第五章 时间推进法
 内容
 守恒形式欧拉方程
 非定常欧拉方程的特征线
 非定常欧拉方程显式差分
 多维流的时间分裂法
 非定常欧拉方程有限体积法
 无粘流计算的人工粘性
 加速收敛的方法及算例
 重点
 多维流的时间分裂法
 非定常欧拉方程有限体积法
5-1 守恒形式的非定常欧拉方程
一、引言
 激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方
法。
 不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场。
 非定常二维可压缩欧拉方程
  (  u )  (  v)


0
t
x
y
u
u
u p
  u   v   0
t
x
y x
v
v
v p
  u   v   0
t
x
y y
p
p
p



 u  v  a2 (  u
v ) 0
t
x
y
t
x
y
 方程的性质
 方程是双曲型（对时间）
 跨音速区包含激波
 时间推进分法可以克服跨音速计算困难
 基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态）
 全场统一用一种数值方法
 可以使用有限体积方法
二、积分形式的守恒型非定常方程组
 只有写成守恒形式的方程才能代表物理守恒律和间断面上的
物理守恒律。
 连续方程：

 d
 A  (v  n )dA   t 

 动量方程： 
t
  vd    pndA    (V  n )VdA
A
A
 能量方程：
Q

A
v2

p(v  n )dA   (e  )  (V  n )dA 
2
t
A
v
v2
令 E   (CvT  )   (e  )
2
2
绝势流动能量方程为：

Ed   EV  ndA   p(v  n )dA

t 
A
v2
 (e  )d

2

三、微分形式的守恒非定常流欧拉方程（3D）
  (  u )  (  v )  (  w)



0
t
x
y
z




2
(  u )  (  u  u )  (  uv )  (  uw)  0
t
x
y
z




(  v )  (  uv )  (  v 2  p )  (  vw)  0
t
x
y
z




(  w)  (  uw)  (  vw)  ( p   w2 )  0
t
x
y
z
E 


 [( E  p )u ]  [( E  p )v ]  [( E  p ) w]  0
t x
y
z
或引入总焓 h0，则
E  p  h0




(  h0  p )  (  h0 u )  (  h0 v )  (  h0 w))  0
t
x
y
z
根据连续方程改写为
Dh0 1 p

0
Dt  t
四、守恒的欧拉方程组的缩写
通用形式
U F G H



0
t x y z
其中，U,F,G,H是列向量

 u 
 
U   v 
 
 w 
 E 
 u 
  u2   


F    uv 



uw


 ( E  p )u 
 u 
  uv 


2
G   u p 



vw


 ( E  p )v 
 w 
  wu 


H    wv 


2

w

p


( E  p ) w 
可写成是向量矩阵形式
W  ix F  i y G  iz H
则
U
  W  0
t


v


  uV  pi 
W    vV  p j 
  wV  pk 


 ( E  p )v 
积分型的矢量矩阵表达式

Ud   W  ndA  0

t 
五、气体状态方程
 引入完全气体状态方程
p  (r  1)Cv T   RT
 方程组封闭可解
 例:一维流欧拉方程具体表达式
U F

0
t
x
其中，

U   u 
 E 
 u 
F   u 2  p 
( E  p )u 
令
u  m
则
 


U  m 
 E 
F是复合函数
F F U

x U x




m


2
3 r m 
F  (r  1) E 

2  

3 
rm
E
r

1
m



2
 
2  
U 1 
U  U 2 
U 3 
令
 F1
 U
 1
F  F2
A

U  U1
 F3

 U1
 F1 
F   F2 
 F3 
F1
U 2
F2
U 2
F3
U 2
F1 
U 3 
F2 

U 3 
F3 

U 3 




0
1
0 



(3  r ) m 2
m


(3  r )
( r  1) 
2




  rmE
m2   E 3
m2 
rm 


 ( r  1) 3    ( r  1) 2 
   2
 
 
  
方程可写为
U
U
A
 0, F  AU
t
x
同理可写出二维欧拉方程的通用表达式
U
U
V
A
B
 0, F  AU , G  BV
t
x
y
 
m
其中 U   , m  u , n  v
n
 
E 
§5-2非定常欧拉方程的特征线（自学）
5-3 非定长欧拉方程的显式格式
一、简单线性波动方程
ut  aux  0
x=at+c
t
x
其解析解存在
t
u  f ( x, at )
沿特征线上
x  at  const
0
二、一阶精度显示差分
ui( n 1)  ui( n )
ui(n1)  ui(n1)
a
0
t
2x
x
截断误差
t ( n )
[ui 1  ui(n1) ]  O(t 2 )
2x
ui( n 1)  ui( n ) 
x
a
t
（微分依赖区与差分依赖区重合）
( n 1)
i
u
u
(n)
i
1 (n)
 （ui 1  ui(n1)）
2
精确平移条件：特征线
x  at  const
上u不变
1
（ui(n1)  2ui( n )＋ui(n1)）
2
特征线
i-1
i
一阶显示差分格式将不稳定，不能用
ui( n1)  ui(n1)
三、二阶精度的显示格式
利用Taylor级数可构造二阶精度显示差分格式
2
2
a

t
a
(

t
)
( n)
( n)
( n)
3
ui( n1)  ui( n) 
[ui(n1)  ui(n1) ] 
（
u

2
u
＋
u
）+
O
(

t
)
i 1
i
i 1
2
2x
2(x)
差分方程稳定性：（差分方程依赖区不小于微分方程依赖区）
t
( )a
x
CFL( Courant-Friedrichs-Lowy)数
令
t
CFL  a
x
则有
CFL  1
当CFL=1时，差分方程的依赖区与微分方程依赖区重合，
得到的结果与精确解相同
四、二阶精度显示两步差分
( n 1)
i
u
at ( n )

(ui 1  ui(n1) )
x
预估：
u
校正：
1
at ( n 1)
ui( n 1)  {ui( n )  ui( n 1) 
(ui 1  ui( n 1) )}
2
x
即
1
at ( n )
ui( n 1)  {ui( n )  ui( n ) 
[ui  ui(n1) ]
2
x
(n)
i


at ( n ) at ( n )
[ui 1 
(ui 1  ui( n ) )]
x
x
at ( n ) at ( n )
[ui 
(ui  ui(n1) )]}
x
x
具有二阶精度
二步格式的构造
 x u( n)
预估： ux 向后差分

给出中间结果
ui( n1)
，具有一阶精度
校正： 用中间结果构造向前差分
 xu
 得到二阶精度
可以反过来，先向前再向后差分，即
( n 1)
i
u
u
ui( n 1) 
(n)
i
at ( n )

(ui 1  ui( n ) )
x
1 (n)
a t ( n 1)
{ui  ui( n 1) 
(ui
 ui(n11) )}
2
x
五、一维流欧拉方程组差分格式
方程通用格式
V F

0
t x
V、F表达式同前
 预估式
U
( n 1)
i
U
(n)
i
t ( n )
V具有一阶精度

[ Fi  Fi ( n1) ]
x
 校正式
U
( n 1)
i
1 (n)
t ( n 1)
( n 1)
n 1)
 [ui  ui

( Fi 1  Fi (V具有二阶精度
)]
2
x
3
2

V

F

F
(

t
)
与其等价的微分方程为



0
2
t x xt
6
稳定性条件：差分方程依赖区不小于微分方程依赖区。
dx
 u, u  a
dt
V其稳定性条件
x
 Max { u , u  a , u  a }  u  a
t
即
t
1

x u  a
或
( u  a)
t
1
x
CFL
！没有经过严格证明的结论
六、二维流欧拉方程组
方程通用形式
U F G


0
t
x y
两步法格式:
①预估
( n 1)
ui , j
①校正
( n 1)
i, j
u
u
(n)
i, j
其中U,F,G同前
t ( n )
t ( n )
(n)

[ Fi , j  Fi 1, j ] 
[Gi , j  Gi(,nj )1 ]
x
y
1 (n)
t ( n )
t ( n1)
( n 1)
( n 1)
 {ui , j  ui , j  [ Fi 1, j  Fi , j ]  [Gi , j 1  Gi(,nj1) ]}
2
x
y
以差分算子Lxy表示，则
U
n 1
 Lxy(t )U
( n)
——MacCormark二阶精度差分格式
分 “七点式” “五点式”
稳定性条件：
t  min{
1
,
1
}
1
u
v
u
v
1
1

[ 
 a( 2  2 ) 2 ]
x y x y
x
y
或
t 
1
1
u
v
1
1 2

 a( 2  2 )
x y
x
y
§5-4 多维流的时间分裂法
Time deposition method of Multi-dimension flow
维数增加，稳定性所允许的最大时间步长减小。
Number of dimensions increase leads the stability time step decrease
显示格式的计算率降低
Efficiency of explicit scheme decrease
用两步时间分裂的差分格式将多维差分方程分解为多个一
维差分格式 Two step time decomposition method is to decompose
computation into two step
1

n
t ( n )
(n)
(n)
2
预估
prediction
U

U

(
G

G

i, j
i, j
i, j
i , j 1 )
y

对y 差分 
1
1
1
1
 校正correction U n  2  1 U ( n )  U n  2  t (G ( n  2 )  G ( n  2 ) ) 
 i, j

i, j
i, j
i , j 1
i, j

2 
y


1
1
1
n
n
n


t
（n 1）
U i , j  U i , j 2  ( Fi , j 2  Fi 1, 2j )
预估prediction
x

对x 差分 
1
( n )

1
 校正correction U ( n 1)  U ( n 1)  U 2  t ( F ( n 1)  F ( n 1) ) 
i, j
i, j
i, j
i 1, j
i, j

2
x

或记为
U
1
( n )
2
 Ly (t )U ( n )
U ( n 1)  Lx(t )U
1
( n )
2
合计为
U ( n 1)  Lx(t ) Ly (t )U ( n )
依赖于x,y平面内的九个点，先对y求解，再对x求解，为
消除x,y顺序影响，第二个时间步可先对x求解再对y求解。
It depends on 9 points in x y plane, firstly to solve it for x then for y in order
to eliminated the effect on sequence ,second step is for x first and then for
y.
y
0
x
U ( n  2 )  Ly ( t ) Lx ( t )  Lx ( t ) Ly ( t )U ( n ) 
 在各个方向都按各自的稳定性限制条件来确定推进时间步长
To determine time step individual for x and y
 各方面均选取最大允许的值。
On both direction , the time step can be maximum value.
  4.5

Example ：triangle airfoil M   2 AOA 10 ,Angle of leading edge   4.5

 举例：三角形翼型的流动。M   2, 迎角10契形顶角
取x  常数
Take
=const
x
 y方向分三区：近场、中场、远场 Divide 3 zones in y direction, near，
middle，far field
估算x和y方向时间步长
 Calculate the time steps in x and y direction.
x
t x 
,
3a
t y 
y
,
1.157a
 时间步长：
 time step :
 中间场：middle
tx  t y
近
场：near
1
t y   t x
2
远
场：far
t y  2tx
最大时步长
t  min{t x , t y } 
Max time step
1
x
t x 
2
6a
各区的运算可规定为
The computation regular for every zone
近场
Ly (t ) Lx (2t ) Ly (t )
near
中间
middle
Lx (2t ) Ly (2t )
远场
far
Lx (2t ) Ly (4t ) Lx (2t )
四步推时 4t 的运算可规定为
4 steps match (
近
4t
) computation
U (n2)  Ly (t )Lx (2t )Ly (t )U ( n)
near
中
U (n2)  Lx (2t )Ly (2t )U ( n)
Middle
近
near
U (n4)  Ly (t )Lx (2t )Ly (t )U ( n2)
中
U (n4)  Lx (2t )Ly (2t )U ( n2)
middle
远
U (n4)  Lx (2t )Ly (4t )Lx (2t )U (n2)
far
可提高效率
Improve efficiency
Lx :
近场 4ⅹ32网格 4次
near
中
8ⅹ32网格 2次
middle
远
far
12ⅹ32网格 1次
Ly :
近场，中场，远场均执行2次，共1536次
Near middle far perform 2 times, 1536
推进4 ，执行的运算次数（时间）
Total computational time for 4 in total matching
Tal 
1408Ty  1536Tx
4t
若三区网格数相同，全部时间为
Txy
If the mesh number are same for three zones
（24ⅹ32）
允许最大时间步
Max time step
x
t ' 
 0.75t
8a
时间分裂格式的相对数值效率为
The numerical efficiency of time matching scheme
Tst / Tal  2.5
其中Tst代表单位推进需要的计算机时
Where Tst denotes time required for every step
结果见p117中图5.4.6
Results: See p117, Fig.5.4.6
非定常欧拉方程组中，用总焓方程代替非定常能量方
程也能求得定常解
In unsteady Euler Eqs. The energy equation can be replace by
equation of total
Dh0 1 p

0
Dt  t
当 p  0 时，方程趋于定常，整个流场总焓不变
t
When
p
 0 the equation becomes steady form
t
h0  const
5-5非定常欧拉方程有限体积法
The finite volume method for Euler equations
 限体积法：用基本方程积分，以空间体积元素为对象
离散化方程
Finite volume method: to use integral form of basic equations, and express
discrete equation in form of volume

Ud 

t
 W ndA  0
A
其中（对二维问题）
where ( for 2d problem)

U    u  ,W  iF  jG
  v 
 u 
 v 
F    u 2  p  , G    uv 
  uv 
  v 2  p 
 n 为控制面的法向量
Where
n
is normal vector of control surface
 总焓均匀且不随时间变化的Euler流The Euler flow in which the total
enthalpy is uniform and does not change with time
r p 1 2 2
 (u  v )  const
r 1  2
一、 Maccormark 时间分裂有限体积法
Time decomposition method of Maccormark
 二阶精度显示两步法格式
2nd order explicit FD with two steps matching
预估prediction
U
1
( n )
2
i, j
U
(n)
i, j
t

Gi(,nj )  Gi(,nj )1  x

xy
y
i,j+1
i-1,j
i,j
i+1,j
i,j-1
o
x
网格单元面积（三维问题则为体积）
the area of mesh
Vi , j  xy
单元边界长度矢量（面积矢量）
the vector of boundary edges
S
S
1
i, j
2
i, j
1
2
 xi y
 xi y
差分格式的积分表形式
the integrated form of FD
U
1
( n )
2
i, j
U
(n)
i, j
t

Vi , j
 (n)
(n)
(n)
(n) 
Wi , j  Si , j  1  Wi , j 1  Si , j  1 
2
2

其中
Ui(,nj)
代表网格中心点的值
( n)
i, j
where U donates the value of center of the mesh
校正（x )
U
S
S
1
( n )
2
i, j
1
i , j
2
1
i , j
2
( n )
1
t

 U i(,nj )  U i , j 2 
2
Vi , j

1
1
 ( n 1 )

( n )

2
2
 S 1 
Wi , j 1 S 1  Wi , j
i, j
i, j

2
2 


 ix x
 ix y
先预估pr edi ct i on（x- ） Ui(,nj1)  U
后校正cor r ect i on（y- ）U
( n 1)
i, j
1
( n )
2
i, j
1
1

n
t  n  2
2

Wi , j  S 1  Wi 1, j  S 1 
i , j
i , j
Vi , j 
2
2 


1
 
1  ( n  2 )
t  ( n 1)
( n 1)
 U i , j  U i(,nj1) 
W

S

W

S
 i 1, j
1
i, j
1 
i , j
i , j
2 
Vi , j 
2
2 

引入算子表达式
introduce FD calculator
U
(n
1
)
2
 Ly ( t )U ( n )
U ( n 1)  Lx ( t )U
(n
1
)
2
稳定条件
stability condition
Vi , j
Ly : t y  min
i, j
Vi , j  S
 ai , j S
i, j
1
2
Vi , j
Lx : t x  min
i, j
1
i, j
2
Vi , j  S
Ly ( y ) Lx ( t ) :
1
i , j
2
 ai , j S
1
i , j
2
t  min( t x , t y )
当y，x 为常数时，格式是有二阶精度
Where yx are constant, the scheme is of 2nd precision
(二)非正交曲线坐标网格Non-orthogonal grids
4
3
1
2
 有限体积格式不仅可用于正交网格，也可用于非正交网
格 FVM can be apply not only in orthogonal grids but also in non-orthogonal grids
对非正交网格
For non-orthogonal grids
Si , j  1  i ( y2  y1 )  j ( x2  x1 )
4
2
Si , j  1  i ( y3  y4 )  j ( x3  x4 )
2
Si  1 , j  i ( y4  y1 )  j ( x4  x1 )
2
Si  1 , j  i ( y3  y2 )  j ( x3  x2 )
2
1
3
2
Si , j  1
2
体积（面积）
Volume（area）
x1
1
Vij  ( x2
2
x3
y1 1
x3
y3 1
y2 1  x4
y4 1 )
y3 1
y1 1
x1
1
 [(x2  x4 )( y2  y1 )  ( x3  x4 )( y2  y4 )]
2
 以连续方程为例，写出差分方程有限体积格式
Take continuity equation as an example， the FD scheme for FVM can be written as

1
( n )
2
 ij( n ) 
t
{[(  v )ij( n )  (  v )i(,nj)1 ]  ( xi 1, j  xi , j )
Vij
(  u )ij( n ) ( yi 1, j 1  yi , j 1 )  (  u )i(,nj)1 ( yi 1, j  yi , j )  ......}

1
(n )
2
 ( u )
1
1
1
n
n
n
1 n

t
 {ij  ij 2  [(v)i , j 21  ( v)i , j 2  ( xi 1, j  xi , j )
2
Vij
1
2
i , j 1
n
ij( n 1)    
n
1
2
 ( yi 1, j 1  yi , j 1 )  ( u )i , j  ( yi 1, j  yi , j )]}
例：叶栅通道
 Maccormack格式用于叶栅通道
S3
 拟流线为直线/曲线
i,j
 前后缘设置尖劈
S2
S1
G
P
F
H
E
S
B
A
C
D
S4
二、Denton方法
Denton method
ABCD网格单元，由拟流线组成
Mesh is constructed with quasi-streamlines
 计算点位于拟流线上且在单元的中央
Computational nodes are on quasi-streamline and the center of the mesh
 Denlon 改进格式
i,nj1   n  
i, j
 n 1
pi , j

t
u in1\2, j ( yi, j 1  yi, j 1 )  u in1\2, j yi1, j 1  yi1, j 1   u i,nj1 yi1, j 1  ui, j 1   u i
Vi , j
 i , j

r 1
2
RT

u

0
2r

 n 1 

n 
i, j
 
 v
2
n 
i, j


u i, j
n 1
 u i , j
n 

t

Vi , j
 u
2


n 

n 1

p
i 1\ 2, j .( yi , j 1  yi , j 1 )
i 1\ 2, j


 n 1

p
i 1\ 2 , j . yi 1, j 1  yi 1, j 1 
i 1\ 2 , j
n 
 u
2

2
 u
u 
2


 n 1

p
i , j 1 . yi 1, j 1  yi , j 1 
i , j 1
n 


n 1

p
i , j 1 . yi 1, j 1  yi , j 1 
i , j 1
n 
 uvi , j 1 xi 1, j  xi , j   uvi , j 1 xi 1  xi 
n 
vi, j
n1
 v i , j
n 
n 

t
n 
n 
uvi1\2, j ( yi, j 1  yi, j 1 )  uvi1\2, j 1

Vi , j


. yi 1, j 1  yi 1, j 1   v



2 n
i , j 1

 pin, j 11 ( xi 1, j  xi , j )
 v i , j 1  pi , j 1 ( xi 1, j  xi , j )  uvi , j 1  yi 1, j 1  yi , j 1 
n 
n 1
 uvi , j 1 ( yi 1, j 1  yi , j 1 )
n 
n 1

2

u
,

u
, uv ）则可简化为
以f表示通量（
To press the flux with f, then FD can be simplified as following
 n 1
fi 1/2, j  f
 n 1
n
i 1, j
 n 1
pi 1/2, j  pi , j
 C f

n
i 1/2, j
 C p 
 n 1
i 1/2, j
 其中，Cf和Cp是通量和压强修正量
Where Cf and Cp are flux and pressure flux
C f  1   C f
n 
n 1
 F f x 
C pn1  1   C pn   Fp x 
 Ff 是通量插值函数，由（i，j），（i-1，j），（i-2,j）三个
Ff is the interpolation function ,it can be obtained from
 计算点的通量内插得到
Three points(i,j),(i-1,j),(i-2,j)
 Fp是压强插值函数，由（i-1,j），（i,j），（i+1,j）三点内
插
Fp is the interpolation function obtained from points （i-1,j），
（i,j），（i+1,j）

是松弛因子
 is the relaxationn factor
n1
f
p
 同理可写出 i 1\ 2, j 和 i 1\ 2, j 的表达式
can
n 1
Based the same principle , fin1and
be obtained
p
\ 2, j
i 1\ 2, j

注意：上述格式中，速度分量用旧速度
 压强用新速度和旧速度组成差分格式
 先求解密度和压强，再求解动量方程求新速度场
三、边界条件
一般有四种：
 进/出口边界条件
Generally three types of BC ,inlet\outlet BC
 周期性
Periodic BC
 物面边界条件
Wall BC
 远场边界条件
Far field BC
对于叶栅通道内流动，有四种：
For a cascade flow channel ,three are four BC
 进口边界（AH）
Inlet boundary(AH)
 周期性边界（AB CD HG FE） Periodical Boundary （AB CD HG FE）
 出口边界（ED）
Outlet Boundary (ED)
 进口（AH）
 当
时，需三个条件：
0ua
 进气角
 总温
1
 总压
T0
边界上值受内通道影
响effected by inner
flow
p
Inlet (AH),when 0
,three BC are required ,angle of
0ua
velocity ,total temperature, total pressure
当
u  a 时，边界值不受内通道影响，可以给定速度
When
ua
,boundary values are not influenced by inner flow
 出口处（ED）： Outlet (ED)
 当
p 2when 0 0uu a a
0  u  （亚音速）需一个条件，一般给压强
a
(subsonic) ,pressure as one BC is needed
当
u  a时，边界值可以外插，无需条件
叶片表面上（BSC或GPF） On the surface of cascade (BSC,or GPF)
速度矢量与表面相切 The velocity parallels the surface
V / /

V n

Nxu  N y v  0
 周期性边界条件（AB和HG，BC和FE） On periodic BC
(AB,HG,BC,FE) :
 边界上对应点参数相同. the parameters on corresponding points are same
 可向上、下各延伸一点（i,0）和（i,N+1）the grid are extended up and down
one point respectively (i,0) (i,N+1)
(i,N+1)
(i,N)
(i,N-1)
(i,2)
(i,1)
(i,N)=(i,N-1)
(i,N+1)=(i,2)
(i,0)
 有限体积法中物面通量为0，只需要计算物面压强
For FVM,the flux on surface are zero, only the pressure on boundary is needed
V .n  0


V
 0 




  uV  pi 
 pi 
 S  
 .S
W .S  

vV

p
j
p
j




  wV  pk 
 pk 





 0 
 ( E  p )V 
S
物面法向动量方程： The equation of holmium in the normal of wall
 对平面流动 For plane (2D)flow
 u2  v2 
R
p

n
 其中R是曲率半径 Where R is radius of curvative
 其差分格式
its FD scheme is
ps  pi 
 i  u 2  v 2 i
Rs
. n
n the distance to the wall
 其中 n是i 点距物面的距离 Where is
可以用外插法，由内点外得到物面上的压强
can be used also
计算精度受曲率计算精度影响比较大
Extrapolation method
5-6 无粘流计算的人工粘性
The artificial viscous of inviscous flow computation
欧拉方程二阶精度显式差分方程截断误差为：
The trancation error of 2nd explicit FDE for Euler Eqs is
 3 F t 2
xt 2 6
不含粘性It does not includes viscousity
在激波附近会出现压强和速度的波动和过高峰值The pressure and
velocity will fluctuate near the shockwave
须加入适当人工粘性 The suitable artificial viscousity must be introduced
过高人工粘性会影响求解精度Over high artificial viscosity will influence
the precise
对二维Euler流动，人工粘性一般取：
For 2D Euler flow， the artificial viscosity is generally
( Vi , j ) x  C x
( Vi , j ) y  C y
pi 1, j  2 pi , j  pi 1, j
pi 1, j  2 pi , j  pi 1, j
pi , j 1  2 pi , j  pi , j 1
pi , j 1  2 pi , j  pi , j 1
 (U i 1, j  2U i , j  U i 1, j )  ( ai , j  ui , j )
t
x
 (U i , j 1  2U i , j  U i , j 1 )  ( ai , j  vi , j )
t
y
其中Cx，Cy是人工粘性系数，取0~0.5
Where Cx，Cy are coefficients of artificial viscosity, given as value
0~0.5
人工粘性相当于给方程增加了两项：
The artificial viscosity adds two terms to PDE
a  u  2 p  2U 3
Cx
x t
2
2
4 p x x
a  v  2 p  2U 3
Cy
 y t
4 p y 2 y 2
对应的方程与粘性流N-S方程相比
Compared with the corresponding N-S
(  u) 

 (  u 2  p   xx )  (  uv   yx )  0
t
x
y
u
 xx  2      V
x
v u
 yx   (  )
x y
2




其中 为第二粘性系数 3 
Where  is second viscous
coefficient
法向粘性应力项
The normal viscosity term is
 xx 4  2u
( u )  t
  2 t
x 3 x
相应的x方向动量方程粘性The corresponding momentum
equation in x diraction
a  u  2 p  2U 3
Cx
 2 x t
2
4 p x
x
与人工粘性具有同样的表达式和含义
代表粘性影响（人工粘性）McCormack人工粘性Denotes the
artificial viscousity of McCormack scheme
光滑变化区域，人工粘性是四阶小量，不影响差分格式精度In the
smooth flow field， the artificial viscosity is 4th order，no influence
on the precision of the FDE
当出现激波，二阶系数很大，该项会产生明显的粘性作用，适当选
取Cx可以很好地模拟激波But when shock appears， the 2nd order
partition different becomes larger， it may present significant in
viscous effect
例：一维收——扩喷管过度膨胀流场
Example : 1 D Converge-Diverge Nozzle over Expanded
 激波前：Ma数光滑过渡In front of Shock ,Ma distribute smoothly .
 激波后：稍有波动Behind the shock ,there exist fluctuation
 激波位置在三个网格之间Shock located in between three grids
 较好的抑制了波动 restraining the fluctuation perfectly.
 简单的人工粘性：利用加权平均方式引进数值阻尼Simple artifical
viscosity, to introduce artifical viscosity using weighted average method
1
(U i , j  U i 1, j  U i 1, j  Ui , j 1  Ui , j 1 )
 4
1
 Ui, j 
(U i 1, j  U i 1, j  U i , j 1  U i , j 1  4U i , j )
 4
Ui , j 
其中  是阻尼系数。When is the damping coefficient .
人工阻尼方法相当于在微分方程中引入修正项Artificial damping
method is equivalent to
1
 2U 2  2U 2
(
x  2 y )
(  4) t x 2
y
1
 当 
时， 不会影响二阶格式的精度When
Min(x, y )

1
Min(x, y )
it does Not influence the precision of 2nd FD scheme .
 阻尼系数  取值原则：
The principle for receiving value of

 激波区有较强光滑作用，使激波保持在2-4个网格之间It has smooth effect in
shock zone .
 在激波区之外，则希望没有光滑作用，因此应取不同的值。Out of the shock
zone ,it has no smooth effects .
 激波捕获法：在差分方程中添加高阶项，取激波间断展宽，但仅为连续的
薄层Capture of shock ,introduce high order FD to widen the shock and keep it continuous
in a thin layer.
5-7 加速收敛的方法及算例
Example of Computation Acceleration
一、NACA转折角为800 亚声速叶栅
NACA cascade with 800 turning angle
Denton 方法（1） Denton method （1）
 McCormack时间分裂有限体积法（2）McCormack time
decomposition FUH(2)
压强分布Pressure distribution
 叶背前缘：方法2较方法1有改善Expanded surface method 2 is
better .
 叶盆：比实验值高Compressed surface ,results is higher than
that of experimentation
 Ma数分布比较：
二、NACA转折角95具有激波的叶栅
Cascade with 95۫ deg of turning angle
方法2：用人工粘性，可以较好捕获激波
Method 2， using artificial viscosity can capture the shock well
三、加速收敛的方法Acceleration method to iterate computation
定常问题Steady problem
 收敛结果与初值和计算过程无关Converged results has
nothing to do with initial flow field and computation proc..
 可以使用不同的时间步长Diff. time step can be used
 当地时间步长法，取当地允许的最长时间步长Local time step
method， max. allowed time step can be given
 当地时间步长取决于当地网格Local time step depends on
local space step and flow para.
 收敛之前的流场没有物理意义，只有收敛后才有The flow field
before convergence has no meaning
 原理是加快扰动传播速度The principal of acceleration is to
speed up perturbation
网格逐步加密方法
Method of grid reframe
 稀网格计算快，但精度低Coarse mesh can speed up
computation but its precision is lower
 密网格精度高但计算速度慢Fine grid can give higher precision
but convergence is worst
 疏密结合，先疏后密，可提高计算速度与精度The best way is to
combine coarse-fine grid
表5-2例
小结
Summary
主要内容:
Main contents
守恒Euler方程Conservational Euler equation
非定常流的特征显示格式Explicit FDS of steady Euler flow
多维流的时间分裂法The time decomposition method for
multi-dimensional flow
非定常Euler流 Unsteady Euler flow
有限体积法 Finite volume method of unsteady Euler flow
无粘流人工粘性 Artificial viscosity for inviscous flow
加速收敛的方法Acceleration of Methods
重 点
Importance
多步显式格式Multi-step explicit scheme
多维流时间分法Multi-dimensional time decomposition method
有限体积法Finite volume method
加速收敛法Acceleration of Methods
难 点Difficulty
时间分裂法time decomposition Method
有限体积法Finite volume method