0
MATEMATIK TAMBAHAN KERJA PROJEK 2012
“ Cool… Beautiful… Amazing… Fun…” Itulah Matematik. Anda telah menggunakan
Matematik sejak zaman kanak-kanak. Bahasa Matematik melibatkan nombor. Jika kita fasih
dalam bahasa nombor ini, ia akan menjadi satu alat yang dapat membantu kita membuat
keputusan penting dalam kehidupan harian.
Anda telah pelajari Matematik Tambahan sejak tahun lepas. Marilah kita meninjau
bagaimana Matematik Tambahan, khususnya topik Statistik, dapat membantu anda menilai
pencapaian anda di sekolah.
BAHAGIAN A
Bincang secara ringkas bagaimana Statistik boleh digunakan dalam kehidupan harian.
Sertakan gambar yang sesuai.
BAHAGIAN B
Sebagai satu permulaan, anda ingin mengaplikasikan Statistik untuk membantu guru anda
mendapat satu gambaran tentang prestasi pelajar dalam Matematik Tambahan di sekolah
anda.
Anda merancang untuk melaksanakan perkara ini seperti berikut:
1.
Dapatkan daripada guru Matematik Tambahan anda markah TOV Matematik
Tambahan [ keputusan Peperiksaan Akhir Tahun Tingkatan 4 ] untuk pelajar yang
mengambil Matematik Tambahan dalam peperiksaan SPM tahun ini dan
persembahkan data dalam format yang sesuai.
2.
Bina satu jadual kekerapan bagi data yang dikumpul dengan menggunakan selang
kelas yang sama saiz.
3.
Berdasarkan jadual kekerapan yang dibina,
(i)
lukiskan TIGA jenis graf statistik untuk mewakilkan data itu,
[ termasuk penggunaan ICT ]
(ii)
tentukan TIGA sukatan kecenderungan memusat dan bincang secara ringkas
tentang sukatan kecenderungan memusat terbaik bagi data itu,
(iii)
hitungkan DUA sukatan serakan berikut:
1. JULAT
2. SISIHAN PIAWAI
[ menggunakan formula dan ICT ]
Jelaskan secara ringkas makna setiap jawapan itu.
(a)
(b)
Laksanakan rancangan anda dan laporkan dapatan anda dengan sistematik.
Bandingkan markah TOV anda dengan tiga sukatan kecenderungan memusat di 3(ii).
Bincangkan pencapaian anda berdasarkan perbandingan tersebut.
1
BAHAGIAN C
“ Practice makes perfect ”
(a)
Nyatakan satu konjektur yang sesuai bagi mengaitkan bilangan jam yang diluangkan
oleh seorang pelajar untuk membuat latihan Matematik Tambahan dengan markah
peperiksaannya.
Untuk menguji konjektur ini, anda membuat sedikit kajian dalam bidang Statistik dan
mendapati bahawa pekali korelasi Pearson, r, adalah satu statistik yang sesuai untuk
tujuan ini.
Anda mencatat nota berikut:
1.
Untuk satu set koordinat { ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ………… ( xn , yn ) },
(a)
(b)
(i)
satu korelasi positif wujud di antara x dan y jika nilai y
bertambah apabila nilai x bertambah,
(ii)
satu korelasi negatif wujud di antara x dan y jika nilai y
menyusut apabila nilai x bertambah.
pekali korelasi Pearson, r =
Sx
2
Sx S y
xy
x y


n
n
n
Sx y 
di mana
S xy
 x2
x 2
 (
)
n
n

 y2
y 2
Sy 
 (
)
n
n
Pekali korelasi Pearson mengukur kekuatan hubungan linear yang wujud di
antara x dan y [ lemah atau kuat ] dan boleh mengambil sebarang nilai dari
– 1 hingga 1, iaitu – 1 ≤ r ≤ 1.
2
2.
y ×
×
y
×
××
×
x
Korelasi linear negatif
sempurna
r = –1
y
×
×
××
××
×
×
x
y
x
Korelasi linear positif
sempurna
r = 1
y
Korelasi linear negatif
–1 < r < 0
2
×
×
×
×
×
×
××
×
×
×× ×
×
×× × ×
x
y
×× ×
×
×
×
×
x
x
Korelasi linear positif
0 < r < 1
Tiada
Korelasi linear
r = 0
Seterusnya, anda merancang untuk mengambil langkah-langkah berikut:
1.
Temubual satu sampel 10 – 15 orang pelajar Tingkatan 5 yang mengambil
Matematik Tambahan ini berkenaan dengan DUA ASPEK berikut:
(a)
(b)
Bilangan jam seorang pelajar luangkan untuk membuat latihan dalam
Matematik Tambahan seminggu secara purata,
Markah TOV yang sepadan dalam Matematik Tambahan.
Rekod data yang dikumpul dalam satu jadual yang sesuai dengan
pembolehubah x mewakili aspek (a) dan pembolehubah y mewakili aspek (b).
2.
Plot titik ( x , y ) yang diperolehi pada satah Cartesan.
Bincangkan. [ Rujuk Bahagian C Nota 2 ]
3.
Hitung pekali korelasi Pearson bagi data tersebut dan tafsirkan jawapan
berdasarkan nota.
Laksanakan rancangan anda secara sistematik dan jelaskan secara ringkas sama ada
data yang dikumpul menyokong konjektur anda.
(b)
Oleh kerana tidak berpuas hati dengan hanya mendapat pekali korelasi, anda
berhasrat untuk mendapatkan satu persamaan yang mengaitkan bilangan jam seorang
pelajar luangkan untuk membuat latihan dalam Matematik Tambahan seminggu
dengan markah peperiksaannya, iaitu satu persamaan yang mengaitkan x dan y. Anda
menjalankan sedikit kajian dalam bidang ini dan mendapati bahawa garis regresi
kuasa dua terkecil adalah sesuai untuk tujuan tersebut.
Anda mencatat nota berikut:
Untuk satu set koordinat { ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), …………… ( xn , yn ) },
garis regresi kuasa dua terkecil y ke atas x
3
x
n
dan y 
y
,
n
1.
melalui titik ( x , y ) , di mana x 
2.
mempunyai persamaan dalam bentuk y = mx + c di mana m 
Sx y
Sx
2
.
Seterusnya, anda merancang untuk
1.
menentukan persamaan bagi garis regresi kuasa dua terkecil untuk data itu,
2.
melukis garis regresi kuasa dua terkecil pada paksi yang sama di mana titik
diplotkan dalam Bahagian C (a) (2),
3.
menggunakan garis regresi kuasa dua terkecil yang dilukis untuk meramal
markah Matematik Tambahan seorang pelajar yang luangkan 7 jam seminggu
untuk membuat latihan dalam Matematik Tambahan
(i)
Laksanakan rancangan anda dengan sistematik.
(ii)
Berdasarkan nilai pekali korelasi Pearson yang diperoleh dalam (a) (3),
bincangkan secara ringkas kesesuaian garis regresi kuasa dua terkecil itu
dalam membantu anda membuat ramalan anda.
Penerokaan Lanjutan
Oleh kerana kagum dengan kebolehan anda dalam mengaplikasi Statistik, guru anda
mengemukakan tugasan berikut:
Jadual berikut menunjukkan beberapa nilai eksperimen bagi dua pembolehubah x dan y:
x
y
1.2
9.13
2.4
3.23
2.8
2.56
3.5
1.83
3.9
1.56
4.3
1.35
Guru anda percaya bahawa kedua-dua pembolehubah x dan y dikaitkan oleh persamaan:
yx a = b, di mana a dan b adalah pemalar.
Guru anda inginkan anda
1.
menunjukkan secara graf bahawa persamaan tersebut mengaitkan x dan y dengan
betul,
2.
menentukan nilai a and nilai b secara
(i)
(ii)
graf,
statistik
Laksanakan tugasan ini secara sistematik dan laporkan dapatan anda.
Refleksi
Buat refleksi tentang “ Cool… Beautiful… Amazing… Fun…” bagi Matematik Tambahan
melalui projek yang anda telah laksanakan.
Ungkap refleksi anda secara kreatif melalui puisi, lagu atau lukisan.
4
ADDITIONAL MATHEMATICS PROJECT WORK 2012
Cool… Beautiful… Amazing… Fun… That’s Mathematics. You have been using
Mathematics since young. The language of Mathematics involves numbers. If we are well
versed in this language of numbers, it will be a tool that can help us to make important
decisions in our everyday life.
You have been studying Additional Mathematics since last year. Let us now explore how
Additional Mathematics, in particular the topic Statistics, can help you evaluate your
performance in school.
PART A
Discuss briefly how Statistics can be used in daily life. Include suitable pictures.
PART B
For a start, you would like to apply statistics to help your teacher get a picture of the students’
performance in Additional Mathematics in your school.
You plan to carry out this as follows:
1.
Get from your Additional Mathematics teacher the TOV marks [ Form 4 End Of Year
results for Additional Mathematics ] for students taking Additional Mathematics in
the SPM examination this year and present the data in a suitable format.
2.
Construct a frequency table for the data collected using class intervals of the same
size.
3.
Based on the frequency table constructed,
(i)
draw THREE types of statistical graphs to represent the data,
[ including the use of ICT ]
(ii)
determine THREE measures of central tendencies and discuss briefly on the
best measure of central tendency for the data,
(iii)
calculate the following TWO measures of dispersion :
1. RANGE
2. STANDARD DEVIATION
[ using formula and ICT ]
Explain briefly the meaning of each answer.
(a)
Carry out your plan and present your findings systematically.
(b)
Compare your own TOV mark with the three measures of central tendencies in 3(ii).
Discuss your achievement based on this comparison.
5
PART C
(a)
Practice makes perfect.
State a suitable conjecture that relates the number of hours a student spent on doing
exercises in Additional Mathematics to the student’s score in examination.
To test this conjecture, you did some research on Statistics and found out that the
Pearson correlation coefficient, r, is a suitable statistics for this purpose.
You took down the following notes:
1.
For a set of coordinates { ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ………… ( xn , yn ) },
(a)
(b)
(i)
a positive correlation exists between x and y if the value of y
increases when the value of x increases,
(ii)
a negative correlation exists between x and y if the value of y
decreases when the value of x increases.
the Pearson correlation coefficient r =
Sx y 
where
Sx
y ×
×
xy
x y


n
n
n
 x2
x 2

 (
)
n
n
y
2

y
×
××
×
x
Perfect
negative linear correlation
r = –1
×
×
××
××
×
×
negative linear correlation
–1 < r < 0
×
×
×
×
y
x
Perfect
positive linear correlation
r = 1
y
x
6
Sx S y
 y2
y 2
 (
)
n
n
The Pearson correlation coefficient measures the strength of the linear
relationship that exists between x and y [ weak or strong ] and can take any
value from – 1 to 1, that is – 1 ≤ r ≤ 1.
Sy
2.
2
S xy
× ×
×
××
×
×× ×
×
×× × ×
x
y
×× ×
×
×
×
×
x
x
positive linear correlation
0 < r < 1
No
linear correlation
r = 0
You then plan to carry out the following steps:
1.
Interview a sample of 10 – 15 Form 5 students taking Additional Mathematics
this year regarding the following TWO ASPECTS:
(a)
(b)
The number of hours each student spent in doing Additional
Mathematics exercises per week on the average,
The respective TOV marks in Additional Mathematics.
Record the data collected in a suitable table with the variable x representing
aspect (a) and variable y representing aspect (b).
2.
Plot the points ( x , y ) obtained on the Cartesian plane.
Discuss. [ based on Part C Note 2.].
3.
Calculate the Pearson correlation coefficient for the data and interpret the
answer based on the notes.
Carry out your plan systematically and explain briefly whether the data collected
support your conjecture.
(b)
Not satisfied with just getting the correlation coefficient, you would now like to get an
equation that relates the number of hours a student spent in doing Additional
Mathematics exercises to the student’s score in examination, that is an equation that
relates x and y. You did some research in this area and found out that the least
squares regression line is suitable for this purpose.
You took down the following notes:
For a set of coordinates { ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), …………… ( xn , yn ) },
the least squares regression line of y on x
7
x
n
1.
passes through the point ( x , y ) , where x 
2.
has an equation of the form y = mx + c where m 
and y 
Sx y
Sx
2
.
y
,
n
You then plan to
1.
determine the equation of the least squares regression line for the data,
2.
draw the least squares regression line on the same axes as the points plotted in
Part C (a) (2)
3.
use the least squares regression line drawn to predict the score for Additional
Mathematics of a student who spent 7 hours per week in doing Additional
Mathematics exercises.
(i)
Carry out your plan systematically.
(ii)
Based on the value of the Pearson correlation coefficient obtained in part (a)
(3), discuss briefly the suitability of the least squares regression line in helping
you to make the prediction.
Further Exploration
Impressed with your skills in applying statistics, your teacher posed to you the following
assignment:
The following table shows some experimental values of two variables, x and y.
x
y
1.2
9.13
2.4
3.23
2.8
2.56
3.5
1.83
3.9
1.56
4.3
1.35
You teacher believed that the two variables, x and y, are related by the equation:
yx a = b, where a and b are constants.
Your teacher would like you to
1.
show graphically that the equation correctly describes the relationship between x and
y,
2.
determine the values of a and b
(i)
(ii)
graphically,
statistically.
Carry out the task systematically and report your findings.
Reflection
Reflect on “Cool… Beautiful… Amazing… Fun…” of Additional Mathematics through the
project you have carried out.
Express your reflection creatively through poems, songs or drawings.
8