f
f2
f 2
f
f
)  j(  )
1
(1 
(1 
)  (  )2
f 2 f1
f1 f 2
f1 f 2
f1 f 2
f 2 f1
BME 373 Electronics II –
J.Schesser
106
RLC Circuits
H ( j 0)  10
H ( jf1 ) 
1
f
f2
f

  tan 1 (1)  tan 1 ( 1 ) 
   tan 1 ( 1 )
2
2
f2
4
f
f1 2
2 ( f1 )  ( f 2 )
2
2 ( ) 1
f2
f2
If f 2  f1 ; H ( jf 2 ) 
H ( j f1 f 2 ) 
2 ( f 2 )  ( f1 )
2
2


4
 tan 1 (
f1
1

)

f2
4
2
f f
1


  1 2 
1 1
f
f
2

2
1
2
(  )
f 2 f1
H ( jf 2 )  H ( jf1 ) 
f1=100 Hz
f2=1000 Hz
f
f1
f
1

  tan 1 ( 2 )  tan 1 (1) 
   tan 1 ( 2 )
2
2
f1
4
f1
f
2 ( f 2 )  ( f1 )
2 ( 2 )2  1
f1
H ( j  )  0  
BME 373 Electronics II –
J.Schesser
107
Homework
• Bode Plots
– Problems: 8.7-9
BME 373 Electronics II –
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108