有限温度有限密度QCD入門
北沢 正清
大阪大学
目次
１，有限温度密度QCDへの招待
２，平衡状態
３，静的なゆらぎ
４，動的構造
目次
１，有限温度密度QCDへの招待
 標準模型とQCD
３，静的なゆらぎ




QCDの相転移・相構造
格子QCDと熱力学量
重イオン衝突実験
中性子星
２，平衡状態




カイラル対称性
真空状態：BCS理論
NJL模型
カラー超伝導





ゆらぎ
モーメント・キュムラント
臨界点でのゆらぎの増大
格子QCDのTaylor展開法
QCD相構造の実験的探索
４，動的構造





線形応答
スペクトル関数
調和振動子の例
松原グリーン関数
格子QCD
１，有限温度密度QCDへの招待





標準模型とQCD
QCDの相転移・相構造
格子QCDと熱力学量
重イオン衝突実験
中性子星
標準模型
重力
電磁気力 量子電磁気学（QED）
弱い力
強い力
量子色力学（QCD）
電弱統一理論
＋ヒッグス粒子
量子色力学（QCD）
 漸近的自由性
低エネルギー（長距離） 強結合
高エネルギー（短距離） 弱結合
 カイラル対称性の自発的破れ
ハドロンの質量の起源／軽いパイ粒子
 カラーの閉じ込め
クォーク・グルオンは単体では観測されない
温度
QCDの相転移
クォーク・グルオン・プラズマ
ハドロン相
(閉じこめ相)
温度
QCDの相転移
クォーク・グルオン・プラズマ
ハドロン相
(閉じこめ相)
バリオン数
化学ポテンシャル
温度
QCDの相転移
クォーク・グルオン・プラズマ
ハドロン相
(閉じこめ相)
カラー超伝導
バリオン数
化学ポテンシャル
QCDの相転移
温度
水の相図
クォーク・グルオン・プラズマ
ＱＣＤ臨界点
ハドロン相
(閉じこめ相)
カラー超伝導
バリオン数
化学ポテンシャル
QCD Critical Point(s)
Where is the QCD critical point?
And, how many?
MK, et al.,2002
Stephanov, ’07
QCD Critical Point(s)
Where is the QCD critical point?
And, how many?
MK, et al.,2002
Yamamoto, et al. ’06
Zhang, et al., ’09
Stephanov, ’07
Basler, Buballa, ’10
GL analysis
induced by axial anomaly
格子QCD数値シミュレーション
時空を格子化し、数値解析する
Bluegene
@KEK
格子QCD数値シミュレーション
時空を格子化し、数値解析する
Bluegene
@KEK
注意：
現在の数値解析技術では、
m=0の解析しかできない
「符号問題」
熱力学量
• T=150-180MeV付近でeが
急激に増大
• 明確な相転移点はない
“クロスオーバー”
HotQCD, arXiv:0903.4379
熱力学量
e エネルギー密度
p 圧力
HRG模型
存在の知られているハドロン
から成る自由ガス
格子QCDで計算される熱力学量の
低温部の振る舞いをよく再現
“トレースアノマリ”
バリオン数感受率
particle data groupより
ハドロン共鳴ガス(HRG)模型
Stefan-Boltzmann極限
QCDが記述する物質の高温極限
ゼロ質量のクォークとグルオンからなる自由ガス
• Boson:
• Fermion:
有限温度(ゼロ密度)QCD
T
Tc*

p
s
K
u
n

d
s
g
g
d
d
g
u
g
QCDの低温および高温極限には単純な描像が適用でき、
かつそれらは全く異なるのに連続的につながっている。
中間領域では何が起こっているのだろうか？
低温のハドロンの運命は？高温のクォークの運命は？
g
相対論的重イオン衝突実験
加速した原子核を衝突させる
小さなビッグバン
相対論的重イオン衝突実験
ＲＨＩＣ
アメリカ
2000年～
全長6km
光速の99.996%
ＬＨＣ
スイス・フランス
2010年～
全長30km
光速の99.9999%
高温物質の時間発展
衝突
熱平衡化
~1fm/c
QGP
ハドロン化
化学凍結 (Chemical Freezeout)
観測される粒子収量が、T, mBのみでフィット可能！
化学平衡が実現している
化学凍結点の衝突エネルギー依存性
STAR 2012
大
小
小
大
様々な
の衝突実験により
QCD相構造の探索ができる
BESプログラム@RHIC
Beam Energy Scan
運動学的凍結（kinetic Freezeout)
粒子収量のpT分布
Blast wave fit
「温度＋流れ」
STAR 200GeV
高温物質の時間発展
衝突
熱平衡化
~1fm/c
QGP
ハドロン化 化学凍結
運動学的凍結
楕円フロー
非中心衝突
非中心衝突では、
粒子は非等方的に放出される。
ビーム軸 z
Ｙ
反応平面
フロー
x
実空間
反応平面
v2 >0
v2 <0
pT空間
流体模型
粒子流は流体模型に
よってよく記述される
速い熱平衡化 t~1fm/c
ずり粘性係数hがものす
ごく小さい。
4 h
s
Song, Bass & Heinz, PRC 2011
強結合QGPの発見
RHICで発見されたQGPは、強く結合した物質であった
クォーク数スケーリング
楕円フロー v2
v2 >0
運動量をクォーク数で割算
流れがぴったり重なる！
解釈
クォーク数スケーリング / BES
クォーク数スケーリングの破れ？
<19.6GeV
LHC energy
中性子星
• パルサーとして観測
•
•
•
•
質量1.4~2M
半径 ~10km
表面温度 106~108K
中心密度 5~15r0
何が分かるの？
•
•
•
•
状態方程式
冷却速度
グリッジ
他もろもろ
状態方程式（EoS）
のこと
状態方程式が決まると、星が作れる！
Tolman-Openheimer-Volkov(TOV)方程式
ｰ（drあたり質量）×（重力）
に一般相対論的効果を加味
質量－半径の関係
2010年に発見
(1.97±0.04)M
連星中性子星の
典型的質量
~1.4M
Demorest+2010
NOTE: 自由度が増えるほど、EoSは柔らかくなる
初期宇宙とQGP
ビッグバン後の10-5秒までの宇宙はQGPだった
ここまでのまとめ
 QCDの極限状態には面白い物理がある
 それらに迫る観測手段がある
ここまでのまとめ
 QCDの極限状態には面白い物理がある
 それらに迫る観測手段がある
クォーク・グルオン・プラズマ
ＱＣＤ臨界点
ハドロン相
(閉じこめ相)
カラー超伝導
将来の重イオン衝突実験
FAIR @GSI,Germany
NICA @Dubna, Russia
J-PARC @東海村
NICA
J-PARC
FAIR
目次
１，有限温度密度QCDへの招待
２，平衡状態
３，静的なゆらぎ
４，動的性質
２，平衡状態




カイラル対称性
真空状態：BCS理論
NJL模型
カラー超伝導
「カイラル対称性」ってなんだ？
 準備１：複素スカラー場
• 変換
のもとでLは不変
 準備２：ゼロ質量Dirac場
• 変換
のもとでLはやっぱり不変
ゼロ質量Dirac場
スピノル表示
• 変換
のもとでLは不変
“カイラル対称性”
カイラル変換
 注意
• 質量項は、カイラル対称性をexplicitに破る
• Nfフレーバーの系では、カイラル対称性は
自発的対称性の破れと超伝導
BCS理論は自発的対称性の
破れの概念の導入において
著しく重要な役割を果たした。
BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer)理論
金属のフェルミ面付近の電子には、
格子振動による引力が存在
フェルミ面は、電子対（Cooper pair)の
形成に対し不安定となる
Cooper, 1956
BCSハミルトニアン
変分による解法
BCSハミルトニアン
の基底状態
を知りたい。
ただし、粒子数の期待値を固定。
を最小化すればよい。
BCS状態
Wにこの試行関数を代入
変分して解くと、
ただし
ギャップ方程式
左辺と右辺が相互規定的
“自己無撞着方程式”
Dkはkに依らず一定
BCS近似
の解がある
“BCS状態”
NOTE：本当は、エネルギーが低いことも示さなくてはいけない。
BCS状態の性質
 フェルミ面が“にじむ”
D
 変な期待値
 U(1)変換に対し不変でない！
なる変換の下で状態が変わる
BCS真空からの励起
 BCS真空に消滅生成演算子を掛けてみる
 消滅演算子を作り直す
“Bogoliubovの準粒子”
準粒子の励起エネルギー
NOTE:
ギャップの存在が、超伝導電流の起源
QCD真空における質量の起源への応用（NJL模型）
南部－Jona-Lasinio(NJL)模型
Nambu, Jona-Lasinio, 1961
Hatsuda, Kunihiro, 1994
NJL模型は、カイラル変換の下で不変
運動量空間に展開
BCS模型と似ている
スピンの上下→粒子・反粒子
クォーク・反クォークが
クーパーペアを作ることで
質量ギャップを獲得する。
フェルミ面のずれに対する超伝導の応答
磁場が侵入すると、上下スピンのフェルミ面がずれる
クーパーペアが組みにくくなる
一次相転移
n
p
p
m
unlocking region
超伝導の磁場に対する応答
磁場が侵入すると、上下スピンのフェルミ面がずれる
クーパーペアが組みにくくなる
n
p
p
m
unlocking region
Color Superconductivity
At extremely dense matter,
quark (fermion) system
attractive channel in
one-gluon exchange interaction.
( r  r)
%
[３]c×[３]c＝[３]c＋[６]c
Cooper instability at sufficiently low T
Dud
•pairing in scalar (JP=0+) channel


qi q j


e
 I
e ijI D I
u
d
I
color,flavor anti-symmetric
Dus
s
Dds
T
m
Various Phases of Color Superconductivity
T
m
ms~m
Dus
Dud
Dud
u
u
d
s
ms<<m
Dds
2-flavor SuperCondoctor (2SC)
S U (  ) L  S U (  ) R  S U ( ) c  U () B
 S U (  ) L  S U (  ) R  S U (  ) c  U%() B
Dus
d
Dds
s
Color-Flavor Locking (CFL)
S U ( ) L  S U ( ) R  S U ( ) c  U () B
 S U ( ) L  R  c  Z 
analogy with B-phase
in 3He superfluid
Color Superconductivity in Compact Stars
Dud
•effect of strange quark mass ms
•neutrality and -equilibrium conditions
u
Dus
Mismatch of densities
T
mismatched Fermi surfaces
pF ~
d
Dds
s

m m

common Fermi surface
m
Various Phases of Color Superconductivity
Dud
3 order parameters Dud, Dus, Dds
 2*2*2=8 possibilities of distinct phases
CFL Alford, et al. ‘98
Dud=Dus=Dds >0
2SC Bailin, Love ‘84
Dud>0, Dus=Dds =0
Dud>0, Dus>0, Dds =0 uSC
Dud>0, Dds>0, Dus =0 dSC
u
Dus
d
s
Dds
Ruster, et al. ‘03
Matsuura, et al., ‘04
cf.) Neumann, Buballa, Oertel ’03
+ chiral symmetry restoration
many phases at intermediate densities
T
Abuki, Kunihiro, 2005; Ruster et al.,2005
m
Various Phases of Color Superconductivity
Dud
3 order parameters Dud, Dus, Dds
 2*2*2=8 possibilities of distinct phases
CFL Alford, et al. ‘98
Dud=Dus=Dds >0
2SC Bailin, Love ‘84
Dud>0, Dus=Dds =0
Dud>0, Dus>0, Dds =0 uSC
Dud>0, Dds>0, Dus =0 dSC
u
Dus
d
s
Dds
Ruster, et al. ‘03
Matsuura, et al., ‘04
cf.) Neumann, Buballa, Oertel ’03
+ chiral symmetry restoration
many phases at intermediate densities
T
Abuki, Kunihiro, 2005; Ruster et al.,2005
m
３，静的なゆらぎ





ゆらぎ
モーメント・キュムラント
臨界点でのゆらぎの増大
テーラー展開法
QCD相構造の実験的探索
静的ゆらぎ
観測量は、平衡状態においてもゆらいでいる
P(N)
N
V
ゆらぎの応用
• Variance:
N
•
•
•
•
物質のミクロな性質の理解
外場に対する系の応答
有限密度格子QCD（テーラー展開法）
重イオン衝突実験によるQCD相図探索
モーメント
確率分布を特徴づける量
P(N)
N
モーメント母関数
キュムラント
キュムラント母関数
モーメント母関数
NOTE：キュムラントは、示量的である
練習
 二項分布関数
 ポアッソン分布
量子統計力学
（静的）量子統計力学のいちばん大事な式
“密度行列”
“分配関数”
量子統計における粒子数ゆらぎ
NOTE: 分配関数とは、要するにモーメント母関数である。
これらの関係式は、保存電荷のみで成立！
感受率としてのゆらぎ
ゆらぎは、Nのmに対する応答に等しい！
テーラー展開法 on the lattice
• テーラー展開法の係数はキュムラントである。
• 奇数次は荷電共役対称性により消える。
• 収束半径内でないと展開の妥当性が保証できない。
格子QCD上のキュムラントの解析がアツい
LATTICE2013より
重イオン衝突におけるゆらぎの観測
検出器に到達する粒子数を、衝突イベント毎に数える
“event-by-event解析”
V
Detector
重イオン衝突におけるゆらぎの観測
検出器に到達する粒子数を、衝突イベント毎に数える
“event-by-event解析”
Detector
問１：どんな現象が期待されるのか
問２：このように観測されるゆらぎは、何者なのか？
基本自由度の識別
Free Boltzmann  Poisson
基本自由度の識別
Free Boltzmann  Poisson
RBC-Bielefeld ’09
QCD臨界点の捜索
2次相転移点近傍では、ゆらぎが増大する。
例：イジング模型
N個のスピン
QCD臨界点の捜索
2次相転移点近傍では、ゆらぎが増大する。
例：イジング模型
N個のスピン
N/L個の独立な
スピンの集団
長さLで大体同じ向き
“相関長”
ゆらぎはLd/2で増大し、
臨界点で発散する。
Proton # Fluctuations @ STAR-BES
STAR, PRL2010
Proton # Fluctuations @ STAR-BES
STAR, PRL2010
STAR, 2011
high m
low m
Proton # Fluctuations @ STAR-BES
STAR, 2012 (Quark Matter)
STAR, 2011
high m
low m
Proton # Cumulants @ STAR-BES
STAR,QM2012
Something
interesting??
Asakawa, Ejiri, MK, 2009
保存電荷の高次ゆらぎ
QCD相図上でのバリオン数ゆらぎ
Impact of Negative Third Cumulants
Once negative m3(BBB) is established, it is evidences that
(1) cB has a peak structure in the QCD phase diagram.
(2) Hot matter beyond the peak is created in the collisions.
•No dependence on any specific models.
•Just the sign! No normalization (such as by Nch).
Charge Fluctuation @ LHC
ALICE, PRL110,152301(2013)
D-measure
• D ~ 3-4 Hadronic
• D ~ 1 Quark
LHC:
significant suppression
from hadronic value
ＬＨＣ終状態の電荷ゆらぎは、ハドロン化
以前に生成されたものを強く反映している！
Dh Dependence @ ALICE
ALICE
PRL 2013
t
Dh
z
rapidity window
観測されたゆらぎは、いつ形成されたのか？
ゆらぎのダイナミクス（動的振る舞い）の議論が必要
Detector
保存電荷 vs 非保存電荷
保存電荷の場合
V
非保存電荷の場合
V
境界を通過する電荷
のみが変化に寄与
for
体積内の任意の場所で
電荷が変化できる
for
Time Evolution in HIC
Quark-Gluon Plasma
Hadronization
Freezeout
格子QCD vs 重イオン衝突
HotQCD, LATTICE2013
格子QCDで得られた
ゆらぎ-m/T関係線
高次ゆらぎの観測値は、化学凍結点での熱平衡値と一致しない！
高次ゆらぎのダイナミクスの記述のために
MK, Asakawa, Ono, 2013
空間を離散化し、各セルの粒子数で系を記述する
probability
Master Equation for P(n)
x-hat: lattice-QCD notation
LHCでの2,4次ゆらぎ
MK, Asakawa, Ono, 2013
2nd
4th
４，動的構造






線形応答
スペクトル関数
調和振動子の例
松原グリーン関数
格子QCD
クォークスペクトル関数
統計力学 vs 時間?
問： 統計力学は、時間変化する現象も記述できるか？
答： 熱平衡状態からのずれが小さければ、いける！
例：音波、粘性係数、場の励起
有限温度実時間相関関数
線形応答１
平衡状態にある系に
外場を加える
密度行列の時間発展
時刻ｔにおける演算子Aの期待値
線形応答２
遅延グリーン関数：
Lehmann表示
スペクトル関数
r (w,p)
Spectral Functions at T>0
w
peaks
slope at the origin
 transport coefficients
Kubo formulae
h ~ lim
w0
r (w )
w
•shear viscosity : T12
•bulk viscosity : Tmm
•electric conductivity : Jii
quasi-particle excitation
width ~ decay rate
Spectral Functions at T>0
r (w , p )   Im FT
 O ( x ), O (0) 
 ( x0 )
T>0
r (w,p)
r (w,p=0)
T=0
w
w
Difficulties at T>0: continuous spectrum
fixed temporal extent: T=1/aNt
 D ( ) 



e
dw
e
(1 / 2 T   ) w
w / 2T
e
w / 2T
r (w )
松原グリーン関数
Matsubara Green Function
Imaginary-time (Matsubara) propagator
G ( )  Oˆ ( 1 ) Oˆ ( 2 ) 
G ( iw n ) 


d e
w n
 DU O
E
( 1 ) O E ( 2 ) exp   S E 
G ( )
w
0
analytic continuation
iw n  w  ih
Retarded (real-time) propagator
G R (w ) 


0
d e
 iw t
G R (t )
Spectral function r (w )  
1

Im G R (w )
Analytic Continuation
Lattice
discrete and noisy
Dynamics
continuous
Extracting Spectral Functions
D ( ) 



d w K (w ,  ) r (w )
D ( )  T O ( ) O (0 )
lattice observable
discrete and noisy
e
K (w ,  ) 
e
(  / 2  ) w
w / 2
e
 w / 2
spectral function
continuous
Ill-posed problem
MEM analysis of r (w)
most probable image estimated by
lattice data + prior knowledge
Asakawa, Hatsuda, Nakahara, 1999
qualitative structure of r (w).
errors only for average for finite range
Quarks at Extremely High T
•Hard Thermal Loop approx. ( p, w, mq<<T )
•1-loop (g<<1)
Klimov ’82, Weldon ’83
Braaten, Pisarski ’89
 (w , p ) 
w  0  p  γ   (w , p )
•Gauge independent spectrum
•2 collective excitations
having a “thermal mass”
•The plasmino mode has
a minimum at finite p.
w / mT
S (w , p ) 
1
“plasmino”
mT 
gT
6
p / mT
Decomposition of Quark Propagator
S (w , p )  S  (w , p )   ( p ) 
0
 S  (w , p )   ( p ) 
0
  (p ) 
HTL ( high T limit )
S H T L (w , p ) 

S free (w , p ) 
P 
0
w  p  
2 Ep
Free quark with mass m
1
  ( p )
E p   0 (p    m )

  ( p )
0
w  p  

1
P M
  ( p )
w  Ep
0

  ( p )
w  Ep
0
Decomposition of Quark Propagator
S (w , p )  S  (w , p )   ( p ) 
0
 S  (w , p )   ( p ) 
0
  (p ) 
HTL ( high T limit )
0
w  p  
2 Ep
Free quark with mass m

  ( p )
0
w  p  
S free (w , p ) 
  ( p )
w  Ep
0

  ( p )
0
w  Ep
w/m
w / mT
S H T L (w , p ) 
  ( p )
E p   0 (p    m )
p / mT
p/m
Quark Spectrum as a function of m0
Quark propagator in hot medium at T >>Tc
r ( p,w )
 r  ( p , w )   ( p )
- as a function of bare scalar mass m0
 r  ( p , w )   ( p )
We know two gauge-independent limits:
m0 << gT
m0 >> gT
r+(w,p=0)
-mT
mT
r+(w,p=0)
w
m0 w
•How is the interpolating behavior?
•How does the plasmino excitation emerge as m00 ?
Baym, Blaizot, Svetisky 1992
0
0
Fermion Spectrum in QED & Yukawa Model
Baym, Blaizot, Svetisky, ‘92
Yukawa model:
L  i ( i   m 0  g  ) 
1
2
m
 m 
1-loop approx.:
Spectral Function for g =1 , T =1
m/T=0.01
thermal mass mT=gT/4
r+(w,p=0)
0.1
single peak at m0
0.2
0.4
w/T
0.8
Plasmino peak disappears
as m0 /T becomes larger.
cf.) massless fermion + massive boson
M.K., Kunihiro, Nemoto,’06
T = 3Tc 643x16 ( = 7.459)
Spectral Function
r  (w )  Z 1 (w  E1 )
T=3Tc
 Z 2  (w  E 2 )
E/T
E2
w = m0
Z2 / (Z1+Z2)
E1
pole of free quark
m0 
Z2
11
1 



2   c 
Z1  Z 2
Z2
m0 / T
Z1
E2
E1
w
Z1
Z2
E2
E1
w
T = 3Tc 643x16 ( = 7.459)
Spectral Function
r  (w )  Z 1 (w  E1 )
 Z 2  (w  E 2 )
E2
Z2 / (Z1+Z2)
E/T
T=3Tc
E1
Z2
w = m0
pole of free quark
m0 
11
1 



2   c 
Z1  Z 2
m0 / T
•Limiting behaviors for m 0  0, m 0   are as expected.
•Quark propagator approaches the chiral symmetric one near m0=0.
•E2>E1 : qualitatively different from the 1-loop result.
MK, et al.,
PRD,2012
Spatial Volume Dependence of mT
mT/T
483x16
643x16
1283x16
mT/T=0.771(12)
mT/T=0.725(14)
3
3
N / N ~ 1 / V
•Result on 1283x16 seems to converge.
•Much larger lattice is desirable.
•No lattice spacing dependence.
Note: lowest p
p m in 
2
Lx
 2 T
N
Nx
•Nx/Nt=4  pmin~1.57T
•Nx/Nt=8  pmin~0.79T
Quark Dispersion on 1283x16 Lattice
T=3Tc
MK, et al.,
in preparation
HTL(1-loop)
E2 has a minimum at p>0
•Existence of the plasmino minimum is indicated.
•E2, however, is not the position of plasmino pole.
まとめ

有限温度・密度QCDは、各種の相転移など様々な興味
深い物性現象を持つ。
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これら物性現象は、重イオン衝突実験や中性子星の観
測などを通して実験的に検証することも可能になりつつ
ある。
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格子QCDによる「仮想実験」も重要。
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興味を持った人はぜひ参入して下さい。
おまけ
宅急便問題
問
直方体の三辺x,y,zの和x+y+z=Lを保ったまま
体積V=xyzを最大にするx,y,zを求めよ。
解
ラグランジュの未定乗数法を使う