หน้า 64 , 13. Given
1 2 
 4
  3
, b   , c   
A

1  2
  2
0 
(a) Write b as a linear combination of the column vectors a1 and a2.
1
2
We have a1    and a 2    . By inspection, we have that
  2
1
 4
1  2 
0  21   2 .
 
  
Hence,
b  2a1  a 2 .
 2
(b) From (a), we have that the solution to Ax  b is x    .
1 
(c) We write the augmented matrix as
1 2  3 Row2  Row1 1 2  3 Row1 0.5 Row2 1 0  5 



    
     
2
0  4 1 
1  2  2
0  4 1 


Hence we have x1  
 4
5 1 1  2 
0   2 1  4  2
 

 
5
1
and x 2   . This leads to
2
4
ANS
 1  A .
16. Let A be a nonsingular matrix. Show that A-1 is also nonsingular and A 1
To prove that first one is easy. Since A-1 is the inverse of A by definition. We can write
AA1  A1 A  I .
If A-1 is a nonsingular matrix, we must be able to find a matrix B such that
A1 B  BA1   I .
From the previous equation, we can choose B  A , and we have
A1 A  A1 A  I , and AA1   AA1  I .
1
Hence, A is also nonsingular and A 1   A .
-1
17. Prove that if A is nonsingular then AT is nonsingular and
AT 1  A1 T
We begin the proof with definition of A-1, i.e.,
AA1  A1 A  I
We take the transpose the above equation, and we yield
AA1 T  A1 T AT  I T  I ,
and
A1 AT  AT A1 T  I T  I .
This implies that
A1 T AT  AT A1 T  I ,
or
AT 1  A1 T .
7 (a)
E

1

3 1 R2 3R1  1 0 3 1 3 1
9 5   3 1 9 5  0 2




 

3 1 
U  

0 2
1 0
L  E11  

3 1
3 1 1 0 3 1
A



9 5 3 1 0 2
7(b)
E
1
 2 4 R2  R1 1 0  2 4 2 4
 2 1  1 1  2 1  0 5  U




 

 1 0
L  E11  

 1 1
 2 4  1 0  2 4
A 



  2 1    1 1  0 5 
7(c)
E
1 
 1 1 1
 1 0 0  1 1 1   1 1 1 
 3 R1 
 3 4 5 R2 
 3 1 0  3 4 5   0 2 3


 2 2 7
 0 0 1  2 2 7  2 2 7
E
2 
 1 1 1
1 0 0  1 1 1 1 1 1
 0 2 3 R
3  2 R1
0 1 0  0 2 3  0 2 3


 2 2 7
2 0 1  2 2 7 0 4 9
E

 3 

1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 1
0 2 3 R
3  2 R2
 0 1 0 0 2 3  0 2 3  U


0 4 9
0  2 1 0 4 9 0 0 3
1 0 0  1
L  E11 E 21 E31  3 1 0  0
0 0 1  2
1 0 0  1 0 0  1
 3 1 0  0 1 0   3
0 0 1  2 2 1  2
0 0 1 0 0
1 0 0 1 0
0 1 0 2 1
0 0
1 0  L
2 1
 1 1 1  1 0 0 1 1 1
A   3 4 5   3 1 0 0 2 3
 2 2 7  2 2 1 0 0 3
7(d)
E
1 
2
2    2 1 2
 2 1
1 0 0    2 1
R 2  2 R1 
4



1  2  2 1 0  4
1  2   0
3 2

 6  3 4 
0 0 1  6  3 4   6  3 4
E
2 
2
  2 1 2
 1 0 0   2 1 2   2 1
R3  3 R1 
0





3 2   0 1 0  0
3 2   0
3
2 

 6  3 4
 3 0 1   6  3 4  0  6  2
E
3 
2
2    2 1 2
 2 1
1 0 0  2 1
R3  2 R 2 
0



3
2    0 1 0  0
3
2    0 3 2  U

 0  6  2
0 2 1  0  6  2  0 0 2
1
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0 1 0
 0 0 1 3 0 1 0  2 1
0 0
 1 0 0 1 0 0  1





  2 1 0 0 1 0   2 1 0  L
 0 0 1 3  2 1  3  2 1
L  E11 E 21 E31   2
2 1
0 0   2 1 2
 2 1



A 4
1  2   2 1 0  0 3 2
 6  3 4   3  2 1  0 0 2
9(a)
 1 1 1 0 R1  R2  1 0 0 1 R2  R1 1 0 0 1

 
 

 1 0 0 1
  1 1 1 0
0 1 1 1
 1 1
 1 0


1
0 1


1 1
9(b)
2 5 1 0 R2  0.5R1 2 5
1
0 R1 10 R2 2 0
6
 10


 
 

1 3 0 1
0 1 / 2  1 / 2 1 
0 1 / 2  1 / 2 1 
2 0
6
 10 0.5R1 ,2 R2 1 0 3  5

 

0 1 / 2  1 / 2 1 
0 1  1 2 
 2 5
1 3


1
 3  5


 1 2 
9(c)
2 6 1 0 R2  3 / 2 R1 2 6 1
0 R1  6 R2 2 0  8 6

 
 

3
8
0
1
0

1

3
/
2
1




0  1  3 / 2 1 
2 0  8 6 0.5R1, R2 1 0  4 3 

 

0

1

3
/
2
1


0 1 3 / 2  1
 2 6
3 8


1
4 3 


3 / 2  1
7 (d)
3 0 1 0 R2  3R1 3 0 1 0 R1 / 3, R2 / 3 1 0 1 / 3 0 

 
 

9 3 0 1
0 3  3 1
0 1  1 1 / 3
3 0 
9 3


1
1 / 3 0 


  1 1 / 3
9 (e)
1 1 1 1 0 0
1 1 0 1 0  1
1 0 0 1  1 0 

 R1  R3 , R2  R3 
 R1  R2 

0 1 0 0 1  1  0 1 0 0 1  1
0 1 1 0 1 0     
0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1 
0 0 1 0 0 1 
1 1 1
0 1 1


0 0 1
1
1  1 0 
 0 1  1
0 0 1 
9 (f)
 2 0 5 1 0 0
2 0 5
2 0 0
1
0 0
6
0  10

 R3 0.5 R1 
 R1 10 R3 

0 3 0
0
1 0  0 3 0
0
1
0 
0 3 0 0 1 0   
1 0 3 0 0 1
0 0 1 / 2  1 / 2 0 1
0 0 1 / 2  1 / 2 0
1 
2 0 0
1 0 0 3
6
0  10
0  5

 0.5 R1 , R2 / 3,2 R3 

0
1
0      0 1 0 0 1 / 3 0 
0 3 0
0 0 1 / 2  1 / 2 0 1 
0 0 1  1 0
2 
 2 0 5
0 3 0


1 0 3
1
0  5
3

  0 1 / 3 0 
 1 0
2 
9 (g)
 1  3  3 1 0 0 R2  2 R1  1  3  3 1 0 0
  1  3  3 1 0 0

 R3 3R1 
 R2  R3 

6
1 0 1 0   0
0  5 2 1 0   0  1  6 3 0 1
2
 3
 0  1  6 3 0 1
 0
8
3 0 0 1
0  5 2 1 0
  1  3  3 1 0 0  R 2  6 / 5 R3   1  3 0  1 / 5  3 / 5 0 

 R1  3 / 5 R3 

 0  1  6 3 0 1    0  1 0 3 / 5  6 / 5 1
 0
 0
0  5 2 1 0
0 5 2
1
0
  1  3 0  1 / 5  3 / 5 0
 1 0 0  2
3
 3

 R1  3R2 

 0  1 0 3 / 5  6 / 5 1   0  1 0 3 / 5  6 / 5 1 
 0
 0
0 5 2
1
0
0 1  2 / 5  1 / 5 0 
 1 0 0  2
1 0 0 2
3
 3
3
3

 1R1 ,1R2 

 0  1 0 3 / 5  6 / 5 1    0 1 0  3 / 5 6 / 5  1
 0
0 0 1  2 / 5  1 / 5 0 
0 1  2 / 5  1 / 5 0 
 1  3  3
2
6
1 

 3
8
3 
1
3
3
 2

   3 / 5 6 / 5  1
 2 / 5  1 / 5 0 
9 (h)
1
1 0 1 1 0 0
0
1 1 0 0 R2  R1 1 0
1 1 0 0

 R3  R1 
 R3  2R2 

1 0 1 0  
0 1
2 1 1 0  0 1 2 1 1 0
 1 1
 1  2  3 0 0 1
0  2  2 1 0 1
0 0 2 3 2 1
1 0 1 1 0 0 R1  R3 / 2 1 0 0  1 / 2  1  1 / 2




R2  R3
0 1 0  2  1  1 
0 1 2 1 1 0   
0 0 2 3 2 1
0 0 2 3
2
1 
1 0 0  1 / 2  1  1 / 2
1 0 0  1 / 2  1  1 / 2

 R3 / 2 

0 1 0  2  1  1  0 1 0  2  1  1 
0 0 2 3
0 0 1 3 / 2
2
1 
1 1 / 2 
0
1
1
 1 1
1 

 1  2  3
1
  1 / 2  1  1 / 2
   2  1  1 
 3 / 2 1 1 / 2 