Engineering Dynamics
Chapter 11 : Kinematics of Particles
โดย สาขาวิชาวิศวกรรมเครื่ องกล สานักวิชาวิศวกรรมศาสตร์
Introduction
Mechanics (กลศาสตร์)
เป็ นสาขาหนึ่ ง ของวิ ท ยาศาสตร์ ก ายภาพที่
ศึกษาและพิจารณาถึงสภาพของวัตถุเมื่ อมี แรง
กระทาเป็ นผลให้วตั ถุน้ นั เคลื่อนที่ หรื อ หยุดนิ่ง
Introduction
Mechanics แบ่งออกเป็ น 2 ส่ วน
1. Statics
2. Dynamics
Introduction
Statics (สถิตยศาสตร์)
พิ จ ารณาถึ ง การสมดุ ล ของวัต ถุ ที่ อ ยู่ กับ ที่
หรื อ เคลื่ อ นที่ ด้ว ยความเร็ ว คงที่ เมื่ อ มี แ รงมา
กระทา
Introduction
Dynamics (พลศาสตร์)
พิ จ ารณาถึ ง สภาพการเคลื่ อ นที่ ข องวัต ถุ
ภายใต้แรงกระทา
Introduction
Dynamics แบ่งได้เป็ น 2 ส่ วน
1. Kinematics
2. Kinetics
Introduction
Kinematics (จลนคณิ ตศาสตร์)
เป็ นการศึกษาสภาพและเส้นทางการเคลื่อนที่
ของวัตถุ โดยไม่พิจารณาถึงแรงที่กระทาต่อวัตถุ
และสาเหตุที่ทาให้เกิดการเคลื่อนที่
กล่าวถึงความเชื่อมโยงกันของ ระยะทาง
ความเร็ ว และความเร่ ง
Introduction
Kinetics (จลนศาสตร์)
เป็ นการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดย
พิจารณาถึงแรงที่กระทาต่อวัตถุน้ นั ด้วย
กล่าวถึงความเชื่อมโยงกันของ แรง มวล และ
ความเร่ ง
แรง
การเคลื่อนที่ของวัตถุ
Introduction
ลักษณะของวัตถุที่สนใจ
1. Particle
2. Rigid Body
Introduction
Particle (อนุภาค)
วัต ถุ ใ ดๆ ที่ มี ม วล แต่ จ ะไม่ ค านึ ง ถึ ง ขนาด
และรู ปร่ าง ทาให้เราจะพิจารณาวัตถุน้ นั เป็ นจุด
หรื อพิจารณาที่จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุน้ นั
Introduction
Rigid Body (วัตถุคงรู ป)
วัต ถุ ใ ดๆ ที่ มี ม วล และค านึ ง ถึ ง ขนาดและ
รู ปร่ าง ดังนั้นเมื่ อมี การเคลื่ อนที่ การวิเคราะห์
ปั ญ หาจ าเป็ นต้อ งพิ จ ารณาการหมุ น รอบจุ ด
ศูนย์กลางมวลของวัตถุดว้ ย
Motion of Particles
Motion of Particles
1. Rectilinear Motion (การเคลื่อนที่เชิงเส้น)
2. Curvilinear Motion (การเคลื่อนที่ในแนวเส้นโค้ง)
Rectilinear Motion of Particles
Position
Velocity
Average velocity 
x
t
x
Instantaneous velocity  v  lim
t 0 t
Rectilinear Motion of Particles
Acceleration
v
Average acceleration 
t
v
t  0  t
Instantaneous acceleration  a  lim
Rectilinear Motion of Particles
• Consider particle with motion given by
x  6t 2  t 3
v
dx
 12t  3t 2
dt
dv d 2 x
a

 12  6t
dt dt 2
• at t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• at t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• at t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• at t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2
Determination of the Motion of a Particles
• Typically, conditions of motion are specified by the type of acceleration
experienced by the particle. Determination of velocity and position requires
two successive integrations.
• Three classes of motion may be defined for:
- acceleration given as a function of time, a = f(t)
- acceleration given as a function of position, a = f(x)
- acceleration given as a function of velocity, a = f(v)
Determination of the Motion of a Particles
• Acceleration given as a function of time, a = f(t):
v t 
t
dv
 a  f t 
dv  f t  dt
dv   f t  dt

dt
v
0
dx
 vt 
dt
x t 
dx  vt  dt
t
vt   v0   f t  dt
0
0
t
 dx   vt  dt
x0
t
xt   x0   vt  dt
0
0
• Acceleration given as a function of position, a = f(x):
v
dx
dx
or dt 
dt
v
v dv  f  x dx
a
v x 
dv
dv
or a  v  f  x 
dt
dx
x
 v dv   f  x dx
v0
x0
1 v x 2
2
 12 v02

x
 f  x dx
x0
Determination of the Motion of a Particles
• Acceleration given as a function of velocity, a = f(v):
dv
 a  f v 
dt
v t 

v0
dv
 dt
f v 
v t 

v0
t
dv
  dt
f v  0
dv
t
f v 
dv
v  a  f v 
dx
v t 
v dv


x t  x0  
v0 f v 
v dv
dx 
f v 
x t 
v t 
x0
v0
 dx 

v dv
f v 
Sample 11.2
Ball tossed with 10 m/s vertical velocity
from window 20 m above ground.
Determine:
• velocity and elevation above ground at
time t,
• highest elevation reached by ball and
corresponding time, and
• time when ball will hit the ground and
corresponding velocity.
Sample 11.2
SOLUTION:
• Integrate twice to find v(t) and y(t).
dv
 a  9.81m s 2
dt
v t 
t
vt   v0  9.81t
 dv    9.81dt
v0
0
m 
m


v t  10   9.81 2  t
s
dy
 v  10  9.81t
dt
y t 
t
 dy   10  9.81t dt
y0
0

s 
y t   y0  10t  12 9.81t 2
m
 m 
yt   20 m  10 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
Sample 11.2
• Solve for t at which velocity equals zero and evaluate
corresponding altitude.
vt   10
m 
m
  9.81 2  t  0
s 
s 
t  1.019s
m 2
 m 
y t   20 m  10 t   4.905 2 t
 s 
s 
m

 m
y  20 m  10 1.019 s    4.905 2 1.019 s 2
 s

s 
y  25.1m
Sample 11.2
• Solve for t at which altitude equals zero and
evaluate corresponding velocity.
m
 m 
yt   20 m  10 t   4.905 2 t 2  0
 s 
s 
t  1.243s meaningless 
t  3.28 s
m 
m
vt   10   9.81 2  t
s 
s 
v3.28 s   10
m 
m
  9.81 2  3.28 s 
s 
s 
v  22.2
m
s
Sample 11.3
Brake mechanism used to reduce gun
recoil consists of piston attached to barrel
moving in fixed cylinder filled with oil.
As barrel recoils with initial velocity v0,
piston moves and oil is forced through
orifices in piston, causing piston and
cylinder to decelerate at rate proportional
to their velocity; that is a = -kv
Determine v(t), x(t), and v(x).
Sample 11.3
SOLUTION:
• Integrate a = dv/dt = -kv to find v(t).
v t 
t
dv
dv
vt 
a
 kv


k
dt
ln
  kt


dt
v0
v v
0
0
vt   v0 e kt
• Integrate v(t) = dx/dt to find x(t).
dx
vt  
 v0 e  kt
dt
t
x t 
t
 1  kt 
 kt
xt   v0  e 
 dx  v0  e dt
 k
0
0
0

v
xt   0 1  e  kt
k

Sample 11.3
• Integrate a = v dv/dx = -kv to find v(x).
dv
a  v  kv
dx
dv  k dx
v
x
v0
0
 dv  k  dx
v  v0  kx
v  v0  kx
• Alternatively,
with
and
then

v
xt   0 1  e  kt
k

vt 
vt   v0 e kt or e kt 
v0
v  vt  

xt   0 1 
k 
v0 
v  v0  kx
Uniform Rectilinear Motion
For particle in uniform rectilinear motion, the acceleration is zero and
the velocity is constant.
dx
 v  constant
dt
x
t
x0
0
 dx  v  dt
x  x0  vt
x  x0  vt
Uniformly Accelerated Rectilinear Motion
For particle in uniformly accelerated rectilinear motion, the acceleration of
the particle is constant.
dv
 a  constant
dt
v
t
v0
0
 dv  a  dt
v  v0  at
v  v0  at
dx
 v0  at
dt
x
t
x0
0
 dx   v0  at dt
x  x0  v0t  12 at 2
x  x0  v0t  12 at 2
dv
v  a  constant
dx
v 2  v02  2a x  x0 
v
x
v0
x0
 v dv  a  dx
1
2
v 2  v02   ax  x0 
Motion of Several Particles: Relative Motion
• For particles moving along the same line, time
should be recorded from the same starting
instant and displacements should be measured
from the same origin in the same direction.
xB A  xB  x A  relative position of B
with respect to A
xB  x A  xB A
vB A  vB  v A  relative velocity of B
with respect to A
vB  v A  vB A
a B A  a B  a A  relative acceleration of B
with respect to A
aB  a A  aB A
Sample 11.4
Ball thrown vertically from 12 m level
in elevator shaft with initial velocity of
18 m/s. At same instant, open-platform
elevator passes 5 m level moving
upward at 2 m/s.
Determine (a) when and where ball hits
elevator and (b) relative velocity of ball
and elevator at contact.
Sample 11.4
SOLUTION:
• Substitute initial position and velocity and constant
acceleration of ball into general equations for
uniformly accelerated rectilinear motion.
v B  v0  at  18
yB 
m 
m
  9.81 2 t
s 
s 
y0  v0t  12 at 2
m 2
 m 
 12 m  18 t   4.905 2 t
 s 
s 
• Substitute initial position and constant velocity of
elevator into equation for uniform rectilinear motion.
vE  2
m
s
 m
y E  y0  v E t  5 m   2 t
 s
Sample 11.4
• Write equation for relative position of ball with respect to
elevator and solve for zero relative position, i.e., impact.


y B E  12  18t  4.905t 2  5  2t   0
t  0.39 s meaningless 
t  3.65 s
• Substitute impact time into equations for position of elevator
and relative velocity of ball with respect to elevator.
y E  5  23.65
y E  12.3 m
v B E  18  9.81t   2
 16  9.813.65
vB
E
 19.81
m
s
Motion of Several Particles: Dependent Motion
• Position of a particle may depend on position of one
or more other particles.
• Position of block B depends on position of block A.
Since rope is of constant length, it follows that sum of
lengths of segments must be constant.
x A  2 x B  constant (one degree of freedom)
• Positions of three blocks are dependent.
2 x A  2 xB  xC  constant (two degrees of freedom)
• For linearly related positions, similar relations hold
between velocities and accelerations.
dx
dx A
dx
 2 B  C  0 or 2v A  2v B  vC  0
dt
dt
dt
dv A
dvB dvC
2
2

 0 or 2a A  2a B  aC  0
dt
dt
dt
2
Sample 11.5
Pulley D is attached to a collar which
is pulled down at 3 cm/s. At t = 0,
collar A starts moving down from K
with constant acceleration and zero
initial velocity. Knowing that velocity
of collar A is 12 cm/s as it passes L,
determine the change in elevation,
velocity, and acceleration of block B
when block A is at L.
Sample 11.5
SOLUTION:
• Define origin at upper horizontal surface with
positive displacement downward.
• Collar A has uniformly accelerated rectilinear
motion. Solve for acceleration and time t to reach L.
v 2A  v A 02  2a A x A   x A 0 
2
 cm 
12   2a A 8 cm 
s 

aA  9
v A  v A 0  a At
12
cm
cm
9 2 t
s
s
t  1.333 s
cm
s2
Sample 11.5
• Pulley D has uniform rectilinear motion. Calculate
change of position at time t.
x D   x D 0  v D t
 cm 
x D   x D 0   3 1.333s   4 cm
 s 
• Block B motion is dependent on motions of collar
A and pulley D. Write motion relationship and
solve for change of block B position at time t.
x A  2 x D  x B   x A 0  2 x D 0   x B 0
x A   x A 0   2xD   xD 0   xB   xB 0   0
8 cm  24 cm  xB   xB 0   0
xB  xB 0  16 cm
xB  xB 0  16 cm 
Sample 11.5
• Differentiate motion relation twice to develop
equations for velocity and acceleration of block B.
x A  2 x D  x B  constant
v A  2v D  v B  0
 cm   cm 
12   2 3   v B  0
s   s 

cm
s
cm
vB  18

s
vB  18
a A  2a D  a B  0
 cm 
 9 2   vB  0
 s 
cm
s2
cm
aB  9 2 
s
a B  9
จบหัวข้อ 11.1-11.6
Motion
1. Rectilinear Motion
2. Curvilinear Motion
- Rectilinear Components
- Tangential & Normal Components
- Radial & Transverse Components
Curvilinear Motion: Position, Velocity & Acceleration
• Particle moving along a curve other than a straight line
is in curvilinear motion.
• Position vector of a particle at time t is defined by a
vector between origin O of a fixed reference frame and
the position occupied by particle.
• Consider particle which occupies position P defined


by r at time t and P’ defined by r  at t + t,


r dr

v  lim

dt
t 0 t
 instantaneous velocity (vector)
s ds

dt
t 0 t
v  lim
 instantaneous speed (scalar)
Curvilinear Motion: Position, Velocity & Acceleration

v
• Consider velocity of particle at time t and velocity

v  at t + t,


v d v

a  lim

dt
 t  0 t
 instantaneous acceleration (vector)
• In general, acceleration vector is not tangent to
particle path and velocity vector.
Derivatives of Vector Functions


• Let P u , Q u  be a vector function of scalar variable u,
• Let f u  be a scalar function of scalar variable u




dP
P
Pu  u   Pu 
 lim
 lim
du u 0 u u 0
u
• Derivative of vector sum,

 

d P  Q  dP dQ


du
du du
• Derivative of product of scalar and vector functions,



d  f P  df
dP

P f
du
du
du
• Derivative of scalar product and vector product,

 

d P  Q  dP   dQ

Q  P
du
du
du

 



d P  Q  dP
dQ

Q  P
du
du
du
Rectangular Components of Velocity & Acceleration
• When position vector of particle P is given by its
rectangular components,




r  xi  y j  zk
• Velocity vector,



 dx  dy  dz 
v  i  j  k  xi  y j  zk
dt
dt
dt



 vx i  v y j  vz k
• Acceleration vector,



 d 2 x d 2 y  d 2 z 
a  2 i  2 j  2 k  xi  y j  zk
dt
dt
dt



 ax i  a y j  az k
Rectangular Components of Velocity & Acceleration
• Rectangular components particularly effective
when component accelerations can be integrated
independently, e.g., motion of a projectile,
a x  x  0
a y  y   g
a z  z  0
with initial conditions,
v x 0 , v y  , v z 0  0
x0  y 0  z 0  0
0
Integrating twice yields
v x  v x 0
x  v x 0 t
v y  v y   gt
0
y  v y  y  12 gt 2
0
vz  0
z0
• Motion in horizontal direction is uniform.
• Motion in vertical direction is uniformly accelerated.
• Motion of projectile could be replaced by two
independent rectilinear motions.
Motion Relative to a Frame in Translation
• Designate one frame as the fixed frame of reference.
All other frames not rigidly attached to the fixed
reference frame are moving frames of reference.
• Position vectors for particles A and B with respect to


the fixed frame of reference Oxyz are rA and rB .

r
• Vector B A joining A and B defines the position of
B with respect to the moving frame Ax’y’z’ and

 
rB  rA  rB A
• Differentiating twice,




vB  v A  vB A vB A  velocity of B relative to A.




a B  a A  a B A a B A  acceleration of B relative
to A.
• Absolute motion of B can be obtained by combining
motion of A with relative motion of B with respect to
moving reference frame attached to A.
Tangential and Normal Components
• Velocity vector of particle is tangent to path of
particle. In general, acceleration vector is not.
Wish to express acceleration vector in terms of
tangential and normal components.


• et and et are tangential unit vectors for the
particle path at P and P’. When drawn with
  
respect to the same origin, et  et  et and
 is the angle between them.
et  2 sin  2 

et
sin  2  

lim
 lim
en  en
 0 
 0  2

det

en 
d
Tangential and Normal Components
• With the velocity vector expressed as
the particle acceleration may be written as



de dv 
de d ds
 dv dv 
a
 et  v
 et  v
dt dt
d ds dt
but  dt dt
det 
ds
 en
 d  ds
v
d
dt
After substituting,
 dv  v 2 
a  et  en
dt

dv
at 
dt
an 
v2

• Tangential component of acceleration reflects
change of speed and normal component reflects
change of direction.
• Tangential component may be positive or
negative. Normal component always points
toward center of path curvature.
Tangential and Normal Components
• Relations for tangential and normal acceleration
also apply for particle moving along space curve.
 dv  v 2 
a  et  en
dt

dv
at 
dt
an 
v2

• Plane containing tangential and normal unit
vectors is called the osculating plane.
• Normal to the osculating plane is found from

 
eb  et  en

en  principalnormal

eb  binormal
• Acceleration has no component along binormal.
Radial and Transverse Components
• When particle position is given in polar coordinates,
it is convenient to express velocity and acceleration
with components parallel and perpendicular to OP.


r  re r


de
der 

 e
  er
d
d


der der d  d

 e
dt
d dt
dt


de de d
 d

  er
dt
d dt
dt
• The particle velocity vector is

d
e
d
dr
dr 
d 



v  rer   er  r r  er  r
e
dt
dt
dt
dt
dt


 r er  r e
• Similarly, the particle acceleration vector is
d  
 d  dr 
a   er  r
e 
dt  dt
dt 


d 2 r  dr der dr d 
d 2 
d de
 2 er 

e  r 2 e  r
dt dt dt dt
dt dt
dt
dt


 r  r 2 er  r  2r e


Radial and Transverse Components
• When particle position is given in cylindrical
coordinates, it is convenient to express the
velocity and acceleration
vectors using the unit

 
vectors eR , e , and k .
• Position vector,



r  R e R z k
• Velocity vector,


 dr  


v
 R eR  R e  z k
dt
• Acceleration vector,


 dv

2 







a
 R  R eR  R  2 R e  z k
dt


Sample 11.10
SOLUTION:
• Calculate tangential and normal
components of acceleration.
• Determine acceleration magnitude and
direction with respect to tangent to
curve.
A motorist is traveling on curved
section of highway at 88 m/s. The
motorist applies brakes causing a
constant deceleration rate.
Knowing that after 8 s the speed has
been reduced to 66 m/s, determine
the acceleration of the automobile
immediately after the brakes are
applied.
Sample 11.10
SOLUTION:
• Calculate tangential and normal components of
acceleration.
v 66  88 m s
m
at 

 2.75 2
t
8s
s
an 
v2


88 m s 2
2500 m
 3.10
m
s2
• Determine acceleration magnitude and direction
with respect to tangent to curve.
m
2
2
2
2
a

4
.
14
a  at  an   2.75  3.10
s2
  tan 1
an
3.10
 tan 1
at
2.75
  48.4
Sample 11.12
The rotation of the 0.9 m arm OA about O is
defined by the relation   0.15t2 where  is
expressed in radians and t in seconds. Collar B
slides along the arm in such a way that its
distance from O is r = 0.9-0.12t2, where r is
expressed in meters and t in seconds. After the
arm OA has rotated through 30o , determine
(a) the total velocity of the collar,
(b) the total acceleration of the collar,
(c) the relative acceleration of the collar with
respect to the arm
Sample 11.12
SOLUTION:
• Evaluate time t for  = 30o.
  0.15t 2
 30  0.524 rad
t  1.869 s
• Evaluate radial and angular positions, and first
and second derivatives at time t.
r  0.9  0.12 t 2  0.481 m
r  0.24 t  0.449 m s
r  0.24 m s 2
  0.15 t 2  0.524 rad
  0.30 t  0.561rad s
  0.30 rad s 2
Sample 11.12
• Calculate velocity and acceleration.
vr  r  0.449 m s
v  r  0.481m 0.561rad s   0.270 m s
v
  tan 1 
v  vr2  v2
vr
v  0.524 m s
  31.0
ar  r  r 2
 0.240 m s 2  0.481m 0.561rad s 2
 0.391m s 2
a  r  2r


 0.481m  0.3 rad s 2  2 0.449 m s 0.561rad s 
 0.359 m s 2
a  ar2  a2
a
  tan 1 
ar
a  0.531m s
  42.6
Sample 11.12
• Evaluate acceleration with respect to arm.
Motion of collar with respect to arm is rectilinear
and defined by coordinate r.
a B OA  r  0.240 m s 2
จบหัวข้อ 11.9-11.14
จบเนื้อหาของบทที่ 11
Quiz 1
มอเตอร์ ไซด์ เริ่มจากหยุดนิ่งที่ s = 0 โดยมีการเปลีย่ นแปลงความเร็วเมื่อเวลาเปลีย่ นไป
แสดงดังกราฟ จงหาความเร่ งและตาแหน่ งของรถคันนีเ้ มื่อเวลา t = 8 และ t = 12 s
Quiz 2
ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่ งและระยะทาง (a-s) ของรถจี๊ปที่เคลื่อนที่เป็ นแนวเส้นตรง
ในช่วง 300 m แรกแสดงในรู ปด้านล่าง จงหาสมการของความเร็ วที่เป็ นฟั งก์ชนั ของ
ระยะทาง และวาดกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ วและระยะทาง (v-s) ของ
รถจี๊ปคันนี้
Quiz 3
Block C เคลื่อนที่ลงด้วยความเร็ วคงที่ 0.6 m/s จงหา
(a) ความเร็ วของ Block A
(b) ความเร็ วของ Block D