Topics in Algorithmic Game Theory
‫נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים‬
28 NOV 2012
Ahuva Mu’alem
‫בעית חלוקת העוגה נטולת הקנאה‬
‫‪ENVY FREE CAKE CUTTING‬‬
‫הגדרות‬
‫●‬
‫העוגה תיוצג על ידי הקטע ‪0,1‬‬
‫●‬
‫יש ‪ 2 > n‬שחקנים‬
‫●‬
‫)𝐼( 𝑘𝑣 הוא הערך הממשי של שחקן ‪ k‬לתת הקטע 𝐼 ⊇ ‪0,1‬‬
‫חלוקה נטולת קנאה‬
‫●‬
‫חלוקה של העוגה )‪ I(1), I(2), …, I(n‬ל‪ n -‬תת קטעים זרים‬
‫המוכלים בקטע ]‪ [0,1‬נקראת נטולת קנאה אם לכל ‪ j ,k‬מתקיים‪:‬‬
‫))‪vk(I(k)) > vk(I( j‬‬
‫●‬
‫כלומר‪ ,‬בחלוקה נטולת קנאה כל שחקן מרוצה מהחלק שהוא‬
‫קיבל ואינו מעוניין להחליף את החלק שלו עם אף שחקן אחר‪.‬‬
‫חלוקה נטולת קנאה‪ ,‬שני שחקנים‬
‫●‬
‫אלגוריתם חלק ובחר )”‪:)"Divide and Choose‬‬
‫●‬
‫שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו‬
‫●‬
‫השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים‬
‫חלוקה נטולת קנאה‪ ,‬שני שחקנים‬
‫●‬
‫אלגוריתם חלק ובחר‪:‬‬
‫●‬
‫שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו‬
‫●‬
‫השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים‪.‬‬
‫‪J‬‬
‫))‪max (v2(I), v2(J)) > min (v2(I), v2(J‬‬
‫‪max (v2 (I1), v2 (I‬‬
‫●‬
‫‪I‬‬
‫)‪v1 (I) = v1 (J‬‬
‫הערה‪ :‬נניח כי העדפת כל שחקן ‪ k‬היא רציפה ואדיטיבית‪ ,‬כלומר‬
‫אם ‪ J ,I‬הם תת קטעים זרים אז ) ‪𝑣𝑘 (𝐼) + 𝑣𝑘 (J) = 𝑣𝑘 (𝐼 ∪ J‬‬
‫חלוקה נטולת קנאה‪ ,‬המקרה הכללי‬
‫●‬
‫נראה כעת כלי טכני (המבוסס על הלמה של שפרנר) שיעזור לנו‬
‫לחלק את העוגה "ללא קנאה" בין מספר סופי כלשהו של‬
‫שחקנים ‪.n > 2‬‬

‫ הבהלה לזהב‬,‫'חלק ובחר' בנוסח צ'ארלי צ'אפלין‬
https://www.youtube.com/watch?v=mtZTIwSIuGw
‫הלמה של שפרנר‬
‫רקע והגדרות‬
‫‪SPERNER’S LEMMA‬‬
‫טריאנגולציה או שילוש‬
‫צביעת שפרנר‬
‫צביעת שפרנר‬
‫דוגמא‬
‫‪‬‬
‫צביעת שפרנר‬
‫‪‬‬
‫דוגמא‬
‫ובה נצבעו‬
‫כל המשולשונים‬
‫שצבועים ב‪3-‬‬
‫צבעים‬
‫צביעת שפרנר‬
‫‪‬‬
‫דוגמא‬
‫נצבעו‬
‫ובה‬
‫מספר‬
‫המשולשונים‬
‫כל‬
‫איזוגי > ‪1‬‬
‫שצבועים ב‪3-‬‬
‫משולשונים‬
‫של‬
‫צבעים‬
‫כרומטים‬
‫טרי‪-‬‬
‫הלמה של שפרנר‬
‫הוכחה‬
‫‪SPERNER’S LEMMA‬‬
‫למה (שפרנר‪ :)1928 ,‬בכל צביעת שפרנר יש מספר‬
‫אי‪-‬זוגי של משולשונים טרי‪-‬כרומטיים‪.‬‬
‫בעית חלוקת העוגה נטולת הקנאה‬
‫המקרה הכללי‪ ,‬המשך‬
The standard simplex in R3
Rental Harmony Problem
‫הגדרת הבעיה‬
‫●‬
‫בעית חלוקת השכירות בהרמוניה‪ :‬יש ‪ 2 > n‬שחקנים‬
‫שרוצים לשכור דירה של ‪ n‬חדרים‪ .‬דמי השכירות על הדירה הם‬
‫‪ 1000‬דולר‪ ,‬והשאלה היא האם ניתן לקבוע מחיר עבור כל חדר‬
‫כך שסכום המחירים יהיה ‪ 1000‬דולר וכך שכל שוכר ישכור את‬
‫החדר שהוא הכי רוצה במחירים האלו‪.‬‬

‫ הבהלה לזהב‬,‫' בנוסח צ'ארלי צ'אפלין‬Rental Harmony'
https://www.youtube.com/watch?v=lAop4Su5Uag
Sperner + Simmons + Su 
How to Solve the Envy Free Cake
Cutting and Rental Harmony Problems
‫בעית החלוקה הפרופורציונלית‬
‫הגדרות‬
‫●‬
‫העוגה תיוצג על ידי הקטע ]‪[0,1‬‬
‫●‬
‫יש ‪ 2 > n‬שחקנים‬
‫●‬
‫●‬
‫)𝐼( 𝑘𝑣 הוא הערך של שחקן ‪ k‬לתת הקטע 𝐼 ⊇ ‪0,1‬‬
‫העדפת השחקן היא אי‪-‬שלילית‪ ,‬רציפה ואדיטיבית‪ ,‬כלומר אם ‪,I‬‬
‫‪ J‬הם תת קטעים זרים אז )𝐽 ∪ 𝐼( 𝑘𝑣 = )𝐽 ( 𝑘𝑣 ‪𝑣𝑘 (𝐼) +‬‬
‫חלוקה פרופורציונלית‬
‫●‬
‫חלוקה של העוגה ‪ I1, I2, …, In‬ל‪ n -‬תת קטעים זרים המוכלים‬
‫בקטע ]‪ [0,1‬נקראת פרופורציונלית אם )‪vk(Ik‬א ≤‬
‫●‬
‫) ‪𝑣𝑘 ( 0,1‬‬
‫𝑛‬
‫לכל ‪k‬‬
‫כלומר בחלוקה פרופורציונלית כל שחקן מקבל חלק שערכו הוא‬
‫לפחות ‪ 1/n‬מערך העוגה מנקודת מבטו‬
‫בעית החלוקה הפרופורציונלית‪,‬‬
‫שני שחקנים‬
‫חלוקה פרופורציונלית‪ ,‬שני שחקנים‬
‫●‬
‫אלגוריתם חלק ובחר‪:‬‬
‫●‬
‫שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו‬
‫●‬
‫השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים‪.‬‬
‫חלוקה פרופורציונלית‪ ,‬שני שחקנים‬
‫●‬
‫אלגוריתם חלק ובחר‪:‬‬
‫●‬
‫שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו‬
‫●‬
‫השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים‪.‬‬
‫חלוקה פרופורציונלית‪ ,‬שני שחקנים‬
‫●‬
‫אלגוריתם חלק ובחר‪:‬‬
‫●‬
‫שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו‬
‫●‬
‫השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים‪.‬‬
‫‪I2‬‬
‫> ))‪max (v2(I1), v2(I2‬‬
‫= ))‪0.5 · (v2(I1) + v2(I2‬‬
‫‪max (v2 (I1),‬‬
‫) ‪v2·(Iv (I ∪ I‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I1‬‬
‫)‪v1 (I1) = v1 (I2‬‬
‫בעית החלוקה הפרופורציונלית‪,‬‬
‫מספר סופי של שחקנים‬
n > 2 ,‫חלוקה פרופורציונלית‬
:[Dubins-Spanier[ ‫אלגוריתם הסכין הנעה‬
●
●
●
A knife is slowly moved at constant speed parallel. At each
instant the knife is poised so that it could cut a unique slice of
the cake. At time goes by the potential slice increases
monotonely from nothing until it becomes the entire cake. The
first person to indicate satisfaction with the slice then
determined by the position of the knife receives that slice and is
eliminated from further distribution of the cake. (If two or more
participants simultaneously indicate satisfaction with the slice, it
is given to any of them.)
The process is repeated with the other n − 1 participants and
with what remains of the cake. The last player gets the
remainder of the cake.
n > 2 ,‫חלוקה פרופורציונלית‬
:[Dubins-Spanier[ ‫אלגוריתם הסכין הנעה‬
●
The knife is passed over the cake from the left end to the right.
●
‫כל‬says
‫קיבלו‬
1, 2,he
...,thinks
i ‫השחקנים‬
:‫נכונות‬
A player
stop when
1/n of the cake
is to the left
of the.‫מבטם‬
knife, the‫מנקודת‬
cake is cut‫העוגה‬
and he get
that piece.
‫מערך‬
1/n ‫אחד‬
●
Repeat ‫לחלק‬
with the ‫מייחס‬
remaining
cakei+2,
and ...,
players.
i+1,
n ‫שחקן‬
●
●
‫כל‬
The last player
gets
the remainder
the cake. ‫העוגה‬
‫מערך‬
(n-i)/n
‫לפחות‬of‫שנשאר‬
.‫ מנקודת מבטו‬,‫העוגה הכולל‬
●
Bibliography
Francis Edward Su. Rental harmony: Sperner's lemma in fair
division. Amer. Math. Monthly, 106(10):930–942, 1999
Chandra Chekuri, CS 573: Algorithmic Game Theory,
Lecture Notes, 2008
‫ מתמטיקה צבעונית – הלמה של שפרנר‬,‫עמוס אלטשולר‬
Wikipedia