‫מבני נתונים ‪ -‬סמסטר ב' תשע"ד‬
‫תרגול מס' ‪ :1‬מבני נתונים – מבוא‬
‫כללי‪:‬‬
‫בקורס זה נלמד על מבני נתונים שונים אשר משמשים לבניית אלגוריתמים יעילים למגוון בעיות‪ .‬בבואנו‬
‫לתכנן אלגוריתם הדורש פעולות על קבוצות נרצה להשתמש במבנה נתונים המתאים לנו מבחינת סוג‬
‫הפעולות אשר הוא תומך בהן‪ ,‬ומבחינת יעילות (זמן ריצה‪ ,‬מקום בזיכרון)‪.‬‬
‫מבני נתונים הידועים לנו עד כה‪ :‬מערכים‪ ,‬עצים‪ ,‬תורים‪ ,‬מחסניות‪ ,‬רשימות‪ .‬למשל כאשר רצינו לבצע‬
‫חיפוש יעיל על קבוצת מספרים השתמשנו במערך ממוין והפעלנו עליו חיפוש בינרי‪.‬‬
‫החומר התיאורטי יוצג בהרצאות‪ ,‬כאשר בתרגולים נתרכז בפתרון בעיות בעזרת מבנים שונים‪.‬‬
‫הצורך במבני נתונים‪:‬‬
‫‪ .1‬מאפשרים תכנון ומימוש של בעיות מורכבות‪.‬‬
‫‪ .2‬בעזרתם ניתן ללמוד על תכונות שונות של הקבוצה‪ ,‬תכונות לא בולטות לעין‪.‬‬
‫‪ .3‬תכנון נכון יכול להביא לכתיבת תכניות באופן פשוט‪ ,‬יעיל ומדויק (ראה דוגמא )‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫שני אנשים ‪ S‬ו ‪ Y‬קיבלו עבודה בתור מזכירים‪ .‬במסגרת העבודה כל אחד אחראי על ארון תיקים אישיים‪.‬‬
‫‪ ‬סדר יומו של ‪ S‬בהינתן תיק אישי חדש היה פשוט לזרוק את התיק לתוך המגירה‪.‬‬
‫‪ ‬סדר יומו של ‪ Y‬בהינתן תיק אישי חדש היה להכניסו למקומו לפי סדר אלף‪-‬בית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כמה זמן עבד כל אחד מהם??‬
‫ל ‪ S‬העבודה הייתה מאוד פשוטה‪ ,‬למעשה הוא לא עבד בכלל!‬
‫לעומתו ‪ Y‬היה צריך למצוא את מיקומו של התיק החדש ורק אז להכניסו למקום!‬
‫‪ ‬האם העבודה של ‪ S‬יעילה יותר??‬
‫התשובה לשאלת היעילות תלויה בהמשך‬
‫‪ ‬אם בזה סיימנו את העבודה‪ ,‬אז עבודת ‪ S‬יעילה יותר!‬
‫‪ ‬אבל מה אם יבקשו תיק מתוך האוסף???‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫איזה עבודה תהיה יעילה יותר במקרה שיבקשו גם תיקים מתוך האוסף??‬
‫ברור ש ‪ Y‬יוכל לשלוף את התיק מהר יותר!‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ומה היה קורה אם היו מבקשים תיק לפי מספר ת‪.‬ז‪??.‬‬
‫במקרה זה לא יהיה הבדל!‬
‫כל זאת בכלל בלי להתייחס למקום‬
‫‪ ‬איזה צורת ארגון דורשת יותר מקום??‬
‫‪ S ‬יכול להשתמש במגירה אחת גדולה עבור כל התיקים‪.‬‬
‫‪ ‬אינטואיטיבית נראה ש‪ Y -‬צריך יותר מקום (חוצצים או מגירה לכל אות)‪ .‬אך האם זה באמת‬
‫נחוץ?‬
‫הנקודה החשובה בדוגמה זו היא שיעילות נקבעת לפי צורת ארגון הנתונים‪ .‬צורת הארגון‪ ,‬אם היא‬
‫מתוכננת כראוי‪ ,‬צריכה להיות מותאמת לסוג הבעיה‪.‬‬
‫בקורס זה‪ ,‬נרצה לחקור את צורות הארגון השונות כדי שבבוא העת נוכל להתאים מבנה נכון לכל בעיה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ סמסטר ב' תשע"ד‬- ‫מבני נתונים‬
‫ על מספר הפעולות האטומיות שמבצע‬,‫ באמצעות חסמים‬,‫זמן הריצה של אלגוריתם הוא הערכה‬
.‫ כפונקציה של גודל הקלט‬,‫האלגוריתם במהלך פעולתו‬
‫ שכן משך הזמן לביצוע פעולות משתנה‬,)'‫ דקות וכו‬,‫אין בוחנים את זמן הריצה ביחידות זמן (שניות‬
‫או מספר פעולות‬/‫ מספר פעולות ו‬,‫ אלא ביחידות מדידה מוחלטות (כגון‬,‫מסביבת ריצה אחת לשנייה‬
.‫ נוטים להתעלם מקבועים בעת התייחסות לזמן ריצה של אלגוריתם‬,‫ לכן‬.)‫השוואה‬
Question 1
An array of n elements is given, how many comparisons between elements in the
array are needed in order to find the maximum element?
Solution:
FindMax(A)
n ← size(A)
max ← A[0]
for i ← 1 to n-1
if A[i] > max then
max ← A[i]
The for-loop is executed n-1 times, in each ‘max’ is compared to the next element in
A, thus the number of comparisons is n-1.
n-1
Question 2
An array of n elements is given, how many comparisons between two elements in the
array are needed in order to find both the largest and the second largest number?
Solution 1:
Execute the algorithm described in question 1 twice. Thus n-1 comparisons are
needed in order to find the largest and n-2 in order to find the second largest.
Find2Largest(A)
n ← size(A)
max1 ← A[0]
index ← 0
//index of maximum
for i ← 1 to n-1 then
if A[i] > max1
max1 ← A[i]
index ← i
A' ← A - A[index]
max2 ← A'[0]
for i ← 1 to n-2
if A'[i] > max2
max2 ← A'[i]
2
‫ סמסטר ב' תשע"ד‬- ‫מבני נתונים‬
The first for-loop is executed n-1 times and the second is executed n-2 times.
Total = n-1 + n-2 = 2n - 3
2n-3
Solution 2:
We build a tournament tree. We place all the n elements in the leaves and as in tennis
tournament, in each round several pairs “play” against each other and only the larger
element of each pair make it to the next round. The winner is the largest one, and the
second largest is the largest among the elements who “competed” against the winner,
there are log2 n such elements.
Example:
The largest element is 'max'
The second largest element is max{ x1, x2, x3 }
1. Finding the largest:
n/21 + n/22 + n/23 + ... + n/2k =
n/2 + n/4 + n/8 + ... + 1 = n-1 .
2. Finding the second largest:
Use the algorithm shown in question 1 to find the largest among the (log2 n)
numbers who "competed" against the maximum,
thus (log2 n - 1) comparisons are needed.
If we sum (1) and (2): n - 1 + log n - 1 = n + log2 n - 2 (instead of 2n – 3)
n + log2 n - 2
3
‫ סמסטר ב' תשע"ד‬- ‫מבני נתונים‬
Question 3
What will be the value of k after each execution of the following code section?
Provide a rough approximation on the runtime of the following code sections
(disregarding constants).
a.
k←0
for i ← 1 to n
k++
b.
k←0
for i ← 1 to n
for j ← 1 to n
k++
c.
k←0
for i ← 1 to n
for j ← 1 to i
k++
Solution:
a. The loop is executed n times, each time k is incremented.
k=n
runtime ≈ n
b. The main loop is executed n times.
The inner loop is executed n times for each execution of the main loop,
in each execution k is incremented.
k = n2
runtime ≈ n2
c. The main loop is executed n times.
The inner loop is executed i times for the i’th iteration of the main loop,
in each execution k is incremented.
4
‫ סמסטר ב' תשע"ד‬- ‫מבני נתונים‬
k =1+2+…+n=
n(n  1)
2
runtime ≈ n2
Question 4
What is the number of multiplications in the following code?
Provide a rough approximation on the runtime of the following code (disregarding
constants).
k←1
while (k < n)
k←k*2
Solution:
Let i be the number of loop executions.
The loop ends when 2i ≥ n, thus executed ⌈ log2 n ⌉ times, each time k is multiplied
once.
Number of multiplications: ⌈ log2 n ⌉
Runtime ≈ log2 n
Question 5
What is the number of multiplications in the following code.
Provide a rough approximation on the runtime of the following code (disregarding
constants).
for i ← 1 to n
k←1
while (k < i)
k ← k*2
Solution:
The while-loop is executed ⌈ log2 i⌉ times for each i ( i = 1..n), each time k is
multiplied by two exactly once, therefore the number of multiplications is:
⌈ log 1 ⌉ + ⌈ log 2 ⌉ + ⌈ log 3 ⌉ + … + ⌈ log2 n ⌉≈
log2 1 + log2 2 + log2 3 + … + log2 n = log2(1*2*3*…*n) = log2 (n!)
Consequently, the runtime is roughly log2(n!).
Question 6
Evaluate the number of multiplications in the following code (assume that n=2k):
5
‫ סמסטר ב' תשע"ד‬- ‫מבני נתונים‬
my_power( x, n)
if (n=0) return 1
if (n=1) return x
return my_power(x, n/2)*my_power(x, n/2)
How can we reduce this number?
Solution:
The number of multiplications equals to the number of the inner nodes in the
recurrence tree:
1+2+4+8…+n/2 = n-1
Improvement:
Evaluate the number of multiplications in the following code:
my_power( x, n)
if (n=0) return 1
if (n=1) return x
temp ← my_power(x, n/2)
return temp*temp
Solution:
For each recursive call of the improved function my_power, we have only one new
recursive call (and not two as in the previous code). So, the recurrence tree becomes a
path of length log n (every node has only one child). As we saw before, the number of
multiplications equals to the number of inner nodes in the recurrence tree, that is for
the improved code, log n – 1.
log n – 1
6
‫ סמסטר ב' תשע"ד‬- ‫מבני נתונים‬
Question 7
Describe an algorithm that, given a sorted array A of n integers and an integer x,
determines whether or not there exist two elements in A whose sum is exactly x, by
doing at most 3n comparisons between elements.
Solution:
TwoSum(A, x)
p←0
q ← n-1
while (p < q)
if (A[p]+A[q] = x)
return "Yes"
else if (A[p]+A[q] < x)
p++
else
q-return "No"
At each iteration of the while loop, either p is incremented or q is decremented. Hence
the number of iterations is bounded by n-1, in every iteration we do at most 3
comparisons (one to check the condition of the while loop, and two more inside the
loop).
Example:
x = 25,
A=
1
5
6
7
10
11
12
20
30
31
p
1
q
5
6
7
10
11
12
20
30
p
1
q
5
6
7
10
11
12
20
p
1
31
30
31
30
31
q
5
6
7
10
11
p
12
20
q
Return "Yes".
7
‫מבני נתונים ‪ -‬סמסטר ב' תשע"ד‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫נתון מערך ‪ A‬ובו ‪ n‬מספרים‪ .‬הראה כיצד ניתן למצוא את המינימום ואת המקסימום של ‪ A‬באמצעות לא‬
‫יותר מאשר ‪ 3n/2‬השוואות‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הרעיון‪ :‬נחלק את המספרים לזוגות‪ ,‬בכל זוג נשים את המספר הקטן ב – ‪ A1‬ואת הגדול ב – ‪ ,A2‬כך‬
‫מובטח כי המינימום והמקסימום של ‪ ,A‬הם המינימום והמקסימום של ‪ A1‬ו – ‪ A2‬בהתאמה‪.‬‬
‫)‪Min_and_Max(A,n‬‬
‫]‪A1[n/2],A2[n/2‬‬
‫‪for i←1 to n/2‬‬
‫)]‪if (A[i] < A[i + n/2‬‬
‫]‪A1[i] ← A[i‬‬
‫]‪A2[i] ← A[i + n/2‬‬
‫‪else‬‬
‫]‪A1[i] ← A[i + n/2‬‬
‫]‪A2[i] ← A[i‬‬
‫]‪min ← A1[1‬‬
‫]‪max ← A2[1‬‬
‫‪for i=2 to n/2‬‬
‫)‪if (A1[i] < min‬‬
‫]‪min ← A1[i‬‬
‫)‪if (A2[i] > max‬‬
‫]‪max ← A2[i‬‬
‫‪ n/2‬השוואות‬
‫‪ n/2-1‬השוואות‬
‫‪ n/2-1‬השוואות‬
‫אם ‪ n‬הוא אי‪-‬זוגי‪ ,‬אפשר להכניס את האיבר האחרון של ‪ ,A‬גם ל – ‪ A1‬וגם ל – ‪ A2‬ולקבל שמספר‬
‫𝑛‪3‬‬
‫‪𝑛−1‬‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫‪3𝑛−1‬‬
‫ההשוואות הוא ‪ , 2 + 2 + 1 − 1 + 2 + 1 − 1 = 2‬כלומר עדיין פחות מ ‪ 2 -‬השוואות‪.‬‬
‫‪8‬‬