From the study bench of
Marvin Ray Burns
(317) 371-6571
P.O. Box 19785
Indianapolis, IN 46219
This is the 3rd link.
Intro to MRB was started at
http://www.mapleprimes.com/blog/marvin-ray-burns/the-mrb-constant
Last update 12/18/2006 7:58:24 PM
This Iterated Exponential Constant starts out simple.
Consider one.
Now if I was to ask you what the first root of one is,
let's just say the answer is 1.
The second step is to consider the square root of two.
That is an irrational number a little greater than 1.4142.
Third, think about the cube root of three.
Now we also want the fourth root of four, fifth root of five, and so on.
Now after we get all of these we want to add them in a special way.
This is called an alternating series.
1^(1/1)-2^(1/2)+3^(1/3)- 4^(1/4)+5^(1/5)
What do you get on your calculator as you work the series as far as I showed above?
You should get a positive number slightly greater than .99.
1^(1/1)-2^(1/2)+3^(1/3)- 4^(1/4)+5^(1/5)-6^(1/6)
Now, what do you get on your calculator as you work the series as far as I showed
above?
You should get a negative number slightly less than -.354454.
What is happening here?
The series is "alternating" as it converges to two separate numbers. In fact, we have two
series’. One has an even last term, the other odd.
Table 1 of MRB
equalities
Lets start by forming two series.
> u := array(1..3):u[1]:=`number of terms `:u[2]:=`
partial sum`
:u[3]:= `approximate sum`:a:=0:v :=
array(1..10,1..3):
for a to 10 do a=a+1:s:=sum((-1)^n*n^(1/n),n=1..a): v[a,1]
:= a:v[a,2]:=s:v[a,3]:=evalf(s,4) end do:
>
> print(u);print(v);
We shall plot our progress.
> plot(sum((-1)^n*n^(1/n),n=1..x),x=5..50);
F(x)
F1(x)
> plot(sum((-1)^n*n^(1/n),n=1..x),x=50..100);
F(x)
F1(x)
The values of the two series are very slowly converging upon
approximate y-values, min(f(x))=0.2 and max(f1(x))= -0.8.
Henceforth, we will pick up some momentum, calling the series
whose last sum is even our desired series we will make a table
of its partial sums.
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
500
510
520
530
540
550
560
570
580
590
600
610
620
630
640
650
660
670
680
690
0.2113295433469410694850358682
0.2096087414687516885638202611
0.2081423581534358330251707262
0.2068764376013857595129811636
0.2057714588976278230996909293
0.2047977776127283968449755591
0.2039326998954521072386223334
0.2031585433171824583179203129
0.2024613156661939279305146406
0.2018297927937725713530760404
0.2012548611704028995063556175
0.2007290402496191568569435592
0.2002461295713616957289006817
0.1998009440514169807164428915
0.1993891126844774324078331282
0.1990069235549923921797919841
0.1986512031415526251750065391
0.1983192213449541059015651408
0.1980086160397734683773487227
0.1977173326049470394172463595
0.1974435750621671568696049649
0.1971857662933798842367594078
0.1969425154209653917309072647
0.1967125908842356449894534337
0.1964948980801739154634036050
0.1962884606870883060114767513
0.1960924049796669652147369410
0.1959059465888530823664484061
0.1957283792715144039127353962
0.1955590653414055051557550466
0.1953974274805118505308386084
0.1952429417030245571555158338
0.1950951312862737531664150474
0.1949535615164592708918038394
0.1948178351238591316639248145
0.1946875883038142712298210988
0.1945624872372898585958136749
0.1944422250390536597177571943
0.1943265190731531255345635124
0.1942151085849327060392827597
0.1941077526067174859687783629
0.1940042281008191336118078240
0.1939043283089495897465611621
0.1938078612816595427231675339
0.1937146485652148172353354724
0.1936245240265148883498338319
0.1935373327993492816180466952
0.1934529303375651916110360512
0.1933711815626529308340163924
0.1932919600949017857877611142
0.1932151475586842655736716352
0.1931406329536300906108647023
0.1930683120844844099728661823
0.1929980870433340439402999144
0.1929298657386529741236652724
0.1928635614662821625165206631
0.1927990925180344014569986896
0.1927363818241151442356286543
0.1926753566259859696856059259
0.1926159481766776326111403166
700
710
720
730
740
750
760
770
780
790
800
810
820
830
840
850
860
870
880
890
900
910
920
930
940
950
960
970
980
990
1000
1010
1020
1030
1040
1050
1060
1070
1080
1090
1100
1110
1120
1130
1140
1150
1160
1170
1180
1190
1200
1210
1220
1230
1240
1250
1260
1270
1280
1290
0.1925580914658922787513476302
0.1925017249675259187615195063
0.1924467904074982398830506641
0.1923932325500020429973185821
0.1923409990004830908683934063
0.1922900400238364212344800578
0.1922403083764602034289708074
0.1921917591509455689550407119
0.1921443496323027396350460677
0.1920980391647321243704169112
0.1920527890280455123936360831
0.1920085623229284922573641720
0.1919653238643120182391091053
0.1919230400821897140964014720
0.1918816789292789938130771278
0.1918412097949792158964409781
0.1918016034251295942266193951
0.1917628318471140972745350568
0.1917248682999006340542098217
0.1916876871686379375783687348
0.1916512639234661445183908899
0.1916155750622265120216654261
0.1915805980567823436306017441
0.1915463113026873116428278972
0.1915126940719592248164282945
0.1914797264687371301241160565
0.1914473893876176613071835976
0.1914156644744829383926579322
0.1913845340896472440924015372
0.1913539812731633003323047933
0.1913239897121413706386889815
0.1912945437099457374827150877
0.1912656281571434514636808240
0.1912372285040897140757205888
0.1912093307350429208191855429
0.1911819213437103311276408028
0.1911549873101326129417607104
0.1911285160788221929829006353
0.1911024955380764830608491866
0.1910769140003926969295566721
0.1910517601839161653312947327
0.1910270231948588387140918841
0.1910026925108290736104699750
0.1909787579650178623384655077
0.1909552097311904159640557210
0.1909320383094354740223231037
0.1909092345126279155277671794
0.1908867894535632062765313675
0.1908646945327249573117235286
0.1908429414266494068353747051
0.1908215220768529893235580417
0.1908004286792913361790459853
0.1907796536743200756527115891
0.1907591897371296784920355165
0.1907390297686283412554859195
0.1907191668867485219022949467
0.1906995944181542516717483788
0.1906803058903277521373273156
0.1906612950240151946556380994
0.1906425557260126585559823483
1300
1310
1320
1330
1340
1350
1360
1370
1380
1390
1400
1410
1420
1430
1440
1450
1460
1470
1480
1490
1500
1510
1520
1530
1540
1550
1560
1570
1580
1590
1600
1610
1620
1630
1640
1650
1660
1670
1680
1690
1700
1710
1720
1730
1740
1750
1760
1770
1780
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
2020
2030
2040
2050
0.1906240820822744810534294487
0.1906058683513272521826857493
0.1905879089579736977042032623
0.1905701984872716171307681048
0.1905527316787739075462311313
0.1905355034210165111396901709
0.1905185087462418794106705987
0.1905017428253462535468586762
0.1904852009630397219769796025
0.1904688785932086357315753704
0.1904527712744705429331546819
0.1904368746859123481896753990
0.1904211846230029133811992612
0.1904056969936717956198015818
0.1903904078145462681651955727
0.1903753132073391927716922906
0.1903604093953807091584430685
0.1903456927002870807322430153
0.1903311595387603869245322841
0.1903168064195130829916142138
0.1903026299403117592244541307
0.1902886267851347244798114444
0.1902747937214383149466299288
0.1902611275975270891868488846
0.1902476253400233157482399434
0.1902342839514313909783086102
0.1902211005077930429474814467
0.1902080721564293834313360452
0.1901951961137660644644696617
0.1901824696632379797701607511
0.1901698901532701250499401559
0.1901574549953313953010035178
0.1901451616620582525914957848
0.1901330076854453446004663464
0.1901209906551002932218010141
0.1901091082165600041079683799
0.1900973580696659726277980700
0.1900857379669961797422547321
0.1900742457123512831464818288
0.1900628791592929150439779058
0.1900516362097319984455649396
0.1900405148125650892365307790
0.1900295129623568417249345870
0.1900186286980667812491035999
0.1900078601018186489422066123
0.1899972052977106611698435251
0.1899866624506650997012869934
0.1899762297653157185608595904
0.1899659054849315199344215924
0.1899556878903755146664174812
0.1899455752990971429533606491
0.1899355660641570879873831595
0.1899256585732832696859671991
0.1899158512479568574093425570
0.1899061425425271898547203499
0.1898965309433545372578368450
0.1898870149679796857508777927
0.1898775931643193663382750399
0.1898682641098865915679501564
0.1898590264110350016988840847
0.1898498787022263590940898131
0.1898408196453203647933055284
0.1898318479288860048289732037
0.1898229622675336659244194103
0.1898141614012672908321373983
0.1898054440948558728059136045
0.1897968091372236166224430895
0.1897882553408581202414379890
0.1897797815412359566798837153
0.1897713865962650600345155335
0.1897630693857433428720908539
0.1897548288108329944719645828
0.1897466637935499306993811138
0.1897385732762678866576852699
0.1897305562212366627577497664
0.1897226116101140534954013777
2060
2070
2080
2090
2100
2110
2120
2130
2140
2150
2160
2170
2180
2190
2200
2210
2220
2230
2240
2250
2260
2270
2280
2290
2300
2310
2320
2330
2340
2350
2360
2370
2380
2390
2400
2410
2420
2430
2440
2450
2460
2470
2480
2490
2500
2510
2520
2530
2540
2550
2560
2570
2580
2590
2600
2610
2620
2630
2640
2650
2660
2670
2680
2690
2700
2710
2720
2730
2740
2750
2760
2770
2780
2790
2800
2810
0.1897147384435110060823777284
0.1897069357405495731711559812
0.1896992025384332402846950038
0.1896915378920292242427028764
0.1896839408734623538987126542
0.1896764105717201588976014874
0.1896689460922688059602433418
0.1896615465566795354282932503
0.1896542111022652634838198839
0.1896469388817270276204772019
0.1896397290628099646087361814
0.1896325808279685213898100590
0.1896254933740406100726154933
0.1896184659119304285156802291
0.1896114976662996778706026306
0.1896045878752669179638151527
0.1895977357901148105164357334
0.1895909406750050089644967192
0.1895842018067004620596084935
0.1895775184742949065181744008
0.1895708899789493317599360621
0.1895643156336352072475236992
0.1895577947628842701207984732
0.1895513267025446777254742465
0.1895449107995433362765844139
0.1895385464116542232850537762
0.1895322329072725275206605604
0.1895259696651944361972473566
0.1895197560744024047559077349
0.1895135915338557500983352080
0.1895074754522864133944448002
0.1895014072479997436642319598
0.1894953863486801582217015852
0.1894894121912015407762986822
0.1894834842214422425219712159
0.1894776018941045559128341695
0.1894717646725385350341063502
0.1894659720285700405339836538
0.1894602234423328909925352515
0.1894545184021050063734324609
0.1894488564041484328389559938
0.1894432369525531417136422868
0.1894376595590844987622562755
0.1894321237430343032084260261
0.1894266290310752990659415222
0.1894211749571190643899007842
0.1894157610621771869838836825
0.1894103868942256379262657932
0.1894050520080722570075946428
0.1893997559652272668054147428
0.1893944983337767346666625208
0.1893892786882589043242220598
0.1893840966095433212467567717
0.1893789516847126781126914858
0.1893738435069473090132624256
0.1893687716754122631288013917
0.1893637357951468906896768001
0.1893587354769568760312645120
0.1893537703373086544835420834
0.1893488399982261517028625046
0.1893439440871897858585385734
0.1893390822370376748323316433
0.1893342540858689922769717269
0.1893294592769494180125351678
0.1893246974586186298188827975
0.1893199682841997852103468644
0.1893152714119109432573035071
0.1893106065047783779499601414
0.1893059732305517359843345453
0.1893013712616209931906481306
0.1892968002749351651217789331
0.1892922599519227285755376799
0.1892877499784137120408013088
0.1892832700445634142353644050
0.1892788198447777110440979411
0.1892743990776399122709323417
2820
2830
2840
2850
2860
2870
2880
2890
2900
2910
2920
2930
2940
2950
2960
2970
2980
2990
3000
3010
3020
3030
3040
3050
3060
3070
3080
3090
3100
3110
3120
3130
3140
3150
3160
3170
3180
3190
3200
3210
3220
3230
3240
3250
3260
3270
3280
3290
3300
3310
3320
3330
3340
3350
3360
3370
3380
3390
3400
3410
3420
3430
3440
3450
3460
3470
3480
3490
3500
3510
3520
3530
3540
3550
3560
3570
0.1892700074458391306885544384
0.1892656446561001269067239260
0.1892613104191145945849274018
0.1892570044494738514888061894
0.1892527264656029028334851534
0.1892484761896958442716206696
0.1892442533476525727706652937
0.1892400576690167744834659822
0.1892358888869151595497879657
0.1892317467379979145745695373
0.1892276309623803443125134095
0.1892235413035856748488258735
0.1892194775084889913033136366
0.1892154393272622838003989242
0.1892114265133205761416474550
0.1892074388232691122908258839
0.1892034760168515764349943114
0.1891995378568993230193499847
0.1891956241092815937691012663
0.1891917345428566993091745699
0.1891878689294241435726277007
0.1891840270436776697518264254
0.1891802086631592070932825282
0.1891764135682136983680771564
0.1891726415419447883655103814
0.1891688923701713542585161969
0.1891651658413848591759340464
0.1891614617467075107893892688
0.1891577798798512071817455475
0.1891541200370772527102771925
0.1891504820171568270112778134
0.1891468656213321907141704323
0.1891432706532786118426944636
0.1891396969190669972787862794
0.1891361442271272140516986660
0.1891326123882120855910645742
0.1891291012153620484483347078
0.1891256105238704553466278989
0.1891221401312495107648382869
0.1891186898571968255981439579
0.1891152595235625777641477737
0.1891118489543172659420327496
0.1891084579755200439416023311
0.1891050864152876235001620367
0.1891017341037637335981362670
0.1890984008730891246693473503
0.1890950865573721063592497402
0.1890917909926596077543395759
0.1890885140169087492686699112
0.1890852554699589156291089520
0.1890820151935043196498897598
0.1890787930310670467293155009
0.1890755888279705702373983822
0.1890724024313137281929105739
0.1890692336899451518519933121
0.1890660824544381370482817844
0.1890629485770659493366285049
0.1890598319117775541991114148
0.1890567323141737637732543962
0.1890536496414837917584216990
0.1890505837525422083473234998
0.1890475345077662872156322718
0.1890445017691337367839991262
0.1890414854001608081434116643
0.1890384852658807722069817870
0.1890355012328227588190208729
0.1890325331689909507157743139
0.1890295809438441253915673295
0.1890266444282755380794752805
0.1890237234945931392070868458
0.1890208180165001198355863868
0.1890179278690757787343482756
0.1890150529287567048836133209
0.1890121930733182693347050060
0.1890093481818564204907373283
0.1890065181347697770009599863
3580
3590
3600
3610
3620
3630
3640
3650
3660
3670
3680
3690
3700
3710
3720
3730
3740
3750
3760
3770
3780
3790
3800
3810
3820
3830
3840
3850
3860
3870
3880
3890
3900
3910
3920
3930
3940
3950
3960
3970
3980
3990
4000
4010
4020
4030
4040
4050
4060
4070
4080
4090
4100
4110
4120
4130
4140
4150
4160
4170
4180
4190
4200
4210
4220
4230
4240
4250
4260
4270
4280
4290
4300
4310
4320
4330
0.1890037028137420125888710274
0.1890009021017245272580896794
0.1889981158829193994408081111
0.1889953440427626137715129309
0.1889925864679075592836654923
0.1889898430462087929392322988
0.1889871136667060635104384424
0.1889843982196085909399512838
0.1889816965962795964099595517
0.1889790086892210784523636492
0.1889763343920588305316031479
0.1889736735995276956285821871
0.1889710262074570534487758481
0.1889683921127565359699717682
0.1889657712134019671352807428
0.1889631634084215225850955648
0.1889605685978821054076449120
0.1889579866828759339717331607
0.1889554175655073379872304379
0.1889528611488797590189313829
0.1889503173370829517575858455
0.1889477860351803824282685676
0.1889452671491968207908448493
0.1889427605861061222601510260
0.1889402662538191967446867377
0.1889377840611721608721536244
0.1889353139179146703381142181
0.1889328557346984291804262106
0.1889304094230658728469705975
0.1889279748954390219875759834
0.1889255520651085039629830345
0.1889231408462227391242291119
0.1889207411537772889749989184
0.1889183529036043633873169795
0.1889159760123624840974854294
0.1889136103975263017644284488
0.1889112559773765639266244673
0.1889089126709902312466196935
0.1889065803982307394837516221
0.1889042590797384046861980416
0.1889019486369209691428340543
0.1888996489919442856836543163
0.1888973600677231379647269334
0.1888950817879121944198153131
0.1888928140768970936059601841
0.1888905568597856587144806666
0.1888883100623992390620547801
0.1888860736112641764187995083
0.1888838474336033940716113190
0.1888816314573281065614720240
0.1888794256110296480729936736
0.1888772298239714174931908293
0.1888750440260809381943495236
0.1888728681479420306329294197
0.1888707021207870958927085529
0.1888685458764895083358774431
0.1888663993475561155605297451
0.1888642624671198438969978596
0.1888621351689324077087615263
0.1888600173873571207962323682
0.1888579090573618082336042211
0.1888558101145118170001739910
0.1888537204949631237980964734
0.1888516401354555384784543419
0.1888495689733060015268163085
0.1888475069464019740881368047
0.1888454539931949190389336135
0.1888434100526938716421795005
0.1888413750644590983472735060
0.1888393489685958423238302986
0.1888373317057481543438546249
0.1888353232170928076521648970
0.1888333234443332954897074814
0.1888313323296939099586731389
0.1888293498159139009421008617
0.1888273758462417138139433189
4340
4350
4360
4370
4380
4390
4400
4410
4420
4430
4440
4450
4460
4470
4480
4490
4500
4510
4520
4530
4540
4550
4560
4570
4580
4590
4600
4610
4620
4630
4640
4650
4660
4670
4680
4690
4700
4710
4720
4730
4740
4750
4760
4770
4780
4790
4800
4810
4820
4830
4840
4850
4860
4870
4880
4890
4900
4910
4920
4930
4940
4950
4960
4970
4980
4990
5000
5010
5020
5030
5040
5050
5060
5070
5080
5090
0.1888254103644293046983832388
0.1888234533147265320595420234
0.1888215046418756234246211566
0.1888195642911057160649737035
0.1888176322081274704806273404
0.1888157083391277555543815883
0.1888137926307644042617896859
0.1888118850301610388431190546
0.1888099854849019643627725620
0.1888080939430271296006545497
0.1888062103530271542385894143
0.1888043346638384213231547622
0.1888024668248382340041839462
0.1888006067858400355657320779
0.1887987544970886917834931537
0.1887969099092558346595113005
0.1887950729734352666015537269
0.1887932436411384241307139636
0.1887914218642899002166984301
0.1887896075952230243558241456
0.1887878007866754995220272051
0.1887860013917850951361570233
0.1887842093640853952135166877
0.1887824246575016008640113059
0.1887806472263463863333900622
0.1887788770253158077879197680
0.1887771140094852640584138054
0.1887753581343055085728661924
0.1887736093555987117200115758
0.1887718676295545728989537062
0.1887701329127264815225826270
0.1887684051620277262548396031
0.1887666843347277517739937346
0.1887649703884484623659701986
0.1887632632811605716634219172
0.1887615629711799978576688859
0.1887598694171643037218469818
0.1887581825781091807946153035
0.1887565024133449770845723468
0.1887548288825332676661308782
0.1887531619456634675480034092
0.1887515015630494862056587921
0.1887498476953264231791296401
0.1887482003034473041473839328
0.1887465593486798569001261094
0.1887449247926033266373669112
0.1887432965971053300364008579
0.1887416747243787475349590826
0.1887400591369186532882668087
0.1887384497975192822665324097
0.1887368466692710339680321019
0.1887352497155575122314341187
0.1887336589000526006393318914
0.1887320741867175730131304265
0.1887304955397982385074567660
0.1887289229238221208201471134
0.1887273563035956710416028250
0.1887257956442015136749078378
0.1887242409109957253655640145
0.1887226920696051458870310672
0.1887211490859247209354568136
0.1887196119261148762940541488
0.1887180805565989229345258105
0.1887165549440604926297592797
0.1887150350554410036587144207
0.1887135208579371561910081097
0.1887120123189984569451654686
0.1887105094063247727208586813
0.1887090120878639124116939626
0.1887075203318092371112372633
0.1887060341065972979309918558
0.1887045533809055011549581532
0.1887030781236498003612200180
0.1887016083039824151467144105
0.1887001438912895760969544828
0.1886986848551892956479920488
5100
5110
5120
5130
5140
5150
5160
5170
5180
5190
5200
5210
5220
5230
5240
5250
5260
5270
5280
5290
5300
5310
5320
5330
5340
5350
5360
5370
5380
5390
5400
5410
5420
5430
5440
5450
5460
5470
5480
5490
5500
5510
5520
5530
5540
5550
5560
5570
5580
5590
5600
5610
5620
5630
5640
5650
5660
5670
5680
5690
5700
5710
5720
5730
5740
5750
5760
5770
5780
5790
5800
5810
5820
5830
5840
5850
0.1886972311655291644933256444
0.1886957827923841731937869638
0.1886943397060545586536731207
0.1886929018770636751315367008
0.1886914692761558894591016628
0.1886900418742945001467425049
0.1886886196426596800588483880
0.1886872025526464423471947170
0.1886857905758626293351636141
0.1886843836841269240502933184
0.1886829818494668841071963375
0.1886815850441169976473686457
0.1886801932405167610468188274
0.1886788064113087781067782212
0.1886774245293368804470122464
0.1886760475676442688254405284
0.1886746754994716751118905546
0.1886733082982555446478576709
0.1886719459376262387281245802
0.1886705883914062569440073658
0.1886692356336084791318436916
0.1886678876384344266741234088
0.1886665443802725429043835338
0.1886652058336964923706495962
0.1886638719734634787158048344
0.1886625427745125809368087489
0.1886612182119631077881682012
0.1886598982611129700984886374
0.1886585828974370707723011691
0.1886572720965857122526741816
0.1886559658343830212233768720
0.1886546640868253903325676280
0.1886533668300799367231334088
0.1886520740404829771579082320
0.1886507856945385195310504270
0.1886495017689167705598603984
0.1886482222404526594542741447
0.1886469470861443773641735668
0.1886456762831519324075135387
0.1886444098087957200850786332
0.1886431476405551088904501299
0.1886418897560670409264872734
0.1886406361331246473423065051
0.1886393867496758784073793198
0.1886381415838221480419642739
0.1886369006138169926256422279
0.1886356638180647439082368816
0.1886344311751192158498757699
0.1886332026636824052193808289
0.1886319782626032057825731120
0.1886307579508761359144339045
0.1886295417076400794713850175
0.1886283295121770397622350849
0.1886271213439109064585868866
0.1886259171824062352877136846
0.1886247170073670403530909256
0.1886235207986355989299140028
0.1886223285361912685850437061
0.1886211402001493164728990702
0.1886199557707597606608631441
0.1886187752284062233397813006
0.1886175985536047957771146282
0.1886164257270029148722632342
0.1886152567293782511754964706
0.1886140915416376082338196765
0.1886129301448158331289705324
0.1886117725200747380745730278
0.1886106186487020329412838481
0.1886094685121102685805451674
0.1886083220918357908193098562
0.1886071793695377049998304414
0.1886060403269968509403022399
0.1886049049461147881938243728
0.1886037732089127914847902849
0.1886026450975308562034423781
0.1886015205942267138409238275
5860
5870
5880
5890
5900
5910
5920
5930
5940
5950
5960
5970
5980
5990
6000
6010
6020
6030
6040
6050
6060
6070
6080
6090
6100
6110
6120
6130
6140
6150
6160
6170
6180
6190
6200
6210
6220
6230
6240
6250
6260
6270
6280
6290
6300
6310
6320
6330
6340
6350
6360
6370
6380
6390
6400
6410
6420
6430
6440
6450
6460
6470
6480
6490
6500
6510
6520
6530
6540
6550
6560
6570
6580
6590
6600
6610
0.1886003996813748572487350097
0.1885992823414655756080526220
0.1885981685571039989958969200
0.1885970583110091524366369313
0.1885959515860130193288053943
0.1885948483650596141386549081
0.1885937486312040642533247173
0.1885926523676117008879040698
0.1885915595575571589420735182
0.1885904701844234857033802424
0.1885893842317012582955577963
0.1885883016829877097716349482
0.1885872225219858637528928422
0.1885861467325036775160248611
0.1885850742984531934321296504
0.1885840052038496986624250748
0.1885829394328108930168097342
0.1885818769695560648826193562
0.1885808177984052751321282206
0.1885797619037785489185310254
0.1885787092701950752713085835
0.1885776598822724144030317006
0.1885766137247257126407918236
0.1885755707823669248965648198
0.1885745310401040445919158277
0.1885734944829403409535387593
0.1885724610959736035971940008
0.1885714308643953943186623898
0.1885704037734903060113729084
0.1885693798086352286313859428
0.1885683589552986221314236837
0.1885673411990397962866344941
0.1885663265255081973357590888
0.1885653149204427013623333831
0.1885643063696709143415160934
0.1885633008591084787790688268
0.1885622983747583868699427042
0.1885612989027103001048387207
0.1885603024291398752540092755
0.1885593089403080966584557967
0.1885583184225606147595523514
0.1885573308623270907989877592
0.1885563462461205476217692149
0.1885553645605367265158689593
0.1885543857922534500229223091
0.1885534099280299906552005445
0.1885524369547064454548859363
0.1885514668592031163324687628
0.1885504996285198961218676705
0.1885495352497356602906453741
0.1885485737100076642444516050
0.1885476149965709461655746014
0.1885466590967377353262214219
0.1885457059978968658178761380
0.1885447556875131956388036662
0.1885438081531270310824757926
0.1885428633823535563703949785
0.1885419213628822684734809614
0.1885409820824764170668651215
0.1885400455289724495636082335
0.1885391116902794611735186801
0.1885381805543786499339006371
0.1885372521093227766597052644
0.1885363263432356297611926974
0.1885354032443114948778387643
0.1885344828008146292778379803
0.1885335650010787409731636201
0.1885326498335064725007466781
0.1885317372865688893209284015
0.1885308273488049727849259648
0.1885299200088211176236278473
0.1885290152552906339106047108
0.1885281130769532534527831575
0.1885272134626146405627838036
0.1885263164011459071674717291
0.1885254218814831322078066902
6620
6630
6640
6650
6660
6670
6680
6690
6700
6710
6720
6730
6740
6750
6760
6770
6780
6790
6800
6810
6820
6830
6840
6850
6860
6870
6880
6890
6900
6910
6920
6930
6940
6950
6960
6970
6980
6990
7000
7010
7020
7030
7040
7050
7060
7070
7080
7090
7100
7110
7120
7130
7140
7150
7160
7170
7180
7190
7200
7210
7220
7230
7240
7250
7260
7270
7280
7290
7300
7310
7320
7330
7340
7350
7360
7370
0.1885245298926268852856125927
0.1885236404236417545134107504
0.1885227534636558785239794835
0.1885218690018604825968137567
0.1885209870275094188591629178
0.1885201075299187105198222726
0.1885192304984661000943453197
0.1885183559225906015808280706
0.1885174837917920565458950817
0.1885166140956306940809887314
0.1885157468237266945895289719
0.1885148819657597573659703601
0.1885140195114686719282367267
0.1885131594506508930654614486
0.1885123017731621195634030457
0.1885114464689158765703418122
0.1885105935278831015666934907
0.1885097429400917339020006992
0.1885088946956263078633819950
0.1885080487846275492399321967
0.1885072051972919753479759564
0.1885063639238714984824796585
0.1885055249546730327603245977
0.1885046882800581043215371288
0.1885038538904424648549591563
0.1885030217762957084152250254
0.1885021919281408914982886422
0.1885013643365541563431175768
0.1885005389921643574275390487
0.1884997158856526911265861251
0.1884988950077523285020512576
0.1884980763492480511923084929
0.1884972599009758903718153961
0.1884964456538227687500509755
0.1884956335987261455799867653
0.1884948237266736646465247637
0.1884940160287028052056682036
0.1884932104959005358455192079
0.1884924071194029712405213163
0.1884916058903950317706847129
0.1884908068001101059778478063
0.1884900098398297158313406544
0.1884892150008831847757236612
0.1884884222746473085335790336
0.1884876316525460286366327516
0.1884868431260501086587813041
0.1884860566866768131248902460
0.1884852723259895890695207823
0.1884844900355977502200261309
0.1884837098071561637787414157
0.1884829316323649397792693354
0.1884821555029691229921388956
0.1884813814107583873553861281
0.1884806093475667329058739949
0.1884798393052721851874336419
0.1884790712757964971121708583
0.1884783052511048532515400747
0.1884775412232055765340435227
0.1884767791841498373266653429
0.1884760191260313648773994884
0.1884752610409861610964762920
0.1884745049211922166541355701
0.1884737507588692293730341753
0.1884729985462783248936130220
0.1884722482757217795909828330
0.1884714999395427457221192295
0.1884707535301249787823863509
0.1884700090398925670506339828
0.1884692664613096633023362302
0.1884685257868802186704601273
0.1884677870091477186339702776
0.1884670501206949211140906827
0.1884663151141435966586574015
0.1884655819821542706951056035
0.1884648507174259678328419781
0.1884641213126959581959583796
7380
7390
7400
7410
7420
7430
7440
7450
7460
7470
7480
7490
7500
7510
7520
7530
7540
7550
7560
7570
7580
7590
7600
7610
7620
7630
7640
7650
7660
7670
7680
7690
7700
7710
7720
7730
7740
7750
7760
7770
7780
7790
7800
7810
7820
7830
7840
7850
7860
7870
7880
7890
7900
7910
7920
7930
7940
7950
7960
7970
7980
7990
8000
8010
8020
8030
8040
8050
8060
8070
8080
8090
8100
8110
8120
8130
0.1884633937607395057674450383
0.1884626680543696187262617075
0.1884619441864368017588227577
0.1884612221498288103266475141
0.1884605019374704068721200952
0.1884597835423231189444936656
0.1884590669573849992284624182
0.1884583521756903874578107540
0.1884576391903096741968330841
0.1884569279943490664723994513
0.1884562185809503552397217941
0.1884555109432906846650531815
0.1884548050745823232087277588
0.1884541009680724364921224894
0.1884533986170428619322930889
0.1884526980148098851282058378
0.1884519991547240179826542769
0.1884513020301697785441151336
0.1884506066345654725529612465
0.1884499129613629766766107648
0.1884492210040475234183515168
0.1884485307561374876847372117
0.1884478422111841749966080599
0.1884471553627716113289425167
0.1884464702045163345648991797
0.1884457867300671875495584308
0.1884451049331051127290222326
0.1884444248073429483606775871
0.1884437463465252262805745646
0.1884430695444279712140135323
0.1884423943948585016155782826
0.1884417208916552320249921926
0.1884410490286874769253133718
0.1884403787998552560901219778
0.1884397101990891014064885446
0.1884390432203498651606462644
0.1884383778576285297734227443
0.1884377141049460189726178130
0.1884370519563530103896435219
0.1884363914059297495678705756
0.1884357324477858653702520600
0.1884350750760601867739205382
0.1884344192849205610395783562
0.1884337650685636732436233819
0.1884331124212148671610733906
0.1884324613371279674874719352
0.1884318118105851033880768170
0.1884311638358965333627492161
0.1884305174074004714150771663
0.1884298725194629145143813902
0.1884292291664774713393645533
0.1884285873428651922922767739
0.1884279470430744007725807538
0.1884273082615805256992091818
0.1884266709928859352706151361
0.1884260352315197719519230743
0.1884254009720377886785936729
0.1884247682090221862661202806
0.1884241369370814520153780835
0.1884235071508501995033492741
0.1884228788449890095490485709
0.1884222520141842723445733802
0.1884216266531480307413017195
0.1884210027566178246813587715
0.1884203803193565367645695988
0.1884197593361522389412111529
0.1884191398018180403209712566
0.1884185217111919360886157533
0.1884179050591366575169574971
0.1884172898405395230678123291
0.1884166760503122905717176549
0.1884160636833910104772787171
0.1884154527347358801610961603
0.1884148431993310992893160230
0.1884142350721847262219298748
0.1884136283483285354510384603
8140
8150
8160
8170
8180
8190
8200
8210
8220
8230
8240
8250
8260
8270
8280
8290
8300
8310
8320
8330
8340
8350
8360
8370
8380
8390
8400
8410
8420
8430
8440
8450
8460
8470
8480
8490
8500
8510
8520
8530
8540
8550
8560
8570
8580
8590
8600
8610
8620
8630
8640
8650
8660
8670
8680
8690
8700
8710
8720
8730
8740
8750
8760
8770
8780
8790
8800
8810
8820
8830
8840
8850
8860
8870
8880
8890
0.1884130230228178760643769215
0.1884124190907315312254834623
0.1884118165471715786619762044
0.1884112153872632521534849674
0.1884106156061548040108658100
0.1884100171990173685384063876
0.1884094201610448264708095460
0.1884088244874536703768210719
0.1884082301734828710214451782
0.1884076372143937446787681306
0.1884070456054698213874864180
0.1884064553420167141413110556
0.1884058664193619890064939892
0.1884052788328550361587961528
0.1884046925778669418322895308
0.1884041076497903611724575951
0.1884035240440393919861297438
0.1884029417560494493808558622
0.1884023607812771412863968718
0.1884017811152001448510761399
0.1884012027533170837058048947
0.1884006256911474060886623402
0.1884000499242312638229780029
0.1883994754481293921419299680
0.1883989022584229903527380964
0.1883983303507136033335960532
0.1883977597206230038565500396
0.1883971903637930757295955031
0.1883966222758856977513258221
0.1883960554525826284715290236
0.1883954898895853917511900005
0.1883949255826151631154164664
0.1883943625274126568928670171
0.1883938007197380141353191719
0.1883932401553706913110741545
0.1883926808301093497659534407
0.1883921227397717459456997660
0.1883915658801946223736523510
0.1883910102472335993776225733
0.1883904558367630675599522025
0.1883899026446760810047916223
0.1883893506668842512166901981
0.1883887998993176417846451191
0.1883882503379246637658086557
0.1883877019786719717831068277
0.1883871548175443608310749931
0.1883866088505446637842678382
0.1883860640736936496026526856
0.1883855204830299222284459474
0.1883849780746098201689029381
0.1883844368445073167596211347
0.1883838967888139211029663292
0.1883833579036385796762799826
0.1883828201851075786045744416
0.1883822836293644465924705498
0.1883817482325698585101795630
0.1883812139909015396283781736
0.1883806809005541704968718716
0.1883801489577392924619878191
0.1883796181586852138176838982
0.1883790884996369165854056180
0.1883785599768559639177671321
0.1883780325866204081211767396
0.1883775063252246992925709137
0.1883769811889795945654641354
0.1883764571742120679605646101
0.1883759342772652208362483104
0.1883754124944981929342257324
0.1883748918222860740157772739
0.1883743722570198160839742493
0.1883738537951061461873432497
0.1883733364329674798004718460
0.1883728201670418347770935144
0.1883723049937827458712291572
0.1883717909096591798220016795
0.1883712779111554509977787923
8900
8910
8920
8930
8940
8950
8960
8970
8980
8990
9000
9010
9020
9030
9040
9050
9060
9070
9080
9090
9100
9110
9120
9130
9140
9150
9160
9170
9180
9190
9200
9210
9220
9230
9240
9250
9260
9270
9280
9290
9300
9310
9320
9330
9340
9350
9360
9370
9380
9390
9400
9410
9420
9430
9440
9450
0.1883707659947711375953375303
0.1883702551570209983897819138
0.1883697453944348900309827469
0.1883692367035576848823457359
0.1883687290809491893977509352
0.1883682225231840630325429880
0.1883677170268517376844877266
0.1883672125885563376606464427
0.1883667092049166001661545279
0.1883662068725657963109262276
0.1883657055881516526303419507
0.1883652053483362731160089342
0.1883647061497960617527200825
0.1883642079892216455577694907
0.1883637108633177981188165146
0.1883632147688033636265232873
0.1883627197024111813982232853
0.1883622256608880108889109423
0.1883617326409944571858743800
0.1883612406395048969833250875
0.1883607496532074050334098365
0.1883602596789036810700212656
0.1883597707134089772018544112
0.1883592827535520257711870149
0.1883587957961749676748916804
0.1883583098381332811442179193
0.1883578248762957109799117891
0.1883573409075441982392702118
0.1883568579287738103717561615
0.1883563759368926717998297282
0.1883558949288218949416786075
0.1883554149014955116725598354
0.1883549358518604052214925825
0.1883544577768762425000695523
0.1883539806735154068601819899
0.1883535045387629312774805098
0.1883530293696164319574208892
0.1883525551630860423607706595
0.1883520819161943476454787560
0.1883516096259763195218366630
0.1883511382894792515178854215
0.1883506679037626946520485453
0.1883501984658983935099963333
0.1883497299729702227227722589
0.1883492624220741238432370779
0.1883487958103180426179110176
0.1883483301348218666513188965
0.1883478653927173634599672842
0.1883474015811481189131068355
0.1883469386972694760574567370
0.1883464767382484743230917818
0.1883460157012637891077159425
0.1883455555835056717365694512
0.1883450963821758897952393137
0.1883446380944876678326658888
0.1883441807176656284316606589
9460
9470
9480
9490
9500
9510
9520
9530
9540
9550
9560
9570
9580
9590
9600
9610
9620
9630
9640
9650
9660
9670
9680
9690
9700
9710
9720
9730
9740
9750
9760
9770
9780
9790
9800
9810
9820
9830
9840
9850
9860
9870
9880
9890
9900
9910
9920
9930
9940
9950
9960
9970
9980
9990
10000
0.1883437242489457336442725954
0.1883432686855752267893626004
0.1883428140248125746097673702
0.1883423602639274097864556912
0.1883419074002004738071016415
0.1883414554309235601865204317
0.1883410043533994580364336848
0.1883405541649418959820518220
0.1883401048628754864229818995
0.1883396564445356701359897222
0.1883392089072686612171653562
0.1883387622484313923610612683
0.1883383164653914604743922415
0.1883378715555270726219059523
0.1883374275162269923020526511
0.1883369843448904860501017626
0.1883365420389272703663724177
0.1883361005957574589672639533
0.1883356600128115103567912564
0.1883352202875301757163485081
0.1883347814173644471104433800
0.1883343433997755060061620720
0.1883339062322346721041437434
0.1883334699122233524788608888
0.1883330344372329910260200469
0.1883325998047650182149149005
0.1883321660123308011435813404
0.1883317330574515938946214142
0.1883313009376584881895802817
0.1883308696504923643397773307
0.1883304391935038424915094972
0.1883300095642532341635615600
0.1883295807603104940749747643
0.1883291527792551722610415550
0.1883287256186763664755104859
0.1883282992761726748770015015
0.1883278737493521489976477811
0.1883274490358322469919961800
0.1883270251332397871642140020
0.1883266020392109017716654053
0.1883261797513909911029361600
0.1883257582674346778284007643
0.1883253375850057616214410706
0.1883249177017771740484405851
0.1883244986154309337256934826
0.1883240803236581017413821218
0.1883236628241587373407914596
0.1883232461146418538729432457
0.1883228301928253749968472337
0.1883224150564360911455808684
0.1883220007032096162464230124
0.1883215871308903446952812461
0.1883211743372314085836661290
0.1883207623199946351764795359
0.1883203510769505046388977899
We see that when the upper sum is even, our series converges upon a line closer to
max(s(x))=0.18. The truth is, after 10,000 iterations, we’ve accurately found only three
digits(counting 0.) of the sum of our series.
So, we ask, how many terms does it take to get accurate
digits?
>Digits:=30:m:=0.1878596424620671202485179340542732300559030
949001387861720046840894772315646;
m :=0.1878596424620671202485179340542732300559030949001387861720046840894772315646
> printf("%s,
%s\n","terms", "accurate digits");for a from
1 to 90 do printf("%a, %a\n",200*a,evalf(-log[10](sum((1)^n*n^(1/n),n=1..200*a)-m))) od;
>
terms,
accurate digits
200, 1.87305019112274103639997343583
400, 2.12275625301463957179546222339
600, 2.27119956305266921897614183880
800, 2.37745995713299577638333545635
1000, 2.46037858281154761546423898122
1200, 2.52843259729917759812292869645
1400, 2.58617590932917315208025995169
1600, 2.63634145510529583570769659046
1800, 2.68069967911985651779800031158
2000, 2.72046379195357130212234356946
2200, 2.75650179234687732295557712525
2400, 2.78945629429346413338860916091
2600, 2.81981645846511060699743989509
2800, 2.84796331876534785831134559185
3000, 2.87419950785465587020154285326
3200, 2.89876941500111133787172279088
3400, 2.92187325075517343161014786221
3600, 2.94367710410191969856205188821
3800, 2.96432028936978336888876188675
4000, 2.98392081507247314126520338575
4200, 3.00257952312181026168500287829
4400, 3.02038326858290654424432307174
4600, 3.03740739518584393521692744019
4800, 3.05371768593301826526887782665
5000, 3.06937191700553485025614789132
5200, 3.08442110805354652356535937685
5400, 3.09891053742097095799348702761
5600, 3.11288057344530277081622740021
5800, 3.12636736044149413852731084032
6000, 3.13940338883912719572975593189
6200, 3.15201797219498147041981030840
6400, 3.16423764876610451151964967991
6600, 3.17608652152884020297172488525
6800, 3.18758654763510689674777012217
7000, 3.19875778607274622115485564105
7200, 3.20961861057250693252142529669
7400, 3.22018589345707117114845872594
7600, 3.23047516506713709020100924097
7800, 3.24050075255903260705670432614
8000, 3.25027590119765211291271818230
8200, 3.25981288073000826630782338565
8400, 3.26912307898976403604599310278
8600, 3.27821708452986594441252741231
8800, 3.28710475979197153713236553738
9000, 3.29579530608466966057978171782
9200, 3.30429732144731866052752185861
9400, 3.31261885231465499408439262402
9600, 3.32076743976281828115945654884
9800, 3.32875016100506761264961869489
10000, 3.33657366671121159382886537717
10200, 3.34424421464541863306195268588
10400, 3.35176770005001647919421459401
10600, 3.35914968314602699388629823658
10800, 3.36639541407280219137468950324
11000, 3.37350985554783270735676485737
11200, 3.38049770349244351467561203912
11400, 3.38736340583872988521647836945
11600, 3.39411117970693917385744165198
11800, 3.40074502711992394853538895412
12000, 3.40726874940174082867418417486
12200, 3.41368596039049747999950176810
12400, 3.42000009858078088094161754425
12600, 3.42621443829811671223204881676
12800, 3.43233209999664576599954969886
13000, 3.43835605976133314361919140061
13200, 3.44428915808735859268567294261
13400, 3.45013410800170918869837580543
13600, 3.45589350258527028148560421762
13800, 3.46156982194776895384351771752
14000, 3.46716543970266491603824681874
14200, 3.47268262898441985721890996609
14400, 3.47812356804643300080265167132
14600, 3.48349034547424346978040448038
14800, 3.48878496504531332238827526239
15000, 3.49400935026377049891351912644
15200, 3.49916534859586653814014218551
15400, 3.50425473542955335402175505233
15600, 3.50927921777947487748147495876
15800, 3.51424043775677526740480525419
16000, 3.51913997582142145896308498249
16200, 3.52397935383320282949931434077
16400, 3.528760037916186103874040
16600, 3.533483441150152926524730
16800, 3.538150926101416386983475
17000, 3.542763807204388491764412
17200, 3.547323353004341904396625
17400, 3.551830788270966298117465
17600, 3.556287295991553586144072
17800, 3.560694019251949308371846
18000, 3.565052063012772627022370
18200, 3.569362495787828548139509
18400, 3.573626351231107644830914
18600, 3.577844629638285808765814
18800, 3.582018299368195019075765
19000, 3.586148298189331875463957
19200, 3.590235534556100187410595
19400, 3.594280888819144099079350
19600, 3.598285214373816237042201
19800, 3.602249338750538658463922
20000, 3.606174064650550668622367
This is a graph of the previous data.
> with(plots):
Digits:=30:m:=0.1878596424620671202485179340542732300559030
949001387861720046840894772315646;
m := 0.1878596424620671202485179340542732300559030949001387861720046840894772315646
> pointplot({seq([a*200,evalf(-log[10](sum((1)^n*n^(1/n),n=1..200*a)-m))],a=1..90)});
>
> printf("%s,
%s\n","terms", "accurate digits");for a from
20000 by 1000 to 30000 do printf("%a, %a\n",a,evalf(log[10](sum((-1)^n*n^(1/n),n=1..a)-m))) od;
terms,
20000,
21000,
22000,
23000,
24000,
25000,
26000,
27000,
28000,
29000,
30000,
accurate digits
3.60617406465055066862237
3.62523319357297153990114
3.64341508357102997222302
3.66079725953992662912598
3.67744738813023456492050
3.69342488273550374758550
3.70878219443348841574340
3.72356585987451178004798
3.73781735906048369240864
3.75157382297045034266120
3.76486862151974424918865
Further evaluation reveals:
terms,
accurate digits
10^2, 1.629488744455229680144687
10^3, 2.46037858281154761546423
10^4, 3.336573666711211593828
10^5, 4.239821285368030921209
10^6, 5.160660258008458150738
10^7, 6.09371593731772872231
10^8, 7.0357242820261640773
10^9, 7.984571793231861913
10^10, 8.93881430648528961
which gives the following logarithmic graph:
>
pointplot({[2,1.629488744455],[3,2.4603785828115],[4,3.3365
736667
],[5,4.239821285],[6,5.160660258],[7,6.0937159373],[8,7.035
724282],[9,7.984571793],[10,
8.9388143]},color=red,style=line);
This graph becomes fairly linear.
> with(stats):
>>
evalf(fit[leastsquare[[x,y]]]([[2,3,4,5,6,7,8,9,10],[1.6294
88744455,2.4603785828115,3.3365736667,4.239821285,5.1606602
58,6.0937159373,7.035724282,7.984571793,8.9388143]]),10);
y = -.2973467917+.9177012958*x
Here we make the following forecast to see how many terms are required to get 11
through 20 accurate digits.
> Digits:=94:f := x ->10^(.2973467917+.9177012958*x);printf("%s\n%s, %a",accurate,
digits, terms);seq(printf("%a,
%a\n",i,floor(f(i))),i=11..20);
accurate
digits, terms
11,
6271442750
12,
51888218232
13,
429309059914
14,
3551986851760
15,
29388176894292
16,
243149813671799
17,
2011755683290235
18,
16644721491390366
19,
137713916171391670
20,
1139407632447979079
First computed on June 10-11, 2003 over a period, of 10 hours,
on a 450mh P3 with 512mb RAM: The first (to the right of the
decimal point) 6,995 accurate digits of the value given by the
series with an even upper sum:
# of times
used
digit
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
687
707
689
665
706
744
683
676
727
711
.1878596424620671202485179340542732300559030949001387861720046840894772315646602137032966
54433107496903842345856258019061231370094759226630438929348896184120837336626081613602738
12637937343528321255276396217148932170207628206217151671540841268044836354167199851976802
52759893899391445798350556135096485210712078444230958681294976885269495642042555864836704
41042527952471060666092633974834103115781678641668915460034222258838002545539689294711421
22189105098328712277308020036445215390536395055332203470627551159812828039510219264914673
17629351619065981601866424582495069720338199295842093551516251439935760076459329128145170
90824249158832041690664093344359148067055646928067870070281150093806069381393859533606579
87405562062348704329360737819564603104763950664893061360645528067515193508280837376719296
86639810309494963749627738304984632456347931157530028921252329181619562697369707486576547
60711780171957873683009659022606687536563055165673612881502014387561366865522106743053705
91039735756191489093690777983203551193362404637253494105428363699717024418551654837279358
82200813448096105880203064781961959695375628783481233497638586301014072725292301472333336
25091858402480370404888196767676011985811167916935279685204416002708613722868894510151029
19988536905728659287086875425492533794395347589703563313440382638887986656195980733514739
90256577813317226107612797585272274277730898577492230597096257256271883675575297887925361
68767394035432145136277254922931312627643573214462161877863771542054231282234462953965329
03322171479820280759842210655648900485368587070832688748773776350476891609831855362816671
59108412193420164386000258508426556435006954832830120546193205155935040023508351261335921
74089700732978427712896736516196022507711738808426232569788546537869046222708567487474709
30693573266685908561628237538655124329756474649146191795758693429962081498785366631701972
64534260468378010759055148678719039578315060452444190757044511382058533398469219482879476
48657593178595816527492977822095977440911371434216929624593175324537340129959399500491791
29836808485471439258467042385286083200536645105866781511964596760791964317343076715344983
00497128869401656600427062111079053164721504556329943884005211152390168773115456961028369
20503689610880603160366038289653323938352415451013753416567347260746489112008809983815204
66954150263770355732835929966306427173051589721163519991611359546703154087252872439981978
72502746797388638897056867435377857981058556192492185716949135673462704077491448799682065
48281746588064223634816078095077705793931349582980660282527212849168880923032529027005991
77550596158359199931908693930397366116465148582199729253371067687386862350479158797379682
69847878082223410618789674667450680064404065553875213281494980700209858132220620109011265
90344971741080106324756471283460954928437006514745021822612041564393030885982642625682812
60924911367339672359337145342169025601400501694699838759073429203617293015314004059362464
06781400779475613077369732409923529464794580778164607696240864595666084141126399988575739
42931522628389879843635071937148657349196202542844351041147284197381493380706622257319102
14815857450428867284772504343867184431491289486354489294921432596608471496000725340662153
87561341325254274130158182476636432111506809477451406309160928029719327606796946860926362
08176344227297754632673716111030222001949845540723385967997295674531849043382633293188816
03300540136903161043099737778639343931356214965499699373142058190653346615738352222808713
90934331325238360305287172314811151029705856281299558991830381071966308132701670498617683
16832952905379876003066657020343588496034210481148868121608361194460557191397329297068323
26450945715371702023251751982208521511884275346588918121726603331928048011747590461318984
49720722068248919153933258002624627216176424468747789609764906070479605351740205227992021
11287653983538174011795526700337583139607884772670921570014282483357418821270655882607572
23843468364254606243762949725572084429109010146920322976340088313403816403729113113149598
83048662944964532193113574956453912385456662881566099860325447839862878014756977228191151
86152082762824014556517942538381861947933994014975998724042738850564411437560795202115791
02553987653665393231584920065329570705591855222675428457368126706995658246747621115995677
98871089943129103401442549765937135216907789286769520555697938362195599913809621446502826
78445777519833356187449579988435319909055045642406109160942975136747726225135061168679152
94536437177399139221264837788062038727680883810322672849330859390787727347282725262001885
60744654953143832715829738195578665687162281676008390755269474337748054271709338897975317
01890689551439394048455382983019816925365979747677854686504585964023817593013999612266766
81173896705020332923490805136900674702817092565211984795692028584777685609789206862143074
01593342577726291016675234940557410020728689850147927742910664313694152819958560981976523
21625531862376426059132066712394239831074800890067697570607132333012491959516468134803701
78134651913158679298572877329166884183409104689850455863387020802246278862265851083444175
13498504421116568218222998754499581462790411184613045060455209360748256545275517200607017
95488768554974121553246630574851197898230042696029411556166361105218406761840440842057700
94483040514962265636910047690699522262104075018604051897916337230262423160504122540955373
39512293852038247505422294475660109384786103393194658649556153005590496471112849528802805
39248645875804996095625093453434071751236318024947180471602608328532560496296563092613705
18631640045447241831441782309591406841962005423176028252580335571371871977497060956384055
72081005734625534225409962369435518649069954441362738002845612477994044771186814090823166
22964792197041036637681782821376217055505801219253585536954996435284820793438275762692725
38307500362508665666647770931783939283648517292313833885523047392386980076244392321454060
91398908761883311503746220354304045361199620110097515767445327112293915456438047739068546
58393971436918492728864638949326243029329556942973798162078995698938749088728476359589952
53467600453216790182627301117505094784781487437814651251293161774803256008197523409391990
60870394235066830278541751890742401163129057837802020156209152646634040182798014804529150
99769849728253638201025009629111480246406763014515658305538307733554109142979971591602856
22761233987579707541064329187406065890822373966628948296693740859906362802605441821524277
35645800878454526256041562186013643859907381431566567951349889494966493735039664072144588
27973690925179183051727180840621078255043294197872272693259092807249206731616920126687827
75593550644549829865556797555361848999789377233987064778499846100137174512095866618017863
96151869866795495995973570881693026132897172526982659434374587089190488036129616141327629
50494778743259179117677460633701159946260265364431902331397986959849185462212932604445994
99166183736291061635705975504920946404849033875797809820427010166354510921194152351981428
019047162537693953552578074637538772307366257575286156
Using a Sony Vaio P4 2.66 GHz laptop computer with 960 MB of available RAM, on
2:04 PM 3/25/2004,
Marvin Ray Burns computed 8000 digits of the MRB constant shown below in
blocks of 1000 digits each.
He used the sumalt command in Pari-GP and thereby double checked the first 6995
digits of a previous computation.
He computed 5000 digits in 1999 (all were found to be correct), and 6000 digits in
2000 (5995 were found to be correct),
and 7000 digits in 2003 (6995 were found to be correct).
The method which PARI presently uses is based on an amalgamation of ideas of F.
Villegas, D. Zagier and H. Cohen.
# of times
used
digit
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
796
812
809
765
804
840
776
755
826
817
.
187859642462067120248517934054273230055903094900138786172004684089477231564660
213703296654433107496903842345856258019061231370094759226630438929348896184120
837336626081613602738126379373435283212552763962171489321702076282062171516715
408412680448363541671998519768025275989389939144579835055613509648521071207844
423095868129497688526949564204255586483670441042527952471060666092633974834103
115781678641668915460034222258838002545539689294711421221891050983287122773080
200364452153905363950553322034706275511598128280395102192649146731762935161906
598160186642458249506972033819929584209355151625143993576007645932912814517090
824249158832041690664093344359148067055646928067870070281150093806069381393859
533606579874055620623487043293607378195646031047639506648930613606455280675151
935082808373767192968663981030949496374962773830498463245634793115753002892125
232918161956269736970748657654760711780171957873683009659022606687536563055165
6736128815020143875613668655221067430537059103973575619148909369
077798320355119336240463725349410542836369971702441855165483727935882200813448
096105880203064781961959695375628783481233497638586301014072725292301472333336
250918584024803704048881967676760119858111679169352796852044160027086137228688
945101510291998853690572865928708687542549253379439534758970356331344038263888
798665619598073351473990256577813317226107612797585272274277730898577492230597
096257256271883675575297887925361687673940354321451362772549229313126276435732
144621618778637715420542312822344629539653290332217147982028075984221065564890
048536858707083268874877377635047689160983185536281667159108412193420164386000
258508426556435006954832830120546193205155935040023508351261335921740897007329
784277128967365161960225077117388084262325697885465378690462227085674874747093
069357326668590856162823753865512432975647464914619179575869342996208149878536
663170197264534260468378010759055148678719039578315060452444190757044511382058
5333984692194828794764865759317859581652749297782209597744091137
143421692962459317532453734012995939950049179129836808485471439258467042385286
083200536645105866781511964596760791964317343076715344983004971288694016566004
270621110790531647215045563299438840052111523901687731154569610283692050368961
088060316036603828965332393835241545101375341656734726074648911200880998381520
466954150263770355732835929966306427173051589721163519991611359546703154087252
872439981978725027467973886388970568674353778579810585561924921857169491356734
627040774914487996820654828174658806422363481607809507770579393134958298066028
252721284916888092303252902700599177550596158359199931908693930397366116465148
582199729253371067687386862350479158797379682698478780822234106187896746674506
800644040655538752132814949807002098581322206201090112659034497174108010632475
647128346095492843700651474502182261204156439303088598264262568281260924911367
339672359337145342169025601400501694699838759073429203617293015314004059362464
0678140077947561307736973240992352946479458077816460769624086459
566608414112639998857573942931522628389879843635071937148657349196202542844351
041147284197381493380706622257319102148158574504288672847725043438671844314912
894863544892949214325966084714960007253406621538756134132525427413015818247663
643211150680947745140630916092802971932760679694686092636208176344227297754632
673716111030222001949845540723385967997295674531849043382633293188816033005401
369031610430997377786393439313562149654996993731420581906533466157383522228087
139093433132523836030528717231481115102970585628129955899183038107196630813270
167049861768316832952905379876003066657020343588496034210481148868121608361194
460557191397329297068323264509457153717020232517519822085215118842753465889181
217266033319280480117475904613189844972072206824891915393325800262462721617642
446874778960976490607047960535174020522799202111287653983538174011795526700337
583139607884772670921570014282483357418821270655882607572238434683642546062437
6294972557208442910901014692032297634008831340381640372911311314
959883048662944964532193113574956453912385456662881566099860325447839862878014
756977228191151861520827628240145565179425383818619479339940149759987240427388
505644114375607952021157910255398765366539323158492006532957070559185522267542
845736812670699565824674762111599567798871089943129103401442549765937135216907
789286769520555697938362195599913809621446502826784457775198333561874495799884
353199090550456424061091609429751367477262251350611686791529453643717739913922
126483778806203872768088381032267284933085939078772734728272526200188560744654
953143832715829738195578665687162281676008390755269474337748054271709338897975
317018906895514393940484553829830198169253659797476778546865045859640238175930
139996122667668117389670502033292349080513690067470281709256521198479569202858
477768560978920686214307401593342577726291016675234940557410020728689850147927
742910664313694152819958560981976523216255318623764260591320667123942398310748
0089006769757060713233301249195951646813480370178134651913158679
298572877329166884183409104689850455863387020802246278862265851083444175134985
044211165682182229987544995814627904111846130450604552093607482565452755172006
070179548876855497412155324663057485119789823004269602941155616636110521840676
184044084205770094483040514962265636910047690699522262104075018604051897916337
230262423160504122540955373395122938520382475054222944756601093847861033931946
586495561530055904964711128495288028053924864587580499609562509345343407175123
631802494718047160260832853256049629656309261370518631640045447241831441782309
591406841962005423176028252580335571371871977497060956384055720810057346255342
254099623694355186490699544413627380028456124779940447711868140908231662296479
219704103663768178282137621705550580121925358553695499643528482079343827576269
272538307500362508665666647770931783939283648517292313833885523047392386980076
244392321454060913989087618833115037462203543040453611996201100975157674453271
1229391545643804773906854658393971436918492728864638949326243029
329556942973798162078995698938749088728476359589952534676004532167901826273011
175050947847814874378146512512931617748032560081975234093919906087039423506683
027854175189074240116312905783780202015620915264663404018279801480452915099769
849728253638201025009629111480246406763014515658305538307733554109142979971591
602856227612339875797075410643291874060658908223739666289482966937408599063628
026054418215242773564580087845452625604156218601364385990738143156656795134988
949496649373503966407214458827973690925179183051727180840621078255043294197872
272693259092807249206731616920126687827755935506445498298655567975553618489997
893772339870647784998461001371745120958666180178639615186986679549599597357088
169302613289717252698265943437458708919048803612961614132762950494778743259179
117677460633701159946260265364431902331397986959849185462212932604445994991661
837362910616357059755049209464048490338757978098204270101663545109211941523519
8142801904716253769395355257807463753877230736625757528615689340
369116774076414089252584071629680253418752400213965704615611372706997173154242
250714136977533053938222631737160355068530517511138588469894505654831155507605
396128525648225336964136180653159733404043749446633889721278416851930506253125
833571198193973061873742571964696118786336432675699497858221644253350690931355
003112829216296271098834681530937730662596151339914986890179148859343301761214
268783946917109306485048645859732664349920042009846039358574149952397154174336
004380995983989933378167036757727755613172607981745353359102876960974064592942
521228542044788634809907075670034881188126091404100651275142204208280600165985
249440465379172445689791335543257050380242200961715424247460429269351061065799
413628044003253361142784089118030202525510270258247077931110315712323962523414
646295949365109798453625310123080323825404640130939710330873160957447426440506
313692067220775705926411703291252923275074336292293389738609229176941546567276
2917187700223037355173202386933621871588301498231237649143483168
PARI/GP is free software, under the terms of the GNU General Public License, published by the Free Software Foundation.