‫‪July 2013‬‬
‫‪Chapter 18‬‬
‫‪Interpolation‬‬
‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية ‪ 9 4444 062‬أو بالبريد اإللكتروني‬
‫‪Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy‬‬
‫م‪ .‬حمادة شعبان ‪info@eng-hs.com 9 4444 260‬‬
‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين ‪, eng-hs.neteng-hs.com‬‬
July 2013
You will frequently have to estimate intermediate values between
precise data points. The most common method used for this purpose is
polynomial interpolation. Recall that the general formula for an n th order
polynomial is
𝑓(𝑥 ) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + … + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
For n+1 data points, there is one and only one polynomial of order n that
passes through all the points. For example, there is only one straight line
(that is, a first-order polynomial) that connects two points (figure (a)).
Similarly, only one parabola connects a set of three points (figure (b)).
Polynomial Interpolation consists of determining the unique n th order
polynomial that fits n+1 data points. This polynomial then provides a
formula to compute intermediate values.
Although there is one and only nth polynomial that fits n+1 points,
there are a variety of mathematical formats in which this polynomial can
be expressed. We will describe two alternatives that are well-suited for
computer implementation:
The Newton and the Lagrange polynomials.
‫ال تلم ماضيك بل‬
‫إعمل لمستقبلك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
18.1 Newton’s Divided Difference Interpolating Polynomials
Newton’s divided difference interpolating polynomial is among the
most popular and useful forms. We will introduce the first and second
equations because of their simple visual interpretation.
18.1.1 Linear Interpolation
The simplest form of interpolation is to connect two data points with
a straight line. Using similar triangles,
𝑓1 (𝑥)− 𝑓(𝑥0 )
𝑥− 𝑥0
=
𝑓(𝑥1 )− 𝑓(𝑥0 )
𝑥1 − 𝑥0
Which can be rearranged to yield
𝑓1 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥0 ) +
𝑓(𝑥1 )− 𝑓(𝑥0 )
𝑥1 − 𝑥0
(𝑥 − 𝑥0 )
The notation 𝑓1 (𝑥 ) designates that this is a first-order interpolating
polynomial. In general, the smaller the interval between the data points,
the better the approximation.
‫ال يحزنكككككككك إ ا ف كككككككل‬
‫مادم ك تحككاوو الوقككو‬
‫على قدميك من جديد‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
EXAMPLE 18.1 Linear Interpolation
Problem Statement:
Estimate the natural logarithm of 2 using linear interpolation.
First, perform the computation by interpolating between ln 1 = 0 and
ln 6 = 1.791759. Then, repeat the procedure, but use a smaller interval
from ln 1 to ln 4 (1.386294). Note that the true value of ln 2 is 0.6931472.
Solution:
We use the previous equation and a linear interpolation for ln(2) from
x0 = 1 to x1 = 6 to give
𝑓1 (2) = 0 +
1.791759 − 0
6−1
(2 − 1) = 0.3583519
Which represents an error of εt = 48.3%. Using the smaller interval from
x0 = 1 to x1 = 4 yields
𝑓1 (2) = 0 +
1.386294 − 0
4−1
(2 − 1) = 0.4620981
Thus, using the shorter interval reduces the percent relative error to
εt = 33.3%. Both interpolations are shown in the next figure, along with the
true function.
،‫كلما ارتفع اإلنسان‬
‫تكاثف حوله الغيوم‬
‫والمحن‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
18.1.2 quadratic Interpolation
The error in Example 18.1 resulted from our approximating a curve
with a straight line. Consequently, a strategy for improving the estimate is
to introduce some curvature into the line connecting the points.
If three data points are available, this can be accomplished with a
second-order polynomial (also called a quadratic polynomial or a
parabola). A particularly convenient form for this purpose is
𝑓2 (𝑥 ) = 𝑏0 + 𝑏1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )
(18.3)
Note that although the previous equation might seem to differ from
the general polynomial, the two equations are equivalent. This can be
shown by multiplying the terms in the previous equation to yield
𝑓2 (𝑥 ) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 − 𝑏1 𝑥0 + 𝑏2 𝑥 2 + 𝑏2 𝑥0 𝑥1 − 𝑏2 𝑥𝑥0 − 𝑏2 𝑥𝑥1
Or, collecting terms,
𝑓2 (𝑥 ) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2
where
𝑎0 = 𝑏0 − 𝑏1 𝑥0 + 𝑏2 𝑥0 𝑥1
𝑎1 = 𝑏1 − 𝑏2 𝑥0 + 𝑏2 𝑥1
𝑎2 = 𝑏2
‫ال ينبغي أبدا أن نسعي وراء فكرة شخص‬
‫آخر عما ينبغي أن نكون أو كيف نعيش‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
Thus, eq. (18.3) and the general equation are alternative, equivalent
formulation of the unique second-order polynomial joining the three
points.
A simple procedure can be used to determine the values of the
coefficients. For b0, Eq. (18.3) with x = x0 can be used to compute
𝑏0 = 𝑓(𝑥0 )
which can be evaluated at x = x1 for
𝑏1 =
𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑥1 − 𝑥0
Finally,
𝑏2 =
𝑓(𝑥2 )− 𝑓(𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥1
−
𝑓(𝑥1 )− 𝑓(𝑥0 )
𝑥1 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0
Notice that, as was the case with linear interpolation, b1 still
represents the slope of the line connecting points x0 and x1. Thus, the first
two terms of Eq. (18.3) are equivalent to linear interpolation from x 0 to x1.
The last term, b2(x – x0)(x – x1), introduces the second-order curvature into
the formula.
‫ألن يكرهك الناس وأن تحترم نفسك أحب‬
‫من أن يحبك الناس وأن تكره نفسك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
EXAMPLE 18.2 Quadratic Interpolation
Fit a second-order polynomial to the three points used in Example 18.1:
𝑥0 = 1
𝑓(𝑥0 ) = 0
𝑥1 = 4
𝑓(𝑥1 ) = 1.386294
𝑥2 = 6
𝑓(𝑥2 ) = 1.791759
Use the polynomial to evaluate ln 2.
Solution:
Applying the previous equations yield
𝑏0 = 0
𝑏1 =
𝑏2 =
1.386294
4−1
= 0.4620981
1.791759−1.386294
– 0.4620981
6−4
6−1
= −0.0518731
𝑓2 (𝑥 ) = 0 + 0. 4620981 (𝑥 − 1) − 0.0518731(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
𝑓2 (2) = 0.5658444
which represents a relative error of εt = 18.4%. Thus the curvature
introduced by the quadratic formula (next figure) improves the
interpolation compared with the result obtained using straight lines in
Example 18.1
‫ليس هناك عمل صعب‬
‫إ ا قسمته إلى أجزاء‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
18.1.3 General form of Newton’s Interpolating Polynomials
The preceding analysis can be generalized to fit an n th order
polynomial to n+1 data points. The nth-order polynomial is
𝑓𝑛 (𝑥 ) = 𝑏0 + 𝑏1 (𝑥 − 𝑥0 ) + ⋯ + 𝑏𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ). . (𝑥 − 𝑥𝑛−1 )
Data points can be used to evaluate the coefficients b0, b1, …, bn.
For a nth order polynomial, n+1 data points are required: [x0, f(x0)],
[x1, f(x1)], …, [xn, f(xn)].
We use these data points and the following equations to evaluate the
coefficients:
𝑏0 = 𝑓(𝑥0 )
𝑏1 = 𝑓[𝑥1 , 𝑥0 ]
𝑏2 = 𝑓[𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ]
.
.
.
𝑏𝑛 = 𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , … , 𝑥1 , 𝑥0 ]
where the bracketed function evaluations are finite divided differences.
For example, the first finite divided difference is represented generally as
𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ] =
𝑓(𝑥𝑖 )− 𝑓(𝑥𝑗 )
𝑥𝑖 − 𝑥𝑗
‫يمككوت الجبنككاء مككرات عديككدة قبككل‬
‫ أمككككا ال ككككجعان‬،‫أن يككككأتي أجلهككككم‬
‫فيذوقون الموت مرة واحدة‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
The second finite divided difference, which represents the difference of
two first divided differences, is expressed generally as
𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 , 𝑥𝑘 ] =
𝑓[𝑥𝑖 ,𝑥𝑗 ]− 𝑓[𝑥𝑗 ,𝑥𝑘 ]
𝑥𝑖 − 𝑥𝑘
Similarly, the nth finite divided difference is
𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , … , 𝑥1 , 𝑥0 ] =
𝑓[𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 ,…,𝑥1 ]− 𝑓[𝑥𝑛−1 ,𝑥𝑛−2 ,…,𝑥0 ]
𝑥𝑛 − 𝑥0
We can then substitute equations to yield the interpolating polynomial
𝑓𝑛 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥0 ) + (𝑥 − 𝑥0 )𝑓[𝑥1 , 𝑥0 ] + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )𝑓[𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ]
+ … + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1 )𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , … , 𝑥0 ]
which is called Newton’s divided-difference interpolating polynomial.
It should be noted that it is not necessary that the data points used in the
previous equation be equally spaced or that the abscissa values
necessarily be in ascending order.
‫مهما قدم لألسد من طعام‬
.‫فإنه يظل يحن إلى الغابة‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
EXAMPLE 18.3 Newton’s Divided-Difference Interpolating Polynomials
Problem Statement:
In Example 18.2, data points at x0 = 1, x1 = 4, and x2 = 6 were used to
estimate ln 2 with a parabola. Now, adding a fourth point [x3 = 5;
f(x3) = 1.609438], estimate ln 2 with a third-order Newton’s interpolating
polynomial.
Solution:
The third-order polynomial with n = 3, is
𝑓3 (𝑥 ) = 𝑏0 + 𝑏1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )
+ 𝑏3 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
The first divided differences for the problem are
𝑓[𝑥1 , 𝑥0 ] =
1.386294−0
𝑓[𝑥2 , 𝑥1 ] =
1.791759−1.386294
𝑓[𝑥3 , 𝑥2 ] =
1.609438−1.791759
4−1
= 0.4620981
6−4
5−6
= 0.2027326
= 0.1823216
The second divided differences are
𝑓[𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ] =
0.2027326−0.4620981
𝑓[𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ] =
0.1823216−0.2027326
6−1
5−4
= −0.05187311
= −0.02041100
‫نفسككك كالسككماء قككد تمككر بهككا سككحب‬
‫مظلمة لكن حتما ستصفو مرة أخرى‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
Continue:
The third divided difference is
𝑓[𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ] =
−0.2027326−(−0.05187311)
5−1
= −0.007865529
The results for 𝑓[𝑥1 , 𝑥0 ], 𝑓[𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ], and 𝑓[𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ] represent the
coefficients b1, b2, and b3, respectively, of the nth-order polynomial
equation. Along with b0 = f(x0) = 0.0, that equation is
𝑓3 (𝑥 ) = 0 + 0.4620981 (𝑥 − 1) − 0.05187311 (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
+ 0.007865529 (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 − 6)
which can be used to evaluate f3(2) = 0.6287686, which represents a
relative error of εt = 9.3%. The complete cubic polynomial is shown in the
next figure.
‫من أهم مفاتيح الف كل أن‬
‫تحاوو إرضاء الجميع‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
18.2 Lagrange Interpolating Polynomials
The Lagrange interpolating polynomial is simply a reformulation of
the Newton polynomial that avoids the computation of divided
differences. It can be represented concisely as
𝑓𝑛 (𝑥 ) = ∑𝑛𝑖=0 𝐿𝑖 (𝑥 )𝑓(𝑥𝑖 )
(18.20)
where
𝐿𝑖 (𝑥 ) = ∏𝑛𝑗=0
𝑗≠𝑖
where ∏
𝑥− 𝑥𝑗
𝑥 𝑖 − 𝑥𝑗
designates the “product of”. For example, the linear version
(n=1) is
𝑓1 (𝑥 ) =
𝑥− 𝑥1
𝑥0 − 𝑥1
𝑓 (𝑥0 ) +
𝑥− 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
𝑓(𝑥1 )
And the second-order version is
𝑓2 (𝑥) =
(𝑥− 𝑥1 )(𝑥− 𝑥2 )
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 )
(𝑥− 𝑥0 )(𝑥− 𝑥2 )
𝑓(𝑥0 ) + (𝑥
1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 )
𝑓(𝑥1 ) +
(𝑥− 𝑥0 )(𝑥− 𝑥1 )
(𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 )
𝑓(𝑥2 )
Eq. (18.20) can be derived directly from Newton’s polynomial.
+
(𝑥− 𝑥0 )(𝑥− 𝑥1 )
(𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 )
𝑓 (𝑥2 )
‫نصكككككككيب اإلنسكككككككان مكككككككن‬
‫السعادة يتوقكف علكى مكدى‬
‫رغبته في أن يكون سعيدا‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
EXAMPLE 18.6 Lagrange Interpolating Polynomials
Problem Statement:
Use a Lagrange interpolating polynomial of the first and second order to
evaluate ln 2 on the basis of the data given:
X0 = 1
f(x0) = 0
X1 = 4
f(x1) = 1.386294
X2 = 6
f(x2) = 1.791760
Solution:
The first-order polynomial can be used to obtain the estimate at x = 2,
𝑓1 (2) =
2−4
1−4
0+
2−1
4−1
1.386294 = 0.4620981
In a similar fashion, the second-order polynomial is developed as
𝑓2 (2) =
(2−4)(2−6)
(1−4)(1−6)
0+
(2−1)(2−6)
(4−1)(4−6)
1.386294
(2−1)(2−4)
+ (6−1)(6−4) 1.791760 = 0.5658444
As expected, both these results agree with those previously obtained using
Newton’s interpolating polynomial.
،‫الحكمككككة أن تعككككر مككككا ا تريككككد‬
‫والمهككارة أن تعككر كيككف تصككل‬
‫ والنجاح أن تفعل‬،‫إلى ما تريد‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
Problem 18.1
Estimate the common logarithm of 10 using linear interpolation.
(a) Interpolate between log 8 = 0.9030900 and log 12 = 1.0791812.
(b) Interpolate between log 9 = 0.9542425 and log 11 = 1.0413927.
For each of the interpolations, compute the percent relative error based
on the true value.
Solution
(a)
f1 (10)  0.90309 
t 
1.0791812  0.90309
(10  8)  0.991136
12  8
1  0.991136
 100 %  0.886%
1
(b)
f1 (10)  0.9542425 
t 
1.0413927  0.9542425
(10  9)  0.997818
11  9
1  0.997818
 100%  0.218%
1
‫احككرع علككي حاككور الككدقائ األولككى‬
‫من المحاضرات حتي تسكتطيع متابعكة‬
‫تفاصيلها وال تفقد تتابع الموضوع‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
Problem 18.2
Fit a second-order Newton’s Interpolating polynomial to estimate log 10
using the data from problem 18.1 at x = 8, 9, and 11. Compute the true
percent relative error.
Solution
First, order the points
x0 = 9 f(x0) = 0.9542425
x1 = 11 f(x1) = 1.0413927
x2 = 8 f(x2) = 0.9030900
b0 = 0.9542425
b1 
1.0413927  0.9542425
 0.0435751
11  9
0.9030900  1.0413927
 0.0435751
0.0461009  0.0435751
8  11
b2 

 0.0025258
89
89
Substituting these values yields the quadratic formula
f 2 ( x)  0.9542425  0.0435751 ( x  9)  0.0025258 ( x  9)( x  11)
which can be evaluated at x = 10 for
f 2 (10)  0.9542425  0.0435751 (10  9)  0.0025258 (10  9)(10  11)  1.0003434
‫أمككوت محبوبككا خيككر لككي‬
‫من أن أعيش مكروها‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
July 2013
Problem 18.3
Fit a third-order Newton’s interpolating polynomial to estimate log 10
using the data from Problem 18.1
Solution:
First, order the points
x0 = 9 f(x0) = 0.9542425
x1 = 11 f(x1) = 1.0413927
x2 = 8 f(x2) = 0.9030900
x3 = 12 f(x3) = 1.0791812
The first divided differences can be computed as
f [ x1 , x0 ] 
1.0413927  0.9542425
 0.0435751
11  9
f [ x 2 , x1 ] 
0.9030900  1.0413927
 0.0461009
8  11
f [ x3 , x 2 ] 
1.0791812  0.9030900
 0.0440228
12  8
The second divided differences are
f [ x2 , x1 , x0 ] 
0.0461009  0.0435751
 0.0025258
89
f [ x3 , x2 , x1 ] 
0.0440228  0.0461009
 0.0020781
12  11
The third divided difference is
f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] 
 0.0020781  (0.0025258 )
 0.00014924
12  9
،‫إ ا تكلم ك بالكلمككة ملكتككك‬
‫وإ ا لم تتكلم بها ملكتها‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
‫‪July 2013‬‬
‫‪Continue:‬‬
‫‪Substituting the appropriate values into Eq. (18.7) gives‬‬
‫)‪f 3 ( x)  0.9542425  0.0435751 ( x  9)  0.0025258 ( x  9)( x  11‬‬
‫)‪ 0.00014924 ( x  9)( x  11)( x  8‬‬
‫‪which can be evaluated at x = 10 for‬‬
‫)‪f 3 ( x)  0.9542425  0.0435751 (10  9)  0.0025258 (10  9)(10  11‬‬
‫‪ 0.00014924 (10  9)(10  11)(10  8)  1.0000449‬‬
‫ما هكي االهتمامكات التكي تحيكا مكن‬
‫أجلهكككا وسكككتعمل علكككى إنفكككا جكككل‬
‫جهدك ومالك لتحقيقها في حياتك‬
‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية ‪ 9 4444 062‬أو بالبريد اإللكتروني‬
‫‪Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy‬‬
‫م‪ .‬حمادة شعبان ‪info@eng-hs.com 9 4444 260‬‬
‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين ‪, eng-hs.neteng-hs.com‬‬