Ciência e arte: da Cristalografia convencional aos quase-cristais

A difração é utilizada no estudo de arranjos de
átomos e moléculas.

A difração é utilizada no estudo de arranjos de
átomos e moléculas.
DNA

A difração é utilizada no estudo de arranjos de
átomos e moléculas
YBa
2
Cu
3
O
6
Antiferromagnético
YBa
2
Cu
3
O
7-x
(0 < x < 0.5)
Superconductor



Radiação Eletromagnética

 
1



2 e
2 mc
2




10

8 cm

10
24 cm

3
R e

2 .
82

10

13 cm n
  
1



2
0 .
9999

Como então, observar uma molécula?
B
C
Orgn
Si
O
A

Experimento de Young
As fendas agem como fontes secundarias
Onda Plana incidente
Interferência construtiva quando as ondas estão em fase


( r

) s

0
 s
0
 s


1


1
O r


2
S

  s

 s
0

 s

  
2




1
 
2


2

 r


  s

 s
0

  
2
 r

S d F
 
( r ) dV

F
 
     e
2
 i r


S
 d
3 r
 
F
  e

2
 i r


S
 d
3
S

f j
F
 
   j
  e
2
 i r


S
 d
3 r
Fator de forma
F
 
  j f j
  e
2
 i S

.
r
 j

Convolução
Multiplicação

O que faz um cristalógrafo?
B
C
Orgn
Si
O
A h k l Io

(Io)
-1 -9 -3 557 6
-1 -3 -9 543 8

I
F
Problema das fases
  j f j
  e
2
 i
 hx j
 ky j
 lz j

I
 
~ F
 
2
  j
 k f j f k e
2
 i [ h
 x j
 x k
)
 k ( y j
 y k
)
 l ( z j
 z k

]

Cristais imperfeitos, condição fundamental para a validade da 1ª aproximação de Bo rn

Luz Polarizada

Luz Incidente polarizador analisador
Cristal
Isotrópico
Cristal
Anisotrópico
Não passa a luz Não passa a luz passa a luz

Como montar um cristal crystal glass fibre
Cabeça goniométrica

von Laue (1912) junto com Friedrich e Knipping descobriram a difração de raios-x por um cristal de sulfeto de cobre pentahidratado.
Isso confirmou: i) ii)
A natureza ondulatória dos raios-x
A natureza periódica e regular dos cristais.

Pyritohedron
A pyritohedron has 30 edges, divided into two lengths: 24 and 6 in each group.
Face polygon
Faces
Edges
Vertices
Symmetry group
Dual polyhedron
Properties irregular pentagon
12
30 (6+24)
20 (8+12)
T h
, [4,3
+
], (3*2)
Pseudoicosahedron convex

This crystal is a 'pyritohedron'. It looks similar to regular dodecahedron —but it's not! At the molecular level, iron pyrite has little cubic crystal cells. But these cubes can form a pyritohedron

Dodecahedron e Icosahedron possuindo simetria pentagonal são incompatíveis com a simetria traslacional

Porém, em 1984...
Daniel Shechtman

As velocidades de esfriamento alcançáveis pelo método de
“melt-spinning” são da ordem de 10 4 –10 7 graus kelvin por segundo (K/s).

Electron diffraction pattern of an icosahedral
Ho-Mg-Zn quasicrystal

Padrão de Difração

O primeiro “tiling” de Penrose's usa pentágonos e outras três formas: uma “estrela” de cinco pontas,um “barco“ e um
“diamante”

Será uma pseudo-periodicidade?

Teoria de twinning de Linus Pauling
Nature,317, 512-514, 1985

Schectman's is an interesting story, involving a fierce battle against established science, ridicule and mockery from colleagues and a boss who found the finding so controversial, he asked him to leave the lab .

Penrose “tilings” com só dois motivos

Roger Penrose in the foyer of the Mitchell Institute for Fundamental
Physics and Astronomy, Texas A&M University , standing on a floor with a Penrose tiling

φ
1

Uma variante de “tiling” que não é quseperiódica. Não é um Penrose tiling porque a sistemática de empacotamento não foi seguida

A “Proporção Divina” ou Razão Áurea (Golden Rate)

Razão áurea e números de Fibonacci
F
0
F
1
F
2
F
3
F
4
F
5
F
6
F
7
F
8
F
9
F
10
F
11
F
12
F
13
F
14
F
15
F
16
F
17
F
18
F
19
F
20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

 F n
=F n-1
+F n-2

Retângulos com a “razão áurea”

Comprimento das arestas seguem a sequência de Fibonacci

Uma curva conectando números de Fibonacci consecutivos da origem a uma forma muito especial chamada a “Espiral Áurea”

 Razão Áurea, Números de Fibonacci e o mundo que habitamos

Galáxias

Orelha humana

Over the centuries, it has been designed by trial and error, without the aid of computers.
What is interesting is that it was not made to the Golden Ratio intentionally. What the designers found was that the closer the design was to the Golden Ratio, the better the quality of sound. It appears that even sound waves and harmonics tend to the Golden
Ratio
.

Os anéis de Saturno estão na razão áurea

Número de espirais na alcachofra

Obtenção de uma sequência quase periódica com a repetição periódica de uma dada operação.

5
8
13
2 1
2
3
1
1

Sequência de Fibonacci e quasicristais de
“quasesimetria” pentagonal

Se a inclinação da reta é irracional, por exemplo na razão áurea, a estrutura projetada unidimensional é um conjunto denso, não periódico, de sitios discretos. Limitando a projecão a uma faixa de largura finita, o subespaço pode ser “tiled” com dois segmentos cujos comprimentos estão, precisamente, na razão áurea.

Neste exemplo a rede recíproca coincide com a rede “direta”
(quadrada de lado unitário). A transformada de Fourier antes da projeção na rede direta é a convolução da rede recíproca com a transformada da função escalão.

Projeção num espaço corresponde a nível zero no espaçp conjugado
Mas,

Al-Pd-Mn by Yamamoto (1993)

octagonal QC:
V-Ni-Si
Cr-Ni-Si
Mn-Si
Mn-Si-Al
Mn-Fe-Si decagonal QC:
Al-TM (TM=Ir,Pd,Pt,Os,Ru,Rh,Mn,Fe,Co,Ni,Cr)
Al-Ni-Co *
Al-Cu-Mn
Al-Cu-Fe
Al-Cu-Ni
Al-Cu-Co *
Al-Cu-Co-Si *
Al-Mn-Pd *
V-Ni-Si
Cr-Ni

dodecagonal QC:
Cr-Ni
V-Ni
V-Ni-Si icosahedral QC:
Al-Mn
Al-Mn-Si
Al-Li-Cu *
Al-Pd-Mn *
Al-Cu-Fe
Al-Mg-Zn
Zn-Mg-RE * (RE=La,Ce,Nd,Sm,Gd,Dy,Y)
Ti-TM (TM=Fe, Mn, Co, Ni)
Nb-Fe
V-Ni-Si
Pd-U-Si

Então, essa nova forma da matéria condensada existe no Universo só como criação tecnológica?

Proceedings of the National Academy of Sciences
Evidence for the extraterrestrial origin of a natural quasicrystal.
PNAS January 31, 2012 vol. 109 no. 5 1396-1401
Luca Bindi
John M. Eiler
Yunbin Guan
Lincoln S. Hollister
Glenn MacPherson
Paul J. Steinhardt
Nan Yao

The rock sample consists of grains of more ordinary metallic and silicon compounds interspersed with the quasicrystal grains, so it's not wholly a quasicrystal. Some structures in the rock are only formed under high shocks (unlike sedimentary or volcanic rocks), and one particular silicate structure, known as stishovite, is most strongly associated with meteorites. To confirm this suspicion, the researchers investigated the ratios of various oxygen isotopes,
18 O/ 16 O and 17 O/ 16 O, and compared them to the ratios found on
Earth in analogous minerals. Because of the differences in formation and environment, meteorites have a distinctive isotope signature compared to their chemically similar terrestrial cousins. The scientific team found the sample containing the quasicrystals looked like it had an extraterrestrial source.

Extraterrestial quasicrystal of Al
63
Cu
24
Fe
13
, first synthesized in a lab in 1987

Fim de esta estória, mais este século será verá o desenvolvimento de uma fascinante área na pesquisa de novos materiais.