‫יסודות מבני נתונים – סמסטר א' – תשע"א‬
)AVL( ‫ – עצי חיפוש בינארי מאוזנים‬6 ‫תרגול‬
Height-Balance
Property
For every internal node v of a tree T, the height of the children nodes of v differ
by at most 1.
AVL Tree
Any binary search tree that satisfies the Height-Balance property. Thus, it has
(log n) height, which implies (log n) worst case search and insertion times.
AVL Interface
The AVL interface supports the following operations in O(log n):
insert, search, delete, maximum, minimum, predecessor and successor.
AVL Height
Lemma: The height of an AVL tree storing n keys is O(logn)
Example of AVL:
44
4
2
17
78
1
3
2
32
88
50
1
48
62
1
1
Question 1
Insert the following sequence of elements into an AVL tree, starting with an empty tree: 10, 20,
15, 25, 30, 16, 18, 19.
‫יסודות מבני נתונים – סמסטר א' – תשע"א‬
Solution:
Delete 30 in the AVL tree that you got.
K2
K3
K1
K1
K2
Double
rotation
Question 2
Join (T1, x, T2)
T1 and T2 are AVL trees (with h field in every node).
x is an element and T1 < x < T2
Efficiently merge T1, x and T2 into an AVL tree.
K3
‫יסודות מבני נתונים – סמסטר א' – תשע"א‬
Solution:
Let n1 and n2 be the number of nodes in T1 and T2 respectively.
1. In case height(T1) = height(T2) return the tree:
2. Without loss of generality we will examine the case where height(T1) > height(T2):
o Find in O(log n1 – log n2) the right most sub-tree of T1 which has a height of
height(T2). We will refer to this sub-tree as Ty, as y is the root.
o Replace y by the following:
x
y
T1
Ty
y
Ty
o
T2
Follow the path from x to the root of T1 and rotate the sub-tree (if needed) as the
sub-tree gained one to its height, just like in insertion.
Complexity of searching node y = O(|height(T1) - height(T2)|) = O( log n1-log n2 )
Complexity of the merge itself = O(|height(T1) - height(T2)|) = O( log n1-log n2 )
Total time complexity: O(|height(T1) - height(T2)|) = O( log n1-log n2 )
Question 3
Given an AVL tree T, is it always possible to build the same tree by a sequence of BST-insert
and delete operations (with no rotations)?
‫יסודות מבני נתונים – סמסטר א' – תשע"א‬
Solution
Yes, by inserting the nodes according to BFS (Breadth first search) traversal.
rebuildAVL(AVL T)
queue Q ← BFS(T)
newT ← new BST
while( ! Q.isEmpty())
n ← Q.dequque()
newT.insert(n)
Question 4
A cosmetician wants to represent a list of her clients’ records (by their ID).
For each client we would like to mark whether he is a man or she is a woman.
Suggest a data structure that supports the following operations in O(log n) time in the worst case,
where n is the number of men and women in the data structure when the operation is executed:
1. Insert(k,c) - Insert a new client c with id = k to the data structure, at first mark the client
as a woman.
2. Update(k) – Update client with ID = k to be a man.
3. FindDiff(k) – Find the difference between the number of women and the number of men
(#of women - #of men) among all the clients with ID smaller than k.
Solution:
The data structure is an AVL tree T where each node x represents a person and has the following
fields (in addition to the regular fields of a node in an AVL tree):
1. x.ID – ID number (the search key for T)
2. x.client – the client record
3. x.gender – 1 (woman) or 0 (man)
4. x.women- the number of all women in the sub tree rooted at x (including x).
5. x.men - the number of all men in the sub tree rooted at x (including x).
Insert (k, c)








create new node x
x.ID = k
x.client = c
x.gender = 1 //(woman)
x.women = 1 // (a new node is always inserted as a leaf)
x.men = 0
AVL-Insert(x)
for every node v in the path from x to the root do:
v.women = v.women + 1
Time complexity : O(logn)
O(1)
O(logn)
‫יסודות מבני נתונים – סמסטר א' – תשע"א‬
‫)‪O(logn‬‬
‫)‪Update (k‬‬
‫)‪ x = AVL-search(k) // O(logn‬‬
‫‪ if x.gender = 1‬‬
‫)‪x.gender = 0 (man‬‬
‫)‪O(1‬‬
‫‪x.women = x.women – 1‬‬
‫‪x.men = x.men + 1‬‬
‫‪for every node v in the path from x to the root do:‬‬
‫‪v.women = v.women – 1‬‬
‫‪v.men = v.men +1‬‬
‫)‪Time complexity : O(logn‬‬
‫)‪O(logn‬‬
‫)‪FindDiff (k‬‬
‫‪ sum-m = 0‬‬
‫)‪O(1‬‬
‫‪ sum-w = 0‬‬
‫‪ search for a node with ID = k:‬‬
‫)‪while (T != NULL‬‬
‫) ‪if (T.ID < k‬‬
‫‪sum-m += T.left.men‬‬
‫‪sum-w += T.left.women‬‬
‫)‪if (T.gender = 1‬‬
‫‪sum-w = sum-w + 1‬‬
‫‪else‬‬
‫‪sum-m = sum-m + 1‬‬
‫‪T = T.right‬‬
‫‪else‬‬
‫‪T = T.left‬‬
‫|‪ return |sum-w – sum-m‬‬
‫)‪Time complexity : O(logn‬‬
‫שאלה ‪( 5‬אם יישאר זמן בתרגול)‪:‬‬
‫רוצים לבנות מבנה נתונים המתחזק אוסף 𝐒 של מפתחות ומורכב מ‪ 𝒎 -‬קבוצות 𝒊𝑺 𝒎 ≤ 𝒊 ≤ 𝟏‪ ,‬כל קבוצה בת לכל‬
‫היותר 𝒏 מפתחות‪ .‬ניתן להניח שכל המפתחות שונים זה מזה‪( .‬ראו דוגמה)‪.‬‬
‫על המבנה לתמוך בכל הפעולות הבאות בזמנים הנקובים‪ .‬כמות הזיכרון המותרת )𝒏𝒎(𝑶‪.‬‬
‫תיאור‬
‫פעולה‬
‫)‪ Insert(i,k‬הכנס את מפתח 𝒌 לתוך 𝒊𝑺‬
‫זמן‬
‫)𝑚 ‪𝑂(log 𝑛 + log‬‬
‫)‪ Delete(i,k‬מחק את המפתח 𝒌 מקבוצה 𝒊𝑺 (ניתן להניח כי‬
‫𝒌 שייך לקבוצה 𝒊𝑺)‬
‫)‪O(1‬‬
‫)(‪ MinMax‬מצא את המפתח המינימלי מבין המפתחות‬
‫המקסימליים 𝒎𝑴 ‪ 𝑴𝟏 , … ,‬של 𝒎𝑺 ‪𝑺𝟏 , … ,‬‬
‫(מצויינים ב * בדוגמה למטה)‬
‫)(‪ GlobalMax‬מצא את המפתח המקסימלי מבין כל מפתחות )‪O(1‬‬
‫𝑺‪.‬‬
‫)𝑚 ‪𝑂(log 𝑛 + log‬‬
‫ראו דוגמה‪.‬‬
‫יסודות מבני נתונים – סמסטר א' – תשע"א‬
‫דוגמה‪ :‬אם לאחר פעולות הכנסה ומחיקה הגענו למצב הזה‪:‬‬
‫‪𝑆1‬‬
‫‪𝑆3‬‬
‫‪*8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑆2‬‬
‫‪*5‬‬
‫‪*7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ MinMax‬יחזיר את המפתח ‪ 5‬שהוא המפתח המינימלי מבין כל המפתחות המקסמלים (‪ 7 ,5‬ו ‪- 8‬מסומנים ב *)‪.‬‬
‫‪ GlobalMax‬יחזיר את המפתח ‪ ,8‬שערכו הוא הגדול ביותר מהמפתחות בכל מבנה הנתונים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫תאור מבנה הנתונים‪:‬‬
‫מבנה הנתונים יכלול את הרכיבים הבאים‪:‬‬
‫‪ ‬עץ ‪ Tsets AVL‬הממוין עפ"י האינדקסים של ‪ m‬הקבוצות‪.‬‬
‫‪ ‬עבור ‪ ,1 ≤ i ≤ m‬מכל קודקוד בעל אינדקס ‪ i‬בעץ ‪ Tsets‬יהיה מצביע לעץ ‪ TSi AVL‬המחזיק את איברי‬
‫הקבוצה ‪.Si‬‬
‫‪ ‬עץ ‪ AVL‬נוסף ‪ Tmax‬המכיל רק את האיברים המקסימאליים בכל קבוצה‪.‬‬
‫‪ ‬שני משתני עזר ‪ GMax‬ו – ‪ MMax‬שיחזיקו בכל רגע נתון את הערך המקסימאלי והמינימאלי של העץ‬
‫‪.Tmax‬‬
‫תיאור הפעולות‪:‬‬
‫)‪ – Insert(i,k‬נמצא את הקודקוד עם האינדקס ‪ i‬בעץ ‪ ,Tsets‬ניגש בעזרת המצביע שבקודקוד זה לעץ ‪ ,TSi‬נכניס את‬
‫האיבר ‪ k‬לעץ ‪ .TSi‬אם האיבר ‪ k‬הוא המקסימום החדש של הקבוצה ‪ ,Si‬נמחק מהעץ ‪ Tmax‬את המקסימום הישן של‬
‫הקבוצה ‪ Si‬ונכניס את המקסימום החדש‪ ,‬נעדכן את ‪ GMax‬ו – ‪ MMax‬במידת הצורך‪.‬‬
‫הפעולות על העצים ‪ Tsets‬ו ‪ Tmax -‬ועדכון המצביעים ייקחו )‪.O(log m‬‬
‫הפעולות על העץ ‪ TSi‬ייקחו )‪.O(log n‬‬
‫בסה"כ נקבל זמן ריצה של )‪.O(log m +log n‬‬
‫)‪ – Delete(i‬בדומה להכנסה‪ ,‬נמצא את הקודקוד עם האינדקס ‪ i‬בעץ ‪ ,Tsets‬ניגש בעזרת המצביע שבקודקוד זה לעץ‬
‫‪ ,TSi‬נמצא את ‪ k‬בעץ ‪ TSi‬ונמחק אותו מעץ זה‪ .‬אם מחקנו את המקסימום של הקבוצה ‪ ,Si‬נמצא את המקסימום החדש‬
‫של קבוצה זו‪ .‬נמחק מהעץ ‪ Tmax‬את המקסימום הישן של ‪ Si‬ונכניס את המקסימום החדש‪ ,‬נעדכן את ‪ GMax‬ו –‬
‫‪ MMax‬במידת הצורך‪.‬‬
‫הפעולות על העצים ‪ Tsets‬ו ‪ Tmax -‬ועדכון המצביעים ייקחו לכל היותר )‪.O(log m‬‬
‫הפעולות על העץ ‪ TSi‬ייקחו )‪.O(log n‬‬
‫בסה"כ נקבל זמן ריצה של )‪.O(log m +log n‬‬
‫)(‪ – MinMax‬נחזיר את הערך שבמשתנה ‪.GMax‬‬
‫)(‪ – GlobalMax‬נחזיר את הערך שבמשתנה ‪.MMax‬‬