Decision Support Systems
(DSS)
F.Ramezani
Department of Computer Engineering
Islamic Azad University SARI Branch
ES
‫مفهوم عملکرد یک سیستم خبره‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫کاربرحقایق یا اطالعات را به سیستم خبره داده‬
‫در پاسخ‪ ،‬تجربه‪ ،‬عملکرد و دریک کالم خبرگی یا فن حل مسئله‬
‫دریافت میشود‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Expert Systems‬‬
‫توجیه برای تئوری فازی‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬دنیای واقعی بسیار پیچیده است‪ ،‬پس نمی توان یک توصیف‬
‫دقیق برای آن بدست آورد‪ ،‬پس نیاز است بتوان با توصیفات‬
‫تقریبی آن را تجزیه و تحلیل کرد‬
‫‪ ‬با حرکت ما بسوی عصر اطالعات و ایجاد سیستمهای خبره‬
‫بجای انسانها دانش و معرفت بشری اهمیت پیدا می کند‬
‫‪ ‬نیاز به فرضیه ای داریم که بتواند دانش بشری را فرموله کند‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory‬‬
Fuzzy System
4
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
‫سیستم های فازی چگونه اند؟‬
‫‪5‬‬
‫‪ ‬سیستم های فازی‪ ،‬سیستم های مبتنی بر دانش می باشند‬
‫‪ ‬قلب یک سیستم فازی‪ ،‬قواعد اگر‪-‬آنگاه فازی آن است‬
‫‪ ‬یک قاعده اگر‪-‬آنگاه فازی یک عبارت شرطی ساده می باشد که‬
‫‪ ‬بعضی کلمات آن بوسیله تابع تعلق مشخص می شود‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory‬‬
‫طراحی سیستم خبره‬
‫‪6‬‬
‫‪ ‬دو راه کار وجود دارد‪:‬‬
‫‪ ‬استفاده ازکنترل کننده های متعارف‬
‫‪ ‬شبیه سازی رفتار رانندگان‬
‫‪ ‬کنترل خودکار اتومبیل‬
‫اگر سرعت اتومبیل باال است آنگاه نیروی کمی به پدال وارد کن‬
‫اگر سرعت اتومبیل متوسط است آنگاه نیروی متعادلی به پدال وارد‬
‫کن‬
‫اگر سرعت اتومبیل پایین است آنگاه نیروی بیشتری به پدال وارد‬
‫کن‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory‬‬
‫مجموعه های فازی و عملیات اساسی‬
‫‪7‬‬
‫‪ ‬در مجموعه های کالسیک‬
‫‪ U ‬مجموعه جهانی‬
‫‪ A ‬زیر مجموعه ای از عناصر که شرطی را داشته باشند‬
‫‪A={(x,μA(x)) | x∈U,‬‬
‫‪μA(x)=1 If x∈A,‬‬
‫}‪μA(x)=0 If x∉A‬‬
‫‪U={1,2,……..}=N Natural numbers‬‬
‫‪A={2,5,7,11} A crisp set‬‬
‫‪2 ∈ A => μA(2)=1 , 3 ∉ A =>μA(3)=0‬‬
‫} ‪A={(1,0), (2,1), (3,0), (4,0) , (5,1) , ………….‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
Fuzzy Set
8




Many sets have more than an either-or criterion
for membership evaluation.
Any element x in the universe of discourse U
belongs to a Fuzzy set A to a certain degree
μA(x).
A ={ (x,μA(x)) | x∈U , 0≤ μA(x) ≤ 1}
The value μA(x) is the grade of membership
Fuzzy Theory
F.Ramezani
9
Example: The set of young
peoples
Suppose that U={4,12,32,50,70}
 A=the set of young people in the universe of
peoples having ages indicated in U
A={(4,1),(12,0.9),(32,0.6),(50,0.2),(70,0)}


Alternatively
Fuzzy Theory
F.Ramezani
Sets with fuzzy boundaries
10

A = Set of tall people
Fuzzy Theory
F.Ramezani
11
Example: The fuzzy set of tall
peoples
Fuzzy Theory
F.Ramezani
‫تابع تعلق‬
‫‪12‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫بیان شد که یک عضو می تواند با درصد های مختلف به‬
‫مجموعه های فازی مختلف تعلق داشته باشد‪.‬‬
‫حال این توابع تعلق چگونه است؟‬
‫‪ ‬آیا مشخص است؟‬
‫‪ ‬آیا ثابت است؟‬
‫‪‬‬
‫مثال‪ :‬فرض ‪ z‬مجموعه فازی اعداد نزدیک به صفر باشد‪ .‬تابع‬
‫تعلق برای ‪ z‬چیست؟ چگونه تعریف می شود؟‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory‬‬
Membership Function
13
Fuzzy Theory
F.Ramezani
‫مثال‬
‫‪14‬‬
‫‪ ‬مثال‪ :‬فرض ‪ z‬مجموعه فازی اعداد نزدیک به صفر باشد‪ .‬تابع‬
‫تعلق برای ‪ z‬چیست؟ چگونه تعریف می شود؟‬
‫‪ x2‬‬
‫‪if x  1‬‬
‫‪if  1  x  0‬‬
‫‪if 0  x  1‬‬
‫‪if 1  x‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory‬‬
‫‪ z ( x)  e‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z ( x)  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
Set-Theoretic Operations
15
‫معادل‬
 A ( x)   B ( x)
‫زیرمجموعه‬
 A ( x)   B ( x)
‫مکمل‬
 A ( x)  1   A ( x)
Fuzzy Theory
F.Ramezani
Set-Theoretic Operations
16
 AB ( x)  MAX[ A ( x),  B ( x)]
‫اجتماع‬
‫ باشد‬B ‫ و هم‬A ‫کوچکترین مجموعه ای که هم دربردارنده‬
‫اشتراک‬
 AB ( x)  MIN[ A ( x),  B ( x)]
Fuzzy Theory
F.Ramezani
17
Fuzzy Theory
F.Ramezani
Fuzzy Set Operations
18

De Morgan’s Laws
Fuzzy Theory
F.Ramezani
Fuzzy Set Operations
19

Fuzzy Complement
 Fuzzy
complement is actually a function say c that
maps the membership function
c c[ ( x)]   ( x)
 A ( x) 
A
A
Fuzzy Theory
F.Ramezani
Requirements
c(0)  1 , c(1)  0


Axiom c1.
(boundary conditions)
Axiom c2. (non-increasing condition)
a, b [0,1] if a  b  c(a)  c(b)
F.Ramezani
Fuzzy Theory
Examples of fuzzy complements
1. Basic Fuzzy Complement
c[ A ( x)]  1   A ( x) or c[a]  1  a
21
Fuzzy Theory
F.Ramezani
2. Sugeno class of fuzzy complements
1 a
c ( a ) 
1  a
  ( 1, )
For any value of the parameter , a particular fuzzy
complement function is obtained
3. Yager class of fuzzy complements
1
 
c (a)  (1  a )
  (0, )
For any value of the parameter , a particular fuzzy
complement function is obtained
22
Fuzzy Theory
F.Ramezani
Fuzzy Union s-norm (t-conorm)


Intuitively, the union of two sets, AB means a
fuzzy set (in particular the smallest one)
containing both A and B.
The union of two fuzzy sets can be defined with
a function named s-norm s:[0,1]x[0,1][0,1]
which maps the membership functions of fuzzy
sets A and B into the membership function of
the union of A and B (called AB)
s[ A ( x), B ( x)]   AB ( x)
F.Ramezani
Fuzzy Theory

Axiom s1. (boundary conditions)
s(1,1)  1 , s(0, a)  s(a,0)  a


Axiom s2. (commutative condition)
s (a, b)  s (b, a)
Axiom s3. (non-decreasing condition)
if a  a and b  b 
s(a, b)  s(a, b)

Axiom s4. (associative condition)
s( s(a, b), c)  s(a, s(b, c))
24
Fuzzy Theory
F.Ramezani

Definition:
Any function s:[0,1]x[0,1][0,1] that satisfies
the above 4 axioms is called an s-norm
Examples of fuzzy s-norms
1. Dombi calss
  (0, )
s (a, b) 
1
1
1
1

  
1  [(  1)  (  1) ]
a
b
2. Dubois-Prade calss
  (0,1)
25
a  b  ab  min(a, b,1   )
s (a, b) 
max(1  a,1  b,  )
Fuzzy Theory
F.Ramezani
3. Yager calss
  (0, )
26


1
s (a, b)  min[1, (a  b )  ]
4. Drastic Sum:
 a if b  0

sds ( a, b)   b if a  0
1 otherwise

5. Einstein Sum:
ab
ses (a, b) 
1  ab
Fuzzy Theory
F.Ramezani
6. Algebraic Sum:
sas (a, b)  a  b  ab
7. Maximum
(Basic fuzzy Union)
smax (a, b)  max(a, b)
Theorem S1: For any s-norm, s(a,b) the
following inequality holds: (for any a,b  [0,1]
max(a, b)  s(a, b)  sds (a, b)
27
Fuzzy Theory
F.Ramezani
- Fuzzy Intersection


t-norm
Intuitively, the intersection of two sets, AB means
a fuzzy set (in particular the largest one)
containing by both A and B.
The Intersection of two fuzzy sets can be defined
with a function named t-norm t:[0,1]x[0,1][0,1]
which maps the membership functions of fuzzy sets
A and B into the membership function of the
intersection of A and B
t[ A ( x), B ( x)]   AB ( x)
F.Ramezani
Fuzzy Theory

Axiom t1. (boundary conditions)
t (0,0)  0 , t (a,1)  t (1, a)  a


Axiom t2. (commutative condition)
t (a, b)  t (b, a)
Axiom t3. (non-decreasing condition)
if a  a and b  b 
t (a, b)  t (a, b)

Axiom t4. (associative condition)
t (t (a, b), c)  t (a, t (b, c))
29
Fuzzy Theory
F.Ramezani

Definition:
Any function t:[0,1]x[0,1][0,1] that satisfies the
above 4 axioms is called a t-norm
Examples of fuzzy t-norms
1. Dombi calss
  (0, )
t (a, b) 
1
1
1
1

 
1  [(  1)  (  1) ]
a
b
2. Dubois-Prade calss
  (0,1)
30
ab
t (a, b) 
max(a, b,  )
Fuzzy Theory
F.Ramezani
  (0, )
3. Yager calss


1
t (a, b)  1  min[1, ((1  a)  (1  b) )  ]
4. Drastic Product:
5. Einstein Product:
31
 a if b  1

t dp ( a, b)   b if a  1
0 otherwise

ab
tep (a, b) 
2  (a  b  ab)
Fuzzy Theory
F.Ramezani
6. Algebraic Product:
tap (a, b)  ab
7. Minimum
(Basic fuzzy Intersection)
smin (a, b)  min(a, b)
Theorem T1: For any t-norm, t(a,b) the
following inequality holds: (for any a,b  [0,1] )
tdp (a, b)  t (a, b)  min(a, b)
32
Fuzzy Theory
F.Ramezani
Fuzzy Relations
33




Classical non-fuzzy relations: (binary)
A non-fuzzy relation Q among nonfuzzy sets
U1 , U2 ,…, Un is a subset of the Cartesian
product U1 x U2 x …x Un
Q (U1 , U2 ,…, Un ) ⊂ U1 x U2 x …x Un
Note: Cartesian product of U and V is defined
as follows:
UxV={ (u,v) | u∈ U , v ∈ V }
Fuzzy Theory
F.Ramezani
Example
34
U={1,2,3} , V={2,3,4}
 UxV={(1,2),(1,3),(1,4),…, (3,4)}
 Define a relation Q as follows:
Q(U,V): The first element is not smaller
than the second one

Q={(2,2),(3,2),(3,3)}
Fuzzy Theory
F.Ramezani
Relational Matrix
35
Fuzzy Theory
F.Ramezani
Toward fuzzy relations
36


In some cases, however, it is difficult to give
a zero-one assessment for a relation
For example the relation very far between
two cities is such a case
Fuzzy Theory
F.Ramezani
‫ضرب کارتزین (در مجموعه های کالسیک)‬
‫‪37‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫یک توالی مرتب شده از ‪r‬عنصر به صورت )‪(a1, a2, …, ar‬‬
‫یک‪ r‬تایی مرتب شده نامیده می شود‪ .‬در حالي که یک ‪r‬تایی‬
‫نامرتب از ‪r‬عنصر‪ ،‬صرفا" یک جمع آوری از ‪r‬عنصر است‬
‫که در آنها محدودیتی درترتیب قرار گرفتن عناصر در مجموعه‬
‫وجود ندارد‪.‬‬
‫ضرب کارتزین مجموعه های ‪ A1‬تا ‪ Ar‬که به صورت نشان‬
‫می دهیم مجموعه ای از ‪ r‬تایی های مرتب شده ( ‪a1, a2, …,‬‬
‫‪ )ar‬است که در آن است‪ .‬اگر تمام ‪ Ai‬ها مساوی و برابر با ‪A‬‬
‫باشند‪ ،‬ضرب کارتزین را به صورت ‪ Ar‬نشان می دهیم‪ .‬با‬
‫ضرب کارتزین فقط دو مجموعه ‪ A1‬و ‪ ، A2‬بجای ‪ r‬تایی های‬
‫مرتب ‪ ،‬جفت های مرتب خواهیم داشت‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫مثال‬
‫‪38‬‬
‫‪‬‬
‫هر زیر مجموعه ای از ضرب کارتزین ‪ -‬که در جفتهای مرتب شده‬
‫آن عناصر مربوط به مجموعه ‪ A‬در اول قرار گرفته باشند‪ -‬نشان‬
‫دهنده یک رابطه از ‪ A‬به ‪ B‬است‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫مثال‬
39
B ‫به‬A ‫رابطه کامل از‬

B ‫به‬A ‫یک رابطه از‬

Fuzzy Theory III
F.Ramezani
‫‪40‬‬
‫‪ R‬و ‪RT‬نمایش شماتیک رابطه های‬
‫‪‬‬
‫عدم وجود رابطه ها بجای این که خالی باشد برای وضوح بیشتر به صورت نقطه چین نشان داده شده‬
‫است‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫رابطه ها با استفاده از عضویت‬
‫‪41‬‬
‫‪‬‬
‫در حالی که ضرب کارتزین ‪ XY‬نشان دهنده یک رابطه کامل بین تمام‬
‫عناصر مجموعه های جهانی ‪ X‬و ‪Y‬است ‪ ،‬ضرب کارتزین ‪ AB‬در واقع‬
‫نشان دهنده رابطه بین برخی از عناصر آنها خواهد بود‪ .‬به صورت کالسیک‬
‫خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫‪42‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫در حالت نمایش ماتریسی‬
‫تابع ‪ relation‬با استفاده از رابطه فوق ماتریس رابطه‪ A‬و ‪ B‬را با استفاده از مقادیر عضویت محاسبه‬
‫می کند‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫ترکیب رابطه ها‬
‫‪43‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ترکیب های سری و موازی بین عناصر‬
‫هر اتصال خط پر را رابطه با قدرت یک و هر اتصال نقطه چین را رابطه با قدرت صفر در‬
‫‪ Fuzzy‬ترکیب موازی آنها با ‪ max‬تعیین می شود‬
‫‪ minTheory‬و‬
‫‪ III‬ها با‬
‫‪F.Ramezani‬رابطه‬
‫نظر بگیریم ترکیب سری‬
44
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
‫‪45‬‬
‫‪‬‬
‫ماتریس رابطه بین مجموعه های ‪X‬و ‪Z‬به راحتی با استفاده از عملیات ‪ Max-Min‬و‪Max-‬‬
‫‪Product‬به دست می آید ‪.‬عملیات ‪ Max-Min‬و ‪ Max-Product‬از نظر انجام محاسبات روی‬
‫سطرهای ماتریس اول و ستونهای ماتریس دوم شبیه عملیات ضرب ماتریسی است با این تفاوت که اگر‪:‬‬
‫‪‬‬
‫در ضرب معمولی دو ماتریس‬
‫‪‬‬
‫در عملیات ‪Max-Min‬‬
‫‪‬‬
‫و در عملیات‪Max-Product‬‬
‫‪‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫مثال‬
46
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
‫‪47‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫نتیجه عملیات ‪ Max-Min‬و ‪ Max-Product‬همان رابطه بین‬
‫مجموعه های ‪X‬و ‪Z‬است ‪.‬‬
‫با این که نتیجه عملیات ‪ Max-Min‬و ‪ Max-Product‬در‬
‫مجموعه های کالسیک ‪ -‬که در آن ها عضویت ها یک یا صفر‬
‫هستند ‪ -‬یکسان است ولی در حالت فازی ‪ -‬که در آن ها عضویت‬
‫مقادیری بین یک و صفر هستند ‪ -‬نتایج این عملیات یکسان‬
‫نخواهد بود‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫رابطه های فازی‬
‫‪48‬‬
‫‪‬‬
‫رابطه های فازی همانند رابطه های کالسیک است با این تفاوت که عضویت (قدرت) رابطه ها به‬
‫جای صفر و یک مقادیری بین صفر و یک است‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫‪ Z‬و ‪X ، Y‬رابطه های فازی بین عناصر مجموعه های‬
49
max-‫ و‬Max-min ‫با استفاده از روشهای‬T ‫رابطه‬
composition ‫با استفاده از تابع‬product
Fuzzy Theory III
F.Ramezani

‫انواع روابط‬
50

Max-min composition

Max-Product composition
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Linguistic Variables
51

A linguistic variable takes words or sentences as
values.
 X:
Label(‫ مثال سرعت ماشین‬.‫)نام متغیر زبانی‬
 T: Term Seta(‫ کند و تند‬. ‫)مجموعه مقادیر‬
 U: Domain set(‫)دامنه فیزیکی‬
 M: Membership functions(‫)مشخص کردن مقدار‬
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Fuzzy Propositions
52




x is S
x is M
x is S or y is L
How to determine the membership functions of
these relations ?
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Connective
53


1 - For connective “and” use fuzzy intersection
(t-norm)
x∈U , y∈V , Let A and B are fuzzy sets in U and V,
respectively.
x is A and y is B
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Connective
54


2 - For connective “or” use fuzzy union (snorm)
x is A or y is B
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Connective
55


3 - For connective “not” use fuzzy Complements
x is not A
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Fuzzy If-Then Rules
56

IF <Fuzzy Proposition> THEN
<Fuzzy Proposition>
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Types of Fuzzy If-Then Rules
57


Dienes-Rescher Implication using (~p)Vq
S-norm: maximum
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Types of Fuzzy If-Then Rules
58


Lukasiewicz Implication: using (~p)Vq
S-norm: Yager S-norm
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Types of Fuzzy If-Then Rules
59



Zadeh Implication: using (p∈ q)V(~p)
S-norm: maximum ( Basic )
T-norm: min ( Basic )
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Types of Fuzzy If-Then Rules
60

Godel Implication: using (( p ≤ q) -> q)
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
Types of Fuzzy If-Then Rules
61

Mamdani Implication: using (p^q)

T-norm: min ( Basic )

T-norm: product
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
‫روشهای مختلف برای ساختن قاعده برای یافتن پاسخ‬
‫‪62‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫این رابطه مبنای ساختن قواعد براساس تجربیات افراد است‬
‫‪63‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫مثال‬
‫‪64‬‬
‫مجموعه جهانی طول خط ترمز‬
‫متر‬
‫مجموعه جهانی سرعت ماشين کيلومتردرساعت‬
‫طول خط ترمز کم (در جاده)‬
‫سرعت متوسط (در جاده)‬
‫قاعده ‪" :‬اگر طول خط ترمز در جاده کم باشد ‪ ،‬سرعت خودرو متوسط (بوده)‬
‫‪.‬است‬
‫‪:‬یا به صورت ساده تر‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫}‪UA={1, 4, 8, 10, 14‬‬
‫}‪UB={40, 60, 90, 100, 140‬‬
‫‪Approximate Reasoning‬استدالل تقریبی‬
‫‪65‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫هدف از منطق فازی رسیدن به نوعی استدالل برای استفاده از قواعدی‬
‫است که به صورت ماتریسی مانند ‪ R‬نشان داده می شود‪.‬‬
‫مانند‬
‫این استدالل را زاده استدالل تقریبی نامیده است‪ .‬فرض کنید قاعده زیر را داشته‬
‫باشیم‬
‫حال اگر عدد فازی را داشته باشیم ‪ ،‬آیا می توان گفت به استناد این قاعده ‪R‬‬
‫عدد فازی چقدر خواهد بود که در قاعده‪:‬‬
‫صدق کند؟‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫مثال‬
‫‪66‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫با توجه به قاعده ‪ R‬اگر در مثال قبل طول خط ترمز عددی فازی‬
‫به صورت زیرباشد‪ ،‬سرعت خود رو چه عدد فازی خواهد بود‬
‫(انتظارداریم باشد)؟‬
‫پاسخ‪:‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫اگر مجموعه چندین قاعده به صورت قاعده کلی در نظر گرفته شود می توان با‬
‫‪.‬استفاده از اجتماع گزاره ها قاعده کلی را به دست آورد‬
‫‪67‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫( قاعده کلی)‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory III‬‬
‫مثال‬
68
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
‫ترکیب های مختلف در منطق فازی‬
69
Multiple ‫ اشتراکی چندگانه‬-‫تالی های عطفی‬
conjunctive antecedent
Multiple ‫ اجتماعی چندگانه‬-‫تالی های عطفی‬
disjunctive antecedent
Fuzzy Theory III
F.Ramezani


70
Fuzzy Theory III
F.Ramezani
‫تبدیل اعداد فازی به اعداد غیر فازی (غیر فازی سازی)‬
‫‪71‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫گاهی الزم می شود مقادیر فازی به دست آمده از قواعد فازی‬
‫غیر فازی شده و تبدیل به اعداد طبیعی شوند‪ .‬این مسئله در‬
‫کاربرد فازی در سیستمهای فیزیکی مانند سیستمهای کنترل‬
‫کامال" مشهود است‬
‫برای غیر فازی سازی روشهای مختلفی وجود دارد که در آنها‬
‫سعی شده است با توجه به شرایط خاصی که ممکن است اعداد‬
‫فازی داشته باشند‪ ،‬حتی المقدور باحفظ دقت قابل قبول از‬
‫محاسبات نسبتا" سریع تر استفاده شود‪ .‬در اینجا چهار روش‬
‫مرسوم معرفی می شود‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
Defuzzifier
72

Conceptually, the task of the defuzzifier is to
specify a crisp point in output space V that best
represents the fuzzy set C’
Plausibility ‫باوركردني‬
 Computational Simplicity ‫محاسبات ساده‬
 Continuity ‫پیوسته‬

Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
Defuzzifier
73
‫مرکز ثقل‬
Mean of Maximum
Smallest of Maximum
Largest of Maximum
Center Average
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani





‫روش حداکثر عضویت ‪Maximum membership‬‬
‫‪74‬‬
‫‪‬‬
‫در این روش عدد (عنصر) با بیشترین تابع عضویت (در واقع‬
‫عنصر با بیشترین عضویت) به عنوان عدد معادل عدد فازی در‬
‫نظر گرفته می شود‪:‬‬
‫‪‬‬
‫یا در حالت گسسته‬
‫‪‬‬
‫مثال‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
Center of gravity ‫روش مرکز ثقل‬
75
Fuzzy Theory IV
‫یا در حالت گسسته‬

‫مثال‬

F.Ramezani
‫روش میانگین وزن دار ‪Weighted‬‬
‫‪average‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫این روش در شرایطی بکار می رود که توابع عضویت حالت‬
‫تقارن داشته باشند‪ x.‬اگر میانگین عناصر هر مجموعه توابع‬
‫عضویت متقارن باشد ‪ ،‬داریم‪:‬‬
‫مثال‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
‫‪76‬‬
‫‪Mean-max membership‬روش میانگین حد اکثرها‬
‫‪77‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫این روش شبیه روش اول است با این تفاوت که حداکثر عضویت‬
‫به بیش از یک عنصر تعلق دارد‪ .‬اگر‪ xi‬و ‪ xj‬کوچکترین و‬
‫بزرگترین عناصر با حداکثر عضویت باشند ‪ ،‬در این صورت‪:‬‬
‫مثال‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
Defuzzifier
78
‫مرکز یک مجموعه فازی‬
‫میانگین تکیه گاه‬
...‫و‬
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani



‫قوانین فازی‬
‫‪79‬‬
‫‪ ‬قانون فازی را می توان به صورت عبارت شرطی زیر درنظر‬
‫گرفت‪:‬‬
‫‪IF x is A‬‬
‫‪THEN y is B‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
80
‫تفاوت بین قوانین کالسیک و فازی‬
IF height is > 1.80
THEN select_for_team

In fuzzy rules:
IF height is tall
THEN select_for_team
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani

Fuzzy Expert systems
81

A Fuzzy system consists of:
 Fuzzy
input and output variables
 Fuzzy rules
 Fuzzy inference
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
‫مراحل‬
‫‪82‬‬
‫‪‬‬
‫این کار را می توان در چهار مرحله انجام داد‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫حداقل و حداکثر مقادیر مجموعه جهانی را مشخص کنید‬
‫مقادیر کالمی پایه (اتمیک) را تعریف کنید‪.‬‬
‫فضای بین حد اقل و حد اکثر مجموعه جهانی را به قسمتهای‬
‫مناسب تقسیم کنید‪.‬‬
‫توابع (شاخص های) عضویت مناسب برای را برای عناصر‬
‫مجموعه جهانی به گونه ای تعیین کنید که نماینده (مفسر) مقادیر‬
‫کالمی باشد‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory II‬‬
Fuzzy inference methods
83
:‫ورودی های سیستم فازی می توانند اشکال مختلفی داشته باشند‬

fuzzy, e.g. (Score = Moderate), defined by
membership functions;
 exact, e.g.: (Score = 190); (Theta = 35), defined by
crisp values

:‫خروجی های سیستم فازی می توانند اشکال مختلفی داشته باشند‬

- fuzzy, i.e. a whole membership function.

- exact, i.e. a single value is produced .
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani

‫مراحل استفاده از منطق فازی‬
‫‪84‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫تعریف اهداف و محدوده مساله‬
‫تعیین روابط ورودی و خروجی‬
‫استفاده از ساختار فازی مبتنی بر قانون‪ ،‬شکستن مساله به‬
‫مجموعه ای از قوانین ‪If- Else‬‬
‫ایجاد توابع تعلق فازی که معنی (مقدار) عبارت های‬
‫ورودی‪/‬خروجی قوانین را تعرف می کند‪.‬‬
‫ایجاد قوانین الزم‬
‫آزمون سیستم‪ ،‬ارزیابی نتایج‪ ،‬تنظیم قوانین و توابع تعلق و‬
‫آزمون مجدد تا زمانی که نتایج مطلوب به دست بیایند‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
85
:‫فرایند استنتاج در سیستم خبره فازی شامل چهار مرحله است‬
FUZZIFICATION ‫ فازی سازی‬
INFERENCE ‫ استنتاج‬
COMPOSITION ‫ ترکیب‬
DEFUZZIFICATION ‫ غیرفازی سازی‬
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani

‫‪86‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫فازی سازی‪ :‬توابع تعلقی که برای متغیرهای ورودی تعریف شده‬
‫اند بر روی مقادیر ورودی واقعی اعمال می شوند تا درجه درستی‬
‫پیش شرط هر یک از قوانین مشخص شود‪.‬‬
‫استنتاج‪ :‬مقدار درستی پیش شرط هر قانون محاسبه می شود و به‬
‫بخش نتیجه هر قانون اعمال می شود‪ .‬درنتیجه یک زیرمجموعه‬
‫فازی برای هر متغیر هریک از قوانین به دست می آید‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
‫‪87‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ترکیب‪ :‬هریک از زیرمجموعه های فازی برای هر متغیر با‬
‫یکدیگر ترکیب می شوند تا یک زیر مجموعه فازی واحد برای هر‬
‫متغیر خروجی به دست آید‪.‬‬
‫غیر فازی سازی‪ :‬در برخی از موارد تعیین زیرمجموعه های‬
‫فازی به دست آمده از فرایند ترکیب کافی است‪ ،‬اما اغلب اوقات‬
‫باید مقدار فازی به یک عدد واحد تبدیل شود که این کار در مرحله‬
‫غیرفازی سازی انجام می شود‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
88
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
‫تمرین‬
89
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
‫مثال‬
90
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
fuzzy reasoning
Rule: If x is A then y is B
91
A’
B
A
w
X
Y
A’
B’
If x is A’ then y is B’
X
x is A’
Y
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
y is B’
fuzzy reasoning
rule:If x is A and y is B then z is C2
T-norm
92
A’ A
B’ B
C2
w
Z
X
A’
Y
B’
C’
Z
x is A’
X
y is B’
Y
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
z is C’
fuzzy reasoning
A’
B’ B1
A1
C1
93
w1
Z
X
A’ A2
Y
B’ B2
C2
w2
Z
X
Y
T-norm
A’
B’
C’
Z
x is A’
X
y is B’
Y
Fuzzy Theory IV
F.Ramezaniz
is C’
Fuzzy Propositions
94
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
Dinner for two :‫مثال‬
95
:‫سیستم شامل دو ورودی است‬

service ‫ نحوه سرویس دهی در یک رستوران‬-1 
Poor, good, excellent
food ‫ کیفیت غذا‬-2 
Rancid, delicious
:‫سیستم دارای یک خروجی است‬
tip ‫ درصد انعام‬
Cheap, average, generous
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani

Dinner for two :‫مثال‬
96
‫ قانون‬3 ‫ خروجی و‬1 ،‫ ورودی‬2 ‫ سیستم با‬:Dinner for two
Rule 1
If service is poor or
food is rancid, then
tip is cheap
Input 1
Service (0-10)
Rule 2
Output
If service is good,
then tip is average
Tip (5-25%)
Input 2
Food (0-10)
Rule 3
‫ اعداد غیر فازی در یک‬:‫ورودی‬
‫بازه معین‬
If service is excellent or
food is delicious, then tip
is generous
‫همه قوانین به صورت موازی‬
‫با روش استالل فازی‬
‫ارزیابی می شوند‬
‫نتایج قوانین ترکیب و‬
‫غیر فازی می شوند‬
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
‫نتیجه به صورت عدد غیر‬
‫فازی نشان داده می شود‬
‫مثال‪Dinner for two :‬‬
‫‪97‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
‫‪.1‬‬
‫ورودی فازی می‬
‫شود‬
‫‪.2‬‬
‫عملگر فازی به‬
‫کار می رود‬
Dinner for two :‫مثال‬
98
‫ شرط و نتیجه ادغام می شوند‬-3
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
99
‫خروجی ها ترکیب می شوند‬Fuzzy
‫همه‬Theory
-4 IV
F.Ramezani
Dinner for two :‫مثال‬
100
‫ خروجی غیرفازی می شود‬-5
‫روشهای مختلف‬
centre of area
mean of max
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
Project risk ‫مثال‬
101
Rule: 1
IF
x is A3
OR
y is B1
THEN z is C1
Rule: 1
IF
project_funding is adequate
OR
project_staffing is small
THEN risk is low
Rule: 2
IF
x is A2
AND y is B2
THEN z is C2
Rule: 2
IF
project_funding is marginal
AND project_staffing is large
THEN risk is normal
Rule: 3
IF
x is A1
THEN z is C3
Rule: 3
IF
project_funding is inadequate
THEN risk is high
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
Project risk ‫مثال‬
102
:‫ سیستم دارای دو ورودی است‬
project_funding ‫ میزان سرمایه گذاری در یک پروژه‬-1 
Adequate , marginal, inadequate
project_staffing ‫ افراد تیم پروژه‬-2 
Small, large
:‫ یک خروجی‬
risk ‫ ریسک پروژه‬
Normal, high, low
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
Project risk ‫مثال‬
103
Step 1: Fuzzification
Crisp Input
x1
1
0.5
0.2
0
A1
A2
x1
 (x = A1) = 0.5
 (x = A2) = 0.2
Crisp Input
y1
1
0.7
A3
X
B1
B2
0.1
0
y1
 (y = B1) = 0.1
 (y = B2) = 0.7
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
Y
Project risk ‫مثال‬
104
Step 2: Rule Evaluation
AB(x) = max [A(x), B(x)]
AB(x) = min [A(x), B(x)]
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
Project risk ‫مثال‬
rule evaluation
105
1
1
A3
1
B1
C1
0.1
0.0
0
x1
0
X
Rule 1: IF x is A3 (0.0)
OR
1
y1
Y
y is B1 (0.1)
1
A2
0
x1
y1
0
A1
AND
(min)
X
Rule 3: IF x is A1 (0.5)
z is C1 (0.1)
0.2
THEN
C1
Fuzzy Theory IV
THEN
C2
C3
Z
z is C2 (0.2)
1
0.5 C1
0.5
x1
Z
0
Y
Rule 2: IF x is A2 (0.2) AND y is B2 (0.7)
1
0
1
B2
0
C3
0.1
THEN
0.7
0.2
X
OR
(max)
C2
C2
0
F.Ramezani
z is C3 (0.5)
C3
Z
Project risk ‫مثال‬
106
Aggregation of the rule outputs
1
1
C1
1
C2
0.5
C3
0.2
0.1
0
Z
z is C 1 (0.1)
0.5
0.1
0
Z
z is C 2 (0.2)
0
Z
0.2
0

z is C 3 (0.5)
Fuzzy Theory IV
Z
F.Ramezani
Centre of gravity (COG): Project risk
‫مثال‬
107
COG 
(0  10  20)  0.1  (30  40  50  60)  0.2  (70  80  90  100 )  0.5
 67.4
0.1  0.1  0.1  0.2  0.2  0.2  0.2  0.5  0.5  0.5  0.5
Degree of
Membership
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
10
20
30
40
50
60
70
Fuzzy Theory IV
67.4
80
F.Ramezani
90
100
Z
‫مثال‬
‫‪108‬‬
‫قواعد زیر را در مورد رابطه بین طول خط ترمز و سرعت خودرو‬
‫در نظر بگیرید‬
‫‪" ‬اگر طول خط ترمز ‪ A1‬و وزن خودرو‪ B1‬باشد ‪ ،‬آنگاه سرعت‬
‫خودرو‪ C1‬است‪".‬‬
‫‪" ‬اگر طول خط ترمز‪ A2‬و وزن خودرو‪ B2‬باشد ‪ ،‬آنگاه سرعت‬
‫خودرو‪ C2‬است‪".‬‬
‫‪ If Break_Length is A1 and Car_Weight is B1 then‬‬
‫‪Speed is C1 .‬‬
‫‪ If Break_Length is A2 and Car_Weight is B2 then‬‬
‫‪Speed is C2.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
‫‪109‬‬
‫طول خط ترمز (متر )‬
‫وزن (تن )‬
‫سرعت (کيلومتر در ساعت )‬
‫طول خط ترمز (متر )‬
‫وزن (تن )‬
‫سرعت (کيلومتر در ساعت )‬
‫ی‪ :‬طول خط ترمز در یک تصادف (طول خط ترمز جاری) ‪ 10‬متر و وزن خود رو ‪ 3‬تن‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
‫روش برش مرحله اول‬
‫‪110‬‬
‫میزان عضویت ‪ 10‬در مجموعه فازی ‪ 0.4 ، A1‬و در ‪0.7 ، A2‬‬
‫است‪ .‬میزان عضویت ‪ 3‬نیز در مجموعه فازی ‪ B1‬و‬
‫‪ 0.5 ،B2‬است‪ .‬با توجه به اشتراک ‪ AND‬دو مجموعه در‬
‫دو قاعده داریم‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
‫مرحله دوم‬
‫‪111‬‬
‫فاکتور برش در قاعده اول‬
‫فاکتور برش در قاعده دوم‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
‫مرحله سوم‬
112
Fuzzy Theory IV
F.Ramezani
‫مرحله چهارم‬
‫‪113‬‬
‫‪‬‬
‫غیر فازی سازی مجموعه جهانی نهایی و یافتن سرعت تخمینی‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬
‫نمایش ترسیمی استنتاج فازی برای مثال سرعت خودروبا روش برش‬
‫‪114‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Fuzzy Theory IV‬‬