第二章 波动光学（续1）
1. 惠更斯-菲涅耳原理
2. 夫琅禾费单缝衍射
3. 夫琅禾费圆孔衍射
4. 光学仪器的分辨本领
5. 圆孔和圆屏菲涅耳衍射、波带片
6. 位移-相移定理
7. 一维光栅、二维光栅
8. 三维光栅—X射线晶体衍射
Diffraction
概论：
Shadow of a
Light does not always
hand
travel in a straight line. illuminated
by a
HeliumIt tends to bend
Neon laser
around objects. This
tendency is called
"diffraction.“
Any wave will do this,
including matter
waves and acoustic
waves.
Shadow of
a zinc oxide
crystal
illuminated
by a
electrons
Why it’s hard to see diffraction
为什么平常难见衍射？
Diffraction tends to cause ripples at edges. But poor source
temporal or spatial coherence masks them.
Example: a large spatially incoherent source (like the sun) casts
blurry shadows, masking the diffraction ripples.
因为半影掩盖了衍射
Screen
with hole
Untilted rays
yield a perfect
shadow of the
hole, but off-axis
rays blur the
shadow.
Diffraction of a wave
by a slit
Whether waves in water or
electromagnetic radiation in
air, passage through a slit
yields a diffraction pattern
that will appear more
dramatic as the size of the
slit approaches the
wavelength of the wave.

<<slit size
  slit size
  slit size
Diffraction of ocean water waves
Ocean waves passing through slits in Tel Aviv, Israel
Diffraction occurs for all waves, whatever the phenomenon.
Even without
a small slit,
diffraction
can be strong.
Simple
propagation
past an edge
yields an
unintuitive
irradiance
pattern.
Transmission
Diffraction by
an Edge
刀口衍射
Light
passing by
edge
Electrons
passing by
an edge
(Mg0 crystal)
x
Radio waves diffract around mountains
无线电波在山顶的衍射
When the
wavelength is
km long, a
mountain peak is
a very sharp
edge!
Another effect
that occurs is
scattering, so
diffraction’s role
is not obvious.
Diffraction: Example 单缝衍射
Fresnel Diffraction from a single slit: near field and far field
Close
to the
slit
Slit
Incident
plane wave
z
Far
from
the
slit
光的衍射：当光波遇到障碍物时，会偏离几何光学的直线传播而绕行的现
象称为光的衍射(diffraction of light).
在OPPO(澳宝）的内部，
由无数规则的二氧化
硅球粒一间隙形成了
很多的三维衍射光栅，
当光线射入到欧泊石
内部时，出现了光线
的衍射作用，衍射的
角度随波长的变化而
变化，从而在不同的
角度可见不同的颜色，
亦就是所谓的变彩。
衍射的一般特点：
1、限制与展宽



发散角、波长和限制尺度的关系：
   ~ 
2、衍射图样和衍射屏的结构一一对应，结构越细微，相应的衍射图样
越扩大。
微结构
衍射图样
DNA的X光衍射照片
创新需要多学科交叉
克里克、沃森、威尔金斯，1962年 诺贝尔奖。上世纪，研究DNA结构的
弗兰克林、威尔金斯、鲍林都是物理学家或化学家，所以，有人说：是物理
学“剑走偏锋”，助产了现代生物学。
一、 惠更斯-菲涅耳原理 Huygens Fresnel Principle
菲涅耳是法国物理学家和铁路工程师。
1788年5月10日生于布罗利耶，1806年毕业于巴
黎高工，1809年又毕业于巴黎桥梁与公路学校。
1823年当选为法国科学院院士，1825年被选为
英国皇家学会会员。1827年7月14日因肺病医治
无效而逝世，终年仅39岁。
菲涅耳
（Augustin-Jean Fresnel 1788-1827）
菲涅耳的科学成就主要有两个方面。一是衍射。他以惠更斯原理和
干涉原理为基础，用新的定量形式建立了惠更斯--菲涅耳原理，完善了光
的衍射理论。另一成就是偏振。他与D. F. J. 阿拉果一起研究了偏振光的
干涉，确定了光是横波（1821）；他发现了光的圆偏振和椭圆偏振现象
（1823），用波动说解释了偏振面的旋转；他推出了反射定律和折射定
律的定量规律，即菲涅耳公式；解释了马吕的反射光偏振现象和双折射
现象，奠定了晶体光学的基础。
惠更斯原理 Huygens Principle
 In 1678 the great Dutch physicist Christian Huygens
(1629-1695) wrote a treatise (论文) called Traite de la
Lumiere on the wave theory of light, and in this work he
stated that
the wavefront of a propagating wave of light at any instant
conforms to the envelope of spherical wavelets emanating (发出)
from every point on the wavefront at the prior instant (with the
understanding that the wavelets have the same speed as the
overall wave).
 Or:
Every point of a wave front may be considered the source of
secondary wavelets that spread out in all directions with a speed
equal to the speed of propagation of the waves.
惠更斯原理 Huygens Principle
光扰动同时到达的空间曲面被称为波面或波前，波前上的每一点都可
以看成一个新的扰动中心，称为子波源或次波源，次波源向四周发出次
波；下一时刻的波前是这些大量次波面的公切面，或称为包络面；次波
中心与其次波面上的那个切点的连线方向给出了该处光传播方向。
惠更斯原理的不足：
没有回答光振幅的传播问题
没有回答光相位的传播问题
惠更斯的次波概念
菲涅耳的贡献
补充和发展
提出
次波相干叠加的概念
统一的衍射分析的理论框架
惠更斯—菲涅耳原理
光波干涉概念
因而产生了“惠更斯—菲涅耳原理”
波前上的每个面元都可以看成次波源，它们向四周发射次波；波场中任
一场点的扰动都是所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加
惠更斯—菲涅耳原理的数学表示：
~
~
U ( P )   dU ( P )
S
()
~~
dU ( P) ???

P
Huygens-Fresnel Principle 英语表述
 Augustin Fresnel (1788-1827) elaborated on Huygens'
Principle by stating that
the amplitude of the wave at any given point equals the
superposition of the amplitudes of all the secondary wavelets at
that point (with the understanding that the wavelets have the
same frequency as the original wave).
 The Huygens-Fresnel Principle is adequate to account
for a wide range of optical phenomena, and it was later
shown by Gustav Kirchhoff (1824-1887) how this
principle can be deduced from Maxwell's equations.
How do you think of Huygens-Fresnel Principle ?
对惠更斯-费涅尔原理 的质疑
…… In any case, the Huygens-Fresnel Principle has been very
useful and influential in the field of optics, although there is a wide
range of opinion as to its scientific merit. Many people regard it as a
truly inspired insight, and a fore-runner of modern quantum electrodynamics, whereas others dismiss it as nothing more than a naive
guess that sometimes happens to work. For example, in his
excellent "Principles of Electrodynamics", Melvin Schwartz wrote
Huygens' principle tells us to consider each point on a wavefront as a
new source of radiation and add the "radiation" from all of the new
"sources" together. Physically this makes no sense at all. Light does
not emit light; only accelerating charges emit light. Thus we will begin by
throwing out Huygens' principle completely; later we will see that it
actually does give the right answer for the wrong reasons.
http://www.mathpages.com/home/kmath242/kmath242.htm
Mathematic expressions of Huygens-Fresnel
Principle
n
dS
源
0

R
r
S

~
P 观察点
基于物理上的基本概念 考虑， dU ( P)决定于：
~
dU ( P)  dS
 波前上作为次波源的微 分面元
 ~
~
d
U
(
P
)

U

0 (Q)  次波源的自身复振幅

 ~
1 ikr
d
U
(
P
)

e
 次波源发出的球面波到 达场点

r
 ~

dU ( P)  f ( 0 , )  倾斜因子表示次波面源 的发射非各向同性
引进一个比例常数，根据分析，惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式写成：
？？
eikr
~
~
U ( P)  K  f ( 0 , )U 0 (Q)
dS
r
()
？？
Kirchhoff 科希霍夫衍射积分公式：
科希霍夫(Gustav R. Kirchhoff, 1824—1887) 德国物理学家。
 i (cos 0  cos ) ~
eikr
~
U ( P) 
U 0 (Q)
dS

 ()
2
r
和菲涅耳的衍射积分公式的主体结构式相同的，科希霍夫的新贡献是：
cos 0  cos
，
2
闭合面上的各个次波源均对场点扰动有贡献
(1) 明确了倾斜因子，f ( 0 ,  ) 
(2) 给出了比例系数，K 
i


1

e
i

2
(3) 明确指出，积分面()不限于等相面，可以是
隔离光源和场点的任意闭合曲面。
衍射的分类—菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射
Slit
Clos
e to
the
slit
z
Far
fro
m
the
slit
Incident
plane wave
按光源、衍射屏和接受屏三者之间的距离的远近将衍射分为两大类：
菲涅耳衍射：光源—衍射屏—接受屏之间距
离为有限远。
弗琅和费衍射：光源—衍射屏—接受屏之
间距离为无限远。
圆孔和圆屏菲涅耳衍射、波带片
衍射图样及其特征
泊松亮斑(Poisson spot)：
数学家泊松(粒子学说的信奉者)利用惠更斯—菲涅耳衍射原理，计算出
圆屏衍射中心竟会是一亮斑，这在泊松看来是十分荒谬的，影子中间怎么会
出现亮斑呢？这差点使得菲涅尔的论文中途夭折。但菲涅耳的同事阿拉果
(Francois Arago)在关键时刻坚持要进行实验检测，结果发现真的有一个亮点
如同奇迹一般地出现在圆盘阴影的正中心，位置亮度和理论符合得相当完美。
夫琅禾费
夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787—1826)
夫琅禾费是德国物理学家。1787年3月6日生于
斯特劳宾，父亲是玻璃工匠，夫琅禾费幼年当学
徒，后来自学了数学和光学。1806年开始在光学
作坊当光学机工，1818年任经理，1823年担任慕
尼黑科学院物理陈列馆馆长和慕尼黑大学教授，
慕尼黑科学院院士。夫琅禾费自学成才，一生勤
奋刻苦，终身未婚，1826年6月7日因肺结核在慕
尼黑逝世。
夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身，把理论与丰富的实践经验结
合起来，对光学和光谱学作出了重要贡献。1814年他用自己改进的分光系统，
发现并研究了太阳光谱中的暗线（现称为夫琅禾费谱线），利用衍射原理测
出了它们的波长。他设计和制造了消色差透镜，首创用牛顿环方法检查光学
表面加工精度及透镜形状，对应用光学的发展起了重要的影响。他所制造的
大型折射望远镜等光学仪器负有盛名。他发表了平行光单缝及多缝衍射的研
究成果（后人称之为夫琅禾费衍射），做了光谱分辨率的实验，第一个定量
地研究了衍射光栅，用其测量了光的波长，以后又给出了光栅方程。
回忆：在波动光学一节，我们介绍了波前函数的远场条件
(1) 源点和场点满足傍轴条件 z 2  0 2 ,  2
A
~
U ( x, y)  e
z
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2
ik
2z
 eikz  e
x2  y2
ik
2z
e
x0 2  y0 2
ik
2z
点源的二次因子，场点的的二次因子，交叉线性因子。
(2) 源点满足远场条件，场点满足傍轴条件
z  0 , z 2   2
2
~
U ( x, y)  e
x2  y 2
ik
2z
e
ik
xx0  yy0
z
场点的的二次因子，和(x0,y0)有关的线性因子。
(3) 源点满足傍轴条件，场点满足远场条件
z   2 , z 2  0
~
U ( x, y)  e
x0 2  y0 2
ik
2z
e
2
ik
xx0  yy0
z
e
ik
xx0  yy0
z
Fraunhofer Diffraction: Far Field
Fraunhofer 衍射是远场衍射
目标是要去掉二次项
Recall the Fresnel diffraction result:

x12  y12 
1
U  x1 , y1  
exp  ikz 

i z
2
z



  (2 x0 x1  2 y0 y1 ) ( x02  y02 )  
exp ik 

  U  x0 , y0  dx0 dy0
2z
2 z  
 
A (x0 , y0 )
Let D be the size of the aperture: D = x02 + y02.
回忆远场条件
When kD2/2z << 1, the quadratic terms << 1, so we can neglect them:

x12  y12 
1
U  x1 , y1  
exp  ikz 

i z
2
z



z   2 , z 2  0
 ik

exp   x0 x1  y0 y1  U  x0 , y0  dx0 dy0
 z

A ( x0 , y0 )
This condition corresponds to going far away: z >> kD2/2 = D2/
If D = 100 microns and  = 1 micron, then z >> 30 meters, which is far! (太远)
2
Lenses and phase delay
Ordinarily phase isn’t considered in geometrical optics, but it’s
worth computing the phase delay vs. x and y for a lens.
All paths through a lens to its focus have the same phase delay,
and hence yield constructive interference there.
Equal phase
delays
Focus
f
f
Lenses and phase delay
( x, y)
d
我们要证明：加透镜等于远场衍射！
First consider beam path length
(the x and y dependence) through
the lens.
d ( x, y)  n( x, y)  ( x, y)
 (n  1)( x, y)
( x, y )  R12  x 2  y 2  d
lens ( x, y)  k  d
 (n  1)k ( x, y)
lens ( x, y)  (n 1)k  R12  ( x2  y 2 )  d 


Lenses and phase
delay (cont’d)
( x, y)
d
我们要证明：加透镜等于远场衍射！
But:
R12  x 2  y 2  R1 1  ( x 2  y 2 ) / R12
x2  y 2
 R1 
2 R1
lens ( x, y)  (n  1)(k / 2R1 )( x 2  y 2 )
k 2

( x  y2 )
2f
( x, y )  R12  x 2  y 2  d
neglecting constant
phase delays (n-1)kR1
and we have used:
1/ f  (n 1) / 2R1
lens( x0 , y0 )  exp[i(n  1)(k / 2 R1 )( x02  y02 )]
 exp[ik ( x02  y02 ) / 2 f ]
A lens brings the far field in to its focal length
透镜把远场衍射拉近到焦距
A lens phase delay due to its thickness at the point (x0,y0):
lens( x0 , y0 )  exp[ik ( x02  y02 ) / 2 f ]
If we substitute this result into the Fresnel (not the Fraunhofer!) integral:
U ( x1 , y1 ) 



  (2 x0 x1  2 y0 y1 ( x02  y02 )  
exp ik 

  t ( x0 , y0 ) U ( x0 , y0 ) 
2z
2 z  
 
lens( x0 , y0 ) dx0 dy0
  (2 x0 x1  2 y0 y1 ( x02  y02 )  

( x02  y02 ) 
exp ik 

  t ( x0 , y0 ) U ( x0 , y0 )
   exp ik
2
z
2
z
2
f
 
 


The quadratic terms inside the exponential will cancel provided that:
(n 1)(k / 2R1 )  k / 2z
or
1/ z  (n 1)(1/ R1)
平凸透镜
dx0 dy0
A lens brings the far field in to its focal length
透镜把远场衍射拉近到焦距
The distance, z, is the lens "focal length," usually written as f.
For a lens that's curved on both faces,
1 1 
1/ f  (n  1)   
 R1 R2 
双凸面透镜
A lens brings the far field in to its focal length
This yields:
U ( x1 , y1 ) 

 k

exp i ( x0 x1  y0 y1 )  t ( x0 , y0 )U ( x0 , y0 ) dx0 dy0
 f

= Fruanhofer integration!
If we look in a plane one
focal length behind a lens,
we are in the Fraunhofer
regime, even if it is NOT
far away! So we see the
Fourier Transform of any
object immediately in front
of the lens!
E(x,y)
F {t(x,y) E(x,y)}
t(x,y)
A lens in this configuration is said to be a “Fourier-transforming lens.”
The Fraunhofer diffraction formula
We can write this result in terms of the off-axis k-vector components:
 
U  kx , k y  

E(x,y) = const if a plane wave
exp i  k x x  k y y  A( x, y )U ( x, y ) dx dy
Aperture function
 
where we’ve dropped the
subscripts, 0 and 1,
U  kx , k y   F
 A( x, y)U ( x, y)
kx
and:
kx = kx1/z
and
ky = ky1/z
kz
ky
二、单缝Fraunhoffer衍射
Fraunhofer Diffraction from a single slit
实验装置和现象
实验装置如上图，在透镜的后焦面接受夫琅禾费衍射场，中心为
亮斑，并且亮度大于两侧的亮条纹，中心亮条纹宽度是两侧的二倍，
亮斑的宽度随狭缝的变窄而展宽。
Methods to solve Fraunhoffer diffraction
patterns
 对Fraunhoffer衍射图样及其特征的分析方法
1. Vector graphic (矢量图解法)
2. Integration (Kirchhoff integration) (科希霍夫积分公式
法)
几何问题：已知弧长，求弦长
矢量图解法—衍射强度
F
D
A
d

2
P


2
R
A()＝ 弦长

E
B C
A0＝ 弧长
A0
f
把狭缝AB分成N 等份，光程差ADP  CEP，所以由A到B，每点附加的光程差：
l  d sin ；所以P点的复振幅可以写成：
2
2
2
2
i
d sin 
i
2 d sin 
i 3 d sin 
i
N d sin  





U     U i ( )  Ae 1  e
e
e
 ...  e

i 0


2
相当于一系列小矢量首尾衔接的和，矢量方向依次相差
d sin 的角度。
N
ikL0


2

Nd sin  
2

a sin ；R 
A0


2

A0
a sin 
A0＝ 弧长
矢量图解法—衍射强度 Fraunhofer Diffraction from a single
slit
求弦长：A()
A( )  2R sin
A( ) 

R
2
A0


2



sin  a sin  ；



a sin 
A0
A0
a sin 


a sin ，得：

sin  
A( )  A0
；

引进宗量 
光强：I ( )   A( ) 
2
 sin   
 I0 




2
Fraunhofer Diffraction from a slit is simply the Fourier Transform of a
rect function, which is a sinc function. The irradiance is then sinc2 .
单缝Fraunhoffer衍射图样的主要特点
(1)最大值（I0)在几何光学像点，
=0
(2)零点的位置；

a sin   k，即a sin   k ，

k  1，
 2...；
衍射强度I ( )  0,出现暗纹。
单缝Fraunhoffer衍射图样的主要特点(cont’d)
(3) 次极大的位置
d  sin   cos sin 
 2  0，即  tan时出现次极值。


d   


(4) 半角宽度0；
零级衍射峰值与其相邻暗点之间的夹角称为衍射的半角宽度。



a sin 1    sin 1   1  ,

a
a

 0  1  0  1  ，即 0  a  
a
单缝Fraunhoffer衍射图样的主要特点(cont’d)
16I0
(5)单缝宽度对衍射图样的影响
 0  a  
I
A0  S，I 0  A0  S 2
2
4I0
I0
(6)波长的影响
 0 


，所以长波长
蓝光
a
的光衍射半角宽度大。
根据基尔霍夫积分公式 ：
I
1

2
，所以波长短的光
I
红光
衍射峰值大。

Practice:
例题：在单缝夫琅禾费衍射实验中，照明光波长为600nm，透镜焦距为
200mm，单缝宽度为15m,求零级衍射斑的斑角宽度和屏幕上显示的零级
斑的几何宽度？
解：

600 103
半角宽度：0  
 0.04 rad
a
15
I0

I0/2
0

h
 h  0，所以几何长度为：
l  f 0  200  0.04  8mm
衍射图样的积分法求解（不同于前节矢量法）
F
D
A
P
L0

E
B C
f
(cos0  cos )
eikr
U ( ) 
U 0 (Q)
dS

 0
2
r
i
dS  bdx0，
U 0 (Q)  A，这里b为常数，
1
1 经透镜变换 1
在傍轴条件下，f (0 , )  1，振幅系数  

r
r0
f
相因子eikr , kr  kL  kx0 sin   kL0
   a sin 
 sin  
i

i
U ( ) 
AbeikL0  eikx0 sin  dx0 
AabeikL0  
f
f
  a sin 
a


2


a
2






*
见
后
面
说
明
衍射图样的积分法求解（不同于前节矢量法）
 sin 
U ( )  c 
 
i
 a sin 

ikL0
，其中
c

Aabe
，



f


 sin  
*
I    U ( )U ( )  I 0 
 ，
  
2
和矢量图解方法求解的结果完全一致
S
斜入射的夫琅禾费单缝衍射 Fraunhofer Diffraction: slant
F
incidence
M
R
i
D
A
P

d
N
B

2

2
E

C
A0
f
弧长＝A0
把狭缝分成 N等份，光程差 ADP  CEP，SNB  SMA，所以每点附加的光程 差：
l  (sin   sin i )d；所以 P点的复振幅可以写成：
2
2
2
2
N
i l
i 2 l
i 3 l
i
Nl 

~
~
ikL0





U     U i ( )  Ae 1  e
e
e
 ...  e

i 0


2
相当于一系列小矢量首 尾衔接的和，矢量方向 依次相差
l的角度。

2

Nd (sin  sin i) 
2


a(sin  sin i)；R 
A0


2

A0
a(sin  sin i)
斜入射的夫琅禾费单缝衍射 Fraunhofer Diffraction:
slant incidence



A( )  2 R sin 
sin  a (sin   sin i ) ；

2


a (sin   sin i )
A0


引进宗量   a (sin   sin i )，得：

sin  
A( )  A0
；

2
 sin   
2
光强： I ( )   A( )   I 0 

  

2

2
R

A0
斜入射和正入射的单缝夫琅禾费衍射的表达式一致。变化的是宗量。
正入射

宗量   a sin 

斜入射

宗量   a(sin   sin i )

斜入射 Fraunhofer Diffraction: slant incidence 积分
i
法
F
M
S
D
A
P

d
N
B
E
C
 i (cos 0  cos ) ~
e
~
U ( ) 
U
(
Q
)
dS
0

 0
2
r
~
dS  bdx0， U 0 (Q )  A，这里 b为常数，
ikr
在傍轴条件下， f ( 0 ,  )  1，振幅系数
f
1
1
1
 经透镜变换
 
r
r0
f
相因子 e ikr , kr  kL   kx0 (sin   sin i )  kL0

 a (sin   sin i )  
 sin 


i

i
~



U ( ) 
AbeikL0  e ikx0 (sin  sin i ) dx0 
AabeikL0 
 a (sin   sin i ) 
f
f
a



2



a
2
斜入射 Fraunhofer Diffraction: slant incidence 积分
法(cont’d)
~
 sin 
U ( )  c~
 
i
a (sin   sin i )

ikL0
~
，其中
c

Aabe
，



f


~
~
 sin  
I    U ( )U * ( )  I 0 




和矢量图解方法求解的 结果完全一致。
2
斜入射和正入射的单缝夫琅禾费衍射的表达式一致。变化的是宗量。
斜入射
正入射

宗量   a sin 

宗量  

a(sin   sin i )

三、夫琅禾费方孔、圆孔衍射
夫琅禾费方孔衍射
x
x0
a
L0
b
1
P
2
y0
f
y
衍射图样的积分法求解
 i (cos 0  cos ) ~
eikr
~
U (1 ,  2 ) 
U 0 (Q)
dS

 0
2
r
~
dS  dx0 dy0， U 0 (Q)  A，
1
1 经透镜变换 1
在傍轴条件下， f ( 0 ,  )  1，振幅系数   
r
r0
f
Fraunhofer Diffraction from a Square Aperture
Diffracted field is a
sinc function in
both x1 and y1
because the
Fourier transform
of a rect function is
sinc.
Diffracted
irradiance
Diffracted
field
相因子eikr , kr  kL  kx0 sin 1  ky0 sin 2  kL0
b
2
a
2
 i ikL0
~
U (1 ,  2 ) 
Ae  dy0  e  kx0 sin 1  ky0 sin  2 dx0
f
b
a

2

2
  a sin 1    b sin  2  
 sin 
  sin 

i
    


AabeikL0  
 a sin 1  b sin  2 
f








~
 sin   sin  
，
U (1 ,  2 )  c~

    
i
a sin 1
b sin  2
ikL0
~
其中 c 
Aabe ， 
， 
f


~
~*
 sin    sin 
I 1 ,  2   U (1 ,  2 )U (1 ,  2 )  I 0 
 
    
2



2
夫琅禾费方孔衍射的主要特点
(1)衍射峰，当 1， 2   0，
0，有I  I 0，
b
a
衍射强度最大，称此为 零级衍射峰。
(2)零点的位置；
a sin 1

 k1  a sin   k 
 
1
1

当
即
时
b sin  2
 
 k 2 b sin  2  k 2 


I 1 ,  2   0为暗区。
(3)零级斑的半角宽度；


 1  a , 沿x方向的扩展


 2  , 沿y方向的扩展
b

衍射发散角度和衍射孔 的几何线度的
反比律关系；
a  1  ，b   2  
斜入射夫琅禾费方孔衍射 (自学)
x
i1
x0
a
L0
1
P
2
b
y0
i2
f
y
 i (cos 0  cos ) ~
eikr
~
U (1 ,  2 ) 
U 0 (Q)
dS

 0
2
r
~
dS  dx0 dy0， U 0 (Q)  A，
在傍轴条件下， f ( 0 ,  )  1，振幅系数
相因子 eikr , kr  k ( L  L0 )
1
1
1
 经透镜变换
 
r
r0
f
 kx0 sin 1  sin i1   ky0 sin  2  sin i2   kL0
b
2
a
2
 i ikL0
~
U (1 ,  2 ) 
Ae  dy0  e  kx0 (sin 1 sin i1 )  ky0 (sin  2 sin i2 ) dx0
f
b
a

2

2
  a (sin 1  sin i1 )    b(sin  2  sin i2 )  
 sin 
  sin 

i


ikL0 







Aabe
 a (sin 1  sin i1 )  b(sin  2  sin i2 ) 
f








~
 sin   sin  
~
，
U (1 ,  2 )  c 

    
i
asin 1  sin i1 
bsin  2  sin i2 
ikL0
~
其中 c 
Aabe ， 
， 
f


~
~*
 sin  


I 1 ,  2  U (1 ,  2 )U (1 ,  2 )  I 0 

 
 sin 

  
2



2
斜入射和正入射的矩形夫琅禾费衍射的表达式一致。变化的是宗量。
圆孔夫琅禾费衍射 Diffraction from a circular
aperture
x
x0


P
L0
y0

y
f
 i (cos 0  cos ) ~
eikr
~
U ( ) 
U 0 (Q)
dS

 0
2
r
~
dS  dd， U 0 (Q)  A，在傍轴条件下， f ( 0 ,  )  1，
振幅系数
1
1
1
 经透镜变换
 
r
r0
f
(前面已经说明 )
相因子eikr , kr  kL  k cos sin   kL0
圆孔夫琅禾费衍射 Diffraction from a circular
aperture

 i ikL0
~
U ( ) 
Ae 
f
0
R
2
 k cos sin 
e
dd

0

 2R sin 
2
J
 1
i



AabeikL0 R 2 
f
 2R sin 


 2 J ( x) 
U ( )  c  1
，
 x 
 2 J ( x) 
I    I 0  1 
 x 


 ; 其中 J 为一阶贝塞尔函数
1


其中c 
2 R sin 1
i
A R 2 eikL0，x 
f

 2 J ( x) 
I    U ( )U * ( )  I 0  1 
 x 
2
2
x
0
1.22
1.64
2.23
2.68
3.24
I()
1
0
0.017
0
0.004
0
圆孔夫琅禾费衍射 Diffraction from a circular
aperture
A circular aperture yields a
diffracted "Airy Pattern,"
 2 J ( x) 
I    I 0  1 
 x 
2
I
which involves a Bessel
function.
I=0
I=0
-10 -5
I=0
I=0
0
x
5
10
圆孔夫琅禾费衍射 Diffraction from a circular aperture
相对光
强曲线
1
I / I0
0 1.22(/D) sin
爱里斑
第一个暗环的方位角 10为：
2 R sin 10

 1.22  sin 10  1.22 ，D  2 R为圆孔直径。

D
艾里斑的半角宽度 0体现了圆孔衍射效应的强弱程度，由上式得：
x

0  1.22 ，或 D   0  1.22
D
它和单缝和矩形孔的衍射反比律公式一直，只是系数有差别。
Diffraction from small and large circular apertures
Small aperture
Recall the Scale Theorem!
Large aperture
补充说明：
夫琅禾费圆孔衍射是一个在一切使用透镜的光学系统中普遍存在的现象
D
夫琅禾费圆孔衍射是一个在一切使用透镜的光学系统中普遍存在的现
象，因为任何一个单透镜成像，都可以看成两个透镜加上一个光阑的组合。
因此几何像点实际上是有一定半径的艾里斑，这种情况就产生了一个问题，
即两个像斑可能发生重叠，重叠到一定程度，就无法分辨。这就是仪器的
分辨本领问题。
四. Resolutions of Optical Instruments
光学仪器的分辨本领
分辨本领是一个复杂的问题，它涉及
到几何光学系统的种种相差和缺欠，
涉及到被分辨物点的亮度和其他一些
性质。我们现在考虑理想的分辨本领，
即两个亮度相同、波长相等的独立光
源经过光学系统所能达到的最佳分辨
本领，也就是光学仪器的分辨本领的
衍射极限。
( 经透镜 )
几何光学 :
物点 像点
( 经透镜 )
波动光学 :
物(物点集合)  像(像点集合)
物点
 像斑
物(物点集合)  像(像斑集
合)
  0
  0
  0
瑞利判据: 两个物点反应在像面上有两个艾里斑，设两物点的夹角或两艾里
斑 中心的夹角为，每个艾里斑自身的半角宽度为0，瑞利判据是：
当> 0时，可分辨； 当<0时，不可分辨；
当=0时，给出可分辨的最小角度-- m
人眼睛的分辨本领
f
~22mm
决定眼睛分辨本领的是瞳孔的直径De, De白昼小，黑夜大，正常范围在2~8mm,
分析白昼时(De=2mm)，人眼的分辨本领e.
 ~ 550nm，De ~ 2mm，眼球玻璃体折射率n  1.3

550nm
e  1.22  1.22 
 3.3 104 rad  1'
De
2mm
正常人的明视距离为25cm，在明视距离处，人可分辨：
 ye  l   e  25cm  3.3 104 rad  0.08mm
人眼在10m处的分辨本领： ye  l   e  10m  3.3 104 rad  3.3 mm
人眼睛分辨本领对一些仪器的设计有指导作用。
人眼睛的感光细胞密度
 ~ 550nm，在黑夜De ~ 8mm，玻璃体折射率n  1.3

550nm
 e  1.22
 1.22 
 0.8 10 4 rad
De
8mm
人眼睛焦距，f  22mm, 所以：
d  f   e  22mm  0.8  10 rad  1.8μm，s 
4

4
d 2  2.5  10 6 mm 2
1
 4  105 个 / mm 2
s
视网膜的面积：S  200mm 2，所以人眼视网膜上感光细胞总数为：
则感光细胞的面密度为：n 
N  n  S  0.8  108 ~ 1亿个
但是这个结论是不对的，因为网膜细胞不是均匀分布的
只有中心部分的网膜细胞比较密集
望远镜的分辨本领和物镜口径
眼睛
物镜
望远镜的角放大倍数为：
fe
fo
目镜
fo
M
fe
o: Object
e: eye piece
望远镜的角分辨本领决定于物镜的口径Do，因为望远镜的孔径光阑是物镜—
合理的设计方案是：凡是被物镜接受的正入射宽光束总能全部通过目镜而进
入人眼睛，故此望远镜的最小分辨角为：
 min  1.22
有效放大率：
M eff 
 e
 min

Do
最小分辨角度min 经过M eff 放大恰好
等于人眼的分辨角。
望远镜的分辨本领和物镜口径

550nm
e  1.22  1.22 
 3.3 104 rad  1'
De
2mm
例题：一光学望远镜，物镜的口径Do ~ 2000mm，
求它的最小分辨角度和有效放大倍数？
解：

 min
550nm
 1.22
 1.22 
 3.3 107  0.001'
D0
2000mm
M eff
 e
3.3 104 rad
3



10
倍
7
 min 3.3 10 rad
显微镜的分辨本领和物镜数值孔径

y0
u’
0
u0
l
艾里斑对物镜中心张开的半角宽度： 0  1.22
0
 ym '  y0  l   0  1.22
n'
 ym '  0.61
 y0 m  0.61
0
n 'sin u '
，
0
n0 sin u0
D
l
;
0
n'D
；瑞利判据在此表现为：
有几何关系：
sin u ' 
D
2  D 得：
l
2l
自学Abbe正弦定理
由Abbe正弦定理，n0 y0 sin u0  n '  y 'sin u ' 得：
 0.61
0
N . A.
，N . A.  n0 sin u0 称为显微镜的数值孔径。
 y0min  0.61
几点说明：
1.
2.
3.
0
n0 sin u0
 0.61
0
N.A.
n0=1.3, u0=90o
提高分辨率的方法之一是提高N.A.，可通过油浸和使用广角透镜获
得较大的数值孔径。不过N.A.最大为1.3左右，此时y0min0/2,这是
传统光学显微镜的极限分辨率 — 半波长。
选择短波长光照明是提高显微镜分辨本领的另一个途径。
显微镜的有效放大倍数：
M eff 
 ye
 y0min
比如，显微镜的N.A.=1.5,照明波长为550nm的有效放大倍数：
M eff
 ye
 ye
0.1mm



 450倍

550nm
 y0min 0.61 0
0.61
N . A.
1.5
这是光学显微镜的最大放大倍数，因为超过Meff的放大倍数以试图看
到小于y0min的细节是徒劳的。
附录：1.5 阿贝正弦定理 (自学)
N’
M’
N
M
S
T
P
y0
Q R
u0
n0
在傍轴条件下：
光
具
组
G’
S’
T’
F’
n’
u’
Q’
-y’ R’
P’
 F ' P '   F ' Q '， G ' P '   G ' R '
物像等光程
 PNN ' P '   PSS ' P '； QMM ' Q '   QTT ' Q '
 PNN ' G '   RMM ' G ' ;  PSS ' F '   QTT ' F '
所以：
 QR    Q ' R ' ;
 QR   n0 y0 sin u0，
得到阿贝正弦定理：
n0 y0 sin u0  n ' y 'sin u '
 Q ' R '  n ' y 'sin u '
注意与Snell 定律的区别
n sin u0  n 'sin u '
电子显微镜：
传统的光学显微镜的分辨本领受限于光波长，使用短波长光照明是提高
显微镜分辨本领的途径之一。利用运动电子的具有波动性制造电子显微镜，
因为电子的德布罗意波长极短，所以它有极高的空间分辨本领。
电子显微镜的分辨本领，电子束发散角较小，NA  u0 ~ 0.16rad；
y
E
min
 0.61
e
N . A.
 0.61
e
0.16
 4e
电子波长取决于电子的加速电压：
1 p2
 eV
2 m
h
h
e  
p
2meV
据物质波的波长公式
加速电压
电子波长
分辨本领
有效放大率
104V
1.210-2nm
510-2nm
2106
105V
3.710-3nm
1.510-2nm
6106
1986年诺贝尔物理学奖一半授予德国柏林弗利兹-哈伯学院（Fritz-HaberInstitut der Max-Planck-Gesellschaft）的恩斯特·鲁斯卡（Ernst Ruska，19061988)，以表彰他在电光学领域做了基础性工作，并设计了第一架电子显微镜；
另一半授予瑞士鲁希利康（Rüschlikon）IBM苏黎世研究实验室的德国物理学
家宾尼希（Gerd Binnig，1947-）和瑞士物理学家罗雷尔（Heinrich Rohrer，
1933-)以表彰他们设计出了扫描隧道显微镜。
TECNAI F30场发射透射电镜
点分辨率：0.205 nm point at 300kV
线分辨率：0.102 nm line at 300kV
环境可控扫描电镜
特点:图像分辨率高对任何样品无需
处理，可直接进行观察；进行动态反
应过程的直接观察 。
电子显微镜下的病毒照片
用电子显微镜拍摄的苯分子照片
GaAs纳米晶的透射电镜照片和电子衍射图, 透射电镜下观察到的主要是GaAs
纳米晶的的团聚体,同时,在团聚体中也可一观察到5-20 nm的GaAs颗粒,图b
是图a对应的电子衍射图,可以看出,只有面心立方结构GaAs纳米晶的多晶衍
射特征环.
像记录介质的空间分辨率
例题：一照相机，选其光圈为4.0，即相对孔径 f # 
f
 4，计算
D
像方最小分辨率

f
 y  f   0  1.22  f  1.22  1.22  4
D
D
这里  550nm，所以：
'
m
 ym'  2.7μm
与其匹配的胶卷的空间分辨率应该是：
1
N  '  370线 / mm
 ym
补充说明：
1、五种光的偏振状态
线性、自然光、部分偏振、圆偏振、椭圆偏振
2、透偏方向（透振方向）
3、偏振度： 设一个偏振片沿着光的入射方向旋转一周，获得的
光强极大值为Imax，极小值为Imin，则入射光的偏振度为
p
I max  I min
I max  I min
Sub-diffraction limited imaging
 衍射极限
衍射极限限制了光刻的尺寸
 如何突破衍射极限？
光学方法：
• 表面等离子体激元 SPP surface plasma polariton
• 近场显微镜
量子方法：荧光亏蚀
……
A lens brings the far field in to its focal length
1 经透镜变换 1
 说明 
r0
f
另一种证明方法。此部分
自学 (本页和下页)
M
r

N
P

O’
O
f
s
F
s’
单缝—透镜—后焦面之间是非自由空间，次波源发出的发散球面波
经透镜变成汇聚球面波，此时基尔霍夫积分公式中的r已经失去了明确的
意义。
要处理此问题，我们可以分别在物空间(自由空间)和像空间(自由空
间)，利用基尔霍夫积分公式的1/r关系，考虑振幅的传播规律。
A lens brings the far field in to its focal length
M
另一种证明方法。
此部分自学
O
r

在傍轴条件下：
N
r’
P

f
O’
F
s
s’
a a
a' a'
AM   ，AN   这里忽略透镜对光能的 损耗， AM  AN .
r s
r ' s'
利用1 r 的关系：
AP NO '
s'
s'
s'
a  s'


 AP 
AN 
AM 
AN PO' s ' f
s ' f
s ' f
s  s ' f 
利用透镜成像公式：
1 1 1
1 1 1 s ' f
     
代入上式得：
s s' f
s f s' s' f
a 1
AP  
f
f
Homework 2012.10.15
《现代光学基础》第二章
2.22
2.24
2.25
2.27
2.28
2.30
2.31
斜入射公式
圆孔衍射
单缝色散
图样变化
分辨本领
艾里斑
分辨本领
Lenses and phase delay
x,y
Now compute the phase delay in the
air after the lens:
(x,y)
Focus
0
air ( x, y )  k x 2  y 2  z 2
x y
x  y z  z
2z
2
If z >> x, y:
2
2
2
z
2
air ( x, y)  (k / 2z)( x2  y 2 )
neglecting constant phase delays.
lens ( x, y)  air ( x, y)  (n 1)(k / 2R1 )( x2  y 2 )  (k / 2z)( x2  y 2 )
= 0 if
1
1
 (n  1)
z
R1
that is, if z = f !
Diffraction involving a lens
我们要证明：加透镜等于远场衍射！
A lens has unity transmission, but it
introduces a phase delay proportional
to its thickness at a given point (x,y):
( x, y)
lens( x, y)  exp[i(n 1)k ( x, y)]
where (x,y) is the thickness at (x,y).
Compute (x,y):
( x, y)
d
t(x,y)


lens ( x, y )  exp i (n  1)k  R12  ( x 2  y 2 )  d 


x2  y 2
R  x  y  R1 1  ( x  y ) / R  R1 
2R1
2
1
2
2
2
2
2
1
lens( x, y)  exp[i(n 1)(k / 2R1 )( x2  y 2 )]
( x, y )  R12  x 2  y 2  d
neglecting constant phase delays.
A lens brings the far field in to its focal length
透镜把远场衍射拉近到焦距
A lens phase delay due to its thickness at the point (x0,y0):
lens( x0 , y0 )  exp[i(n 1)(k / 2R1 )( x02  y02 )]
If we substitute this result into the Fresnel (not the Fraunhofer!) integral:
U ( x1 , y1 ) 

  (2 x0 x1  2 y0 y1 ( x02  y02 )  
exp ik 

  t ( x0 , y0 ) U ( x0 , y0 ) 
2z
2 z  
 
lens( x0 , y0 ) dx0 dy0
The quadratic terms inside the exponential will cancel provided that:
(n 1)(k / 2R1 )  k / 2z
or
1/ z  (n 1)(1/ R1)
平凸透镜
The distance, z, is the lens "focal length," usually written as f.
For a lens that's curved on both faces,
双凸面透镜
1 1 
1/ f  (n  1)   
 R1 R2 