TMMI09 2013-01-10
TMMI09 2013-01-10.01 (Del I, teori; 1 p.)
1.
En balk med kontinuerligt fördelad massa, tillverkad av ett material med densitet , är fritt upplagd enligt figuren. Balkens tvärsnitt är rektangulärt , och dess egenvinkelfrekvens är att öka balkens tvärsnittshöjd till yttröghetsmoment och massa hos balken, och dess egenvinkelfrekvens ändras till
överslagsberäkning och ange .
. Genom
(utan att tvärsnittsbredden ändras), ökar man både
. Gör en enkel
1.
A beam with continuously distributed mass, made from a material with density , is freely supported at both ends; see figure. It has a rectangular cross section
. By increasing the cross-section height of the beam to
and has eigenfrequency
(without changing the crosssection width ), the area moment of inertia and the mass of the beam are changed, and its eigenfrequency is changed to . Find by a simple computation.
------------
SOLUTION
------------------------------ where , and are constants of proportionality, the values of which we need not know. This gives us

TMMI09 2013-01-10
TMMI09 2013-01-10.02 (Del I, teori; 1 p.)
2.
Förskjutningslösningen för en böjsvängande balk med kontinuerlig massfördelning kan skrivas
. Ange de fyra (4) randvillkor som ska uppfyllas av -funktionen för balken i figuren
2.
The displacement solution of a vibrating beam with continuous mass distribution can be written
. Give the four (4) boundary conditions to be applied on the function for the beam in the figure.
------------
SOLUTION
------------------------------
TMMI09 2013-01-10.03 (Del I, teori; 1 p.)
3.
Detaljer som ska dimensioneras mot utmattning innehåller ofta lokala spänningskoncentrationer, till exempel p.g.a. hålkälar, areaövergångar och liknande. Den maximala spänningen i själva kälen är
, där i extrema fall kan vara . I utmattningsdimensionering behöver man emellertid sällan räkna med hela utan kan använda ett reducerat värde Förklara varför!
3
. Components to be designed against fatigue often contains local stress concentrations, for instance caused by notches, area transitions, ... The maximal stress in the notch is then extreme cases can be > . In fatigue design, however, one seldom needs to take this whole into account but can use a reduced value Explain why!
, where in
------------
SOLUTION
------------------------------
- The fatigue failure will be the result of a crack starting at a defect in the material, and
- the larger the highly stressed volume is, the more likely is it that there exists an extremely bad defect.
The fatigue data are always measured on a test specimen which is designed to give the same high stress over a rather large volume of material. The fatigue risk in an actual component with the same maximimm stress but over only the small volume surrounding the notch is therefore less, and the use of a reduced value instead of is justified.

TMMI09 2013-01-10
TMMI09 2013-01-10.04 (Del I, teori; 1 p.)
4.
Lasthistorien i bilden ska användas för att göra en utmattningsanalys enligt Palmgren-
Miner. Med rainflow count kan tre lastcykler identifieras. Vilka? (Motivera genom att rita in
‘droppvägarna’ i figuren!)
4.
The load history in the figure is to be used for a fatigue analysis by a linear Palmgren-Miner theory. Using rainflow count, three load cycles can be identified. Which? (Explain by marking the drop paths in the figure!)
3
4
1
2
5
6
------------
SOLUTION
------------------------------
Drop table
’Drop’ No.
5
1
3
1
Range (MPa)
1
1
’Pairing’ table
Cycle No. Drops Nos. Cycle (MPa)
-20 → 80
60 → 40
40 → 60
80 → -20
10 → 40
40 → 10
1 1 + 4 -20 → 80 → -20
60 → 40 → 60
2 2 + 3
3 5 + 6
↑
SVARET
10 → 40 → 10

TMMI09 2013-01-10
TMHL09 2013-01-10.05 (Del II, problem; 3 p.)
5.
En masslös konsolbalk bär i sin spets en punktformig massa . Balkens vänstra del har cirkulärt tvärsnitt med diameter , medan dess högra del
har diameter . I balkspetsen angriper också en störkraft
. Bestäm amplituden hos massans svängningsrörelse stationärt tillstånd.
5.
A massless cantilever beam carries a point mass on its tip. The left part of the beam has circular cross section with diameter , while the right part has diameter .
At the tip of the beam, there is also a periodic force . Compute the amplitude of the vibration of the mass in the stationary state.
------------
SOLUTION
-----------------------------
Equation of motion
Relation S ↔ u
Superposition of elementary solutions:

TMMI09 2013-01-10
Vibration equation
Stationary solution
TMHL09 2013-01-10.06 (Del II, problem; 3 p.)
6.
En balk med kontinuerlig massfördelning är fast inspänd i båda ändar. Bestäm dess egenvinkelfrekvens i fri svängning.
Rätt uppställd ekvation plus beskrivning av hur dess lösning ska efterbehandlas för att ge egenvinkelfrekvensen ger 2 poäng; har du dessutom genomfört den numeriska lösningen av ekvationen samt slutfört beräkningen av egenvinkelfrekvensen får du 3 poäng.
6.
A beam with a continuous mass distribution is clamped in both ends. Compute its eigenfrequency in free vibration.
A correct equation plus description of how its solution must be postprocessed in order to give the eigenfrequency gives 2 points. Numerical solution of the equation together with a successful postprocessing to find the eigenfrequency gives 3 points
------------
SOLUTION
------------------------------
Use the general solution where
Boundary conditions:

TMMI09 2013-01-10 or, in matrix form (and with abbreviations , ... introduced)
Linear homogeneous equation system; has nontrivial solutions only if
The equation to solve is therefore
The function is plotted below. is obviously for .
Accurate solution gives
ANSWER

TMMI09 2013-01-10
TMHL09 2013-01-10.07 (Del II, problem; 3 p.)
7.
En I-profilbalk (se fig. 1) utsätts för ett böjmoment . Balkens övre fläns blir därigenom utsatt för en tidvarierande längsspänning och kan ur utmattningssynpunkt behandlas som en drag/tryckbelastad plåt.
Materialdata: ; volymsberoende behöver beaktas .
. Inget ytjämnhets- eller a) Bestäm max. tillåtet i detta grundutförande. b) På ett ställe i balken blir man tvungen att borra upp ett par hål i övre flänsen enligt figur 2, som visar ett längdavsnitt av balken, sett uppifrån. Anta att vardera flänshalvan kan betraktas som en drag/tryckbelastad plåt med hål, beräkna och beräkna vilket max. som nu kan tillåtas.
7
. A beam with an I-shaped cross section (Fig. 1) is subjected to a bending moment .
The upper flange will by this be subjected to a time-varying axial stress and can in a fatigue analysis context be treated as a tension/compression-loaded metal sheet.
Data: ; dependence corrections are necessary. a) Compute the maximum allowed in this basic case.
. No surface condition or volume b) At a particular position along the beam two holes must be drilled in the upper flange (see Fig.
2, which shows a short section of the beam as seen from above). Assuming that each of the halves of the flange can be considered as a sheet with a tension/compression load, compute and the maximum moment that can now be allowed.
Fig. 1
Fig. 2

TMMI09 2013-01-10
------------
SOLUTION
------------------------------
Case (a)
The nominal stress cycle in the flange can be computed by beam theory:
a a
The requirement that gives
a
a
With
a and we get:
Case (b)
The hole in the flange (case on top of page 65 in the compendium; ) gives
a a
Further,
Pa no
a
The requirement therefore gives
a
N

TMMI09 2013-01-10
TMHL09 2013-01-10.08 (Del II, problem; 3 p.)
8.
En konstruktionsdetalj, som kan förenklas till en plattstav med rektangulärt tvärsnitt, har en areaövergång med hålkälsgeometri enligt fig. 1. Belastningen är en tidvarierande jämnfördelad spänning , som är så hög att det finns risk för LCF. Komponenten ska dimensioneras för en LCF-livslängd om 3000 cykler. Bestäm den spänningsamplitud som då kan tillåtas!
Gör på följande sätt:
1.
Använd orrow’s ekvation för att ur krävd LCF-livslängd bestämma tillåten lokal töjningsamplitud .
2.
Använd materialets Ramberg-Osgood-kurva (fig. 2) för att bestämma motsvarande lokala spänningsamplitud .
3.
Använd Neubers ekvation för att med kännedom om och beräkna tillåten amplitud hos den utifrån pålagda spänningen.
8
. A component, which for simplicity can be treated as a flat specimen with a rectangular cross section, has an area reduction with notch geometry; see Fig. 1. The load is a time-varying, evenly distributed stress , which is high enough that there is a risk of LCF. The component is to be designed for an LCF life of 3000 cycles. Compute the stress amplitude that can be allowed!
Instructions:
1.
Knowing the required LCF life, use the Morrow equation to find the allowable local strain amplitude .
2.
Use the Ramberg-Osgood curve diagram (Fig. 2) to find the corresponding local stress amplitude .
3.
Use the Neuber equation with the and known from above to compute the allowed amplitude of the externally applied stress.
Fig. 1

Morrow data:
Pa
TMMI09 2013-01-10
Fig. 2
------------
SOLUTION
------------------------------
Morrow’s equation
Ramberg-Osgood
Reading in the diagram of Fig. 2 gives
(Accurate numerical solution would have given MPa)
Neuber
We need Accurate reading in the table on top left of p. 64 gives Since we have no information on the tensile strength of the material, we cannot compute any notch sensitivity factor but will, instead, assume that so that
The Neuber equation then gives