Presented by:
1.
2.
3.
4.
Ihda Mardiana H.
Hesti Setyoningsih
Dewi Kurniyati
Belynda Surya F.
Parabolas
Circles
Ellipses
PARABOLAS
• Bentuk Umum Persamaan kuadrat
Ax
2
 Bxy
 Cy
2
 Dx  Ey  F
 0
Dengan A, B, C, D, E, dan F adalah bilangan real.
• Jika B,C = 0, maka persamaanya menjadi:
Ax
2
 Dx
 Ey
 F
 0,
( A, E
 0)
Atau biasa di tulis dalam bentuk:
y  ax
2
 bx  c
(a  0)
• Jika A,B = 0, maka persamaanya menjadi:
Cy
2
 Dx
 Ey  F
 0, (C , D  0 )
Atau biasa di tulis
x  ay
2
 by  c
(a  0)
Definition 2.1
A parabola is the locus of
points in a plane whose
distance from a fixed (the
dirictrix), and a fixed point
(the focus) are equal.
d1
d2
Parabola
adalah
tempat
kedudukan (locus) titik-titik
pada sebuah bidang datar yang
jaraknya terhadap sebuah garis
yang tetap (a fixed line) yang
disebut direktrik, dan terhadap
titik yang tetap (a fixed point)
yang disebut focus adalah sama.
parabola
focus
vertex
d1=d2
directrix
Axis Line of
symmetry
Standard Equation ( Persamaan Baku )
Suatu parabola memiliki
persamaan baku 𝒙𝟐 = 𝟐𝒑𝒚
jika
dan
hanya
jika
koordinat fokusnya (0,p/2)
dan direktriknya memiliki
persamaan 𝒚 = −𝒑/𝟐
A parabola has the standard
equation 𝑥 2 = 2𝑝𝑦 if and
only if its focus has the
coordinates (0,p/2) and its
directrix has an equation 𝑦
= −𝑝/2
Y
P x, y
Teorema 2.1

d1
p 

F  0,

2 

x
d2
p 

 x ,

2 

y  
p
2
2
 2 py
Bukti Teorema 2.1
d1 

d2 
x
x
2
p 

2
 0   y 

2


p 

 y 

2


p 

 y 

2


2
2
Berdasarkan definisi parabola,
d1  d 2

 x
2
x
2
2
 y
2
p 

  y 

2 

2
 py 
p

p 

y



2 

2
 y
2
 py 
4

x
2
 2 py

d1
d2
p 

 x ,

2 

p 

F  0,

2 

y  
x
p
2
2
p
2
4
Y
P x, y
2
 2 py
Theorem 2.2
A parabola has the standard
equation 𝑥 2 = −2𝑝𝑦
If and only if its focus has the
𝑝
coordinates (0, − )
2
Its directrix has an equation 𝑦
𝑝
=
Parabola memiliki persamaan
baku
𝑥 2 = −2𝑝𝑦
Jika dan hanya jika fokusnya
𝑝
memiliki koordinat (0, − )
2
Dan direktriknya memiliki
𝑝
persamaan 𝑦 =
2
Y
2
y 
p
2
X
F (0,
p
2
)
Bukti Teorema 2.2
Berdasarkan definisi parabola
d1 

d2 
x
x
2
p 

2
 0   y 

2 

p 

 y 

2 

p 

 y 

2 

2
2
2
d1  d 2

 x
x
2
2
 y
2
p 

 y

2


2
p
 py 
p 

y



2



2
 y
2
 py 
4

x
2
  2 py
y 
p
2
X
p
2
)
p
2
4
Y
F (0,
2
Theorem 2.3
A parabola has the standard
equation 𝑦 2 = 2𝑝𝑥 if and only if
its focus has the coordinates
(𝑝/2,0) and its directrix has an
𝑝
equation 𝑥 = −
Suatu
parabola
memiliki
persamaan baku 𝑦 2 = 2𝑝𝑥 jika
dan hanya jika fokusnya memiliki
koordinat
( 𝑝/2 ,0)
dan
direktriknya memiliki persamaan
𝑝
𝑥=−
2
2
Y
x  
p
2
F (
p
,0 )
2
X
y
2
 2 px
Fokus 


,0 
 2

d1 

d2 
p
p 

x 

2


2
p 

x 

2 

2
p 

x 

2


2

y
 0
2
d1  d 2
2
p 

x 

2 


 y
p
x  
dan persamaan direktrik
2
 x
2
 px 
p
2
 y
2
 y
2
p 

x 

2 


2
 x
2
4

p
2
F (
y
p
2
 2 px
,0 )
2
X
y
2
p
2
4
Y
x  
 px 
2
 2 px
Teorema 2.3
A parabola has the standard
equation 𝒚𝟐 = −𝟐𝒑𝒙 if and
only if its focus has the
coordinates (-p/2,0) and its
directrix has an equation 𝒙 =
𝒑/𝟐
Parabola memiliki persamaan
baku 𝒚𝟐 = −𝟐𝒑𝒙 jika dan
hanya jika fokusnya memiliki
koordinat
(-p/2,0)
dan
direktriknya
memiliki
persamaan 𝒙 = 𝒑/𝟐
Y
p


F 
,0 
2


y
2
  2 px
x 
p
2
X
Fokus
d1 

d2 
(
p
,0 )
2
p 

x 

2


2
p 

x



2 

2
p 

x 

2


2
dan persamaan direktrik
Y

y
 y
 0
2
p


F 
,0 
2


y
2


x
2
p 

2 
2
p
2
 px 
 y
 y
2
2
2

 x
2
 px 
4

X
  2 px
p 

x



2


2
p
2
4
y
2
  2 px
p
2
2
d1  d

 x 

x 
Test Of Symmetry
If 𝒙 is replaced with −𝒙 in the
equation 𝒙𝟐 = 𝟐𝒑𝒚 and𝒙𝟐 = −𝟐𝒑𝒚
we have, −𝒙 𝟐 = 𝒙𝟐 = 𝟐𝒑𝒚
and −𝒙 𝟐 = 𝒙𝟐 = −𝟐𝒑𝒚.
Thus, the equation and the resulting
value of 𝒚 are unchange after the
subtitution.
Jika 𝒙 digantikan dengan
− 𝒙 dalam persamaan
𝒙𝟐 = 𝟐𝒑𝒚 dan 𝒙𝟐 = −𝟐𝒑𝒚,
kita mempunyai,
−𝒙 𝟐 = 𝒙𝟐 = 𝟐𝒑𝒚
dan −𝒙 𝟐 = 𝒙𝟐 = −𝟐𝒑𝒚
Persamaan dan nilai hasil dari
y tidak berubah setelah
disubstitusikan.
Y

x, y 
x,
y
X
Test Of Symmetry
If 𝒚 is replaced with −𝒚 in the
equation 𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙 and 𝒚𝟐 = −𝟐𝒑𝒙
we have, −𝒚 𝟐 = 𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙
and −𝒚 𝟐 = 𝒚𝟐 = −𝟐𝒑𝒙.
Thus, the equation and the resulting
value of 𝒚 are unchange after the
subtitution.
y
Jika 𝒚 digantikan dengan −𝒚
dalam persamaan 𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙
dan 𝒚𝟐 = −𝟐𝒑𝒙,
kita mempunyai,
−𝒚 𝟐 = 𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙
dan −𝒚 𝟐 = 𝒚𝟐 = −𝟐𝒑𝒙
Persamaan dan nilai hasil dari
y tidak berubah setelah
disubstitusikan.
(x,y)
x
(x,-y)
Example
Find an equation of the directrix and the coordinates the focus
of the parabola whose equation is 𝒚𝟐 = 𝟏𝟐𝒙. Sketch the curve.
Solution:
• From theorem 2.3 the given equation is in standard form.
𝒑
2p=12 hence p/2=3. the directrix has an equation 𝒙 = − =
𝟐
− 𝟑, and the focus has coordinates (3,0).
• To sketch the curve, we subtitute selected values for x, say
1and 3 in the original equation to obtain 𝒚 = ± 𝟏𝟐 and 𝒚 =
±𝟔
• Using 𝟏𝟐 ≈ 𝟑. 𝟓, we graph (1,3.5), (1,-3.5), (3,6) and (3,-6)
and the sketch of the parabola using the fact that by
theorem 2.3 the graph is symmetric with respect to the axis.
Y
6
x  3
F ( 3,0 )
X
3
3
6
y
2
 12 x
CIRCLES
(LINGKARAN)
Definition 2.1
A circle is the set of points
in a plane that are at a
given distance (the radius)
𝒓 from a fixed point (the
center).
Lingkaran
merupakan
himpunan titik-titik dalam
bidang datar yang berjarak
sama (radius) 𝒓 dari titik
ditetapkan (pusat)
Standard Equation of Circles
Lingkaran yang berpusat di titik
asal (0,0) memiliki persamaan
sederhana. Sebagaimana
ditunjukkan dalam gambar 2.8,
lingkaran dengan titk P (x,y) dan
berada pada jarak r dari titik
pusat dan memenuhi rumus
jarak :
𝐫= 𝐱−𝟎 𝟐+ 𝐲−𝟎 𝟐
= 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐
Circles that have their center at
the origin have simple equation
as indicated in figure 2.8, any
point 𝑷(𝒙, 𝒚) on such a circle in
at a distance 𝒓 from the origin
(0,0), and by the distance formul
𝒓= 𝒙−𝟎 𝟐+ 𝒚−𝟎 𝟐
= 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
P
r
P=(x,y)
O
Teorema 2.4
A circle having the origin as its
center and radius 𝒓 have the
equation 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐
Suatu lingkaran yang memiliki
titik asal sebagai pusat dan
panjang jari-jari 𝑟 memiliki
persamaan
𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 = 𝐫𝟐
Contoh:
Lingkaran yang berpusat di titik (0,0) dan memiliki titik (2,3)
pada jarak r, didefinisikan sebagai
r 
2
 0
2

sehingga diperoleh
3
r
 0
2
2

13
 13
dan persamaan lingkarannya yaitu
x
2
Y
3
(2,3)
3
 y
2
 13
ELLIPSES
Definisi
An ellipses is the set of points in a plane such that for each
point the sum of its distances from two fixed point (the foci) is
constant.
Ellips
merupakan
himpunan titik-titik dalam
bidang datar sehingga
jumlah jarak untuk setiap
titiknya dari dua titik yang
tetap (foci) adalah tetap.
P
d2
F2
d1
F1
Pusat ellips merupakan titik
pertengahan diantara foci.
Garis yang melalui fokus
memotong ellips pada dua
Fokus
titik yang disebut vertex
Ruas garis yang
menghubungkan dua vertex
disebut sumbu mayor
verte
Ruas garis yang dimuat oleh x
garis yang tegak lurus
dengan sumbu mayor pada
Major axis
pusat yang memotong dua
titik pada elips disebut
sumbu minor.
Minor axis
Fokus
center
vertex
Standart Equations of an
Ellipses
An ellipse has standart
equation
𝒙𝟐 𝒚𝟐
+ 𝟐=𝟏
𝟐
𝒂
𝒃
If and only if its center is the
origin and its foci are in the x
axis
Ellips mempunyai
persamaan baku
𝒙𝟐 𝒚𝟐
+ 𝟐=𝟏
𝟐
𝒂
𝒃
Jika dan hanya jika
pusatnya di titik asal dan
focinya di sumbu x
Theorem 2.5
Theorem 2.6
An ellipse has standart
equation
𝒙𝟐 𝒚𝟐
+ 𝟐=𝟏
𝟐
𝒃
𝒂
If and only if its center is the
origin and its foci are in the y
axis
Ellips mempunyai
persamaan baku
𝒙𝟐 𝒚𝟐
+ 𝟐=𝟏
𝟐
𝒃
𝒂
Jika dan hanya jika
pusatnya di titik asal dan
focinya di sumbu y
Eccentricity of an Ellipse
(Eksentrisitas ellips)
Suatu ukuran pemanjangan
suatu ellips diberikan oleh
perbandingan c/a, yang
disebut eksentrisitas ellips,
dinyatakan dengan huruf e.
Saat nilai e mendekati 1 (c
mendekati a), elips menjadi
lebih memanjang. Ketika
nilai e
mendekati 0 (c
mendekati
0),
elips
mendekati bentuk lingkaran
F2
F1
F2
F1
E = 0,7
E = 0,4
F2
F1
E = 0,9
Systems of Equations
(Sistem Persamaan)
System of two quadratic equations in two variables has at most
four real solutions(ordered pairs of real number). However, such
a system may have two real and two imaginary solutions, or no
real and four imaginary solutions. Generally, these different
possibilities can be determined by graphical means.
Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel memiliki paling banyak
empat solusi real (pasangan terurut dari bilangan real). Namun, sistem
seperti ini mungkin memiliki dua solusi real dan dua solusi imajiner, atau
tidak ada solusi real dan empat solusi imajiner. Umumnya perbedaan
kemungkinan ini dapat ditentukan dengan cara grafis.
Four Real,
distinc intersection
two Real,
distinc intersection,
And two coincident
intersection
two Real,
distinc intersection,
And two imajinary
intersection
All four
intersection imajinary
SEKIAN
TERIMA KASIH