Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
WARM­UP
1. Determine the quadratic function that has the vertex (3, 1) and goes through the point (1, ­7).
1

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
3.4 Graphing Polynomial
&
Rational Functions
Objective
:
Graph polynomial and rational functions.
2

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #1:
Given the function f(x) = (x ­ 1) 2 (x + 1)(x + 3), find the  following information.
a.  State the degree.
b.
Find the y­intercept.
c.
Find each x­intercept and state whether the graph bounces
or crosses at each x­intercept.
d.
Determine the end behavior of the function.
e.
Find f(­2).
f.   Using the information from parts a ­ e, make a sketch of the
graph.
3

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #1:
Given the function f(x) = (x ­ 1) 2 (x + 1)(x + 3), find the  following information.
a.  State the degree.
b.
Find the y­intercept.
c.
Find each x­intercept and state whether the graph bounces
or crosses at each x­intercept.
4

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #1:
Given the function f(x) = (x ­ 1) 2 (x + 1)(x + 3), find the  following information.
d.
Determine the end behavior of the function.
WHAT IS END BEHAVIOR??
5

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
End Behavior ­ direction of the far left  and far right portions of the graph.
Four types of end behavior:
up & up
down & down
down & up
up & down
6

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
7

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Determine the end behavior by looking at the coefficient  and degree of the leading term of a polynomial function.
Right:
•
If the leading coefficient is positive, then the graph rises  to the right.
•
If the leading coefficient is negative, then the graph falls  to the right.
Left:
•
If the degree of the polynomial is even, then the left  behavior is the same as the right behavior.
•
If the degree of the polynomial is odd, then the left  behavior is the opposite of the right behavior.
8

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example:  Describing End Behavior
Determine the end behavior of the graph of each polynomial.
a.   y = 4x
3
­ 3x
The leading  coefficient 4 is  positive, so the  graph rises to  the right.
The degree of the  polynomial is 3,  which is odd.
The left behavior  is opposite the  right behavior, so  the graph falls to  the left.  b.   f﴾x﴿ = ­2x
4
+ 8x
3
­ 8x
2
The leading  coefficient ­2  is negative, so  the graph falls  to the right.
The degree of the  polynomial is 4,  which is even.  The  left behavior is the  same as the right  behavior, so the  graph falls to the  left.
The end behavior  is                  .
The end behavior  is                  .
9

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #1:
Given the function f(x) = (x ­ 1) 2 (x + 1)(x + 3), find the  following information.
d.
Determine the end behavior of the function.
OK...NOW FIND THE END BEHAVIOR!
10

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #1:
Given the function f(x) = (x ­ 1) 2 (x + 1)(x + 3), find the  following information.
e.
Find f(­2).
11

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #1:
Given the function f(x) = (x ­ 1) 2 (x + 1)(x + 3), find the  following information.
f.   Using the information from parts a ­ e, make a sketch of the
graph.
12

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #2:
2
Given the function f(x) =                    , find the following  x 2  ­ 4 information.
a.  State the domain.
b.
Find the vertical asymptote(s).
c.
Find the x­intercept(s).
d.
Find the y­intercept.
e.
Find the x­value of the "hole" and the location of the "hole".
f.   Find the horizontal or oblique asymptote.
g.
Find f(­4).
h.
Using the information from parts a ­ g, make a sketch of the
graph.
13

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #2:
2
Given the function f(x) =                    , find the following  x 2  ­ 4 information.
a.  State the domain.
b.
Find the vertical asymptote(s).
c.
Find the x­intercept(s).
14

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #2:
2x 2  ­ 5x + 2
Given the function f(x) =                    , find the following  x 2  ­ 4 information.
d.
Find the y­intercept.
e.
Find the x­value of the "hole" and the location of the "hole".
15

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #2:
2x 2  ­ 5x + 2
Given the function f(x) =                    , find the following  x 2  ­ 4 information.
f.   Find the horizontal or oblique asymptote.
g.
Find f(­4).
2(­4)
2
­ 5(­4) + 2
(­4)
2
­ 4
2(16) + 20 + 2
16 ­ 4
32 + 20 + 2
12
54
12 f(­4) = 4.5
16

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
Example #2:
2x 2  ­ 5x + 2
Given the function f(x) =                    , find the following  x 2  ­ 4 information.
h.
Using the information from parts a ­ g, make a sketch of the
graph.
17

Graphing Polynomial and Rational Functions 2011 October 12, 2011
For #s 35 and 40  complete all parts a ­ h.
For #s 55 and 56 follow all 8  steps on page 198 and find the
"hole" in the graph.  Show the
"hole" when you graph by hand .
18