LP Sensitivity Analysis

Range of Optimality: Range of values for coefficient of a variable such that the optimal point
does not change is called the range of optimality. The values of the objective function will
change if the variable is nonzero at optimality. This assumes that there are no other changes to
any other input parameters.

100% Rule (multiple changes): For each increase(decrease) in objective function coefficient,
calculate percentage of maximum possible increase(decrease) within the range permitted. If
total percent changes are strictly less than 100%, the optimal solution does not change.

Reduced Cost: For a variable at its lower bound, it is the amount by which the objective
function coefficient must decrease by for the LP to have an optimal solution with this variable
taking values above its lower bound. At an optimal solution, either a variable is at its lower
bound or its reduced cost is zero. LINDO uses the convention of using the amount the
coefficient must improve (instead of decrease) by as its reduced cost.

Slack/Surplus: For a constraint, it is equal to the difference between the right hand side and
the left hand side. When the slack or surplus is zero, a constraint is said to be binding.
Otherwise, a constraint is non-binding.

Shadow Price: For a constraint, the shadow price is the amount by which the optimal
objective value changes per unit increase in the right hand side of the constraint. While, the
shadow price quantifies the change per unit increase in the right hand side, it is proportionally
valid for smaller or larger increases. Decreasing the right hand side of the constraint has the
opposite effect on the objective value and the rate of change is again quantified via the
shadow price.

o
Increasing the right hand side of a  constraint is not good for the objective value,
while increasing the right hand side of a  constraint is not bad for the objective
value.
o
At an optimal solution, if a constraint has a nonzero shadow price, then it must be a
binding constraint with slack or surplus equal to zero.
o
At an optimal solution, if a constraint is nonbinding (positive slack or excess), then
its shadow price must be zero.
Range of Feasibility
o
The set of values of the right-hand side over which the same set of constraints
determine the optimal point.
o
If a binding constraint is affected, the optimal point will change. Correspondingly,
the optimal objective value will change.
o
the shadow price remains constant in this range.
Other Post-Optimality Changes
Addition of a Constraint. Adding a constraint that is violated by a currently optimal solution
can possibly worsen the optimal objective value. Adding a constraint that is satisfied by the
optimal solution does not change the optimal solution.
Deletion of a Constraint. Deleting a nonbinding constraint leaves the optimal
solution unchanged. Deleting a binding constraint can improve the objective
value.
Deleting a Variable. A variable that is at value zero at optimality can be
deleted without changing the optimal soution. Any non-zero variable when
deleted can potentially worsen the optimal solution. It is equivalent to add a
constraint setting that variable to zero.
Adding a Variable. Adding an additional variable can not hurt the objective.
Shadow prices can be used to check if adding a variable can help.
Left hand side changes. If the change is made in a nonbinding constraint and
if the current solution satisfies the modified constraint, then the optimal
solution stays the same. Otherwise, the model needs to be resolved.
4.7.1. Minimizasyon Örneği:
Temiz Kimya şirketi yeni bir yer silme sıvısı üretecektir. Bu sıvının içinde en azından %25 A
temizleyici maddesi, en azından %40 B temizleyici maddesi ve en az %30 en fazla da %45 C
temizleyici maddesi olacaktır. Temiz Kimya pazarlama birimi önümüzdeki dönem için bu
üründen 10000 kg. satabileceğini tahmin etmektedir. Temiz Kimya bu ürünü üretmek için 3
ayrı hammadde kullanabilir. Bu hammaddelerin içerikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Hammadde
A maddesi
B maddesi
C maddesi
I
%20
%60
%20
II
%40
%30
%30
III
%10
%40
%50
Hammadde I, II ve III’ün kg. maliyetleri sırasıyla, 5$, 5.25$ ve 5.5$’dır. Temiz Kimya, en az
maliyetle talebi karşılayacak yer silme sıvısının üretimi için doğrusal programlama modeli
oluşturup çözmek istemektedir.
3 karar değişkeni ve 5 kısıtttan oluşan bu problem için doğrusal programlama modeli ve
Solver’ın ürettiği çözüm ile duyarlılık raporları aşağıda verilmiştir.
Pi = ürünün içinde yer alacak hammadde i oranı.
MIN
ST
5.00 P1 + 5.25 P2 + 5.50 P3
0.20 P1 + 0.40 P2 + 0.10 P3  .25
0.60 P1 + 0.30 P2 + 0.40 P3  .40
0.20 P1 + 0.30 P2 + 0.50
0.20 P1 + 0.30 P2 + 0.50
P1 + P2 + P3 = 1.0
P3  .30
P3  .45
Pi  0
Microsoft Excel 9.0 Answer Report
Target Cell (Min)
Cell
Name
$F$8 Bileşim Maliyet
Original Value
$5,20
Final Value
$5,20
Adjustable Cells
Cell
Name
Original Value
Final Value
$G$5 Üründeki %'si
0,43
0,43
$G$6 Üründeki %'si
0,36
0,36
$G$7 Üründeki %'si
0,21
0,21
Constraints
Cell
Name
Cell Value
Formula
Status
Slack
$E$8 Bileşim C maddesi
0,30 $E$8<=$E$10 Not Binding
$G$8 Bileşim Üründeki %'si
1,00 $G$8=1
Binding
0
$C$8 Bileşim A maddesi
0,25 $C$8>=$C$9
Binding
0,00
$D$8 Bileşim B maddesi
0,45 $D$8>=$D$9
Not Binding
0,05
$E$8 Bileşim C maddesi
0,30 $E$8>=$E$9
Binding
0,00
0,15
Şekil 4.7.Karışım Problemi için Çözüm Raporu
Microsoft Excel 9.0 Sensitivity Report
Adjustable Cells
Cell
Name
Final Reduced Objective Allowable
Allowable
Value
Decrease
Cost
Coefficient Increase
$G$5 Üründeki %'si
0,43
0,00
5
0,125
1E+30
$G$6 Üründeki %'si
0,36
0,00
5,25
1E+30
0,083333333
$G$7 Üründeki %'si
0,21
0,00
5,5
0,25
0,625
Constraints
Final
Cell
Name
Value
Shadow Constraint Allowable
Price
$E$8 Bileşim C maddesi
0,30
0,00
$G$8 Bileşim Üründeki %'si
1,00
$C$8 Bileşim A maddesi
0,25
$D$8 Bileşim B maddesi
$E$8 Bileşim C maddesi
R.H. Side
Increase
Allowable
Decrease
0,45
1E+30
0,15
4,57
1
0,3125
0,05
0,36
0,25
0,05
0,083333333
0,45
0,00
0,4
0,05
1E+30
0,30
1,79
0,3
0,05
0,075
Şekil 4.8.Karışım Problemi için Duyarlılık Raporu
i. I hammaddesinin maliyeti 5’den 5.1’e çıkarsa optimal çözüm ne olacaktır?
0.1 birimlik artış I hammaddesinin kabul edilebilir artışı olan 0.125’den az olduğu için optimal
çözüm değişmeyecektir. (x1*, x2*, x3*) = (0.43, 0.36, 0.21) olacaktır.
ii. I hammaddesinin maliyeti 5’den 5.2’ye çıkarsa optimal çözüm ne olacaktır?
0.2 birimlik artış I hammaddesinin kabul edilebilir artışı olan 0.125’den çok olduğu için optimal
çözüm değişecektir.
iii. C hammaddesinin maksimum istenme miktarı %45’den %40’a düşürülürse ne olur?
Bu kısıt bağlayıcı değildir. Gölge fiyatı da 0 dır. Kabul edilebilir azalma miktarı da %15 dir.
Dolayısıyla hiçbir şey değişmez.
iv. A hammaddesinin minimum istenme miktarı %25’den %30’a çıkarılırsa ne olur?
0.05’lik artış ‘Bileşim A Maddesi’ kısıtının kabul edilebilir artış sınırındadır. Bu kısıtın gölge fiyatı
da 0.36’dır. Dolayısıyla amaç fonksiyonunun değeri 0.36*0.05 = 0.018 artarak, 5.20’den
5.218’e çıkacaktır.
v. I hammaddesinin maliyeti 1 dolar artıp, II ve III’ün maliyetleri de 0.5 dolar azalırsa, optimal
çözüm değişir mi?
(1/0.125) + (0.5/0.0833) + (0.5/0.625) > 1 olduğu için optimal çözüm aynı kalmayabilir.
Example:
BlubberMaid, Inc. manufactures three rubber-based products: Airtex (a spongy material), Extendex (a
stretchy material), and Resistex (a hard material). All three products require the same three chemical
polymers and a base. The amount of each ingredient used per pound of final product is given in the
following table.
Ingredient (oz/lb of product)
Product
Polymer A
Polymer B
Polymer C
Base
Airtex
4
2
4
6
Extendex
3
2
2
9
Resistex
6
3
5
2
For the coming week, BlubberMaid has a commitment to produce at least 1000 pounds of Airtex, 500
pounds of Extendex, and 400 pounds of Resistex, but the company management knows it can sell more
of each of the three products. Current inventories of the ingredients are 500 pounds of Polymer A, 425
pounds of Polymer B, 650 pounds of Polymer C, and 1100 pounds of the base. Each pound of Airtex
nets the company a profit of $7, each pound of Extendex a profit of $7, and each pound of Resistex a
profit of $6. As manager of the Production Department, you need to determine an optimal production
plan for this week.
a. Formulate this problem as an LP problem
b. Use the WinQsb/Lindo/Excel Solver to find the optimal production plan.
c. Which of the resource constraints is (are) binding? Explain
d. With the current production plan, for which one of the three products can an additional
demand of 5% be met? Explain
e. If you could obtain additional quantities of only one of the three polymers, which one would
you recommend? Explain.
f. Which profit coefficient(s) could double, keeping all other coefficients fixed, without
affecting the optimal production plan? Explain.
g. The profit from Extendex has just decreased by 20%. What is the new production plan and
total profit? Explain.
The company wants to boost its profit to $18,000 by purchasing more of Polymer A. How much
additional polymer A is needed?