Potential Vorticity Dynamics and
Models of Zonal Flow Formation
Pei$Chun)Hsu,)Patrick)Diamond)
)
)
CASS,)UCSD)
)
)
TTF,$April$28$–$May$1,$2015$
)
1)
Outline(
•  Mo;va;ng)issues))
–  How)to)represent)inhomogeneous)PV)mixing)during)relaxa;on)processes?)
–  How)to)calculate)spa;al)PV)flux?)
)
•  Non$perturba;ve)analyses)of)the)general)structure)of)PV)flux))
)!)structural)approach)
-  Minimum)enstrophy)model)(selec;ve)decay)of)poten;al)enstrophy)))
)
)!)viscous)and)hyper$viscous)transport)
-  PV$avalanche)model)(joint)reflec;on)symmetry)))
)
)!)K$S)equa;on)
•  Perturba;ve)analyses)of)transport)coefficients)in)PV)flu)
-  Modula;onal)instability,)revisited))
)
)!)nega;ve)viscosity)&)posi;ve)hyper$viscosity)
-  Parametric)instability))
)
)!)Burgers’)equa;on)
•
Summary)
2)
Mo+va+ng(Issues(
-  Real)space)structure)of)ZF)is)of)prac;cal)interest)for)predic;ve)transport)modeling)
in)quasi$2D)turbulence.)PV)mixing)in)space)is)essen;al)in)ZF)genera;on.)
2
Taylor)iden;ty:) υ y ∇ φ = −∂ y υ yυ x
vor;city)flux)))))))Reynolds)force)
-  The)relaxa;on)dynamics)is)of)fundamental)importance)in)MHD)and)QG)fluid.)
While)Taylor's)theory)is)successful)in)explaining)some)plasma)experimental)results,)
a)relaxa;on)model)of)vor;city)transport)is)worth)researching.)
)
Key)points)
-  turbulence)self$organiza;on)complex)–>)What)are)the)general)principles?))
-  PV)flux)as)route)to)relaxed)state)–>)Is)PV)homogeniza;on)the)case??)
-  zonal)flow)satura;on)–)how?,)especially)collisionless)cases?)
)
Generic)problems)
-  How(to(describe(mean(PV(relaxa+on(to(a(minimum(enstrophy(or(SOC(state?(
3)
dq
=0
PV)conserva;on:)
dt
)))))))))))))))))))GFD:))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))Plasma:))
)))Quasi$geostrophic)system)))))))))))))))))))))Hasegawa$Wakatani)system)
q = n − ∇ 2φ
2
q = ∇ φ + βy
rela;ve)
vor;city)
)
guiding)center) polariza;on)
(electron)density)) )(ion)density))
planetary)
vor;city)
Relaxa;on)Principles
)!)General)structure)of)PV)flux)
)
)
)
)
)
Key:(
) (How(represent((
)
))
(inhomogeneous((
(PV(mixing((
)
)
))
)
Perturba;on)theory
! Transport)coefficients)
)
4)
Non$perturba;ve)analyzes))
i))Minimum)enstrophy)principle)
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Turbulent)magne;c)relaxa;on)))(J.B.)Taylor,)1974))
•  minimized)magne;c)energy)subject)to)constant)global)magne;c)helicity)
)
)
)
 &
# 3 B2
3
δ% ∫ d x
+ λ ∫ d xA ⋅ B( = 0
8
π
$
'


⇒ ∇ × B = µB
 
J ⋅B
⇒ 2 = const
B
Taylor)state:))
)
$)force)free)B)field)configura;on))
$)Homogenized)J||$profile)
)
2D)turbulence)relaxa;on)))(Bretherton)&)Haidvogel)1976))
•  minimized)total)enstrophy)subject)to)constant)total)energy)
)
)
2&
#
2
∇
φ
q
(
)
(= 0
δ% ∫ d2x + λ ∫ d2x
2
2 ('
%$
⇒ q = µφ
PV))))))stream))
)))func;on)
minimum)enstrophy)state:))
)
$)flow)structure)emergent)
5)
magne+c(
conserved)quan;ty)
(constraint))
total)kine;c)energy)
global)magne;c)
helicity)
dissipated)quan;ty)
(minimized))
fluctua;on)poten;al)
enstrophy)
magne;c)energy)
final)state)
minimum)enstrophy)
state)
Taylor)state)
)
)
structural)approach)
•
flow(
relaxa;on)
∂
Ω < 0 ⇒ ΓE ⇒ Γq
∂t
∂
EM < 0 ⇒ Γ H
∂t
Theory)predict)end)state,)but)no)dynamical)insight))
)$>)flux?))what)can)be)said)about)dynamics?))
)$>)structural)approach)(Boozer))
∂
∂t
& 2
J ⋅ B)
B2
3
∫ d x 8π = − ∫ d x ('η J − Γ H ⋅ ∇ B 2 +* < 0
3
⇒ Γ H = −λ∇
J||
B
6)
PV)flux)
)!)PV)conserva;on))
∂ q
+ ∂ y υ y q = ν 0∂2y q
))))))))))))))))))))mean)field)PV:)) ∂t
)
Γ q :)mean)field)PV)flux)
)
)
selec;ve)decay)
)
Key)Point:)what)form)does)
PV)flux)have)s/t)dissipate)
enstrophy,)conserve)energy))
2
∂ φ )
(
)!)energy)conserved))))))))))))))))))))))))))))))))))
E= ∫
2
y
)
)
)
)
)
)
∂E
=
∂t
∫
φ ∂yΓ q = − ∫ ∂y φ Γ q
)!)enstrophy)minimized) Ω = ∫
⇒ Γq =
q
2
∂yΓ E
∂y φ
2
&∂ q )
∂Ω
++ Γ E
= − ∫ q ∂ y Γ q = − ∫ ∂ y (( y
∂t
∂
φ
' y
*
&∂ q )
∂Ω
++
< 0 ⇒ Γ E = µ∂ y (( y
∂t
' ∂y φ *
& ∂ q )0
1
++2
⇒ Γq =
∂ y /µ∂ y (( y
∂y φ
/.
' ∂ y φ *21
7)
)
Structure)of)PV)flux)
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
) #
&,
2
)
# ∂ q &,
q
∂
q
∂
q
1
1
y
(.
((. =
Γq =
∂ y +µ ∂ y %% y
∂ y +µ % −
+ y
2
+ % (∂ φ ) ∂ y φ (.
∂y φ
∂y φ
+*
$ ∂ y φ '.y
'* $
diffusion)variable)calculated)
by))perturba;on)theory)
diffusion)and)hyper)diffusion)of)PV)
relaxed)state:)
(
))))Homogeniza;on)of)
(Prandtl,)Batchelor,)Rhines,)Young))
)
∂y q
∂y φ
)))))))Homogeniza;on)of)PV))
−1
2
)
#∂ q &
cri+cal(scale((  c ≡ %% y ((
$ ∂y φ '
 =)  c ):)Γq=0)!)ZF)growth)rate)zero)
)
 >)  c ):)ZF)energy)growth)
 <)  c ):)ZF)energy)damping)
8)
PV)staircase)
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)
∂ q
relaxed)state:)))homogeniza;on)of) y
υx
)
!  Zonal)flows)track)the)PV)gradient)!)PV)staircase))
•  Highly)structured)profiles)of)the)staircase)is)reconciled)with)the)
homogeniza;on)or)mixing)process)required)to)produce)it.)
•  Staircase)may)arise)naturally)as)a)consequence)of)minimum)
enstrophy)relaxa;on.))
9)
The)“minimum)enstrophy”)
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
•  The)relaxa;on)rate)can)be)derived)by)linear)perturba;on)theory)
about)the)minimum)enstrophy)state))
)
q = qm (y) + δ q(y, t)
)
)
φ = φ m (y) + δφ (y, t)
)
∂ y qm = λ∂ yφ m
)
) δ q(y, t) = δ q0 exp(−γ rel t − iω t + iky)
)
•  The)condi;on)of)relaxa;on)(modes)are)damped):)
)
)ϒrel>0)!)
)
qm2
!))))))):)the)‘minimum)enstrophy’)of)relaxa;on)
)k2)>)0)!)
)
•  A)cri;cal)residual)enstrophy)density)is)needed)in)the)minimum)
enstrophy)state,)so)as)to)sustain)a)zonal)flow)of)a)certain)level.))
10)
Non$perturba;ve)analyzes))
ii))PV$avalanche)model)
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
δq > 0
Γ[δ q]
Γ[δ q]
δq < 0
:)PV)profile)
:)self$organized)state)
δ q = q − q0 :)devia;on)
Γ[δ q] :)PV)flux)
Key)Point:)what)form)does)PV)
flux)have)s/t)sa;sfy)joint$
reflec;on)symmetry)principle)
y)
•  Joint$reflec;on)symmetry:))Γ)[δq])invariant)under)y)!)$y)and)δq)!)$δq)
)
)!)
)
•  large$scale)proper;es):)higher$order)deriva;ves)neglected)
))))))small)devia;ons):)higher$order)terms)in)δq)neglected))
)
)
)!))))Simplest)approxima;on:)
11)
Kuramoto$Sivashinsky))
equa;on)
•  PV)equa;on:)
diffusion)and)hyper)diffusion)of)δq)
Non$linear)convec;on)of)δq))
)
•  Avalanche$like)transport)is)triggered)by)devia;on)of)PV)gradient) ))
)!)δq)implicitly)related)to)the)local)PV)gradient)
)!)transport)coefficients)(func;ons)of)δq))related)to)the)gradient)))
)
•  Convec;ve)component)of)the)PV)flux)can)be)related)to)a)gradient$
dependent)effec;ve)diffusivity))
))
12)
Perturba+ve(analyses(of(PV(flux)
i))Modula;onal)instability)
•  The)evolu;on)of)perturba;on)(seed)ZF))as)a)way)to)look)at)PV)transport))
Seed)ZF)
Modula;on)
(nonlocal))
Fluctua;ons)
(broad)spectrum))
Inverse)cascade)
/scrambling)
δω /PV)mixing)
(local))
N.B.)
)
)
))
necessary)for)
irreversibility)
Modula;onal)instability)(large)
scale)pumping))requires)small)
scale)PV)mixing)<$>)irreversibility)
)
)
13)
Revisi+ng(Modula+onal(Instability(
ZF)evolu;on)determined)by)Reynolds)force)
)
kk
∂
∂
∂
δVx = −
υ xυ y = ∑ x 4 y N k
∂t
∂y
∂y k< k
)
vor;city))
)$
flux)
)
)
)
)
2
N k = k) 2 ψ k ) ω k )is)wave)ac;on)density,))for)Rossby)
wave)it)is)propor;onal)to)the)enstrophy)density.)
Nk)is)determined)by)WKE:)
))
∂N
∂(kxδVx ) ∂N 0
+ υ g ⋅ ∇N + δω k N =
∂t
∂y
∂ky
)Turbulent)vor;city)flux)derived))
#k k
∂
2
δVq = −q δVq ∑%%
∂t
k $ k
2
x y
4
&
δω k
∂N 0
((
2
2
' (ω q − q ⋅ υ g ) + δω k ∂k y
κ(q)$
q:$ZF)wavenumber$
∂
$ 2κ (q) δV
δVq = −q
q
∂t
$
κ(q))≠)const)at)larger)q$
$
scale)dependence)of)PV)flux)
non$Fickian)turbulent)PV)flux)
14)
•  A)simple)model)from)which)to)view)κ$(q):))
-  Defining)MFP)of)wave)packets)as)the)cri;cal)scale) qc−1 ≡ υ gδω k−1
-  coarse)graining)scales)smaller)than)qc$
-  keeping)next)order)term)in)expansion)of)
)))))response)func;on))
δω k
1 $ q2 '
q >> q ⇒
≈
&1− )
(qυ g )2 + δω k2 δω k % qc2 (
−1
−1
c
))))))))capture)expected)and)sensible)trend!)
)
)
)
)
)
)
zonal)growth)evolu;on:)
)
∂tδVx = −q 2 Dδ) Vx + q 4 H δVx
)
nega;ve)viscosity)and)
posi;ve)hyper$viscosity)
previous)calcula;on)of)relaxa;on)models:)
* $
'2
∂ υx
q
∂
q
∂
q
1
y
)/
= Γq =
∂ y ,µ & −
+ y
2
, & (∂ φ ) ∂ y φ )/
∂t
∂y φ
y
(.
+ %
D=
k x2 k y∂N 0
<0
δω k k 4 ∂ky
∑
k
k x2 k y∂N 0
H = −∑ q
>0
4
δω k k ∂ky
k
<(0((
(expected)wave)enstrophy)
spectrum)sta;s;cs)))
−2
c
15)
Discussion(of(D(and(H((
•  Roles)of)nega;ve)viscosity)and)posi;ve)hyper$viscosity))(Real(space)(
∂
)
δVx = D∂2yδVx − H∂4yδVx
∂t
)
2 2
2 2
∂ 1 2 2
2
δ
V
d
x
=
−D
∂
δ
V
d
x
−
H
∂
δ
V
∫ x
∫ ( y x)
∫ ( y x) d x
)
∂t 2
)
D < 0 ⇒ γ q,D > 0 ZF)growth)(Pumper)D))
Energy)transferred)
)
to)large)scale)ZF)
H > 0 ⇒ γ q,H < 0 ZF)suppression)(Damper)H))
)
)
)
D,)H)as)model)of)spa;al)PV/momentum)flux)beyond)over$simplified)
nega;ve)viscosity))
)
2
= Hq)))))))
•  D)))))))))
sets)the)cut$off)scale)
⇒ lc2 =
H
D
Minimum(enstrophy(model(
)))))))))))))))):)))ZF)energy)growth)))))!)D)process)dominates)at)large)scale))))
 > c
)
)))))))))))))))):)))ZF)energy)damping)))!)H)process)dominates)at)small)scale)
 < c
)
−1
)
# ∂ q &,
$∂ q ' 2
1
((. ⇒ ℓ ≡ & y
Γq =
∂ y +µ ∂ y %% y
c
& ∂ φ ))
∂y φ
+*
$ ∂ y φ '.% y
(
Perturba+ve(analyses((
ii))Parametric)instability)
PseudoKfluid((wave(packets)(model(
mean)free)path))
of)wave)packets)
17)
)
$$)pseudo$fluid)evolu;on:)
))))mul;plying)the)WKE)by)vgy)and)integra;ng)over)k)
))))normalizing)by)pseudo$density)nω)
)
inviscid)Burgers’eq.)
∂ w
∂
)
⇒)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Vy +Vyw Vyw = −a υ x )$
source:)zonal)shear)
∂t
∂y
)
)
2 β k " 4k %
)
a= ∫
$1−
'N dk ∫ N dk
k #
k &
$$)ZF)evolu;on:)
2
y
2
2
x
4
)
)
∂
∂
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
υ x = − Vyw Pxw )
∂t
) ∂y
k
k
Pxω)evolves)in)the)same)way)as)<vx>))
2
∂
2
∂
∫ k WKE d k ⇒ ∂t ∫ k N d k = − ∂y ∫ υ
x
x
k
k Nk d 2k
gy x
)
•  ZF)growth)rate)in)monochroma;c)limit:)
)))))))linearizing)the)above)two)eqs.$
)
)
)
)
2 2
x
γ q = q k ϕk
2
" 4k 2y %
$$1− 2 ''
k &
#
2
2)
γq
The)reality)of)))))))requires)k
x >3ky
)
)))))))))))))))indicates)convec;ve)instability))
γq ∝ q
18)
•  Minimum)enstrophy))
* $
'2
∂ υx
q
∂
q
∂
q
1
y
y
)/
= Γq =
∂ y ,µ & −
+
2
, & (∂ φ ) ∂ y φ )/
∂t
∂y φ
y
(.
+ %
•  PV$avalanche)
•  Modula;onal)instab.)
•  Parametric)instab.))
∂tδVx = −q 2 DδVx + q 4 H δVx
2 2
x
γ q = q k ϕk
2
" 4k 2y %
$$1− 2 ''
k &
#
19)
Summary)
•  Inhomogeneous)PV)mixing)is)iden;fied)as)the)fundamental)mechanism)for)
zonal)flow)forma;on.)This)study)offered)new)perspec;ves)and)approaches)to)
calcula;ng)spa;al)flux)of)PV.)The)structure)of)PV)flux)is)studied)by)non$
perturba;ve)relaxa;on)principles)and)perturba;ve)analyses)of)wave)kine;c)
equa;on.)These)are)synerge;c)and)complementary)approaches.))
•  Vor;city)flux)from)selec;ve)decay)of)enstrophy)shows)complex)structure)of)
diffusion)and)higher)order)diffusion)terms.)The)homogenized)quan;ty)in)the)
minimum)enstrophy)state)is)the)ra;o)of)PV)gradient)to)zonal)flow)velocity.)This)
is)consistent)with)the)structure)of)the)PV)staircase.))
•  Vor;city)flux)from)PV$avalanche)model)is)constrained)by)the)joint)reflec;on)
symmetry)condi;on,)and)contains)diffusive,)hyper$diffusive,)and)convec;ve)
terms.)The)convec;ve)transport)of)PV)can)be)generalized)to)an)effec;ve)
diffusive)transport.))
•  Transport)coefficients)are)derived)using)perturba;on)theory.)Both)relaxa;on)
principle)and)perturba;on)theory)reveal)some)cri;cal)scales)at)which)ZF)
growth)and)ZF)damping)are)equal.)
20)