Fixed boundary
uniform loading
Element
Finite element
Cantilever plate
model
in plane strain
Node
Problem: Obtain the
stresses/strains in the
plate
• Approximate
method
• Geometric model
• Node
• Element
• Mesh
• Discretization
Engineering design
Engineering design
• View the problem domain as a collection of subdomains (elements)
• Solve the problem at each subdomain
• Assemble elements to find the global solution
• Solution is guaranteed to converge to the correct solution if proper
theory, element formulation and solution procedure are followed.
Engineering design
Engineering design
• 1941 – Hrenikoff proposed framework method
• 1943 – Courant used principle of stationary potential energy
and piecewise function approximation
• 1953 – Stiffness equations were written and solved using digital
computers.
• 1960 – Clough made up the name “finite element method”
• 1970s – FEA carried on “mainframe” computers
• 1980s – FEM code run on PCs
• 2000s – Parallel implementation of FEM (large-scale analysis,
virtual design)
Courant
Clough
Engineering design
Applications of Finite Element Methods
 Structural & Stress Analysis
 Thermal Analysis
 Dynamic Analysis
 Acoustic Analysis
 Electro-Magnetic Analysis
 Manufacturing Processes
 Fluid Dynamics
 Financial Analysis
Engineering design
Physical Problem
Mathematical model
Governed by differential
equations
Numerical model
e.g., finite element
model
Continuous body mathematical model
Discretized body – finite
element model
Engineering design
Numerical solver
Discretization
MATHEMATICAL
MODEL
FEA results
FEA model
FEA Preprocessing
FEA
Solution
FEA Postprocessing
Engineering design
Engineering design
Simple Element Equation Example
Direct Stiffness Derivation
Equilibriu m at Node 1  F1  ku1  ku2
Equilibriu m at Node 2  F2   ku1  ku2
or in Matrix Fo rm
 k
 k

 k   u1   F1 
  

k  u2   F2 
Stiffness Matrix
[ K ]{u}  {F }
Nodal Force Vector
Engineering design
R  k1  u2  u1   0
k1  u2  u1   k 2  u3  u2   0
k2  u3  u2   k3  u4  u3   0
L
k3  u4  u3   k 4  u5  u4   0
k4  u5  u4   P  0
P
 k1
 k1
 k k  k
 1 1 2
 0
 k2

0
 0
 0
0

0
 0
0
0
0
k2
0
0
k 2  k3
 k3
0
 k3
k3  k 4
k4
0
 k4
k 4  k5
0
0
 k5
0   u1    R 
0  u2   0 
   
0   u3   0 
    
0  u4   0 
k5   u5   0 
   
k5   u6   P 
K u  P  R
TYPICAL ANALYSIS ASSUMPTIONS: SMALL DISPLACEMENTS
[K] = const
[K]  const
To comply with assumptions of small displacements theory, the displacement must not
change the stiffness in a significant way.
Note that displacements don’t have to be large to significantly change the stiffness.
Engineering design
One-Dimensional Elements
Line
Rods, Beams, Trusses, Frames
Two-Dimensional Elements
Triangular, Quadrilateral
Plates, Shells, 2-D Continua
Three-Dimensional Elements
Tetrahedral, Rectangular Prism (Brick)
3-D Continua
FINITE ELEMENT MESH
16
MESH COMPATIBILITY
There is only one
node here
There is only one node
here
There is only one node
here
There is only one node
here
Compatible elements
Incompatible elements
The same displacement shape function
along edge 1 and edge 2
Different displacement shape function
along edge 1 and edge 2
MESH COMPATIBILITY
Model of flat bar under tension. There is a mesh
incompatibility along the mid-line between left and right
side of the model.
The same model after analysis. Due to mesh
incompatibility a gap has formed along the
mid-line.
18
MESH COMPATIBILITY
Shell elements and solid elements combined
in one model.
Shell elements are attached to solid elements
by links constraining their translational D.O.F.
to D.O.F. of solid elements and suppressing
their rotational D.O.F. This way nodal
rotations of shells are eliminated and nodal
translations have to follow nodal translations
of solids.
Unintentional hinge will form along
connection to solids if rotational D.O.F. of
shells are not suppressed.
Hinge
Solid
elements
Shell elements
MESH QUALITY
Elements before mapping
Elements after mapping
MESH QUALITY
aspect ratio
angular distortion (
skew )
angular distortion (
taper )
curvature
distortion
midsize node
position
warpage
MESH QUALITY
Element distortion: aspect
ratio
Element distortion:
warping
MESH QUALITY
Element distortion: tangent edges
MESH ADEQUACY
Support
This stress distribution
needs to be modeled
Load
This stress distribution is modeled
with one layer of first order elements
MESH ADEQUACY
cantilever beam, model 1
terribly bad
cantilever beam size:
10" x 1" x 0.1"
modulus of elasticity:
30,000,000psi
load:
150 lbf
beam theory maximal deflection:f = 0.2"
beam theory maximal stress:
 = 90,000psi
cantilever beam, model 2
also terribly bad
cantilever beam model 3
a good beginning !
our definition of the discretization error :
cantilever beam, model 4
an acceptable model
( beam theory result - FEA result ) / beam theory result
model #
FEA
deflection
[in]
deflection
error
[%]
FEA
stress
[ PSI ]
stress
error
[%]
1
0.1358
32
1,500
98
2
0.1791
10
39,713
56
3
0.1950
2.5
65,275
27
4
0.1996
0.2
80,687
10
MESH ADEQUACY
Two layers of second order solid elements are generally recommended for
modeling bending.
Shell elements adequately model bending.
CONVERGENCE CURVE
Convergence criterion
Solution of the hypothetical “infinite”
Finite element model (unknown)
Solution error for
model # 3
Convergence error
for model # 3
1
2
3
# of D.O.F.
Mesh refinement and / or element order upgrade number
27
COMPARISION BETWEEN h & p ELEMENTS
VON MISES STRESS CRITERION
The maximum von Mises stress criterion is based on the von Mises-Hencky theory, also known as
the shear-energy theory or the maximum distortion energy theory. The theory states that a ductile
material starts to yield at a location when the von Mises stress becomes equal to the stress limit. In
most cases, the yield strength is used as the stress limit.
 von Mises  0.5 * [( x   y )
 von Mises  0.5 * [( 1   2 )
 y   z)
2
(
2 3)
2
(
2
(
2
(
 z   x ) ]  3 * ( xy   yz   zx )
2
 3  1 ) ]
Factor of safety (FOS) = limit / von Mises
2
2
2
2
Applications: Aerospace Engineering (AE)
30
Applications: Civil Engineering (CE)
31
Applications: Electrical Engineering (EE)
32
Applications: Biomedical Engineering (BE)
33
The Future – Virtual Engineering
34
Example 2D Truss
1
Create Part ‘a tıkla
2
Seçenekleri işaretle ve Continue düğmesine bas
3
Create Line: Connected
komutu ile şekli çiziniz.
4
Add Dimension komutu ile
istenilen ölçüye getiriniz.
Done düğmesine tıklayarak işlemden çıkınız.
5
7
6
Create Material :tıklanır
Property: malzeme özelliklerinin
tanımlanması için seçilir.
Mechanical:Elasticity:Elastic seçilir.
8
10
Create Section:
11
Continue’e Tıklayarak çık.
9
12
OK’e Tıklayarak çık.
OK’e Tıklayarak çık.
Assign Section: 13
Tüm geometri bir pencere içine
alınarak seçilir. Done’a tıklanır.
14
15
OK’e sonra Done’a
tıklayarak çık.
Sonraki aşamada; çözüm için
çalışma alanı olan Assembly’ geçilir
16
Tıklanarak modelin bir
kopyası çözüm alanına
taşınır.
17
19
Modellin bir kopyası
ekranda belirir.
20
18
OK’e Tıklayarak çık.
Diğer bir aşamada; çözüm için
gerekli olan Step’ e geçilir. Burada
genel olarak çözüm zamanı veya
adımları tanımlanır.
21
23
22
Create Step:
Continue’e Tıklayarak çık.
OK’e Tıklayarak çık.
23
25
Sonraki aşamada; çözüm için
çalışma alanı olan Assembly’ geçilir
Create Boundary Conditions:
tıklayınız
Continue’e Tıkla.
24
26
Shift tuşun basılı tutarak gösterilen iki
nokta seçilir.
27
İki kutu işaretlenerek bu
noktaların x ve y’de hareket
kabiliyeti sınırlandırılır.
OK’e Tıklayarak çık.
28
Aynı işlem aşağıdaki nokta içinde
yapılır fakat x yönündeki hareket
kabiliyeti sınırlandırılmaz.
OK’e Tıklayarak çık.
29
Create Load: seçilerek. Yükleme
tanımlamaları yapılır.
30
Shift tuşun basılı tutarak
gösterilen iki nokta seçilir.
29
Concentrated force
seçildikten sonra
Continue: tıklanır.
31
+x ekseninde yük
tanımlandıktan sonra
OK’e tıklayarak çık.
32
Bu aşamada; modelin bölüntüleme
aşamasına gelinir. Model küçük
elemanlara bölünür.
35
33
Her şeyden önce bölüntülemenin kopya üzerinde
değilde orijinal parça üzerinde yapılabilmesi için
Part kutusu seçilir.
34
Seed Part: seçeneği ile
model üzerindeki
geometrinin ne kadar
sıklıkla bölüneceği
belirtilir.
5 birim (bu problemde inç) aralıkla
bölüntüleme yapılması için değer girilir
ve OK’e tıklayarak çıkılır.
Assign Element Type:
36
bölüntülemede hangi eleman
tipinin kullanılacağı belirlenir.
Tüm geometri bir pencere içine
36 alınarak seçilir. Done’a tıklanır.
36
OK’e sonra Done’a
tıklayarak çık.
37
Model son olarak Mesh
Part Instance: komutu ile
bölüntüleme başlatılır.
39
38
Yes: seçeneği ile işlem başlar ve
bölüntüleme işlemi biter.
Modelin rengi değişir ve bölüntü (mesh)
oluşturulmuş olduğu anlaşılır.
43
40
Burada; modelin oluşturduğu denklem
sisteminin çözümü için Job: aşamasına
geçilir.
42
41
Create Job: seçneğini tıkla
Continue: seç.
OK’e Tıklayarak çık.
44
46
Job Menager: komutu
seçilir.
Daha önceden bir çözüm
yapılmış ise “Job-1“ dosyası
üzerine yazmak için izin
isteyebilir. OK:’i tıklayın
45
Submit: komutu ile çözüm
başlatılır
45
Sonuçları görmek için tıklayın.
45
Çözün sonuçlarının renkli görüntüsünü elde etmek için
seçiniz