People often think that probability theory is applied mostly in games of chance,  but in fact probability is also involved in genetics, astronomy, manufacturing, insurance,  and many other fields.  Public opinion pollsters, for instance, apply probability when they  report the results of a survey.
To review the basic vocabulary of probability theory, we will use a 6­sided solid  cube.  One face of the cube has 3 dots, and so on up to 6 dots.  This is commonly  known as a  number cube , a  die,  or a  fair die .  The plural of “die” is  dice , and we often  refer to a  pair of dice .
· Experiment:   Too the die and see which face lands up, that is, how many dots  land face up.
· Outcome:  Number of dots on the face that lands up.
· Equally likely :  Each number, 1, 2, 3, 4, 5, 6, has an equal chance of landing  face up. (This is what we mean by a “fair” die.)
· Sampler space : All possible outcomes of an experiment; the set { 1, 2, 3, 4, 5, 6  }   .
· Event:  Any subset of the sample space; for example { }   .
The probability of an event A is defined as the number of successful outcomes  divided by the total number of all possible outcomes.  It is written as a fraction:
P(A) =     number of successful outcomes  total number of possible outcomes
Suppose we want to calculate the probability of getting a 4 in our example of an  experiment with a die.  There are 6 possible outcomes: { 1, 2, 3, 4, 5, 6  }   .  There is only 1  successful outcome, because there is only 1 way to get a 4: the face with 4 dots must  land up.  Because we have defined the die as “fair,” getting a 4 is just as likely as  getting any other number, such as a 1 or a 5.
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6  }   Therefore, the probability of  getting a 4 is :
P(4) =   number of successful outcomes
Total number of possible outcomes
=
1
6

EXAMPLE
1.  One side of a coin shows a person’s face ; this side is called  heads.
The other side  is called  tails.
When you flip a dime, what is the probability of getting tails?
Answer :  There are two possible outcomes, heads or tails: { .
}   .  There is only one  way to get tails.  As with dice, we4 assume that a coin is “fair,” so heads and tails are  equally likely.  Therefore, the probability of tails is:
P(T) =    number of successful outcomes       =   1
Total number of possible outcomes          2
TRY THESE
1.  When you toss a die, what is the probability of getting an even number?
2.  When you toss a die, what is the probability of getting a number greater than 1?
When an experiment consists of one event, such as rolling one die or tossing one  coin, the outcome is called a simple event.  Here are three examples of calculating  probability for  simple events.
EXAMPLE 1
When we roll a die, what is the probability of getting an odd number?  This event  will be called event A.  What is the probability of getting a number less than 4?  This  event will be called event B.  What is the probability of event A  and  B.
To determine this, we must look at the sample space: { 1, 2, 3, 4, 5, 6  }   .  Event A  involves the subset of odd numbers: { 1, 3, 5  }   .  Event B involves the subset of numbers  less than 4: { 1, 2, 3  }   .  The probability of event A  and  B is the  intersection  of these  subsets, or { }   .  Thus:
P(A  and  B) =
4 2
=
6 3

EXAMPLE 2
Suppose we want to know the probability of A  or  B:  getting an odd number  or  a  number less than 4.  This probability is the  union  of the two subsets, or { 1, 2, 3, 5  }   .  Thus:
P(A  or  B) =
4 2
=
6 3
REMEMBER: When we express a union of sets, we must be sure  not  to repeat an element that  appears in both sets.  In this case, the 1 and the 3 appear in both sets, but each appears just  once in the union.
EXAMPLE 3
When we roll a die, the probability of getting a 2 is
1
6
.  What is the probability of   not  getting a 2?
In rolling a die, the outcome must be either a 2 or not a 2.  This is certain.
Therefore, the probability of getting a 2  or  not getting a 2 is 1.  Therefore, to find the  probability of not getting a 2, we subtract the probability of getting a 2 from 1:
P(not 2) =   1
1 5
=
6 6
Another way to find the probability of not getting a 2 is to calculate the probability of all  the other possible events.  When we roll a die, there are 5 ways  not  to get a 2:
{ 1, 3, 4, 5, 6  }   .
Therefore, the probability of not getting a 2 is
5
6
In an experiment, the sum of the probabilities of all the possible events must be equal 1.
Therefore, a  formula  for the probability of “ not   A” is:
P(not A) = 1 – P(A)

EXAMPLE
A child bank contains 7 quarters (Q) ,  5 dimes (D), 12 nickels (N), and 16 pennies (P).
1.  Without looking at the contents, the child reaches in and takes out 1 coin.  Find the  probability that the coin is a:  a.  dime  b.  quarter  c.  penny or a nickel  d.  quarter or a dime
Answers:  The sample space consists of 7 + 5 + 12 + 16 = 40 coins.  Therefore, the  probability is:  a. (D) =
5 1
=
40 8
7  b.  (Q) =
40  c.  P(P or N) =
16 12 28 7
+ = =
40 40 40 10 d.  P(Q or D) =
7 5 12 3
+ = =
40 40 40 10
2.  What is the probability that the child will  not  select a quarter?
7
Answer:   P(Q) =
40
. Therefore, P(not Q) =   1
7 33
=
40 40
Another way to calculate this is to sum the probabilities of all the other outcomes:
P(not Q) =
5 12 16 33
+ + =
40 40 40 40
3.  What is the probability of selecting a quarter  or  a dime  or  a nickel  or  a penny?
Answer :  This probability is the sum of the probabilities of all the possible  outcomes.  Therefore:
P(Q or D or N or P) =
7 5 12 16 40
+ + + = =
40 40 40 40 40
1
You could simply answer “1” without calculating, since in any experiment the sum of the  probabilities of all possible outcomes must be 1.

4. Given the set of numbers { 1, 2, 3, 6, 7,11  }   , what is the probability of selecting a number  that is odd  and  greater than 6?
Answer:  This probability is an intersection of subsets.  The sample space  consists of 6 numbers.  The subset of odd numbers is { 1, 3, 7,11  }   .  The subset of  numbers greater than 6 is { 7,11  }   .  The intersection of these two subsets is { 7,11  }   .
Thus:
P(odd and >6) =
2 1
=
6 3
5.  Given the spinner shown, find the probability that in one spin the pointer will land on  a 1.
We assume that a spinner (like a die or a coin) is “fair.”  Thus there is an equal  chance of landing on each sector.  We also assume that the sectors are equal size
(unless a problem states otherwise).
Answer :  There are 8 sectors on which the pointer can land, so the sample space  is 8.  Since 3 sectors are marked “1,” there are 3 successful outcomes.
Therefore, the probability is :
P(1) =   number of successful outcomes      =  3  total number of possible outcomes        8

TRY THESE
Items 1 and 2: A  jar contains 25 marbles; 5 red, 7 blue, 2 black, 2 white, and 9 yellow.
Without looking, you take 1 marble.
1.  Find the probability of selecting:  a. a red marble  b. a black marble  c. a white or yellow marble  d. a red or a blue marble
2. What is the probability of NOT choosing a blue marble?
3.  Given the set of numbers { 1, 2, 4, 7, 9,12  }   , what is the probability of selecting a number  that is even  and  less than 7?
4.  Given the spinner shown, predict how many times the pointer will land on red if the  spinner is spun 84 times.

People often talk about “odds.”  We say, “What are the odds that it will rain  today?”  or “The odds of my passing this test are good.”
In the study of probability, odds are expressed in one of two ways.  First, we can  find the  odds in favor of an event : the odds that an event will occur.  Second, we can  find the  odds against an event : the odds that the event will  not  occur.
Let A stand for an event.  The probability of A is :
P(A) =    number of successful outcomes  total number of possible outcomes
The odds in favor of A are calculated as follows:
Odds of A = probability that A will occur              P( A)  probability that A will not occur  =    P(notA)
The odds against A are calculated as:
Odds against A =  probability that A will occur  P(notA)  probability that A will occur  =  P(A)
REMEMBER:  To find P(not A), you can use two methods.  The first method is to subtract
P(A) from 1 –P(A).  The second method is to find the sum of the probabilities of all the  other events, all the events that are not A.
EXAMPLE:
A jar contains 5 candies: 3 red and 2 green.  You choose 1 candy without  looking.  What are the odds in favor of getting a red candy?
There are 3 chances that the event “red” will occur and 2 chances that the event “green”  will occur.  Therefore the odds in favor of red are:
Odds of red = probability that red will occur           =     P(red)             =   3
Probability that red will not occur    =    P(not red)       =  2
We express this answer by saying that the odds in favor of choosing red are 3 to 2.

EXAMPLE
One of three students –Ann, Bill, and Cory­­­will be chosen at random to lead a  group discussion.  What are the odds that Ann will be selected?  What are the odds  against Ann’s being selected.
The probability that Ann will be selected is 1/3, so the probability that she will  not   be selected is 1 – 1/3 = 2/3.
The odds   in favor of  selecting Ann are calculated as:
1
( )
3
1 3 3 1
= = · = =
2  3 2 6 2
3
Therefore, the odds in favor of selecting Ann are 1 to 2.  We can also say “1 in 2” or “1  out of 2.”
The odds against selecting Ann are:
( )
2
3
2
3
6 2
= = · = =
1  3 3 1
3
We say that the odds against selecting Ann are 2 to 1.
EXAMPLE
1.  There are 20 people in a room: 13 males (M) and 7 females (F).  What are the  odds that 1 person chosen at random will be a male?
Answer :  P(M) =
13
20  and P(not M)= 1 ­
13 7
=
20 20
Therefore the odds in favor of choosing a male are:
( ) 13 7 13 20 13
(
= ¸ = · =
) 20 20 20 7 7
2.  You enter a contest in which the probability of winning the prize is
2
15
.  What  are the odds in favor of winning?
Answer :  The probability P(not W) of not winning is
13
15
.
Therefore  the odds in favor of winning (W) are :

( )
(
2 13 2 15 2
= ¸ = · =
) 15 15 15 13 13
3.  Shirts and pants are hanging on a rack in a dark closet.  You reach in and take one  item at random.  In this situation, it has been determined that the odds of choosing a  shirt are
2
9
.  If you choose 44 items in this way, predict the number of shirts you will get.
Answer :  Since 2 + 9 = 11, the given odds imply that out of every 11 items  chosen, 2 will shirts.  Calculate:
2
11
44
88
· = =
11
8
Therefore, you can predict that you will get 8 shirts.
TRY THESE
1.  You choose one number from the numbers 1,2,3,4, and 5.  What are the odds in  favor of choosing an even number?
2.  Students in Mr. McDonnell’s history class are being chosen at random to give oral  reports.  There are 28 students, of which 15 are girls.  What are the odds against a  boy’s being the first person chosen to give a report?
3.  In one class of 30 students, the odds that a student will go to college outside of the  state of Florida is 1 out of 5.  Predict how many students will go to college outside  of Florida.