移动查询点最近邻与反向最近
邻连续监控（欧氏空间）
李 艳 红
E-mail：anddylee@163.com
主要内容
• 最近邻查询问题描述、分类及解决方案
– 欧式空间
– 路网空间
– 无线广播环境
• 反向最近邻问题描述、分类及现有的解决
方案
– 欧式空间
– 路网空间
– 无线广播环境
最近邻查询问题描述
• 最近邻(NN)和反向最近邻(RNN)查询技术是
空间数据库领域中一个重要的研究课题。
• 由于定位装置的广泛应用和定位服务的增
加，对空间网络数据库中静态k-NN查询、
移动数据的连续kNN监视技术的研究已经成
为空间数据库领域的热点课题。
• 空间数据库(Spatial Databases，SDB)是GlS的重
要组成部分，空间数据的查询是空间数据库的基
本操作
• 其中一种最重要的查询类型就是最近邻查询.
• 最近邻查询问题是由Knuth在1973年提出来的，
即邮局问题[1]。
• 可以简单描述为:给定N维空间内的n个点所组成的
集合S，将这n个点存储在一种数据结构中，使得
对于空间内的任何查询点q，都可以有效地找到它
的最近邻，即在S中找到一个点p，使其到q的距
离最近。
• 最近邻的数目可以是一个，也可以是多个即kNN。
• 例如，某一用户可能在屏幕上点击一个特定的位
置或者一个目标，要求系统查找并返回数据库中5
个距离它最近的对象.
空间数据库
• 空间数据库中的大部分研究仅考虑了欧氏
空间。与之相应，以距离为基础的查询如k
一NN查询，采用对象之间的欧氏距离来度
量.
• 欧氏空间，在数学中是对欧几里德所
研究的2维和3维空间的一般化。这个
一般化把欧几里德对于距离、以及相
关的概念如长度和角度，转换成任意
数维的坐标系。
空间数据库的kNN 查询
• 空间数据库的kNN 查询问题通常定义为:给
定移动查询点和对象(兴趣点)集合，以及方
向和范围约束集合，检索距离查询点的k个
最近的对象(邻居)。kNN查询通常可以分为
以下几种形式。
KNN查询的几种形式
• (1) 点的 k 个最近邻查询(或简单的k-NN查询)给定一组
空间对象和一个查询点，检索k个距离查询点最近的对
象。空间对象通常是静态的点。例如，车辆中GPS装置
所提交的查询:检索距离车辆最近的5家餐馆。
• (2) 连续的KNN(Continuous k Nearest Neighbors,
CkNN)查询: 给定一组空间对象集，一个查询点和一条
预定义的路径，检索位于路径上任何点处(查询点)的k个
最近的对象。例如，沿着一条路径运动的车辆中的GPS
装置所提交的查询:检索5家最近的餐馆。
• (3) 群组kNN (Group k Neaerst Neighbors，GKNN)
查询:给定一组空间对象和一组查询点，检索k个空间
对象使之距离查询点的距离之和最小。例如: 两个或
更多的人计划去一家餐馆，使他们的行程时间之和
最小化。
• (4) 约束-kNN (Constrained k Nearest Neighbors，
CokNN)查询给定一组空间对象，一个查询点和一组
方向或范围约束，检索查询点的k个最近邻。例如，
检索车辆东南方向且距离车辆不超过5公里的5家最
近的餐馆。
• (5)反向kNN(Reveres k Nearest Neighbors,
RKNN)查询:给定一组空间对象和一个查询
点，检索把查询点作为它们k个最近邻之一
的对象。一个查询点的RKNN可以与kNN有
所不同，因为kNN 查询不是对称函数.
欧式空间的RNN查询
. p2 is the query point and
k=2.
. RNN(p2)={ p1, p3, p4}
. p4 is an R2NN of p2
although it is far from the
query point p2.
. p5 and p7 are not answers
of the R2NN query of p2
although they are close to p2.
Fig. Another RNN example
•
•
The nearest neighbor to Taxi A is Customer C, but that does not necessarily
mean Taxi A is the most likely to get to Customer C because Taxi B is even
closer to Customer C.
On the contrary, Taxi A should head for Customer D because Taxi A is the
nearest neighbor in relation to Customer D. That is, the RNN for Taxi A is
Customer D, and Taxi A may get to Customer D faster than all other taxis.
欧式空间的RNN查询
• RNN/RKNN可大概分为：基于预计算的方法和动态方法。
• 基于预计算的方法预先为每个P进行KNN查询，确定P到
给定k值的KNN-p’的距离dist(p,p’)，对每个p，画一个以p
为圆心，dist(p,p’)为半径的圆，若查询点q落在cir(p,p’)内，
则p是q的RKNN. 为了查找数据结果点，所有的邻近圆用
一个R-树的变种，RNN树来索引。而R-树的另一变种，
RDNN树[2]不是物理的保存各邻近圆，而是保存各个数据
对象及其邻近圆的半径。RDNN树可同时支持NN和RNN
查询。
• 但是这种方法只适合于K值固定的RKNN查询，且索引构
建和维护的代价很高。
• 为了支持可变K值，Achtect等人和 xia等人提出，在运行
时刻估计KNN的距离，而不是维持真正的KNN距离。
Rdnn-tree
• RNN 查询的难度还在于一个对象的进入和
离开除了会影响到自身作为查询结果的改
变，还会影响到其他对象。
动态RNN/RKNN查询算法
• 为了消除预计算，出现
了快照RNN。
• 快照类RNN的主要目
的是利用一些措施来削
减查询空间(称为过滤
步)，然后对得到的候
选对象进行精炼，以确
定他们是否是查询的
RNN。有两种过滤的
方法，称为六分空间削
减和TPL削减
六分空间削减法
Stanoi
• 六分空间削减[3]由 Stanoi等人提出，他们利用获取
RNN时的一些性质来消除预计算。
• 他们将以查询点q为中心的查询空间分成6个大小相
等的扇区s1-s6，令p为区域si(i=1..6)内q的NN，可
以证明：1）要么p∈ RNN(q). 2)要么在si区q无
RNN。
• 该方法分为两个阶段：过滤阶段，在每个扇区进行
一个受限的NN查询以找扇区内的NN；在精炼阶段，
所有候选者用NN查询来评估，那些有超过NN的候
选者被去掉，剩下的构成q的RNN/RkNN集。
• Stanoi算法的效率来自于候选者的数量较少，2D空
间的双数据集RNN总共至多有6个候选对象。但随
着维数的增加，候选者的数目会呈指数级增加。
证明：假设存在p2，使得p2s1，使得RNN(q)=p2，
则 NN(p2)=q, qp2 < p1p2,
则 ∠qp1p2 < ∠p1qp2
又, ∠p1qp2 < 60°, 则 ∠qp2p1 > 60°
有 ∠qp2p1 > ∠qp1p2, 则qp1>qp2, 也即 p1不是q的
NN, 这与已知条件矛盾，所以s1内不存在q的其他
RNN.
• Singh等人提出算法以减轻维数增加所带来
的负面影响，该算法首先获得查询点的
KNN数据点作为候选者，K（大于RkNN查
询中的k）是随机选择的。但是，算法的精
确性和执行效果高度依赖于K。K越大，结
果越完备，但执行代价高；K越小，效率高，
但可能导致真正的答案被错误的删除。
TPL by Tao
• Tao[4]等人提出TPL算法，它利用空间的半平面特性以定
位候选者。
• 每次，查询点q的一个尚未访问过的NN（假设为p）被找
到时，由p与q的垂直平分线构建半平面。已知，任何落于
含p的半平面的数据对象p’，必定有dist(p,p’)<dist(q,p’)。
所以，若一个数据点被k或多于k个半平面所覆盖，则它必
定不是RkNN的结果数据对象，因此，它能被安全地去掉，
而不需作详细的检查。当有效的区间内不再有q的NN存在
时，过滤阶段结束，此时，所有的候选者已被找到，而无
关者已被去除。
• [4]的试验显示：正常情况下，TPL剪切后的候选者的数目
是2*k到3*k个。在精炼阶段，对每个候选者进行NN查询
以去掉错误的候选者。这种方法能保证结果的完备性。
SINGLE RNN PROCESSING
• 图1(a), 查询q和 数据点p间的垂直
平分线将空间划分为两个半平面:
PLq(p,q)(含q)和PLp(p,q) (含p)。则
PLp(p,q)中任意点 (如 p‘) 不能成为q
的RNN，因为它较p比q近。类似地,
一个完全落入PLp(p,q)的节点 MBR
(如, N1)，也不可能包含候选对象。
Fig 1: Illustration of half-plane pruning
Fig 2: Computing the residual region
• 图1(b),虽然 N2不是完全落入
PLp1(p1,q)或 PLp2(p2,q), 它仍然被剪
切，因为它完全落入这两个半平面
的合集中。
• 如图2 所示，我们可依次用各个对象对空
间N进行消减，从而得到剩余区域。但这
种方式求Nres有两个问题。
• 首先，在最坏情况下，每条平分线会使
Nres新增一个顶点。因此，第i条平分线的
消减需时 O(i)(0<i<=nc). 因此，总的处理
时间为O(nc2)。
• 其二， 这种方法对高维空间不具有可扩
展性。
Figure 3: Computing the residual MBR
• 提出了一种简单的替换方法，改方法 • 如果If NresM存在, trim算法返回q和NresM间的
只需要O(nc)时间。
最小距离；否则，返回∞.
• 由于NresM 总是包含Nres ，NresM = ∅ 必然隐
• 其思路是：用一个剩余MBR NresM 来 含 Nres = ∅. 这个特性保证了消减是 “安全的”。
界定 Nres。
•
•
•
•
NresM初始化为N，然后用各平分线
依次对其进行消减。
图a所示，用⊥(p1,q)进行消减。这
里没有保留Nres的准确形状，而是
计算NresM（即阴影部分）。
图b,c分别是在由⊥(p2,q), ⊥(p3,q)
消减后剩余的MBRs。
注意，最终的NresM并不一定是最
终Nres 的MBR。
The TPL Algorithm
Figure 3: Filtering example
• best-first 模式遍历R-tree，每个被
消减项入Srfn集合.
• 首先访问R树根节点，将其子项
N10, N11, N12按到q的最小距离递
增的顺序入堆 H={N10,N11,N12}。
• N10出堆，其子项入H ={N3, N11,
N2, N1, N12}.
• 接下来访问N3, 其第一个数据点p1
(即离q最近的一个),有dist(p1,q)<
dist(N11,q) (N11是堆顶元素)，p1被
加入至候选集 Scnd.
• N3的第二个点在 PLp1(p1,q)内 (即
它不可能是q的RNN)，它被插入
精炼集 Srfn.
• 总的来说,在过滤阶段检查过的任
意数据点或节点，都不会被丢弃，
因为它们可能会影响某些候选对象
(即是它们的NN)。如 在精炼阶段
p3会使 p1无效，因为 dist(p1,p3) <
dist(p1,q).
Refine step
• 过滤步得到候选对象集Scnd和精
炼集 Srfn.
• 精炼步按多轮来执行，左边给出
了一轮精炼的算法。
• 算法中，在不访问其他节点的情
况下，尽可能的消减候选集中的
元素。
• 直觉上，一个点 p ∈ Scnd可以被
消减，如果 (i)存在另一个点 p’ ∈
Prfn，使得 dist(p,p’) < dist(p,q),
或者 (ii) 存在一个节点MBR N ∈
Nrfn ，使得minmaxdist(p,N)<
dist(p,q) (即, N一定包含一个点
p’ ，使得dist(p,p') < dist(p,q)).
• 如图3中，由第一条件消减 p1，
因为 p3 ∈ Prfn 且dist(p1,p3)<
dist(p1,q).
• Lines 2-9 根据上述两条件消减
false hits.
•
•
•
•
另一方面，一个数据点 p ∈ Scnd是一个结
果值如果 (i) 不存在另一点p’∈ Prfn，使得
dist(p,p’) < dist(p,q)；而且(ii)对任意结点 N
∈ Nrfn，有 mindist(p,N) ≥ dist(p,q). 如图3
中p5.
每一个Scnd 中剩下的点p (如p2) 必须经历
另外的refinement rounds, 因为可能在未访
问的结点(N4)中存在点 (p4) ，使之无效。
这种情况下， p 需要那些插入toVisit(p),满
足mindist(p,N) < dist(p,q)的结点N ，也即,
toVisit(p) 是在验证p是一个结果值前需要
访问的结点集。
接下来就是以一种次序访问 toVisit(p) (for
p ∈ Scnd)使得可以快速消减剩下的候选对
象。
继续上例，第一轮后Scnd = {p2}， toVisit(p2)={N4,N12}. 我们选择最先访问最低层的结点
(即N4)，因为它的消减力最大。若同层有多个结点，则访问能消减最多候选对象的结点。
如果待访问的结点N 是叶子结点，则 Prfn 只包含N中的数据点, Nrfn 设为 ∅. 否则 (N 是中间
结点), Nrfn 则包含 N的孩子结点,Prfn 设为 ∅. 本例中，第二轮Scnd = {p2}, Prfn = {N4中的点}，
Nrfn = ∅。 在N4内, 点 p4 消减p2，算法结束。
2-4行 是对候选集中各对象进行相互消减。该步只需执行一次。
CRNN Algorithm by Tian Xiao
• Tian Xia [5]等人提出一种连续反向最近邻（CRNN）算法，
它是一种增量的、可扩展的方法。
• 该方法基于六分空间削减策略。
• 对于一个查询点q，cRNN监控区由至多6个π区域和6个圆
形区域构成。其中6个π区域分别监控六个候选对象、6个
圆形区域分别验证这六个候选对象是否是查询的真正RNN。
• 对于渐增维护，只有那些落于监控区的位置更新才可能会
影响RNN的结果。对每个受影响的查询点，对象的更新被
组织到六个分区，对每个受影响的分区，只根据最接近q
的对象而更新π区一次。
• 对于圆形区的更新方面，引入了懒惰更新和部分插入优化
方法。但这种方法只能处理单色数据集，且为每个查询维
持监控区域较复杂，处理较麻烦。
. Before the movement of object 4, the
candidates in sub-space S1 are object
1, 2, and 3 because they are the query
point’s 3NNs in S1, and the object 2 is
query result because its 3NN includes
the query point.
. After the movement of object 4, the
candidates in S1 become object 1,
2 and 4, and object 2 is not a result
object anymore because its 3NN now
does not include the query point.
The monitoring region of a CRNN
• 定义CRNN的监控区域
包括两个部分：pieregions和circ-regions.
• pie-regions包括6个pie；
circ-region包含6和
circle。
基于6分空间消减策略的RNN查询：6个受限的NN查询以获得候选对象，再进行6个
NN查询对各候选对象进行验证。
查询空间划分成以q为中心的60度角的6等份。分区Si的pie-region是以q为中心，其Si
内受限NN在周边的扇形区域。
分区Si的circ-region 是以Si内候选对象为圆心，以q或距离该候选对象比q更近的元素
在圆周的圆形区域。
CRNN Query Initialization
• 该算法计算初始结果集，并初始化查询点的监控区域。
• 查询表(QT) 保存每个查询点及其6个区域 (S0，…S5). 对每个区域Si,
QT保存：(1) q的受限NN，其距离 d(q,candi); (2)对象nn_candi及其距
离d(nn_candi; candi). nn_cand距离cand较q近。
• 若Si不包含任何对象，candi and nn_candi都为null，相应距离值为无
穷大。
• 算法的过滤步采用conceptual rectangles [6] 以避免访问不必要的单
元。
• 上右图给出了过滤步的实例。 首先，含q的单元和围绕q的四个矩形
区域被入heap（见算法step2）。
• 对每个分区寻找其受限NN，找到则标记为“finished”
• Step 3,依次从H中出堆首项e
• 依次考察各Si，若该区域于e相
交，且fini=.F., 则判断e的键值
是否大于d(nn_cand,candi),若
是，则设fini为.T.
• Step 3.3, 检查e的mindist is
checked是否过期，也即该
mindist不能代表已完成的分区
外的区域的最小距离 (i.e.，实
际的 mindist增加了)。 此时，
计算新的mindist，并将e重新入
heap.
• Step 3.4, 如果e中的单元c完全
包含在finished的分区，则c不
入堆H。
An example of the filter step of a
CRNN query initialization
• 上图(a)中,当矩形L1出堆时，S2分区已标记为
finished,(mindist(L1,q)>d(q,o1)),单元c2不入堆H。
• 上图(b)中，分区S2显示为 finished状态。当矩形
出堆时，S1标记为finished。U2所关联的mindist
（虚线所示）已过期 ，因为它不能代表分区S0内
U2中尚未被消减的部分的最小距离值。此时，新
的mindist（粗实线所示）将代替旧值，且U2重入
堆（未扩展）。
Incremental CRNN Monitoring
• 关键是如何保存和维持pie-regions和circregions.
• 当对象发生位置更新时，我们修改受影响
的查询的pie-regions和 circ-regions。
• 若q移动了位置，处理为旧查询的删除和新
查询的进入。
• pie-regions 采用传统的bookkeeping方式存
储，circ-regions则独立保存。
Handling Updates in Pieregions
•
Three cases of updates in pie regions
Pie-regions在算法 initCRNN 的Step
3.5初始化。
• Pie-region内的对象移动，有三种情形：
(1) 对象进入pie-region (o4 或 o5); (2) 候
选对象离开pie-region (o2 或 o5); (3)候
选对象在同个pie-region内移动(o7)
算法说明：
3.1 处理情况一，通过设置新候选对象而
收缩Pie-region。
3.2 处理情况二，通过一个受限的NN查询
来重现确定Pie-region。
3.3处理情况三，重新计算Pie-region的半
径。
Handling Updates in Circ-regions
Fig Updates in Circ-regions
IGERN by Kang
• James M. Kang [7]等提出了IGERN（增量
式、通用、连续反近邻查询方法），它利
用TPL削减策略。它提供一种统一模式以同
时处理单色数据集和双色数据集的CRNN，
为每个只维持一个有界监控区和少量移动
对象，所以比使用六分空间削减策略的方
法要高效。
反向最近邻查询分类
• 反向最近邻查询有两种：单色反向最近邻查询
(monochromatic RNN，MRNN)和双色反向最近邻查询
(bichromatic RNN，BRNN)[3]。
• 单色反向最近邻查询中，所有移动数据对象和查询对象均属
于相同的类型。其定义是：对于查询对象q，数据对象o而
言，若不存在其他数据对象o‘，使得dist(o,o’)<dist(o,q)，则
o是q的反向最近邻。
• 双色反向最近邻查询中,有两种不同的对象类型A和B，查询
对象类型为A、数据对象类型为B。其定义是：对于查询 qA
和移动对象 oB，若不存在其他A类型的查询oA’,使得
dist(oB,oA’)<dist(oB,qA)，则oB是qA的反向最近邻。
•
单色反向最近邻查询
初始步：
Initial:
RNNcand = {o2, o4, o6}.
RNN = {o2, o6}
The initial step of IGERN has
three main objectives:
(1) Obtaining a bounded region
r around the query object q
which will be monitored.
(2) Identifying a set of objects
RNNcand that need to be
monitored
(3) Identifying the set of reverse
nearest neighbor objects
(RNN ∈ RNNcand) to q.
渐增步：
Fig(a):
RNNcand={o2,o4,o6)}
RNN = {o2, o6}
Fig(b):
RNNcand={o2,o4,o6)}
RNN = {o2}
Fig(c):
RNNcand={o2,o6,o9)}
RNN = {o2,o=}
The incremental step checks for
three different scenarios:
(1) The query object q moves to
a new location (Line 2)
(2) At least one of the objects
in RNNcand moves to a new
location (Line 2)
(3) A new object moves into the
alive cells (Line 6).
双色反向最近邻
查询
(a) Phase 1
(b) phase 2
(c) Incremental
The objectives of the initial step in
the bichromatic IGERN algorithm
are:
(1) Obtaining a bounded region r
around qA to be monitored in the
incremental step
(2) Identifying a set objects of type A
(NNA) that need to be monitored
later as their movement may
trigger a change of answer
(3) Identifying the set of initial
reverse nearest neighbors of type
B (RNNB) to qA.
Phase I: Bounded Region.
1. By finding object oA that is
nearest to qA in the alive cells
(Line 3). Then, object oA is
added to the list of A objects
(NNA).
2. The bisector b between qA and
oA is drawn, while all the grid 1.
cells between b and the space
2.
boundaries that are furthest
from qA are marked as dead
3.
(Lines 4-5).
(a) Phase 1
(b) phase 2
Phase II: Verification.
(c) Incremental
Go through every single object oB within the alive cells
and check for its nearest A object, oA (Line 9).
If oA is qA, then oB is a RNN to qA, and added to the set
RNNB (Line 11).
If oA is not qA, then oA is considered as one of the
objects to be monitored, a bisector is drawn between qA
and oA, the corresponding grid cells are marked as dead,
3. Such process continues until
and the set NNA is cleaned to make sure that it contains
the minimal required objects to be monitored (Lines 13there are no more objects of
15).
type A in any of the alive cells.
4. In Fig(b), there are three B objects in the alive cells, oB3,
oB4, and oB5. Finally, only oB3, and oB4 are RNN,
4. In Figure (a), the NN search in
the alive cells results in finding
5.
oA5, oA3, and oA1, and the
corresponding bisectors b5, b3,
and b1.Thus, NNA = {oA1, oA3,
oA5}.
while oB5 has oA4 as its nearest A object.
Thus, a bisector b4 is drawn between qA. Object
oA4 is then removed from the monitored NNs NNA
because it is closer to oA5 than qA. As a result,
NNA = {oA1, oA3, oA5} and RNNB = {oB3, oB4}.
The incremental step of the
bichromatic case checks for three
different scenarios:
(1) The query object qA moves to
a new location (Line 2)
(2) At least one of the objects in
NNA moves to a new location
(Line 2)
(3) A new object of type A moves
into the alive cells (Line 6).
• If there is one or more objects of type A in the alive cells, tighten the alive cells in
a similar way to the first phase in the initial step (Line 7).
• Then, the list NNA is cleaned by removing any object that is not participating in
drawing the bisectors (Line 8).
• Finally, the sets NNA and RNNB are verified (Line 10). That is, NNA = {oA1, oA3,
oA5} and RNNB = {oB4}.
Main shortcoming: The monitoring region defined in IGERN only
applies to CRNN (k = 1). Also for this reason, the IGERN algorithm
cannot be extended easily to handle CRKNN queries where k > 1
• Wei wu, Feiyang [8]等人指出：CRNN/CRkNN查
询可清楚的划分为连续过滤和连续精炼两部分，
而通过分析可知，连续精炼在k>1时占据查询时间
的主要部分。
• 提出一个叫做cRange-k的连续精炼算法，它验证
查询q的CRkNN的候选者p采用的方法是：连续地
监控离p的距离小于dist(o,q)的对象数小于k。它
不要求任何精确的信息；而且，它既以范围
（Range）来界限查询范围，又以k值来界限查询
范围，只要其中之一条件满足，就可以中止算法，
故处理高效。
Fig. Filter vs. refinement
• when k increases, the cost of continuous refinement
increases much faster than the cost of continuous filter.
CRange-k Continuous Refinement
A Range-k query is specified as < o, r, k > where o is an object, r is a
distance, and k is a threshold value, and the query’s result is the boolean
value of the following expression: |{p : dist(p,o) < r}| < k.
The algorithm consists of two parts: a Search part and a Maintenance part.
Search’s functionality is to compute the query’s result by looking for objects
that are within the given range, and to index the query into proper cells.
An object’s location update triggers the Maintenance of the queries indexed in
the corresponding cell (or cells when the object moves from one to another
cell).
Maintenance’s main functionality is to update the query’s result upon object
location changes.
count: the number of objects o that
are within the circle (circle(o, r),
found in visited cells;
V : set of cells checked so far;
U: a FIFO queue of cells that we
need to check.
Initialization:
Count=0; V= ∅; U=cell(o).
Starting from the cell that contains object
o, the cells that intersect with circle(o; r)
are checked until one of the following
two conditions is satisfied:
1)count ≧k, which means at least k
objects are within the given range; False
is returned
2) all the cells intersecting with circle(o; r)
have been checked and the count is
smaller than k. True is returned
During the course, the query is indexed
into the visited cells.
Initial Processing
Fig 5. Search’s Sample States
In the figures, gray cells are the covered cells, shaded cells
are the partially covered cells, and dotted cells are the cells
in the to-be-visited queue.
Continuous
Maintenance
In Search, we put a reference of the
Range-k query to the visited cells that
intersect with circle(o; r). For example, they
are the grey cells and line shaded cells in
Figure 5.
• Case 1: If the object moved from a
visited cell to a visited cell, check
both its starting and ending
location to see if count needs to
be updated (lines 3-8).
• Case 2: If the object moved from a
visited cell to an un-visited cell,
only need to check its starting
location to see if count needs to
be decreased (lines 9-12).
• Case 3: If the object moved from
an un-visited cell to a visited cell,
only need to check its ending
location to see if count needs to
be increased (lines 13-16).
References
• [1] Knuth, D. E. (1973). The Art of Computer Programming, volume I:
Fundamental Algorithms, chapter 2. Addison-Wesley, second
edition.
• [2] C. Yang and K.L. Lin, "An index structure for efficient reverse
nearest neighbor queries", Proceedings of the 17th International
Conference on Data Engineering,2001,p.p. 485-492.
• [3] I. Stanoi, D. Agrawal, and A. El Abbadi, “Reverse Nearest
Neighbor Queries for Dynamic Databases,” Proc. ACM SIGMOD
Workshop Research Issues in Data Mining and Knowledge
Discovery (DMKD), 2000.
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