PERSAMAAN
DIFERENSIAL
(DIFFERENTIAL EQUATION)
metode euler
metode runge-kutta
Persamaan Diferensial
• Persamaan paling penting dalam bidang
rekayasa, paling bisa menjelaskan apa yang
terjadi dalam sistem fisik.
• Menghitung jarak terhadap waktu dengan
kecepatan tertentu, 50 misalnya.
dx
 50
dt
Rate equations
Persamaan Diferensial
• Solusinya, secara analitik dengan integral,
 dx  50dt
x  50t  C
• C adalah konstanta integrasi
• Artinya, solusi analitis tersebut terdiri dari
banyak ‘alternatif’
• C hanya bisa dicari jika mengetahui nilai x
dan t. Sehingga, untuk contoh di atas, jika
x(0) = (x saat t=0) = 0, maka C = 0
Klasifikasi Persamaan Diferensial
Persamaan yang mengandung turunan dari
satu atau lebih variabel tak bebas, terhadap
satu atau lebih variabel bebas.
• Dibedakan menurut:
– Tipe (ordiner/biasa atau parsial)
– Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang
ada
– Liniarity (linier atau non-linier)
PDO
Pers.dif. Ordiner = pers. yg mengandung
sejumlah tertentu turunan ordiner dari satu atau
lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel
bebas.
2
d y (t )
dy (t )
t

t

5
y
(
t
)

e
dt 2
dt
y(t) = variabel tak bebas
t = variabel bebas
dan turunan y(t)
Pers di atas: ordiner, orde dua, linier
PDO
• Dinyatakan dalam 1 peubah dalam
menurunkan suatu fungsi
• Contoh:
dy
 sin x   y '  sin x
dx
dP
 kP   P '  kP
dt
Partial Differential Equation
• Jika dinyatakan dalam lebih dari 1 peubah, disebut
sebagai persamaan diferensial parsial
• Pers.dif. Parsial mengandung sejumlah tertentu
turunan dari paling tidak satu variabel tak bebas
terhadap lebih dari satu variabel bebas.
• Banyak ditemui dalam persamaan transfer polutan
(adveksi, dispersi, diffusi)
 2 y ( x, t )  2 y ( x, t )

0
2
2
x
t
PDO
y ' ' '4 y  2
d 2s
 32
2
dt
( y' )2  3 y  e x
Ordiner, linier, orde 3
Ordiner, linier, orde 2
Ordiner, non linier, orde 1
Solusi persamaan diferensial
• Secara analitik, mencari solusi persamaan
diferensial adalah dengan mencari fungsi
integral nya.
• Contoh, untuk fungsi pertumbuhan secara
eksponensial, persamaan umum:
dP
 kP
dt
Rate equations
But what you really want to know is…
the sizes of the boxes (or state variables) and how they
change through time
That is, you want to know:
the state equations
There are two basic ways of finding the state equations
for the state variables based on your known rate
equations:
1)
2)
Analytical integration
Numerical integration
Suatu kultur bakteria tumbuh dengan
kecepatan yang proporsional dengan
jumlah bakteria yang ada pada setiap
waktu. Diketahui bahwa jumlah bakteri
bertambah menjadi dua kali lipat setiap 5
jam. Jika kultur tersebut berjumlah satu
unit pada saat t = 0, berapa kira-kira
jumlah bakteri setelah satu jam?
Solusi persamaan diferensial
• Jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap 5 jam, maka k
= (ln 2)/5
• Jika P0 = 1 unit, maka setelah satu jam…
dP
kt
 kP
P(t )  P0 e
dt
( (ln 2 ) )(1)
5
P1
t1
P
(
1
)

1
(
e
)
dP
P P  t kdt

1
.
1487
0
0
P
ln
 Ck (t  t0 )
P0
The Analytical Solution of the Rate Equation
is the State Equation
Rate equation
(dsolve in Maple)
State equation
There are very few models in
ecology that can be solved
analytically.
Solusi Numerik
• Numerical integration
– Eulers
– Runge-Kutta
Numerical integration makes use of this relationship:
yt  t
dy
 yt  t
dt
Which you’ve seen before…
Relationship between continuous and discrete time models
*You used this relationship in Lab 1 to program the
logistic rate equation in Visual Basic:
 Nt
N t 1  N t  rN t 1 
K


t ,

where t  1
Fundamental Approach of Numerical Integration
yt  t
dy
 yt  t
dt
y = f(t), unknown
yt+t,
yt+t, estimated
unknown
y
dy
dt
yt, known
t, specified
t
, known
N 

N t  t  N t  rN t 1  t t ,
K 

dN
where t  1
dt
Nt/K with time, lambda = 1.7, time step = 1
0.45
0.4
0.35
Nt/K
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
10
20
30
40
50
time (years)
Calculate dN/dt*1
at Nt
Nt+ t becomes the new Nt
Add it to Nt to
estimate Nt+ t
Use dN/dt to estimate next Nt+ t
Calculte dN/dt * 1 at new Nt
Euler’s Method:
Repeat these steps to estimate the state
function over your desired time length
(here 30 years)
yt+ t ≈ yt + dy/dt t
Example of Numerical Integration
dy
 6 y .007 y 2
dt
Analytical solution to dy/dt
Y0 = 10
 t = 0.5
point to
estimate
Euler’s Method:
yt+ t ≈ yt + dy/dt t
dy
 6 y .007 y 2
dt
analytical y(t+ t)
m1 = dy/dt at yt
m1 = 6*10-.007*(10)2
y
y = m1*t
estimated y(t+ t)
yest= yt + y
y
yt = 10
 t = 0.5
Runge-Kutta Example
dy
 6 y .007 y 2
dt
point to
estimate
Problem: estimate the slope to
calculate y
y
 t = 0.5
Runge-Kutta Example
estimated yt+Δt
Unknown point to
estimate, yt+Δt
estimated yt+Δt
estimated yt+Δt
yt
t
½ Δt
 t = 0.5
Δt
Runge-Kutta, 4th order
Uses the derivative, dy/dt, to calculate 4 slopes (m1…m4)
within Δt:
f (t , y )  derivative at (t , y )
m1  f (t , y )
m2  f (t  t / 2, y  m1t / 2)
m3  f (t  t / 2, y  m2 t / 2)
m4  (t  t , y  m3 t )
These 4 slopes are used to calculate a weighted slope of the
state function between t and t + Δt, which is used to estimate
yt+ Δt:
1
yt  t  yt  (m1  2m2  2m3  m4 )t
6
Step 1:
Evaluate slope at current value of state
variable.
y0 = 10
m1 = dy/dt at y0
y
m1 = 6*10-.007*(10)2
m1 = 59.3
m1=slope 1
y0
Step 2:
A) Calculate y1at t +t/2 using m1.
B) Evaluate slope at y1.
A) y1 = y0 + m1* t /2
y1 = 24.82
B) m2 = dy/dt at y1
m2 = 6*24.8-.007*(24.8)2
m2 = 144.63
y1
 t = 0.5/2
m2=slope 2
Step 3:
Calculate y2 at t +t/2 using k2.
Evaluate slope at y2.
y2 = y0 + k2* t /2
y2 = 46.2
k3 = dy/dt at y2
k3 = 6*46.2-.007*(46.2)2
k3 = 263.0
y2
 t = 0.5/2
k3 = slope 3
Step 4:
Calculate y3 at t +t using k3.
Evaluate slope at y3.
y3 = y0 + k3* t
y3
y3 =141.5
k4 = dy/dt at y3
k4 = 6*141.0-.007*(141.0)2
k4 = 706.9
y2
 t = 0.5
k4 = slope 4
Now you have 4 calculations of the slope of the state equation
between t and t+Δt
m4 = slope 4
m3 = slope3
m2 = slope 2
m1 = slope 1
 t = 0.5
Step 5:
Calculate weighted slope.
Use weighted slope to estimate y at t +t
1
(m1  2m2  2m3  m4 )
6
1
weighted slope =
yt  t  yt  (m1  2m2  2m3  m4 )t
6
true value
weighted slope
estimated value
 t = 0.5
Conclusions
Analytical
•
•
•
4th order Runge-Kutta offers
substantial improvement over
Eulers.
Both techniques provide estimates,
not “true” values.
The accuracy of the estimate
depends on the size of the step used
in the algorithm.
Runge-Kutta
Eulers