Campos y Ondas en Telecomunicación. Examen ordinario de 28-V-2025
Primer ejercicio
a) La potencia que atraviesa la superficie del paralelepípedo situada en z=0 y z=d, en dirección z:
𝐴𝐵𝜔0 𝜇0 𝛽𝑎𝑏
, 𝑊(𝑧 = 𝑑) = − 𝐴𝐶𝜔0 𝜇0 𝛽𝑎𝑏
4
Caso 1: La fuente de campo está en el exterior del paralelepípedo. No es posible determinar la potencia
𝑊(𝑧 = 0) =
generada por la fuente. La potencia disipada por la esfera: 𝑊𝑑𝑖𝑠 =
5𝐴2 𝜔0 𝜇0 𝛽𝑎𝑏
4
Caso 2: La fuente de campo está en el interior del paralelepípedo. No es posible determinar la potencia
generada por la fuente, ni la potencia disipada en la esfera.
Caso 3: La fuente de campo está en el exterior. No es posible determinar la potencia generada por la
fuente. La potencia disipada por la esfera: 𝑊𝑑𝑖𝑠 =
9𝐴2 𝜇 𝛽𝑎𝑏
0
b) 𝐼𝑚(𝜀) = −𝜀 ′′ = − 8𝐸2 𝜋𝑅
3
0
0
c) Potencia generada por las fuentes de campo:
Caso 2):
𝑊𝑔𝑒𝑛 =
5𝐴2 𝜔0 𝜇0 𝛽𝑎𝑏
4
Casos 1) y 3): Situación físicamente imposible.
3𝐴2 𝜔0 𝜇0 𝛽𝑎𝑏
4
Segundo ejercicio (40 %)
Onda Plana
~
Se puede escribir E(z)
= E~0 e−jβz = E0 (x̂ ± j ŷ)e−jβz con E0 real. Como x̂ × (±ŷ) · ẑ = ±1, el
signo deberá ser el negativo.
∗
E~0 · E~0
Por otra parte β = ω/c0 = 20π (1/m) y la onda transmite una potencia
= 4,52 (W).
2η
De donde E0 = 41,3 (V/m). Finalmente:
~
E(z)
= 41,3(x̂ − j ŷ)e−j20πz (V/m)
Frecuencia 3 GHz
Se pueden calcular las impedancias de todos los medios: η1 = η0 , η2 = η0 /2, η3 = η0 /4, η4 = η0 /8
y η5 = η0 /16, ası́ como las longitudes, en fracción de longitud de onda, de las láminas. Como en el
vacı́o λ0 = 2π/β0 = 100 (mm), es inmediato:
λ2 = 50 (mm), de donde λ2 /4 = 12,5 (mm)
λ3 = 25 (mm), de donde λ3 /4 = 6,25 (mm)
λ4 = 12,5 (mm), de donde λ4 /4 = 3,125 (mm)
Y las tres son láminas en λ/4.
Se puede calcular la impedancia de onda vista en cada discontinuidad entre medios. En la
discontinuidad 4 - 5 : Z45 = η5 = η0 /16. En la discontinuidad 3 - 4 , puesto que la lámina 4 es en
cuarto de longitud de onda: Z34 = η42 /Z45 = η0 /4. En la discontinuidad 2 - 3 : Z23 = η32 /Z34 = η0 /4.
Y en la discontinuidad 1 - 2 : Z12 = η22 /Z23 = η0 .
El coeficiente de reflexión en el medio 1 será nulo. Toda la potencia de la onda incidente se
transmite al último medio: WT 5 = 4,52 (W).
Conocidas las impedancias en las discontinuidades los coeficientes de onda estacionaria son:
S1 = 1, S2 = η2 /Z23 = 2, S3 = 1, S4 = η4 /Z45 = 2 y S5 = 1.
En el medio 1 no hay onda estacionaria. Puesto que Z23 < η2 al final del medio 2 habrá un
mı́nimo del diagrama. Como es una lámina en cuarto de longitud de onda habrá un máximo al
principio del medio:
1
2
ẑ
A la vista del diagrama el valor mı́nimo del campo eléctrico en 2 - 3 será el mı́nimo del de la onda
incidente dividido por S2 . Puesto que la incidente tiene polarización circular y el valor mı́nimo es
igual al máximo, E1min = 41,3 (V/m), en la discontinuidad 2 - 3 : Emin23 = E1min /S2 = 20,6 (V/m).
Frecuencia 6 GHz
Al duplicar la frecuencia todas las láminas pasan a ser en semilongitud de onda, por lo que
Z12 = Z23 = Z34 = Z45 = η0 /16. El coeficiente de reflexión en el medio 1 en la discontinuidad
1 - 2 será: ρ1 (0) = (Z12 − η0 )/(Z12 + η0 ) = −15/17. La potencia transmitida
WT 5 = Winc (1 − |ρ1 (0)|2 ) = 1 (W)
Frecuencia 1.5 GHz
Al dividir por dos la frecuencia el espesor de las láminas pasa a ser un octavo de la √
longitud de
onda y las longitudes eléctricas para i = 2, 3, 4: θi = π/4. De donde sen θi = cos θi = 1/ 2.
En la discontinuidad 4 - 5 : Z45 = η5 = η0 /16, mientras que en la discontinuidad 3 - 4 :
Z34 = η4
Z45 + jη4
4 + 3j
Z45 cos θ4 + jη4 sin θ4
= η4
=
η0
η4 cos θ4 + jZ45 sin θ4
η4 + jZ45
40
16 + j15
Z34 + jη3
=
η0
η3 + jZ34
52
Z23 + jη2
832 + j195
=
η0 .
Y en la discontinuidad 1 - 2 : Z12 = η2
η2 + jZ23
754
Z12 − η1
78 + j195
=
con |ρ1 (0)| = 0,131 y una potencia
El coeficiente de reflexión ρ1 (0) =
Z12 + η1
1586 + j195
transmitida de WT 5 = 4,52 (1 − 0,1312 ) = 4,44 (W).
Análogamente en la discontinuidad 2 - 3 : Z23 = η3
Tercer ejercicio (35%)
a) El número de modos TEM es 𝑁𝑐𝑜𝑛𝑑 − 1. Por tanto, en el caso II) y III) no hay modos TEM.
En el único modo TEM del caso I), como en los dos modos TEM distintos del caso III), todos tienen la
1
misma constante de propagación 𝛾0 = √−𝜔02 𝜇0 𝜖0 𝜖𝑟 [𝑚].
1
1
Como 𝛾0 = 𝛼 + 𝑗𝛽 en este caso 𝛽 = 𝑗𝜔0 √𝜇0 𝜖0 𝜖𝑟 [𝑚] 𝑦 𝛼 = 0 [𝑚].
b)
𝑉2 − 𝑉1 1 −𝑗𝜔𝑐 0√𝜖𝑟 𝑧
𝑉
𝐸ሬԦ = ሬሬሬԦ
𝐸𝑡 = −∇𝑡 𝜙𝑒 −𝛾0𝑧 = −
𝑒 0
𝑟̂ [ ]
𝑏 𝑟
𝑚
𝑙𝑛
𝑎
1
1 𝑉2 − 𝑉1 1 −𝑗𝜔𝑐 0√𝜖𝑟 𝑧
𝐴
ሬԦ = ሬሬሬሬԦ
𝐻
𝐻𝑡 = 𝑧̂ × ሬሬሬԦ
𝐸𝑡 = −
𝑒 0
𝜑̂ [ ]
𝜂
𝜂 𝑙𝑛 𝑏 𝑟
𝑚
𝑎
< 𝑆Ԧ >=
1
1 |𝑉2 − 𝑉1 |2 1
𝑊
ሬԦ ∗ } =
ℜ{𝐸ሬԦ × 𝐻
𝑧̂ [ 2 ]
2
2
2𝜂 𝑙𝑛2 𝑏 𝑟
𝑚
𝑎
𝜔0
c)
d)
1 (𝑉 −𝑉 ) 1 −𝑗 √𝜖 𝑧
𝐴
ሬሬԦ
ሬԦ ⌋
𝐽𝑠 = (−𝑟̂ ) × 𝐻
= 𝜂 2 𝑏 1 𝑏 𝑒 𝑐0 𝑟 𝑧̂ [𝑚]
𝑟=𝑏
𝑙𝑛
𝑎
(𝑉2 − 𝑉1 ) 𝑒
𝑉(𝑧) = 𝑉 + (𝑧) = ⏟
𝜔
−𝑗 0 √𝜖𝑟 𝑧
𝑐0
𝑉0
2𝜋 (𝑉2 −𝑉1 )
⬚
[𝑉], 𝐼(𝑧) = 𝐼 + (𝑧) = ‫ 𝐶ׯ‬ሬሬԦ
𝐽𝑠 ∙ 𝑧̂ 𝑑𝑙 = ( 𝜂
2
⏟
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
)𝑒
𝜔
−𝑗 0 √𝜖𝑟 𝑧
𝑐0
[𝐴]
𝐼0
𝑍0 =
𝑉(𝑧)
𝜂0 1
𝑏
=
𝑙𝑛 [Ω]
𝐼(𝑧) √𝜖𝑟 ⏟
2𝜋 𝑎
𝐾𝑔
𝑅 +𝑗𝑍 tan 𝛽𝐿
e) Para que se transmita la máxima potencia, 𝑍𝑖𝑛 = 𝑅𝑔 . Por tanto, 𝑍0 𝑍𝐿+𝑗𝑅𝑜 tan 𝛽𝐿 = 𝑅𝑔 . Para que se
0
𝐿
cumpla esto, independientemente de la longitud de la línea, se tiene 𝑍0 = 𝑅𝐿 = 75 Ω y 𝑍𝑖𝑛 = 𝑅𝐿 = 75 Ω.
Puesto que 𝑍0 =
𝜂0 1
𝑏
ln 𝑎 , se tiene 𝑏 = 5,86 𝑐𝑚
𝜖 2𝜋
√ 𝑟
La potencia disponible del generador es 𝑃𝑑𝑔 =
1 |𝑉𝑔 |
2
8 ℜ{𝑍𝑔 }
=
1 |𝑉𝑔 |
8 𝑅𝑔
2
= 0,66 𝑊.
La potencia entregada a la línea, puesto que 𝑍𝑖𝑛 = 𝑅𝑔 , es la potencia disponible del generador, que es la
misma que la entregada a la carga porque no hay perdidas: 𝑃𝑒𝑛𝑡 = 𝑃𝑑𝑔 = 0,66 𝑊.
𝑍 −𝑍
f) Si la carga se modificara ahora a 𝑅𝐿′ = 0 Ω, 𝜌𝐿′ = 𝑍𝐿+𝑍0 = −1, la potencia entregada a la carga sería
𝐿
0
𝑃𝑒𝑛𝑡 = 𝑃𝑑𝑔 (1 − |𝜌𝐿 |2 ) = 0.
𝑅 ′ +𝑗𝑍 tan 𝛽𝑑
En este caso:𝑍(𝑧 = −𝑑) = 𝑍0 𝑍𝐿+𝑗𝑅𝑜′ tan 𝛽𝑑 = 𝑗𝑍𝑜 tan 𝛽𝑑 y 𝜌(𝑧 = −𝑑) = 𝜌𝐿 𝑒 −2𝑗𝛽𝑑
0
𝐿
La distancia 𝑑 = 53,03 𝑐𝑚 coincide con 𝑑 = 3𝜆/4, por lo que 𝑍(𝑧 = −𝑑) = ∞, 𝜌(𝑧 = −𝑑) = −𝜌𝐿′ = 1