Flashcards: Valszám elmélet

Ha B1, B2 ... Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi) > 0 minden i = 1,2 .. n esetén, valamint A egy tetszőleges esemény, akkor (kép)

A teljes valószínűség tétele szerint az A esemény valószínűsége kiszámítható az egymást kizáró A*Bi események valószínűségeinek összegeként

Ha a B1, B2 ... Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi) > 0 minden i= 1,2 ..n esetén, valamint A egy tetszőleges pozitív valószínűségű esemény, azaz P(A) > 0, akkor (kép)

Az X diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeihez tartozó bekövetkezési valószínűségek összességét X eloszlásának nevezzükAzaz, ha X lehetséges értékei az xk, (k=1, 2..) számok, akkor X eloszlása a pk= P(X=xk) (k=1, 2...) bekövetkezési valószínűságek összessége

Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt az F függvényt, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz

F(x) = P(X<x) x ∈ R

A diszkrét v.v. azon xi értékre, amelyre pi maximális, az eloszlás móduszának nevezzük. Jele mod(x)

Azt az x értéket, amelyre P(X <= x) és P(X >= x) egyaránt legalább 1/2 az eloszlás mediánjának nevezzükJele: med(X)

Az eloszlásfüggvény helyei és a hozzá tartozó felvett értékek szorzatainak az összegét vesszük

A v.v. valószínűségekkel súlyozott átlagos értéke, azaz az eloszlás súlypontja

Legyen X valószínűsági változó, és k egy temészetes szám

Ekkor X k-adrendű momentuma vagy k-adik momentuma X k-adik hatványának a várható értéke

Ebből következik, hogy az első momentum maga a várható érték (első hatvány)

A valószínűségi változó értékeinek eltérését vizsgáljuk vele a várható értéktől

A v.v. várható értékétől való átlagos négyzetes eltérésének a gyöke

Végezzünk el 1 darab kísérletet a p valószínűségű A esemény megfigyelésére

Az X valószínűsági változó értéke legyen 1, ha A bekövetkezik és 0, ha nem következik be

Ekkor X az A esemény indikátor változója, eloszlása pedig (ábra)

Elvégzünk n darab független kísérletet p valószínűségű A esemény megfigyelésére

Az X v.v. értéke legyen a sikeres kísérletek száma (0, 1, 2 ...n)

Ekkor X binomiális eloszlású v.v. az n és p paraméterekkel, eloszlása pedig (ábra)

Várható érték és szórás (ábra)

A visszatevés nélküli mintavételnél a kihúzott selejtek számát adhatjuk meg

m darab elemből megkülönböztetünk s darabot

Kiválasztunk m elemből n darabot visszatevés nélkül, ahol n <= s és n <= m-s

X v.v. értéke legyen az n darab kiválasztottból a megkülönböztetett elemek száma, így X lehetséges értékei 0, 1, 2 ... n

Ekkor X hipergeometriai eloszlású v.v. az m, s és n paraméterekkel

Eloszlása, várható értéke és szórása az ábrán

Addig hajtunk végre kísérleteket p valószínűségű A esemény megfigyelésére, amíg az be nem következik

A szükséges kísérletek száma legyen X, a lehetséges értékek 1, 2 ... bármi

Ekkor X geometriai eloszlású v.v. p paraméterrel

Eloszlás, várható érték és szórás az ábrán

Előfordul, hogy sok kis valószínű eseménnyel kapcsolatban nem az érdekel, hogy mely események következnek be, hanem csak az, hogy közülük hány következik be

Ezt kifejezhetjük Poisson eloszlással akkor is, ha az események valószínűségei különbözőek

Példák:

-adott időintervallumon belüli bekövetkezések száma -> egy óra alatt érkező telefonhívások, öt perc alatt látott hullócsillagok

-adott térrészen történő -> sajtóhibák száma egy oldalon

-adott számú berendezés esetén adott idő alatt a meghibásodások száma

Eloszlás, várható érték és szórás az ábrán

Az X v.v. eloszlásfüggvényének nevezzük azt az F függvényt, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy az X v.v x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz (ábra)

Tulajdonságai:

0 <= F(x) <= 1

monoton növő

lim-inf F(x) = 0 lim+inf F(x) = 1

F(x) minden pontban balról folytonos

Legyen X a v.v. eloszlásfüggvénye F(x)Ha F(x) abszolút folytonos, akkor legyen f(x) = F'(x), ha pedig egy pontban F(x) nem differenciálható, ott f(x) értéke legyen 0

Az így definiált f(x) függvényt az X v.v. sűrűségfüggvényének nevezzük

Tulajdonságai:

f(x) >= 0

+ábra

X v.v. k-adik várható momentuma X^k várható értéke

ábra

A várható értéktől való négyzetes eltérés várható értéke

A v.v. (a;b) intervallumon vehet fel értékeket

Ha ezen belül veszünk egy (c;d) részintervallumot, akkor annak a valószínűsége, hogy a v.v. ebbe a részintervallumba eső értéket vesz fel, arányos az intervallum hosszával, de nem függ attól, hogy az (a;b) intervallumon belül hol helyezkedik el

Eloszlás-, és sűrűségfüggénye, valamint a várható érték és a szórás az ábrán

Az X v.v. λ > 0 paraméterű exponenciális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye (ábra)

eloszlás, várható é., szórás szintén ábra

Általában, ha nagy számú, egymástól független, vagy csak kevéssé függő, véletlenszerű tényező határoz meg egy jelenséget

Továbbá az egyes tényezők egyesével csak kis mértékben járulnak hozzá az ingadozáshoz, a tényezők hatásai összegződnek, akkor a jelenség eloszlása jól közelíthető normális eloszlással

X folyonos eloszlású v.v. m, σ (σ > 0) paraméterű nomrális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye (ábra)

Minden más is ábra

Ami kell hozzá: nem vehet fel negatív értéket, ismerjük a várható értéket, nem ismerjük az eloszlást

Ha X olyan nem negatív értékeket felvevő v.v., melynek van várható értéke, és az a egy tetszőleges pozitív valós szám, akkor

ábra

Kell hozzá: várható érték és szórás is

ábra

Van m termékünk, amiből megkülönböztetünk s darabot

Visszatevés nélkül kiválasztunk belőle n darabot

Ha az n kiválasztások száma s-hez és m-s-hez képest is "kicsi", akkor a megkülönböztetett termékek száma jól közelíthető az (n;p) paraméterű binomiális eloszlással, melyben p = s/m

Binomiálist akkor alkalmazunk, ha egy esemény bekövetkezésének p a valószínűsége és n-szer hatjuk végre a kísérletet Binom(n;p)

Bizonyos esetekben ez az eloszlás közelíthető az egyszerűbb Poisson-eloszlással is

Ehhez az kell, hogyha a p elég kicsi és az n elég nagy, akkor a binomiális eloszlást Poissonnal közelíthetjük

Legyenek X1, X2 ... Xn független, azonos eloszlású valószínűségi változók, létező és azonos várható értékkel és szórással

Ebben az esetben Xi v.változók összegének standardizáltja határesetben (n->∞) standard normális eloszlású

Az X1, X2 ... Xn v. változókat a valós számok halmazára képező függvényt statisztikai függvénynek (statisztikának nevezzük)

Az X1, X2 ... Xn mintaelemek mintaátlaga (empirikus közepe)

Képlete: ábra

Az X1, X2 ... Xn mintaelemek tapasztalati (vagy empirikus) szórásnégyzetén a mintaelemek mintaátlagától való eltéréseinek négyzetes közepét értjük

Az X1*, X2* ... Xn* rendezett minta mediánja

Legyenek X1, X2 ... Xn független, standard normális eloszlású v.változók

Ekkora a belőlük képzett

khín^2 = X1^2 + X2^2 ... + Xn^2

valószínűségi változó eloszlását n szabadságfokú khí négyzet eloszlásnak nevezzük

Adatai az ábrán

Az ellenhipotézis a feltételezett értéktől bármilyen irányú eltérést tartalmazhat

Az ellenhipotézis a feltételezett értéktől csak egyirányú eltérést tratalmaz