广义相对论课堂15
等效原理和弯曲时空度规理论2
2011.11.4
课程安排
• 复习内容：引力红移实验、Einstein转盘、
等效原理之LPI
• 新内容：等效原理=>度规理论、LIF条件、
7.6节、Einstein方程简介
• 下次课：物理时间和长度、Schwarzchild度
规
h——>0
第二个信号发出=第一个信号到达
• Doppler effect
– 匀速
t
t'
P
• 加速
– v= g(h/c)
– SR匀加速系——
7.6节
P'
z
回顾
Einstein引力场=弯曲时空？
四点
• 转盘——非欧几何——空间弯曲
•
•
•
•
•
闵氏时空一体几何
引力时间膨胀=时间弯曲
潮汐引力
(我补充Schild)
前3不一定时空弯曲
Einstein转盘：数量杆数目
• L0=桌面测得外围周长
• L=转盘系测得自身盘周长
-1/2
 V 
  1 - 2 
 C 
量杆rod=ruler尺子
L0
L
 L 0，L  L 0  L 0
2

Einstein等效原理
WEP
LLI=Local Lorentz Invariance
LPI=Local Position Invariance
LPI=Local Position Invariance
• The outcome of any local nongravitational experiment is independent
of where and when in the universe it is
performed.
– 局域非引力同LLI——EEP vs SEP
– 何地——引力红移实验GRE
– 何时——物理学常数
– 上两者合起来——时空position
火箭红移实验
同时检验LPI
（自动）雷达异频收发机
○
EEP—》Metric Theory
Metric theory
• 1、Spacetime is endowed with a
symmetric metric gμν.
• 2、测地线
– The trajectories of freely falling test bodies
are geodesics of that metric.
• 3、local SR = LLI
– In local freely falling reference frames, the
non-gravitational laws of physics are those
written in the language of special relativity.
第一点：时空有一个度规结构
WEP+LLI
线元——度规
张量分量、函数
• Weinberg坐标变换讲
述——例：平面几何
极坐标——Hartle 2.6
– 习题7.7
张量的坐标变换定义
第一点之二：度规——坐标
度规张量g
度规分量
度规函数
度规=实对称矩阵
• 看成矩阵
• 实对称矩阵gμν=gνμ
– ds2=gμνdxαdxβ=1/2(gμν+gνμ) dxαdxβ+1/2(gμνgνμ)dxαdxβ
– 对角化归一化
– 习题7.8
– 四维时空独立分量几个？
• 10
度规函数相当于场的势函数
• 弱场
• 1+
• c=1
Metric theory讲了1，第8章2
下面讲3
• 1、Spacetime is endowed with a
symmetric metric gμν.
• 2、测地线
– The trajectories of freely falling test bodies
are geodesics of that metric.
• 3、local SR = LLI
– In local freely falling reference frames, the
non-gravitational laws of physics are those
written in the language of special relativity.
局部惯性系
Local Inertial Frame
物理意义
条件
局部惯性系意义
• WEP自由下落
– preferred轨迹——测地线§8
– 力学起点IF：
• LIF
– local time!
– 时间延伸——FFF——IF
• 测试粒子——实验——LLI
– =推导第一步
GR on SR
局部惯性系2个条件
Cartersian or Lorentz
• 条件一：g'μν(x'p)=ημν
– 局域平直时空
– 势的绝对值无意义——零点任意
• 条件二：
g
x 
– 意义：偏导数=势梯度=引力=0
 0
x x p
• 条件一+条件二！
• 非条件：二阶偏导数——不全为0
– 意义：20个独立的组合（第454页）曲率
Einstein方程
局部惯性系例子
•
•
•
•
•
极坐标(r=1,0)
习题2.7
球面球极坐标——例7.2
匀加速系(ξ1=0)
转动系——习题7.3
r=0
条件1
条件2
r=1
球面上的LIF
Cartersian
图直观地看(极点俯视),
x  acos , y  asin 
  x 2  y 2 a ,   t an-1 ( y/x)
d 
xdy  ydx
a x 2  y2
, d 
sin     3 / 3
ds 2  dx 2  dy 2  ......
一点(极点)满足2条件
xdy  ydx
a x 2  y2
EEP—》Metric Theory
推导第一步
WEP给出LIF
• WEP自由下落
– preferred轨迹——测地线§8
– 力学起点IF：
• LIF
– local time!
– 时间延伸——FFF——IF
• 测试粒子——实验——LLI
– =推导第一步
推导第二步
LLI强烈约束
• 二阶张量场为例
– ψ(1)、ψ(2)......
– φ(1)(P)η、φ(2)(P)η......
– φ(1)(P)标量场—— Point
• 例：boson、fermion、Faraday
推导第三步
LPI==》系数=1
• 第一种可能=最简单
– φ(A)(P)常数=》ψ(1)=φ(1)(P)η常系数
– 归一化——坐标+耦合常数（如单位电荷）rescaling
重新标度
• 第二种可能
– 所有标量场是不同比例的同一个标量场
• φ(A)(P)=C(A)φ(P)
– 例：精细结构常数、长度测量
– 归一化——单位重新定义=耦合常数rescaling+场“共
形”conformal变换 ψ   -1ψ  η
• 总结两种可能
ψ  η（LIFrescaling）
推导第四步
微分几何、张量分析
度规张量
ψ  η（LIF rescaling）
 g（任意坐标）
张量的坐标变换定义
Clifford Will
• Thorne学生——精确解
• Will, C.M., Theory and experiment in
gravitational physics, (Cambridge University
Press, 1993), 2nd edition图书馆有第1版
• The Confrontation between General Relativity
and Experiment
– Living Rev. Relativity, 9, (2006), 3
• http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3
– Living Reviews in Relativity
• Max Planck Institute for Gravitational Physics
• (Albert Einstein Institute)
• Am M¨uhlenberg 1, 14424 Golm, Germany
坐标
有印象就行
各种问题自然出现
（弯曲）时空的一般描述
Hartle第7章
也可
平直时空中的曲线、加速、转动系
（纯数学）空间
• 匀加速系(ξ1=0)
• 转动系——习题7.3
不存在全局惯性系
global
• 有局部，但与全局坐标变换非处处相同
• 全局笛卡尔直角坐标系——球面×
• 没有全局的参考系（平直时空的惯性观者
），但是有全局坐标系
• 参考系/观者=相同运动态的钟尺系统/网格=
• 微分几何数学可严格证明——有曲率则不
存在
全局坐标系及其由来
• 任意、只要提供了几何点的独一无二的标
记，例如任意单值函数
• 可以从几何或物理角度，例如双曲极坐标
、同一匀加速的观者群
• 活动标架－－一条世界线＝一个观者（已
经确定了时间轴）＋三个空间轴
– 例：匀加速系
• 特定情况从对称性、Einstein方程解得vs任
意
• 奇性——坐标vs几何
坐标的意义
• 不要太在意名称
– Hartel (7.4) vs (7.5)
– 一般约定
– 上下文
• 物理上某些坐标的意义在初始推导时设定
了，其他要从线元分析得出——第7.6节
光锥、世界线和因果结构7.5
• 局部惯性系－－平直时空
• 无穷小间隔——绝对
– 例如匀加速系
– 习题5.23(a)
•
•
•
•
类光－－局部光锥
类时－局部光锥内，速度小于当地光速
－世界线－固有时，公式
全局整体－－因果结构
7.6长度、面积、体积和四体积
重点
（固有）长度==>坐标意义！
长度、面积、体积和四体积
• 非对角－－Landau+Cook
• 对角＝正交
• 类似三维欧式空间面积和体积
– 矢量分析——直观Schey
– 例：球面面积、球体体积
• 固有三体积和四体积
– Jacobian
四体元
• 推导
– 标正基下——Jacobian
– 度规的行列式——度规的定义
• 张量密度——Weinberg
• 类时×类空
– 物理上无意义
– 四维Gauss/Stokes定理
类时间隔长度
固有时vs坐标时
线元意义？
取一个钟
坐标差值==》坐标意义——特定钟——
非同地
匀加速系坐标变换和线元
回想推导过程：坐标怎么来的
• ξ 0？
• ξ0=τ
– 线元==>坐标钟的固有时
– 不同坐标钟
• ξ1
钟固有时≠坐标时
匀加速系坐标网格
Einstein方程简介
• Riemann曲率张量R——》Ricci曲率标量—
—》Einstein张量G——g二阶偏导数
• 类似Maxwell方程组——Faraday——四势
矢量
引力时间膨胀
• 静态弱场——自由落体思想推论
• 一般度规
一般度规下引力时间膨胀
类空间隔长度
固有长度vs坐标长度
线元意义？
同时线/面
雷达回波测距
正交时空坐标系下
类空长度
• 同时线/面
• 雷达回波
– 光速为1