CCCN, 苏州, 2010年10月16日
具有传感非线性的离散时间
多主体系统的状态趋同
陈姚
中国科学院数学与系统科学研究院
1
致谢合作者
 中科院数学与系统科学研究院
吕金虎教授
 美国弗吉尼亚大学
林宗利教授
2
汇报提纲
引言
问题提出
主要结果
总结
3
Part I: 引言
 多主体系统的实例
 什么是多主体系统
(MAS)?
 多主体系统的主要特征
4
例子: 鸟群的群体行为
5
例子: 鱼群的运动
6
例子: 蚂蚁的觅食
7
例子: 细菌群落
8
例子: 社会和经济系统
9
例子: 编队控制
 问题: 如何在2维或3维空间中保持队形
 自治个体
10
例子: 多机器人合作
11
什么是多主体系统 (MAS)?
自治个体
昆虫、鸟、鱼、社会人、机器人、
细菌、粒子、…
 个体间的局部作用规则

12
多主体系统的主要特征

自治/自我驱动的 个体

分布式 区域

局部的 相互作用

动态变化的 邻居

各种不同的 连接

可变化的 行为
13
汇报提纲
引言
问题提出
主要结果
总结评论
14
Part II: 问题提出
 已有的模型
—Vicsek模型、Boid模型、Couzin-Levin模型、…
 已有的分析方法
—趋同、收敛、自适应、…
 我们的模型
—带有非线性传输的多主体系统
15
代表模型——Boids模型 (1987)
基本局部规则：
对齐：每个个体调整自己的运动方向使其接近其邻居个
体的平均运动方向
排斥：当个体间靠得很近的时候相互排斥
吸引：当个体间靠得很远的时候相互吸引
Reynolds, Flocks, herd, and schools: A distributed behavioral
model, Computer Graphics, 1987, 21(4): 15-24.[SCI引用3419次]
16
代表模型——Vicsek粒子运动模型(1995)
基本的局部规则：对齐 (最简单的模型)
位置更新：
角度更新：
Vicsek, et al., Novel type of phase transition in a system of self-driven
particles, Phys. Rev. Lett., 1995, 75 (6): 1226. [SCI引用1013次]
17
代表模型——Vicsek粒子运动模型(1995)
(a) 初始化：随机初始位置和速度
(b)低密度/低噪声：个体成群
(c) 高密度/高噪声：方向逐渐相关
(d)高密度/低噪声：有序运动
Vicsek, et al., Novel type of phase transition in a system of self-driven
particles, Phys. Rev. Lett., 1995, 75 (6): 1226. [SCI引用1013次]
18
主要方法——多主体系统的分析
数值仿真
——仿真平台、数学或计算机模型
实验观测
——鱼群、鸟群、蚁群、…
理论分析
——Lyapunov函数构造、特征值计算、凸分析、
随机逼近、谱图论、…
Vicsek模型的理论分析

通过线性化来简化Vicsek模型:
1

(
t

1
)


(
t
)

|N
(
t
)
|
i
i
jN

t
)
i(
j
A. Jadbabie, J. Lin, and A.S. Morse, Coordination of groups ofmobile autonomous agents
using nearest neighbor rules, IEEETrans. Automat. Contr., 2003, 48(6): 988-1001
[2005年IEEE 控制系统学会最佳论文奖]

模型的分析依赖于Wolfowitz 定理:
给定有限个SIA 矩阵构成的集合, 如果这个集合中的任何有
限乘积也是SIA的, 那么从这个集合中生成的任何无限矩阵
乘积是收敛的。
J. Wolfowitz, Products of indecomposable, aperiodic, stochastic matrices, Proc. Amer.
Math. Soc, 1963, 15: 733-737.
20
方法比较（一）：连续 vs. 离散
 固定拓扑


连续情形：构造Lyapunov函数、特征值计算
离散情形：构造Lyapunov函数、特征值计算
 切换拓扑


连续情形：Lyapunov函数构造
离散情形：凸分析、随机逼近、谱图论
二次Lyapunov函数不存在——困难！
A. Olshevsky, J. N. Tsitsiklis, On the nonexistence of quadratic Lyapunov function
for consensus algorithms, IEEE Trans. Automat. Contr., 2008, 53(11): 2642-2645.
21
方法比较（二）： 凸性 vs. 非凸性
 什么是凸性？
Moreau, L. (2005). Stability of multiagent systems with time-dependent
communication links, IEEE Trans. Automat. Contr., 50(2), 169-182.
22
方法比较（二） ： 凸性 vs. 非凸性
 凸性模型
 大部分已有的多主体系统模型满足凸性
 Lyapunov
函数通常比较容易构造
 非凸性模型
 非凸模型很少被研究
 Lyapunov函数很难找到——困难！
Moreau, L. (2005). Stability of multiagent systems with time-dependent
communication links, IEEE Trans. Automat. Contr., 50(2), 169-182.
23
方法比较（三）： 线性 vs. 非线性
xi (t )
x j (t )
1
x
(
t

1
)

x
(
t
)

i
j
|N
(
t
)
|jN

(
t
)
i
i
i
V
{
1
,2
,...,n
}
24
已有结果
下面线性局部规则在过去若干年已被广泛研究：
n
xi (t  1)   aij (t ) x j (t   (t ))
j 1
i
j
25
已有结果
 A. Jadbabaie, J. Lin and A. S. Morse, IEEE-TAC, 2003
 R. Olfati-Saber and R. M. Murry, IEEE TAC, 2004
 L. Moreau, IEEE TAC, 2005
 W. Ren and R. W. Beard, IEEE TAC, 2005
 J. Cortes, S. Martinez, and F.Bullo, IEEE TAC, 2006
 R. Olfati-Saber, IEEE TAC, 2006
 Z. Liu and L. Guo, Science in China Ser. F, 2007
 J. Lin, A. S. Morse, and B. D. O. Anderson, SIAM, 2007
 F. Cucker and S. Smale, IEEE TAC, 2007
 M. Cao, A. S. Morse, and B. D. O. Anderson, IEEE TAC, 2008
 H. Su, X. Wang, and Z. Lin, IEEE TAC, 2009
 W. Yu, G. Chen, M. Cao, J. Lü, 2009
 T. Chen, W. Lu, 2009
 ……
26
问题的挑战性和难点
 挑战性
 Stephen
Smale (菲尔兹奖及沃尔夫奖得主)
 Brian Anderson (前国际自动控制联盟主席、前澳
大利亚科学院院长)
 Stephen
Morse (美国工程院院士)
 难点
 非凸系统的研究
 非线性系统的研究
27
非线性局部规则
已有的文献中很少有关于非线性局部规则的研究.
Vicsek模型(PRL, 1995):
  sin( j (t   ij (t ))) 
 jN (t )

i (t  1)  arctan  i
i

cos(

(
t


(
t
)))

j
j
 jN (t )

 i

xi (t  1)  xi (t )  v cos(i (t  1))
非线性
yi (t  1)  yi (t )  v sin(i (t  1))
L. Moreau, Stability of multiagent systems with time-dependent
communication links, IEEE TAC, 2005, 50(2): 169-182.
L. Fang, P.J. Antsaklis, Asynchronous consensus protocols using nonlinear
paracontractions theory, IEEE TAC, 2008, 53(10): 2351-2355.
28
非线性模型
xi (t )
y ij (t )
x j (t )
yt
()
f(
xt
(t)))
j(
i
j
i
j
x
t
1
) 
a
ty
)(
t
)
i(
i
j(
jN

t)
i(
i
j
29
拟解决的关键科学问题
什么样的非线性函数 f 和拓扑 G(t) 能保证如下多
主体系统的状态趋同?

i
x
(1
t

)

a
(
t
)
f
(
x
(
t

(
t
)
)
) (1)

i
i
j
j
j
j

N
(
t
)
i
lim | xi (t )  x j (t ) | 0
状态趋同:
t 
i, j V
*G(t)=(V, E(t)) 是结点V在t时刻形成的拓扑关系.
.
30
汇报提纲
引言
问题提出
主要结果
总结评论
31
若干假设
(A1): f 是一个定义于[a, b]上的连续函数
(A2): 存在某个 c [a, b] 满足: 当 x [a, c] 时f ( x)  x; 当 x [c, b] 时
f ( x)  x .
(A3): 存在某个整数 B  0 满足对任何的 i  j 有 0ij(t)B;
对 t  0 有  ii (t)  0 .
(A4-1): 存在某个 T  0满足 Ts10 G(t  s) 对任何的 t  0 是强联
通的.
(A4-2): G(t ) 对任何的 t  0 是无向图, 同时 G  limsup
; t  k t G(k )
是联通的.
32
主要结果
Theorem 1: Suppose that (A1), (A2), (A3), (A4-1)
hold for a given MAS (1). For any given initial states
in [a,b], the states of all agents can reach consensus.
Theorem 2: Suppose that (A1), (A2), (A3), (A4-2)
hold for a given MAS (1). For any given initial states
in [a,b], the states of all agents can reach consensus.
33
证明思想
定义如下符号：
M i (t )  max t  B  s t {xi ( s)}
mi (t )  min t  B  s t {xi ( s)}
M (t )  min in1 M i (t )
m(t )  min in1 mi (t )
Mi
 limt  M i (t )
mi
 limt  mi (t )
M
 max in1 M i
m
 min in1 mi
34
证明思想
Suppose c=a in A2 and take Theorem 1 for example.
Lemma 1: If assumptions (A1), (A2), (A3), (A4-1)
hold for the MAS (1). Then x (t ) [a, b] for any t  0 and i 
.V
i
Lemma 2: If assumptions (A1), (A2), (A3), (A4-1)
hold for the MAS (1). Then there exists some m ' such
that limt  m(t )  m ' and f (m ')  m ' .
Lemma 3: If assumptions (A1), (A2), (A3), (A4-1)
hold for the MAS (1). Then m '  m where m ' is defined
in Lemma 2 .
35
证明思想
Lemma 4: If f satisfying assumptions A1 and A2. Then, for
any given l  m and any positive integer N, there exist some 
and a sequence {l p } with l0  l , l p1  l p such that
0
l p 1    (1   ) f (m   )   f (l p   )
hold for any
m    lp   ,
1  k  n and 0  p  N .
Lemma 5:There exists a subsequence {tk } of natural numbers
satisfying limt  mi (tk )  ri and m  min m  min r .
k
N
i 1
i
N
i 1 i
BASIC IDEA: Show that m(t) is nondecreasing and M(t) is upper bounded
(the monotonicity of M(t) can not be got), then prove that m(t) and M(t)
have a same limit by reduction to absurdity.
36
证明思想
37
仿真结果
令：
 x

x
2 x  2

1 x  5
2
2

f  x

1 x  7
2
2
3
11
 x
2
2

x
0  x 1
1 x  2
2 x3
3 x 5
5 x7
7 x9
9  x  11
11  x  12
Sa  {x : f ( x)  g ( x)}  [1, 2] [5,7] [11,12]
38
仿真结果
选取个体间的拓扑为如下形式:
选取 B  2 同时随机地从{0,1} 中选取  ij (t ) 的值.
39
仿真结果 (1)
初始状态从 [0,6] 中选取.
40
仿真结果 (2)
初始状态从 [6,12] 中选取.
41
仿真结果 (3)
初始状态从 [0,12] 中选取.
42
汇报提纲
引言
问题提出
主要结果
总结
43
Part IV: 总结—主要创新点
首次研究了一类带有非线性局部规则的多主体
系统的状态趋同性
提出了一种新的方法来对付Lyapunov函数的
不存在性和模型的非凸性
44
进一步的工作
 进一步探讨非凸多主体系统模型,
试图去寻
找处理这一类模型的更加普适的方法
45
Email: chenyao07@yahoo.com.cn
46