TMMI09 2013-08-23
TMMI09 2013-08-23.01
(Del I, teori; 1 p.)
1. En konsolbalk med en punktmassa
påverkas av en störkraft
.
Den resulterande stationärsvängningens
amplitud kan skrivas
, där
är balkens utböjning vid statisk
belastning med massan . Rita i figuren till
höger in principutseendet av
.
1. A cantilever beam carrying a discrete mass
is loaded by an external force
. The amplitude of the resulting
stationary vibration can be expressed as
, where
is the
deflection of the beam under static loading by
the mass . Sketch
in the figure
template to the right.
------------
SOLUTION
------------------------------
Se figuren!
TMMI09 2013-08-23.02
(Del I, teori; 1 p.)
2. Figuren visar en masslös balk med två punktmassor. Balken har i fri svängning två
svängningsmoder, svarande mot grundton och en överton. Rita dessa båda svängningsmoder. Ange
vilken av de uppritade moderna som svarar mot grund- resp. överton.
2. The figure shows a massless beam carrying two discrete masses. In free vibration, the beam has
two eigenmodes, corresponding to principal and overtone.. Draw these two eigenmodes. Mark which
of them is principal and overtone, respectively.
TMMI09 2013-08-23
------------
SOLUTION
-----------------------------Principal
Overtone
TMMI09 2013-08-23.03
(Del I, teori; 1 p.)
3. Detaljer som ska dimensioneras mot utmattning innehåller ofta lokala spänningskoncentrationer,
till exempel p.g.a. hålkälar, areaövergångar och liknande. Den maximala spänningen i själva kälen är
, där i extrema fall kan vara
. I utmattningsdimensionering behöver man emellertid
sällan räkna med hela utan kan använda ett reducerat värde
Förklara varför!
3. Components to be designed against fatigue often contains local stress concentrations, for instance
caused by notches, fillets, ... The maximal stress in the notch is then
, where in extreme
cases can be > . In fatigue design, however, one seldom needs to take this whole
into account but
can use a reduced value
Explain why!
------------
SOLUTION
------------------------------
- The fatigue failure will be the result of a crack starting at a defect in the material, and
- the larger the highly stressed volume is, the more likely is it that there exists an extremely bad
defect.
The fatigue data are always measured on a test specimen which is designed to give the same high
stress over a rather large volume of material. The fatigue risk in an actual component with the same
maximimm stress but over only the small volume surrounding the notch is therefore less, and the use
of a reduced value
instead of is justified.
TMMI09 2013-08-23
TMMI09 2013-08-23.04
(Del I, teori; 1 p.)
4. En komponent i en maskin utsätts för en upprepad typisk lastsekvens enligt fig. 4a. För materialet
gäller Wöhlerdiagrammet i fig. 4b. Använd Palmgen-Miners linjära delskadeteori för att beräkna hur
många sådana lastsekvenser komponenten kan förväntas tåla.
4. A component of a machine is repeatedly loaded by the typical load sequence of Fig. 4a. The
Wöhler diagram of the material is shown in Fig. 4b. Use the linear Palmgren-Miner theory to compute
how many such load sequences the component can be expected to stand.
Fig. 4a
Fig. 4b
------------
SOLUTION
1st cycle (
------------------------------
corresponds to
The 100 cycles following (
The load sequence therefore gives a damage
therefore stand
correspond to
, and the component can
TMMI09 2013-08-23
TMHL09 2013-08-23.05
(Del II, problem; 3 p.)
5. En masslös, fritt upplagd balk bär på
mitten en punktformig massa . På masssan
angriper en störkraft
, och
dessutom ansluter där en linjär dämpare med
dämpkonstant . Data:
, och
, där
är egenvinkelfrekvensen
. Bestäm svängningsamplituden i stationär svängning.
5. A massless beam has moment-free supports in both ends and carries a discrete mass at its midpoint.
The mass is acted on by a periodic force
, and in addition there is also a linear
dashpot damper (damping constant ). Data:
, and
, where
is the
eigenfrequency
. Compute the amplitude of the vibration of the mass in the stationary
state.
------------
SOLUTION
-------------- ---------------I Equation of motion
See free-body diagram to the left!
II Beam stiffness equation
Formula table cases directly give
III Vibration equation
IV Solution
We seek the stationary solution and make the following ansatz
Insertion into Eq. (4):
TMMI09 2013-08-23
Eq. (6) gives separate equations for the sine and the cosine terms:
We can gain compactness by inserting the known expressions
gives
och
. This
with the solution
What remains now is to compute the amplitude. Since we have a
bo in nd co in ,
’ o l’ amplitude becomes
TMHL09 2013-08-23.06
ansatz [Eq. (5)] which contains
(Del II, problem; 3 p.)
6. En flygplansvinge bär upp 2 likadana motorer, som (för en överslagsanalys) kan anses
vara punktformiga massor . Vingens styvhet
varierar utefter längden, men vi kan (för överslagsanalysen) anta att den är styckevis konstant enligt figuren, där även längdmåtten är
angivna.
Beräkna vingens egenvinkelfrekvenser.
6. The wing of an aicraft carries 2 equal engines, which (for a first analysis) can be considered to be
discrete masses . The stiffness of the wimg varies along its length, but we can (again, for this first
analysis) assume that it is piecewisely constant with the measures given in the figure.
Compute the eigenfrequencies of the wing.
TMMI09 2013-08-23
------------
SOLUTION
------------------------------
I. Free-body diagram
L
(Note that this solution stems from an examination paper in a course, where the mass displacements
were generally called instead of and the internal forces instead of )
II. Equations of motion
III. Stiffness equations (relations
Study the beam solutions in the formula table:

)
TMMI09 2013-08-23
and
IV. Vibration equation
V. Eigenfrequencies
TMMI09 2013-08-23
TMHL09 2013-08-23.07
(Del II, problem; 3 p.)
7. En cirkulär stång belastas med en tidvarierande axiallast
. Mått och övriga data
framgår av fig. 7 samt tabell. Gör en utmattningsanalys och ange om komponenten är O.K. ur
utmattningssynpunkt.
7. A circular rod is loaded by a time-varying axial load
. Data are given in Fig. 7 and
the table. Perform a fatigue analysis and determine whether or not the component is O.K. from a
fatigue point of view.
Last, geometri / Load, geometry
= 50103 N
Material
= ± 250 MPa
D = 40 mm
200 ± 200 MPa
d = 20 mm
= 700 MPa
= 2 mm
= 300 MPa
Yta/surface : Polerad/polished
------------
SOLUTION
------------------------------
Haigh diagram reductions
1st comment: Since
, w know
w will k p ric ly on
‘y xi ’ of
and we can do all necessary computations without formally drawing it.
Polished surface, no volume influence (other than that intrinsic in
Stress analysis
r
conc n r ion f c or , circ l r b r wi
fill
below)
H ig di gr m,
no reductions needed.
TMMI09 2013-08-23
We therefore have
O.K:?
(already without taking any safety factor into account)
TMHL09 2013-08-23.08
not O.K.
ANSWER
(Del II, problem; 3 p.)
8. En konstruktionsdetalj, som kan förenklas till en plattstav med rektangulärt tvärsnitt, har en
areaövergång med hålkälsgeometri enligt fig. 1. Belastningen är en tidvarierande jämnfördelad
spänning
, som är så hög att det finns risk för LCF. Komponenten ska dimensioneras för en LCF-livslängd om 3000 cykler. Bestäm den spänningsamplitud som då kan tillåtas!
Gör på följande sätt:
1. An änd Morrow’ ekvation för att ur krävd LCF-livslängd bestämma tillåten lokal
töjningsamplitud .
2. Använd materialets Ramberg-Osgood-kurva (fig. 2) för att bestämma motsvarande lokala
spänningsamplitud .
3. Använd Neubers ekvation för att med kännedom om
hos den utifrån pålagda spänningen.
och
beräkna tillåten amplitud
8. A component, which for simplicity can be treated as a flat specimen with a rectangular cross
section, has an area reduction with notch geometry; see Fig. 1. The load is a time-varying, evenly
distributed stress
, which is high enough that there is a risk of LCF. The component
is to be designed for an LCF life of 3000 cycles. Compute the stress amplitude that can be allowed!
Instructions:
1. Knowing the required LCF life, use the Morrow equation to find the allowable local strain
amplitude .
2. Use the Ramberg-Osgood curve diagram (Fig. 2) to find the corresponding local stress amplitude .
3. Use the Neuber equation with the and
tude of the externally applied stress.
known from above to compute the allowed ampli-
TMMI09 2013-08-23
Fig. 1
Morrow data:
Fig. 2
-----------Morrow’s equation
SOLUTION
------------------------------
Ramberg-Osgood
Reading in the diagram of Fig. 2 gives
(Accurate numerical solution would have given
MPa)
Neuber
We need
Accurate reading in the table on top left of p. 64 gives
Since we have no
information on the tensile strength of the material, we cannot compute any notch sensitivity factor
but will, instead, assume that
so that
TMMI09 2013-08-23
The Neuber equation then gives