Potential Vorticity (PV) Dynamics
and Models of Zonal Flow Formation
Pei$Chun)Hsu)
)
Advisor:)Patrick)Diamond)
)
)
CASS,)UCSD)
Thesis&Defense,&May&29,&2015&
)
1)
Outline(
•  Introduc=on)
)
)
)
Physical systems: geophysical fluids and fusion plasmas
Importance of zonal flows & wave-flow connection
Physics issues: zonal flow formation –- how?
Key mechanism: PV mixing
•  Thesis)research)
Representation of
anisotropic PV mixing
)
(MFT and beyond)
)
PV mixing in the
)
presence of mean shear
(3))
)
•  Summary):)What)did)we)learn?)
Non-perturbative constrained
relaxation models: structure )
(1) (2)
complementary
Perturbation Theory: coefficients
(1))
(1))))Pei$Chun)Hsu)and)P.)H.)Diamond,)Phys.)Plasmas,)22,)032314)(2015))))
(2))))Pei$Chun)Hsu,)P.)H.)Diamond,)and)S.)M.)Tobias,)Phys.)Rev.)E,)in)press)(2015)))
(3))))Pei$Chun)Hsu)and)P.)H.)Diamond,)Phys.)Plasmas,)22,)022306,)(2015)))
2)
3)
Physical systems I
Geophysical(fluids((
•  Phenomena:)weather,)waves,)large)scale)atmospheric)and)oceanic)circula=ons,)
water)circula=on,)jets…))
ω <Ω
•  Geophysical)fluid)dynamics)(GFD):)low)frequency)())))))))))))))
)
“We&might&say&that&the&atmosphere&is&a&musical&instrument&on&which&one&
can&play&many&tunes.&High&notes&are&sound&waves,&low&notes&are&long&
inerCal&waves,&and&nature&is&a&musician&of&the&Beethoven&than&the&Chopin&
type.&He&much&prefers&the&low&notes&and&only&occasionally&plays&arpeggios&
in&the&treble&and&then&only&with&a&light&hand.“&–&J.G.&Charney))
&
•  Geostrophic)mo=on:)balance)between)the)Coriolis)force)and)pressure)gradient)
R0 = V / (2ΩL) << 1
→ υ = −∇P × ẑ / 2Ω
P))))))))))stream)func=on))
→ ω = ẑ ⋅ ( ∇ × υ ) = ∇ 2ψ
Marshall)&)Plumb)(2008))
4)
4)
Physical systems II
Kelvin’s(theorem(–)unifying)principle)throughout(
•  Kelvin’s)circula=on)theorem)for)rota=ng)system)
)
!∫ υ ⋅ dl = ∫ (∇ × υ + 2Ω) ⋅ ẑ dS ≡ C C! = 0
)
rela=ve))))))planetary)
)
)•  Displacement)on)beta$plane)
))) C! = 0 → d ∇ 2ψ = −2Ωcosθ dθ = −βυ
y
)
)
)
dt
Ω)
y
z
x
dt
•  Quasi$geostrophic)eq)
β = 2Ωcosθ 0 / R⊕
θ&
)
d 2
∇ ψ + β y) = 0 PV(conserva7on(
(
dt
)
)))!)Rossby)wave)
)
t))= 0)
)
)
))) t > 0)
)
)) )
))))))))))))))
ω)<)0)
)
)
ω)>)0)
)
)
)
))
Physical systems III
G.)Vallis)06)
5)
Magne7cally(confined(plasma((
•  Nuclear)fusion:)op=on)for)genera=ng)large)
amounts)of)carbon$free)energy))
)
•  Challenge:)igni=on)$$)reac=on)release)more)
energy)than)the)input)energy)
Lawson)criterion:)
))
)
)
DIII@D(
)
))
)!)confinement)))
)!)turbulent)transport))
•  Turbulence:)instabili=es)and)collec=ve)
oscilla=ons))
)!)lowest)frequency)modes)dominate)the) )
)transport)))
)!)drii)wave))
ITER(
6)
Physical systems IV
DriD(wave(model(–)Fundamental)prototype))
•  Hasegawa$Wakatani):)simplest)model)incorpora=ng)instability ))
c
ẑ × ∇φ +Vpol
B
η J|| = −∇||φ + ∇|| pe
J ⊥ = n e V ipol
V=
2
∇ ⊥ ⋅ J ⊥ + ∇|| J|| = 0
!)vor=city:)) ρ s
dne ∇|| J||
+
=0
dt −n0 e
d 2
∇ φ = −D||∇||2 (φ − n) + ν∇ 2 ∇ 2φ
dt
d
n = −D||∇||2 (φ − n) + D0 ∇ 2 n
dt
d
!(PV(conserva7on(in(inviscid(theory(
(n − ∇2φ ) = 0
dt
∂
!)PV)flux)=)par=cle)flux)+)vor=city)flux))
QL:)
!)density:)
∂
n =−
υ! r n!
∂t
∂r
)
∂ 2
∂
∇ φ =−
υ! r ∇ 2φ!
!?)
∂t
∂r
∂2
= − 2 υ! rυ!θ
∂r
!)zonal)flow)being)a)counterpart)of)par=cle)flux)))
D||k ||2 / ω >> 1 → n ~ φ
•  Hasegawa$Mima)())))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
d
φ − ρ s2 ∇ 2φ ) + υ*∂ yφ = 0
(
dt
Physical systems:
unifying concept
7)
PV(conserva7on(
)
•  PV(conserva7on((dq/dt=0(
)))))))))))))))))))GFD:))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))Plasma:))
)))Quasi$geostrophic)system)))))))))))))))))))))Hasegawa$Wakatani)system)
q = ∇ 2ψ + β y
rela=ve)
vor=city)
)
q = n − ∇ 2φ
ion)vor=city)
density))
(guiding)center)) (polariza=on))
planetary)
vor=city)
)
2
)
)
))
Physics:))Δy → Δ ( ∇ ψ )
)
)
)
)
)
)
))
•  Charney$Haswgawa$Mima)equa=on))
(
)
Δr → Δn → Δ ∇ 2φ
Physics:))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))ZF!)
)
)
)
)
)
n = n0 + n!
) ! )
eφ
n! ~ )
)
T
))
1 ∂
1 ∂
ρ
))
∇ 2φ − ρ s−2φ −
φ + s J(φ, ∇ 2φ ) = 0
H$W)!)H$M:)
ω ci ∂t
Ln ∂y
Ln
))
))
)
∂ 2
∂
∇ ψ − L−2
ψ + J(ψ, ∇ 2ψ ) = 0
)))))))Q$G:)
d ψ +β
∂t
(
(
)
)
∂x
8)
Physical systems:
summary
turbulence(
quasi@geostrophic(
driD@wave(
force)
Coriolis)
Lorentz)
velocity)
geostrophic)
magne=c)energy)
linear)waves)
Rossby)waves)
drii)waves)
conserved)PV)
inhomogeneity)
characteris=c)scale)
fast)frequency))
turbulence)
2
q = ∇ ψ + βy
β
LD ≈ 10 6 m
f ≈ 10 −2 s −1
q = n − ∇ 2φ
∇n, ∇T
ρ s ≈ 10 −3 m
ω ci ≈ 108 s −1
usually)strongly)driven) not)far)from)marginal))
Reynolds)number)
Re)>>1)
Re)~)10$102)
zonal)flows)
Jets,)zonal)bands)
sheared)E)x)B)flows)
role)of)zonal)flows)
transport)barriers))
L$H)transi=on)
9)
Outline(
•  Introduc=on) Physical systems: geophysical fluids and fusion plasmas
)
Key feature: zonal flows
atmospheric phenomena
Importance of zonal flows
)
confinement of fusion plasma
)
Physics issues: zonal flow formation
•  Thesis)research)
Representation of
anisotropic PV mixing
)
(MFT and beyond)
)
PV mixing in the
)
presence of mean shear
(3))
)
•  Summary):)What)did)we)learn?)
Constrained relaxation models )
(1) (2)
Perturbation Theory
(1))
10)
Motivation & Observations
Jovian Atmosphere
ZF importance I
Atmospheric(phenomena((
•
Zonal belts and zones!
•
Zonal winds!
•
Vortices!
•
Turbulence mixing!
•
Rapidly rotating (Jovian
day = 9.9h)!
•
No solid surface
•  Phenomena:)jet)streams,)Jovian)zonal)bands)and)zones,…)!)zonal)flows)
•  Zonal)flows)have)a)crucial)influence)on)turbulent)mixing)and)forma=on)
of)transport)barriers.))
)$$)inhibi=ng)the)transport)of)vortex)eddies)across)the)flows)
)$$)ozone)hole)problem)<$>)transport)barrier)(shear)layer)insula=on))
11)
)
Wave-flow connection I
Mid@la7tude(circula7on(
•  S=rring)generates)Rossby)waves: ω k =
υ gy = 2 β kx ky / k 4
−β k x
,)
k2
υ phy= −β kx / ky k 2
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)))))
)))))
opposite))))))
•  Waves)propagate)away)from)the)disturbance)
)
2
)energy)density)flux:) υ gy ( ∇ψk ) / 2 = β kx ky k ψk
2
)eddy)zonal$momentum)flux:) υ! xυ! y = −kx ky ψ! k
−2
)
2
opposite))))))
)
! )Momentum)converges)in)the)region)of)s=rring)
G.)Vallis)06)
12)
Wave-flow connection II
Wave(radia7on(in(DW(turbulence(
•  Localized)instability)drives)drii)waves
)
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)))))
ωk =
kθ υ*
, υ* < 0
1+ k ⊥2 ρ s2
υ gr
υ gr
υ grυ phr < 0
)))))
•  Outgoing)wave)energy)flux))
)!)incoming)wave)momentum)flux))
)
υ gr
(∇φk )
2
2
= −ρ s2
υ! rυ!θ = −
kx kyυ*
2
k −2 ψ k
2 2 2
(1+ k ⊥ ρ s )
2
c2
k k φ!
2 x y k
B
υ! rυ!θ
υ! rυ!θ
opposite))))))
)))))
zonal))
velocity)
!  Zonal)flow)layers)form))
)at)excita=on)regions)
•  Essen=al)elements)in)zonal)flow)genera=on)
)$$)inhomogeneous)mixing)in)space)
)$$)one)direc=on)of)symmetry)(nature)of)torus)and)planet))
13)
)
ZF importance II
Confinement(of(fusion(plasma(
•  Zonal)flows:))
$$)sheared)E×B)flows))
)poloidally)symmetric)(n)=)0))))
)toroidally)symmetric)(m)=)0)))
poloidal))
direc=on)
plasma)
!)cannot)tap)free)energy)
!)driven)nonlinearly)by)drii)waves)
)
$$)modes)of))
)minimum)iner=a)
)minimal)Landau)damping)
)no)radial)transport))
radial))
direc=on)
Zonal)flow)
)!)important)for)plasma)confinement))
))
free energy source
∇T, ∇n
drift wave
turbulence
radial transport
(bad for confinement)
zonal flows
no radial transport
(better for confinement)
14)
ZF importance III
L@H(transi7on(
L$mode)
)Increase)of)hea=ng)power)$>)heat)flux)
)edge)turbulence)$>)Reynolds)stress))
)development)of)zonal)flows)
!  LCO)
)regula=on)of)turbulence)and)transport)
)(self$regula=on)!)oscilla=on))
)buildup)of)a)steep)pressure)gradient)
)growth)of)the)mean)shear))
!)H$mode)transi=on))(onset:)G.)Tynan)et)al)2013))
)damping)of)both)turbulence)and)zonal)
)flows)by)mean)shear))
))
(ZF(and(MS(play(different(roles(
)ZF:)extracts)from)turbulence)
)MS:)locks)in)transi=on)
L.)Schmitz)et)al)2012)
15)
Outline(
•  Introduc=on) Physical systems: geophysical fluids and fusion plasmas
)
Importance of zonal flows
) Understanding turbulencezonal flow interaction
)
Physics issues:
zonal flow formation
•  Thesis)research)
Representation of
anisotropic PV mixing
)
(MFT and beyond)
)
PV mixing in the
)
presence of mean shear
(3))
)
•  Summary):)What)did)we)learn?)
Constrained relaxation models )
(1) (2)
Perturbation Theory
(1))
16)
PV mixing & Flows I
Zonal(flow(forma7on((
•  Zonal)flows)are)generated)by)nonlinear)interac=ons)between)wave)
turbulence)and)zonal)flow.))
)
•  In)x)space,)zonal)flows)are)driven)by)Reynolds)stress)
)
)
Taylor’s)Iden=ty υ! y q! = −
(
)
(
(
(
)
)
(
((
∂
υ! xυ
)
))! y
∂y
∂
∂
υx = −
υ! xυ! y − µ υ x
∂t
∂y
!(PV(flux(fundamental(to(zonal(flow(forma7on(
)
•  Inhomogeneous)PV)mixing,)not)momentum)mixing)(dq/dt=0))
)!)up$gradient)momentum)transport)(nega=ve$viscosity))not)an)enigma))
)
))
PV(
17)
PV mixing & Flows II
Inhomogeneous(PV(mixing(
(
!(PV(staircacse(
•  PV(mixing(is(the(fundamental(
y)
mechanism(for(zonal(flow(forma7on(
MARCH 2008
DRITSCHEL AND MCINTYRE
δ ( PV)) → δ (∇ 2ψ ) → δ (ψ ) → υ = ∇ × ψ
PV)
mixed)
velocity)
unmixed)
McIntyre)1982)
FIG. 1. Schematic from McIntyre (1982), suggesting the robustness of nonlinear jet sharpening by inhomogeneous PV mixing.
Here most of the mixing is on the equatorward flank of an idealized stratospheric polar-night jet, in a broad midlatitude “surf
zone” due to the breaking of Rossby waves arriving from below.
The profiles can be thought of as giving a somewhat blurred,
<q>)
<vx>)
857
but to fit in with the angular momentum changes dictated by inversion. Conversely, if there is no way to set
up a suitable stress pattern, then PV mixing may be
•  PV)gradient)
modified or inhibited.
•  Jet)sharpening)
In quasigeostrophic models, with the Rossby wave
mechanism as the only available wave mechanism, the
way the stress pattern fits in is described by the wellE)x)B)staircase))
known Taylor identity relating stress divergences to
) appendix. The stresses
•  PV
Turbulent)PV)mixing)
eddy
fluxes, recalled in the
)
•  Up$gradient)stress)
themselves
extend between regions
of PV mixing and,
)
in general, outside them as well.
As already noted, in
principle they can extend as far
) as waves can propagate.
The stress pattern associated )with the example in Fig. 1
(e.g., Edmon et al. 1980; Dunkerton
et al. 1981) corre)
sponds mainly to Rossby waves propagating or diffract)
ing up the jet axis from below with their characteristic
)
upward–westward phase tilt, then refracting equator)
ward and breaking in the mixing
region 18)
indicated in
)
18)
Fig. 1a. That region
can
therefore
be thought of as a
G.)Dif$Pradalier)et)al)2010)
“Rossby wave surf zone.” A characteristic feature of
the stress pattern is the well-known antifrictional westward–equatorward tilt of phase lines between the jet
and the adjacent surf zone, signaling positive values of
Outline(
•  Introduc=on)
)
)
Physical systems: geophysical fluids and fusion plasmas
Importance of zonal flows
Physics issues: zonal flow formation
Key mechanism: PV mixing
Non-perturbative constrained
relaxation models: structure
(1) (2)
•  Thesis(research(
Representation of
)
anisotropic PV mixing
)
(MFT and beyond)
)
)
PV mixing in the
presence
of mean shear
•  Summary)
complementary
Perturbation theory: coefficients
(1))
(3))
(1))))Pei$Chun)Hsu)and)P.)H.)Diamond,)Phys.)Plasmas,)22,)032314)(2015))))
(2))))Pei$Chun)Hsu,)P.)H.)Diamond,)and)S.)M.)Tobias,)Phys.)Rev.)E,)in)press)(2015)))
(3))))Pei$Chun)Hsu)and)P.)H.)Diamond,)Phys.)Plasmas,)22,)022306,)(2015)))
PV flux I
General Structure
19)
Non@perturba7ve(approaches(
-  PV)mixing)in)space)is)essen=al)in)ZF)genera=on.)
Taylor)iden=ty:)
υ y ∇ 2φ = −∂ y υ yυ x
vor=city)flux)))))))Reynolds)force)
Key:(
(How(represent((
(inhomogeneous((
(PV(mixing((
most)treatment)of)ZF:)
$$)perturba=on)theory)
$$)modula=onal)instability)))))
))))(test)shear)+)gas)of)waves))
~)linear)theory)
)
$>)physics)of)evolved)PV)mixing?)
$>)something)more)general?)
General(structure(of)PV)flux?)
!relaxa=on)principles!)
)
)
)
&non-perturb model 1: use)selec=ve)decay)principle)
What&form&must&the&PV&flux&have&so&as&to&
dissipate&enstrophy&while&conserving&energy?&&
&
&
&
&
&
non-perturb model 2: use)joint)reflec=on)symmetry))
What&form&must&the&PV&flux&have&so&as&to&
&saCsfy&the&joint&reflecCon&symmetry&principle&
&for&PV&transport/mixing?&&
)
20)
non-perturb model 1
General(principle:(selec7ve(decay(
•  2D)turbulence)conserva=on)
of)energy)and)poten=al)
enstrophy)
!  dual)cascade)
!  Minimum)enstrophy)state)
)
inverse(energy((
cascading(
forward(enstrophy((
cascading(
•  eddy)turnover)rate)and))
Rossby)wave)frequency)
mismatch)are)comparable))
∂ω !
+ u ⋅ ∇ω + βυ = 0
∂t
U
U2
βU
LT
L2
U
!)Rhines)scale) LR ~ β
Rhines(
scale(
)
wave)
forcing(
21)
wave)
zonal)flow))
non-perturb model 1
Using(selec7ve(decay(for(flux()
(
(
(
minimum(enstrophy(
Taylor(relaxa7on(
analogy)
(
relaxa7on(
(J.B.(Taylor,(1974)(
(Bretherton(&(Haidvogel(1976)(
dual)
cascade)
turbulence)
2D)hydro)
conserved)quan=ty)
(constraint))
total)kine=c)energy)
global)magne=c)helicity)
dissipated)quan=ty)
(minimized))
fluctua=on)poten=al)
enstrophy)
magne=c)energy)
)
minimum)enstrophy)state)
Taylor)state)
flow)structure)emergent)
force)free)B)field)configura=on)
final)state)
)
structural)approach)
•
)
)
∂
Ω < 0 ⇒ ΓE ⇒ Γq
∂t
3D)MHD)
)
)
)
∂
EM < 0 ⇒ Γ H
∂t
flux?))what)can)be)said)about)dynamics?))
!  structural)approach)(Boozer):)What&form&must&the&helicity&have&so&as&to&
structural)approach)(this)work):)What&form&must&the&PV&flux&have&so&as&to&
&dissipate&magneCcRenergy&while&conserving&helicity?&&
&dissipate&enstrophy&while&conserving&energy?&&
&
General)principle)based)on)general)physical)ideas)!)useful)for)dynamical)model)22)
non-perturb model 1
PV)flux)
)!)PV)conserva=on))
)
))))))))))))))))))))mean)field)PV:))
)
∂ q
+ ∂ y υ y q = ν 0∂2y q
∂t
Γ q :)mean)field)PV)flux)
)
selec=ve)decay)
)
Key)Point:)what)form)does)
PV)flux)have)s/t)dissipate)
enstrophy,)conserve)energy))
2
(y )
)!)energy)conserved))))))))))))))))))))))))))))))))))
E= ∫
∂ φ
2
)
)
)
∂E
=
∂t
∫
φ ∂yΓ q = − ∫ ∂y φ Γ q
⇒ Γq =
)!)enstrophy)minimized) Ω = ∫
)
)
)
q
2
∂yΓ E
∂y φ
2
&∂ q )
∂Ω
++ Γ E
= − ∫ q ∂ y Γ q = − ∫ ∂ y (( y
∂t
' ∂y φ *
&∂ q )
∂Ω
++
< 0 ⇒ Γ E = µ∂ y (( y
∂t
' ∂y φ *
parameter)TBD)
non-perturb model 1
)
& ∂ q )0
1
++2
∂ y /µ∂ y (( y
∂y φ
' ∂ y φ *21
./
general)form)
of)PV)flux))
υx
23)
Structure(of(PV(flux(
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
⇒ Γq =
Γq =
)
#∂ q
1
∂ y +µ ∂ y %% y
υ x +*
$ υx
) # q ∂ q ∂2 q
&,
1
y
((. =
∂ y +µ %%
+ y
2
υ
υx
+
υ
.
'x
x
* $
diffusion)parameter)calculated)by))
perturba=on)theory,)numerics…)
&,
(.
(.
'-
diffusion)and)hyper)diffusion)of)PV)
)
<$$>))usual)story):)Fick’s)diffusion)
relaxed)state:)
(
∂ q
υx
y
))))Homogeniza=on)of)))))))))))))!)allows)staircase))
characteris7c(scale(( ℓ c ≡
)
υx
∂y q
ℓ )> ℓ c ):)zonal)flow)growth)
ℓ )< ℓ c ):)zonal)flow)damping)
)
))(hyper)viscosity$dominated))
Rhines(scale((LR ~
)
U
β
ℓ > LR):)wave$dominated)
)
ℓ < LR):)eddy$dominated)
24)
non-perturb model 1
PV(staircase(
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)
PV)gradient)large)
∂y q
relaxed)state:)))homogeniza=on)of))))))))))))))))!)
where)zonal)flow)large)
υx
)
!  Zonal)flows)track)the)PV)gradient)!)PV)staircase))
•  Highly)structured)profile)of)the)staircase)is)reconciled)with)the)
homogeniza=on)or)mixing)process)required)to)produce)it.)
•  Staircase)may)arise)naturally)as)a)consequence)of)minimum)
enstrophy)relaxa=on.))
25)
non-perturb model 1
What(sets(the(“minimum(enstrophy”(
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
•  Decay)drives)relaxa=on.)The)relaxa=on)rate)can)be)derived)by)linear)
perturba=on)theory)about)the)minimum)enstrophy)state)
q = qm (y) + δ q(y, t)
φ = φ m (y) + δφ (y, t)
∂ y qm = λ∂ yφ m
" k 4 + 4 λ k 2 + 3λ 2 8q 2 (k 2 + λ ) %
'
γ rel = µ $$
− m
2
4
'
υ
υx
#
&
x
" 4q k 3 +10q k λ 8q 3 k %
m
ω k = µ $$ − m
− m 5 ''
3
υx
υx &
#
δ q(y, t) = δ q0 exp(−γ rel t − iω t + iky)
)
•  The)condi=on)of)relaxa=on)(modes)are)damped):)
)
8qm2
2
)ϒrel>0)!) k > υ 2 − 3λ
x
)
2
8qm
qm2
> 3λ
)k2)>)0)!)
!)Relates)))))))))with)ZF)and)scale)factor)
2
υx
)
)$$ )ZF)cannot)grow)arbitrarily)large,)and)is)constrained)by)the)enstrophy))
)$$ )To)sustain)a)zonal)flow)in)the)minimum)enstrophy)state,)a)cri=cal) )
)))))))))))residual)enstrophy)density)is)needed.)
2
qm
!))))))):)the)‘minimum)enstrophy’)of)relaxa=on,)related)to)scale)
26)
non-perturb model 1
Role(of(turbulence(spreading((
•  Turbulence)spreading:)tendency)of)turbulence)
))))))to)self$scayer)and)entrain)stable)regime)
)
•  Turbulence)spreading)is)closely)related)to)PV)mixing)because)the)
transport/mixing)of)turbulence)intensity)has)influence)on)Reynolds)
stresses)and)so)on)flow)dynamics.))
)
•  PV)mixing)is)related)to)turbulence)spreading))
∂E
=
∂t
∫
φ ∂yΓ q = − ∫ ∂y φ Γ q
⇒ Γq =
∂yΓ E
∂y φ
)
•  The)effec=ve)spreading)flux)of)turbulence)kine=c)energy)
Γ E = − ∫ Γ q υ x dy = − ∫
)
)
)
+
%∂ q
1
∂ y -µ∂ y '' y
υ x -, & υ x
(.
%∂ q
**0 υ x dy = µ∂ y '' y
)0/
& υx
(
**
)
)!the)gradient)of)the)∂y⟨q⟩/⟨vx⟩,)drives)spreading)
)!)the)spreading)flux)vanishes)when)∂y⟨q⟩/⟨vx⟩)is)homogenized))
27)
non-perturb model 1
Discussion(
•  PV)mixing) ))))forward)enstrophy)cascade )
)hyper$viscosity))
)!)How)to)reconcile)effec=ve)nega=ve)viscosity)with)the)picture)of)
)diffusive)mixing)of)PV)in)real)space?))
)
•  A)possible)explana=on)of)up$gradient)transport)of)PV)due)to)turbulence)
spreading)
PV(mixing(
Turbulence(spreading(
Weaker(turbulence(
intensity((enstrophy)(
Stronger(turbulence(
intensity((enstrophy)(
28)
non-perturb model 2
(PV@avalanche(model(–)beyond)diffusion)
:)PV)profile)
(
:)self$organized)state
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
(
δ q = q − q :)devia=on
δq > 0
)
)
0
mixing)
Γ[δ q] :)PV)flux)
Γ[δ q]
Γ[δ q]
δq < 0
More)general))
form)of)PV)flux))
pulse)
propaga=on)
y)
•  avalanching:)tendency)of)excita=on)to)propagate)in)space)via)local)gradient)change))
)
•  Joint$reflec=on)symmetry:))Γ)[δq])invariant)under)y)!)$y)and)δq)!)$δq)
) Key)Point:)what)form)does)PV)
2l
n
m
flux)have)s/t)sa=sfy)joint$
Γ [δ q ] = ∑α l (δ q ) + ∑ β m (∂ yδ q ) + ∑γ n (∂3yδ q ) +...
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))!)
reflec=on)symmetry)principle)
l
m
n
•  large$scale)proper=es):)higher$order)deriva=ves)neglected)
))))))small)devia=ons):)higher$order)terms)in)δq)neglected))
)
α
2
3
))))))!))Simplest)approxima=on:) Γ [δ q ] = (δ q ) + β∂ yδ q + γ∂ yδ q
2
)
29)
non-perturb model 2
Γ [δ q ] =
•  PV)equa=on:)
α
2
(δ q) + β∂yδ q + γ∂3yδ q
2
∂tδ q + αδ q∂ yδ q + β∂2yδ q + γ∂4yδ q = 0
Kuramoto$Sivashinsky))
type)equa=on)
diffusion)and)hyper)diffusion)of)δq)
Non$linear)convec=on)of)δq))
)
•  Avalanche$like)transport)is)triggered)by)devia=on)of)PV)gradient)
)!)PV)devia=on)implicitly)related)to)the)local)PV)gradient) δ q → ∂ y q
))
)
)
))
)!)transport)coefficients)(func=ons)of)δq))related)to)the)gradient) D(δ q) → D(∂ y q)
)!)gradient$dependent)effec=ve)diffusion)) Γ q ~ −D(∂ y q)∂ y q → −D(δ q)δ q
)
•  Convec=ve)component)of)the)PV)flux)can)be)related)to)a)gradient$dependent)
effec=ve)diffusivity))
Γ [δ q ] ~ δ q 2 → −D(δ q)δ q
D(δ q) → D0δ q
30)
PV flux II
Setting the Coefficients
Perturba7on(theory)
Transport(coefficients(
!perturba=on)theory)
(only)analy=cal)solu=on))
General)structure)of)PV)flux)
!relaxa=on)principles)
•  The)evolu=on)of)perturba=on)(seed)ZF))as)a)way)to)look)at)PV)transport))
Seed)ZF)
Modula=on)
(nonlocal))
υ! xυ! y
Inverse)cascade/)
PV)mixing)(local))
Modula=onal)instability))))(large)
scale)pumping))))))requires)
small)scale)PV)mixing)
)
Fluctua=ons)
(broad)spectrum))
31)
perturbation theory 1
– broadband
Revisi7ng(modula7onal(instability(
ZF)evolu=on)determined)by)Reynolds)force)
kk
∂
∂
∂
δVx = −
υ xυ y = ∑ x 4 y N k
∂t
∂y
∂y k< k
vor=city))
flux)
)
)
2
N k = k) 2 ψ k ) ω k )is)wave)ac=on)density,))for)Rossby)
wave)and)drii)wave,)it)is)propor=onal)to)the)
enstrophy)density.)Nk)is)determined)by)WKE:)
))
∂N
∂(kxδVx ) ∂N 0
+ υ g ⋅ ∇N + δω k N =
∂t
∂y
∂ky
)Turbulent)vor=city)flux)derived))
" k 2k %
∂
δω k
∂N 0
δVq = ∂2yδVq ∑$$ x 4 y ''
2
2
∂t
k
(
ω
−
q
⋅
υ
)
+
δω
& q
g
k ∂k y
k #
κ(q)&
q:&ZF)wavenumber&
&
∂
δVq = ∂& 2yκ (q) δVq
∂t
κ(q))≠)const)
&
scale)dependence)of)PV)flux)
non$Fickian)turbulent)PV)flux)
32)
perturbation theory 1
•  A)simple)model)from)which)to)view)κ&(q):))
-  Defining)MFP)of)wave)packets)as)the))
−1
−1
)))))cri=cal)scale) qc ≡ υ gδω k
-  keeping)next)order)term)in)expansion))
)))))of)response)
q −1 >> qc−1 ⇒
δω k
1 $ q2 '
≈
&1− )
2
2
(qυ g ) + δω k δω k % qc2 (
zonal)growth)evolu=on:)
)
2 )
∂tδVx = D∂ yδVx − H∂4yδVx
)
nega=ve)viscosity)and)
posi=ve)hyper$viscosity)
D=
∑
k
H = −∑ qc−2
k
k x2 k y∂N 0
<0
δω k k 4 ∂ky
k x2 k y∂N 0
>0
δω k k 4 ∂ky
<(0((
Transport)coefficients)(viscosity)and)hyper$viscosity))for)relaxa=on)models:)
* $
'∂ υx
q ∂ y q ∂2y q )/
1
,
&
= Γq =
∂y µ −
+
, & (∂ φ )2 ∂ y φ )/
∂t
∂y φ
y
(.
+ %
33)
perturbation theory 1
Discussion(of(D(and(H((
•  Roles)of)nega=ve)viscosity)and)posi=ve)hyper$viscosity))(Real(space)(
∂
)
δVx = D∂2yδVx − H∂4yδVx
∂t
)
2
2
∂ 1 2 2
∫ δVx d x = −D ∫ (∂yδVx ) d 2 x − H ∫ (∂2yδVx ) d 2 x
)
∂t 2
)
D < 0 ⇒ γ q,D > 0 ZF)growth)(Pumper)D))
Energy)transferred)
)
to)large)scale)ZF)
H > 0 ⇒ γ q,H < 0 ZF)suppression)(Damper)H))
)
)
)
D,)H)as)model)of)spa=al)PV)flux)beyond)over$simplified)nega=ve)
viscosity)
)
Minimum(enstrophy(model(
2
)))))))
sets)the)cut$off)scale)
D)))))))
= Hq
⇒ lc2 =
H
D
Γq =
)
# ∂ q &,
1
((. ⇒ ℓ ≡
∂ y +µ ∂ y %% y
c
∂y φ
$ ∂ y φ '.*+
υx
∂y q
)))))))))))))))):)))ZF)energy)growth)))))!)D)process)dominates)at)large)scale))))
 > c
)
)))))))))))))))):)))ZF)energy)damping)))!)H)process)dominates)at)small)scale)
 < c
)
34)
perturbation theory 2
– narrowband
Parametric(instability(((
Pseudo@fluid((wave(packets)(model(
mean)free)path))
of)wave)packets)
Pei$Chun)Hsu)and)P.)H.)Diamond,)Phys.)Plasmas,)22,)032314)(2015))))
35)
perturbation theory 2
)
$$)pseudo$fluid)evolu=on:)
))))mul=plying)the)WKE)by)vgy)and)integra=ng)over)k)
))))normalizing)by)pseudo$density)nω)
)
inviscid)Burgers’eq.)
∂ w
∂
)
⇒)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Vy +Vyw Vyw = −a υ x )$
source:)zonal)shear)
∂t
∂y
)
)
2 β k " 4k %
)
a= ∫
$1−
'N dk ∫ N dk
k #
k &
$$)ZF)evolu=on:)
2
x
4
)
)
)
2
y
2
k
k
υ! xυ! y = ∫ υ gy kx N k d 2 k ≅ Vyw Pxw
∂
∂
υ x = − Vyw Pxw
∂t
∂y
•  ZF)growth)rate)in)monochroma=c)limit:)
)))))))linearizing)the)above)two)eqs.&
)
)
)
)
2 2
x
γ q = q k ϕk
2
" 4k 2y %
$$1− 2 ''
k &
#
2
2)
γq
The)reality)of)))))))requires)k
x >3ky
)
)))))))))))))))indicates)convec=ve)instability))
γq ∝ q
36)
•  Minimum)enstrophy))
* $
'∂ υx
q ∂ y q ∂2y q )/
1
= Γq =
∂ y ,µ & −
+
, & (∂ φ )2 ∂ y φ )/
∂t
∂y φ
y
(.
+ %
α
2
(δ q) + β∂yδ q + γ∂3yδ q
2
•  PV$avalanche)
Γ [δ q ] =
•  Modula=onal)instab.)
∂tδVx = −q 2 DδVx + q 4 H δVx
•  Parametric)instab.))
" 4k 2 %
2
γ q = q 2 k 2x ϕ k $$1− 2y ''
k &
#
37)
III)(Mul7@scale(shearing(effects(
•
Mo=va=on))
-  L$H)transi=on)intermediate)phace:)
coexistence)of)mean)shear)and)zonal)
flow)))
)
)
)
)
))
•  Generic)problem:)
-  coupling/interac=on)between))))
different)scale)shearing)fields)
)
)
zonal flow
)
)
)
))
mean shear
wave packet
y
•
Vx
Important)issue)
-  how)mean)shear)flows)affect)the)PV)flux)and)zonal)flow)genera=on
)
))
Shearing)
Turbulence)
Free)Energy)Source)
(gradients))
Shearing)
Modula=onal)
Instability)
Zonal)Flows))
Decorrela=on)
(this)work)))
Mean)Shears)
Pei$Chun)Hsu)and)P.)H.)Diamond,))
Phys.)Plasmas,)22,)022306,)(2015)))
38)
Modula7onal(instab.(w/(mean(shear(
kk
x y
Momentum)flux)$>)Reynolds)stress)$>)wave)ac=on) < υ xυ y >= −∑ k 4 N k
k
•  mean)shear)in)WKE:) ∂t N k + υ gy∂ y N k − kx Vx # ∂ky N k + δω k N k = kxδVx '∂ky N 0
)
2 β kx ky
mean)shear) Non$linear)
∝ Ω−3
4
−∂ y Vx = Ω
diffusion)
k
wave$packet)excursion)
inhibited)by)mean)shear))
υ gy =
)
)•  Ray)trajectory)refrac=on:) )
)
) ) dky )= − ∂))(ω + k V ) ;V = V + V
x x
x
x
x
dt
∂y
)
dkx
=0
)
dt
)
2 β kx ky
dy
= υ gy =
)
dt
k4
)
ky (t) = ky (0) + kxΩt
)
β#1
%
y(t) = y(0) + e(t), e(t) =
Ω %$ k
2
0
)
Seed)ZF)
Kx&
ky&
wave)trajectory)is)distorted)by)
surrounding)mean)shears))
−
&
1
(
2(
k + (k 0 y + kx Ωt) '
2
x
39)
Modula7onal(instab.(w/(mean(shear(
•  characteris=c)method)(shearing)frame)))
)
k = k (0) + k Ωt
y
original)frame)
y
y = y(0) + e(t)
)
)
shearing)frame)
~ Dk 2
∂t N k + υ gy∂ y N k − kx Vx # ∂ky N k + δω k N k = kxδVx '∂ky N 0
x
cancel)in)shearing)frame)
ζ = ky − kxΩt
∂t G + D(kx2 + ky2 )G = δ (t − t1 )δ (ξ − ξ1 )δ (kx − k1x )δ (ζ − ζ1 )
)
ξ = y − e(t)
$
$
Solving)Green’s)func=on)in)shearing)frame)
Changing)variables)back)to)original)frame)
)
$$>)) N! k (Ωt >> 1) =
∫
∞
0
−
dτ e
τ3
qB
+iΩqτ +i 2
τ c3
k0 Ω
kxδV̂ '∂ky N 0
)
•  strong)mean)shear)limit)()))))))))))))))))))
Ω >> δω k
1/3
# 3 &
N! k ≅ %
kxδV̂ '∂ky N 0 + O(Ω−2 )
2(
$ δω k Ω '
)
)
)
)
1/3
$ 3 '
γ q , υ! y ∇ 2ψ! ∝ &
)
2
% δω k Ω (
→  Mean)shear)reduces)ZF)growth)~Ω$2/3)
→  scaling)of)PV)flux)in)strong)mean)shear))
40)
Summary(
•  Inhomogeneous)PV)mixing)is)iden=fied)as)the)fundamental)mechanism)
for)zonal)flow)forma=on.&This&study&offered&new&perspecCves&and&
approaches&to&calculaCng&spaCal&flux&of&PV.&&
•  The)general)structure)of)PV)flux)is)studied)by)two)non$perturba=ve)
relaxa=on)models.))
)1.)selec=ve)decay)model)
Γq =
* $
'q ∂ y q ∂2y q )/
1
∂ y ,µ & −
+
, & (∂ φ )2 ∂ y φ )/
∂y φ
y
(.
+ %
-  PV)flux)contains)diffusion)and)higher)order)diffusion)terms.)The)
homogenized)quan=ty)in)the)relaxed)state)is)the)ra=o)of)PV)gradient)to)zonal)
flow)velocity.)This)is)consistent)with)the)structure)of)the)PV)staircase.))
α
2
(δ q) + β∂yδ q + γ∂3yδ q
2
)
-  PV)flux)is)constrained)by)the)joint)reflec=on)symmetry)condi=on,)and)
contains)diffusive,)hyper$diffusive,)and)convec=ve)terms.)The)convec=ve)
transport)of)PV)can)be)generalized)to)an)effec=ve)diffusive)transport.))
2.)PV$avalanche)model)
Γ [δ q ] =
41)
Summary(
)
•  The)transport)coefficients)are)derived)using)perturba=ve)analyses)of)
wave)kine=c)equa=on.)Relaxa=on)models)and)perturba=ve)analyses)are&
synergeCc&and&complementary&approaches.&&
•  In)modula=onal)instability)analysis)for)a)broadband)spectrum,)a)nega=ve)
viscosity)and)a)posi=ve)hyper$viscosity,)which)represents)ZF)satura=on)
mechanism,)are)derived.)In)parametric)instability)analysis)for)a)narrow)
spectrum,)a)convec=ve)transport)coefficient)is)obtained.))
•  Important)issues)addressed)in)our)models)includes)PV)staircase,)
turbulence)spreading,)avalanche$like)transport,)characteris=c)scales.))
)
•  The)effect)of)the)mean)shear)on)PV)flux)and)zonal)flow)forma=on)is)
studied.)ZF)growth)rate)and)the)PV)flux)are)shown)to)decreases)with)
mean)shearing)rate)as)Ω−2/3.)Framework&of&PV&transport&for&systems&with&
mulCRscale&shearing&fields&is&established.&
42)
Extension(of(work((
•  What’s)the)right)relaxa=on)principle?))
)minimum)enstrophy,)maximun)entropy,)PV)homogeniza=on…)
•  Numerical)simula=on)test:)
)form)of)the)PV)flux)during)relaxa=on))
)profile)of)the)homogenized)quan=ty)for)the)relaxed)state)
)the)minimum)enstrophy)in)the)relaxed)state)
)PV)flux)spectrum)$1/f)(?))
)staircase)forma=on)during)relaxa=on)
)
•  Including)the)magne=c)field)
)β$plane)MHD)model)of)PV)mixing)processes)(the)effect)of)magne=c)
)field)on)the)cross)phase)of)the)Reynolds)stress)))
•  Use)PV)flux)expression)to)improve)ZF)dynamics)representa=on)in)
reduced)L$H)transi=on)models)
43)
Onset(of(transi7on(into(H@mode(
•  Transi=on)criterion))
)turbulence)power)coupled)to)flow)≥)turbulence)power)increase)
)
)
)
)
RT =
υ! xυ! y υ x !
υ! ⊥2 (γ eff − γ decorr )
≥1
G.R.)Tynan)et)al)2013)
)criterion)for)turbulence)collapse)and)transi=on)onset)
)!)zonal)flow)role)cri=cal))
44)