,
1
PRACTICAS ,
DE DIRECCION
DE EMPRESAS
Eduardo Pérez Gorostegui
(@)) ~itorial Universitaria
~ Ramón Areces
...
PRACTICAS
DE DIRECCIÓN
DE EMPRESAS
EDUARDO PÉREZ GOROSTEGUI
Catedrático de Organización de Empresas (UNED)
PRÁCTICAS.,,.
DE DIRECCION
DE EMPRESAS
@))) -~ditorial Universitaria
~ Ramón Areces
Reservados todos los derechos.
Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o
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Impreso por: Campillo Nevado, S.A.
Antonio González Porras, 35-37
280 19 MADRID
Impreso en España / Printed in Spain
A Gon z.a y Edu
-Indice
Presentació n ........................................................................................... ........... .... .
X 111
PARTE 1
La toma de decisiones
l.
TOMA DE DEC I SIONES. ...... ... ... ...... ..........................................................
3
I . Decis io nes e n ambi e nte de incerti dumbre ...............................................
2. La e ntro pía .................................................................................................
3. El va lor de l din e ro e n e l tiem po .. ..............................................................
4. Los árbo les de dec is ión y e l valor es pe rad o de la info rmación pe rfec ta.
5. La progra mació n linea l. E l programa dual ............... ...............................
6. El mé todo PERT y los grá fi cos de Gantt .................................................
7. La ponderac ió n de fac tores ............................. ......... .. ...... .........................
5
27
32
43
72
104
149
PARTE 11
Dirección financiera
2.
3.
BENEFI CIO, RENTAllILIDAD Y EQUILIBRIO FI NANCIERO ... .. ..
157
I . Los cosles e n la em presa .................................. .................... .... .................
2. Doc ume ntos financ ie ros básicos ........... ... ... ....................... .. ........ ............
3. Bene ficio y ren tab ilidad ............................................................................
4. El equilibrio eco nómico-fina nciero de la e mpresa, e l fondo de rolac ión
o mani obra y e l pe ríodo medio de madu rac ió n. ........................................
5. Los rati os ....................... .......... ............................................................ .. .....
159
162
168
183
205
RENTA BILIDAD Y COSTE FINAN CIERO ............................. ...............
2 17
1. Los e le ment os re levan tes...... ..................... ................................................
2. La re ntab il idad reque rida de una inve rs ión ......................................... ......
3. Va loración de proyeclos de inversión y de financiación.........................
2 19
22 1
222
INDICE
IX
4. El cálculo de la rentabilidad de las inversiones y del coste de la financiación. Criterios de selección. La incidencia de la inflación ............. ....
5. Casos particulares........... ......................... ................ ................................ ...
6. La incidencia de los impuestos..................................................................
7. El coste medio ponderado del capital.................... ..... ............................. ..
8. La rentabilidad requerida y la diferencia de riesgo entre las inversiones
mutuamente excluyentes ............................................................................
9. Otros métodos de selección de inversiones .............................................
10. La utilidad de los criterios e instrumenos de decisión en las decisionesfinancieras ............ ................................................. ..... .. ............................. ..
4.
227
238
285
288
290
300
315
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS...........................................
323
l. El apalancamiento y el punto muerto .......................................................
2. Endeudamiento y rentabilidad ..................................................................
3. El presupuesto de tesorería .......................................................................
4. Valoración de empresas ............................................................................
325
340
354
358
PARTE 111
Dirección de la producción
S.
6.
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
369
1. La primera decisión: producir o comprar .................................................
2. Los costes de producción y su control .....................................................
3. La productividad ........................................................................................
4 . Los bienes equipo......................... ................................... ..... ......................
5. Sistemas de remuneración por incentivos..... ............................................
371
372
378
389
407
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN Y LOGÍSTICA.................................
419
1. La localización de las instalaciones .........................................................
2. La programación de la producción ...........................................................
3. La planificación y control de las actividades productivas ......................
4. Los inventarios: modelos deterministas....................................................
421
431
437
445
PARTE IV
Dirección de marketing
7.
8.
X
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA ................................
453
1. La función de demanda a corto plazo y sus elasticidades. .....................
2. El control del presupuesto mercadotécnico .............................................
3. La previsión de cuotas de mercado y las cadenas de Markov ................
4. Sistemas de afijación en investigación de mercados ...............................
5. La segmentación de mercados...................................................................
6. La experimentación comercial...................................................................
455
458
467
473
477
493
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS.......................................................
503
1. El posicionamiento de marcas ..................................................................
505
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
2. La c reación de nuevos productos ..............................................................
3 . La decisión de determinación de precios y sus li mitaciones ............. .. ...
4. Dife re nc iac ión y di scriminación ele precios ............................................
5. La publ ic iclad .................................. ...........................................................
6. La ve nta personal .......................................................................................
51 1
5 16
533
537
546
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
l.
2.
3.
Pruebas ele las partes I y 11.......... ...... ................................ ...........................
554
1. 1. Prime ra prueba ........................................................................................
1. Enunc iados ........................... ................. ............................................
11 . Respuestas correctas ........ ................................................................
554
554
558
1.2. Segunda prueba ................ .......................................................... ............
1. Enunciados ................... ...................... ...............................................
11 . Res puestas correc tas .................... ...... ............... ..... ..........................
559
559
564
1.3. Tercera prueba ............ ...... .......................................................................
1. Enunc iados ........................................................................................
11 . Respuestas correctas .....................,............................................. .....
564
564
569
1.4. Cuarta prueba ..........................................................................................
1. Enunc iados ....... ................... ... ... .............. .. ........................................
11 . Respuestas correc tas .............................................................. ....... ...
570
570
574
Pruebas ele las partes III y IV ......................................................................
575
2. 1. Prime ra prueba ...................................................................................... ..
l . Enunciados........................................................................................
II . Respuestas correctas ........................................................................
575
575
580
2.2 . Segu nda prueba ................................ ......................................................
1. Enunc iados ........................................................................................
11. Res puestas correctas ........................................................................
58 1
581
586
2.3. Tercera prueba ............ .............................................................................
1. Enunc iados ........................................................................................
11. Respuestas correc tas .. ....................... .......................... ................ .....
587
587
592
2 .4. C uarta prue ba ............. .................................................................... ....... ..
1. Enunc iados ........... .............................. ...............................................
11. Respues tas correctas .................... ...................... ........... ...................
593
593
598
Pruebas globales.............................................................................................
599
3 . 1. Prime ra prue ba .. .... ................... ...... ...................... ........ ........ .... ...............
1. En unc iados ........... ...................................... .......................................
11. Respuestas correctas ........................................................................
599
599
604
3.2. Segunda prueba ......................................................................................
1. En un c iados ........... ... ................................... ......... ......................... .....
11 . Respuestas co rrecl as ............................................................ ...... .... ..
605
605
6 1O
ÍNDIC E
XI
XII
3.3. Tercera prueba ................................ ........................................................
l. Enunciados ........................................................................................
II. Respuestas correctas ........................................................................
611
611
616
3.4. Cuarta prueba................................................ ..........................................
l. Enunciados .............................................................................. ..........
11. Respuestas correctas ........................ ........................... .....................
617
617
622
APÉNDICE DE TABLAS ESTADÍSTICAS.....................................................
623
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Presentación
La toma de decisiones es consustancial a la dirección de empresas, cuyo estudio, por consiguiente, no puede quedarse en los pl anteamientos abstractos,
sino que debe incorporar ele mentos práct icos y casos concretos.
Este libro contiene prob lemas, ej ercic ios y casos con los que se completa
con mater ial práctico el estudio de la di recc ión ele empresas .
A la tradicional necesidad ele un manual ele este tipo se ha venido a añad ir
la ex igencia que los nuevos planes ele estudio de las diferentes un i versidades
han incorporado de una parte práctica , en el estudio de la introducción a la economía de la empresa, para cumplir con los postulados ele la reforma exigida por
el Espac io Europeo de Educación Superior.
Como es propio de la metodología docente de la enseñanza a di stancia, a la
que el libro se adapta , se ha procurado que, a pesar de su vi nculación a otro manual (en concreto al titu lado Dirección de Empresas, de esta mi sma Editorial
Universitaria Ramón Areces) , qu ien tenga una formación míni ma , como la que
se requ iere para iniciar estudios universitarios en nuestro país, pueda seguir las
explicaciones de este libro y consegui r una comprensión adecuada sin necesidad de acudi r previamente a di cho manual ni a ninguna otra fuente.
No se trata de una mera colección de problemas que no se pueden comprender sin haber estudiado antes otro libro, sino de un manual de prácticas en
el que, cuando se req uiere l a utilización de un concepto q ue no ha aparecido
previamente, éste se explica en la resolución del mismo problema en el que surge y, a menos que se trate de un concepto muy senc i llo , a conti nuació n se incluye, como mínimo , otro problema semejante, en cuya resolución ya no se realizan tales exp licaciones, para que el lector pueda comprender , resol v iéndolo
por sí mismo, su nivel de asimilación. Consecuentemente , en cada problema se
presupo ne el adecuado conoc imiento del contenido de los problemas anter iores.
Ello permite al estudiante seguir las ex plicaciones con cierta independencia,
sin necesidad de acompasar el estudio de la parte práctica al ritm o seguido en
la parte puramente conceptua l .
PRESENTACIÓN
XIII
Para facilitar la autoevaluación, al final del libro se han recogido doce
pruebas objetivas, cada una de las cuales consta de veinte cuestiones. Cuatro
pruebas corresponden a las dos primeras partes del libro, otras cuatro a las dos
últimas partes, y las cuatro pruebas finales tienen carácter global.
El autor agradece a los profesores Victoria Fernández de Tejada Muñoz, Jesús Morcillo García y Luis Manuel Ruíz Gómez, compañeros en la UNED, sus
valiosos comentarios y sugerencias.
Esperamos que este libro sea útil tanto a estudiantes como a compañeros en
la profesión docente y a profesionales de la empresa. Con su crítica lo mejoraremos.
EDUARDO PÉREZ ÜOROSTEGUI
Madrid, mayo de 2021
XIV
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Parte 1
La toma de decisiones
Capítulo 1. Toma de decisiones
Toma de decisiones
Decisiones en ambiente de incertidumbre
La entropía
El valor del dinero en el tiempo
Los árboles de decisión y el valor esperado de la
información perfecta
La programación lineal. El programa dual
El método PERT y los gráficos de Gantt
La ponderación de factores
l.
Decisiones en ambiente
de incertidumbre
Problema 1. 1. 1
El criterio de Laplace
L aply, S.A., es una empresa dedicada a la fab ricación y ve nta de aparatos
e lectrodo mésticos, que se e nc ue ntra estud iando e l lanzamiento de su nueva
marca de refrigerador Frío para competir con la empresa Waldy , S.A. , que e labora otra marca d irig ida al mismo segme nto de l me rcado. E l bene ficio anual de
Laply, S.A. , depende de su estrategia de marketing y de la que s iga Waldy , S.A.
Aquél la puede seleccionar la estrategia A, B o C, y ésta puede e legir e ntre las
estrategias X , Y y Z . Lap ly, S.A., ignora las probabilidades de que Waldy , S.A. ,
e lija la estrategia X, la Yo la Z, por lo c ual se e nc ue ntra e n s ituac ió n de inc retid umbre para decidir , pero conoce los benefic ios a nua les que se de ri varía n
para e lla de cada una de sus estrategias e n fu nción de c uál fuera la que e ligiera su compe tidora, y son los q ue, e n millones de unidades monetarias (u.m.), se
recogen e n la tabla l. l ( mat r iz de decisión).
ESTRATEGIA
DE LAPLV, S.A.
TABLA 1.1
340
A
200
B
260
320
320
e
272
280
300
TOMA DE DECISIONES
5
La interpretación de esta tabla es muy simple. Así, si Laply , S.A., elige la
estrategia B, ganará 260 millones de u .m. si W aldy, S.A., selecciona la X, 320
millones de u.ro. si ésta elige la Yy 320 millones de u.ro. si se decide por la Z.
Se desea saber cuál es la estrategia preferible para Laply , S.A. , siguiendo el
criterio de Laplace.
RESOLUCIÓN
Tradicionalmente se distinguen tres situaciones o ambientes de decisión:
El ambiente de certeza, en el cual se conoce el resultado de cada una de
las estrategias de decisión con total seguridad.
El ambiente de riesgo, en el que se conocen los posibles resultados de
cada estrategia, o alternativa, con sus respectivas probabilidades, en
cuyo caso son aplicables técnicas como la de la esperanza matemática
de cada estrategia, y es posible el cálculo, también, de su varianza
asociada.
El ambiente de incertidumbre, que puede ser estructurada o no estructurada. En la incertidumbre estructurada se conocen los resultados posibles de cada estrategia, aunque no sus probabilidades.
Así, en el presente caso, Laply, S.A., sabe que de la estrategia A pueden derivarse los resultados 200, 300 o 340 millones de u.m. , aunque no canee las
probabilidades que tiene cada uno de ellos. Sabe también, aunque no puede
asignar las probabilidades, que, si sigue la estrategia B , puede obtener los resultados 260 y 320 millones de u.ro. y que, si se decide por la estrategia C, los
resultados pueden ser 272, 280 o 300. En situación de incertidumbre no estructurada no se conocen ni siquiera los resultados posibles de cada estrategia.
El criterio de Laplace, como los que son objeto de estudio en los problemas
siguientes , es aplicable en situación de incertidumbre estructurada. Este criterio
parte de la consideración de que, ante la ignorancia de las probabilidades que
tienen los distintos resultados posibles, lo más adecuado es asignarles la misma probabilidad a todos ellos, lo cual conduce, a su vez, a tomar, como resultado esperado , la media aritmética de dichos resultados posibles. Así, si sigue
la estrategia A , suponiendo , como lo hace el criterio de Laplace, que existe
la misma probabilidad de que Laply, S.A., siga la estrategia X, la Yo la Z (1/3),
el resultado esperado será la media aritmética de los tres resultados posibles; es
decir:
200 + 300 + 340
RA = 200(1/3) + 300(1/3) + 340(1/3) = - -- - -3
= 280 millones de u.m.
Del mismo modo , en cuanto a la estrategia B que resulta ser la preferible, se
obtiene:
260 + 320 + 320
R8 = - -- -- - - = 300 millones de u.m.
3
6
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Y, en relación a la C:
272 + 280 + 300
Re = - - -- - - - - - = 284 millones ele u.m.
3
Problema 1.1.2
El criterio de Wald
¿Cuál sería la mejor decisión de la empresa L aply, S.A. , del problema anterior, siguiendo el cr iteri o de Walcl?
RESOLUCIÓN
E l criteri o ele Wald es el que adopta aquella persona pes imista que supone
que lo que ocurrirá es lo peo r que pueda sucederle y elige aquella estrategia a
la que le corresponde el mejor entre los peores resultados posibles. A sí, en este
caso, si se elige la alternati va A , el menor resultado es el correspond iente a la
estrategia X ele W alcly, S.A. (200 millones ele u.m.). D el mismo modo , si se eli ge la alternativa By ocurre lo peor que puede suceder (q ue Laply, S.A., elija la
estrategia X) , se obtendrá un beneficio anual de 260 millones de u.m. , y si se
elige la opc ión C, el mínimo resu ltado anual es de 272 millones de u.m .. Con
un criteri o prudente, basado en garanti zarse un beneficio tan elevado como sea
posible (criteri o maxi111in o de WaJd), L aply , S.A. , elegiría la alternati va C, a la
que le corresponde el máx imo entre los mínimos, con lo cual puede tener la segurid ad de que su beneficio anual no será inferior a 272 millones de u.m.
Problema 1. 1.3
El criterio optimista
¿Cuál sería la mej or decisión de la empresa Laply, S.A. , de los problemas
anteri ores, según el criterio optimi sta?
RESOLUCIÓN
El criterio optimista es el que sigue aquella persona que elige la alternativa
a la que le corresponde el mej or resul tado posible. En la tabla l .2 se recogen los
mayores beneficios que puede conseguir Laply, S.A ., bajo cada una de sus alternativas de acción.
TABLA 1.2
A
340
B
320
e
300
TOMA DE DECISIONES
7
Dado que el máximo beneficio posible es el correspondiente a la estrategia
A, la mejor decisión según el criterio maximax es elegir esta alternativa.
Problema 1. 1.4
El criterio de Hurwicz
¿Cuál sería la mejor decisión de la empresa Laply, S.A. , de los problemas
anteriores, según el criterio de optimismo parcial de Hurwicz para un coeficiente de optimismo del 60 por 100?
RESOLUCIÓN
El criterio de Hurwicz pondera , en cada estrategia, el mejor resultado con
un coeficiente de optimismo, a, y el peor resultado con un coeficiente de pesimismo (1 - a). Los decisores más optimistas asignarán valores más elevados
a a, de modo que, cuando a toma el máximo valor que puede alcanzar, es decir, la unidad (el 100 por 100) , el criterio resultante es el maximax. El valor
asignado a a será tanto más pequeño cuanto más pesimista sea el decisor, de
modo que cuando este coeficiente adopta el mínimo valor que puede tomar, es
decir, cuando a= O, el criterio resultante es el de Wald.
Los cálculos necesarios en el presente caso (a = 60 por 100 = 0,60) se
efectúan en la tabla 1.3.
La estrategia preferible, según el criterio de optimismo parcial de Hurwicz,
para un a = 0,60, es la B, a la que le corresponde el mayor resultado de ponderar los beneficios correspondientes al mejor y al peor de los casos.
TABLA 1.3
Problema 1.1.5
e
300
272
288,8
El criterio de Savage
¿Cuál sería la mejor decisión de la empresa Laply , S.A., de los problemas
anteriores, según el criterio del mínimo pesar de Savage?
RESOLUCIÓN
Si Laply, S.A., se decidiera por la alternativa A y Waldy, S.A. eligiera la estrategia X, aquélla ganaría 200 millones de u .m. y se arrepentiría de no haber
elegido la alternativa C, a la que le hubiera correspondido un beneficio de 272
millones de u.m. Su «pesar» sería de 272 - 200 = 72 millones. Si, por el con-
8
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
trario, hubiera elegido la alternati va B , su «pesar» sería sólo de 12 millones
(272 - 260) . Si la estrategia elegida por Waldy, S.A. fuera la Y, Lapl y, S.A. no
tendría pesar alguno si hubiera eleg ido la estra tegia B, pero sus pesares serían
de 20 y 40 millones de u.m. , respecti va mente, si hubiera seleccio nado las estrategias A y C. Del mismo modo se calculan los pesares asociados a la decisión
Z de Wald y, S.A.; es decir, restando los térm inos de esa col umna respecto al
mayor de ellos. E n la tabla 1.4 (matriz de pesares) se recogen los resultados obtenidos y el va lor del mayor de los pesares asociados a cada estrateg ia.
TABLA 1.4
A
72
20
o
72
B
12
o
20
20
e
o
40
40
40
Siguiendo el cri teri o de Savage, l a decisión óptima es elegir l a alternati va
B , a la que le corresponde el menor entre los máx imos pesares posibles. Con
ello el deci sor se asegura de que su pesar (es decir, lo que deja de ganar por no
acertar) nunca superará los 20 millones de u.m.
Problema 1.1.6
Juego de suma nula
Si el beneficio anual que obtendrá Laply, S.A. con su nueva marca Frío
coincide con la reducción de beneficios de la empresa Wald y, S.A., que, hasta ahora , era l a única que operaba en este segmento del mercado, ¿cuál será la
soluc ión del juego de competencia suponiendo que el ganador sigue la estrategia maxi min y que el perdedor sigue el criterio minimax?
RESOLUCIÓN
En l os problemas anteriores se hacía abstracción del proceso deci sional de
Waldy, S.A. ( W) y se planteaba aisladamente el problema de Laply , S.A. (L ).
Para L , las posibles deci siones de W son <<estados de la naturaleza», o situaciones de las que depende el resul tado de su decisión y en las que no puede incidir. Del mi smo modo, para W , las alternativas de L son estados de l a naturaleza.
D ado que lo que un jugador ( L ) gana lo pierde el otro (W), se trata de un
j uego de suma nu la en el que el saldo neto, para el conjunto de l os jugadores,
vale cero.
En la tab la l .5 se recoge la matri z de decisión junto con los míni mos resultados correspondientes a l as estrategias de L y los máx imos que se pueden
derivar de las altern ativas de W.
TOMA DE DECISIONES
9
Con un criterio prudente, W puede actuar limitando su pérdida de beneficios
máxima (criterio minimax) y seguir la estrategia X, con la que se asegura de
que no tendrá una pérdida superior a 272 millones de u.m. Con el mismo criterio prudente, basado en garantizarse un beneficio anual tan elevado como sea
posible (criterio maxirnin) L optaría por la estrategia C, con la que se aseguraría
de que su beneficio no fuera inferior a 272 millones de u.m. Si los dos jugadores actúan de este modo, la solución del juego es que la empresa L gana, y la
W pierde, 272 millones de u .m. de beneficio anual.
Estrategias
de L
A
200
300
340
200
B
260
320
320
260
e
272
280
300
272
272
320
340
Máximos
Minimax
TABLA 1.5
Problema 1.1.7
Criterios de decisión en situación de incertidumbre
Plasted es una empresa dedicada a la fabricación de diversos plásticos
que va a crear una nueva fábrica dedicada a la producción de un nuevo material
que sustituye, con ventajas de peso y de resistencia a la corrosión, a varios metales empleados en la industria del automóvil. Las alternativas de decisión existentes son:
A) Construir una fábrica intensiva en mano de obra.
B) Construir una fábrica intensiva en equipos de producción y con escasa
necesidad de mano de obra.
C) Construir una fábrica medianamente intensiva en mano de obra y en
equipos de producción.
El criterio de decisión es minimizar los, costes de producción, y éstos dependen de la evolución de los costes de la mano de obra y de los de mantenimiento y reparación (M + R) de los delicados equipos de producción que
son necesarios si no se utiliza intensivamente el factor trabajo. Existen, por
consiguiente, cuatro situaciones, o estados de la naturaleza, posibles:
I: Mano de obra barata y costes de M + R bajos.
11: Mano de obra barata y costes de M + R elevados.
111: Mano de obra cara y costes de M + R bajos.
IV: Mano de obra cara y costes de M +Relevados.
10
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Tras los di versos estud ios reali zados, se estima que los costes globales de l
proyecto en cuestió n, según cual sea la alternati va elegida y el estado del
mundo o de la naturaleza que se presente, son los de la tabla 1.6 (en mill ones
de u.m.).
A
Estrategias
TABLA 1.6
B
270
1200
300
1230
e
285
1650
315
1380
Se desea saber si ex iste alguna estra tegia dominada y determinar las estrategias preferibles según los distintos criteri os de decisión aplicables en situac ión de incertidumbre.
RESOLUCIÓN
E videntemen te, la alternativa Ces una estrategia dominada que nunca debería ser selecc ionada . Si el estado de l a naturaleza fuera el 1, la mejor alternati va sería la B , a la que le corresponde el menor de los costes . Si se diera la
situación n, la mejor estrategia sería la A, y la B sería la preferible si se presentara el estado III . D e forma semejante, la alternati va A es la preferi ble si la
situación que se produce es la I V. Por consiguiente , la alternati va C no es preferible en ninguno de los casos (está dominada por la B) y ha ele ser el iminada
en el análi sis, por lo cual la nueva matri z de decisión es la ele la tab la 1.7.
A
300
B
270
Estrategias
TABLA 1.7
1200
300
1230
Entre estas dos altern ati vas, A y B , no ex isten relaci ones ele dominio.
En cuanto a la determinación ele la alternati va óptima, teniendo siempre en
c uenta que, en este caso, no se trata ele max imi za r los resultados, sino ele mi nimi zar los costes, los criteri os aplicables son los sigui entes :
a) C ri teri o de Laplace, o de ig ual verosimilitud . L a alternati va ópt i ma
será aquell a a la q ue le corresponda el menor coste medio (C), siendo
los costes medios de las dos estrategias (o costes esperados en situación
de igual verosimil itud ) los siguientes:
TOMA DE DECISIONES
11
300 + 330 + 900 + 930
C A = - - - - - - - - - - - = 615 millones de u.m.
4
eA =
270 + 1200 + 300 + 1230
4
= 750 millones de u.m.
Por tanto, según el criterio de Laplace, la estrategia óptima es construir una fábrica intensiva en mano de obra (alternativa A).
b) Criterio optimista o, en este caso, minimin. En la tabla 1.8 se recogen, en
millones de u.m., los costes mínimos bajo cada estrategia (así como los
máximos, que serán útiles en la aplicación del criterio pesimista).
A
Estrategias
TABLA 1.8
B
270
1230
Según el criterio optimista, la estrategia preferible es la de construir
una fábrica intensiva en equipos de producción (B), a la que le corresponde el mínimo de los costes posibles.
e) Criterio pesimista o, en este caso, minimax. Según la tabla 1.8 anterior,
la decisión óptima es construir una fábrica intensiva en mano de obra alternativa A), pues, con ello, se asegura que los costes no superarán los
930 millones de u.m .
d) Criterio de optimismo parcial de Hurwicz. Dado que el enunciado del
problema no indica cuál es el coeficiente de optimismo, a, que ha de
aplicarse al mejor de los resultados (es decir, al menor de los costes), habrá de calcularse para qué valores de a es preferible una u otra alternativa. Los coeficientes de optimismo para los cuales es preferible la
primera estrategia que la segunda serán los valores de a para los cuales
se cumple que:
HA= 300a + 930(1 -
a)< 270 + 1230(1 - a)= H 8
En este caso, una estrategia, i, es tanto mejor cuanto menor sea el valor
de H;. Es decir, que A será preferible a B cuando:
930 - 630a < 1230 - 960a -
330a < 300 -e. a< 0,9091
La opción A es preferible a la B para coeficientes de optimismo inferiores
al 90,91 por 100; es decir, para los comprendidos entre O y 0,9091. Para coeficientes de optimismo superiores a O,9091 e inferiores o iguales al 100 por
100, es preferible la estrategia B. Ambas alternativas son indiferentes cuando
a= 0,9091.
12
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Por o tra parte, c ua ndo a = O (cri te rio pes imista), se obtie ne:
H" = 930
y
H 11 = 1230
y c uando a = 1 (cri terio o ptim ista):
H" = 300
y
Estós resultados se han s inteti zado e n la fi g ura 1.1.
1230
930
300
270
FIGURA 1.1
o
0,9091
a
e) C rite ri o del mínimo pesar de Savage. Bajo cada estrategia y cada estado de la naturaleza, el pesar es la dife rencia e ntre el coste q ue corresponde e n cada caso y e l mínimo correspondie nte a ese estado. As í se ha
fo rmad o la matriz de pesares de la tabla 1.9.
E l máximo pesar de cada alte rnativa es, aquí, e l máximo sobrecoste e n e l
que se puede inc urrir po r no ace rta r e n la decis ión. E l mínimo , entre los máx imos pesares, corres ponde a la decis ió n de construi r la fá brica inte ns iva e n
ma no de obra (A) , que será la preferible bajo este c ri terio.
TOMA DE DECISIONES
13
A
30
o
600
o
600
B
o
870
o
300
870
Estrategias
TABLA 1.9
Problema 1. 1.8
Criterios de decisión en situación de incertidumbre
En la matriz de decisión de la tabla 1 .10 se recogen los resultados asociados
a cada una de las estrategias (E,, E 2 y E 3 ) que puede seguir la empresa Ciuned,
según cual sea el estado de la naturaleza (S 1, S2 o S3) que se presente:
280
Estrategias
TABLA 1.10
180
260
240
220
240
232
Se desea saber si hay alguna estrategia dominada y cuál es la alternativa preferible, según los diferentes criterios de decisión aplicables en situación
de incertidumbre, si la empresa desea obtener un resultado tan elevado como
sea posible.
RESOLUCIÓN
En la tabla 1.11 se señala la alternativa preferible bajo cada estado de la naturaleza .
.
..
TABLA 1.11
No hay ninguna alternativa de decisión que no sea idónea en algún caso, por
lo cual no existe ninguna estrategia dominada.
En cuanto a la determinación de la alternativa óptima, los criterios son los
siguientes:
14
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
a) Crit eri o de Laplace. Deno minando R;, al resultado medio derivado de la
es trategia S;, se obt iene:
/? I =
R2 =
RJ =
200 + 220 + 280
3
180 + 260 + 240
= 233,33
=
226,67
=
230 ,67
3
220 + 240 + 232
3
Dado que se trata de un caso de maxi mi zación, l a estrategia ópti ma,
sigui endo el criterio de Laplace, es la E 1 •
b) C riteri o optimi sta . L a estra tegia a l a que le corresponde el máx imo resultado posib le (280) es la E 1 • Ésta es, por tanto, la mejor al tern ati va
según el criterio 111axi111ax.
e) Cr iterio pes imista o de Wa ld. Bajo la estrategia E 1 el mínimo resul tado
es 200 en tanto que 180 es el mínimo correspondiente a la altern ativa E,
y 220 el que corresponde a la E1 . Por consiguiente, el mayor de los mí=
nimos se obtiene con la estrateg ia E,, y ésta es la altern ati va preferibl e
·
segú n el criteri o de W ald.
d) Criterio ele Hurwicz. En la tabla 1.12 se recogen los resu ltados máx imos
y mínimos que pueden obtenerse baj o cada una de las al ternati vas de decisión y el valor ele la H correspondiente a cada una ele ellas según el valor del coeficiente ele opt imi smo, a .
TABLA 1.12
280
200
C't280 + (1 - C't)200
260
180
a 260 + (1 - a) 180
240
220
a 240 + ( 1 - a )220
Es cleci r:
f-1 1 = a280 + ( 1 - a)200 = 80a + 200
f-1 2 =
a260 + ( 1 - a) 180 = 80a + 180
f-/ 3 = a240 + ( 1 - a)220 = 20a + 220
Dado que, para cua lquier valor ele a comprendido entre O y 1, f-/ 1 es mayor
que f-/2 , según este criteri o l a estrategia E 1 es siempre preferible a la E2 .
TOMA DE DEC ISIO NES
15
E 1 será preferible a E 3 para aquellos valores de a tales que:
H 1 > H 3 -+ 80a + 200 > 20a + 220 -+ 60a > 20 -+ a > 1/3
La estrategia E, , es mejor que la E 3 para valores de a comprendidos entre 1/3 y la unidad.
E 2 será preferible a E 3 para los valores de a tales que:
H 2 > H 3 -+ 80a + 180 > 20a + 220 -+ 60a > 40 -+ a > 2/3
La estrategia Ez es mejor que la E 3 para valores de a comprendidos entre 2/3 y la unidad.
Por otra parte , cuando a = O (criterio pesimista):
H, = 200
Hz= 180
H3 = 220
y , cuando a = 1 (criterio optimista):
H 1 = 280
H 2 = 260
H 3 = 240
Estos resultados se han sintetizado en la figura 1.2, en la que se observa que ,
según el criterio de Hurwicz , para valores de a comprendidos entre O y 1/3 es
preferible la estrategia H3 y a partir de este coeficiente de optimismo la estrategia preferible es la H 1• Si se aplica este criterio de optimismo parcial, la estrategia Hz no es aplicable cualquiera que sea el coeficiente de optimismo que
se considere adecuado.
280
260
260
240
240
220
200
180
FIGURA 1.2
16
o
1/3
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
2/3
a
e) C rite rio de Savage. En la tabla 1. 13 se recoge la ma triz de pesa res correspondiente a este c aso:
40
40
Estrategias
o
TABLA 1.13
20
48
48
Según este c ri te rio ele limitac ión del máx imo pesar , las estrategias E 1 y E2
son ig ualme nte preferibles sobre la estrategia E3 .
Problema 1. 1.9
Juego de suma nula
S upon ie ndo que S" S 2 y S 3 fu e ra estrategias que puede e legir e l clecisor B y
que los res u ltados recogidos e n la matriz ele dec is ió n del en unciado del proble ma anterior fu e ran las pérdidas experimentadas por este decisor y las ganancias obtenidas por e l jugador A (Ciunecl que pue de e legir e ntre las estrateg ias E 1 , E2 y E3 ), se desea sabe r c uál es la solución del j uego .
RESOLUCIÓN
En la resoluc ión del proble ma anterio r se comprobó q ue ning una ele las estrategias de A está domi nada. En c uanto a B, en la tabla 1.14 se recogen las mejores estrategias para cada al terna t iva e legida por A.
TABLA 1.14
Las estrategias S2 y S3 , de B, se e nc uentran dominadas por la alternativa S 1•
Cua lqu ie ra que sea la decisió n de A, la mejor elecc ió n de B es la estrategia S 1 ,
con la que cons ig ue la menor pé rd ida posible en cada caso. Por tanto, B se dec idirá por la alte rn ativa S 1 y , como A sabe que B actuará de este modo , e legirá
la estrategia q ue le proporcione la mayo r gana nc ia bajo esa elección de B; es
dec ir , la estrateg ia E1 . Con e llo , la so luc ión del juego es que A ga na , y B
pierde, 220.
·
TOMA DE DEC ISIO NES
17
Problema 1.1.10
Criterios de decisión en situación de incertidumbre
En la matriz de decisión de la tabla 1.15 se recogen los resultados asociados a cada una de las estrategias (E 1 , E 2 y E 3 ) que puede seguir la empresa
Un isa según cual sea el estado de la naturaleza (S 1 , S2 o S3) que se presente.
Estrategias
TABLA 1.15
880
800
1160
1000
700
960
960
880
920
Tales resultados son tanto más adversos a Unisa cuanto mayores son sus valores. Se desea saber si hay alguna estrategia dominada y cuál es la alternativa
preferible según los distintos criterios de decisión aplicables en situación de incertidumbre.
RESOLUCIÓN
En este caso la empresa trata obtener un resultado lo más pequeño posible.
Las estrategias óptimas bajo cada uno de los estados se recogen en la tabla 1.16.
TABLA 1.16
Evidentemente, en este caso ninguna estrategia está dominada.
En la tabla 1.17 se recogen los datos precisos para resolver el problema de
acuerdo con los criterios de Laplace , optimista, pesimista y de Hurwicz.
TABLA 1.17
18
946,67
1160
800
H, = a800 + (1 - a) 1160 = 1160 - 360a
886,67
1000
700
H2 = a 700 + (1 - a )1000 = 1000 - 300a
920
960
880
H3 = a 880 + (1 - a )960 = 960 - 80a
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Parti endo del cr iteri o de Laplace , la mejor estrateg ia es la E, .
Según el criteri o opt imi sta (111i11i111i11 , en este caso), la estrateg ia óptima es
la E, .
Óe acuerdo con el criteri o pes i mi sta (111i11i111ax, en esta ocasió n) la alternati va preferible es la E 1 . En cuanto al criteri o de Hu rw icz, se tiene que:
- La estrateg ia
será pre l'erible a la E2 para los va lores de a tales que:
Ei
Es dec ir:
1160 - 360a < 1000 - 300a -
160 < 60a -
a > 2 ,67
E 1 sería preferible a E2 para valores de a superi ores a 2,67, pero este coef iciente sólo puede tomar valores comprendidos entre O y 1. Por consiguiente,
la estrategia E 1 nunca es prefer ible a la E 2 , ele acuerdo con este criteri o. Dicho
ele otro modo, para cualquier valor adm isibl e ele a, E2 es mej or que E 1 •
- La estrategia E 2 será pref eribl e a la E, para los valores de a tales que:
H2 < H3
O , lo que es lo mismo:
1000 - 300a < 960 - 80a -
40 < 220a -
a > O, 18 18
Para los valores de a comprend idos entre O y O, 1818 es preferible la estrategia E3 . A partir de este valor del coeficiente ele opti mi smo, y hasta la unidad, es preferibl e la alternativa E, .
Por otra parte, cuando a = O (criteri o pesimista) :
H I = l 160
H 2 = 1000
H 3 = 960
Y cuando a= 1 (criteri o optimista):
H I = 800
H 2 = 700
H 3 = 880
Los resultados obtenidos se han rep resentado en la fi gura 1.3 , en la que se
obser va que , según este criterio, l a alternati va E 1 no es preferib le en ning ún
caso , que la E, es l a mejor para el decisor que aplica un coefic iente de o pti mi smo in feri oi· al 18 ,18 por 100 y que, a partir de este valor del coefi ciente, es
preferibl e la estrategia E, .
En cuanto al cr iteri o de Savage, en la tabla 1.1 8 se recoge la matri z de pesares .
TOMA DE DEC ISIONES
19
1 .
Estrategias
TABLA 1.18
o
100
240
240
120
o
40
120
80
180
o
180
La estrategia óptima, según el criterio de Savage, es la E 2 , a la que le corresponde el mínimo entre los máximos pesares en los que se puede incurrir.
1160
880
800
1000
960
700
FIGURA 1.3
20
O
0,1818
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
a.
Problema 1.1.11
Juego de suma nula
En la s iguiente mat ri z, P es e l pe rdedo r y Ges el ganador . ¿C uá ntos puntos
de s illa ex iste n?
A
Estrategias
de G
B
e
TABLA 1.19
30
- 30
- 15
RESOLUCIÓN
C ua ndo , como e n este caso , las co lumnas se corresponden con las posibles
decis iones del perdedor y las filas con las del ganador , la técnica más , senc illa
para encontrar un punto de s illa es determina r un número que sea el menor de
su fila y e l mayo r de su columna. E n la fila A el menor número es - 150 (G
pie rde y P gana 150), pero no es el mayor de su columna. En la fi la 8 , e l número más bajo es -75 (G pierde y P gana 75), pero ta mpoco es el mayo r de su
columna. Finalmente, en la fila C , el menor número es - 30 (G pie rde y P gana
30), pero tampoco éste es e l mayor de su columna. Por consig uie nte , no ex iste ning ún punto se si ll a.
Problema 1.1.12
Juego de suma nula
En la s ig uie nte matriz, P es el perdedo r y Ges el ganador . ¿Cuántos puntos
de silla existen?
A
Estrategias
de G
TABLA 1.20
B
240
60
96
e
144
96
108
TO M A DE DECISIONES
21
RESOLUCIÓN
No hay ningún punto de silla porque no existe ningún número que sea el rrúnimo de su fila y el máximo de su columna.
Problema 1.1.13
Juego de suma nula
En la siguiente matriz, Pes el perdedor, y Ges el ganador. ¿Cuántos puntos de silla existen?
Estrategias
deG
TABLA 1.21
A
- 300
20
B
-200
- 20
e
- 400
- 20
- 10
RESOLUCIÓN
En este caso existe un punto de silla: -200, que es el menor de su fila y el
mayor de su columna.
Problema 1.1.14
Juego de suma nula
En la siguiente matriz, Pes el perdedor y Ges el ganador. ¿Cuántos puntos
de silla existen?
Estrategias
deG
TABLA 1.22
A
- 200
100
40
B
200
- 100
- 40
e
40
- 40
- 20
RESOLUCIÓN
Para que exista un punto de silla debe determinarse aquel número que sea el
menor de su fila y el mayor de su columna. En este caso, no encontramos ning uno con esas características por lo que no habrá ningún punto de silla.
22
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 1.1.1s
Juego de suma nula
En la siguiente matriz, P es el perdedo r , y Ges el ganador. ¿C uántos puntos de silla ex isten?
Estrategias
A
100
250
220
B
300
150
180
e
220
180
190
de G
TABLA 1.23
RESOLUCIÓN
Para que ex ista un punto ele silla debe determinarse aquel número que sea el
menor ele su fi la y el mayor ele su columna. En este caso, no encontramos ninguno con esas características por lo que no habrá ningún punto de silla.
Problema 1.1.16
Juego de suma nula
E n la siguiente matriz, P es el perdedor , y Ces el ganador. ¿Cuántos puntos de silla ex i sten?
Estrategias
de G
TABLA 1.24
A
o
- 100
100
B
o
o
200
e
-100
-200
300
RESOLUCIÓN
En este caso, ex isten dos números, (los dos ceros de la fila B , resa ltados en
la siguiente tabla), que cumplen con la condic ión ele ser el menor ele su f ila y el
mayor ele su co lumna . Po r consig uiente, ex isten dos puntos ele silla.
A
Estrategias
de G
TABLA 1.25
o
-100
200
B
e
100
-100
-200
300
TOMA DE DECISIONES
23
Además, este juego es justo , pues su solución vale cero. Se dice que un juego es justo cuando ningún jugador tiene ventaja sobre el otro.
Problema 1.1.11
Juego de suma nula
En la siguiente matriz , Pes el perdedor y Ges el ganador. ¿Se puede eliminar alguna estrategia? ¿Cuál es la solución del juego?
Estrategias
de G
TABLA 1.26
A
100
200
400
B
100
o
500
e
o
100
-100
RESOLUCIÓN
Se puede eliminar una estrategia cuando está dominada por otra, es decir, si
existe otra estrategia que siempre es al menos tan buena como ésta, sin importar
lo que hace el oponente. El jugador P no tiene ninguna estrategia dominada, pero,
en cuanto al jugador G, su estrategia C está dominada por la A , pues, haga lo que
haga P, G siempre obtiene un resultado mejor con la estrategia A que con la C.
Al eliminar la fila correspondiente a la estrategia C, se obtiene la matriz de
la siguiente tabla:
Estrategias
de G
TABLA 1.27
A
B
100
o
500
Esta será la tabla que tendrá en cuenta el jugador P, pues sabe que G nunca seguirá la estrategia C. Al hacerlo, P observa que su estrategia Z está dominada por las otras dos , pues siempre pierde más con esa estrategia que si sigue la X o la Y. Con lo cual, eliminará esa columna, y obtendrá la de la
siguiente tabla:
Estrategias
deG
TABLA 1.28
24
A
100
200
B
100
o
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
El jugador C sabe que P elim inará la estrateg ia Z, por lo cual tomar á su dec isió n teniendo en cuenta esta última matriz, y, al hacerl o, se encontrará con
que su elección B se está domi nada por la A, po r lo cual l a eliminará y obtendrá l a sig ui ente " tabla":
TABLA 1.29
Estrategias
de G
A
100
200
Por consiguiente, G eli girá la ún ica estrateg ia que le resta (A) y P, que lo
sabe, elegirá X (esta estrateg ia domina a la Y) , con lo cual l a sol ución del j uego es que C gana, y P pierde, 100. El punto de silla se encuentra en el cruce de
la fi l a A con la columna C.
Problema 1.1.18
Juego de suma nula
En l a siguiente tabla se recogen los resultados correspondientes a las di stintas estrategias que pueden seguir los jugadores C (A, B , y C), que es el ganador , y P (estrategias X , Y, y Z) que es el perdedor. Se desea cuántos puntos ele
sil la ex isten.
Estrategias
de G
TABLA 1.30
A
6
15
-35
B
-6
-15
35
e
-3
-6
6
RESOLUCIÓN
No ex iste ni ngún número que sea el menor de su fila y el mayor de su columna. Por consiguei nte, este juego no tiene ningún punto de sill a.
TOMA DE DECISIONES
25
Problema 1.1.19
Juego de suma nula
¿Cuántos puntos de silla existen en el juego sintetizado en la matriz de la siguiente tabla , en la que Ges el ganador y Pes el perdedor?
Estrategias
deG
TABLA 1.31
A
320
350
B
280
250
e
290
-100
280
RESOLUCIÓN
En la fila A, el menor número es el O, pero no es el mayor de su columna. En
la fila B , el menor número es 100 y, además, es el mayor de su columna (la columna X). En la fila C, el menor número es -100, pero no es el mayor de su columna. Por consiguiente el único número que es el menor de su fila y el mayor de
su columna es 100, que es donde se encuentra el único punto de silla. La solución
del juego es que G gana y B pierde 100.
Problema 1.1.20
Juego de suma nula
En la siguiente matriz , A, By C son las estrategias del perdedor, y X, Y y Z
son las del ganador. ¿Cuántos puntos de silla existen?
TABLA 1.32
A
15
30
27
B
35
20
23
e
27
23
24
RESOLUCIÓN
A diferencia de los casos anteriores, en este las estrategias del ganador se encuentran en columnas y las del perdedor están en las filas. Por consiguiente,
para resolver el juego ha de encontrarse el número que sea el mayor de su fila y el
menor de su columna. El mayor de la fila A es 30, pero no es el menor de sucolumna, por lo que no se trata de un punto de silla. En la fila B , el mayor es 35, pero
tampoco es el menor de su columna. Y en la fila C, el mayor es 27, que tampoco
es el menor de su columna. Por consiguiente, no existe ningún punto de silla.
26
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
2. La entropía
Problema 1.2. 1
La entropía
¡_Cuál es la enl ropía asot:iacla al lanzamicnlo de una moneda perfecta?
RESOLUCIÓN
En teoría ele la información como medida de la cantidad ele informat:ión asociada a un suceso, h, se util iza el logaritmo del recíproco ele su probabilidad . P:
h( P) = log ( 1/ P) = - log (P)
H abitualmente, se tornan logaritmos bi narios. Po r ej empl o, la información asociada a obtener «cara» (suceso C) al lanzar un a moneda vale un «bit»:
h( 1/2) = - log2 ( 1/2) = 1 bit
y, ev identemente, también valdrá un bit la información deri vada ele obtener
«cru z» (suceso X) en el lanzamiento, pues la probabil idad ele este suceso también vale un medio .
También es evidente que antes del lanzamiento ele la moneda no es posible
saber si saldrá cara o si saldrá cru z. No obstante, la esperanza 11,ate111cítico del
valor de lo infor111ación, también denominada entropía , H, será ig ual al primer
valor probable (va lor ele la in formac ión si se da el primer caso: cara) por su probabil iclacl (0,5), más el segundo valor probable (valor de la inform ación si se da
el segundo caso : cru z) por su probabilidad (0 ,5) . Es decir:
H = PJ1(P..) + PJ1(P.) = 0,5 X 1 + 0 ,5 X 1 = 1 bit
Por consiguiente, la en tropía asociada al lanzam iento de una moneda perfecta vale I bit. En realidad , en ese caso, es seguro que se obtendrá I bit de información en el lanzamiento, pues ésta es la in formació n asoc iada tanto a la obtenció n de cara como a la o btenció n de cru z.
Problema 1.2.2
La entropía
Supongamos que, en rel ac ión a la moneda de l problema anteri o r. q ue
creíamos perfecta , alguien nos da el siguiente mensaj e: «la moneda no es
perfecta, sino que ex iste una probabilidad del 25 por 100 de que salga cara».
¿Cuánto vale ahora la entropía?
RESOLUCIÓN
Denominando Q a las nuevas probabilidades deri vadas del mensaje, en este
caso la in fo rmación deri vada del suceso «oblener cara» va le:
h(Q) = log2 ( 1/0,25) = log 2 (4) = 2 bits
TOMA DE DECISIONES
27
siendo la de «obtener cruz»:
h(Q) = log2 (1/0,75) = log2 (1,33) = 0,415 bits
Como puede observarse, y es razonable, la información que se derivaría de un
suceso es tanto mayor cuanto menos probable es ese suceso. En los extremos, el
acaecimiento de un suceso que era seguro que iba a producirse (probabilidad igual
a la unidad) no proporciona ninguna información (ya se sabía que se produciría):
h(l) = log2 (1/1) = O
en tanto que la información derivada del acaecimiento de un suceso imposible
es infinita:
h(O) = log2 (1 /0) = co
La entropía, o información esperada, en el caso de la moneda imperfecta será:
H = Qch(Q) + Q,h(Q) = 0,25 X 2 + 0,75 X 0,415 = 0,81125 bits
Al tenerse más información que en el problema anterior (gracias al contenido informativo del mensaje), la información esperada del lanzamiento de la
moneda (la entropía o desorden del sistema) es menor.
Problema 1.2.3
La entropía
¿Cuál es la información de canal, o información esperada, del mensaje a que
se refiere el problema anterior?
RESOLUCIÓN
Si se obtuviera cara, la modificación en la información que habría provocado el mensaje sería:
h(P) - h(Q) = - log2 (P) + log2 (Q) = log2 (Q/ P) =
= 1 - 2 = - 1 = log2 (0,25/0 ,5)
Si, por el contrario, se obtuviera cruz:
h(P) - h(Q) = - log2 (P) + log 2 (QJ = log2 (Q/ P) = 1 - 0,415 =
= 0,585 = log2 (0 ,75/0,5)
Los valores probables de la información del mensaje son -1 (con una probabilidad del 25 por 100, pues ésta es ahora la probabilidad de que salga
cara) y 0,585 (con una probabilidad del 75 por 100). Por tanto , la información
de canal, o valor esperado de la información del mensaje, vale:
l(Q : p) = Qc log2 (Q/ P) + Qx log2 (Q/ PJ = 0,25(-1) + 0,75 X 0,585 =
= 0 ,18875 bits
28
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 1.2.4
La entropía
Como se verá en el caso del próx imo problema 1.4.7 , la probabilidad a prior i de encontrar agua en el subsuelo de un terreno era el 60 por 100, siendo del
40 por 100 la de no encontrar la. U tili zando el amlli sis bayes iano se dedujo que
tras utilizar un detector ele agua y que éste señal a que la había, la probabil idad
de que la hu biera pasaba a ser del 87 ,0968 por 100 , siendo del 12 ,9032 por 100
la de que no hubiera agua. Se desea conocer la entrop ía antes de util izar el detector , y des pués de util izarlo y que señale que hay agua, así como la info rmación ele canal del mensaje del detector .
RESOLUCIÓN
Siendo A el suceso «q ue haya agua» y NA el suceso «que no haya agua»,
antes de util izar el detector lo s d lcul os son los siguientes :
H = P11 h(P11 ) + PN1/1(PN11 ) = 0 ,6 log 2 ( 1/0 ,6) + 0 ,4 log2 ( J/0 ,4) =
= 0 ,6 X 0 ,737 + 0,4 1 X 1,322 = 0 ,97 1O bits
T ras la in fo rmación del detector , introduciendo las nuevas probabi l idades,
se obtiene:
H' = Q 1/1(Q11 ) + QN11 h(QN11 ) = 0 ,87 1 log ( 1/0 ,87 1) + O, 129 log ( 1/0 ,129) =
= 0 ,87 1 X 0 ,1993 + 0 ,129 X 2,9546 = 0,5547 bits
En cuanto a la in formac ión de canal , los resul tados son los siguientes :
/ (Q: P) = Q11 log 2 (Q1/P11 ) + QNA log 2 (QN)PN,) =
= 0 ,87 1 log2 (0 ,87 1/0 ,6) + 0 , 129 log2 (0 ,129/0,4) =
= 0 ,87 l X 0 ,5377 + 0 ,129 X ( - 1,6362) = 0 ,2577 bits
Problema 1.2.5
La entropía
¿Cuál es la entropía asociada al lanzamiento de una moneda perfecta, si la
i nformación se mide en nits?
R ESOLUCIÓN
Cuando se uti lizan logar it mos neperi anos la infor mac ión se mide en nits:
h(P) = h(P.) = - In ( 1/2) = 0 ,693 1 nits
H = P)1( P,.) + PJ1(P)
= 0 ,5 · 0 ,693 1 + 0,5 · 0 ,693 1 = 0 ,693 1 ni ts
TOMA DE DECISIONES
29
Problema 1.2.6
La entropía
En principio pensábamos que una moneda era perfecta, pero recibimos
un mensaje que dice que existe una probabilidad del 25 por 100 de que salga
cara. Si la información se mide en nits , ¿cuál es la información de canal de ese
mensaje?
RESOLUCIÓN
/(Q: P) = Q ln
e
Problema 1.2.7
[g_] +
Pe
Q ln [ ~] = 0,25 ln
'
P,
75
[º,25]
+ 0,75 [º• ] = 0,1308 nits
0,.5
0,.5
ln
La entropía
¿Cuál es la información de canal del mensaje del ejercicio anterior si la
información se mide en bits?
RESOLUCIÓN
Tomando logaritmos en base 2 1:
/(Q: P) =0,25 log2
[º•0,525 ] + 0,75 log O,0,575 ] = 0,25x (- 1) + 0,75 x0,58496 =0,J887bits
2[
La relación existente entre los nits y los bits es la siguiente:
1
1 nit = - - bits = 1,4427 bits
ln2
Como puede comprobarse en este caso:
I(Q:P) = 0,1308 nits = 0,1308 1,4427 bits= 0,1887 bits
Problema 1.2.8
La entropía
¿Cuánto vale la entropía asociada al lanzamiento de un dado pe1fecto cuando
la información se mide en nits?
1
Para calcular el logaritmo en una base determinada a (2, en este caso) de un número , cuando se dispone de los logaritmos en otra base b (e , en el caso de logaritmos neperianos, o 10, en el caso de logaritmos decimales), se procede del
siguiente modo:
log (n)
log (n) = =
a
logb(a)
30
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Si el dado es perfecto, todas las caras tienen la mi sma probabilidad , es decir,
un sexto. Por consiguiente, en ta l caso:
/,(? 1) = h(I\) = l, (P 3) = h(P.1) = h(P5 ) = h(F\) = - In
f-1=
(-t
(t)
= 1,79 18 nits
1, 79 18) 6 = 1,79 18 nits
La entropía asoc iada al lan zamiento ele un ciado per fec to vale 1,7918 nits.
Problema 1.2.9
La entropía
Se recibe un mensaj e que dice que un ciado que se creía perfecto no lo es, sino
que existe una probabilidad ele un quinto ele que salga la cara ele un pu nto, y una
probabilidad ele un cuarto ele que salga la cara ele dos puntos. Las otras caras
tienen la misma probabilidad. ¿Cuánto va le, en nits, la entropía asociada al
lanzamiento ele este ciado?
RESOLUCIÓN
pi=
5l =0 ,20
p2 = -4l = o,25
h(P 1 ) = - ln(0,20) = 1,6094 ni ts
h(P) = - ln (0 ,25) = 1,3863 nits
h(P 3 ) = h(P4 ) = h( P5 ) = h(P6 ) = - ln(0, 1375) = 1,984 1 nits
/-/ =0,20x 1,6094+0,25 x 1,3863+4x 0 ,I 375x J,984 1 = 1,7597 1 n its
En este caso, la entropía vale 1,75971 nits.
TOMA DE DECISIONES
31
Problema 1.2.10
La entropía
¿ Cuánto vale, la información de canal del mensaje al que se refiere el
problema anterior, en nits?
RESOLUCIÓN
l(Q:P)
Problema 1.2.11
=O'201n( 0,1/620) + O'25 ln ( 0,1/625 ) + 4 x O'13751n(º•1375
)= O'032025 nits
1/6
La entropía
¿ Cuánto vale la información de canal del mensaje al que se refieren los dos
problemas anteriores si la información se mide en bits?
RESOLUCIÓN
La equivalencia entre nits y bits es la siguiente:
1 nit = _ l _
ln2
bits = 1,4427 bits
Por consiguiente; en este caso
l(Q:P) = 0,032025 1,4427 bits= 0,04620 bits
3.
El valor del dinero en el tiempo
Problema 1.3. 1
El valor del dinero en el tiempo
Una persona, B , ha de devolver a otra persona, A, 10.000 u.m. que le debe,
pero le pide que le aplace la deuda hasta dentro de unos años. Si A puede colocar sus capitales al 10 por 100 anual acumulativo, con el mismo riesgo que tiene que B no le pague ¿qué capital le exigirá que le entregue dentro de un año?
¿ Y si se retrasa dos años en el pago? ¿y si fueran 3 los años de aplazamiento?
RESOLUCIÓN
Si A recibiera actualmente las 10.000 u.m ., podría invertirlas al 10 por cien
y, al cabo de un año, tendría:
10.000 + 0,10 X 10.000 = 10.000(1 + 0,10) = 11.000 u.m.
Se dice que 10.000 u .m. ahora es financieramente equivalente a 11.000 u.m.
dentro de un año. Si B se retrasara un año, A le exigiría 11.000 u.m.
32
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Si tampoco recibiera las 11 .000 u.m. dentro de un año, sino que tuviera que
esperar un segundo año , ex ig i ría otro 10 por 100 ele rentabi l idad , es decir,
12. 100 u .m. pues podría coloca r las 1 1 .000 u .m. durante ese año:
11.000(1 + 0 , 10) = 10.000( 1 + 0, 10)(1 + 0 , 10) = 10.000( 1 + 0 ,10)2 =
= 12.100 U.111.
Del mi smo modo, 10 .000 u.m. colocadas ahora al 10 por 100, al cabo de
tres años se habrán transformado en 13 .3 1O u .m .:
10.000(1 + 0 , 10)( 1 + 0, 10)( 1 + 0,10) = 10.000(1 + 0 , 10)3 = 13 .3 10 U.111.
Esta será la ca ntidad que exigirá el acreedor si se le paga con tres años ele
aplazamiento.
Por consiguiente , si el tipo ele valoración es el 10 po r 100 anual acumulativo, so n financieramente equivalentes:
-
10.000 u.m. di sponibles ahora.
11.000 u .m. d isponibles dentro de un año.
12. 100 u.m. disponibles dentro de dos años.
13 .3 10 u.m. disponibles dentro de tres años.
~
10.000(1 + 0,10)'
Capitales financieramente
equivalentes
10.000(1 + 0,10)3 =
= 13.310
FIGURA 1.4
o
2
3
Años
TOMA DE DECISIONES
33
Problema 1.3.2
El valor del dinero en el tiempo
Una persona que ha de percibir, dentro de tres años, 13.310 u.m. recibe el
ofrecimiento de su deudor de adelantar el abono de esa deuda. Si el acreedor puede colocar los capitales al 10 por 100 anual acumulativo, ¿qué importe exigirá
percibir si el pago se realiza actualmente?¿ Y si se realiza dentro de un año?¿ Y
si se efectuara dentro de dos? Supóngase que no existe inflación (figura 1.5).
RESOLUCIÓN
Si actualmente percibiera una cantidad igual a
13.310
- - - --u.m.
(1 + 0 ,10)3
colocándolas al 10 por 100, al final de los tres años obtendría:
13 310
·
[ (1 + 0,10) 3
]o+
O 10)3 = 13.310 u.m.
'
13.310(1 + 0,10),_,
~
Capitales financieramente
equivalentes
\
~
31:
/!·~~~º
::!
13.31 O
,1-0,-)2-(-1_+_O_
1,•
= 11.000
1
i
13 .310
(1 + o,10)3
= 10.000
i
!
FIGURA 1.5
34
o
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
2
3
t
Años
A l acreedor le resul tará equival enle percib ir ahora
n
13.3 10
- - -- - = I _.000 u.m.
( 1 + O, 10) 3
que 13 .3 1O u .m. dentro de tres años, pues, colocando las 10.000 u .m . al IO por
100 , al cabo de los tres años tendría igual mente 13.3 10 u.m. Por consiguiente,
si el pago se efectúa actualmente, ex igi rá 10.000 u.m.
De forma se mej ante, si el pago se real izara dentro ele un año, ex ig iría
13.3 10
- - - - = 11.000 U.m.
( 1 + 0 ,10)2
pues, co locando estas 11.000 u.m. durante los dos años que transcurren desde
el f"inal del primero hasta el final del tercero, obtend ría:
13.3 10
] ( 1 +0 ,10)2 = 13.3 10u.m.
[ ( 1 + 0 , 10)2
Y , como ya resulta obvio , si el pago se efectuara al fin al ele segundo año.
ex ig iría:
13.3 10
- - --= 12.J 00 u.m.
1 + 0,10
Problema 1.3.3
El valor del dinero en el tiempo
Sean los capitales disponibles en los momentos que se indican, reflejados en
la tabla 1.33.
TABLA 1.33
15.000
Actual (O)
10.000
Dentro de 1 año
12.000
Dentro de 2 años
18.000
Dentro de 3 años
20.000
Dentro de 4 años
TOMA DE DECISIONES
35
¿Cuáles son sus equivalentes en la actualidad y dentro de uno, dos , tres y
seis años? El tipo aplicable (rentabilidad requerida) es el 8 por 100 anual
acumulativo.
RESOLUCIÓN
Como puede comprobarse en los ejercicios anteriores, la expresión general que es aplicable para determinar cuál es el capital equivalente en el
momentos de otro capital que importa Q, u.m. y es disponible en el momento tes:
Qs/t = QP +
os-,
donde i es el tipo calculatorio (la rentabilidad requerida) en tanto por uno. Por
ejemplo, el equivalente de las 20.000 u.m. disponibles dentro de cuatro años es ,
dentro de dos:
º 2/4 =
20.000(1 + 0,08)2 - 4 = 20.000(1 + 0,08) - 2 =
20.000
(1 + 0 ,08)2
- - - -- = 17.146,78 u.m .
y, de forma semejante , el equivalente de las 10.000 u.m. disponibles en el momento 1 es, en el momento 3:
Q311 = 10.000(1 + 0,08)3- 1 = 10.000(1 + 0,08)2 = 11.664 u.m.
De este modo se han efectuado los cálculos para obtener los resultados de
la tabla 1.34.
15.000
o
10.000
15.000(1,08)º =
= 15.000
15.000(1,08) =
= 16.200
15.000(1,08)2 =
= 17.496
15.000(1,08)3 =
= 18.895,68
15.000(1,08)6 =
= 23.803,11
10.000(1,08)- l =
= 9.259,26
10.000(1,08)º =
= 10.000
10.000(1,08) =
= 10.800
10.000(1,08)2 =
= 11.664
10.000( 1,08)5 =
= 14.693,28
12.000
2
12.000(1,08)- 2 =
= 10.288,07
12.000(1,08)- l =
= 11.111,11
12.000(1,08)0 =
= 12.000
12.000(1,08) =
= 12.960
12.000(1,08)4 =
= 16.325,87
18.000
3
18.000(1,08)-3 =
= 14.288,98
18.000(1,08)- 2 = 18.000(1,08)-l =
=15.432,10
= 16.666,67
18.000( 1,08)º =
= 18.000
18.000(1,08)3 =
= 22.674,82
22.000
4
20.000(1,08)- 4 =
= 14.700,60
20.000( 1,08)- 3 = 20.000(1,08)- 2 =
= 15.876,64
= 17.146,78
20.000(1,08)-l =
= 18.518,52
20.000(1,08)2 =
= 23.328
TABLA 1.34
36
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 1.3.4
El valor del dinero en e l tiempo
Suponga usted que no puede colocar sus capitales a ninguna tasa ele in terés,
que ex iste un tipo ele in fl ación anual acumulati vo del 9 por 100 y que alguien
que debería pagarle ahora 1.000 u.m. le pide que le retrase el pago un año .
¿Qué cantidad le ex igiría?¿ Y si el pago se retrasase dos años?¿ Y si fueran tres
los años ele ap lazamiento?
RESOLUCIÓ N
Por término med io , los bienes y servicios que ahora podrían adqui rirse con
1.000 u.m. dentro ele un año v aldrán:
l .000 + 0,09 X 1.000 = 1.000( 1 + 0 ,09) = 1.090 u.m.
es decir, un 9 por 100 más.
D entro ele dos añ os los prec ios habrán subido , por térm ino medi o, otro
9 por 100 sobre los ex istentes al fi nal del primer año , por lo que, lo que hoy
podría adqu irirse con 1.000 u .m. , dentro de dos años valdrá , po r términ o
med io:
1.090 + 0,09 X 1.090 = ( 1.090)(1 + 0 ,09) = [1.000(1 + 0 ,09)] ( 1 + 0 ,09)
= 1.000( 1 + 0 ,09) 2 = 1.1 88, 1 U .m.
De forma semejante, dentro ele tres años se requerirán:
J .000( I + 0,09) 3 = 1.295 ,03 U.111.
Por consi guiente, para mantener la capacidad adquisiti va se exigirían 1.090
u .m. si el pago se retrasa un año, 1 .188, 1 u .m. si se retrasa dos y 1.295 ,03 si son
tres los años de aplazamiento.
Problema 1.3.5
El valor del dinero en el tiempo
Sean los capitales disponi bles en los momentos que se indican refl ejados en
la tabla 1.35.
¿Cuáles son sus equivalentes actualmente y dentro de uno , dos, tres y seis
años desde el punto de v ista del mantenimiento de la capacidad adquisitiva? L a
tasa de inflación anu al acumulativa es del 10 po r 100.
TOMA DE DECISIONES
37
TABLA 1.35
15.000
A ctual (O)
10.000
Dentro de 1 año
12.000
Dentro de 2 años
18.000
Dentro de 3 años
20.000
Dentro de 4 años
RESOLUCIÓN
Como puede comprobarse en los ejercicios anteriores , la expresión general
que es aplicable para determinar el capital disponible en el momento s que tiene la misma capacidad adquisitiva que otro capital que importa Q, u.m. y que
es disponible en el momento tes:
Q slt = Q ,(l + g)s- 1
donde ges la tasa de inflación anual acumulativa en tanto por uno. Por ejemplo , el equivalente, en relación a la inflación , de las 20.000 u.m. disponibles en
el momento 4 (final del cuarto año) es, en el momento 2:
º 214
= 20.000(1 + 0 ,10)2 - 4 = 20.000(1 + 0,10)- 2 =
= -
20.000
--- =
(1 + 0 ,10)2
.,
15.000
o
10.000
.,
16.528 ,93 u.m
. .
.. .
.
15.000(1, 1)º =
= 15.000
15.000(1,1) =
= 16.500
15.000(1,1)2 =
= 18.150
15.000(1,1)3 =
= 19.965
15.000(1,1)6 =
= 26.573,42
10.000(1,1)- 1 =
= 9.090,91
10.000(1,1)º =
= 10.000
10.000(1, 1) =
= 11.000
10.000(1 ,1)2 =
= 12.100
10.000(1,1)5 =
= 16.105,1
12.000
2
12.000(1,1)-2 =
= 9.917,36
12.000(1 ,1)- 1 =
= 10.909,09
12.000(1 ,1)º =
= 12.000
12.000(1, 1) =
= 13.200
12.000(1,1)4 =
= 17.569,2
18.000
3
18.000(1,1)-3 =
= 13.523,67
18.000(1, 1)- 2 =
= 14.876,03
18.000(1,1)- l =
= 16.363,64
18.000(1,1 )º =
= 18.000
18.000(1, 1)3 =
= 23.958
20.000
4
20.000( 1, 1¡- 4 =
= 13.660,27
20.000(1,1¡-3 =
= 15.026,20
20.000(1,1)- 2 =
= 16.528,93
20.000(1,1)- l =
= 18.181 ,82
20.000( 1, 1)2 =
= 24.200
TABLA 1.36
38
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
y, ele forma semej ante, el equi valente ele las 10 .000 u.111. di sponib les en el momento I es, en el mo mento 6:
Q611 = 10.000( 1 + 0 , 10)<• 1 = 16. 105, 1 U . m.
De esta manera se han efectuado los d lculos para obtener los resultados ele
l a tabl a 1.36 .
Problema 1.3.6
El valor del dinero en el tiempo
Sean los capitales disponibles en los momentos que se indican refl ejados en
l a tab la 1.37 .
10.000
Dentro de 11 años
20.000
Dentro de 12 años
30.000
Dentro de 13 años
40.000
Dentro de 14 años
TABLA 1.37
¿Cuál es son sus equi valentes dentro ele 10, 12, 14 y 16 años, teniendo en
cuenta tanto la tasa ele inflac ión , que es del 9 po r 100 anual acumul ati vo,
como el tipo de interés, que es del JO por 100, tamb ién anual y acumu lativo?
RESOLUCIÓN
A la vista ele las soluciones ele los ej ercicios anter iores resulta ya ob vio que
para determinar el capital disponible en el momentos, que es equivalente a otro
capital que importa Q, u.m. y q ue es disponible en el momento /, ha ele aplicarse
la expres ión general:
o, lo que es lo mi smo,
Q_,1, = Q,1( 1 + i)(I + g) ¡,- , = Q,( 1 + i + g + ig)·•- 1 = Q,( 1 + k)-• - 1
donde:
k = i + g + ig
Aplicando el ti po calculato rio k se tienen en cuenta tanto la infl ación como
el interés del d inero. Dicho ele otro modo, si en ausencia ele inflación la renta-
TOMA DE DECISIONES
39
bilidad requerida es i, cuando existe una inflación igual al g por uno la rentabilidad requerida ha de ser igual a ese tipo k.
En este caso:
k = O,l + 0,09 + 0 ,1 X 0 ,09 = 0,199
Por ejemplo, el equivalente de las 40.000 u.m. disponibles en el momento
14 (dentro de catorce años) es , en el momento 10:
Q J0/14
= 40.000(1 + 0 ,199) 10 - 14 = 40.000(1,199)- 4 =
40.000
= - -- = 19.354,56 u.m.
1,1994
y, de forma semejante, el equivalente de las 10.000 u.m. disponibles dentro de
once años es , en el momento 16 (final del decimosexto año):
º1 6/11
= 10.000(1 + 0,199) 16 - 11 = 10.000(1,199)5 = 24.779,69
De este modo se han efectuado los cálculos precisos para obtener los resultados recogidos en la tabla 1.36.
Otra forma de resolverlo es, obviamente, descontar sucesivamente por el interés y por la inflación. Por ejemplo, las 30.000 u.m. disponibles en el momento
13 tienen como equivalente al final del décimo año (momento 10):
30.000
- - - - - -- - - = 17.404,59u.m.
(1 + 0,10)3(1 + 0,09)3
De forma semejante, el equivalente, en el momento 12, de las 40.000 u.m.
disponibles en el momento 14, es:
40.000
- - - - - - · -- -2 = 27 .824,13 u.m.
(1 + 0,10)2(1 + 0 ,09)
Problema 1.3.7
El valor del dinero en el tiempo
¿Qué tipo de interés ha de aplicar un banco, en los préstamos que concede,
si desea obtener un tipo de rentabilidad neto de inflación del 12 por 100 anual
acumulativo y la tasa media de crecimiento de los precios es del 9 por 100,
también anual y acumulativa?
RESOLUCIÓN
El tipo que habrá de aplicarse será:
k = 0,12 + 0,09 + 0,12 X 0 ,09 = 0 ,2208 por uno anual =
= 22,08 por 100 anual
40
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
10.000
11
10.000(1,199) 1
- 8.340,28
10.000(1,199)
11 .990
10.000( 1,199)3
17.236,84
10.000(1,199)S
24.779,69
20.000
12
20.000(1, 199) 2
= 13.91 2,07
20.000(1,199)0 =
= 20.000
20.000(1,199)2
= 28.752,02
20.000(1, 199)'
= 41 ,333,93
30.000
13
30.000(1, 199) 3 =
= 17.404,59
30.000(1,199) 1 =
= 25.020,85
30.000(1,199) =
= 35.970
30.000(1,199)3 =
= 51.710,51
40.000
14
40.000( 1,199) ' =
= 19.354,56
40.000(1,199) 2 =
= 27.824,13
40.000(1,199)º =
= 40.000
40.000( 1,199)2 =
= 57.504,04
TABLA 1.38
Cobrando una «tasa nominal» del 22,08 por 100 anual, el banco obtendrá
una rentabilidad del 12 por 100 anual «en términos reales». Dicho en otros términos, al fin de cada año podrá adqu irir, por término medio, un 12 por 100 más
de bienes y serv icios del que podría adquirir al comienzo de cada año con el
importe del préstamo concedido y sus intereses acumulados. Su rentabilidad es
de un 12 por 100 anua l en términos de «capacidad adqu isitiva».
Problema 1.3.8
El valor del dinero en el tiempo
¿Qué tipo de interés anual aplica un prestamista a sus clientes si espera que
la tasa de inflación sea del 2 por ciento al año y requiere cada año un a rentabilidad del 6 por cien en términos reales?
RESOLUCIÓN
La persona lega en la materia probablemente se hubiera limitado a sumar ambas
tasas, y hubiera considerado que aplicando un interés del 8 por ciento con una inflación del 2 por cien, la rentabilidad real sería el 6 por ciento. En realidad , se hubiera equivocado poco pues, para obtener esa rentabilidad real, la tasa de interés que
ha de cobrarse es ligeramente superior aJ 8 por cien; concretamente el 8, 12 por cien:
k = 0 ,06 + 0 ,02 + 0,06 X 0 ,02 = 0,0812 por J = 8, 12 por 100
Problema 1.3.9
El valor del dinero en el tiempo
Con una infl ación anual del 6 por 100 y una rentabi l idad real desead a del
12 por 100, ¿q ué rentab ilidad nominal se aplicará?
RESOLUCIÓN
k = 0 , 12 + 0 ,06 + 0 ,12 X 0 ,06 = 0 ,1872 por uno anual =
= 18,72 por 100 anual
TOMA DE DECISIONES
41
Problema 1.3.10
El valor del dinero en el tiempo
¿Que rentabilidad real es la que desea obtener un banco en los préstamos
que concede , si aplica un tipo de interés a sus clientes del 10 por ciento anual,
y la tasa de inflación anual prevista es del 6 por cien?
RESOLUCIÓN
Como es sabido
k = i + g + ig = i(l + g) + g
De donde se deduce que , si se aplica un tipo nominal k, se obtiene un tipo
real igual a:
k-g
i = --1+g
En este caso:
0,10 - 0 ,06
00 377 por 1 = 3,77 por 100
i = - -- - = O ,
1 + 0,06
El lego en el estudio de la incidencia de la inflación sobre la rentabilidad real,
probablemente se hubiera limitado a calcular la diferencia entre la rentabilidad
aparente (10 por cien) y la tasa de inflación (6 por cien) y hubiera afirmado que
la rentabilidad real es el 4 pr cien. En realidad, no se hubiera equivocado mucho,
pues esa diferencia hay que dividirla entre algo ligeramente superior a la unidad
(1,06), con lo que se obtiene una tasa levemente inferior (3,77 por cien).
Problema 1.3.11
El valor del dinero en el tiempo
La inversión A carece de riesgo. Si no hubiera inflación, se le exigiría una
rentabilidad anual del 2 por cien, pero, dada la inflación existente, se le exige
una rentabilidad del 6 por ciento cada año. A la inversión B, aunque no existiera inflación, se le exigiría una rentabilidad del 8 por ciento, dado su nivel de
riesgo ¿Qué rentabilidad nominal se le exige a la inversión B?
RESOLUCIÓN
En cuanto a la inversión A,
R1 + g R1 + g = 0,06
donde R1 es la tasa de rentabilidad libre de riesgo, es decir, el interés que produce un activo carente de riesgo
Lo que es lo mismo:
o, lo que es lo mismo,
42
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
0,02 + g · 1,02 = 0 ,06
De donde se deduce que la tasa de inrlac ión es el 3,92 por ciento:
0 ,06 - 0,02
g = - - - - - =O,0392 por 1 = 3 ,92 por 100
1,02
Inversión B:
k = i + g + i · g = i + g( 1 + i) =O,08 + O,0392 1,08 =
= O, 1224 por 1 = 12 ,24 por 1 00
Po lo tanto , la rentabilidad nominal que se ex ige a la inversión Bes el 12,24
por cien.
4.
Los árboles de decisión y el valor esperado
de la información perfecta
Problema 1.4. 1
Los árboles de decisión
El señor Fruned echó instancias para efectuar dos oposiciones a la Administración del Estado , cada una de las cuales con sta de dos exámenes, y, desde que
lo hi zo , ha venido estudiando las dos. Para mañana tiene convocado , a la misma
hora , el primer ej ercicio de estas dos oposiciones. Si aprobara la oposición al cuerpo de la Admini stración X ganaría 200.000 u.m. mensuales; si aprobara la oposici ón al cuerpo Y ganaría mensualmente 300 .000. Basándose en el ni vel de conocimientos que considera que tiene y en el que estima que tienen otros opositores
a los que conoce, considera que tiene una probabilidad del 70 por 100 de aprobar
el pri mer ejercicio de la oposició n al cuerpo X y un 40 por 100 de superar con éx ito el segundo. En cuanto a la o posición al cuerpo Y, estima en un 40 por 100 la
probabilidad de aprobar el primer ejercicio y en un 50 por 100 la de superar el segundo. En cualquiera de las do s oposiciones, si no supera el primer ejercicio ya
no puede presentarse al segundo y suspende la oposición. Dado que mañana no
puede acudir a la realización de los primeros ej ercicios de las dos oposiciones, ¿a
cuál deberá asistir si desea max imizar su ganancia mensual esperada ?
RESOLUCIÓN
Un árbol de dec isión es un g rafo orientado que representa un proceso de decisión med iante nudos (o vértices) y reunas (o aristas). Hay dos tipos ele nudos:
decisionales y aleatori os. L os nudos decisiona/es representan situaciones en las
que el clecisor ha de lomar una decisión. Cada rama que parte de un nudo decisional representa un a de las al ternativas de decisión. L os nudos aleatorios representan situaciones en las que el dec isor se en frenta a distintos sucesos o estados de la naturaleza entre los que él no puede elegi r . Cada rama que parte ele
un nudo aleato ri o representa u no ele los sucesos o estados ele la naturaleza que
pueden acontecer. Cuando se puede asignar la probabi lidad de cada suceso , ésta
se coloca sobre la rama que lo representa. Dacio que ha de haber una rama para
TOMA DE DECISIONES
43
cada suceso posible , la suma de las probabilidades situadas en las ramas que parten de cada nudo aleatorio ha de totalizar la unidad (el 100 por 100). A los nudos decisionales se les representa con cuadrados y a los aleatorios con círculos.
En la figura 1.6 se ha representado el árbol de decisión correspondiente al
presente caso. El primer nudo es siempre decisional: representa la decisión inicial que ha de tomar el decisor; en este caso, ha de decidir entre acudir al primer
ejercicio de la oposición al cuerpo X (alternativa representada por la rama X) o
al de la oposición al cuerpo Y (rama Y). Si se decide por presentarse a la oposición al cuerpo X, pasará a colocarse en el nudo 2, que representa la situación
en la cual puede ocurrir que supere el primer ejercicio de esta oposición (rama
SlX) o que no lo apruebe (NlX). Dado que la probabilidad de que lo apruebe es
de un 70 por 100, la de que no lo apruebe será del 30 por 100. Si es este último
el suceso que se presenta (NlX) , no ganará mensualmente nada; es decir, el resultado asociado al camino (o sucesión de ramas) X - N lX es O. Si se da el suceso SlX, el decisor pasará a colocarse en el nudo 4 , que representa la situación
en la que puede ocurrir que supere el segundo examen de esta oposición (suceso
representado por la rama S2X) o que no lo supere (N2X) . Dado que la probabilidad de superarlo es de un 40 por 100, la de que no lo supere será del 60 por
100. Si aconteciera el suceso N2X , no ganaría mensualmente nada (el resultado
asociado al camino X - SlX - N2X es O). Si aconteciera el suceso S2X, ganaría 200.000 u.m. mensuales; es decir, el resultado asociado al camino «elegir
acudir a la oposición X , aprobar el primer ejercicio de esta oposición y aprobar
el segundo ejercicio de la misma» (camino X - SlX - S2X) es de 200.000 u.m.
200.000
o
56.000
N1X0,3
o
X
60.000
300.000
S1Y0,4
y
o
60.000
N1Y0,6
FIGURA 1.6
o
Del mismo modo se han representado los sucesivos estados y sucesos que
se pueden derivar de la decisión consistente en acudir a la oposición al cuerpo
Y (decisión representada por la rama Y del árbol).
Una vez representados los nudos y ramas, con sus probabilidades, así como
los resultados asociados a cada camino, se procede de derecha a izquierda
44
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
para determinar el va lor asociado a cada nudo o vértice. El valor asoc iado a un
nudo aleatori o es la esperanza matemáti ca ele los valores situados al fi nal ele las
ramas que parten ele él. A sí, el cleci sor situado en el nudo 4 (es decir, aquel que
se decidió por la oposición X, aprobó el primer ej ercic io de la misma y ahora no
sabe si aprobará o no el segundo) ignora si superará el segundo ej erc ic io, con lo
que obtendría una ganancia mensual ele 200.000 u.m. , o si lo suspendení, con lo
que no ganaría nada, pero estima en un 40 por IOO la probabilidad ele que
acontezca el primer suceso y en un 60 por 100 la de que se produzca el segun do. Por tan to, la gananc ia esperada (valor esperado ele la gananc ia , o esperanza
matemática de la mi sma) del dec isor situado en el vértice 4 es:
V4 = 200.000 . 0 ,4 + o. 0 ,6 = 80.000 u .m.
Tal será, por consiguiente, el valor asociado al nudo 4 , que se ha ele situar
j unto a él en el árbol. Del mismo modo , el dec isor situado en el nudo 2 (es decir, aquel que ya se ha decidido por la oposición X pero que todavía no se ha presentado al primer examen) igno ra si aprobará el primer ejercicio , con lo que obtendría una ganancia mensual esperada ele 80.000 u.m. , o si no lo superará , con
lo que su ganancia mensual se ría nu la. Dacio que el pri mer suceso (S I X) ti ene
una probabil idad del 70 por 100, la probabilidad del segundo (N I X) será del 30
por 100, y el valor esperado asociado al nudo 2 será igual a 56 .000 u .m .:
V2 = 80.000 . 0 ,7 + 0 · 0 ,3 = 56.000 U.m.
Del mismo modo , procediendo ele derecha a izquierda, se calcul an V5 y V3 :
V5 = 300.000 · 0 ,5 + O· 0 ,5 = 150.000 u .m.
V3 = 150.000 · 0,4 + O· 0 ,6 = 60.000 u.m.
El valor asociado a cualquier nudo deci sional es igual al mayor de los valores asoci ados a los nudos en los que tienen desti no ramas que parten de él .
A sí, el dec isor situado en el nudo dec isional l puede elegir la alternati va
«presentarse al primer ej erc ic io de la oposición al cuerpo X» (opción representada por la rama X) o por l a de «presentarse al primer ejerc ic io de l a oposición al cuerpo Y» (rama Y). Si elige la opción X, tendrá una gananc ia mensual
esperada de 56.000 u.m. , mientras que si elige la Y su esperanza de gananci a
mensual será de 60.000 u.m. Si el dec isor sigue el criteri o de elegir la opc ión a
la que le corresponda la mayor ganancia mensual esperada, se decidirá por asistir a la oposic ión al cuerpo Y y el valor asoc iado al nudo l será:
V1 = 60.000 U.m.
Problema 1.4.2
Los árboles de decisión
¿A qué oposición ha de acudi r el señor Fru ned, al que se refi ere el problema anterior , si su objeti vo es max imizar la probabilidad de obtener alguna ganancia mensual ? ¿Cuál es la desviación típica de la ganancia mensual baj o cada
una de las alternativas de dec isión?
TOMA DE DECISIONES
45
RESOLUCIÓN
Si se decide por la alternativa X, la probabilidad de obtener alguna ganancia mensual (es decir, la de obtener 200.000 u.m. mensuales) será la probabilidad de aprobar el primero y el segundo ejercicios de la misma; es decir, la
probabilidad de que se produzca el suceso compuesto «aprobar el primer ejercicio y, luego, aprobar el segundo» (suceso SlX n S2X):
P(SlXn S2X) = P(S1X)P(S2X/S1X)
donde:
P(SlX): Probabilidad de aprobar el primer ejercicio de la oposición al
cuerpo X = 70 por 100.
P(S2X/SIX): Probabilidad de aprobar el segundo ejercicio de la oposición al
cuerpo X habiendo aprobado el primero (si no se aprueba el
primero no es posible presentarse al segundo, por lo cual el suceso S2X depende del SlX) = 40 por 100.
Por consiguiente:
P(SlX n S2X) = 0 ,7 · 0,4 = 0,28 = 28 por 100
Del mismo modo se obtienen:
-
La probabilidad de aprobar el primer ejercicio de la oposición al cuerpo X y suspender el segundo:
P(SIX
n S2X) = P(SlX)P(N2X/S lX) = 0,7 · 0 ,6 = 0,42 = 42 por 100
La probabilidad de aprobar el primer ejercicio y el segundo de la oposición al cuerpo Y (es decir, la probabilidad de obtener alguna ganancia
mensual si acude a esta oposición):
P(SlY
n S2Y) = P(Sl)P(S2Y/S 1Y) = 0,4 · 0 ,5 = 0 ,20 = 20 por 100
La probabilidad de aprobar el primer ejercicio de la oposición al cuerpo Y y suspender el segundo:
P(SlY
n N2Y) = P(SIY)P(N2Y/S l Y) = 0,4 · 0 ,5 = 0,20 = 20 por 100
Por consiguiente, el árbol de decisión también puede disponerse conforme
a la figura 1.7.
Si el señor Fruned se decide por la alternativa «opositar al cuerpo X»,
tendrá, según sus estimaciones:
Una probabilidad del 28 por 100 de aprobar los dos ejercicios, con lo
que obtendría una ganancia mensual.
Una probabilidad del 42 por 100 de aprobar el primer ejercicio y suspender el segundo, en cuyo caso no obtendría ninguna ganancia.
Una probabilidad del 30 por 100 de suspender el primer ejercicio, en
cuyo caso tampoco obtendría ganancia alguna.
46
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
200.000
o .is
56. 000
/
X
( 2)
5"\
'f.. (\ s ?J-
S1X n N2X
0 ,42
Nt.;r
--
O,Jo
Q(
0 ,io
y
~
60.000
5"\Y 0
o
300.000
siY
sw n N2Y
( 3)::::-
o
0 ,20
o
&]_ y
0 60
-------
FIG URA 1.7
o
Por tanto , dec idiéndose por la altern ati va X , la probabilidad de ganar algo
es de l 28 por J 00 y la de no ganar nada es del 72 por J 00 :
1 - 0 ,28 = 0 ,72 = 72 por 100
P [(S l X n N2X) UN I X] = 0,42 + 0,3 = 0 ,72 = 72 por J00
D el mismo modo , si se decide por la oposición al cuerpo Y , tend rá una probabilidad del 20 por 100 de ganar algo (probabi lidad del suceso «aprobar el pri mer ejercicio y el segundo», P(SJ Y n S2Y)) y una probabilidad del 80 por JO0
de no ganar nada (probabilidad de que «apruebe el primero y no el segundo o
ele que no apruebe el pri mero», P[(S I Y N2Y) U N I Y] = 0 ,2 + 0 ,6 = 0,8 =
80 porl 00) .
Si el objeti vo del señor Fruned es max i mizar la probabilidad de ganar
algo, se decidin:1 por la oposición al cuerpo X , en la cual dicha probabi l idad es
del 28 por 100 f rente al 20 por 100 correspond iente a la oposic ión Y.
L as distr ibuciones ele probab i l idad de las ganancias correspondientes a
las dos oposic iones se recogen en la tabla J .39 .
n
X
200.000
o
y
TABLA 1.39
300.000
o
0,28
0,72
0,20
0,80
lOMA DE DEC ISIO NES
47
Dado que, bajo la opción X , la esperanza matemática de la ganancia vale
56.000, su desviación típica será:
<Jr = [(200.000 - 56.000)2 0 ,28 + (O - 56.000)2 0,72] 1/2 = 89.800 u .m.
En cuanto a la opción Y, la esperanza matemática valía 60 .000 y la desviación típica será igual a:
o-r = [(300.000 - 60.000)20,20 + (O - 60.000)2 0,80] 112 = 120.000 u.m.
La dispersión de los valores posibles de la variable «ganancia mensual» , en
relación a su media, es mayor en la opción Y que en la alternativa X.
Problema 1.4.3
Los árboles de decisión
A una persona se le ofrece la posibilidad de elegir entre dos juegos, A y B.
En el juego A se lanza una moneda perfecta y, si sale cara, el jugador puede elegir entre la urna 1, que tiene tres bolas blancas y una negra, y la urna 2, que tiene dos bolas blancas y una negra. Si el jugador elige la urna 1 y, al realizar la
extracción, sale bola blanca se le entregan 50 u.m.; si sale negra se le entregan
200 u.m. Si la urna elegida es la 2 y sale bola blanca, se la dan 105 u.m., mientras que si se extrae una bola negra se le entregan 135 u.m. Si el resultado del
lanzamiento de la moneda es cruz, el jugador puede elegir entre la urna 3, que
tiene tres bolas blancas y dos negras , y la urna 4 , que contiene dos bolas
blancas y cuatro negras. Si elige la urna 3 y de la extracción resulta una bola
blanca, se le entregan 75 u.m. , mientras que si sale una bola negra se le dan
125. Si eligió jugar con la urna 4 , se le entregan 150 u.m. si de la extracción resulta una bola blanca, y 60 si se saca una bola negra.
El juego B consiste en lanzar un dado perfecto. Si el resultado es un número
par, se le entregan 105 u.m. , y si es impar, se le entregan 95.
Se desea saber las opciones que debe elegir esta persona en los dos casos siguintes:
a) Cuando el objetivo del jugador es maximizar la esperanza matemática
del resultado.
b) Cuando el objetivo del jugador es maximizar la probabilidad de obtener
más de 103 u.m .
RESOLUC IÓN
a) El árbol de decisión correspondiente a este caso se ha representado en la
figura 1.8. La simbología empleada es la siguiente:
A: Elegir juego A.
B: Elegir juego B.
48
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
C: Obtener cara al lanza r la mo neda .
X: Obtener cru z al lanzar la moneda.
VI: Eleg ir la urna 1.
U2: Elegi r la urna 2.
U3: E legi r la urna 3 .
U4: Elegir l a urna 4.
B;: Obtener una bol a blanca al rea li zar la ex tracción de la urna correspondi ente, i .
N;: Obtener una bola negra al efectuar la extracc ión de la urna correspondiente, i.
Par: Obtener un número par al lanzar el dacio.
I mpar: Obtener un número impar en el lanzamiento del dacio.
11 5
87,5
8,
3/4
6
N,
1/4
82
2/3
N2
1/3
95
83
3/5
8
N3
2/5
90
84
2/6
9
N•
4/6
1/2
e
A
95
X
200
1/2
105
8
FIGURA 1.8
7
50
100
Par
1/2
3
Impar
1/2
105
135
75
125
150
60
105
95
Las probabilidades situadas sobre las ramas que parten de nudos aleatorios
se obtienen como cociente entre el número de casos favorables y el de casos
posibles. Así, es ev idente que , en el lanzamiento ele la moneda:
P(C) = P(X) = -
1
2
La probabi lidad ele obtener una bo l a blanca en la urna J, que tiene 3 bolas
blancas y una negra , será:
TO MA DE DECISIO NES
49
y la de obtener una bola negra en la extracción de dicha urna valdrá:
Del mismo modo se han calculado las probabilidades de B2 , N 2 , B3 , N 3 , B4 y N4 •
Dado que un dado tiene tres caras con números pares y otras tres con números impares , y que el dado es perfecto:
P(Par) = -
3
1
= 6
2
3
1
P(Impar) = - = -
6
2
Una vez incorporados los valores correspondientes a cada uno de los caminos en el árbol, se procede , de derecha a izquierda , calculando los valores
asociados a los nudos. Así, en c uanto a los vértices aleatorios 6 , 7, 8 y 9, se obtiene:
v6= 50(3/4) + 200(1/4) = 87 ,5 u.m.
V7 = 105(2/3) + 135(1/3) = 115 u.m.
V8 = 75(3/5) + 125(2/5) = 95 u.m.
V9 = 150(2/6) + 60(4/6) = 90 u .m.
El inversor situado en el nudo 4 (es decir, aquel que se decidió por el juego
A y que , en el lanzamiento de la moneda , obtuvo cara) puede elegir entre la
urna 1, que le proporciona un resultado medio de 87 ,5, o la urna 2, con la que
su esperanza de resultado es de 115. Siguiendo el criterio de maximizar su esperanza matemática, elegirá la alternativa U2 y el valor asociado al nudo 4 será
115. Por la misma razón, el valor asociado al nudo 5 es 95.
Si el j ugador elige el juego A , su esperanza matemática será la del nudo 2,
es decir:
V2 = 115(1/2) + 95(1 /2) = 105 u.m.
Si eligiera la alternativa B, su esperanza sería el valor asociado al nudo 3, o,
lo que es lo mismo ,
V3 = 105(1/2) + 95(1/2) = 100 u.m.
Si el objetivo de este decisor es maximizar la esperanza matemática de su
resultado, elegirá la alternativa A. Si, luego, en el lanzamiento de la moneda, se
obtiene cara , elegirá la alternativa U2 (V1 = 115 > 87 ,5 = V6 ); si se obtiene
cruz, seleccionará la alternativa U3.
50
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
b) Si el objetivo del jugador es maximi za r la probab ilidad de obtener más
de 103 u.111. , es ev iclenle que:
Si el c.lecisor ll egara a situarse en el nudo 4 (es dec ir , si elig iera el juego/\ y al lanzar la moneda se obt uviera cara), elegiría la segunda urna,
con lo cual la probabilidad ele obtener más de 103 u.111. ser ía igual a la
unidad (sería un suceso seguro) .
Si el clecisor se encuentra en el nudo 5, elegirá la urna 3, pues, con ello ,
la probabi lidad ele obtener más ele 103 u.111. es ele 2/5, en 1anto que si elige la altern ati va U4, dicha probabil idad sólo será ele 2/6 .
El in versor situado en el nudo 2 tiene un 50 por 100 de probabilidades
ele llegar a estar si tuacl o en el nudo 4 (y, con el lo, poder elegi r U2 y tener la seguridad de conseguir un resultado superi or a 103 u .111.) y otro 50
por 100 de pasar al nudo 5 (y así poder eleg ir la altern ati va U3, con l a
que obtiene una probab i lidad ele 2/5 ele superar el resultado deseado).
Por consiguiente, la probabi lidad de sobrepasar las 103 u.m. eli giendo
la alternati va A es de:
( 1/2) 1 + ( 1/2)(2/5) = 0 ,7 = 70 por 100
El clec isor que elige la alternati va B tiene una probabi l idad del 50 po r
100 de obtener un resu l tado superi or a 103 u.111 .
Por tanto, si lo que se desea es maximizar la probabilidad ele obtener más ele
103 u.m. , ha de elegirse la m i sma secuencia ele decisiones que la seleccionada
en el apartado a), cuando se trataba de maxim izar la esperanza de ganancia; es
dec ir , se ha ele eleg ir el juego A y luego, si se obtiene una cara, se elige la urna
2, y si resulta cru z, se el ige la urna 3 .
Problema 1.4.4
Árboles de decisión
Un cl ecisor ha de tomar la decisión D 1 o la D2 . Si se dec ide por D 1, puede
suceder El, con una probabil idad de 40 por 100 , o E2. Si se decide po r D2,
puede suceder E3, con una probabilidad del 20 por 100 , o E4 . Tanto si sucede El, como si suceden E2, E3, o E4, a cont inuació n pueden suceder A o B ,
que tienen la mi sma probabi l idad. Si f i nalmente sucede A , el cl eci sor gana
1.000 u.111. , en tanto que si sucede B , gana 2 .000 u .m. ¿Que deci sió n es preferibl e?
RESOLUCIÓN
Corno puede observarse, l as dos deci siones son i nd i fe rentes entre sí.
TOMA DE DECISIONES
51
1.000
2.000
01
1.000
2.000
1.000
02
2.000
1.000
FIGURA 1.9
Problema 1.4.5
2.000
Árboles de decisión
Del primer nudo de un árbol de decisión parten varias ramas. Una de ellas
(la rama PG) tiene su destino en un nudo aleatorio del que parten tres ramas. La
primera tiene una probabilidad de 0,65 y tiene un resultado final de 1.000.
La segunda tiene una probabilidad de 0 ,10 y finaliza en un resultado de 500. La
tercera tiene una probabilidad de O,25 y un resultado final de - 100. ¿ Cuál es
la desviación típica de la decisión correspondiente a la rama PG?
RESOLUCIÓN
x = 1.000 X 0,65 + 500 X 0 ,10 + (-100 X 0 ,25) = 675
(J'x
Problema 1.4.6
= Y (l.000 - 675)2 X 0,65 + (500 - 675)2 X 0,10 + (-100 - 675)2 X 0 ,25
ª x= \/68.656,25 + 3.062,5 + 150.156,25 = 471 ,03
Árboles de decisión
Del primer nudo de un árbol de decisión parten tres ramas . La primera tiene
una probablidad del 15 por 100 y termina en un nudo que tiene un valor aso-
52
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
c iado de 1.000 u.m.; la segunda tie ne una probabilidad de l 35 por 100 y finali za e n un nudo que tiene su valo r asociado ele 1.500 u.m.; la te rcera termina e n un
nudo cuyo valor asociado es - 900 u.m. ¿Cuá l es e l valor asociado al nudo l ?
RESOLUCIÓN
N ing uno pues e l primer nudo s ie mpre es decis ional , es decir, re presenta la
dec isió n inicial que ha de tomar e l decisor .
Problema 1.4.7
La incorporación del análisis bayesiano en los á rboles
de decisión y el valor esperado de la información
Don Reven está pensando e n adquirir un terreno, que venden barato (en
50.000 u.m.), por no tener pozo de agua, para luego constru ir e l pozo y reve nderlo e n 100.000 u.m. Su idea se basa e n las estimac iones ele un grupo de
expertos q ue le aseguraro n que hay una probabilidad del 60 por 100 de que, si
se excava e n una peque ña porción de tierra locali zada e n ese te rre no , se e ncontrará agua. Por cons ig uie nte, existe una probabilidad , a priori, del 40 por
l 00 de que e l te rreno no te nga agua , y , si así fue ra , don Reven estima quepodría revenderlo por 45.000 u.m. Ante este riesgo, este señor está pensa ndo e n ,
a ntes de comprarlo, alquilar, por 5.000 u.m. , un a parato detector de aguas
s ubte rráneas que , aunque no tiene una fiabilidad absoluta , seña la que hay
agua en el 90 por 100 de los casos e n los que realmente la hay (eq ui vocá ndose e n el lO por 100 restante) y en el 20 por 100 de los casos e n los que no la hay
(acertando en e l 80 por 100 restante). S ie ndo el coste de la excavación de
28 .500 u.111 ., se desea saber:
a) L a secue ncia de decisio nes óptima s i e l objetivo de don Reven es ma-
ximi zar e l beneficio esperado con la operac ió n .
b) El valor esperado de la informac ió n perfecta para este decisor a ntes de
utilizar el detecto r y después de emplearlo, suponie ndo que dicho aparato haya indicado q ue hay agua .
e) E l valor esperado de la información de l detec tor antes de alquilarlo.
RESOLUCIÓN
a) En la fi gura 1 .1 O se recoge e l árbol correspond ie nte a este caso. En él se
han utili zado los siguientes símbolos:
A es e l suceso «hay agua» .
NA s ig nifica «no hay agua».
DA representa e l s uceso «el detec tor seña la que hay agua».
DN corresponde al evento «el detector indica que no hay ag ua».
L a primera decis ió n q ue ha de tomar e l decisor es la de utilizar , o no, el detector. Si decide no utilizarlo , luego habrá de decidir si compra o no el te rre no.
TOMA DE DECISIONES
53
Si no lo compra, su beneficio será nulo; pero si lo compra, el beneficio dependerá de que haya agua o no la haya. Si la hay, ganará 21.500 u.m.:
21.500
- 33.500
o
21.500
-33.500
o
- 33.500
o
FIGURA 1.10
Precio de venta del terreno - Precio de compra - Coste de la excavación =
=
100.000 - 50.000 - 28.500 = 21.500 u.m.
Por el contrario, en el caso de que compre el terreno y al excavarlo resulte
que no hay agua, perderá 33 .5000 u.m.:
45.000 - 50.000 - 28.500 = -33.500 u.m.
Dado que, con la información existente si no se usa el detector, la probabilidad de que haya agua es del 60 por 100, siendo del 40 por I 00 la de que no
la haya, la esperanza de beneficio será:
V3 = 21.500 · 0,6 + (-33.500)0,4 = -500
Por tanto, con ese nivel de información, la decisión óptima es no comprar
el terreno.
Al margen del coste de su alquiler, los resultados asociados a los caminos
que parten de la decisión de utilizar el detector son los mismos que si no se utiliza; es decir, O si no se compra el terreno, 21.500 si se compra y hay agua y
-33 .500 si se adquiere y, tras la excavación , resulta que no la hay. Pero las
54
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
probabilidades ele que ex ista agua y de que no la haya serán dil"ercntes según la
informaci ón proporcionada por el detector.
Las probabi l idades ele los di stint os sucesos se determ i nan apli cando el
teo rema ele Bayes. Así:
La probabilidad ele que el detector indique que hay agua es:
P( DA ) = P(DAIA) P(A) + P(DA/NA) P(NA)
donde P(A ) y P(NA ) so n las probabilidades asignadas a priori de que
haya agua y ele que no la haya, es dec ir, el 60 y el 40 por I OO . respecti vamente. P( DAIA ) es la probabilidad ele que el detector ind ique que hay
agua si realmente la hay , es deci r , apl icando la concepción frecuencial
ele probabil idad , el 90 por J OO. De forma semejante, la probabilidad ele
que el detector señale que hay agua cuando no la hay en realidad vale,
según el enunciado:
P(DA INA) = 0,2 = 20 por 100
Por consiguiente:
P( DA ) = 0 ,9 · 0 ,6 + 0,2 · 0,4 = 0 ,62 = 62 por 100
La probabi lidad ele que el detector ind ique que no hay agua es:
P( DN) = 1 - 0 ,62 = 0,38 = 38 por l 00
pues o señala que hay agua o seña la que no, y por tanto:
P(DA U D N) = P(DA) + P(DN) = 1 -
P(DN) = 1 - P( DA )
O bien:
P( DN) P(DN/A) P(A ) + P( DNINA )P(NA ) = 0 , 1 · 0 ,6 + 0 ,8 · 0,4 =
= 0,38 = 38 por 100
ciado que el detector indica que no hay agua en el I O por 100 ele los casos en los que realmente la hay [P( DNIA) = 0, 1] y en el 80 por 100 ele
aquellos en los que no la hay [P(DN/NA) = 0 ,8J.
La probabilidad ele que, hab iendo señalado el detector que hay agua , la
haya en realidad será:
P(A/ DA ) = P(DA IA )P(A)
P(DA )
-
0,9 · 0,6
- - = O,870968 =
0 ,62
= 87 ,0968 por 100
La probabi lidad ele que, habiendo indicado el detector que hay agua , en
real idad no exista valdrá:
P(NA/ DA ) = 1 - 0 ,870968 = 0,129032 = 12,9032 por 100
TOMA DE DECISIONES
55
pues, habiéndose producido el suceso DA, luego puede ocurrir o bien A
o bien NA, y por tanto,
P(AIDA) + P(NA/DA) = l -
P(NA/DA) = l - P(AIDA)
También puede calcularse del siguiente modo:
P(DAINA) = P(NA/DA)P(NA) = 0,2 · 0,4
P(DA)
0,62
= 0 ,129032 = 12,9032 por 100
La probabilidad de que, habiendo señalado el detector que no hay
agua, en realidad si la haya será:
P(DN/A)P(A)
0,1 · 0,6
P(AIDN) = - - - - - = - - - = 0,157895 = 15,7895 por 100
P(DN)
0,38
La probabilidad de que, habiendo indicado el detector que no existe
agua, no la haya valdrá:
P(NAIDN) = l - P(AIDN) = P(DN/NA)P(NA)
P(DN)
=
0,8 · 0 ,4
0 ,38
0 ,842105 = 84,2105 por 100
Una vez reflejadas estas probabilidades en el árbol y procediendo de la forma habitual, se observa que, si se decide utilizar el detector, habrá un 62 por
100 de probabilidades de tener una esperanza de beneficio de 14.405 u.m. y un
38 por 100 de que el detector señale que no hay agua, no se compre el terreno
y el beneficio sea O. Por consiguiente, el beneficio esperado si se utiliza el detector es, al margen del coste de su alquiler:
14.405 · 0 ,62 + O· 0 ,38 = 8.931,1 u.m.
En síntesis:
Si no se utiliza el detector, el beneficio será O, pues no se adquirirá el terreno.
La esperanza de beneficio si se aplica el detector es de 8.931,1 u.m. y
cuesta 5.000 u.m. alquilarlo. Por tanto, su utilización aporta un beneficio esperado, neto del coste de su alquiler, de 3.931,1 u.m.
En consecuencia, la sucesión de decisiones óptima es usar el detector y
comprar el terreno si indica que hay agua, no adquiriéndolo en el caso de
que señale que no la hay.
b) Supongamos que, a cambio de cierto importe, este decisor pudiera saber
con certeza si hay agua en el terreno o si no la hay. Si su fuente de información
56
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
le indicara que la hay, obv iamente adquiriría el terreno y ganaría 2 1.500 u.m.
Por el contrario, si dicha fuente señalara que no ex iste agua , no compraría el terreno y su beneficio sería O. A prior i no sabe cuál se rá la información perfecta , pero, dacio qu e se estima en un 60 por 100 la p robab il i clacl el e qu e h aya
agua , esa misma será la probabiliclacl ele que la fuente ele inform ación indique
que la hay y se ganen las 2 1.500 u.m. Por la misma razón, hay un 40 por 100 ele
probabi l iclacles ele que la fuente señale que no hay agua, no se compre el terreno
y el beneficio sea O. Por consig uiente, el valor esperado ele la información perfecta, antes ele usar el detector, es:
VEIP = 0,6 · 2 1.500 + 0,4 ·O = 12.900 u.m.
Después ele utilizar el detector y ele que éste haya incl icaclo que hay agua , la
probabi l idad ele que la fuente de la información perfecta seña le que rea lmente
la hay vale:
P(AIDA ) = 0 ,870968 = 87 ,0968 por 100
siendo la ele que señale que no ex iste:
P(NAIDA ) = 0 ,129032 = 12,9032 por 100
Hay un 87 ,0968 por 100 el e posibilidades ele que seña le que hay agua, se
compre el terreno y se ganen 2 1.500 u .111. , y un 12 ,9032 por 100 ele que afirme
que no la hay, no se efectúe l a compra y no se gane nada. Por tanto, tras la información proporc ionada por el detector, el valor esperado ele la informació n
perfecta es:
\IE!P' = 2 1.500 · 0 ,870968 +O · 0 ,129032 = 18.725,8 1 U.111.
Evidentemente, lo máximo que se podría ganar por l a información perfecta , ele modo que la esperanza de beneficio neto sea positi va, es su valor esperado.
e) Si no se utilizara el detector, no se compraría el terreno y el beneficio sería nulo. Si se utiliza, la esperan za de beneficio es de 8 .931 , 1 u.m . Por cons iguien te, el aumento ele esperan za de beneficio que aporta la util ización del detector (es dec ir , el valor esperado de la in fo rmación proporcionada por el
mismo) es de:
VE!D = 8.93 1, 1 - O = 8 .93 1, 1
Evidentemente , el importe máx i mo que se ha de pagar por su empl eo, de
modo que la esperanza de benefi cio neto sea positiva, es este va lor esperado.
Como, en este caso, su alquiler cuesta 5 .000 u.m. , la decisión óptima es uti li zarlo , con lo cual el va lor esperado neto de costes de la info rmac ió n del detector es:
VENID = 8.93 1, 1 - 5.000 = 3.93 1, 1 u.m.
TOMA DE DECISIONES
57
Problema 1.4.8
La incorporación del análisis bayesiano en los árboles
de decisión y el valor esperado de la información
En Unitrónica, S.A., saben que , en su departamento de investigación y desarrollo, hay un espía industrial, pues han sido muchas las ocasiones en las que la
competencia se les adelantó en el lanzamiento de productos que tenían a punto
para ser comercializados. El director de dicho departamento piensa que hay un 90
por 100 de probabilidades de que el espía sea el señor K, que es un técnico de mucha cuaficación y experiencia en la empresa. Si se le despidiera y fuera el espía,
Unitrónica ganaría 1.000.000 de u.m. Si no fuera el espía y se le despidiera, se
perdería a un técnico de gran valor y el espía continuaría en la empresa, con lo
cual ésta perde1ia 5.000.000 de u.m.; y si no se le despidiera continuaría en la empresa y se perderían 3.000.000 de u.m., sea o no culpable el señor K.
El director del departamento está pensando utilizar un detector de mentiras.
Pero esto costaría 50.000 u.m. y, además, sus resultados no serían definitivos ,
pues sólo detecta al 85 por 100 de los mentirosos y sólo reconoce como fieles
a la verdad al 75 por 100 de los que en realidad lo son. ¿Qué debe hacer el director de investigación y desarrollo de Unitrónica si el objetivo de la empresa
es maximizar sus beneficios? ¿Cuál es el valor esperado de la información proporcionada por la utilización del detector de mentiras?
RESOLUCIÓN
La primera decisión que hay que tomar es la relativa a la utilización o no del
detector de mentiras. Si no se utiliza, como puede comprobarse en la parte superior del árbol de la figura 1.11, que ha sido resuelta de la forma habitual, la
decisión óptima es despedir al presunto espía.
1..---~ ~ -
400.000
Es es ía o90
No es es ía o10
1.000.000
- 5.000.000
-3.000.000
1.000.000
-5.000.000
- 3.000.000
1.000.000
-5.000.000
FIGURA 1.11
58
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
-3.000.000
Si se utili za el detec tor, éste puede seña lar que el señor K miente o d ice la
verdad.
Las probabi lidades a posteriori , que han ele situarse sobre las ramas que parten de l nudo 3 y de los que le suceden , se ca lculan apl icando el teorema de Bayes. Deno minemos:
Mal suceso «el detector indica que el señor K miente».
NM al suceso «el detector i ndica que el señor K no miente» .
E al suceso «el señor K es el espía» .
NE al suceso «el señor K no es el espía» .
Dacio que el detector identifica al 85 por 100 ele los mentirosos y que reco noce como f ieles a la verdad a sólo el 75 por 100 de l os que en real iclacl lo
so n, apl icando la concepc ión í"recuenti sta ele la probabilidad res ulta obv io
que:
P(M IE) = 0 ,85
P(N M !E) = 1 - 0 ,85 = 0 , 15
P( M INE) = 1 - 0 ,75 = 0 ,25
P(NM /N E) = 0,75
Ap li cando el teorema ele Bayes se obtiene que:
P(M) = P(M /E) P(E) + P(M /NE) P(NE) = 0 ,85 · 0,90 + 0,25 · 0 ,10 = 0 ,79
P(N/\1[) = P(NMIE)P(E) + P(NM/NE) P(NE) = 0,15 · 0,90 + 0 ,75 · 0 ,10 = 0 ,2 1
l o bien P(NM) = 1 - P(M ) = l - 0,79 = 0,21]
P(M I E)P(E)
P(EI M ) = --'-P(M)
0,85 · 0 ,90
= - - - - = 0,9684
0 ,79
0 ,25 · 0 ,10
P(M I NE)P(NE)
P(NEI M ) = ----'--- ..:....- -=----'- = - -- - = 0,0316
P(M )
0 ,79
[o bien P(NEI M) = 1 - P( E! M) = 1 - 0 ,9684 = 0 ,03 161
P(EINM ) = P(NM! E)P(E)
P(NM)
O, 15 · 0 ,90
0,2 1
= 0, 6429
P(NMINE) P(NE)
0 ,75 · 0, 10
P(NE/NM ) = __;__ _:.........:....__:_ = - - - - = 1 - P(EINM )
P(NM )
0 ,2 1
Una vez incorporadas estas probabilid ades en el árbol ele la fig ura , se ca lculan los valores asoc iados a los nudos ele la forma habitual, llegándose a la
conclusión de que no conviene usar el detector ele menti ras, pues no aporta ninguna información y, por tanto, no conviene pagar nada por é l. Utili zando el ele-
TOMA DE DECISIONES
59
tector, cualesquiera que sean sus resultados , se llega a la misma solución que
sin utilizarlo: despedir al presunto espía. El valor esperado de la información
de una prueba, como la realizada con el detector de mentiras , es la diferencia
entre el beneficio esperado si se realiza la prueba prescindiendo de su coste
(400.000 u.m. en este caso) y la ganancia esperada si no se efectúa la misma
(400.000 u.m.). Obviamente, dado que, en este caso, la secuencia óptima de decisiones siempre es la misma, con la prueba o sin ella, ésta no proporciona información útil, y su valor (400.000 - 400.000) es nulo.
Problema 1.4.9
La incorporación del análisis bayesiano en los árboles
de decisión y el valor esperado de la información
Dos amigos geólogos, en una excursión efectuada para recoger muestras de
minerales, han detectado , con un instrumental rudimentario, la existencia de
una veta subterránea de mineral con contenido metálico. Dados sus conocimientos de la zona y los resultados obtenidos inicialmente, asignan unas probabilidades del 20 por 100 a que el mineral tenga contenido en oro, un 50 por
100 a que contenga otros metales preciosos y un 30 por 100 a que se trate de
otros metales carentes de valor. Ante este descubrimiento, han pensado en adquirir el terreno, pero no para explotarlo, lo que les ocasionaría complicaciones
que no están dispuestos a asumir, pues les apartarían de su verdadera vocación,
sino para efectuar las excavaciones precisas para demostrar la existencia del
mineral y, luego, vender el terreno a una compañía minera. Tras las oportunas
consultas, saben que el propietario del terreno les cobraría 1.000.000 de u.m.
por él y que la compañía minera les pagaría 4.000.000 de u.m. si tuviera oro y
1.500 .000 de u .m. si contuviera otros metales preciosos; si el mineral tuviera
otros metales carentes de valor, piensan que podrían venderlo en el mismo importe en el que podrían comprarlo. Las excavaciones precisas para llegar a la
veta subterránea y demostrar fehacientemente su existencia requerirían
1.000.000 de u.m., pero, antes de adquirir el terreno y efectuarlas, están pensando en utilizar un detector e identificador superficial de metales , de patente
extranjera, que , según señala la empresa fabricante, tiene los márgenes de
acierto expresados en la tabla 1.40.
TABLA 1.40
60
Oro
0,8
O, 15
0,05
Otros metales preciosos
O, 1
0,8
o, 1
Metales sin valor
O, 1
O, 1
0,8
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Es decir , cuando el subsue lo cont iene oro, el detecto r lo aciert a en el 80 por
100 de l os casos, mient ras que se equi voca seña l ando q ue contiene o t ros m etales preciosos en el 15 po r 100 ele las ocas io nes y fa lla señalando que tiene metales sin val o r e n el 5 po r 100 ele los casos. Si el subsuel o conti ene o tros m etales prec i osos, e l detecto r se ñal a q ue t iene o ro en e l 10 por 100 ele los casos,
acertando en el 80 po r 100 ele las ocasio nes y equivocándose, al señalar q ue t iene metales si n va lo r , en el I O por 10 0 ele l os casos, etc .
El cos te ele l a utili zac i ó n de este detecto r sería de 100.000 u.m ., y el o bjet i vo de estos geólogos es max imizar su esperanza ele beneficio. Se desea saber:
a) L a secuenc i a de deci si o nes ópti ma q ue deben seguir .
b) El valo r esperado de la in fo rm aci ó n perfecta si no se util iza el detecto r
de metales.
e) El valo r esperado ele l a in formac ió n per fecta después ele haber uti I izado
el detecto r , supo niendo q ue éste hubier a ind icado la ex istenc i a ele o ro .
d) El valo r esperado ele l a información proporcio nada por la uti lizac ió n del
detec to r .
RESOLUCIÓN
De l a fo rm a habitual , se ha construid o el árbo l ele la fi g ura 1. 12 , en e l
cual se ha utili zado la si m bología de la tabla 1.4 1.
El terreno tiene oro.
TABLA 1.41
P
El terreno tiene otros metales preciosos.
M
El terreno tiene metales sin va lo r.
DO
El detector señ ala q ue el terreno t iene o ro.
DP
El detector señala que el terreno tiene otros metales p reciosos
DM
El detector señala que el t erreno tiene met ales sin valor.
D ej ando al margen , ele mo m ento, el coste ele util izaci ón del detector , los benefic ios asoc i ados a cada uno de l os resul tados son l a d iferenc ia ent re los
preci os en l os que se puede vender e l terreno en cad a caso y l os costes de adq uisici ón del mism o y de efectu ar las excavaciones . Así, si el ter reno ti ene oro ,
se o btiene:
4 .000 .000 -
J .000 .000 -
J .000.000
= 2.000 .000 U.m .
en tanto q ue si t iene otro s meta les preci osos e l benefi c io es:
J .500 .000 -
J .000 .000 -
J .000 .000
= - 500 .000 U .lll.
TOMA DE DECISIONES
61
2.000.000
265.000
FIGURA 1.12
11
-500.000
111
- 1.000.000
IV
o
V
2.000.000
VI
-500.000
VII
- 1.000.000
VIII
o
IX
2.000.000
X
-500.000
XI
- 1.000.000
XII
o
XIII
2.000.000
XIV
-500.000
XV
- 1.000.000
XVI
o
Si no tuviera sino metales sin valor , la ganancia importaría:
1.000.000 - 1.000.000 - 1.000.000 = - 1.000.000 de u.ro.
Por consiguiente, la esperanza de beneficio existente, si no se efectúa
prueba con el detector, es:
V3 = 2.000.000 · 0,2 + (- 500.000)0,5 + (- 1.000.000)0,3 = -150.000 u.m.
Con la información existente sin usar el detector, la decisión óptima es no
comprar el terreno.
Si se efectuara la prueba con el detector, habrían de modificarse las probabilidades de los sucesos O, P y M según los resultados de la misma. A estos
efectos, obsérvese que, según la tabla 1.39:
P(DO/O) = 0,8
P(DOIP) = 0,1
P(DOIM) = 0,1
62
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
P( OP/O) = 0 , 15
P( DPI P) = 0,8
P( DPI M ) = 0 , 1
P( DM/0 ) = 0,05
P(DMI P) = 0 , 1
P( DMIM ) = 0,8
Aplicando el teorema ele Bayes se han cal culado las siguientes probabi l idades, que, l uego, se incorporaron al árbo l :
P(DO) = P(DO/O) · P(O ) + P( DOI P) · P(P ) + P(DO/M ) · P(M) =
= 0,8 · 0 ,2 + 0 , 1 · 0,5 + 0,1 · 0 ,3 = 0 ,24
P(DP) = P(DP/O) · P(O ) + P( DP! P) · P( P) + P( DPIM ) · P(M ) =
= O, 15 · O,2 + O,8 · O,5 + O, 1 · O,3 = O,46
P(DM) = P(DM/O) · P(O ) + P(DMI P ) · P(P) + P(DMIM ) · P(M ) =
= 0 ,05 · 0 ,2 + 0,1 · 0 ,5 + 0 ,8 · 0 ,3 = 0,3
P( DO/ O) · P( O)
0,8 · 0 ,2
P(0/00) = ______.:,__ .:...._~ = - - - = 0 ,66
P( DO)
0,24
P(PI DO) = P(DOIP) . P( P) = _Q¿·_Q¿_ = 0,20833
P( DO)
0,24
P(MIDO) = -
P(D OI M) · P(M )
0, 1 · 0 ,3
P(DO)
0 ,24
O
- - - - - - = - - - = , 125
P( OIDP) = P(DPI O) . P(O)
P(DP)
= ~~ = 0 ,0652 174
P(P/ DP) = P(DPIP ) . P(P)
P( DP)
= 0 ,8 . 0.5 = 0 ,8695652
0 ,46
0,46
P(DPI M ) · P(M )
O 1 · O3
P(MIDP) = ___:___.:.._____:____:_. = '
'
P(DP)
0,46
P( OIDM) = P( DM/0) · P(O)
P (DM)
= 0 ,0652 174
= 0,05 ~ = 0 ,0 3J
0 ,3
P(DMIP) · P(P)
0 ,1 · 0 ,5
P( P/ DM) = ______.:,__.:...._.:___:_ = - - P(DM)
0,3
-
= 0 , 166
P(DMIM ) · P(M )
0 ,8 · 0,3
P(M / DM) = -----'---.:___--=--'- = - - - = O,8
P( DM)
0,3
TO MA DE DECISIONES
63
Calculando, después, los valores asociados a los distintos nudos, de la
forma habitual, se llega a la conclusión de que, si el objetivo perseguido es maximizar el beneficio, se debe efectuar la prueba con el detector de metales, pues
el valor esperado de su información (265 .000 u.m.) es superior al coste de su
realización (100.000 u.m.). Si el detector indica que hay oro, se deberá comprar
el terreno; si indica que hay otros metales, sean preciosos o no, no se deberá
comprar.
Obsérvese que, comparando el valor esperado derivado de la utilización del
detector (265.000 u.m.) con el coste de dicha utilización (100.000 u.m.) , se llega a la misma conclusión que si se deduce ese coste de los beneficios correspondientes a los distintos caminos que parten del empleo del detector. Utilizando este último procedimiento, en los caminos V, IX y XIII figuraría el
importe:
2.000.000 - 100.000 = 1.900.000
siendo el de los caminos VI, X y XIV:
-500.000 - 100.000 = -600.000
en tanto que a los caminos VII, XI y XV les correspondería la suma:
- 1 .000 .000 - 100 .000 = - 1.100 .000
y en los denominados VIII, XII y XVI constaría la cuantía:
O - 100.000 = -100.000
En tal caso , los valores asociados a los distintos nudos serían, como es obvio, 100.000 u.m. menores que los reflejados en el árbol de la figura, y el del
nudo 4 sería , concretamente, 165.000 u.m.; y, siguiendo el proceso de razonamiento habitual, se llegaría a la misma conclusión en cuanto a la secuencia
de decisiones óptimas.
b) Supongamos que alguien tuviera la información perfecta, es decir, que
supiera con certeza el contenido del mineral del subsuelo y que estuviera dispuesto, a cambio de cierto importe, a decírselo a los dos geólogos. Si éstos recibieran esa información y ésta fuera la confirmación de que hay oro, comprarían el terreno y ganarían la diferencia entre los 2.000.000 y el importe
abonado. Si la información fuera que hay otros metales preciosos, no comprarían el terreno y perderían el importe, H, entregado al informador. Lo mismo ocurriría si su información fuera que sólo hay metales sin valor. A priori,
no se sabe cuál sería la respuesta del proveedor de la información perfecta,
pero, dado que se asignan unas probabilidades, a los sucesos O, P y M, de 0 ,20 ,
0,50 y 0 ,30, es obvio que también se asignarán unas probabilidades del 20 por
100 a que conteste que hay oro, un 50 por 100 a que hay otros metales preciosos y un 30 por 100 a que hay metales sin valor. Por consiguiente, el resultado neto esperado de la información perfecta será:
64
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
0 ,20(2.000.000 - /-/) + 0 ,50(0 - /-/) + 0 ,30(0 - /-/) =
= (0 ,20 · 2.000.000 + 0 ,50 ·O + 0 ,30 · O) - /-/(0,20 + 0 ,50 + 0 ,30)
= (0,20 · 2 .000.000 + 0,50 · O + 0,30 · O) - /-/
El importe siluaclo enlre paréntes is es el valor esperado ele la inform ac ión
perrecla ; es la esperan za matemática ele los resultados que se pueden deri var ele
su obtención , sin tener en cuenta su cosle. Lo más que se pagaría por la informac ión perfecta (es dec ir, el máximo va lor admisible ele /-/) sería su va lor esperado, que, en este caso , val e 0 ,2 · 2 .000 .000 = 400.000 u.m.
e) Una vez que se ha utili zado el cleteclor y que ésle ha indicado la ex istencia ele oro , las probabilidades ele los cli slinLos sucesos se han alterado y, al
margen del coste ele dicha utilizac ión , en el que ya se ha incurrido , el valor esperado ele la in formación per fecta será:
0,66 · 2.000 .000 + 0 ,20833 · 0 + 0 ,125 · 0 = 1.333 .333,33 U.m.
Pues :
La pr._obabiliclacl ele que la información perfecta sea que hay oro es ele un
66 ,66 por 100 y, si ésa fuera la información , se compraría el terreno,
con lo que se ganarían 2.000.000 ele u.m.
La probabil idad de ev:1e la informació n sea que hay o tros metales preciosos es de un 20,833 por 100 y, si ésa fuera la información , no se compraría el terreno, con l o que el resultado sería nulo.
La probabilidad ele que la info rmación sea que hay metales sin va lor es
de un 12,5 por 100 y , si ésa fuera la información , tampoco se compraría
el terreno , con lo que el resultado sería nulo.
d) El valor esperad o ele la informació n ele una prueba , como la real izada
con el detector , es la diferencia entre el beneficio esperado si se realiza la prueba (presc indiendo ele su coste) y la gana ncia esperada ni no se efectúa la misma. En este caso, el beneficio esperado si se rea li za la prueba es ele 265 .000
u.m. , mientras que, si no se rea liza, no se compraría el terreno y el beneficio sería nulo. Por consiguiente, el va lor esperado de la informació n ele esta prueba
es de 265.000 u.m ., y éste es el máx imo importe que se ha ele paga r por ella ,
pues, si se pagara más , el benefi cio esperado neto del proyecto sería negativo
e igual a la diferencia entre las 265 .000 u.m. y la cantidad abo nad a.
Problema 1.4.10
El valor esperado de la información perfec ta
Si se compra un terreno y se descubre oro, se ganan 90 .000 u.m., pero si no
se descubre oro, se pierden 60.000 u.m. L a probabilidad de que no haya oro es
del 60 por 100. ¿Cuál es el valor esperado de la i nfor mació n perfecta?
TOMA DE DECISIONES
65
RESOLUCIÓN
Si la información perfecta fuera que hay oro, se compraría el terreno y se
ganarían 90.000 u.m. La probabilidad de que la información perfecta sea que
hay oro es la probabilidad de que haya oro , es decir, el 40 por 100.
Si la información perfecta fuera que no hay oro, no se compraría el terreno
y no se ganaría ni perdería nada. La probabilidad de que sea ésa la información
es la probabilidad de que no haya oro , es decir, el 60 por 100.
Por tanto , el valor esperado de la información perfecta es 36.000 u.m.:
VEIP = 90.000 · 0,40 +O · 0,60 = 36 .000 u.m.
Problema 1.4.11
La incorporación del análisis bayesiano en los árboles
de decisión
Un grupo promotor se encuentra estudiando la posibilidad de crear una empresa para lanzai- un nuevo producto, cuya demanda podría ser pequeña, mediana
o grande, con unas probabilidades que a priori se estiman en el 10, 70 y 20 por
ciento respectivamente, siendo los beneficios esperados de -200 u.m., -400
u.m. y 800 u.m. en cada uno de los casos, respectivamente. El grupo está considerando la posibilidad de realizar una investigación de mercados que, cualquiera que sea la demanda, acie1ta en su predic-ción en el 80 por ciento de los casos y comete los siguientes errores:
Cuando la demanda va a ser pequeña, afirma que la demanda será mediana en el 15 por ciento de los casos y que la demanda será grande en el
5 por cien restantes.
Cuando la demanda del producto es mediana, afirma que la demanda será
pequeña en el 10 por cien de los casos y que será grande en otro 10 por
ciento.
Cuando la demanda es grande, afirma que será pequeña en el 10 por ciento de los casos y que será mediana en el 10 por ciento restante.
Se desea conocer la secuencia de decisiones óptima que ha de tomar el grupo promotor.
RESOLUCIÓN
En la siguiente figura se ha representado el árbol de decisión correspondiente
a este caso. La primera decisión que hay que tomar es si realizar o no la investigación de mercados.
Si no se Jleva a cabo, habrá que decidir si se crea la empresa para lanzar el
producto o no se crea. Si no se crea, el resultado será nulo, pero, si se crea, el resultado que se obtenga dependerá de que la demanda sea elevada (G), mediana
(M) o pequeña (P).
66
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Si se lleva a cabo la inves ti gación. la información que proporcio ne puede ser
que la demanda será pequeiia (suceso /P), que será mediana ( IM) o que sení grande ( IG). En cualquiera de los tres casos, a la vista de esa inl'orm ación, se puede
decid ir si crear la empresa o no crearla. Si no se crea, el resu ltado sed nulo (sa lvo por el importe pagado por rea liza r la in vestigación) , pero. al igual que cuando no se hace la investigación, si se decide crear la empresa y lanzar el producto , el resultado obtenido dependení de que la demanda finalmente sea pequeña,
mediana o grande.
Según el enunciado:
P(/P/P) = 0,8
P(/MI C) = 0,1
P(/PIM) = 0, 1
P(/CIP) = 0,05
P(/P/C) = 0,1
P(/CIM) = 0, 1
P(/MI P) = O, 15
P(!C/C) = 0 ,8
P(IMIM ) = 0,8
- 140
~
·<
o
G O
-
- 400
111
800
IV
o
- 164,70
V
-200
VI
- 400
VII
800
VIII
o
~ IX
-200
I'> ~10':>
p~
º ~~
1~
354.62
~
O.o336
421,27
p~
~
-- -~
FIGURA 1.13
11
~
No Lanza
~
- 200
~
06
• 808
X
XI
- 400
800
XII
o
XIII
- 200
XIV
- 400
XV
800
XVI
o
TOMA DE DEC ISIONES
67
Para asignar probabilidades a las ramas del árbol posteriores a los sucesos IP,
IM y IG (es decir, a los que siguen a la decisión de realizar la investigación) es
preciso realizar los siguientes cálculos:
P(JP) = P(JPIP) P(P) + P(JPIM) P(M) + P(JPI G) P(G) = 0 ,8 0,1 + 0,1 0,7 +
+ 0,1 0,2 = 0 ,17
P(JM) = P(JMIP) P(P) + P(JMIM) P(M) + P(JMI G) P(G) = 0,15 0,1 +
+ 0,8 0,7 + 0 ,1 0,2 = 0 ,595
P(IG) = P(JGIP) P(P) + P(IGIM) P(M) + P(JGIG) P(G) = 0,05 0,1 + 0,1 0,7 +
+ 0,8 0,2 = 0,235
P(IPIP) P(P)
0 ,8 0 ,1 = 0 ,
P(PIIP) = - - -- = - 4706
P(IP)
0 ,17
P(IPIM) P(M)
0,1 0 ,7
P(MIIP)= - - -- - = - =0 ,4118
P(JP)
0 ,17
P(IP/G) P(G)
0,1 0,2 = 0 ,l l
P(GIIP)= - -- - - = - - 76
P(IP)
0,17
P(IMIP) P(P)
0,5 0,1 = 0,0
P(PI/M) =- - -- - = - -2521
P(JM)
0 ,595
P(IM/M) P(M)
0 ,8 0 ,7
P(MIIM) = - - -= - - = 0 ,94118
P(IM)
0 ,595
P(IM/G) P(G)
O l O2
P(GIIM) = - - -= ' ' = 0,03361
P(IM)
0 ,595
P(PIIG) = _P_(J_G_IP_)_P_(P_) = 0 ,05 0,1 = 0 ,02128
P(JG)
0 ,235
P(JGIM) P(M)
0 ,1 0,7
P(MIIG) = - - -= - = 0,29787
P(IG)
0,235
P(JGI G) P(G)
0,8 0,2
P(G/JG) = - - - = - - = 0 ,68085
P(IG)
0 ,235
68
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Una vez siLuadas las probabilidades sobre sus respecti vas rama s y procediendo de derecha a izquierda asignando a los nudos decisionales los valores más
elevados en que tienen destino las ramas que parlen de ellos, y a las rama s aleatorias los valores medios (esperados) de los nudos en los que tienen deslino las
ra111as que parten de ellos, se obtienen los resultados refl ejados en la ri gura 1.1 3.
Co1110 puede observarse, si no se reali za la in ves tigación , la decisión correcta es no lanzar el producto creando la empresa, pues, si se hiciera , se obtendría un beneficio esperado negati vo (- 140). Siguiendo la decisión ele no lanzar , el res ultado es nulo (valor asoc iado al nudo 2).
Si se hiciera la in vestigación el valor asociado es 99 u.m . (nudo 4), pues , si el
resultado ele la investi gación fuera que la demanda será peq ueña (suceso ! P) no
se lanzaría el producto, ni tampoco se lanzaría si el resulLaclo ele la investigación
fuera que la demanda será mediana (suceso IM) , pero sí se lanzaría si el suceso
fuera / G , con lo que el benefi cio esperado sería 42 1,27 u.m. , y , al calcular el valor med io de los tres casos (IP, IM e /G), se obtiene 99.
¿Se debe realizar la investigación? La respuesta depende de su coste. Si es inferior a 99 u.m. , se debe realizar pues, con ello , el resultado será positivo. Si , por
el contrario , su importe es superior a 99 u.m ., no se debe reali zar pues se incurriría en un cos te superi or al beneficio esperado.
En defi ni tiva, la secuencia de decisio nes óptima es:
- Si el coste de la in vestigación es superior a 99 u.m ., no real izarla y no
lanzar el producto.
- Si el coste de la in ves tigac ión es inferior a 99 u.m., realizar la investi gación y, si su resultado es que la demanda será pequeña o med iana, no
lanzar el producto , en tanto que, si su resultado es que la demanda será
grande, lanzar el producto.
Problema 1.4.12
El valor esperado de la información perfecta
¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta después de hacer la investigación de mercados a que se refiere el problema anterior y de que d icha info rmación haya sido que la demanda será grande?
RESOLUCIÓN
Si la in formación de la investigación ha sido que la demanda será grande, las
probabilidades son:
P(P/IG) = 0 ,02128
P(MI IG) = 0,29787
P(G!I G) = 0 ,68085
La información perfecta puede ser que la demanda será pequeña , que será med iana o que será grande, con esas probabilidades respectivas. En los dos prime-
TOMA DE DECISIONES
69
ros casos, no se creará la empresa para lanzar el producto, con lo cual el beneficio
será nulo. Por el contrario, si la información perfecta fuera que la demanda
será grande, evidentemente, se creará la empresa, se lanzará el producto y se obtendrán 800 u.m. de beneficio. Por consiguiente, el valor esperado de la información perfecta es:
0,02128 O+ 0,29787 O+ 0 ,68085 800 = 544,64
Problema 1.4. 13
Valor esperado de una in-f ormación imperfecta
¿Cuál es el valor esperado de la información de la investigación de mercados
de los dos problemas anteriores?
RESOLUCIÓN
Si no se realiza la investigación, no se creará la empresa y el beneficio que se
obtendrá será nulo. Si, por el contrario, se realiza la investigación , el valor esperado es 99 u.m. Por consiguiente, la realización de la investigación apo1ta la diferencia, que son 99 u.m. y tal es su valor esperado:
Valor esperado de la investigación= 99 - O= 99 u.m.
Este es, por tanto, el máximo importe que se debe pagar por la investigación
de mercados.
Problema 1.4.14
El valor esperado de la información perfecta
Si se compra un terreno y se descubre agua subterránea, se ganan 10.000 u.m.,
pero si no se descubre agua se pierden 4.000 u.m. La probabilidad de que no
haya agua es del 70 por 100. ¿Cuál es el límite máximo que se puede pagar por
cualquier información relativa a la existencia de agua?
RESOLUCIÓN
El problema pregunta por el valor esperado de la información perfecta.
Si la información perfecta fuera que hay agua, se compraría el terreno y se
ganarían 10.000 u.m. La probabilidad de que la información perfecta sea que
hay agua es la probabilidad de que haya agua, es decir, el 30 por 100.
Si la información perfecta fuera que no hay agua, no se compraría el terreno
y no se ganaría ni perdería nada. La probabilidad de que sea ésa la información
es la probabilidad de que no haya agua , es decir, el 70 por 100.
Por tanto, el valor esperado de la información perfecta es 3.000 u.m.:
VEIP = 10.000 · 0 ,30 + O· 0 ,70 = 3.000 u.m.
70
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 1.4. 15
El valor esperado de la información perfecta
Si se co mpra un terreno y se descubre la ex istenc ia de plata, se ga nan
5 .000 u.111 ., pero si no se descubre se pierd en 2.000 u.111. La probabilidad ele que
no haya plata es del 70 por 100 ¿Ctiéí l es el límite máximo que se puede pagar
por cualquier informac ión re lati va a la ex istenc ia ele agua?
RESOLUCIÓN
Si la informac ión perl'ecta fuera que hay plata , se compraría el terreno y se
ganarían 5 .000 u .111. La probabi I iclad ele que la in formac ión perfecta sea que hay
plata es la probabi l idad de que haya plata, es dec ir, el 30 por 100.
Si la informac ión perfecta fuera que no hay plata , no se compraría el terreno
y no se ganaría ni perdería nada. La probabilidad ele que sea ésa la informac ión
es la probabi I iclad ele que no haya plata , es deci r , el 70 por 100.
Por tanto , el valor esperado de la información perfecta es:
\IEIP = 5 .000 · 0 ,3 + 0 · 0 ,7 = 1.500 u.m.
Problema 1.4.16
El valor esperado de la información perfecta
Si se compra un terreno y se descubre agua subterránea, se ganan 50.000
u.rn. , pero , si no se descubre agua, se pierden 20.000 u.m . La probabilidad ele
que no haya agua es del 40 po r 100 ¿Cuál es el límite máx imo que se puede pagar por cual quier información relati va a la ex istenc ia ele agua?
RESOLUCIÓN
El enunc iado pregunta por el valor esperado ele la información perfecta ,
pues por cualquier otra información (q ue no será perfecta) no se deberá pagar
una cantidad superior:
\IEIP = 50.000 · 0 ,6 + O· 0,4 = 30.000 u .111 .
Problema 1.4.17
El valor esperado de la información perfecta
Para conseguir una informac ión per fecta debemos pagar 6.000 u.m. y el resultado ele la misma puede ser el suceso A. con el que ganaríamos 40.000 u.m. , o
el suceso B, con el que perderíamos 20 .000 u .m. La probabil iclacl ele que suceda
A es del 60 por I OO. ¿Cuál es el valor esperado neto ele la información perfecta?
RESOLUCIÓN
El v alor esperad o neto ele la informac ión perfecta es:
\IENIP = (40 .000 · 0 ,6) - (O · 0,40) - 6.000 = 18 .000 u.m.
TOMA DE DECISIONES
71
5.
La programación lineal. El programa dual
Problema 1.5. 1
Programación lineal. Caso de maximización
y programación en números enteros
La empresa Teleinsert, S. A., se dedica a la contratación de anuncios en la televisión para sus clientes . Uno de ellos es una empresa fabricante de galletas
para perros que le ha encargado que le consiga el máximo de emisión posible
dadas las limitaciones existentes. El máximo número de minutos que quiere contratar son 8 minutos por la mañana y 14 por la noche a la semana. En estos momentos, solamente existen dos módulos de contratación de publicidad con la televisión: el módulo A llega a 20 .000 televidentes y consta de 2 minutos durante
el día y otros 2 durante la noche, a la semana; el módulo B está formado por 2
minutos durante el día y 8 durante la noche, cada semana, y llega a 40.000 personas. Supongamos que se desea conocer el número de módulos de cada tipo
que se deben contratar, de modo que se maximice el número de personas que
ven el anuncio o el número de veces que ven el anuncio las mismas personas.
RESOLUCIÓN
Si con cada módulo del tipo A se consiguen 20 .000 visionados del anuncio
a la semana, contratando X módulos de este tipo , se conseguirán 20.000X. De
forma semejante, si se contratan Y módulos del tipo B , se consiguen 40.000Y
visionados semanales. Con lo cual, el total será:
Z = 20 .000X + 40 .000Y
Esta será, por tanto, la función objetivo a maximizar. Por otra parte, si los
minutos de emisión durante el día son 2 cada semana, por cada módulo del tipo
A, y otros 2 por cada módulo del tipo B, contratando X módulos del primer tipo
e Y del segundo , se conseguirán 2X + 2Y minutos semanales, y el máximo que
puede pagar el cliente es de 8 , por lo c ual:
2X + 2Y~ 8
De forma semejante, como el módulo A incorpora 2 minutos semanales de
emisión nocturna, el módulo B incorpora 8, y el cliente contratará como máximo 14, habrá de cumplirse la siguiente condición:
2X + 8Y ~ 14
Además, no es posible contratar un número negativo de módulos, por lo que
en todo modelo de programación lineal:
X , Y 2: 0
72
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
En definiti va, el modelo es:
Func ión objeti vo:
M ax imizar:
Z = 20.000X + 40.000Y
Restricc ión ele emi sión diurna:
2X + 2 Y :::; 8
Restri cción ele emisió n nocturna:
2X + 8 Y :::; 14
Restricciones ele no negati vidad:
X, Y 2':: 0
Se trata ele un modelo lineal , pues son lineales tanto la función objet i vo
como las restricciones. Cuando, como en este caso, sólo ex isten dos vari ables
(X e Y), para determinar cuales son los valores ele esas vari ables que, entre los
que cumplen las restri cc iones, optimi zan ( maximizan en este caso) la función
objeti vo , puede acucl irse a la resol uc ión gráfi ca.
Problema 1.5.2
Programación lineal. Caso de maximización
y programación en números enteros
Se desea resolver gráficamente el programa planteado en el problema anterior.
RESOLUCIÓN
En l a figura 1. 14 se han representado en el primer cuadrante (pues las vari ables no pueden ser negativas) las rectas:
2X + 2 Y = 8
2X + 8Y = 14
20 .00OX + 40 .000 Y = 160 .000
D acio que la solución ha ele cumplir las dos restriccio nes, y que estas tienen el
sentido «menor o igual» sólo son factibles los puntos situados en el área rayada
horizontalmente, que será la región ele soluciones posibles . Sólo los puntos ele este
área cumplen las dos restricciones; es decir, sólo ellos se encuentran en fa primera
r ecia (caso ele igualdad) o por debajo de effa (caso en el que la restricción se cumple con el signo ele menor) y en la segunda recta o por debajo ele ella.
Por otra parte, cualquier punto ele la tercera recta repo rtaría 160.000 visualizaciones, pero, ciado que ning uno ele sus puntos se encuentra en la región ele soluciones posibles, no es posible conseguir un objeti vo tan elevado. Si se hub ie-
TOMA DE DECISIONES
73
ra tomado un valor más bajo para Z (por ejemplo 150.000), se hubiera obtenido
una recta paralela a la anterior y más próxima al origen de coordenadas. Cualquier punto de esa recta proporcionaría un número de visualizaciones más bajo
que el correspondiente a los puntos de la recta anterior. El óptimo se encontrará
en la paralela que se encuentre tan alejada como sea posible del origen de coordenadas (pues mayor distancia equivale a mayor valor de Z, que es lo que se desea maximizar) que tenga, al menos, un punto perteneciente a la región de soluciones posibles. En este caso, el óptimo se encuentra en el punto P*. Dado que
este punto se encuentra en las dos primeras rectas, para determinar sus coordenadas basta resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incognitas:
2X* + 2Y* = 8
2X* + 8Y* = 14
obteniéndose:
X*= 3
Y*= 1
Por tanto , el óptimo es contratar tres módulos del tipo A y uno del tipo B.
Con ello, se consigue el mayor número posible de visualizaciones, que es
igual a 100.000:
Z* = 20.000X* + 40.000Y* = 20.000 · 3 + 40 .000 · 1 = 100.000
X
8
7_
2X + 8Y = 14
20.000X + 40.000Y = 160.000
4
x·
Figura 1.14
74
2X + 2Y = 8
y• 1,75
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
4
y
Problema 1.5.3
Programación lineal. Caso de maximización
y programación en números enteros
Un artesano dispone ele 6 unidades semanales ele mimbre y trabaja 28 horas
a la semana en las que se dedica a la fabri cació n de sombrero s y cesto s. Cada
sombrero requiere I unidad d e mimbre y 8 ho ras ele trabajo , mientras que
cada ces to precisa 2 unidades ele mimbre y 7 horas ele tiempo d ispon ible. El
precio en el que vende un sombrero es ele 80 u .m ., mientras que el ele cada cesto es ele 120 u .m. ¿Cuántas unidades de cada producto debe fabricar a la semana si desea maximiza r sus ingresos?
RESOLUCIÓN
Si con cada sombrero ingresa 80 u.m. , fabri cando y vendi end o X_, sombreros cada semana ingresará 80X_
, u.m. De for ma semejante, si fab ric a y vende X,.
ces tos, ingresará l 20X,. u.m. Sus i ngresos seman ales tota les serán:
Z = 80X·' + 120X,.
Ésta será, por tanto, la func ión objeti vo a maxi mizar. Por otra parte, si cada
sombrero requ iere I unidad ele mimbre, X, sombreros requeri rán X, unidades ele
m imbre. Por la mi sma razón, X" unidades sem anales ele producció n ele ces tos
consumi rán 2X,. unidades de m imbre y, dado que sólo dispone de 6 unidades de
es te material a la semana , habrá ele c umpl irse que:
X \ + 2X :s 6
('
Por otra parte, dacio que las neces idades ele horas semanales son ele 8 ho ras
por sombrero y ele 7 horas por ces to , y que sólo di spone ele 28 hora s semanales,
si fabri ca cada semana X, sombreros y X,. ces tos, habn1 ele c umplirse que:
8X_
, + 7 \ . :s 28
Obviamente, no es pos ibl e fabr icar can ti dades negati vas ele ni ngún producto, por lo cual , como en todo modelo ele prog ramac ión lineal:
X,. 2: O
En defi ni ti va, el modelo es:
Func ió n objetivo:
Maxim izar: Z = 80X
\
+ l 20X
('
TOMA DE DECISIONES
75
Restricciones de capacidad:
Xs + 2Xc ::; 6
8Xs + 7Xc $ 28
Restricciones de no negatividad:
El modelo se dice lineal porque lineales son la función objetivo y las restricciones. Para determinar los valores de las variables (Xs y X) que optimizan
(maximizan , en este caso) la función objetivo , cumpliendo las restricciones ,
existen diversos algoritmos. Cuando, como en este caso, sólo existen dos variables , puede acudirse a la resolución gráfica. Para representar la ecuación:
Xs + 2Xc = 6
lo más sencillo es hacer Xc = O, obteniéndose:
Xs = 6
y, luego, X., = O, en cuyo caso se obtiene:
2Xc = 6 _,. Xc = 3
Por consiguiente, la recta Xs + 2Xc = 6 pasa por los puntos (O, 6) y (3, O) de
la figura 1.15. Trazando la recta que une estos puntos se obtiene la representación de la ecuación.
Del mismo modo, se ha representado la recta 8X., + 7Xc = 28:
xs= o _,. 7Xc = 28 X e =O -
Xe = 4
8Xs = 28 _,. x. = 3,5
Obsérvese que sólo se considera el primer cuadrante, dado que las variables
no pueden ser negativas (Xs, Xc 2': O).
Los únicos puntos «factibles», es decir, que cumplen las restricciones,
son los situados en el área sombreada o sobre los segmentos que la delimitan.
Dando a Z un valor arbitrario en la función objetivo, como, por ejemplo,
480, se obtiene la ecuación:
480 = 80Xs + 120Xc
que, del mismo modo, se ha representado en la figura 1.15. Ninguno de sus
puntos se encuentra en el área de soluciones factibles. Por tanto, no es posible
alcanzar un ingreso semanal de 480 u.m. Tomando otro valor de Z como, por
ejemplo, 240, se obtiene la ecuación:
240 = 80Xs + 120Xc
76
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
6
5
4
ax.+ 7Xc = 28
3
480 = 80X. + 1 20Xc
·~
'
240 = aox. + 12ox
\ ._\.
2
o
FIGURA 1.15
2
3
4
5
que también se ha representado en la figura , obteniéndose una paralela a la anterior. A los puntos de las paralelas situados entre ell as les corresponden benefi cios comprendidos entre 240 y 480. E l máximo benefi cio que puede obtenerse es el correspondiente al punto P*, por el cual pasa una recta paralela a las
anteriores y pertenece al área de soluciones factibles . Dado que por ese punto
pasan las rectas que tienen las ecuac iones:
8X + ?Xl' = 28
.<ii
y
X s + 2X e = 6
basta resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que form an tales ecuac iones, obteniéndose:
X*,. = 1'55
X* = 2 ' 22
('
TOMA DE DEC ISIO NES
77
La solución óptima sería, para la primera semana, fabricar 1 sombrero y el
55,55 por 100 del siguiente, que se terminaría la semana posterior, y 2 cestos
y el 22 ,22 por 100 del siguiente, que también se finalizaría la semana posterior,
continuando así la producción.
Si lo que se desea son números enteros de producción (es decir, si X., y Xc
han de ser números enteros), sólo habrán de considerarse los puntos del área de
soluc iones posibles que representan soluciones enteras. En tal caso, el programa será:
Maximizar:
Z = 80Xs + 120Xc
Restricciones: Xs + 2Xc:::; 6
8Xs + 7Xc :5 28
Xs y Xc son variables enteras no negativas.
Los puntos del área de soluciones posibles que representan soluciones enteras se han marcado con aspas en la figura. El punto por el que pasa la recta Z
más alejada del origen de coordenadas es aquel en el que:
X*=
O
s
X*c = 3
Por consiguiente, si sólo se admiten soluciones enteras, la solución óptima
es elaborar 3 cestos semanales y ningún sombrero .
Adviértase que la solución entera óptima no es el punto entero más cercano a la solución que es óptima cuando se admiten soluciones fraccionarias.
Problema 1.5.4
Programación lineal. Caso de minimización
Adheruned S.A., va a iniciar a fabricación de un nuevo tipo de pegamento
que, para tener las características adecuadas de adherencia, ha de incorporar, al
menos 160 g de la sustancia química A y 200 g de la sustancia B , por cada kilogramo de pegamento. Estas sustancias pueden obtenerse a partir de la materia
prima X , que cuesta 25 u.m. cada kilogramo, y a partir de la materia Y, que
cuesta 30 u .m. por kilogramo. De cada kilogramo de materia X se obtienen 80 g
de sustancia A y 40 g de sustancia B, mientras que de cada kilogramo de materia Y se obtienen 40 g de materia A y 100 g de materia B. Se desea plantear y
resolver el programa lineal que permite minimizar los costes de esta empresa.
RESOLUCIÓN
Si la empresa utiliza, por cada kilogramo de pegamento , x kilos de materia
X e y kilos de materia Y, cada kilogramo de producto le costará:
Z = 25x + 30y
Tal será la función objetivo a minimizar.
78
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Dado que, por cada ki logramo ele las materi as X e >1, se extraen 80 y 40 g,
respec ti vamente, ele la sustancia A , y dacio, además, que cada kil ogramo ele pega mento ha de incorporar al menos 160 g ele esta sustancia, habrá ele cum plirse la restricc ió n:
80.r + 40y 2: 160
De fo rm a semejante , en cuanto a la sustancia B , se im pone la restri cc ión:
40x + 100y 2: 200
A demás, como es obvio, las cantidades util izadas ele X e >1, por cada kil ogramo de producto term i nado, no pueden ser negati vas:
x,y 2: O
Por consiguiente, el programa es :
Función objeti vo:
Min i mi zar: Z = 25.r + 30y
Restr icc iones de compos ición:
80x + 40y 2: 160
40.r + 100y 2: 200
Restricciones de no negativ idad:
x,y 2: O
Para resolverl o gráficamente, han de seguirse los siguientes pasos:
a) Representar gnffica mente, en el pri mer cuadrante (pues .r , y 2: O), las
rectas:
80.r + 40y = 160
( 1)
40.r + 100y = 200
(2)
b) Determ inar el área de las soluciones posi bles, que será el área rayada de
la fi g ura 1.1 6.
e) Representar la función Z = 25.r + 30y para un valor cualquiera de Z. Por
ej emplo:
37 ,5 = 25.r + 30y
Evidentemente, ningún punto de esta recta pertenece al área de soluciones
pos ibles, por lo que no es pos ib le tener un cos te tan baj o . El m ínimo coste posible es el correspondi ente a la recta paralela a la anterior que pasa por el punto P*. es decir, al punto en el que se produce la intersección entre las rectas que
TOMA DE DECISIONES
79
tienen como ecuaciones (1) y (2). Resolviendo el sistema formado por tales
ecuaciones se obtiene:
x* = 1,25 kg
y*= 1,5 kg
y
Oy = 160
3
76,25 = 25x + 30y
- 200
37,5 = 25x + 30y
FIGURA 1.16
2
3
4
5
X
La solución óptima consiste, por tanto, en utilizar 1,25 kg de X y 1,5 kg de
Y por cada kilogramo de pegamento. El coste en el que se incurre actuando de
ese modo, es decir, el coste mínimo en el que puede incurrirse es:
Z* = 25 · 1,25 + 30 · 1,5 = 76,25 u.m.
Problema 1.5.5
Programación lineal. Caso de maximización
Para evitar que se emborrache, la mujer del señor Trompuned, que es la que
administra los caudales familiares, sólo le da 1.000 u.m. diarias y le propina
todo tipo de amenazas y palabras malsonantes si está más de 80 minutos en el
bar. A este señor sólo le gustan la cerveza, que cuesta 50 u .m. cada jarra, en la
80
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
bodega a la q ue acucie, y el wh isk y, que cuesta 100 u.m. cada copa. Un compañero ele copeo, que es quími co, le ha dicho que cada jarra de cerveza tiene un
contenido alcohó l ico ele 11 unidades, mientras que el ele cada copa ele wh isky
es ele 14 unidades. Como larda 5 minutos en tomarse un w hi sky y 10 minutos
en bebe rse una j arra ele cerveza, desea que le digamos cuántas copas ele whi sky
y cuántas cervezas tiene que to marse ele manera que pueda vol ver a casa,
donde le espera su mujer , lo más borracho posible.
RESOLUCIÓN
Denomi nando X.,., al número ele copas ele whisky y x.. al número ele jarras de
cerveza, el modelo será:
Función objeti vo:
Maximizar: Z = 14X.,. + I IX,.
Restricción financ iera:
100X
11
•
+ 50X" :s 1.000
Restricción ele tiempo:
5X11' + 10X(' :s 80
Restricciones de no negati vidad:
En la figura 1.1 7 se han representado, en el primer cuadrante, las rectas que
tienen como ecuaciones :
1oox... + sox.. = 1.000
5X + I0Xe = 80
11·
( 1)
(2)
-
El área ele las soluc iones posibles es la zona sombreada.
Tomando un valor arbitrario para Z, como 23 1, se ha representado la recta
que tiene como ecuación:
23 1 = I 4X11, + I IX,.
Trazando paralelas cada vez más próximas al origen de coordenadas, se observa que la primera que tiene un punto perteneciente al área ele soluciones facti bles es la que pasa por el punto P*, que tendrá como coordenadas las resultantes de la resolución del sistema formado por las ecuaciones ( 1) y (2), es decir:
X';:, = 8 copas
X't = 4 j arras
TOMA DE DECISIONES
81
16
12
10
8
4
1OOXw + 50Xc = 1.000
FIGURA 1.17
4
8
12
16
20
24
El nivel máximo de alcoholización lo conseguirá tomando 8 copas de
whisky y 4 jarras de cerveza. Con ello, tomará diariamente 156 unidades de alcohol:
14 · 8 + 11 · 4 = 156 unidades
Problema 1.5.6
Programación lineal. Caso de minimización
El señor Trompuned, a quien se refiere el caso anterior, enviudó. Sin embargo, dado su nuevo horario de trabajo y la hora a la que cierra su bodega favorita, no puede dedicar a la bebida más de 120 minutos diarios. Su problema
ahora es cómo alzanzar, al menos , las 166 unidades de alcohol a partir de las
cuales comienza a marearse, sin sobrepasar ese tiempo, de la forma más barata posible.
RESOLUCIÓN
Continuando con la simbología del caso anterior, el modelo será:
Función objetivo:
Minimizar: Z' = lOOX"' + 50Xc
82
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Restri cc ión de ni vel de al cohol:
l 4X
-
11'
+ 1 1X 2== 166
(
Restri cción temporal:
sx + ox ::s 120
l\'
1
,·
Restri cc iones ele no negatividad:
X,.., X,. 2:: O
En la figura 1. 18 se han representado , en el pri mer cuadrante, las recta s que
ti enen por ecuaciones:
l 4X U'
+ 11 X = 1 66
( 1)
SX
+ I0X = 120
(2)
C'
y
11·
e
x..
24
20
5X.. + 10Xc = 120
16
12
8
14X.. + 11 XC= 166
FIGURA 1.1 8
4
8
12
16
20
TOMA DE DECISIONES
83
El área sombreada será la región de soluciones posibles .
Tomando un valor arbitrario para Z, se obtiene la ecuación:
500 = lOOX"' + 50Xc
a la que le corresponde la recta dibujada en la figura. La paralela a esta recta
que está más cerca del origen de coordenadas y que tiene algún punto perteneciente al área de soluciones posibles es la que pasa por el punto P*, en el que
se produce la intersección entre las rectas que tienen por ecuaciones (1) y (2).
Resolviendo este sistema, se obtiene como solución óptima:
X! = 4 copas
= 10 jarras
x:
con ello, el coste total de las 166 unidades de alcohol es de:
100 · 4 + 50 · 10 = 900 u.m.
Problema 1.5.7
Programación lineal. Caso de minimización
¿Cuántas soluciones tiene el siguiente programa lineal?
Minimizar:
Z = 15x + 12y
4x + 8y ~ 44
5x + 4y 2::: 40
14x + 3y 2::: 42
x,y2:::0
RESOLUCIÓN
En la figura 1 .19 se han representado las rectas:
4x + 8y = 44
5x + 4y = 40
14x + 3y = 42
en el primer cuadrante y se ha rayado la región de soluciones posibles. Luego
se ha representado la recta correspondiente a la función a minimizar:
l5x + l2y = 180
La paralela a esta recta más próxima al origen de coordenadas que tiene
puntos pertenecientes al área de soluciones posibles es la que pasa por los puntos P 1 y P2 y por todos los comprendidos en el segmento que existe entre estos
dos puntos . Por tanto, este programa lineal tiene infinitas soluciones: tantas
como puntos existen en ese segmento.
84
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
FIGURA 1.19
Problema 1.5.8
3
5,5
8
1O 11
15
y
TOMA DE DECISIONES
85
14
Programación lineal. Caso de minimización
En el programa lineal :
Minimizar :
Z = 15x + 1Sy
20x + 32y :5 25
x+ y= I
x ,y 2::: O
¿Cuantas soluciones ex isten?
RESOLUCIÓN
En la figura 1.20 se han representado las rectas:
20x + 32y = 25
x+y= l
Las únicas soluciones posibles son los puntos del segmento de la recta
x + y = 1 que se encuentran entre el punto P y la línea de ordenadas.
También se ha representado la recta que se obtiene al igualar la función objetivo a un importe arbitrario, como por ejemplo 16,5:
15x + 15y = 16,5
X
1,2
1,1
1
20x + 32y = 25
1 5x + 15y = 16,5
x+y =1
FIGURA 1.20
0,7
1 1,1
y
Como puede observarse, esta recta es paralela a la recta:
x+y=l
pues ambas tienen la misma pendiente.
Por consiguiente, todas las soluciones posibles son igualmente buenas.
Todos los puntos del segmento de esta recta comprendidos entre P y el eje de
ordenadas constituyen soluciones del programa igualmente buenas. El programa tiene infinitas soluciones.
86
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 1.5.9
Programación lineal. Caso de maximiza ción
¿Cuántas soluc iones ti ene el siguiente progra ma lineal ?
Z = 40.r + 25y
70.r + 70y ::5 650
50.r + 75y ::5 300
70.r + 35y ::5 280
Max imi zar :
x,y 2: O
RESOLUCIÓN
La tercera inecuación es más restricti va que la primera. Si aquélla se cumple,
ha ele cumplirse ésta. Por consiguiente, puede eli mi narse la primera restricción.
En la fi gura 1.2 1 se han representado en el primer cuadrante las rectas que
ti enen como ecuaciones:
50x + 75y = 300
( 1)
70.r + 35y = 280
(2)
X
50x + 75y = 300
6,25
6
40x + 25y = 250
4
3
FIGURA 1.21
?Ox + 35y = 280
2
4
6
8
10
y
Posteriormente, se ha sombreado la región de soluciones posibles y se ha representado la func ión objetivo para un valo r aleatori o de Z, como 250 . Como
puede obser varse , la para lela a esta recta más lej ana del origen de coordenadas
que tiene algún punto pertenec iente a la región de soluc iones posib les es la que
pasa por el punto P.
TOMA DE DECISIONES
87
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2), se obtiene la
solución óptima, que es sólo una. Concretamente:
x=3
y=2
Problema 1.s.10
Programación lineal. El programa dual
Se desea plantear el dual del programa a que se refiere el problema anterior.
RESOLUCIÓN
Sea el siguiente planteamiento general de un problema lineal de maximización:
Maximizar:
Z = C 1X 1 + C2X 2 + ... + C11X 11
a 11 x 1 + a 12x 2 + ... + a ,,,x,, :s b 1
ª2,x, + ª22X2 + ··· + ª2,,x,, ::; b2
ª111,x, + ª1112X2 + ··· + a,,111x,, ::; b,,,
x 1 ,x2 , ••• ,x,,::::::O
A cada problema de programación lineal le corresponde otro problema de
programación lineal denominado problema dual (PD) que tiene importantes relaciones con el original, al que, para diferenciarlos, se denomina problema primal (PP). Tales relaciones entre ambos son las siguientes:
El número de variables que tiene el PD coincide con el número de
restricciones que presenta el PP (es decir, m en el planteamiento general anterior).
El número de restricciones que tiene el PD coincide con el número de
variables que presenta el PP (nen el planteamiento general).
Los coeficientes de la función objetivo en el PD corresponden a los términos independientes de las restricciones, que se ubican del otro lado de
las variables (b" b2 , •.• , b,,,).
Los términos independientes de las restricciones en el PD corresponden
a los coeficientes de la función objetivo en el PP (e" c2 , • •• , e,,).
El problema dual de un problema dual es el problema primal original.
El valor óptimo de la función objetivo del PP (valor máximo de z) es
igual al valor óptimo de la función objetivo del PD.
El sentido de las desigualdades de las restricciones del PD y el signo de
las variables de este, dependen de la forma que tenga el signo de las variables del PP y del sentido de las restricciones del PP. Las relaciones
concretas se resumen en la denominada tabla de Tucker (tabla 1.42).
88
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
La restricción es:
(1)
(2)
(3)
TABLA 1.42
$
La variable asociada es:
.o
' o
=
lrrestricta
La variable asociada es:
La restricción es:
(4)
(5)
o
so
(6 )
lrrestricta
2:
$
2:
L a tabla se lee en los dos sentidos: de izquierda a derecha (de A a B) o de
derecha a izquierda (de B a A ) . Por ej emplo , en el primer sentido , la primera
fila de la tabl a (caso (0)) se lee "cuando el probl ema del primal es de minimi zación , el dual es de max imización" y en el segundo "cuando el problema del
primal es de maximizac ión, el dual es de mi nimización" . Las demás relaciones
de la tabla se interpretan igualmente. Por ej emplo:
E l caso ( 1) leído ele izquierda a derecha: si el problema primal es de minimi zac ión, la variable dual i asociada a una restr icción del tipo 2-: b;,
debe ser 2-: O.
Leyendo de derecha a izquierda el caso (4): si el primal es un prob lema
de max imi zación , la variabl e asoc iada a una restricc ión del ti po :5 b;.
debe ser 2-: O.
Los casos (3) y (6) si gnifican que tanto si el primal es un problema de
max imi zación, como si lo es de minimización , la vari able dual asociada a una restri cción del tipo = es irrestricta , es dec ir, libre (si n condiciona mi ento de signo).
Si una vari able de un pri mal de minimización j ha de ser no negati va
(caso (4)), la restri cción correspondiente del dual ha de ser del tipo :5 e,
1
lo cual se deduce leyendo de izquierd a a derecha.
La tabla 1.43 contiene, caso por caso, la mi sma in fo rm ación que la de
Tucker , pues se ha reali zado a partir de ella.
TOMA DE DECISIONES
89
.
TABLA 1.43
A1. Si el problema primal tiene una
restricción del tipo ~. la variable dual
asociada a dicha restricción debe ser ~ O.
A2. Si el problema primal tiene una
restricción del tipo 5 , la variable dual
asociada a dicha restricción debe ser 5 O.
A3. Si el problema primal tiene una
restricción del t ipo = , la variable dual
asociada a dicha restricción debe ser
irrestricta (libre de signo).
A4. Si el problema primal tiene una
variable ~ O, la correspondiente
restricción asociada en el dual debe ser 5 .
A5. Si el problema primal tiene una
variable 5 O, la correspondiente
restricción asociada en el dual debe ser ~ A6. Si el problema primal tiene una
variable irrestricta (libre de signo), la
correspondiente restricción asociada en el
dual debe ser = .
.
81. Si el problema primal tiene una
variable ~ O, la correspondiente
restricción asociada en el dual debe ser ~ 82. Si el problema primal tiene una
variable 5 O, la correspondiente
restricción asociada en el dual debe ser 5 .
83. Si el problema primal tiene una
variable irrestricta (libre de signo), la
correspondiente restricción asociada en el
dual debe ser =.
84. Si el problema primal tiene una
restricción del tipo 5 , la variable dual
asociada a dicha restricción debe ser ~ O.
85. Si el problema primal tiene una
restricción del tipo ~ . la variable dual
asociada a dicha restricción debe ser 5 O.
86. Si el problema primal tiene una
restricción del tipo = , la variable dual
asociada a dicha restricción debe ser
irrestricta (libre de signo).
Evidentemente, la tabla 1 .43 sería igualmente válida en caso de que se tratara de determinar el primal a partir del dual, con solo intercambiar las palabras
"primal" y "dual" en toda ella o, simplemente, teniendo en c uenta que en tal
caso el que antes era el dual pasaría a ser el primal y viceversa.
Sea el planteamiento general de un problema lineal presentado anteriormente:
Maximizar:
Z= C1X1 + C2X2 + ... + c,,x,,
ª11X1 + ª12X2 + ··· + a,,,x,, ::=; b1
ª21X1 + ª22X2 + ··· + ªz,,x,, ::=; b2
ª1111X1 + ª1112X2 + ··· + a,,,,,x,, ::=; b111
X 1,X2 , ••• ,X,, 2:: Ü
Este modelo primal tiene m restricciones y n variables y, por tanto , el modelo dual tienen restricciones y m variables. Así, aplicando las relaciones señaladas anteriormente, el dual correspondiente es:
Minimizar:
ª11Y1 + ª21Y2 + ··· + ª1111Y111 2== c1
ª12Y1 + ª22Y2 + ··· + ª1112Y111 2== Cz
ª1,,)11 + ª2,,Y2 + ·· · + a,,111Y111 2== e,,
Y1,Y2, ···,Ym 2== O
90
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Pues bien, según se ha señalado:
M in C = Max Z
En este caso, se trata de un problema de max i mi zació n, por lo cua l el dual
scní de minimi zació n. El primal tiene 3 restri cciones y 2 variables, por lo
cual el du al tenclrú 2 restri ccio nes y 3 va riables (11 , v y 111) . A demás , las vari ables del primal son mayores o ig uales que O, por lo que se trata del caso B I ele
la tabl a y las restri cciones han de ser del tipo 2:::. E n el primal las restricc iones
son del tipo :s, por lo cual se trata del caso B4 y , en consecuencia, las variables
han de ser no negati vas. Po r consiguiente, el dual será:
M i nimizar :
C = 650u + 300v + 280 1v
70u +
7011 +
50 11 +
7511 +
70111 2::: 40
35111 2::: 25
u, v, 111 2=:: 0
Problema 1.s.11
Programación lineal. Caso de maximización
Se desea resolver el siguiente program a lineal:
M ax imi zar:
Z = 120x + 75y
2 10x + 2 10y :s 1.950
IS0x + 22Sy :s 900
105x + 2 10y :s 840
x, y 2::: O
R ESOLUCIÓN
Como puede observarse en l a fi gura 1.22, la segunda restricción es más restricti va que las otras dos . Si se cumple la segunda, se cumplen las otras dos . Por
consiguiente, el área ele l as so luciones pos ibles es la l im itada por la recta correspondiente a la segunda ecuación y por los ej es de coordenadas.
En la fi gura 1.22 se ha representado también la recta correspondiente a la
ecuación que resulta ele tomar un valor arbitrari o para Zen la función objeti vo,
como 600. Como puede observarse, la paralela a esta recta más ,ilej acla del ori gen de coordenadas que tiene algún punto perteneciente a la región ele so lucio nes posibles es l a que pasa por el punto en el que x vale 6 e y va le O. Po r
consig uiente, la solució n óptima es:
x=6
y=0
TOMA DE DECISIONES
91
X
210x + 210y = 1.950
9,29
8
150x + 225y = 900
6
5
105x + 210y = 840
120x + 75y = 600
FIGURA 1.22
Problema 1.s.12
4
8 9,29
y
Programación lineal. Caso de minimización
¿Cuántas soluciones existen en el siguiente programa lineal?:
Minimizar:
Z = l2x + 9y
Sx + y 2: 5;
X+ 2y 2: 4;
4x + 3y 2: 24;
x,y 2: 0
RESOLUCIÓN
Conforme es habitual , en la siguiente figura se han representado las ecuaciones correspondientes a las restricciones. También se ha representado la
función objetivo tomando para z el valor 90.
Como puede observarse, la restricción más exigente (que comprende a las
otras dos) es la tercera, y la recta correspondiente es paralela a la función objetivo, por lo que existen infinitas soluciones.
92
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
y
10
12x + 9y = 90
8
4x + 3y = 24
5
2
FIG URA 1.23
Problema 1.s. 13
4
6
X
7 ,5
Programación lineal. Caso de minimización
Se desea resol ver el sigu iente programa l i neal :
Minimizar :
Z = 12x + 9y
Sx + y 2: 5;
X+ 2y :'S 4;
4x + 3y :'S 24;
x,y 2: O
RESOLUCIÓN
Procedi endo como es habitu al , en la siguiente figura se han representado las
ecuaciones correspondientes a las restri cciones. T ambién se ha representado la
fu nción objeti vo tomando para z el valor 36.
Como puede obser var se, el m ínimo valor de z que per tenece al área de las
so lucio nes pos ibles es aquel para el cual :
.x* = 1
y*= o
T al es, por consiguiente, la solución óptima. E l mín imo v alor posible de la
fun ció n objeti vo es :
z* = 12 · 1 + 9 · O = 12
TOMA DE DECISIONES
93
y
8
5x +y= 5
4x + 3y = 24
5
4
12x + 9y = 36
2
X+ 2y = 4
FIGURA 1.24
Problema 1.s.14
3
4
6
X
Programación lineal. El programa dual
Se desea plantear el dual correspondiente al programa del ejercicio anterior.
¿Cuánto vale la variable objetivo en el óptimo?
RESOLUCIÓN
En este caso, el primal es del tipo del dual del planteamiento general, es decir,
del tipo:
Minimizar:
ª11Y1 + ª 2,Y2 + ··· + a,,,1Y,,, 2: c1
ª,2Y1 + ª 22Y2 + .. · + a,,,2Y111 2: c2
a ,,,Y, + ª2,,Y2 + ··· + am,,Y,,, > e,,
YpY2, ·· · ,Ym 2: O
Es decir , que son aplicables los casos Al y A4 de la tabla 1.41. Por consiguiente , el dual será del tipo del primal del planteamiento general , es decir:
Maximizar:
94
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
ª11.r 1
ª 2rr1
+ ª 12X2 + ·.. + ª1,,x,, s; b1
+ 0 22x 2 + ··· + ª 2,,x,, :s h"
En este caso, el dual se rá:
Max imi zar :
e = 511 + 4v + 24w
511 + V + 4111 :S 12
11 + 2v + 3111 :S 9
ll ,V,111 2::: Ü
En el óptimo, la variabl e C vale lo mi smo que la va riabl e Z del primal , es decir, 12, según se dedujo en el problema anteri or. El máx imo de C co inc ide con
el mínimo ele Z .
Problema 1.5.15
Programación lineal. Caso de maximizació n
Se desea reso lver el sigui ente programa l inea l:
M ax imi zar:
Z
=
X+
)'
2x + y :5 4
X+ 2y :S 4
x,y 2::: O
R ESOLUCIÓN
Proced iendo como es hab itual, en la siguiente figura se han representado las
ecuaciones correspondientes a las restricciones. También se ha representado la
fu nción obj eti vo tomando para: el valor 3.
El área de las soluciones posibles corresponde a la zona sombreada. Como
puede observarse, la solución se encuentra en el punto en el que se cortan las
dos rectas correspondientes a l as ecuaciones:
2.r +y= 4
X+ 2y
=4
Resol v iendo el sistema se obtienen los valores ó ptimos:
.r* = 1,33
y* = 1,33
TOMA DE DECISIONES
95
El valor óptimo de z es 2,66:
z* = x* +y* = 1,33 + 1,33 = 2,66
y
X + 2y = 4
FIGURA 1.25
Problema 1.s.16
X
1,33
Programación lineal. Caso de maximización
Se desea resolver el siguiente programa lineal
Maximizar:
Z =
X+
y
lOx + 14y :::; 70
2lx + 15y :5 105
x ,y 2::: O
RESOLUCIÓN
Procediendo como es habitual, en la siguiente figura se han representado las
ecuaciones correspondientes a las restricciones. También se ha representado la
función objetivo tomando para z el valor 10.
El área de las soluciones posibles corresponde a la zona sombreada. Como
puede observarse, la solución se encuentra en el punto en el que se cortan las
dos rectas correspondientes a las ecuaciones:
lOx + 14y = 70
2lx + 15y = 105
96
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Resol viendo el sistema se obtienen los valores ó ptimos:
x* = 2,9 1
y* = 2,9 1
El va lor óptimo ele z es 5,82:
z* = x* +y*= 2,9 1 + 2,9 1 = 5,82
y
10
21x + 15y = 105
7
X + y = 10
5
2,91
10x + 14y = 70
FIGURA 1.26
Problema 1.s.11
2,91
5
7
10
X
Programación lineal. Caso de maximización
¿Cuántas soluciones exi sten en el siguiente programa linea l ?
Maximizar:
z = 4x + 6y
4x + 2y 2': 4
3x + 2y 2': 6
2x + 3y :5 6
.x,y2'::0
TOMA DE DECISIONES
97
y
3
·•..¿
3x +2y - 6
4x + 6y = 18
·---------..•___/
2
..........
............
-2x + 3y = 6
·---------------.
......................
(3, O)
2
FIGURA 1.27
3
--.
·--••.•_
4,5
X
RESOLUCIÓN
Procediendo como es habitual , en la figura anterior se han representado las
ecuaciones correspondientes a las restricciones. También se ha representado la
función objetivo tomando para z el valor 18.
El área de las soluciones posibles corresponde a la zona sombreada. Como
puede observarse, la recta correspondiente a la función objetivo es paralela a la
de la ecuación de la tercera restricción que limita al área de las soluciones posibles. Todos los puntos del segmento comprendido entre los puntos P y (3, O)
son igualmente óptimos. Por consiguiente, existen infinitas soluciones: tantas
como puntos tiene un segmento.
Problema 1.s.1s
Programación lineal. Caso de minimización
¿Cuántas soluciones existen en el siguiente programa lineal:
Minimizar:
Z = 16x + 8y
4x + 2y 2:". 4
3x + 6y 2:". 6
X + y 2:". 1
x , y 2:". O
98
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Procediendo como es habitual , en la siguiente figura se han representado las
ecuaciones correspondientes a las restricciones. También se ha represent ado la
func ió n objeti vo tomando para z el va lor 24.
y
/
/
3
4x + 2y = 4
2
16x + 8y = 24
x +y = 1
1,5
FIGURA 1.28
2
X
El área ele las soluciones pos ibles corresponde a la zona rayada. Como puede observarse, la recta correspondiente a la función objetivo es paralel a a la ele
la ecuac ió n de la primera restricción que limita al área de las soluc io nes posibles . T odos los puntos del segmento comprendido entre los puntos (O, 2) y P
son igual mente óptimos . Por consiguiente, ex isten infi nitas so luciones : tantas
como puntos tiene un segmento.
Problema 1.s.19
Programación lineal. Caso de maximización
¿Cuál es el valor óptimo ele la función obj eti vo en el siguiente programa lineal ?:
M axim izar:
Z = 60x + 60y
80x + l 28y 2:: 50
Sx + Sy = S
x,y 2:: O
TOMA DE DECISIONES
99
RESOLUCIÓN
Procediendo como es habitual, en la siguiente figura se han representado las
ecuaciones correspondientes a las restricciones. También se ha representado la
función objetivo tomando para z el valor 30.
y
(O, 1)
0,5
0,39
80x + 128y = 50
(1 , O)
FIGURA 1.29
0,5
0,625
X
En este caso , las únicas soluciones posibles se encuentran en el segmento
comprendido entre los puntos (0, 1) y (1, O). Como puede observarse, la recta
correspondiente a la función objetivo es paralela a la recta de dicho segmento.
Todos los puntos del segmento son igualmente óptimos. Por consiguiente,
existen infinitas soluciones: tantas como puntos tiene un segmento.
Para determinar el valor óptimo de z, basta sustituir en su expresión los valores que toman x e y en un punto cualquiera de los óptimos, como, por ejemplo, en el punto (1 , O) , obteniéndose:
z* = 60 X 1 + 60 X O = 60
El valor óptimo de z es 60.
100
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 1.5.20
Programación lineal. Caso de maximización
¿Cuántas soluc iones ti ene el siguiente program a lineal ?:
Max i111i zar:
x
8y + 5x ~ 40
3y + X ::S 3
X ::S 3
x,y ~ O
RESOLUCIÓN
Procediendo como es habi tual , en la siguiente fi gura se han representado las
ecuac iones co rrespo ndientes a las restri cc iones .
y
3y + X = 3
5
By + 5x = 40
FIGURA 1.30
3
X
8
Como puede observarse , no ex iste ningún punto que cu111pla la primera restricción (que se encuentre por encima ele la recta 8y + Sx = 40) y que también
cumpla la segunda (q ue se encuentre por debajo de la recta 3y + .x = 3) . Por
consiguiente, el programa no tiene ninguna solución.
Problema 1.5.21
Programación lineal. El programa dual
¿Se desea resol ver el primal del siguiente programa dual ?
Minimizar: G = 241 + 611 + 2v + 1v
61 + ll - \V ~ 5
41 + 2u + v + w ~ 4
1,11 ,V,IV ::2: 0
TOMA DE DECISIONES
101
RESOLUCIÓN
Es un dual del tipo del planteamiento general , es decir, del tipo:
Minimizar:
ª11Y1 + ª 21Y2 + ··· + a,,,,Y,,, ~ e,
ª12Y1 + ª 22Y2 + ... + a,,,2Y111 ~ C2
ª 111Y1 + ª 211Y2 + ··· + ª 111,Ym ~ e"
Y¡, Y2, ... ,y,,,~ O
Por consiguiente , el primal es del tipo del planteamiento general:
Maximizar:
G = c 1x 1 + c2x 2 + ... + c 11x
11
ª1 iX1 + ª12X2 + ... + a ,"x" :::::: b ,
ª 2,x, + ª 22X2 + ··· + ª 2"x" :::::: b2
ª "'1X1 + ª"'2X2 + ··· + a,,,"x":::::: b,,,
x 1, x 2, .. . , x 111 ~ O
El primal será:
Maximizar:
Z = 5x + 4y
6x + 4y:::::: 24
X+ 2y ::::'.: 6
y:::;; 2
-X+ y::::'.: 1
x,y ~ O
En la figura 1.31 se han representado las rectas correspondientes y el área de
las soluciones posibles. Dando a Z un valor arbitrario (10 en la figura) se obtiene
una recta (la representada con trazo grueso en la figura 1.31). Trazando paralelas
a esa recta, se observa que la más alejada del origen de coordenadas que tiene algún punto dentro del área de las soluciones posibles es la que pasa por el punto P* ,
cuyas coordenadas se obtienen resolviendo el sistema conespondiente .
6x + 4y = 24
X+ 2y = 6
De donde se deduce que:
x* =
3
y* = 1,5
Por consiguiente , el valor óptimo de la función objetivo es 21:
Z* = 5 · 3 + 4 · 1 ,5 = 21
102
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
y
6
6x + 4y = 24
-X + y = 1
3
2,5
2 -t-~
------:&"---r-,,.....=-~- ---_,__ _ _ __
1,5
FIGURA 1.31
Problema 1.s.22
5x + 4y = 10
2
3
4
X
6
Programación lineal. El programa dual
Se desea pl antear el dual de l si guiente prog ram a l ineal:
M ini m i zar :
Z = 7.r + 8y
2x + 3y 2'= J J
4..r + Sy 2: 22
x, y 2'= O
R ESOLUCIÓN
Con fo rme se ex puso en problemas anteriores, el dual habr á ele ser un problema ele max imizac ión con dos variables no negati vas y dos restri cciones del
ti po " menor o i gual", es decir:
M axim izar :
G = Jl u+22v
2u + 4v ~ 7
311 + Sv ~ 8
11 ,v 2: 0
TOMA DE DECISIONES
103
Problema 1.s.23
Programación lineal. El programa dual
Se desea plantear el dual del siguiente programa lineal:
Maximizar:
Z = lOx + 12y + 9z
X+ 2z ~ 30
2x + y~ 40
y+ 2z ~ 50
x,y,z:2:0
RESOLUCIÓN
Conforme se expuso en problemas anteriores, el dual habrá de ser un problema de minimización con tres variables no negativas y tres restricciones del
tipo "mayor o igual" , es decir:
Minimizar:
G = 30u + 40v + 50w
u+ 2v 2:: 10
v+ w:2: 12
2u + 2w 2:: 9
U, V 2:: 0
6.
El método PERT y los gráficos de GANTT
Problema 1.6. 1
El método PERT. Representación del grafo
Para que la empresa de asesoramiento fiscal Evasiuned, S. A., pueda comenzar sus actividades, dos obreros, apodados X e Y, han de acondicionar el local que se utilizará como oficina. El obrero X se encargará de efectuar un alisado del piso (operación A) , de enmaderarlo (operación B) , de lijarlo (operación
C) y de barnizarlo (operación D). Mientras X realiza esas operaciones, independientemente, Y alisará las paredes (operación E) y las pintará (operación F).
Cuando ambos hayan concluido esas tareas, y se haya recibido el mobiliario
(cuyo transporte es la actividad G) , entre los dos se encargarán de colocarlo
(operación H) mientras otro obrero, Z, realiza la limpieza del local y del mobiliario (operación[). Se desea representar el grafo PERT de estas operaciones.
RESOLUCIÓN
La sucesión de operaciones del operario X previas a la colocación del mobiliario se pueden representar en el grafo de la figura 1.32.
FIGURA 1.32
104
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Las flechas indica n activ idades (A es alisar el piso, Bes enmaclerarl o, Ces
lijarlo y D es barni zarl o). Los nudos i ndican situ ac iones o estados (el I representa la situación ele comienzo del trabajo, el 2 representa la situac ión en la cual
ya se ha alisado el piso y se puede proceder a su enmaderado , el 3 refl eja la situación en la cual ya se ha terminado la acti vidad de enmaderado y se puede comenzar la de lijado, y el nudo 4 refl eja el estado en el cual ya se ha lijado el
piso y se puede barnizar , tras lo cual se llega al nudo 6 , en el cual este obrero
ya está en di sposición de, en colaboración con el otro , pasar a colocar el mobi liari o un a vez recibido).
De forma semejante se representan las operaciones del obrero Y previas a la
co locación del mobiliario (figura 1.33). Obsérvese que el nudo de inicio de este
operari o es también el nudo l , pues este nudo representa el estado de comienzo del trabaj o y ambos operarios pueden comenzar simultáneamente (en
el momen to 1, X comienza a alisar el pi so e Y empieza a ali sar las paredes).
Además, el último nudo es también el 6, pues este nudo representa la situ ación
en la cual ambos operari os pueden comenzar conjuntamente a colocar el mobiliario. Dado que, para esto, es preciso que previamente el operario Y haya pasado por la situación en la cual ha finali zado la operación E (alisar las paredes)
FIGURA 1.33
~~0
el nudo que describe esta situ ación de fi nalización de E ha de tener una numerac ión anterior (5) que el ele la di spos ición para la colocac ión del mobili ario (6) (principio de designación sucesiva que prohibe numerar un nudo mientras estén sin numerar nudos de los que parten actividades que termin an en él) .
Combinando los dos grafos parciales an teri ores e i ncorporando las acti v idades de transporte del mob ili ari o al local (C) que se reali za mi entras los
dos operarios efectúan las operaciones anteri ores de acondic ionamiento, así
como l a posterior co locación del mob iliari o (H) y la simultánea l imp ieza del
mobi liario y del local(/), se obtiene el grafo de la fi gura 1.34.
o
A
H
E
5
G
FIGURA 1.34
TOMA DE DECISIONES
l 05
Una vez que X ha completado las actividades A , B, C y D , que Yha terminado las operaciones E y F, y que se ha recibido el mobiliario (ha finalizado la
actividad G), pueden comenzar las actividades de colocación del mobiliario (H)
y de limpieza ([), sin que exista ningún orden de precedencia entre He/. En un
grafo PERT no pueden representarse dos flechas que partan del mismo nudo y
que tengan también el mismo nudo de destino (principio de designación unívoca); es decir, sería incorrecto haber hecho lo representado en la figura 1.35.
H
6
7
FIGURA 1.35
Por ello , se ha acudido a la introducción de la actividad ficticiaf0 . El nudo
7 representa la situación en la que se ha finalizado la limpieza y el nudo 8 refleja aquella en la que se han terminado todas las operaciones y puede
comenzar la actividad de la empresa Evasiuned. Dado que sólo existe una situación de comienzo y una situación de finalización del trabajo, no puede
existir más de un nudo de origen (el 1) ni más de un nudo final (el 8) (principio
de unicidad del estado inicial y del estado final).
Problema 1.6.2
El método PERT. Los tiempos ear/y y el camino crítico
Los operarios X e Y, encargados del acondicionamiento de los locales de
Evasiuned, a los que se refería el problema anterior, en base a su amplia experiencia en este tipo de trabajos pueden precisar los tiempos que necesitarán
para cada una de las actividades que lo integran y han afirmado que son los de
la tabla 1 .44.
A
3
8
5
e
TABLA 1.44
106
D
1
E
4
F
2
H
2
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
El tran sport ista del mobil ia ri o se ha comprometid o a serv irlo al cabo ele 12
días y el operari o Z la rd ará un día en reali zar la li mpieza del mobili ar io y de l
local. ¿Cuál es el tiempo mínimo imprescindible para poder alcan zar cada una
ele las situaciones descritas por los nudos clei grafo PERT y para que la empresa
pueda comenzar sus acti v idades? ¿Qué actividades requieren mayor control si
no se desea que se retrase la ej ecución del trabajo sobre el mínimo impresc ind i ble?
RESOLUCIÓN
Si para realizar la acti vidad A se requieren 3 días, no se poclrci alcanzar la situación descrita por el nudo 2 an tes del tercer día contado desde el comienzo de
las operaciones (día O). Dacio que la operación B requiere 5 d ía s y que, para poder efectuarl a (enmaderar el pi so) , prev iamente hay que terminar la operación
A (alisado del pi so), la situaci ón descri ta por el nudo 3 (en la cual y a se han
efectuado las operaciones A y By puede comenzar la C) no se podrá alcanzar
hasta el octavo d ía. Por consigu iente, el tiempo early del nudo 2 es ele 3 días y
el del nudo 3 ele 8 días . El tiem po early de un nudo es el tiempo mínimo necesari o para al canzar la situac ión desc rita por ese nudo. D el mi smo modo se
han calcul ado los tiempos early de los demás nudos en el grafo PERT ele la fi gura 1.36 , en el que se ha situado en cada flecha la duración ele la actividad que
representa.
Obsérvese que el nudo 6 representa una situación en la cual el operari o X ha
terminado de barnizar el pi so, el Y ha acabado de pi ntar las paredes y se ha recibido el mobi liario (ha fina lizado la acti vidad C ) . Es posible que el décimo día
X haya term inado con el trabajo del piso (dedicando 3 días a la acti vidad A ,
5 a la B, 1 a la C y l a l a D, tal y como está previsto) y que el sexto día Y haya
FIGURA 1.36
· Los tiempos /as/ se calculan en el siguiente problema.
TOMA DE DECISIONES
107
finalizado con las paredes, pero la situación necesaria para iniciar las actividades H (colocar el mobiliario) e I (limpieza del mobiliario y del local) no se
alcanzará hasta el duodécimo día , pues son 12 los días que han de transcurrir
hasta la recepción del mobiliario. Por consiguiente, el tiempo early del nudo 6
es de 12 días. Por la misma razón, el tiempo mínimo necesario para que la empresa pueda iniciar su actividad es de 14 días. Es posible que al cabo de 13 días
el local y el mobiliario estén limpios , pero, para colocar este último , son necesarios 2 días contados a partir del duodécimo, por lo cual la situación descrita
por el nudo 8 no se alcanza hasta que han transcurrido 14 días. Adviértase que,
como es lógico , las actividades ficticias no tienen duración.
De todo lo anterior cabe concluir que el tiempo early de un nudo es igual a
la suma de las duraciones de las actividades del camino (conjunto de actividades sucesivas) más largo que, partiendo del nudo inicial, conduce a ese
nudo. Así, para llegar gráficamente al nudo 6, partiendo del nudo 1, puede seguirse el camino formado por las actividades A, B , C y D, cuya duración total
es 3 + 5 + 1 + 1 = 10, o bien el integrado por las operaciones E y F, cuya duración total vale 4 + 2 = 6, o por el formado por la actividad G, cuya duración
es de 12 días; por tanto, el tiempo early del nudo 6 es de 12 días (12 > 10 y
12 > 6).
Dado que tanto X como Y tienen que esperar a que llegue el mobiliario , tienen cierta «holgura» en su trabajo . Aunque X realice sus actividades A , B, C y
D en 12 días, en lugar de hacerlo en los 10 previstos, no habrá retraso en la ejecución general del trabajo, pues el mobiliario tarda 12 días en llegar. Por la
misma razón tampoco se retrasará la ejecución del trabajo aunque Y tarde 12
días en efectuar las operaciones E y F, y no los 6 días previstos; también Y tiene «holguras» en sus actividades. Sin embargo, si se retrasa la llegada del mobiliario sobre los 12 días previstos, se retrasará el comienzo de las actividades
de la empresa (se llegará al nudo 8 después del día 14). De forma semejante,
aunque Z se retrase un día en efectuar la limpieza, no se retrasará la finalización
del trabajo, pues X e Y necesitan 2 días para colocar el mobiliario . Como I dura
menos que H , ha de ser/ la que se dirija a la actividad ficticia por el nudo 7.
Por consiguiente, las actividades que requieren mayor control son la G y la
H, que son las actividades críticas, es decir, aquellas en las que no debe haber
retrasos si no se desea que el trabajo general se retrase. El camino formado por
estas actividades (la G y la H) es el denominado camino crítico. Es el más largo de los caminos que comunican gráficamente el nudo inicial y el final. Por
ello, su duración es el tiempo early del nudo final; es decir, el tiempo mínimo
necesario para completar el trabajo, que , en este caso, es de 14 días.
Problema 1.6.3
El método PERT. Los tiempos last
¿Cuáles son los momentos más tardíos en los que es admisible llegar a cada
una de las situaciones descritas por los nudos del grafo PERT del problema anterior, de manera que no se retrase la ejecución del trabajo sobre el mínimo imprescindible?
108
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUC IÓ N
A dichos momentos se les denomina 1ie111pos las/ ele los nudos . A sí, el tiempo last del nudo 6 es 12 días, pues, si se llegara más tarde a este nudo, al necesitarse luego 2 días para real izar la acti vidad H , al nudo 8 se llegaría después
ele 14 días. Sin embargo , el nudo 7 ti ene un ti empo las / ele 14 días: aunque se
podría llegar a l a situ ación descrita por este nudo al cabo ele 13 días , si se llega un a vez tran scurridos 14 días no se retrasa la ejecución del trabajo .
D e ese modo , proceclienclo ele derecha a izquierda , se van determinando los
ti empos las / ele los distintos nudos que se recog ieron en el gráfi co. El tiempo
las/ d e un nudo es la clzfere nc ia entre la durac ión de l camino crítico y la du rac ión d e l camino m ás larg o q11e conduce, en sentido in verso, del LÍ{ti1110
nudo al nudo en cuestión . A sí, por ej empl o, el camino más largo que conduce,
en sentido in verso al ele las fl echas, del nudo 8 al nudo 5 es el integrado por las
acti v idades H y F , cuya durac ión total es de 4 días (2 + 2) (el otro camino es el
ele las acti v idades./;" / y F , cuya durac ión es de 3 días); deduc iendo de la durac ión del camino c ríti co ( 14 días) los 4 días que duran l as acti v idades H y F ,
se obtiene el tiempo las/ del nudo 5, que es de JO días. Obsér vese que, dacio
que, si se desea realizar el trabajo en el mínimo tiempo preci so , no puede haber
retrasos en la ejecuc ión de las acti v idades críticas, ni en la consecuc ión de las
situac iones representadas por los nudos que forman parte del cam ino crítico , en
estos nudos ( 1, 6 y 8) el tiempo las/ y el earfy coinciden. Obviamente, el primer
nudo y el úl timo siempre forman parte del camino críti co y, por tanto, en
ellos ambos ti empos siempre coin ciden .
Problema 1.6.4
El método PERT. Las oscilaciones de los nudos
y las holguras de las actividades
Se desea determi nar las oscilac iones de los nudos y las holguras ele las acti vidades del grafo PERT de los problemas anter iores .
RESOLUCIÓN
La oscilac ión de un nudo es el margen de tiempo existente entre el momento
más tarde en el que es adm isible llegar al mismo (tiempo las/ de ese nudo) y el
momento más pronto en el que es posible llegar (tiempo early) . A sí , la osci lac ión del nudo 4 val e l l - 9 = 2 d ías, y la del nudo 5 es igual a 10 - 4 = 6
días. D e este modo , a partir del grafo, se han calculado las oscil aciones ele la tabl a l .45 .
Ir
TABLA 1.45
1
n2
3
4 11 5
6
o
2
2
2
o
6
II 7
8
o
TOMA DE DECISIONES
l 09
La holgura de una actividad es el exceso de tiempo sobrante para su ejecución. Así, según los distintos supuestos que se hagan, se distinguen:
Holgura total, que es el margen sobrante suponiendo que a la situación
representada por el nudo de origen se llega lo más pronto posible y que
a la del de destino se llega lo más tarde admisible. Es decir, llamando i
al nudo de origen,} al de destino, L al tiempo last y E al tiempo early, la
holgura total, HT' de la actividad que va del nudo i al}, cuya duración es
dij' será:
FIGURA 1.37
Holgura libre , H u que es el margen sobrante suponiendo que el nudo de
origen se alcanza lo más pronto posible y que al de destino se llega también lo más pronto posible; es decir:
H L = Ej - Ei - dij
Holgura independiente, H1 , que es el margen sobrante suponiendo que
al nudo de origen se llega lo más tarde que es admisible y que al de destino se llega lo más pronto posible:
H 1 = Ej - Li - diJ
Obsérvese que la oscilación del nudo de origen vale:
Oi = L i - Ei
y que la del de destino es igual a:
Oj = Lj - Ej
Por tanto , añadiendo y restando Lj, se obtiene que:
~ = ~ - ~-~=~ - ~+~ -~- ~ = ~ - ~ + ~ =~-~
Una vez calculada la holgura total de una actividad y conocida la oscilación
del nudo de destino, se obtiene así su holgura libre.
En cuanto a la holgura independiente, sumando y restando E;, se puede escribir:
~=~ - ~ - ~=~-~+~ + ~-~ = ~+~ - ~ = ~-~
Una vez conocidas la holgura libre de una actividad y la oscilación de su
nudo de origen , es posible calcular así su holgura independiente.
Los cálculos necesarios en este caso se recogen en la tabla 1.46.
110
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
TABLA 1.46
A
1-2
5
o
3
2
2
o
o
o
B
2-3
10
3
5
2
2
2
2
e
3.4
11
8
2
2
o
o
2
2
D
4-6
12
9
2
o
2
2
E
1-5
10
o
4
6
6
o
o
F.
5-6
12
4
2
6
6
6
G
1-6
12
o
12
H
6-8
14
12
2
o
o
o
o
o
6-7
14
12
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Como puede observarse, en algunas ocasiones la hol gura i ndependiente
toma valores negati vos, lo cual no refl eja sino la imposibilidad ele que se
produzcan sus supuestos. Por ej emplo , en cuanto a la activ idad 8 , es imposib le
que, partiendo del nudo ele origen lo más tarde admisible (a l cabo ele 5 días) se
llegue al nudo ele dest ino lo más pronto posible (al cabo ele 8 días) , teniéndose
que reali zar , entre tanto, una acti v idad que dura 5 días:
EJ. - L I. - d I). = 8 - 5 - 5 = - 2 días
En este caso, como en el ele la actividad C , no ex iste tiempo sobrante.
sino escasez ele tiempo para que se real icen los supuestos.
Adviértase, además, que dacia la premura ex istente en su ej ecuc ión, si se
quiere ev itar que el trabajo se retrase sobre el mínimo prev isto , nunca hay holguras en las ac ti v idades críti cas; en ell as las tres ho lguras valen cero . Por la
mi sma ra zón, las oscilaciones ele los nudos pertenecientes al cami no críti co
siempre valen cero ; segú n se seña ló anteriormente, en el los siempre co inciden
el tiempo early y el la.\·/, por lo que no ex iste oscilación.
Problema 1.6.5
El método PERT y el gráfico de Gantt
Han tran scurrido 6 días desde el comienzo de las operac iones de acondic ionamiento del local de Evas iuned , al que se refi eren los problemas anter iores, y el operar io X ya ha terminado ele alisar el pi so (operación A) y de enmaderarl o (operació n 8 ), mie ntras que el operar io l' term inó de ali sar las
paredes (operació n E) y ha pi ntado (operac ión F) la mitad ele ell as. E l mobi liario se encuentra a mitad de c am ino entre su origen y el local de Evasiunecl.
Se desea representar el gráfi co de Gantt ele este trabajo indicando la situaci ón
ele las operac iones al final del sex to día ele su ej ecuc ión.
TOMA DE DECISIONES
111
RESOLUCIÓN
El gráfico de Gantt, que debe su denominación a su creador, Harry L.
Gantt, es un sencillo instrumento de control consistente en representar en el eje
de abscisas el tiempo o las fechas de realización del trabajo, y en el de ordenadas las actividades que lo integran. Con barras horizontales se reflejan los
tiempos precisos para realizar las tareas, siendo la longitud de cada barra directamente proporcional a su duración y comienza en el momento de la iniciación de la tarea que representa, finalizando en el de su terminación. En la figura 1.38 se representa el gráfico de Gantt de este trabajo , partiendo del grafo
PERT recogido en la resolución del problema 1.6.2 . .
Un gráfico de Gantt permite controlar visualmente la ejecución del trabajo.
Así, en este caso, la recta vertical continua trazada sobre la fecha actual (es decir, al cabo de 6 días desde el comienzo de las operaciones) permite observar
los niveles de ejecución en los que se encontrarían las actividades si se hubieran
realizado en los tiempos previstos. A medida que va avanzando la ejecución de
una actividad se va rayando oblicuamente la barra que la representa. A la
vista del gráfico, se observa que el operario X lleva un adelanto de 2 días sobre
las fechas previstas (conforme a las previsiones todavía quedarían 2 días para
finalizar la operación B y ésta ya se ha terminado) mientras que el operario Y
tiene un retraso de un día (al final del sexto día ya debería haber terminado la
operación F, que dura 2 días, y sólo ha efectuado la mitad de la misma). Sin
embargo , dado que esta actividad no es crítica, este retraso no es preocupante
(Y podría tardar 6 días en terminar esta operación sin que se retrasara la ejecución del proyecto , dado que ha de esperar a que finalice la actividad G
para poder iniciar la actividad H en unión de X).
En cuanto a la actividad crítica G, viene desarrollándose conforme a las previsiones.
Actividades
A >-------<
B
e
q
o
¡
E
i
e==========~==::::
¡:
F
,
:
b
:
:
j
¡,
i'
:
:
:
~==========:::==========::J~==============::::======::::¡
H;
/¡
~
G
FIGURA 1.38
112
2
3
4
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 Días
Problema 1.6.6
El método PERT. Representación del grafo
Un proyecto consla de seis acti vidades . Las acti vidades C, D y E no pueden
comenzar hasta que termin e la A. Ad emás, la acti vidad E no se puede iniciar
hasta haberse terminado la B. Antes ele empezar la F han ele haberse f inalizado
las acli viclacles C, D y E. Se desea:
a ) Representar los grafos parci ales.
b) Determin ar las act iv id ades inic iales y las f inales.
e) Representar el grafo PE RT.
RESOLUCIÓN
a) Según la i nformación del enunciado , pueden representarse los grafos
parc iales ele la fi gura 1.39a.
FIGURA 1.39a
b) L as acti v idades inic iales son aquellas a las que no precede ning una, es
deci r , en este caso, las acti vidades A y B. Dado que no d ice el enunciado que
exi sta ninguna relación de precedencia entre A y B , puede representarse el grafo parc ial de la fi gura l .39b.
FIGURA 1.39b
~
B
La actividad fina l es la F, que es la única que no precede a nin guna.
e) D e la co njunción de los grafos parc iales anterio res res ulta el g rafo
PERT del proceso representado en la fi gura l .40 .
e
..f,
F
6
E
FIGURA 1.40
TOM A DE DECISIONES
113
Dado que B precede a E, pero no a C y D , y que E también es precedida por
A , que, a su vez, precede a C y D , ha sido necesario utilizar la actividad ficticiaf 0. Laf, es necesaria para mantener el principio de designación unívoca. Se
supone que C dura menos que D.
Problema 1.6.7
El método PERT. Representación del grafo
Para desarrollar cierto trabajo es preciso efectuar las tareas recogidas en la
tabla 1.47, en la que se señalan cuáles son las tareas que preceden a cada una de
ellas.
Se desea:
a) Representar los grafos parciales .
b) Determinar las tareas iniciales y las finales.
e) Representar el grafo PERT.
A
B
A
e
D
E
e
F
D
G
B, C
H
D, E
D,E
TABLA 1.47
114
J
F, I
K
G, H
L
K,J
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUC IÓN
a) L os graros parcial es son los representados en la ri gura 1.4 1.
FIG URA 1.4 1
b) Las tareas iniciales son A, C y D , a las que no precede ni ng una ( f ig ura
1.42).
FIGURA 1.42
La tarea final es la L , que es la única que no precede a ni nguna.
e) D e la conjunción de los g rafos parciales anteriores resulta el grafo ele la
fi gura 1.43.
A
L
e
o
F
FIGURA 1.43
TOMA DE DECISIONES
11 5
Problema 1.6.8
El método PERT. Representación del grafo
En un grafo PERT sólo existen tres actividades reales. La actividad A parte del nudo 1 y termina en el 2. La actividad B parte del nudo 1 y termina 3. La
actividad C parte del nudo 2 y termina en el 3. ¿Es correcto?
RESOLUCIÓN
Como puede comprobarse, es correcto.
A
FIGURA 1.44
Problema 1.6.9
El método PERT. Representación del grafo
Un proyecto consta de 8 actividades. La actividad D precede a las actividades C y A. La F precede a la B. La By la A preceden a la E y a la H. La H
precede a la G. ¿Cuántas actividades ficticias existen en el grafo PERT correspondiente?
RESOLUCIÓN
Como puede observarse, no existe ninguna actividad ficticia.
F
FIGURA 1.45
116
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 1.6.10
El método PERT. Representación del grafo
¿Es correcto e l s ig uie nte grafo PERT?
FIGURA 1.46
RESOLUCIÓN
No es correcto por haberse inc umplido e l princ ipio de des ignac ió n sucesiva en la m1111e rac ión de los nud os 6 y 7.
Problema 1.6.11
El método PERT. Representación del grafo
En un proyecto q ue consta de diez acti v idades, la activ idad A precede a las
actividades By C, la actividad C precede a la D, las acti vidades By D precede n
a la E, la acti vidad F precede a las acti vidades G y H , la H precede a la / , y las
actividades f y G preceden a la J . ¿Cuántas activ idades fictic ias ex isten e n e l
grafo PE RT correspondiente?
RESOLUCIÓN
En la siguiente figura se ha representado e l grafo correspondiente a este
caso. Corno puede o bservarse, no existe ning una acti v idad ficticia.
E
A
J
FIGURA 1.47
TOM A DE DE C ISIO NES
117
Problema 1.6.12
El método PERT. Representación del grafo
Si desea representar el grafo PERT de un proyecto que consta de 8 actividades y en el que: la actividad A precede a las actividades D, F y G; la actividad D precede a la E; las actividades E, F y G preceden a la C y a la H; y la C
precede a la B.
RESOLUCIÓN
A
H
FIGURA 1.48
Problema 1.6.13
El método PERT. Representación del grafo
Se desea representar el grafo PERT de un proyecto que consta de 6 actividades (A, B, C, D, E y F) y en el que la actividad A precede a la By a la E; y la
actividad B precede a la C y a la D.
RESOLUCIÓN
El grafo-PERT es el siguiente:
FIGURA 1.49
Problema 1.6.14
El método PERT. Representación del grafo y camino crítico
En un proyecto que consta de 7 actividades, la actividad A dura 9 u.t. , y la
B 4 u.t. Las demás actividades (C, D, E, F y G) duran 3 u.t. cada una. Las actividades B , D y E preceden a la C y a la G. La actividad F precede a la A , a la
B , a la D y a la E. En el PERT correspondiente , ¿qué actividades integran el camino crítico?, ¿cuánto dura?
118
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
El graro PERT es el siguiente, en el que el camino cr ítico (el más largo que
une el nudo inic ial y el f inal ) está fo rmado por l as ac tividad es F y A:
'º
E3
0
(2
G 3
B 4
F3
C3
--
-~
7
✓
r,
FIG URA 1.50
El camino crítico dura 12 u.t.
Problema 1.6.15
El método PERT. Representación del grafo
Un proyecto consta ele 6 actividades (A, B , C, D , E y F) . L a acti vidad A precede a la B y a la E. L as acti v id ades B, E y D preceden a la activ idad F.
¿Cuántas actividades fi cticias ex isten en el grafo PERT correspondiente?
RESOLUCIÓN
Como puede observarse, ex iste una so la acti vidad ficticia.
B
: fo
E
A
F
FIGURA 1.51
Problema 1.6.16
e
- :(I')
El método PERT. Representación del grafo
En un proyecto que consta ele ocho acti viclacl es, la actividad F precede a las
actividades By E, y estas dos últimas preceden a la C. Además, la ac tiviclacl A
precede a las actividades D y C, y estas dos últimas preceden a la/-/. ¿Cuántas
activ idades ficticias hay en e l g raro PERT correspondiente?
TOM A DE DECISIONES
119
RESOLUCIÓN
En la siguiente figura se ha representado el grafo correspondiente a este
caso. Como puede observarse, existen dos actividades ficticias.
··-••• ~o
o
e
.....
H
4
A
G
F
B
E
FIGURA 1.52
Problema 1.6.17
El método PERT. Representación del grafo
En un proyecto, la actividad A precede a la By a la / , la B precede a la F, a
la D y a la G, la C precede a la B, la E precede a la B y a la H , las cuales preceden a la F, a la D y a la G, y la/ también precede a la F, a la D y a la G.
¿Cuántas actividades ficticias existen en el grafo PERT correspondiente?
RESOLUCIÓN
En la siguiente figura se ha representado el grafo correspondiente a este
caso. Como puede observarse, hay cuatro actividades ficticias .
F
FIGURA 1.53
120
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 1.6.18
El método PERT. Representación del g rafo
Un proyecto consta ele seis ac ti vidades . Las ac ti v idades A , B y E precede n
a la F. Las acti vidades C y D precede n a la B y a la E. ¿Cuántas ac tividades fi ctic ias e xiste n e n e l g rafo PERT correspondie nte?
RESOLUCIÓN
A
F
FIGURA 1.54
Exi ste n do s ac ti vidades fi c ticias e n el g rafo PERT.
Problema 1.6.19
El método PERT. Representación del grafo
Un proyecto está formado por nue ve actividades . La acti vidad A precede a
las ac ti v idades C, B y E. La acti v idad E precede a la/. La C, la By la/ precede n a la H , a la C y a la D , y estas tres últimas precede n a la F. Se desea representar e l grafo PERT corres pond ie nte.
RESOLUCIÓN
En la siguiente figura se ha representado el grafo correspondiente a este proyecto.
A
FIGURA 1.55
TOMA DE DECISIONES
121
Problema 1.6.20
El método PERT. Representación del grafo
En un proyecto, las actividades A, B , C y F preceden a las actividades D y
E, las cuales, a su vez, preceden a la G y a la H. Se desea representar el grafo
PERT correspondiente.
RESOLUCIÓN
En la siguiente figura se ha representado el grafo correspondiente a este
caso.
D
G
H
FIGURA 1.56
Problema 1.6.21
El método PERT. Representación del grafo
Un proyecto consta de 11 actividades. Las actividades A y B preceden a las
actividades F, G y H. Estas tres últimas preceden a la/ y a la K. La/ precede a
la E y a la J. Las actividades K y J preceden a la D. Finalmente, la D y la E preceden a la C. Se desea representar el grafo PERT correspondiente.
RESOLUCIÓN
El grafo será el siguiente:
e
FIGURA 1.57
122
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
10
Problema 1.6.22
El método PERT. Representación del grafo
En un grafo PERT hay se is fl echas. La fl echa A va del nudo I al 2, la C va
del 2 al 5, la B va del I al 5 (que es el último), la E va del nudo I al 3, y la D va
del nudo 4 al 5 . La sex ta íl echa (() representa una acti vidad l"icti c ia que va del
nudo 3 al 4. ¿Es correcLo?
RESOLUC IÓN
No es correcto porque sobra la íl echa que representa la actividad fi ctic ia . En
consecuencia, sobra Lambién el nudo (el 4, en la fi gura) . La acLi vidad E puede ir
dirccta111ente desde el primer nudo al nudo del que parte la acti v idad D . sin necsiclad ele una acti vidad fi cLic ia inter111eclia.
e
B
r ~
►~)
FIGURA 1.58
Problema 1.6.23
o
El método PERT. Representación del grafo
Para desarrollar c ierto trabajo es preciso efecruar las tareas recogidas en la tabla 1.48, en la que se señalan cuáles son las tareas que preceden a cada una de ellas.
Se desea representar el grafo PERT correspondiente a este trabajo .
G,J
A
TABLA 1.48
B
A
J
B,D
e
B
K
E,F
D
E
L
H
E
A
M
N
F
B
N
G
G
E
o
C, K
H
e
TOMA DE DECISIONES
123
RESOLUCIÓN
Procediendo de la forma habitual , se obtiene el grafo PERT de la figura 1.59.
L
B
•Jo
\,
t,
/1
/
FIGURA 1.59
Problema 1.6.24
El método PERT. Representación del grafo
En la tabla de precedencias 1.49 se recogen las actividades precisas para
desarrollar cierto proyecto.
Se desea representar el grafo PERT correspondiente a este proyecto, suponiendo que la actividad G dura menos que la H, y la P menos que la M.
A
J
D, E, F
8
K
G, H
e
L
s, e
M
L
E
A
N
I, J
F
e
o
K
G
E
p
L
H
E
Q
O, N, M, P
D
TABLA 1.49
124
A,
F
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Resolviendo ele la forma ya habitual se obt iene el grafo PERT de la figura 1.60.
o
FIGURA 1.60
Problema 1.6.25
El método PERT. Representación del grafo
En l a tabla ele precedencias 1.50 se recogen las activ idades precisas para
desarrollar cier to proyecto.
A
D,F, H
8
A
N
J
e
A
o
J
D
e
p
L, M
E
8
Q
K
F
C, E
R
p
G
D
s
K
H
C, E
T
N, P
D
u
D, F, H
V
o
u
w
R
X
Q, S
J
K
TABLA 1.50
M
L
G, I
TOMA DE DECISIONES
125
Se desea representar el grafo PERT correspondiente. La actividad F dura
menos que la H , la S me nos que la Q y la/ menos que la G .
RESOLUCIÓN
Resolviendo de la forma habitual se obtiene el grafo de la figura 1.61.
B
:
e
:
'~
./
:
:
M
L
9 ,..__~K_ _.._
s
FIGURA 1.61
Problema 1.6.26
El método PERT. Cálculo de tiempos, oscilaciones
y holguras. Determinación del camino crítico
Sobre las flechas del grafo PERT de la figura 1.62 se han señalado las duraciones de las actividades que representan.
J
14
8
FIGURA 1.62
Se desea:
a) De terminar los tiempos early y last de los distintos nudos.
b) Especificar cuál es el camino crítico y su duración .
e) Determinar las oscilaciones de los nudos y las holguras de las actividades.
126
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Q
o
6'
H
19
J
14
Número
del nudo
~
o
~
)>
om
om
()
cñ
o
z
m
C/l
......
"'
FIGURA 1.63
Tiempo
Tiempo
early
/ast
RESOLUCIÓN
a) Procediendo según se expuso en los problemas 1.6 .2 y 1.6 .3 , se obtienen
los tiempos early y last reflejados en el grafo de la figura 1.63.
b) El camino crítico es el más largo entre los que conducen gráficamente
del primer nudo al último. Está integrado por las actividades A, C, F, H y J. Su
duración es de 139 unidades de tiempo (u.t).
e) Procediendo según se señaló en el problema 1.6.4, se han efectuado los
cálculos de la tabla 1.51.
TABLA 1.51
1
2
3 11
4
5
o
o
o
30
o
11
6
7
8
3
o
o
En las actividades críticas (A, C, F , H y J) las holguras valen siempre
cero. Las de las otras actividades se han calculado de la forma expuesta en el
problema 1.6.4, en la tabla 1.52.
TABLA 1.52
Problema 1.6.27
D
2-4
98
50
18
30
30
o
o
o
E
2-5
106
50
20
36
o
36
o
36
G
4-5
106
68
8
30
o
30
30
o
5-6
125
106
16
3
3
o
o
o
El método PERT. Cálculo de tiempos, oscilaciones
y holguras. Determinación del camino crítico
Sobre las flechas del grafo PERT de la figura 1.64 se han señalado las duraciones de las actividades que representan.
FIGURA 1.64
128
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
o
5
f,
'1,
~
M
4
~
7
,2
-i
o
~
)>
om
om
()
u=;
6
zm
en
FIGURA 1.65
Se desea:
a) Determinar los tiempos early y last de los nudos.
b) Especificar cuál es el camino crítico y su duración.
e) Determinar las oscilaciones de los nudos y las holguras de las actividades.
RESOLUCIÓN
a), b) y e). Los tiempos early y last se recogen en el grafo de la figura 1.65.
Las oscilaciones de los nudos y las holguras de las actividades no críticas se recogen en las tablas 1.53 y 1.54. El camino crítico está formado por las actividades A, E , G, J y M, cuyas holguras valen cero. La duración del camino crítico
es de 17 u.t.
TABLA 1.53
TABLA 1.54
Problema 1.6.28
2
3
4
5 11 6
7
8
9
10
11
o
5
o
4
o
o
o
3
2
o
4
B
1-4
8
o
4
4
4
e
1-2
8
o
3
5
5
o
o
o
o
o
D
3-7
9
2
5
2
o
2
o
o
F
4-6
10
4
2
4
4
o
4
-4
H
2-6
10
3
6
4
2
5
-3
6-8
16
6
3
4
o
4
4
K
8-10
17
13
2
2
2
L
8-9
17
13
3
3
o
o
o
o
o
o
o
2
El método PERT en certeza
Un proyecto está formado por tres actividades: la actividad A, que dura 8
días , la B , que dura 15 días, y la C, que dura 4 días . La única restricción de precedencia es que las actividades A y B preceden a la C. Se desea representar el
grafo PERT correspondiente, incluyendo los tiempos early y last de los nudos .
RESOLUCIÓN
La representación se ha realizado en la figura 1.66.
130
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
FIGURA 1.66
Problema 1.6.29
El método PERT en certeza
En un grafo PERT sólo ex isten tres acti v idades reales y una fi c ticia. La acti v idad A parte del nudo I y ter mina en el 2. La acti vidad B parte del nudo I y
termina en el 3 . L a acti vidad C parte del nudo 2 y termina en el 4 . La acti vidad
fi c ticia parte del nudo 3 y termi na en el 4. ¿Es correcto?
RESOLUCIÓN
No es correcto. L a actividad fi cticia y el nudo 3 sobran. La actividad B puede ir d i rectamente del primer nudo al últ i mo , que deberá ser el tercero.
Problema 1.6.30
El método PERT en certeza
D el antepenú ltimo nudo ele un grafo PERT parten dos actividades. El tiempo las/ del último nudo va le 53 y sobre la fl echa que va d irectamente del antepenúltimo nudo al último figura una duración de 3. Del penúltimo nudo al último hay una fl echa que representa una actividad ficticia. ¿Cuánto ha ele valer
el tiempo last del antepenúltimo nudo?
RESOLUCIÓN
El grado parcial correspondiente ha ele ser el ele l a fi gura 1.67, donde a denota antepenú ltimo ,p penú ltimo y II último. Puesto q ue la acti vidad que va di-
3
FIG URA 1.67
TOMA DE DECISIO NES
131
rectamente de a a u ha de tener mayor duración que la que va de a a p, el tiempo last de a ha de ser 50.
Problema 1.6.31
El método PERT en certeza
La holgura total de la actividad que va del nudo i al} vale 20. La oscilación
del nudo i vale 15 y la del nudo j vale 10. ¿Cuánto vale la holgura independiente de la actividad?
RESOLUCIÓN
La holgura independiente es el resultado de deducir, de la holgura total, las
oscilaciones de los nudos de origen y de destino. Por consigiente, la holgura independient vale - 5:
H.1 = Hl - O1 = HT - O.J - O.t = 20 - 15 - 1O = - 5
Problema 1.6.32
El método PERT en certeza
En un grafo PERT, la flecha de una actividad parte de un nudo que tiene
una oscilación de 3, y tiene su destino en un nudo que tiene una oscilación de
2. El tiempo last del nudo de destino es 44, el tiempo early del origen es 20 y
la actividad dura 10. ¿Cuánto vale su holgura independiente?
RESOLUCIÓN
La holgura total vale 14:
HT = L¡ - E¡ - dij = 44 - 20 - 10 = 14
La holgura independiente es el resultado de deducir, de la holgura total, las
oscilaciones de los nudos de origen y de destino. Por consiguiente, la holgura
independiente vale 9:
H¡ = Hl -
Problema 1.6.33
o; = HT - oj - o¡= 14 - 2 - 3 = 9
El método PERT en certeza
En un proyecto que consta de 6 actividades (A, B , C, D , E y F), la actividad
A precede a la B; y las actividades B, E y F preceden a la C. Todas las actividades duran 1 día cada una, excepto las actividades F y C, que duran 2 días
cada una, y la actividad D , que dura 5 días ¿Cuánto dura el camino crítico?
¿ Qué actividades son críticas?
132
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
El gra fo PERT es el siguiente, en el que el camino crítico (el más largo que
une el nudo i nicial y el final) está formado por la acti vidad D . Esta es, por tanto, la única acti vidad cr ítica.
FIGURA 1.68
Como puede observarse, el camino crítico dura 5 días, que es l a duración de
la única acti v id ad críti ca.
Problema 1.6.34
El método PERT en c erteza
En un proyecto que consta de 8 acti v idades, la activ idad A precede a l a E;
la B y l a C preceden a la D; y las acti vidades F, G y H preceden a l as acti v idades A , B y C. L as actividades C, D, E y H duran una u.t., las acti vidades B y
F duran dos u .t. , y las acti vidades A y G duran tres u.t. Se desea representar el
grafo, calcul ar los tiempos ea r fy y fast de los nudos, y saber cuánto valen las
hol guras l ibre y total de la acti vidad C y la holgura independiente de la acti vid ad F. ¿Cuánto du ra el cam i no crítico?
RESOLUCIÓN
En la siguiente fi gura se ha representado el grafo, en el que se han incorporado los tiempos ear fy y last de l os nudos.
H lC =
4 - 3- 1= O
H,,, = 2 - 0 - 2 = O
H.,.c = 6 - 3 - 1 = 2
TOMA DE DECISIONES
133
FIGURA 1.69
El camino crítico dura 7 unidades de tiempo.
Problema 1.6.35
El método PERT en certeza
Un proyecto consta de seis actividades. Las actividades D , E y F preceden
a las actividades A, By C. Las actividades C y F duran 9 días; las demás duran
7 días. Se desea representar el grafo, calcular los tiempos early y last de los nudos, y determinar la duración del camino crítico.
RESOLUCIÓN
En la figura se ha representado el grafo, en el que se han incorporado los
tiempos early y last de los nudos. Como puede observarse, el camino crítico
dura 18 días .
>
FIGURA 1.70
134
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema l.6.36
El método PERT en certeza
En un proyecto que consta de 9 activid ades, las act i vidades A, E, C, /-/ e /
preceden a las ac ti v idades 8 , C y D , las c uales, a su vez, preceden a la act i vidad F. Las acti v idades A , B, e / duran 8 d ías; las acti vidades E y F duran 10
días; las demás duran 7 días. Se desea representar el grafo , calcular los ti empos
eorly y los! ele los nudos, y determinar la duración del ca mino c ríti co.
RESOLUCIÓN
En la f igura se ha representado el gra fo, en el que se han incorporado los
ti empos early y las/ ele los nudos. Como puede obse r va rse, el ca mino c ríti co
dura 28 días.
>
FIG URA 1.71
Problema l.6.37
El método PERT en certeza
Un proyecto consta ele c inco acti vidades. Las ac ti v idades B y E preceden a
C, A y D. Las acti vidades A y B du ran 8 u.l., en tanto que las clemé1s duran 3 u.t.
Se desea representar el g rafo, ca lc ul ar los tiempos early y las/ ele los nudos, y
determin ar l as ho lguras de la activ idad E.
TOMA DE DECISIONES
135
RESOLUCIÓN
Seguidamente se ha representado el grafo correspondiente. Como puede observarse, las holguras de la actividad E son:
HT = Lj - E; - dij = 8 - O - 3 = 5 u.t.
H L = Ej - E¡ - dij = 3 - O - 3 = O
H 1 = Ej - L; - dij = 3 - O - 3 = O
o
<Y
FIGURA 1.72
Problema 1.6.38
El método PERT en certeza
En un proyecto que consta de 8 actividades, la actividad A precede a la D y
a la C; la actividad H precede a la F y a la G; la D y la C precenden a la B; y la
F y la G preceden a la E. Las actividades A , C, E , F y H duran 3 días , y las
otras duran 2 días. Se desea elaborar la tabla de precedencias, representar el
grafo, calcular los tiempos early y last de los nudos, y determinar la duración
del camino crítico.
RESO LUCIÓN
La tabla de precedencias es la siguiente:
136
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
-i
o
~
)>
om
om
()
éñ
6
zm
(/)
(,.)
"J
FIGURA 1.73
Actividades iniciales: A, H
Actividades finales: B , E
•
TABLA 1.55
D,C
A
F, G
H
B
D, C
E
F, G
Partiendo de dicha tabla, se ha elaborado el grafo PERT de la figura 1.73,
en el que se han incorporado los tiempos early y last de los nudos.
Como puede observarse, el camino crítico (el de mayor duración que une los
nudos inicial y final) está formado por las actividades H , F y E, y dura 9 días.
Problema 1.6.39
El método PERT en certeza
En un proyecto que consta de 6 actividades, la actividad B precede a la A;
y las actividades C y F preceden a la D y a la E. Las actividades A, By C duran
dos u.t. cada una, en tanto que las actividades F y E duran una u.t.; la actividad
D dura 3 u.t.
Se desea representar el grafo PERT correspondiente a este proyecto y determinar los tiempos early y last y las oscilaciones de los nudos, así como las
holguras de las actividades.
RESOLUCIÓN
En la siguiente figura se ha representado el grafo PERT, al que se han incorporado los tiempos early y last y las oscilaciones de los nudos (estas últimas
en círculos sobre cada uno de ellos). En la tabla 1.56 se han calculado las holguras de las actividades de la forma ya habitual.
TABLA 1.56
138
A
5- 2- 2= 1
1 - O= 1
1- 1=1
B
3- 9- 2= 1
1- 1=O
0- 0= 0
e
2 - 0 - 2= 0
0-0 = 0
0- 0= 0
D
5- 2- 3=0
0- 0= 0
0- 0 =0
E
5-2-1 = 2
2- 2=0
0- 0=0
F
2- 0- 1= 1
1- 1= O
0- 0=0
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
0
0
e
O
2
3
FIG URA 1.74
Problema 1.6.40
El método PERT en certeza
En un proyecto que consta de 9 ac ti v idades (A, B , C, D , E, F, C , H, e/), la
acti vidad A precede a la B y a la H, la B precede a la D, la D a la E, la Ha la C
y a la / , y la G y la/ a l a F . L as acti vidades A, B , D e / duran dos unidades ele
tiempo, en tanto que las activ idades C, E , F , C y H duran 3 unidades ele tiempo. Se desea: elaborar la tabla de precedencias correspondiente a este proyecto, representar el grafo PERT y determin ar los tiempos early y las/ y las osc ilaciones de los nudos, así corno las ho lguras ele las ac ti v idades .
RESOLUCIÓN
L as acti v idades iniciales son aquel las a l as que no les precede ninguna, es
decir , en este caso, la A y la C. Son acti vidades final es aquell as que no preceden a ni nguna, es deci r , la E , la F y la C . La tabla ele precedenc ias es la siguiente:
TABLA 1.57
B, H
A
D
B
E
D
G, /
H
F
G, I
TOM A DE DECISIO NES
139
En la siguiente figura se ha representado el grafo PERT, al que se han incorporado los tiempos early y last, así como las oscilaciones de los nudos en
círculos sobre cada uno de ellos. En la tabla se han calculado las holguras de las
actividades de la forma ya conocida.
ll..
C\J
C')
(!)
140
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
0
C')
ü
2 - 0 - 2 -0
10 - 2 - 2 s 6
o- o- o
o- o- o
6 - 6 =0
0- 0 =0
11 - 0 - 3 = 8
8- 0 =8
8- 0 =8
o
8- 4- 2 =2
2- 2 =0
0 - 6 = -6
E
11 - 6 - 3 = 2
2- 0 =2
2- 2 =0
0- 0 =0
0- 0=0
0 - 0 =0
0- 0=0
1- 1=O
0-0 = 0
0- 0=0
F
11 - 8 - 3 = 0
G
8- 5- 3 =0
H
5- 2 - 3 =0
8- 5- 2 = 1
TABLA 1.58
0- 0 =0
El camino c rítico es e l más largo q ue une los nudos inic ia l y final , es decir ,
e l for mado por las ac ti vidades A , H , G y F , que d ura 11 u.l.
Problema 1.6.41
El método PERT en certeza
Un proyecto consta ele 12 activ idades. La acti vidad A precede a la D, la B precede
a la E y la C precede a la F. Tanto la A, como la By como la C son precedidas por la
J, por la Ky por la L. Ade más, la G precede a la J , la H precede a la Ky la / precede a la L. Todas las actividades duran una u.t. salvo las actividades H, K, B y E, cada
una de las c uales dura 2 u.l. Se desea re presentar e l grafo, saber cuáles so n las actividades que requie ren mayor control y determ inar la duración del camino crítico.
RESOLUCIÓN
En la fi gura se ha representado e l grafo , e n e l que se ha n incorporado las durac iones de las acti vidades . Como puede observarse, e l camino de mayor du rac ión
que conduce desde e l nudo in ic ia l al fi na l est,1 formado por las actividades H , K , B
y E, que son las que reque rirán mayo r control por ser críticas. La s uma de las duraciones de estas cuatro acti vidades es 8 u.t. , que es la durac ión del camino crítico.
2
()
/
0
V
"
2
t "
B
H
/
2
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0
/
/
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/
~
"
FIGURA 1.76
TOMA DE DECISIONES
141
Problema 1.6.42
El método PERT en certeza
Un proyecto consta de nueve actividades. Antes de comenzar las actividades A, C y B (todas las cuales preceden a las actividades G, He[) , han de terminarse las actividades F , E y D. Todas las actividades duran 7 u.t. salvo la F
y la C que duran 9 u.t., y la H y la I que duran 5 u.t. Se desea representar el grafo, calcular los tiempos early y last de los nudos y determinar la duración del
camino crítico.
RESOLUCIÓN
En la figura se ha representado el grafo, en el que se han incorporado los
tiempos early y last de los nudos. Como puede comprobarse, el camino crítico
(suma de las duraciones de las actividades críticas, que son F, C y G) dura 25 u.t.
FIGURA 1.77
Problema 1.6.43
El método PERT en incertidumbre
En la figura 1.78 se ha representado el grafo PERT correspondiente a un determinado proyecto.
FIGURA 1.78
142
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Para poder esti111ar las duraciones esperadas de las act v idades, se ha preg untado a un expert o en cada acti vidad que señale cuál sería su durac ión en el
mejor de los casos ( ti e111po optimista), así como su durac ión normal ( ti empo
mélS probable) y lo que duraría en el peor ele los casos ( ti empo pesi111i sta), obteniéndose los el atos de la tabla 1.59.
A
TABLA 1.59
8
8
9
16
e
12
14
16
D
16
30
32
E
17
19
27
F
7
8
9
G
14
15
16
H
19
26
27
3
4
5
J
17
19
27
K
4
6
8
Se desea :
a) Determinar los tiempos PERT, o duraciones esperadas, de las acti vidades.
b ) D eterminar los ti empos early y las/ esperados ele los nud os.
e) Espec ificar c uál es el camino críti co y su durac ión esperada.
d) D eterminar las oscilaciones de los nudos y las holg uras ele las acti v idades en base a las durac iones esperadas ele las mism as .
RESOLUCIÓN
a) Siendo 10 el tiempo opti mista ele una activ idad, 1111 su tiempo más probable y t , su ti empo pesimista, como du ración esperada de esa acti vidad o ti empo PERT, se suele tomar la med ia aritmética ponderada:
6
TOMA DE DEC ISIO NES
143
en la que al tiempo más probable se le asigna una ponderación cuatro veces mayor que al tiempo pesimista y al optimista* . Así, la duración esperada de la atividad A vale:
4 + 4·5 + 6
- - - - - - = 5 u.t.
6
y el de la B es:
8 + 4 · 9 + 16
-- - - - = 10 u.t.
6
siendo el de la C:
· 14 + 16
-12-+-4 --- = 14 u.t.
6
De este modo se han calculado las duraciones esperadas de todas las actividades que , luego , se situaron sobre las flechas que las representan en el
grafo de la figura 1.79.
b) , e) y d) De la forma habitual , tomando como duraciones de las actividades los tiempos PERT, se han estimado los tiempos early y last situados en
el grafo de la figura. El camino crítico es el formado por las actividades A, B ,
E , H y J , siendo su duración esperada de 80 u.t.
También , de la forma habitual, se han calculado las oscilaciones de los nudos y las holguras de las actividades no críticas en las tablas 1.60 y 1.61.
TABLA 1.60
TABLA 1.61
1
2
o
o
11
3
4
5
6
7
8
9
o
o
33
o
26
14
o
e
1-6
60
o
14
46
o
46
F
4-5
76
35
8
33
33
G
4-5
76
35
15
26
26
o
o
o
o
o
7-9
80
50
4
26
o
26
26
K
6-8
80
60
6
14
14
o
D
2-9
80
5
28
47
o
47
o
o
46
o
o
o
o
47
* El supuesto general es que el tierno que dura la actividad es una variable aleatoria que sigue cierta distribución beta
acotada por sus tiempos pesimista y optimista.
144
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
-<
o
~
)>
om
om
()
iñ
6
zm
en
FIGURA 1.79
Problema 1.6.44
El método PERT en incertidumbre
El grupo editorial Edituned, G .E., va a constituir una nueva sociedad anónima que editará una enciclopedia realizada por diversos expertos en distintos
campos del saber. En la tabla 1.62 se recoge la relación de actividades necesarias y los tiempos optimistas, más probable y pesimista de cada una de ellas.
A medida que se constituya la sociedad , pueden irse seleccionando los expertos , pero para contratarlos la sociedad ha de estar constituida. Una vez que se han
tenido las relaciones previas con los expe1tos, que son posteriores a su contratación,
estos han de colaborar en la selección de los términos y en la simultánea de las fotografías e ilustraciones, tras lo cual comienzan a elaborar sus colaboraciones. La
publicidad de la enciclopedia comienza tras la encuadernación de la misma:
Se desea:
a) Representar el grafo PERT de este proyecto y determinar las duraciones
esperadas de las actividades que lo integran.
b) Determinar los tiempos early y last de los distintos nudos , así como el
camino crítico y su duración.
e) Determinar las oscilaciones de los nudos y las holguras de las actividades.
' .'
2
4
6
12
13
14
c. Selección de expertos en los distintos temas
4
5
12
D. Contratación de los expertos
0,5
E. Publicidad de la enciclopedia
2
3
4
F. Selección de fotos e ilustraciones
8
9
16
2
3
15
16
29
3
4
5
2
3
3
4
A. Constitución de la sociedad
B. Selección de los términos que incluirá
la enciclopedia
G. Reuniones previas con los expertos
H. Elaboración de las colaboraciones
por los expertos
l.
Impresión de las pruebas de la enciclopedia
J. Corrección de pruebas
TABLA 1.62
146
1,5
K. Impresión definitiva de la enciclopedia
2
L. Encuadernación
0,5
1,5
M. Distribución a librerías
0,5
1,5
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
a) y b) Según se deduce del planteami ento del prob lema, el cuadro de
precedenc ias ha de ser el de la tabla 1 .63.
A parti r del cuadro ele precedenc ias se ha elaborado el graro PERT ele la ri gura 1.80 en el que se han incorporado las duraciones esperadas de las acti vidades y los consecuentes tiempos early y las/ de los nudos. El ca m i no c rítico
está rormaclo por las acti v iclades C, D, C, B, /-1 , I, J , K, L y E, y su du rac ión esperada es ele 53 u .l.
e) Los únicos nudos c uy as osci laciones son di stintas ele cero son el 2,
cuy a oscilación es ele 2 u.l. , y el 6, que ti ene una osc ilac ión ele 3 u.l.
Las ho lguras ele las acti vidades c ríticas valen cero. Las de las ot ras activi dades se ca lc ulan en la tab la 1.64.
A
B
G
e
o
A. e
E
L
F
G
G
D
H
B, F
H
J
TABLA 1.63
TABLA 1.64
K
J
L
K
M
L
A
1- 2
6
o
4
2
2
o
o
o
F
5-6
22
9
10
3
3
o
o
o
M
12- 13
53
50
2
2
o
o
o
TOM A DE DECISIONES
147
-o
;;;:,
)>,
o
o
e;
om
º
;;:,
m
()
()
O·
z
om
m
~
-o
;;:,
m
u,
e;
FIGURA 1.80
Problema 1.6.45
El método PERT e n incertid umbre
U na vez deter minado el cami no críti co de un proyecto, res ulta esta r fo rmado por 100 act iv idades, ele las cuales:
20 acti vidades tienen una d uració n optimista de 4 días, un tiempo más
probable de 6 días y un tiempo pes im ista de 7 días.
80 acti vidades tienen una durac ión opti mista de 15 días , un tiempo
más probable ele 18 días y un tiempo pes im ista de 20 días.
Se desea conocer la duració n es perada del proyecto .
RESOLUCIÓN
En cuanto a las pri meras 20 ac ti v idades :
-
4 + 4· 6+7
d = - - - - - = 5,83333 días;
6
En cuanto a las 80 úl ti mas acti v idades :
-
15 + 4 · 18 + 20
d = - - - - - - = 17 ,83333 días;
6
Por consiguiente, la duraci ón esperada del proyecto es :
E(D ) = 20 · 5,83333 + 80 · 17 ,83333 = 1.543,3 3 días
7. La ponderación de factores
Problema 1.7. l
La ponderac ió n d e fa c to res
La empresa Localuned , S. A. , se encuentra estudiando la localización de una
nueva instalac ión independiente. Para ello, se consideran una serie de factores
co mo:
L a rentabil idad , que, a su vez, depende del cos te del terreno, loca l y
equipo , del coste ele la m ater ia pri ma y otros materi ales, del cos te de la
mano de obra , etc .
Las garantías ex istentes de conti nu idad en el suministro de materias primas y otros mater iales de producción.
La d isponibi l idad de mano ele obra con el ni vel necesari o ele cualificació n.
TOMA DE DECISIONES
149
Las relaciones laborales y sindicales y la conflictividad social.
Las disposiciones y reglamentos de las entidades oficiales de la localidad.
El nivel y la calidad de vida (clima, disponibilidad de viviendas y de
servicios, como escuelas , lugares de recreo, etc.).
Estos factores se han numerado de 1 a 8 y se les ha ponderado. Las ponderaciones asignadas se recogen en la tabla l .65.
TABLA 1.65
2
0,03
3
0,10
4
0,05
5
0,15
6
0,20
7
0,30
8
o,15
En cada una de las localizaciones alternativas (ciudades A y B) se ha asignado una puntuación de O a 10 a cada uno de los factores , según la medida en
que tales efectos se cumplen en esa localidad. Los resultados son los recogidos
en la tabla 1.66.
0,1
2
3
4
2
4
TABLA 1.66
5
5
4
5
7
6
6
9
5
7
5
6
8
7
5
Se desea saber qué localización es preferible según el modelo aditivo.
150
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Segú n el modelo ad iti vo, la puntuac ión de la locali zación j , 7> es:
Ti= Pi¡ . wl + P2¡ . w 2 + · ·· + Pm¡ . w /11
dónde P;¡ es el número ele puntos asignados subjeti vamente al factor i(i = 1, 2,
... , 111 ) en la loca l iclaclj según e l ni ve l que se considera que alcanza dicho !'actor en esa loca liclacl , W; es la ponderac ión ele ese f'a clor i y 111 el número ele !'actores considerad os relevantes .
Así, en este caso , para la c iudad A se obtiene la siguiente puntuación:
T" = O, 1 · O,02 + 1 · O,03 + 2 · O, JO + 1 · O,05 + 7 · O, 15 + 9 · O,20 +
+ 5 · 0 ,30 + 7 · 0 , 15 = 5,682 puntos
En tanto que la puntuación ele la c iudad B va le:
T,J = 5 · O,02 + 4 · O,03 + 5 · O, 1O + 4 · O,05 + 6 · O, l 5 + 5 · O,20 +
+ 6 · 0 ,30 + 5 0 , 15 = 5,37 pu ntos
Por ser mayor su puntuació n, es preferibl e la localización en la c iudad A .
Problema 1.7.2
La ponderación de factores
¿Cuál sería la decisión ele la empresa Localunecl, S. A ., del prob lema antenor , si ap li ca el modelo multiplicati vo?
RESOLUCIÓN
Cuando se considera muy importante que la local iclacl eleg id a cumpla mínimamente en cada uno ele los fac tores considerados, puede ser preferi ble el
modelo multiplica ti vo sigui ente:
Tj = J""'i
_, l j • J""'
_, 2jo , ' ' · , J""'n
-' 11j
En este segundo proced imiento , el que un úni co facto r ten ga poca puntuac ió n hace que la puntuación globa l ele la localizac ió n sea baja. Por tanto, da
preferenc ia a aq uell as alternativas que no tienen baja puntuación en ninguno ele
los facto res .
A sí , en cuan to a la c iudad A , el resultado es:
T" = oy1.02 . ¡o.o, . 20.10 . ¡ o.os . 70.1.5 . 9 0.20 . 50.,0 . 70.1s = 4,6 15 puntos
En tanto que la puntuac ión de la c iudad B vale:
r,1 = 50.n2 . 40.03 . 50.10 . 40.m . 60,1.5 . 50.20 . 6<uo . 50.1 s = 5.33 1 pun tos
Según este modelo es preferibl e la localizac ió n en la c iudad B.
TOMA DE DECISIONES
151
Problema 1.7.3
La ponderación de factores
La empresa Local, S. A., dedicada a la producción de conservas vegetales
va a ampliar sus instalaciones abriendo una nueva factoría. Para su ubicación
considera dos posibilidades: las ciudades X e Y. Los responsables de la selección consideran tres factores fundamentales por su incidencia en el coste total
de producción:
Factor 1: El coste de la mano de obra.
Factor 2: El coste de transporte de los productos terminados.
Factor 3: El coste de las materias primas.
La ponderación de cada uno de estos factores depende de la incidencia del
coste correspondiente en el coste total de la producción.
Dado que la incidencia del coste de la mano de obra es mayor que el del
transporte de los productos terminados y que la de éste es, a su vez, mayor que
la del coste de las materias primas, las ponderaciones asignadas han sido las siguientes:
Factor 1: O,5
Factor 2: 0 ,3
Factor 3: 0,2
Una vez analizadas cuidadosamente las dos ciudades, se ha otorgado a
cada una de las ciudades en cada uno de los factores las puntuaciones de la tabla 1.67 ¿Qué localización es preferible aplicando el modelo aditivo?
TABLA 1.67
1
2
2
8
9
3
RESOLUCIÓN
En cuanto a la primera alternativa de localización:
T.,=P1x . wl + P2, . w 2 + ... + Pmx . w/11 =
= 2 · O,5 + 8 · O,3 + 9 · O,2 = 5 ,2 puntos
En cuanto a la segunda:
T>' =P1y . W1 + P2r . W2 + .. · + Pmy . Wm =
= 8 · 0,5 + 6 · 0,3 + 4 · 0,2 = 6 ,6 puntos
La nueva factoría se ubicará en la ciudad Y, a la que le corresponde mayor
cantidad de puntos.
152
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 1.7.4
La ponderación de factores
¿Cuál será la sol ució n del problema de la empresa L oca l , S. A ., del problema anteri or si se emplea el modelo mu lti pl ica ti vo?
RESOLUCIÓN
En cuanto a la pri mera alternati va ele locali zac ión:
T , = p;'./ · p;_·,' · ... · p1'1';,;• = 2º·5 • 8º·3 • 9º·2 = 4,08 pu ntos
En cuanto a la segunda:
5 · 6º·3 · 4º·2 = 6 38 puntos
1
T)' = ¡1"'/y1 • ¡1"'
• ••• • ¡1"',., = 8º
2y
my
'
Por consiguiente, la sol ución es la misma que con el modelo ad iti vo: la mejor ubicación es la ciudad Y.
TOMA DE DECISIONES
153
Parte 11
Dirección financiera
Capítulo 2.
Beneficio, rentabilidad y equilibrio financiero
Capítulo 3.
Rentabilidad y coste financiero
Capítulo 4.
Riesgo y valoración de empresas
Beneficio, rentabilidad
y equilibrio financiero
Los costes en la empresa
Documentos financieros básicos
Beneficio y rentabilidad
El equilibrio económico-financiero de la empresa,
el fondo de rotación o maniobra y el periodo medio
de maduración
Los ratios
2
l . Los costes en la empresa
Problema 2. 1. 1
Los costes en la empresa
El pasado año en ACJSA fabricaron 6 millones de unidades ele su produ cto con un coste variable unitario de 0 ,25 un idades monetarias (u.rn) en concepto
de materia prima y m ano ele obra que req uiere cada unidad. Además, incurrieron en un cos te fijo ele 10.500 .000 u .m. Se desea conocer su coste mee! io en
ese año.
RESOLUCIÓN
Multiplicando el número ele unidades fab ri cadas por el coste var iable que
tu vo cada una, se obtiene un coste variable tota l ele 1.500.000 u.m .:
6 .000 .000 · 0 ,25 = 1.500.000 U.111.
Además, incurrieron en un coste fijo ele I O.500 .000 u .111 . , por lo cual su coste total fue 12.000.000 u.111.:
Coste to tal = Coste fijo + Coste va ri able =
= 10.500.000 + 1.500.000 = 12 .000.000 U.111.
Di v idiendo el cos te to tal entre el número ele uni dades fabri cadas, se clecluce que su coste tota l med io fue 2 u .111.:
12.000 .000
6.000.000
---,--,----,---,- = 2 u .111
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
159
Problema 2. 1. 1
Los costes en la empresa
Cierto tipo de butaca ortopédica se puede fabricar artesanalmente en un pequeño taller, lo cual apenas requiere inversión en maquinaria, pero genera grandes costes variables de mano de obra y de otro tipo, o de modo más mecanizado , lo cual requiere la adquisición de grandes activos fijos que provocan
grandes costes fijos anuales, principalmente en concepto de amortizaciones ,
aunque precisa menores costes variables. En el siguiente cuadro se sintetizan
los costes asociados a las dos opciones:
Producción artesanal
TABLA 2.1
500
Producción mecanizada
12,5
Se desea:
a) Representar la evolución de los costes de ambas opciones en función del
número de u.f. vendidas.
b) Conocer el número de unidades físicas (u.f.) vendidas anualmente para
el cual son indiferentes las dos opciones en cuanto a costes.
e) Determinar el coste total y el coste medio de ambas opciones en ese caso
de indiferencia.
RESOLUCIÓN
a) En la figura 2.1 se han representado las siguientes rectas:
Los costes de la fábrica artesanal:
CTP = CFP + c,,PV
CTP = 50 + 25V
Los costes de la fábrica grande:
CTG = CFG + c,,gv
CTG = 500 + 12,5V
160
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Costes
= 50 + 25V
Cm = 500 + 12,5V
C TP
950 .
••·· ••.•
••
50 -r--- - - - - --
FIGURA 2.1
- - - - - - - - - , , - - - - - - - - - C FP
0 - t - - - - - - - - - - - - - - - - ~~ -- - - - - - -36
V
b ) Para determin ar el número de unidades físicas anuales para el cual son
ind iferentes las dos opci ones en cuanto a costes, V*, basta igualar ambas
ex presio nes:
CTI'
=so+ 25V* = CTG = 500 + 12,SV*
Obteniéndose 36 un idades al año:
V* = 36 u.f.
Como puede observarse en la fi gura, para volúmenes de producción anual
super iores a 36 .uf. es preferib le l a f ábrica gran de, a la que le corresponderán
unos costes totales menores . Para volúmenes an uales in feriores a 36 u.f. es preferibl e la fábrica artesanal. Po r co nsiguiente, la decisión entre una u otra req uiere prever la demanda anua l .
BENEFICIO . RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
161
e) El coste de ambas opciones para ese volumen de producción y ventas es,
concretamente, de 950 u.m. al año:
50 + 25 · 36 = 500 + 12,5 · 36 = 950 u .m.
Dividiendo el coste total entre el número de unidades fabricadas, se deduce que su coste total medio en ese caso sería 26,39 u.m.:
950
36 = 26,39 u.m
2.
Documentos financieros básicos
Problema 2.2.1
El balance
La empresa Bruned, S. A., dispone de un terreno valorado en 100 millones
de u.m. , un edificio que importa 50 millones de u.ro. , maquinaria valorada en
25 millones y elementos de transporte (fundamentalmente camiones) por un
monto total de 12 millones. Además, su inventario de materias primas, productos semielaborados y productos terminados totaliza 30 millones, tiene una
cuenta corriente bancaria con un saldo de 400.000 u.m. y 600.000 u.m. en caja,
y sus clientes le deben 2 millones. ¿Cuánto vale su activo?
RESOLUCIÓN
El activo está formado por el conjunto de bienes y derechos que tiene la empresa. En el caso de Bruned, S. A., vale 220 millones de u.m.:
A= 100 + 50 + 25 + 12 + 30 + 0,4 + 0,6 + 2 = 220 millones de u.m.
Problema 2.2.2
El balance
La empresa Bruned, S . A., a la que se refiere el problema anterior, debe la
cuarta parte del terreno y la mitad del edificio . Estas deudas vencen dentro de
5 años. Además, para la adquisición de la maquinaria obtuvo un crédito a
largo plazo que importa 12 millones y que tendrá que pagar dentro de 4 años.
Por último, tiene un crédito bancario a corto plazo de 700.000 u.m. y debe a sus
proveedores 300 .000 u.m. ¿Cuánto importan sus recursos ajenos?
162
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Se denomina «recursos ajenos» a las deudas que tiene la empresa. En este
caso, importan 63 mill ones:
25 + 25 + 12 + 0,7 + 0 ,3 = 63 mill ones u.m .
Problema 2.2.3
El balance
¿Cuánto va le el patrimoni o ele l a empresa de los problemas anteri ores?
Co mpruebe el cumplimiento ele la ecuació n del patrimonio.
RESOLUCIÓN
El valor del patrimonio se determi na por d iferencia entre el activo y los recursos ajenos. Por ello , también se le denomina «patrimonio neto» o «neto patrimon ial ».
Se denom ina «pasivo» en sentido restring ido a las deudas. De ahí la denominada «ecuación del patrimon io», que es la siguiente:
Acti vo = Pasi vo + Neto
En sentido amplio, se denomina «pasivo» al co njunto de las fu entes de f inanciación del acti vo .
En en este caso, la empresa tiene bienes y derechos valorados en 220 millones ele u.m., pero , como debe 63, su patrimonio va le 157 millones de u.m.:
220 - 63 = 157 millones u.111.
En el caso de esta empresa , se comprueba el cumplimiento de la ecuación
del patrimonio:
220 = 63 + 157
Problema 2.2.4
El balance
¿Cuál es la composición del pasivo, en sentido ampl io , de la empresa Bruned , S. A ., a la que se refieren los prob lemas anteri ores?
RESOLUCIÓN
Esta empresa tiene un acti vo de 220 millones ele u .111., de los que ha financiado con recursos aj enos 63 millones. Por consiguiente, la diferencia la ha fi nanciado con recursos propios . L a composición del pasivo de esta empresa será:
Recursos ajenos ............... 63 .000 .000
Recursos propios ............. 157 .000.000
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
163
Problema 2.2.5
El balance
Presente el estado de inventario de la empresa Bruned.
El estado de inventario es un documento en el que se detallan los componentes del activo y del pasivo con indicación de sus respectivos valores.
El convenio generalmente admitido es situar el activo a la izquierda y el pasivo a la derecha.
Obviamente, el activo total ha de coincidir con el pasivo total: lo que vale
el conjunto de activos ha de coincidir con el valor de las fuentes de su financiación.
RESOLUCIÓN
En el caso de nuestra empresa, será el siguiente (en millones):
•
Terrenos
Edificio
Maquinaria
Elementos de transporte
Existencias
Bancos
Caja
Clientes
Total activo
Problema 2.2.6
100
50
25
12
30
0,4
Recursos ajenos
Recursos propios
63
157
Total pasivo
220
0,6
2
220
El balance
Interprete el balance al 31 de diciembre del pasado año de la empresa
Desean, S. A., que es el siguiente:
"•-••.-..IJ
=
Caja
Bancos
Construcciones
Terrenos
Clientes
Mercaderías
100.000
400.000
7.000.000
3.000.000
400.000
5.000.000
Total activo
16.000.000
Capital social
Reservas
Deudas a largo plazo
Proveedores
Total pasivo
5.000.000
5.000.000
5.000.000
1.000.000
16.000.000
A la vista de este balance, se deduce que en ese día, en cuanto al activo, en
la caja de Desean, S. A., hay 100.000 u .m. en billetes y monedas, tiene 400.000
u.m. en cuentas corrientes, tiene edificios y otras construcciones por un importe
164
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
igual a 7.000.000 ele u.111 ., sus terrenos importan 3 .000.000 , los clientes le ele- ·
ben 500.000 u.m . y en los almacenes tienen in ventariadas mercaderías que impo rtan 5 .000.000 ele u.m . En cuanto al pasivo, se observa que el capital soc ial
(aport ac iones ele los propietarios de la empresa a su financiación) totali za 5 mi llo nes, que ha constitui do unas reservas ele otros 5 millones mediante la retención ele beneficios, que tiene unas deudas a largo pl azo ele 5.000.000 y que
debe a sus proveedores 1.000.000 ele u.m.
Problema 2.2.7
El balance
¿Cuál es el importe de los recursos propios ele la e111presa del problema anterior?
RESOLUCIÓN
En la mayor parte de las empresas, las principal es fuentes ele recursos
propi os son el capital social y l as reservas.
El capital soc ial se encuentra formado por las aportaciones di rectas de los
socios a la fin anciación de la empresa.
Si , en un año concreto , una empresa tiene pérdidas, su importe se recoge en
el activo. Si obtiene beneficios, hasta el momento de su reparto o asignación se
sitúan en el pasivo. En ocasiones, no tocio el benefi cio se reparte a los socios en
forma de div idendos, sino que parte del mismo o su totalidad se retiene en la
empresa para finan ciar acti vos. En tal caso, evidentemente, el importe retenido se recogerá en el pasi vo como tal fuente de financiación y, concretamente,
bajo la rúbrica de «reservas» . T ambién es evidente que las reservas consti tuyen
recursos prop ios, pues no son deudas.
Por consiguiente, esta empresa tiene dos partidas de recursos propios : el capital social y las reser vas, que totalizan 10 millones ele u.m.
5.000.000 + 5.000.000 = 10.000.000 de u.m.
Problema 2.2.8
La cuenta de resultados
L a compañía Ind , S.A. , fabri ca cierto componente indu stria l para l a industri a de electrodo mésticos . U na vez deduc id as las escasas devo l uciones
que se produjeron , el año pasado vendió J .000 unidades de su producto con un
coste variabl e unitario (fund amentalmente materi a prima y mano de obra) de
0 ,25 u.m. y un precio medio de venta neto de descuentos ele 2 u.m . cada unidad
de prod ucto. El cos te fijo en ese año importó 7 .000 u.m . Se desea conocer su
margen bruto , y su EB ITDA.
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
165
RESOLUCIÓN
Sus ventas netas importaron 2.000 u.m.:
1.000 · 2 = 2.000 u.m.
Dado que el coste variable de cada unidad fue 0,25 u .m., el coste variable
total importó 250 u.m.:
1.000 · 0 ,25 = 250 u.m.
Por consiguiente, el margen bruto fue 1.750 u.m .:
2.000 - 250 = 1.750 u.m.
Deduciendo lo costes fijos, que fueron 750 u.m., se obtiene el beneficio antes
de intereses, amortizaciones e impuestos (EBITDA), que totalizó 1.000 u.m.:
1.750 - 750 = 1.000 u.m.
Problema 2.2.9
La cuenta de resultados
Ind, S.A., a la que se refiere el problema anterior, dotó amortizaciones por
400 u.m. el año pasado. Esta empresa no tiene inversiones financieras , por lo
cual no tuvo ingresos de este tipo, pero sí tiene deudas y por ello incurrió en
unos gastos por intereses que importaron 20 u.m. Además , vendió un terreno
contiguo a la fábrica que tenía para un posible crecimiento de las instalaciones
que finalmente no va a producirse, incurriendo en una pérdida de 10 u.m. La
empresa está gravada en el impuesto sobre la renta de las sociedades, con el
tipo general , que es del 25 por ciento. Se desea conocer su EBIT, su beneficio
neto ordinario, su EBT y su beneficio líquido.
RESOLUCIÓN
Deduciendo la dotación de amortizaciones a su EBITDA, se obtiene su beneficio de explotación (EBIT), que fue 600 u.m.:
1.000 - 400 = 600 u.m.
Restando los gastos por intereses, que importaron 20 u.m. , resulta un beneficio neto ordinario de 580 u.m.:
600 - 20 = 580 u.m.
Restando la pérdida sufrida con la venta del terreno de 10 u.m., se deduce
que el EBT o BAI fue 570 u.m.:
580 - 10 = 570 u.m.
166
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Dado que la empresa está gravada en el i mpueslo sobre la renta de las soc iedades, con el tipo genera l , que es del 25 por c iento, ha dotado para im puestos 142,5 u.m .:
0,25 · 570 = 142,5 U .Jll .
Por consiguiente, su benefic io líq uido ha sicl o 427 ,5 u.m .:
570 -
Problema 2.2.10
142,5 = 427,5 U. lll .
La c uenta de resultad os
¿Cuál fue la C uenta ele Resul tados clel año pasado, ele l ncl , S.A ., a la que se
refieren los dos problemas an teri ores?
RESOLUCIÓN
L a C uenta ele Resultados de esta empresa correspondiente al pasado año es
l a siguiente:
= Ventas netas
2.000
Menos
- Costes variables
-750
= Margen bruto
1.750
Menos
- Costes fijos no financieros salvo amortizaciones
- 750
= Beneficio antes de ams, ints. e impt os (EBITDA)
1.000
Menos
- Am ortizaciones
- 400
= Beneficio de explotación (EBIT o BE)
600
Más
+ Ing resos financieros
Menos
- Gastos financieros
- 20
= Beneficio neto ordinario
580
Más/ menos
+!- Resu ltados ext raordi narios
- 10
= Beneficio neto (BN, EBT o BAI)
Menos
- Im p uesto sob re benef icio
= Beneficio líquido (BL)
570
- 142,5
427,5
BENEFIC IO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
167
3.
Beneficio y rentabilidad
Problema 2.3. 1
Beneficio y rentabilidad
Una empresa denominada Bri, S. A., tiene un capital social de 2.000
millones de u.m. dividido en un millón de acciones, y ha obtenido un beneficio de 4 .000 millones . ¿ Cuáles han sido sus beneficios por acción y por
cada u.m . de capital social? ¿Qué beneficio le corresponde a quien tiene 10
acciones?
RESOLUCIÓN
Si el beneficio ha sido de 4.000 millones y tiene un millón de acciones, corresponden 4.000 u.m. por acción:
4.000.000.000 u.m.
- - - - -- - - = 4.000 u.m./acción
1 .000 .000 acciones
Al repartir 4.000 millones de beneficio entre 2.000 millones de capital
propio , se obtienen 2 u.m. por cada u .m . de capital:
4.000.000.000 u.m.
- -- - - -- - = 2
2.000.000.000 u.m.
A quien tiene 10 acciones le corresponden 40.000 u.m. de beneficio:
4.000 u.m ./acción X 10 acciones = 40.000 u.m .
Problema 2.3.2
Beneficio y rentabilidad
La empresa Bri, S. A. , a la que se refiere el problema anterior, emitió otro
millón de acciones e invirtió los fondos obtenidos (2.000 millones) en activos
que produjeron un beneficio de 2.000 millones . ¿Cuáles son los efectos de esta
operación sobre el beneficio total, sobre el beneficio por acción y sobre el beneficio del propietario de 10 acciones? ¿Qué efecto tendrá esta medida sobre el
precio de las acciones de la empresa?
RESOLUCIÓN
El beneficio total sería de 6.000 millones (los 4.000 que generaban las
antiguas inversiones y los 2.000 millones que producen las nuevas), pero el beneficio por acción sería sólo de 3 .000 u.m. , pues ahora hay que repartirlo entre
dos millones de acciones (el millón de acciones que ya tenía más el nuevo millón de acciones emitidas):
6 .000 .000 .000 u .m.
2 .000.000 u.m.
168
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
= 3.000 u.m./acción
Dicho de otro modo , e l beneficio por cada u .m. ele capital se ría de 1,5
u .m., pues ahora hay q ue repartir el beneficio total en tre 4.000 mi llones de capital propio. A quien tuvi era 10 acc iones le correspondería un bene fic io de
30 .000 u.m.:
6.000.000.000 U.m.
- - --------
4.000.ÜÜÜ.000 U.m.
= 1 ,5
3.000 u.m./acción X 10 acciones = 30.000 u.m.
Evidentemente, la med ida de e mitir esas acciones para invertir en esos
activos produc iría una reducción del precio de las acc iones, aunque el benefic io total de l a empresa haya sido más elevado.
Por ell o, son más im portantes el benefic io por acción y la re ntabilidad (beneficio obtenido cada período por cada u.m. invertida) que el beneficio total.
Problema 2.3.3
Beneficio y rentabilidad
Unedrentec, S. A., es una empresa que cuenta con un activo, formado por
inmuebles, bienes inventariados de distinto tipo, créditos sobre sus clientes, dinero en caja y en bancos, etc., que totaliza 100 millones de u.111. Uti li zando este
acti vo, ha obtenido, en el pasado año, un benefic io de 20 millones de u.m. Se
desea saber:
a) La rentabil i dad económica, u operativa, d e esta empresa.
b) Su rentabilidad finan c iera, suponiendo que sól o se fin ancia con capital
propio .
e) Su rentabilidad financi era supon iendo que su activo se financia al 50 por
JOO con capital propio y al 50 por 100 con capital ajeno, que este último
tiene un tipo de interés del JO por 100 anual, y que, de los 20 millones
de u.m. , no se han deducido , todavía, los intereses de las deudas.
RESOLUCIÓN
a) La rentabilidad, al ig ual que la productividad, mide la relación entre los resultados obten idos y los medios apl i cados para alcanzarlos. La diferenc ia entre
una y otra med ida es que l a producti v idad hace referencia a resultados y medios
técni cos (producción y recursos fís icos), en tanto que l a rentabi l idad se refiere a
resultados y recursos financ ieros (beneficios y capitales invertidos, por ej emplo).
La rentabilidad eco11ó111ica es la generada por los acti vos de la empresa independientemente de los medios de su financiación. Así, en este caso, se han invertido 100 millo nes de u.111. y se han generad o 20 m illones de benefic io. Por consiguiente, la rentabilidad económica, o rentabilidad operati va, ha sido del 20 por 100:
RE = -
BE
A
20.000.000
= - -- = O 20 = 20 por 100
100 .000 .000
'
BENEFICIO, RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
169
donde:
BE: Beneficio, o resultado, operativo, económico o bruto; es decir, el beneficio generado por los activos de la empresa.
A: Activo de la empresa = Capitales propios y ajenos aplicados a su financiación .
b) La rentabilidad financiera de la empresa es la obtenida por sus propietarios. A éstos les corresponde, al margen de la consideración de los impuestos,
un beneficio igual a la diferencia entre el generado por los activos de la empresa y los intereses de sus deudas. Pero, obviamente, en una empresa sin deudas todo el capital y todo el resultado económico pertenecen a los propietarios
y, por consiguiente, la rentabilidad financiera y la económica coinciden. Por
tanto, en tal caso,
RF =RE= 0,20 = 20 por 100
e) Si la empresa tiene un activo de 100 millones de u.m. que se encuentra
financiado en un 50 por 100 por capital propio y en el otro 50 por 100 por deudas, estas últimas importarán 50 millones de u.m. Si, además, el tipo de interés
de estas deudas es el 10 por 100 anual, habrá de pagar a sus acreedores, cada
año,
F = 50.000.000 · 0,10 = 5.000.000 u.m.
El beneficio neto , BN, que restará para los propietarios, será igual a la diferencia entre el beneficio económico generado por los activos de la empresa
y los intereses de sus deudas, F. En este caso:
BN = BE - F = 20.000.000 - 5.000.000 = 15.000.000 u.m.
Los propietarios de la empresa financian el 50 por 100 de sus activos, que
importan 100 millones de u.m. Por tanto, la inversión de los dueños, o capital
propio de la empresa, K , es de 50 millones de u.m. , y su rentabilidad (rentabilidad financiera , RF) vale:
BN
15 .000 .000
RF = = - - -- = O 3 = 30 por 100
K
50 .000 .000
'
La rentabilidad financiera de esta empresa , o rentabilidad de los capitales
invertidos por los propietarios de la misma, es del 30 por 100.
Problema 2.3.4
Beneficio y rentabilidad
Rentficuned, S. A., se formó hace un año. Su propietario aportó 250 millones de u.m. de capital propio, y se endeudó en 750 millones de u.m., para adquirir, por 1.000 millones de u.m., los activos necesarios para producir un nuevo tipo de máquina mecanográfica que atiende al dictado de la voz humana.
170
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Durante el primer año ha fabricado y vendido 200.000 aparatos, cada uno ele los
cuales se vendió por 1.000 u .m . y requirió un coste unitario total , excluidos los
costes ri nanc ieros, ele 50 u .111. E l tipo ele i ntcrés ele las deudas es del 12 por 100
anual . Se desea conocer la rc nlabilidacl económica y la rentab il idad fin anciera
de esta empresa .
RESOLUCIÓN
L os in gresos de esta empresa serán el producto entre sus unidades físicas
vendidas y su prec io de venia; es dec ir:
I = 200 .000 · 1.000 = 200 .000 .000 u .111.
Por o tra parte, multiplicando el coste un itari o to tal no rinancicro por el número de un idades ven didas se ob ti ene:
C = 200 .000 · 50 = 10 .000 .000 U .111 .
Por consigui ente , el beneficio económi co de esta empresa fue:
BE = 200 .000 .000 - 1O.000 .000 = 190 .000 .000 u .111.
Di v idiendo este benefic io operativo entre el valor del acti vo, se obtiene la
rentab ilidad económ ica, o rentabil idad operati va:
RE = -
BE
A
190 .000 .000
= - - - - - = 0,19 = J9 por 100 anua l
1.000.000.000
El benefic io neto anual de esta empresa es igual a:
BN = BE - F = 190.000.000 - 0, 12 · 750.000.000 = 100.000.000 u.m.
Dado que el propietari o de esta empresa aportó 250 mi l lones de u.m. , su
rentabi lidad ( rentabilidad fin anciera de la empresa) ha sido, durante el primer
año , de l 40 por 100:
BN
RF= - K
Problema 2.3.5
100.000.000
= - - -- - = 0,4 = 40 por 100 anual
250 .000 .000
Beneficio y rentabilidad
Red i v unedsa es una empresa dedicada a la constru cc ión y ex plo tac ión tu rística de apart amentos en Urano. D e su balance y c uenta ele resultados se deduce que su finan c iación to tal , que es de 100 millones de u.m. , se encuentra
formada por un 60 por 100 de capital es propios, integrados por 60.000 acc io nes, y por un 40 po r 100 de fondos ajenos, a los que paga un interés del 14 por
100. Este año , sus acti vos han generado un bene fi c io de 25 millones ele u.m. y,
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANC IERO
171
tras reservar el importe correspondiente para pagar el impuesto sobre la renta
de las sociedades, que tiene un tipo del 35 por 100, ha abonado el 70 por 100
del resto en forma de dividendos, reteniendo el 30 por 100 restante para autofinanciación. Se desea saber la rentabilidad financiera de esta empresa y la rentabilidad bursátil por dividendos obtenida por un accionista de la misma que ha
adquirido en bolsa acciones con una cotización de 950 u.m. cada una.
RESOLUCIÓN
Según se expuso en los problemas anteriores, el beneficio económico de
esta empresa es:
BE= 25.000.000 u.m.
Dado que sus fondos financieros totales valen 100 millones de u.m., y
que el 40 por 100 de ellos están constituidos por financiación ajena, ésta valdrá
40 millones de u.m. y, puesto que su interés es del 14 por 100, cada año habrá
de pagar a sus acreedores unas cargas financieras iguales a:
F = 40.000.000 · 0,14 = 5.600.000 u.m.
Por consiguiente, su beneficio neto importa 19.400.000 u.m.:
BN = BE - F = 25.000.000 - 5.600.000 = 19.400.000 u.m.
Dado que ha de pagar el 35 por 100 en forma de impuestos, estos últimos
importarán 6.790.000 u.m.:
T = 19.400.000 · 0,35 = 6.790.000 u.m.
y el beneficio neto líquido, después de descontar los impuestos, valdrá:
BL = 19.400.000 - 6.790.000 = 12.610.000 u.m.
El capital aportado por los accionistas , K , es el 60 por 100 de los 100 millones de u.m. que constituyen la financiación total. Es decir:
K = 100.000.000 · 0,60 = 60.000.000 u.m.
Por consiguiente, la rentabilidad financiera de la empresa antes de descontar
los impuestos será:
RF
BN
=-
A
K
19 .400 .000
60 .000 .000
= - -- - = 0,3233 = 32,33 por 100
Pero, después de descontar el impuesto sobre los beneficios de la empresa,
la rentabilidad financiera líquida de los accionistas es:
RF
°
172
BL
=-
K
12.610.000
= - - --
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
60 .000 .000
= 0,2102 = 21,02 por 100
Como puede co mprobarse, s iendo/ e l tipo ele gravame n e n e l impuesto sobre la ren ta de las soc iedades,
BL
BN - BN · 1
BN
K
K
K
RF = - = - - - - = - ( l - 1) = RF ( l -1)
D
A
Dacio que esta e mpresa abo na e l 70 por 100 del benefic io líquido e n forma
de dividendos (tie ne un coefic iente ele reparto, b, ig ua l a 0,70), éstos valdrán en
s u conju nto:
Dº = BL · b = 12.6 10.000 · 0 ,70 = 8 .827.000 U .111.
Por tanto, siendo N e l número ele accio nes de la empresa, a cada acción le
corresponderá un d iv ide ndo igual a:
Dº
8 .827 .000
d = - = - - - - = 147 ,12 u.m.
N
60.000
Dado que la cotización , P , de cada acción es de 950 u.m., la rentabi lidad
bursátil por dividendos , RBD , es del 15,49 por 100:
d
p
147 ,12
= - = - - - = 0 ,1549 = 15 ,49 por 100
RB
D
950
Obviamente, esta rentabil idad también puede calcu larse por cociente e ntre
el divide ndo total (D º == d · N) y el valor total de las 60.000 acciones (P · N):
Dº
=- -
RB
D
P ·N
8 .827 .000
= - - - - - = 0 ,1549 = 15,49 por 100
950·60.000
Al valor en la bolsa de todas las acc iones de la empresa , P · N, se le denomina capila/ización bursálil de la misma.
Problema 2.3.6
Beneficio y rentabilidad
Hace un año se constituyó la empresa Piscunedsa , dedicada a la cría de moluscos en piscifactorías. Todos s us fondos financieros fueron aportados por s u
propietario , q uien entregó 50 mi llones de u.m. Las ventas de la empresa e n e l
ejerc ic io que ahora termina han alcanzado los 10 millones de u.m. , que, una vez
deduc idos lo s costes, representa n un be nefic io de 7 mil lo nes de u .m. , de los
c uales se ha rete nido e l 35 por J 00 para paga r e l impuesto sobre la re nta de las
sociedades y , de l beneficio I íquido restante, e l propietario se ha !levado un I O
por 100 como dividendos. Se desea saber:
a) La rentabilidad económ ica y la re ntabilidad financi e ra de esta e mpresa.
b) S u re ntabil idad e n venias y la ro tación de l capital propio.
e) La re ntabi lidad por div idendos obtenida por e l propietario.
BENEFIC IO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
173
RESOLUCIÓN
a) En este caso:
BE = 7.000.000 u.m .
A= 50.000.000 u.m.
Por consiguiente, la rentabilidad económica fue del 14 por 100:
BE
7 .000.000
RE= = - - - - = 0,14 = 14 por 100
A
50 .000 .000
En cuanto a la rentabilidad financiera, antes de deducir los impuestos,
coincidirá con la rentabilidad económica, pues esta empresa no tiene deudas y,
por consig uiente, los costes financieros de intereses son nulos (F = O) y,
además, el activo está financiado íntegramente con capital propio (A = K):
BN
BE - F
BE
RF = =- - - == RE= O 14 = 14 por 100
A
K
K
A
,
Después de impuestos, la rentabilidad financiera vale , según se expuso
en la resolución del problema anterior:
BL
BN - BN · t
BN
RF = = - - -- = - ( 1 - t) = RFA( l - t) =
D
K
K
K
= 0,14(1 - 0 ,35) = 0,0910 = 9,10 por 100
b) La rentabilidad de las ventas, RV, es la proporción que el beneficio
representa en relación a las mismas; es decir:
BE
RV = V
donde Ves el volumen de ventas medido en unidades monetarias. En este caso:
7.000.000
RV = - - -- = O 70 = 70 por 100
10.000.000
'
El beneficio es el 70 por 100 del volumen de ventas . El 30 por 100 restante constituye la recuperación de los costes.
La rotación del capital es el número de veces que éste se encuentra comprendido en las ventas. En este caso , la rotación del capital propio será:
V
10.000.000
1
r = - = - - - - = - = O 20 = 20 por 100
K
K
50.000.000
5
'
El pasado año rotó un quinto del capital propio.
174
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
e) El dividendo abonado por la empresa es el I O por 100 del benefi c io líquido (b = 0,10). En este caso , en el que no hay deudas, el benef icio neto y el
económico coinciden y, por consiguiente:
D " = BL · b = BL · 0, 10 = BN( I - 0,35)0, 10 = BE(I - 0,35)0, 10 =
= 7 .000 .000( 1 - O,35)0 , 1O = 455 .000 u . 111.
Dacio que el propietario inv irt ió 50 millones, la rentabilidad por dividendos
que ha o btenido, en el año que fina li za, es del 0,9 1 por 100:
R0 =
Problema 2.3.7
D"
455 .000
K = 50 _000 .000 = 0 ,0091 = 0,9 1 por 100
Beneficio y rentabilidad
H ace un año se cons tituyó la empresa lnmobililunecl , cleclicacla a la co mpra-venta ele mobil iario para apartamen tos turísti cos . Tocios sus fo ndos fu eron obtenidos por una aportación del propietario ele 20 mill ones u.m. Las ventas ele la em presa en este primer año han siclo 4 millones u.m. , que dejan un
benefi c io ele 2,8 millones, ele l os cuales se ha retenido un 35 por ciento para
el pago del impuesto sobre el beneficio de l as soc iedades y , del benific io líq uido restante, el propietario ha retirado un 20 por c ien como dividendo .
a) La rentabi lidad económica y la rentab ilidad fi nanciera de esta empresa.
b) Su rentabil idad en ventas y la ro tac ión ele su capital propio.
e) Su rentabilidad por di v idendos.
RESOLUCIÓN
a) E n este caso:
BE = 2.800.000 u.m.
A = 20.000.000 u.m.
Por consigu iente, la rentab i lidad económ ica de esta empresa es el 14 por
cien:
RE= BE=
A
ºº·ººº
28
·
=0, 14por 1 = 14por 100
20.000.000
Para determ inar la rentab ilidad fin anciera. obsérvese que:
F=O
BN = BE
y
A= K
pues no tiene deudas
BENEFICIO, RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
175
Por lo tanto, la rentabilidad financiera antes de impuestos coincide con la
rentabilidad económica:
BN BE
RF = = - = RE = O 14 por 1 = 14 por 100
A
K
A
,
Los impuestos hacen que la rentabilidad financiera se reduzca hasta el 9 ,1
por ciento:
RF = BL = BN(l - t) RF (l - t) = O 14(1 - O 35) =
A
K
K
A
,
,
= 0,0910 por 1 = 9 ,1 por 100
b) La rentabilidad en ventas es la proporción que el beneficio económico
representa de las ventas:
RV= BE= 2.800.000
V
4.000.000
0,7 por 1 = 70 por 100
La rotación del capital propio es el número de veces que las ventas le
contienen. En este caso, las ventas contienen un 20 por 100 del capital propio.
= ~=
R
K
K
4 .000.000 0,20 por 1 = 20 por 100
20 .000 .000
e) Primero se han de calcular los dividendos:
D = BL b = BN(l - t)b = 2.800.000(1-0,35)0,2 = 364.000 u.m.
La rentabilidad de dividendos es la proporción que representan respecto al
capital propio.
Problema 2.3.8
Beneficio y rentabilidad
Guismeluned es una empresa constituida hace varios años para la explotación de una nueva fórmula genética que permite la producción intensiva de guisantes gigantes. El pasado año, con un activo de 200 millones de u.m., financiado en un 70 por 100 por capitales propios y en un 30 por 100 por capitales
176
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
ajenos, cons i g u10 un volumen ele producci ó n y vent as ele 100 mi l lo nes de
u.m. ele g ui san tes, lo que le reportó un beneric io, antes ele ded uc ir las cargas rinancieras, ele 80 mill o nes ele u.m ., que ded icó a pagar los intereses ele l a ri nanc iac ió n aj ena, que son del 12 po r 100, a pagar el impuesto sobre el benefi c io neto , que ti ene un tipo ele g ra va men del 35 po r 100, a repartir dividendos
aplicando un coe fi ciente de reparto de l 50 por 100 de los bene fi c ios líqu idos y
a autofinanc iac ión. Se desea conocer:
a) La rentabi lidad económi ca, o rentabilidad o perati va, ele esta e mpresa.
b) Su rentabi lidad en ventas y l a rotac ión ele su capital total ,en término s ele
bene fi c io bruto.
e) Su rentabi l idad finan ci e ra.
e) Su rentab i lidad b ursátil por d i v idendos sabiendo que ti ene 140.000 acc iones, cada una ele l as c uales coti za en bol sa a 900 u.m.
RESOLUCIÓN
a ) En este caso :
BE = 80.000.000 u.m .
A = 200.000.000 U.111.
BE
80 .000 .000
RE= = - - -A
200 .000 .000
= 0,40 = 40 por 100
b) L a rentabilidad ele l as ventas es el coc iente entre e l benefi c io o btenido
con l as mi sm as y el volumen de ventas medido en unidades monetarias, V:
RV = -
BE
V
80 .000 .000
= - - - - - = O 80 = 80 por 100
J 00 .000 .000
'
L a ro tació n del capi tal es e l número de veces que el mi sm o se encuentra
comprendido en las ventas. D ad o que el capital total (pasivo del balance) ha ele
va ler lo mismo que el acti vo to tal , A , la rotaci ó n de l os capitales val drá:
V
100 .000 .000
r = - = -- - - - = OS
.,.
A
200 .000.000
'
El pasado año , el capita l ele la e mpresa ha ro tad o m edia vez .
Com o puede comprobarse, l a rentabilidad económ ica de l a empresa es
igual al producto entre l a re ntab ilidad ele sus ventas y l a rotaci ón de su capital
total:
RV· r 7. = -
BE
V
·-
V
A
BE
== RE
A
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
177
e) En este caso , los capitales ajenos importan 60 millones de u.m . (el 30
por 100 de 200 millones) y, dado que su tipo de interés es el 12 por 100, se tiene que:
F = 60.000.000 · 0,12 = 7 .200.000 u.m.
Por consiguiente:
BN = BE - F = 80.000.000 - 7.200.000 = 72.800.000 u.m.
Por otra parte , el capital propio de la empresa importa 140.000.000 de
u.m. (el 70 por 100 de 200 millones). Por tanto, la rentabilidad financiera
antes de impuestos es igual a:
RF
BN
=-
A
K
72.800 .000
= - - - - = 0 ,52 = 52 por 100
140.000.000
Después de descontar el 35 por 100 para pago de impuestos, resta un beneficio líquido igual a:
BL = 72.800.000(1 - 0,35) = 47.320.000 u.m.
Así pues, la rentabilidad financiera después de impuestos vale:
BL
RF0 = -
K
47 .320.000
= - - -- - = 0,3380 = 33 ,80 por 100
140 .000 .000
d) Dado que el dividendo representa un 50 por 100 del beneficio líquido ,
será igual a:
Dº = BL · b = 47 .320.000 · 0 ,5 = 23 .660.000
La capitalización bursátil de la empresa será el producto entre la cotización
de cada acción y el número de acciones que tiene emitidas:
P · N = 900 · 140.000 = 126.000.000
Por consiguiente, la rentabilidad bursátil por dividendos vale :
23 660 000
·
·
RB0 = ~ -P ·N
126.000.000
Problema 2.3.9
= O,1878 = 18 ,78 por 100
Beneficio y rentabilidad
Si la rentabilidad bursátil por dividendos de una empresa es el 25 por 100,
ha obtenido un beneficio de 900.000 u.m. y aplica un coeficiente de reparto del
10 por 100, ¿cuánto vale su capitalización bursátil?
178
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Si ha obtenido un beneficio ele 900.000 u.m. y ha repartido un 10 por 100,
el di videndo será 90.000 u.m.
D " = 0 ,10 · 900.000 = 90.000 U.111 .
La rentabilidad bursátil por di v idendos responde a la ex presió n:
D"
RB = - 1)
p. N
donde P · N es la capitali zac ió n bursátil. Por consiguiente:
P·N =-
Problema 2.3.10
ou
90.000
= - - - = 360.000 u.m.
RBIJ
0 ,25
-
Beneficio y rentabilidad
¿Cómo se explica que con unas ventas de 50 millones de u.m. y un benefi cio operativo de 45 millones, l a rentabilidad económ ica ele una empresa haya
sido sólo el 2 por 100?
RESOLUCIÓN
Como ya es sabido:
BE
BE V
RE = - = - - = R\l·r..
A
V A
I
La rentabilidad de las ventas ha sido muy alta ; concretamente, el 90 por 100:
R \/ = -
BE
\/
= -
45
50
= O,9 por 100 = 90 por 100
Por consiguiente, la baja rentabil idad _económica se ha debido a la baja rotac ión del capital , que sólo ha sido de 0,0222 veces:
RE
0 ,02
r..1 = - - = - - = 0 ,0222 veces
R\I
0 ,9
BENEFICIO , RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
179
Problema 2.3.11
Beneficio y rentabilidad
Si la rentabilidad económica de una empresa es el 40 por 100 y su capital
total ha rotado dos veces, ¿cuánto vale la rentabilidad de sus ventas?
RESOLUCIÓN
De la expresión:
RE= RV · rr
se deduce que:
RV = -
RE
0,4
=-
Problema 2.3.12
= O,2 por 1 = 20 por 100
2
rT
Beneficio y rentabilidad
¿Cuál fue la rotación del capital total el pasado año de una empresa cuya
rentabilidad económica fue del 8 por 100, si sus ventas rentaron un 25 por 100?
RESOLUCIÓN
De la ya conocida expresión:
RE = RV · rr
se sigue que:
RE
rr = RV =
0 ,08
0,
= 0 ,32 veces
25
El capital total rotó 0 ,32 veces.
Problema 2.3.13
Beneficio y rentabilidad
Una empresa tiene un activo de 100 millones u.m. financiado al 50% con
capital ajeno que tiene un coste anual del 5% . Su beneficio anual neto ha
sido de 20 millones de u.m. ¿Cuál ha sido la rentabilidad de sus ventas si su capital total ha rotado dos veces?
180
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Como ya se ha visto en ej erci cios anteriores . la rentab ilidad económi ca es
la proporción que representa el benefic io operativo respecto al activo. Por otra
parte, la diferencia entre el benefi cio operati vo y el benefi c io neto son los intereses de las deudas que, en este caso, son el 5 por ciento de la mitad del acti vo, pues so lamente se fin ancia con deudas esa mitad (50 mill ones u .m.).
Por lo tanto:
RE = BE = BN + F
A
20
A
5 50
~
0 · = 0 ,225 por 1 = 22,5 por 100
+~
De donde se deduce que la rentabilidad ele las ven tas ha sido el 11 ,25 por
ciento :
R \I
Problema 2.3.14
__ BE _
0 ,225
r.,.
2
= 0, 11 25por l
11 ,25 por 100
Beneficio y rentabilidad
U na empresa ha obtenido unos in gresos ele ex plotación (ventas) de 6.000
u.m. , habiendo sido sus gastos de explotación 4.050 u.m. , de los cuales 750 u.m.
corresponden a las amorti zac iones del ej ercicio y 300 a las prov isiones , que se
han dotado por posibles insolvencias de clientes. Sus deudas importan 6.500 u.m.
y les abona unos intereses anuales del 10 por 100. El impuesto sobre el benefi cio de las sociedades es el 20 por I OO. Se desea conocer el ebit de la empresa, su
benefi cio neto, y su beneficio I íquiclo.
RESOLUCIÓN
El ebit , también denominado benefi cio operativo, o benefici o de ex plotación, BE, es el generado por los activos de la empresa con independencia de la
forma en la que esté financiada. E s decir, la diferencia entre los ingresos y los
gastos de exp lotación :
Ebit = BE = 6.000 - 4.050 = l .950 u .m.
Los intereses importan 650 u.111., pues tiene unas deudas de 6 .000 u.m. a las
que abona el IO por 100 anual:
F = O, 1O X 6.500 = 650 u.m.
Por lo tanto, su beneficio neto val e 1.300 u.111 .:
BN = l .950 - 650 = 1.300 u.m .
BENEFIC IO, RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
181
Tiene que pagar a la Hacienda Pública el 20 por 100 del beneficio neto , es
decir, 260 u.m.:
t X EN= 0 ,20 X 1 .300 = 260 u.m.
Con lo cual, su beneficio líquido es 1.040 u.m.:
BL = BN - t X BN = 1.300 -
Problema 2.3.15
260 = 1.040 u.m.
Beneficio y rentabilidad
Se desea conocer el ebitda de la empresa del problema anterior, así como.su
margen ebitda y su ratio PER de ebitda, sabiendo que su valor en el mercado es
45.000 u.m.
RESOLUCIÓN
Sumando las amortizaciones y las provisiones al beneficio de e~plotación, se obtiene el ebitda, que es el beneficio antes de deducir intereses , amortizaciones e impuestos (Earnings Befare lnterests, Taxes, Depreciations and
Amortizations):
Ebitda = BE + Amortizaciones + Provisiones
En este caso:
Ebitda = 1.950 + 750 + 300 = 3.000 u.m.
Dividiendo el ebitda entre las ventas, se obtiene el margen ebitda que, en
este caso, importa:
3.000 = O 5
6.000
'
lo cual significa que el beneficio antes de intereses e impuestos representa la
mitad de las ventas.
En cuanto al ratio PER:
PER = 45.000 = 15
3.000
El mercado valora en 15 u.m. cada u.m. de beneficio ebitda de esta empresa.
182
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
4.
El equilibrio económico-financiero de la empresa,
e l fondo de rotación o maniobra y el período
medio de maduración
Problema 2.4. 1
El fondo de rotación o maniobra
Dos amigos co nstituyero n hace un año y un día la soc ied ad anon1ma
Progruneclsa , cl ecl icacla a la progra mac ión y venia de ju egos para ordena dores. Para ell o, aportaron en efect i vo 2 .000.000 el e u .m. , cada uno, de la s
c uales dedicaron 300.000 a los gasto s ele notaría , reg istro y co nstitución ele
la soc ieclacl y 1.500.000 a la adqu isic ión el e ord enadores y mobiliario , dejando el res to en la c uenta ban ca r ia. Su intenc ión es amortizar su inmov ili zado en d iez años. Cada tres meses, conforme lo gastan , compran materi al
aux iliar ( papel para las impresoras, di scos, ele.), por un importe de 100.000
u .m., que abonan al cabo de los dos meses desde la adquisición. Dacio el v olumen de trabajo que ti enen, hace se is meses contrataron dos empleados que
les suponen unos gastos ele perso nal ele 200.000 u.m. mensuales que pagan
al co mi enzo de cada mes de trabajo. lnmecliatamenle después ele la consti tuc ión ele la soc iedad patentaron dos prog ramas valorados en 10.000.000 ele
u.m. , qu e y a tenían clesarro l laclos y por los que cobran , cada c uatro meses y
m edio vencidos, unos c ánones ele 1.800.000 u.m. Es ta s patent es secomenza rán a amorti za r dentro ele dos años. El alquiler del loca l les supone
unos gastos ele 50.000 u.m. , pagaderas cada c inco meses venc idos . Se desea
conocer la estruc tura económico-financiera ele esta empresa y el valor ele su
fo ndo de ro tación o maniobra , sab iendo que ha ele pagar como im puestos el
35 por 100 ele los benefi c ios y que el res to se retiene en la empresa co mo
autofi nanc iació n .
RESOLUCIÓN
Calculemos, en primer lugar , los i ngresos y los gastos ele esta empresa:
Ingresos: Están constituid os por los cá nones, que tienen un importe ele
1.800.000 u.m. cada c uatro meses y medi o; es dec ir , 400.000 u.m.
mensuales, o , lo que es lo mi smo , 4 .800.000 u.m. anuales:
1.800.000
4,.5
I = - - - · 12 = 400.000 · 12 = 4.800.000
BENEFICIO, RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANC IERO
183
Gastos. Son los siguientes:
a) Amortización de los gastos de constitución (300.000 u.m.) y de los
ordenadores y mobiliario (1.500.000 u.m.). Dado que el total de
1.800 .000 u.m. se ha de amortizar en diez años, se amortizarán
180.000 u.m. anuales 1•
b) Gastos de material auxiliar. Cada tres meses gastan 100.000 u.m. ,
por lo cual el gasto anual es de
100.000 · 4 = 400.000 u.m . anuales
e) Gastos de personal, que totalizan 200.000 u.m. mensuales. Dado que
los dos empleados sólo han trabajado seis meses, el gasto , por este
concepto , ha sido de
200.000 · 6 = 1.200.000 u.m.
d) Gastos de alquiler del local. Son 50.000 u.m. mensuales o, lo que es
lo mismo, 600.000 u.m. al año:
50.000 · 12 = 600.000 u.m. anuales
El total de gastos es , como consecuencia:
C = 180.000 + 400.000 + 1.200.000 + 600.000 = 2.380.000 u.m.
Por consiguiente, el beneficio del ejercicio fue de 2.420.000 u.m. El 35 por
100 de este importe (2.420.000 · 0 ,35 = 847.000) se lo deben a la Hacienda Pública, y el resto (1.573 .000) se retienen como reservas en la empresa.
En cuanto a los activos y pasivos a corto plazo, ha de observarse que:
a) El primer cobro de cánones se realizó al cabo de los cuatro meses y me-
dio de actividad, y el segundo al cabo de los nueve meses. Por consiguiente, se han devengado otros tres meses que la empresa todavía no ha
cobrado (cobrará dentro de mes y medio). El importe correspondiente a
tres meses es:
1.800.000
- - - - - · 3 = 1.200.000 u.m.
4,5
Este importe es un activo a corto plazo.
b) Dado que, cada tres meses, se compra material auxiliar, se habrá reali-
zado ahora una compra cuyo importe figurará en el activo y que se
abonará dentro de dos meses. Por tanto, en el pasivo aparecerá una
deuda a corto plazo de 100 .000 u .m.
1 En el actual PGC español los gastos de constitución se imputan directamente al patrimonio neto de la empresa, sin
pasar por la Cuenta de Pé rdidas y Ganancias. Se consideran variaciones del patrimonio neto del ejercicio.
184
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
e) Dacio que los gastos ele personal se pagan antic ipadamente, se habrá an-
ti cipado ahora 200.000 u .m . que l'i gurar.fo como acti vo a corto plazo .
e/) El alq uil er del local i m porta 50 .000 u.m. mensuales y se paga cada
cinco meses . Por consig uiente, el úl ti mo pago se efectuó al final del décimo mes y han transcurrido dos meses desde entonces, en los cuales se
han devengado los gastos correspondientes que se abonarán dentro ele un
trimestre. Como pasivo a corto plazo , por este concepto, f igurará un importe ele 100.000 u .rn.:
50 .000 · 2 = 100.000 U.m.
No ex iste otra fi nanci ació n a largo plazo (capitales permanentes) que no
sean las aportacio nes ele los socios en efecti vo y patentes (en to tal ,4.000.000
+ 10 .000.000 = 14.000.000 u.m .), así corno las reservas provenientes ele la retención ele benefi cio ( 1.573 .000 u.111 .) . E l acti vo fijo está fo rm ado por los ordenado res y el mobili ari o (que, tra s la amo rti zaci ón , importan 1.350.000
u .m.), los gastos ele constituci ón (q ue, tras la amortización ele la décima parte
importan 270.000 u.rn .) y las patentes .
L os gastos ele constitució n no constituyen un acti vo real que pud iera venderse, o liqui darse, en caso de liq uidación ele la empresa. Son lo que se denomina «un acti vo fi cticio» que compensa a los capitales propios ele la empresa,
es decir, a su patrimonio neto (capi tal social y reservas) . Si este acti vo fi cticio
se hubiese amortizado, como tal gasto, en este ej erc ici o en el que se crearon ,
tanto el acti vo fij o co mo el benefi cio y las reservas ele la empresa habrían siclo
inf eri ores . Por toci o ello , otra for ma de exponer esquemáticamente el bal ance
de la em presa es la tabla 2 .3.
11.620.000
1.350.000
Activo fijo:
Orden. y Mob. 1.500.000
270.000
10.000.000
5.000.000
Gastos de constitución
Patentes
Activo circulante:
Material auxi liar
Remuneraciones anticipadas
Cánones devengados a cobrar
diferida mente
Tesorería*
Total activo
100.000
200.000
1.200.000
3.500.000
16.620.000
TABLA 2.2
TABLA 2.3
Capitales permanentes:
Capital social
Menos: Amort. acum. ( 150.0001 Reservas
15.573.000
14.000.000
1.573.000
Pasivo a corto plazo:
Alquileres devengados a
pagar diferidamente
Proveedores de mat. aux.
Hacienda Pública, acreedora
1.047.000
Total pasivo
16.620.000
100.000
100.000
847.000
• Su importe se ha obtenido por diferencia.
11.350.000
5.000. 000
Activo fijo real
Acti vo circulante
Patrinio nio neto
Pasivo a corto plazo
15.303.000
1.047.000
16.350.000
Total activo
Total pasivo
16.350.000
BENEFIC IO, RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANC IERO
185
En el activo se recoge la estructura económica de la empresa, es decir, las inversiones realizadas; los bienes y derechos con los que realiza su actividad o que
se derivan de la misma. En el pasivo se refleja la estructura financiera de la empresa: las fuentes de financiación de su activo; sus capitales propios y sus deudas. El activo se divide en activo fijo , al que también se denomina «inmovilizado» o «estructura estable de la empresa», y activo circulante. El activo fijo está
formado por todos los elementos vinculados a la empresa a largo plazo, mientras
que en el activo circulante se encuentran todos aquellos que, como su nombre indica, ciJculan por la misma y, generalmente , son objeto de frecuente renovación.
En cuanto al pasivo, se encuentra formado por los capitales permanentes,
que son aquellas fuentes de financiación que se encuentran a disposición de la
empresa un período largo de tiempo (recursos financieros propios y crédito a
medio y largo plazo), y los pasivos a corto plazo. En el pasivo se refleja la estructura financiera de la empresa.
Con las fuentes de financiación , que están reflejadas en el pasivo, se financian
los activos. Para que exista correspondencia entre la naturaleza de los activos y
la de los medios financieros , el activo fijo ha de ser financiado con capitales permanentes y el activo circulante ha de serlo con pasivo a coito plazo. Sin embargo ,
para evitar los riesgos de un desfase entre el ritmo de cobros del activo circulante
y el ritmo de pagos derivado de la exigibilidad del pasivo a corto , que pueda dar
lugar a una suspensión de pagos más o menos prolongada de la empresa, una parte del activo circulante ha de ser financiada con recursos permanentes. Es decir,
el pasivo a corto plazo ha de ser menor que el activo circulante.
A la diferencia se le denomina fondo de rotación o fondo de maniobra. Por
consiguiente, denominando AF al activo fijo , Ac al circulante, CP a los capitales
permanentes y Pe al pasivo a corto plazo, el fondo de maniobra, FM, se puede
definir (véase la figura 2.2) de las dos formas siguientes:
Activo
Pasivo
AF
CP
t
FM
Ac
f
Pe
FIGURA 2.2
186
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
a) Co mo la parle del acti vo c irculante que no es fin anciado por pasi vo a
corl o , sino por capitales perman entes (y, en este sentido , también se le
denomina «capi lal ele trabajo»):
b) Como la parte ele capitales permanenles que no l"inancia acti vo l'ijo, sino
que fin anc ia activo c i rculante:
FM = CP - A,.
La empresa Progruneclsa no tiene más capitales permanentes que sus fondos
propios, pues no ti ene endeuda miento a medio o largo plazo. Por consiguien te, su fondo de maniobra vale:
FM = Ac - Pe = 5.000.000 -
1.047 .000 = 3.953.000 u.m.
o, clefinicl o ele la forma alternati v a señalada anteriorm ente:
FM = CP - AF = 15.303.000 -
11 .350.000 = 3.953 .000 u.m.
E l tamaño idóneo clel fondo ele maniobra varía ele una emp resa a otra e inc luso, dentro ele la mi sma emp resa, se modifica a lo largo cl el tiempo, clepencl ienclo, además, de la po l ítica general ele su direcc ión. No obstante , como se
verá en próx imos problemas, para determinar el fondo de rotaci ón adecuado
ex isten procedim ientos aproximativos que permiten obtener , en muchos casos,
estimac iones razo nables clel mismo.
Problema 2.4.2
El cálculo del período medio de maduración económico
Letrunedsa tiene un volumen anual ele ventas (valoradas, como es ev idente,
aplicando el precio de venia ele su producto) de E unidades monetar ias y, por término medio, los c lientes tienen una cleucla con la empresa ele e u.m. Otros datos relativos a esta empresa, valorados tocios ellos por su cosle , son los siguientes:
Consumo anual ele materias primas: A u.m.
Nivel medio de ex istenc ias ele materias primas en almacén: a u.m.
Valor ele l a producción: C u.m.
Valor de los productos en curso ele elaboración, por término medio: e u.m.
V entas anuales: V u.m.
Nivel medio ele ex istencias en el almacén ele productos terminados: v u.m.
Se desea conocer el período med io ele madurac ión ele esta empresa y sus
componentes.
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
187
RESOLUCIÓN
El denominado «ciclo de explotación» o «ciclo dinero-mercaderías-dinero»
de la empresa es el proceso en el que se adquieren los materiales inventariables
(materias primas y auxiliares , por ejemplo), se almacenan hasta incorporarse al
proceso de transformación , se realiza la fabricación , se obtienen los productos
terminados, éstos son también almacenados, y luego vendidos y remitidos a los
clientes , a quienes se cobra inmediatamente o transcurrido cierto período de
tiempo, lo que permite recuperar fondos de dinero con los que retribuir a los
factores de producción e iniciar el ciclo de nuevo. A la duración de este ciclo
se le denomina período de maduración. En algunas ocasiones el ciclo puede tener una duración diferente que en otras. A su duración media se le llama período medio de maduración.
El período medio de maduración, PM, estará integrado por el período medio de almacenamiento de materias primas, PMª, el de fabricación, PMe, el de
venta, PM", y el de cobro a clientes , PM, . Es decir:
PM = PMª + PMe + PMV + PM,
Para obtener el período medio de maduración y sus componentes, obsérvese
que*:
Si A es el consumo anual de primeras materias y a e] nivel medio de
existencias en almacén, el cociente:
A
n =ª
a
será el número de veces que , en un año, se consume el stock medio de
materias primas, y:
365
a
- -= 365 - = PM
nª
A
ª
será el número de días que tarda la empresa en consumir el nivel medio,
es decir, el período medio de almacenamiento.
Si C es el coste total de la producción anual (materias primas y otros
consumos incorporados) y ces el nivel medio de productos en curso de
elaboración (valorados también al coste), C/c indicará el número de veces que, en un año, se renueva el stock en curso de fabricación. Si dicho
cociente se representa por ne, obviamente:
365
ne
c
- - = 365 - = PM
e
e
indicará el número de días que, por término medio, tardan en fabricarse los productos, es decir, el período medio de fabricación.
* Fernández Pirla, J. M.: Teoría Económica de la Contabilidad, ICE, Madrid, 1970, págs. 81 y 82.
188
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
De rorm a semejante, siendo V el volumen anu al de ventas, va lorado a prec io ele coste, y v el volumen medio de las ex istenc ias del al macén de productos
ter minados, valorado también al coste, el cociente:
11 \'
=-
V
\/
sen1 el número ele veces que, en un año , se renuevan las ex istenc ias ele produc tos acabados, y:
365
v
- - = 365 - = PM
V
11 •
,.
1
señal ará el número ele días que, por término medio , tard a en produ cirse dicha
renovac ión; es dec ir , el pl azo promed io que se requiere para vender los artículos del stock medio ele prod uctos term inados, o período medio ele venta.
Fi nalmente, si E es el volumen o montante anual ele ventas (valoradas, como
es obv io , al precio que se aplica a los clientes, res ultante de añad i r al coste un
margen de beneficio) y e el valo r medio de la deuda que los el ientes tienen con
la empresa, el rati o o coc iente:
E
11,.= -
e
será el número de veces que, en un año, se renueva la deuda media de los clientes, y:
-
36S
e
- = 365 - = PM,.
11,,
E
será el número medio ele días que tarda en cobrarse a los cl ientes , o período medio ele cobro.
El período medio ele mad uración , o ti empo que tard a en recuperarse una
unidad monetari a in verti da en el c ic lo de ex plotac ión , es, por consiguiente:
PM = PM
ª
Problema 2.4.3
e + -v + -e)
+ PM" + PM •· + PM,. = 365(-Aa + -C
V
E
El período medio de almacenamiento
La empresa Madura , S. A. , com pró y consumió el pasado año, para la fabricación ele su producto , 20.000 u.m . de materias pri mas y, por término medio,
mantu vo un nivel de exi stenc i as ele l as mismas en almacén de 2 .000 u.m.
¿Cuánto v ale su período medio ele almacenamiento?
RESOLUCIÓN
a
2 .000
PM = 365 - = 365 - -- = 36,5 días
ª
A
20 .000
BENEFIC IO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
189
Problema 2.4.4
El cálculo del período medio de maduración económico
Numerunedsa compró y consumió el pasado año, para la fabricación de su
producto, 10.000 .000 de u.m. de materias primas y, por término medio , mantuvo un nivel de existencias de las mismas en almacén de 1.000.000 de u.m.
(estando ambas magnitudes valoradas al precio de adquisición). El volumen de
ventas (valoradas, como es evidente, aplicando el precio de venta de su producto) fue de 30.000.000 de u.m. y, por término medio, los clientes tuvieron
una deuda con la empresa de 1.500.000 u.m . Otros datos relativos a esta empresa, valorados todos ellos según su coste, son los siguientes:
Valor de la producción anual: 20.000.000 de u.m.
Valor de los productos en curso de elaboración, por término medio:
1.000.000 de u.m.
Ventas anuales: 24.000.000 de u.m.
Nivel medio de las existencias en el almacén de productos terminados:
2.000.000 de u.m.
Se desea conocer el período medio de maduración de esta empresa y sus
componentes.
RESOLUCIÓN
Conforme se expuso en el problema anterior:
- - - - = 36,5 días
PM - 365 _!!_ -- 365 -1.000.000
ª
A
10.000.000
e
1.000.000
PM = 365 - = 365-- - - = 18,25 días
e
C
20 .000 .000
PM = 365 ''
V
V
e
PMe = 365
=
2.000 .000
365 - - - - = 30,42 días
24 .000 .000
1.500.000
E= 365 30.000.000 = 18,25 días
PM = 36,5 + 18,25 + 30,42 + 18 ,25 = 103 ,42 días
Por término medio, en esta empresa, una unidad monetaria invertida en el
ciclo de explotación se recupera, con el cobro a clientes, al cabo de 103,42 días.
190
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 2.4.5
El período medio de maduración financiero
y e l cálculo del fondo de maniobra mínimo o necesario
(modelo analítico)
L a empresa Numerunedsa, del problema an terior, paga al contado todos sus
gastos salvo las materias primas, por las que mantiene un saldo medi o ele
deuda con sus proveedores ele 2 .000 .000 ele u.m. Además , mantiene un nivel
meel io ele teso rería en caja y bancos ele 2 .000 .000 ele u .111. Se desea conocer el
período medio ele maduració n finan c iero de esta empresa y su fondo ele maniobra medio.
RESOLUC IÓ N
T al y como se dedujo en el problema anteri o r , el período medio ele madu ración de esta empresa, en sentido económico , es de 103,42 días. Una parte ele
este per íodo es financiado por los proveedores permiti endo el aplazamiento de
los pagos a la empresa. Deduc iendo ele este PM la parte fi nanciada por los aportan tes ele recursos se obtiene el período de maduración fin anciero .
Si anualmente se compran materia s primas por P unidades monetari as y el
saldo medio con proveedores es de p u.m. , cada año se paga este saldo medio:
p
=-
11
/1
p
veces y , por consiguiente , el número promedio ele días que financian los proveedores, o período medio de pago , es :
PM,, =
365
= 365 .!!_
11/1
p
En este caso, en el que co i nciden las compras ele materia s primas y su
consumo (P = A = 10.000.000 ele u.111.),
2.000.000
PM = 365 - - -,,
10.000.000
= 73 días
Por tanto, el período medio ele maduración finan ciero vale:
PMF = PM - PM11 = 103 ,42 - 73 = 30 ,42 días
En cuanto al fond o ele maniobra medio de esta empresa, será la diferencia
entre su ac ti vo c irculante med io en tesorería , 1, en existencias de materia s
pri mas, productos semiterm i nados y productos acabados y c réditos sobre
c lientes (a + e + v + e) y e l pasivo a corto plazo medio pro veniente de las
deudas con proveedores, p. E s decir:
FM = Ac - Pe= I + a + e+ v + e - p = 2 .000.000 + 1.000.000 +
+ 1.000.000 + 2.000.000 + 1.500.000 - 2 .000.000 = 5 .500.000 U.111.
BENEFIC IO, RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANClfRO
19 1
Obsérvese que el fondo de maniobra también puede expresarse del siguiente modo:
A
C
FM = t +a+ e+ v + e - p = t + --PM + - - PM +
365
ª
365
e
V
E
P
+ - - PM + - - PM -PM - 365
"
365
e
p 365
y, dado que A = P:
A
C
V
E
FM=t+--(PM -PM) + --PM + --PM + - - PM
365
ª
p
365
e
365
"
365
e
En esta expresión, A/365 es el consumo medio diario de materias primas.
Multiplicando este importe por el exceso que representa el período medio de inmovilización de una unidad monetaria en almacén de materias primas , PM sobre la paite que, de este período , es financiada por los proveedores, se obtiene el
fondo de maniobra necesario para financiar el inventario de primeras materias. El
cociente C/365 es el coste medio diario de producción y, multiplicando este importe por el número de días que permanece inmovilizada una unidad monetaria
en productos en curso, se obtiene el fondo de maniobra necesario para financiar
el inventario de existencias de estos productos semielaborados . Del mismo
modo se interpretan los dos últimos sumandos. A este procedimiento de determinación del fondo de maniobra se le denomina modelo analítico.
0
Problema 2.4.6
,
El período medio de maduración financiero
Una empresa cuyo período de maduración económico es de 103 días paga
al contado todos sus gastos salvo las materias primas, de las que adquiere y
consume 20.000.000 de u.m. al año. Se desea conocer su período medio de maduración financiero , sabiendo que mantiene una deuda media con sus provee·
dores de 4.000.000 de u.m.
RESOLUCIÓN
4.000.000
PMP = 3 6 5 - - - - = 73 días
20.000.000
PMF = PM - PM,, = 103 - 73 = 30 días
Problema 2.4.7
El período medio de maduración y el cálculo del fondo
de maniobra mínimo o necesario (modelo analítico)
Comercialuned es una empresa dedicada a la compraventa de un producto textil que no tiene proceso de fabricación. Su único coste son los metros de
192
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
le la que adqu ie re y que impo rta n 10.000.000 ele u .m. anual es, q ue ve nde, e n
e l m is mo año en e l que las compra , con un margen ele benefic io de l 20 po r
100 sobre e l prec io ele adqu is ic ió n. Su po lítica es la ele cobrar a los c lie ntes a
los 15 días ele la venta y la ele paga r a su proveedor a los 30 días desde la ad qui s ic ió n. Po r té rmino med io, mant ie ne e n e l a lmacén u n stock va lorado (a
prec io ele c os te) e n 500 .000 u .m. Se d esea c onoce r s u período medio ele
maduració n y s u fond o ele ma niobra si desea mante ne r un saldo ele tesore ría
ele 500.000 U.111.
RESOLUC IÓ N
En este caso:
a = 500 .000 u .111.
A = 10.000 .000 ele u .111.
11"
= -
A
10.000 .000
= - - - - = 20 veces
a
500.000
365
365
PM = -- =--= 18 25 cl~s
(/
11
20
'
(/
PM,, = 30 d ías
PM" = O (pues no tie ne proceso ele producción)
PM,. = O ( pues no tiene proceso ele producción)
E= 10.000.000( ] + 0 ,20) = 12.000 .000 U.111.
PMe = 15 días
Por cons iguiente, su período medi o de madurac ió n econó mico va le:
PM = PM" + PM,. + PM,, + PMe = 18 ,25 + O + O + 15 = 33,25 días
S u período medio de mad u ración fin anc ie ro vale:
PMF = PM - PM1, = 33,25 - 30 = 3,25 días
Su fondo ele man iobra medi o es ig ual a:
A
C
V
E
FM = t + - - (PM - PM ) + - - PM + - - PM + - - PM =
365
365
,·
365
365
{'
(I
,,
I'
I O.000 .000
12 .000 .000
365
365
= 500.000 + - - - - ( 18,25 - 30) +O + O + - -- -
· 15 =
= 67 ] .232 ,87 U,m.
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
193
Problema 2.4.9
El período medio de maduración y el cálculo del fondo
de maniobra mínimo o necesario (modelo sintético)
Don Munedsio es un mecánico que tiene un pequeño taller artesanal en el
que fabrica por encargo cierto modelo de automóvil de lujo , cuyo coste total es
de 9.000.000 de u.m. Este coste total se va conformando regularmente a lo largo del proceso de fabricación , que dura 90 días, al final de los cuales entrega al
cliente el automóvil, cuyo precio es de 12.000.000 de u.m. Suponiendo que no
tiene almacén de materias primas , sino que éstas se van adquiriendo a medida
que se van necesitando , se desea saber el período de maduración y el fondo de
maniobra que ha de mantener este artesano en los siguientes casos:
a) Cuando todos los costes se pagan al contado, es decir, a diario , y el co-
bro al cliente se efectúa al contado.
b) Cuando todos los costes se pagan al contado y el cobro al cliente se pro-
duce a los 60 días de la entrega del automóvil terminado.
e) Cuando los costes se pagan con un aplazamiento de 30 días y el cliente
paga al contado.
d) Cuando los costes se pagan con un aplazamiento de 30 días y el cliente
paga a los 60 días de la entrega del automóvil.
RESOLUCIÓN
a) El coste medio que habrá de abonarse diariamente, k, será el cociente entre el coste total y el período medio de fabricación (que, en este caso, coincide
con el de maduración):
9.000.000
k. = - - - - = 100.000 u.m.
90
Dado que, durante 90 días , tiene que ir abonando unos gastos (materias primas, mano de obra, gastos generales) de 100.000 u.m. cada día , y que el negocio no generará recursos hasta el final del período de fabricación con la venta del automóvil y su cobro al cliente, el activo circulante inicial que habrá de
tener este artesano será de 9.000.000 de u.m. Contando con este importe inicial
en tesorería, puede ir abonando los gastos diarios y al final obtiene 12.000.000
de u.m., de los que 3.000 .000 de u.m. son beneficios que puede retirar como dividendos y retener las 9 .000 .000 de u .m. restantes para iniciar el ciclo de
nuevo. Por consiguiente, en este caso , en el que no hay deudas ,
FM = A c = k · PM = 100.000 · 90 = 9 .000 .000 de u.m.
A medida que va incorporando costes al automóvil en curso de fabricación,
el valor al coste de este último va aumentando. Así, el activo circulante inicial
de esta empresa está formado í ntegramente por 9.000.000 de u.m. de tesorería;
al día siguiente está integrado por 8 .900.000 u.m. de tesorería y 100.000 u.m.
de producto en curso de fabricación; al segundo día por 8.800.000 u.m. de te-
196
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
sorería y 200 .000 u.m. de productos en curso; transcurridos 89 días estará l'ormaclo por 100.000 u.m. ele teso rería y 8.900.000 u.m . ele productos en curso; y
al fin alizarse el automóvil , el acti vo circul ante estará integrado po r 9.000.000
ele u.m. ele ex istencias de productos terminados. Tras su entrega al cl iente y cobro del producto, el acti vo circulante será ele 12 .000.000 ele u.m. (en tesorería),
pero el propietari o puede retirar, co mo cli viclenclo, 3.000.000 de u.m . pa ra su
consumo , pues para iniciar el ciclo ele nuevo es suficiente que tenga 9.000.000
ele u.m. , que es el fo ndo ele maniobra necesario.
b) En este caso, el período ele madurac ión estará formado por el ele fabri cación y el ele cobro al cliente:
PM = PM,. + PM,, = 90 + 60 = 150 días
Dacio que cada uno de estos días ha de atender al pago de 100 .000 u.m. diari as (al final de los 90 días se finali za la fab ri cación de un auto móv il, pero empieza la del siguiente), y que no se obtienen nuevos recursos hasta el final de
es tos l 50 días, el activo circul ante necesari o será:
Ac = k · PM = 100.000 · 150 = 15.000.000 u.m .
que, en este caso, coi ncide con el fo ndo de maniobra necesario.
Si inicialmente tiene una tesorería de 15 .000.000 de u.m., podrá ir abonando
los gastos diarios, ele modo que la evolución del fondo ele maniobra puede ilu strarse haciendo referencia a algunos momentos del tiempo como los expuestos
en la tab la 2.4.
Obsérvese que , dado que só lo es necesario un fondo de 15 .000.000 ele
u .m., el propietario puede retirar, tras el cobro al cliente, los 3.000.000 de u.m .
que constituyen su beneficio , por lo cual , en el momento en el que , tras la venta, éste se genera, constitu ye un pasivo a corto plazo que se realizará al obtener
la liquidez necesa ri a.
e) En este caso, el período ele maduración económico coi ncide con el ele fabricación. Pero el períod o de m aduración financi ero será:
PMF = PM,. - PM,, = 90 - 30 = 60 días
y, dado que los aportantes de fondos financian la tercera parte del ciclo, es sufi ciente que el propietari o fi nanc ie con sus propios recursos las dos terceras
partes de su cos te total ; es decir,
2
FM = - 9.000.000 = 6.000.000 de u.m.
3
Dicho ele otro modo, al requerirse un gasto diari o de 100.000 u.111. y dado
que la recuperación no se produce sino al cabo de 90 días, el acti vo circulante
necesari o será:
Ac = k · PM = 100.000 · 90 = 9.000 .000 de u.m.
BENEFICIO, RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
197
.
.. .
-
..
.
45
90 (antes de la entrega)
90 (después de la entrega)
Tesorería (15.000.000)
15.000.000
Tesorería (10.500.000)
Productos en curso (4.500.000)
15.000.000
Tesorería (6.000.000)
Productos terminados (9.000.000)
15.000.000
Tesorería (6.000.000)
Crédito sobre clientes (1 2.000.000)
Menos: Dividendo a repartir
(3.000.000)
150 (antes del cobro)
150 (después del cobro y antes
del reparto de dividendos)
TABLA 2.4
150 (después del cobro y del
reparto de dividendos)
15.000.000
Productos en curso (6.000.000)
Crédito sobre clientes (12.000.000)
Menos: Dividendo a repartir
(3.000.000)
15.000.000
Productos en curso (6.000.000)
Tesorería (12.000.000)
Menos: Dividendo a repartir
(3,000.000)
15.000.000
Productos en curso (6.000.000)
Tesorería (9.000.000)
15.000.000
Pero los aportantes de factores financian , durante 30 días, un coste diario de
100.000 u.m ., por lo cual financian 3.000.000 de u.m.
Pe = k · PMP = 100.000 · 30 = 3.000.000 de u.m.
Por lo cual , el fondo de maniobra necesario es:
FM = A c - Pe = 9.000.000 - 3.000.000 = 6.000.000 de u.m .
En la tabla 2.5 se refleja la situación del fondo de maniobra en distintos momentos del tiempo.
d) En este caso, el período de maduración económico dura 150 días:
PM = PMc + PM, = 90 + 60 = 150 días
y el período de maduración financiero tiene una duración de 120 días:
PMF = PM - PM" = 150 - 30 = 120 días
Hay que financiar un gasto diario de 100.000 u.m. durante 150 días:
Ac = k · PM = 100.000 · 150 = 15.000.000 de u.m.
198
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
ias transcurridos
1
30 (antes del pago)
30 (después del pago)
Tesoreria (6.000.0001
6.000.000
Tesoreria (6,000.000)
Productos en curso (100.000)
Menos: Costes a pagar (100.000)
6 .000.000
Tesorería (6.000.000)
Productos en curso (3.000.000)
Menos: Costes a pagar (3.000.000)
6 .000.000
Tesorería (3,000.000)
Productos en curso (3.000.000)
6 .000.000
Tesorería (3,000.000)
Productos en curso (6,000.000)
M enos: Costes a pagar (3.000.000)
6.000,000
60 (d espués del pago)
Productos en curso (6.000.000)
6.000.000
90 (antes del pago y del cobro
a c lientes)
Productos terminados (9.000.000)
M eno s: Costes a pagar (3.000.000)
6.000,000
90 (antes del pago y d espu és
del cobro a clientes)
Tesorería (12.000,000)
Menos: Costes a pagar (3.000.000)
Menos: Dividendos a repartir
(3.000.000)
6.000.000
Tesorería (6.000.000)
6.000.000
60 (antes del pago)
TABLA 2.5
Fondo de maniobra
90 (después del pago y del
reparto del beneficio)
Pero los aportantes de medios producti vos finan cian 3 .000.000:
PC = k · PM1, = 100.000 · 30 = 3.000.000 de u.m.
Po r consiguiente, el fo ndo d e rotac ió n necesari o es:
FM = Ac - Pe= 15 .000.000 - 3.000.000 = 12.000 .000 de u.m .
Lo cual puede comprobarse en la tab la 2 .6.
A este procedimi ento ele determinación del fondo de maniobra mínimo , o
necesario, se le denomina 111odelo sintético .
Problema 2.4.10
El período medio de maduración y el cálculo del fondo
de maniobra mínimo o necesario (modelo sintético)
Si nturtecl sa es una e111presa dedicada a la fabri cación de sillas. Di ari amente consu111e 500 unidades fís icas de madera, que tiene un precio unitario ele 250
u .m. Cada operari o cobra 1.000 u.m. por hora trabajada y d iari amente se apli-
BENEFIC IO , RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
199
' .
30 (después del pago)
90 (después del pago)
120 (después del pago)
150 (antes del pago y después
del cobro a clientes)
TABLA 2.6
150 (después del pago y del
reparto del beneficio)
Tesorería (12.000.000)
12.000.000
Tesorería (9.000.000)
Productos en curso (3.000.000)
12.000.000
Tesorería (3.000.000)
Crédito sobre clientes (12.000.000)
Menos: Dividendos a repartir
(3.000.000)
12.000.000
Productos en curso (3.000.000)
Crédito sobre clientes (12.000.000)
Menos: Dividendos a repartir
(3.000.000)
12.000.000
Tesorería (12.000.000)
Productos en curso (6.000.000)
Menos: Costes a pagar (3.000.000)
Menos: Dividendos a repartir
(3.000.000)
12.000.000
Tesorería (6.000.000)
Productos en curso (6.000.000)
12.000.000
can 32 horas/hombre. Existen, además, otros costes generales de producción de
los que se utiliza un módulo diario de 200 unidades físicas cuyo coste unitario
es de 5 u.m. El período medio de maduración económico de esta empresa es de
6 días y los períodos medios que transcurren desde la incorporación al proceso productivo de las primeras materias, la mano de obra y los gastos generales
y el momento de su pago son de 3, 5 y 4 días , respectivamente. Se desea conocer el importe del fondo de maniobra de esta empresa.
RESOLUCIÓN
Conforme se expuso en los problemas anteriores, cada unidad monetaria incorporada al ciclo de explotación se recupera al cabo de los PM días desde su
incorporación. Si diariamente se incorporan k unidades (siendo k el gasto medio diario), la inmovilización media en activo circulante será*:
A c = PM · k
El gasto medio diario, k, está formado por el consumo diario de materias
primas, de mano de obra y de gastos generales. Si diariamente se emplean s
* Fernández Pirla, J. M.: Economía y Gestión de la Empresa, ICE, Madrid, 1974, págs. 88-93 .
200
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
unidades fís icas ele materias primas (con un precio unitario igual a p) y 111 un idades físicas ele mano ele obra (con prec io un itario p,,), y ges el módul o d iari o
ele cos tes genera les ele producción , c uyo precio unitario es pg, obviamente:
k = sp
\
+ 111p + PfJJ.:
11/
0
y, en consecuenc ia ,
Esta cantidad se encontrará materi ali zada en tesorería , en almacén ele materia s primas, en produ cto s en curso ele elabo rac ió n , en productos termin ados y en c réditos sobre c li entes.
Por otra parte, si a los proveedores de materias prim as se les paga al cabo
de los x, días desde su incorporac ión al proceso ele producc ión, por tér mino
medio estarán finan c iando las x · sp u.m. que resultan de multiplicar el consumo diari o y el número de <lías ~le apla zami ento del pago. De l mi smo
modo , si la mano ele obra se abona con un aplazamiento de x,,, días, y x , es el
período medio de d il ac ión en e l pago de l os gastos general es, otros pJs i vos
a corto plazo serán x 111 • 111p111 y x~ · gp 8. Por consiguiente, por término medio,
el pasi vo a corto plazo valdrá: ·
p C = X .\ SJ'J l + X l l11/J'J
+ X~8/'Jg
lfll
y el va lor del fo ndo de maniob ra será:
FM = Ac - pe = PM(sp_, + IIIJJ/11 + gpg) - (x,sp_, + X,,,111/JI// + Xg8Pg) =
= sp,(PM - x) + 111p (PM - x + gp_/ PM - x8 )
111
111
)
D ado que los proveedores de materi as primas fi nanc i an 3 días del período de madurac ió n , que los trabaj adores fin anc ian 5 días y qu e los apo rtan tes de o tro s factores fin anci an 4 d ías , l os m ed ios fi nanc ie ro s propi os
que neces itará la empresa para mantener el ni ve l produc ti vo ser án l os sig uientes, en este caso :
Fondo para pago de primeras materias:
sp,\ (PM - x)
= 500 · 250(6 - 3) = 375 .000 u.m .
.\
Fo ndo para pago de mano ele obra:
111pj PM - x 111 ) = 1.000 · 32(6 - 5) = 32 .000 u.m.
Fo ndo para pago de gastos generales :
gp/PM - x_~) = 200 · 5(6 - 4) = 2.000 u.m.
El fo ndo de mani obra vald rá:
FM = 375 .000 + 32.000 + 2.000 = 409.000 u.m.
BENEFICIO, RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
201
A este procedimiento de determinación del fondo de maniobra se le denomina modelo sintético.
Problema 2.4.11
El período medio de maduración y el cálculo del fondo
de maniobra mínimo o necesario (modelo sintético)
Luned , S.A., es una empresa dedicada a la fabricación de cierto modelo de
sombrero de paja. Cada día consume 6.000 u.f. de paja, que tiene un precio
unitario de 25 u .m. Cada uno de los operarios cobra 1.200 u .m . por hora trabajada y diariamente se aplican 30 horas/hombre. El coste de cada u.f. de
otros gastos generales de fabricación es de 4 u.m. y cada día se aplica un módulo de 200 u .f. El período medio de maduración económico de esta empresa es de 6 días y los períodos medios que transcurren desde la incorporación
al proceso productivo de las primeras materias, la mano de obra y los gastos
generales y el momento de su pago son de 5 , 4 y 2 días, respectivamente. Se
desea conocer el importe del fondo de maniobra de esta empresa.
RESOLUCIÓN
Con los datos que facilita el enunciado, es posible aplicar el modelo sintético.
Fondo para pago de primeras materias:
sps (PM - x)
s = 6.000 · 25(6 - 5) = 150.000 u.m.
Fondo para pago de mano de obra:
mp,,,(PM - xm) = 30 · 1.200(6 - 4) = 72.000 u.m.
Fondo para pago de gastos generales:
gpgCPM - xg) = 200 · 4(6 - 2) = 3.200 u.m.
El fondo de maniobra valdrá 225.200 u.m.:
FM = 150.000 + 72.000 + 3.200 = 225.200 u.m.
Problema 2.4.1 2
El período medio de maduración y el cálculo del fondo
de maniobra mínimo o necesario (modelo sintético)
Naviunedsa es una empresa dedicada a la fabricación de naves de recreo
cuyo ciclo de explotación dura 90 días. Cada 30 días tiene unos costes totales
de 50.000.000 de u.m., de los cuales el 60 por 100 corresponde a primeras ma-
202
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
terias, el 30 por 100 a mano de obra y el I O por 100 restan Le a gas los genera les.
Los aplazamientos en los pagos son de 30 días la mano de obra , 60 días las pri meras materias y 15 días los otros gastos. Se desea saber el rondo ele man iobra
q ue ha ele mantener si desea un margen de seguri dad del IO por 100 sobre el
m ínimo necesar io.
RESOLUCIÓN
Dado que, cada 30 d ías, el cos te es de 50.000.000 ele u.m ., el cosl e medio
diario va ld rá:
50.000.000
k =--3-0- -
1.666.666 ,6 U.m.
que se desg losa del siguiente m odo :
Coste diario de materi as primas, sp_,; el 60 por 100:
0 ,60 · 1.666 .666,o = l .000 .000 de u.m.
Coste diario de mano de obra , 111p111 ; el 30 por 100:
0,30 · J .666.666 ,b = 500 .000 U.111.
Coste diario de gastos general es , gpg; el JO por l 00:
0 ,10. 1.666 .666,0 = 166.666,0 u.m.
Por consigui ente:
Ac = PM · k = 90 · J .666.666 ,b = 150.000.000 de u.m.
p e = X.) (sp.) ) + X ,,, ( rllj'J,,, ) + X s (gJ'J .i; ) =
= 60' ] .000.000 + 30 · 500.000 + ]5 · 166 .666,6 = 77.500.000 U.m .
F = Ac - Pe= 150.000.000 - 77 .500.000 = 72.500.000 u.m.
Si desea mantener un fondo de maniobra que incorpo re un I O por J 00 de
margen de seguridad , habrá de tener un fondo de 79.750.000 u.m .
72.500.000( ] + 0 ,]0) = 79.750.000 U .111 .
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANC IERO
203
Problema 2.4. 13
El período medio de maduración y el cálculo del fondo
de maniobra mínimo o necesario (modelo sintético)
Una empresa tiene un período medio de maduración económico de 7 días y
paga a sus proveedores en un plazo de 4 días. Diariamente consume 1.000 u.f.
de materias primas , que tienen un precio unitario de 125 u.m. Se desea conocer
el importe del fondo de maniobra que necesita esta empresa para pago de
primeras materias .
RESOLUCIÓN
sp,(PM - x,) = l.000 · 125(7 - 4) = 375 .000 u.m.
Problema 2.4.14
El período medio de maduración y el cálculo
del fondo de maniobra mínimo o necesario
(modelo sintético)
Una empresa tiene un período medio de maduración económico de 6 días.
Cada operario cobra 1.000 u .m. por hora trabajada , diariamente se aplican 32
horas/hombre y el período medio que transcurre desde que se incorpora la
mano de obra al proceso productivo hasta el momento de su pago es de 3 días.
¿ Qué fondo de maniobra necesita esta empresa para el pago de mano de
obra?
RESOLUCIÓN
FM = mpj PM - x,,,)
FM = 32 · 1.000 · 3 = 96.000 u.m.
Problema 2.4.15
El período medio de maduración financiero
Una empresa cuyo período medio de maduración económico es de 83 días
paga al contado todos sus gastos salvo las materias primas, de las que adquiere y consume 20.000 u.m. al año. Se desea conocer su período medio de maduración financiero , sabiendo que mantiene una deuda media con sus proveedores de 4.000 u.m .
RESOLUCIÓN
4.000
PMP = 365 - - - = 73 días
20.000
PMF = PM - PMP = 83 - 73 = 10 días
204
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
5.
Los ratios
Problema 2.5.1
Los ratios
En la tabla 2 .7 se recoge, en millones ele u.m ., el balance ele situación actual
ele la empresa Ratuneelsa.
L a cifra anual ele ventas ele esta empresa ha siclo ele 30 millones ele u.rn. valorada s a prec io ele venta, pues, si se las valora según su coste, su importe es ele
22 mi llones ele u.m.
Se desea efectuar un análisis ele esta empresa aplicando los ratios de situación y de rotación más habi tualmente empleados.
RESOLUCIÓN
Los rati os de situación se obt ienen a partir de los datos del balance y, por
consigui ente, rnuestran la situación de l a ernpresa en el momento al que aquél
se refi ere. Tienen carácter estático . Estos ratios son de tres tipo s:
Los relativos al activo, con los que se estudia la estructura económica de
la ernpresa.
Los ref erentes al pasivo , con los que se estudia la estru ctura financi era
de la firma.
Los ratios de síntesis, o de equi l ibri o fi nanciero , en los que se utilizan
datos del acti vo y del pasi vo del balance.
Tesorería
Caja
Bancos
Realizable
Clientes
Efectos comerciales a cobrar
Inversiones financieras
temporales en fondos
públicos
Existencias
Mercaderías
Envases
Inmovilizado material neto
Edificios y otras construcc.
Maquinaria, instalaciones y
utillaje
Mobiliario y enseres
Menos: amortización acum.
TABLA 2.7
Total activo neto
15
1
14
37
18
10
9
Pasivo a corto plazo
Proveedores
Efectos comerciales a pagar
Hacienda Pública, acreedor
Préstamos a corto plazo
Capitales permanentes
Préstamos a largo plazo
Capital social
Reservas
19,25
3,5
10
2
3,75
96
15
50
31
25
21
4
38,25
25
9
7,25
(3)
115,25
Total pasivo
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANC IERO
115,25
205
Dado que algunos ratios hacen referencia a masas patrimoniales más amplias que las detalladas en el balance de esta empresa, previamente hay que
efectuar los siguientes cálculos:
Activo circulante:
Ac = Tesorería + Realizable + Existencias =
= T + R +E= 15 + 37 + 25 = 77 millones de u.m.
Activo fijo:
AF = 38 ,25 millones de u.m.
Pasivo a corto:
Pe= 19,25 millones de u.m.
Capitales permanentes:
CP = 96 millones de u.m.
Recursos propios:
K = Capital social +Reservas= 50 + 31 = 81 millones de u.m.
Recursos ajenos a largo:
RA = 15 millones de u.m.
Recursos ajenos totales:
D = Pe+ RA = 19,25 + 15 = 34,25 millones de u.m.
Fondo de maniobra:
FM = A c - Pe = 77 - 19,25 = 57,75 millones de u.m.
Al aplicar los ratios de situación más habituales al presente caso , se
obtienen los resultados sintetizados en la tabla 2.8, en la que A y P significan activo total y pasivo total , respectivamente.
Un ratio no es sino el tanto por uno que la magnitud situada en el numerador representa respecto a la del denominador. Su significado se deduce de la denominación que reciben y de las partidas que los integran. Pero,
para emitir un juicio, en general es necesario compararlos con los valores
que han tomado en otros momentos del tiempo o bien, por ejemplo, con los
de otras empresas semejantes o con los de la empresa media de su sector.
No obstante, a la vista de los valores obtenidos , puede afirmarse que esta
empresa es fuertemente solvente tanto a corto como a largo plazo, debido a
su bajo nivel de endeudamiento y a su elevado fondo de maniobra y nivel
de tesorería.
206
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
11
Ratios
de activo
Tesorería TIA
15/115,25
0,1302
Act ivo circulante:
Realizable: RIA
37/115,25
0,3210
A
A
Existencias: E/A
25/115,25
0,2169
77
115,25
Activo fijo: A1 /A
0,6681
38,25/ 115,25
Pasivo a corto: Pc!P
Ratios
de pasivo
0,3319
19,25/11 5,25
Capitales permanentes:
CP!P 96/11 5,25
0,8330
0,1670
Recursos ajenos a largo plazo:
RA/P = 15/ 115,25 = O, 1302
(dependencia financiera)
Recursos propios:
K/P = 81/1 15,25 = 0,7028
(autonom ía financiera)
Liquidez: AJ Pc
Equilibrio financiero
a co rto plazo o liquidez
77/ 19,5
3,9487
Tesorería inmediat a:
T/Pc = 15/1 9,5 0,7692
Tesorería ordinaria:
( T + Rl!Pc = (15 + 37)/19,5 = 2,66
Ratios de solvencia
y equilibrio
f inanciero
Capital propio inmovilizado:
(AF - RA)/K = (38,25 - 15)/81 = 0,2870
Equilibrio financiero
a largo plazo
Capital propio en circulante:
FM!K = 57,7 5/81 = 0,7 130
Garantía: A/O= 11 5,25/ 34,25 = 3,3650
Fi nanciación del inmovilizado:
CP!Ar = 96/38,25 = 2,5098
Endeudamiento a corto:
PJ K = 19,25/81 = 0,2376
Apalanca m ient o
TABLA 2.8
Endeudam iento a largo:
RA!K = 15/81 = 0,1852
Endeudamiento total:
D/K = 34,25/81 = 0,4228
L os rat ios ele rotación, ta mbi én denominados «ratio s ele actividad o ele
gesti ón» tienen carácter dinámi co. Mielen el número ele veces que l a masa
pa trimon i al co rres pondi ente se enc uent ra co mprend ida en el volume n de
ven ta s o c i rra ele negoc ios de l período , que suele ser un año. C uanto mayo res sean estas ro tac io nes ele l as masas patrimo ni ales, mayo r se rá l a e ri cac ia ele su utili zació n. Los rat ios ele rota ció n más frec uentemente em -
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANC IERO
207
pleados son los siguientes, donde V denota las ventas anuales y C su valoración al coste:
Rotación de activos:
Activo total:
30
- - - = 0,2603
115 ,25
Activo fijo:
30
- -=0,7843
38,25
Activo circulante:
30
= = 0,3896
Ac
77
-
V
30
Clientes y efectos a cobrar: - - - = 1,0714
18 + 10
Existencias:
e
22
- = - = 08800
E
25
'
Rotación de fuentes de financiación:
Capitales permanentes:
Capitales propios:
30
= = 0 ,3125
CP
96
-
V
V
K
= l.Q_ =O 3704
6
'
Al igual que en el caso de los ratios de situación, en general, el principal interés radica en conocer su evolución y en compararlos con los de otras empresas o con los de la empresa media del sector de que se trate.
Problema 2.5.2
Los ratios
Dupunedont, S. A., con un activo de 50 millones de u.m. , financiado en
un 70 por 100 por recursos propios, tuvo el pasado año un volumen de venta de 20 millones de u.m., lo que le permitió obtener un beneficio neto de 5
millones de u.m. Se desea aplicar el método Dupont para analizarla financieramente.
RESOLUC IÓN
El método Dupont permite descomponer la rentabilidad de los capitales totales de la empresa, P, y la de sus capitales propios, K, en diversos elementos
208
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
que actúan entre sí ele forma multiplicativa. A sí, siendo BN el benc í'icio neto ,
la rentabilidad ele los capitales totales se podrá descompo ner del siguient e
modo:
BN
BN
BN V
R =-=-=-P
A
\I A
donde BNIV es el margen neto sobre ventas y V/A es la rotació n del acti vo . En
este caso:
-
5
= = 0 ,25
V
20
BN
20
= = 0,40
A
50
-
V
BN
5
R = - = - = 0 10
A
50
'
L a rentabi lidad obtenida (el 10 por 100) se exp lica por haberse aplicado un
margen de beneficio sobre ven tas del 25 por 100 y por una rotac ión del activo
ig ual a 0,40.
L a rentabi li dad fina nciera , o rentabi lidad de los capi tales prop ios, se descompone del siguiente modo:
RF= -
BN
BN V A
= ---K '
V A . K
donde BN/ V es el margen neto sobre ventas, V/A es l a rotación del activo y
AIRP es igual a:
A
RF=-=
K
p
K
D+K
=
K
=
D
K
= + J
Se trata , por tanto, de añadir la unidad al ratio de endeudamiento total al que
se hizo referencia en el problema anterior ; A/K es una med ida del grado de endeudamiento de la empresa. E n este caso:
K = 0 ,7 · 50 = 35 millones de u.m.
A
50
- = - = 142857
K
35
'
5
RF = = O 1429
35
'
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
209
La rentabilidad financiera obtenida (el 14,29 por 100) se explica por la aplicación de un margen sobre ventas del 25 por 100 , porque el activo rotó un 40
por 100 y porque el coeficiente de endeudamiento total de la empresa es del
42,86 por 100 (1 ,4286 - 1 = 0 ,4286).
Problema 2.5.3
Los ratios
En la tabla 2.9 se recogen , sintéticamente, los balances de situación y algunos datos de las cuentas de resultados de los dos últimos ejercicios económicos de Funedsa (millones de u.m.).
En los dos años la empresa decidió no repartir dividendos y está exenta
del pago de impuesto sobre el beneficio. Se desea analizar, mediante ratios
de situación, de rentabilidad y de rotación, la evolución de esta empresa y su
estado actual. Aplíquese también el método Dupont para analizar su rentabilidad.
TABLA 2.9
210
Activo circulante
Tesorería
Realizable
Existencias
Activo fijo neto
Activo total
15.590
210
5.480
9.900
26.570
42.160
20.270
420
7.400
12.450
32.450
52.720
Pasivo a corto plazo
25.160
12.500
Capitales p ermanentes
Recursos ajenos a largo plazo
Capital social y reservas
Resultados
Pasivo total
17.000
4.200
8.400
4.400
42.160
40.220
8.420
25,300
6.500
52.720
Ventas
- Ventas valoradas al coste
- Otros costes no financieros
42.200
(32.050)
(4.200)
52.750
(40.050)
(5.270)
Beneficio operativo
- Gastos financieros
5.950
(1.450)
7.430
(930)
Beneficio neto
4.400
6.500
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Obsérvese que, ciado que los benefi cios se retienen corno reservas, los recursos propi os del pri mer año import an 12 .800 mi llones (8.400 + 4.400) y que
los del seg u nclo ascienden a 3 1.800 111 i !Iones (25 .300 + 6 .500).
En la Labi a 2 .1 0 se recogen los ra tios más hab itua lmente empi cados.
Ratios de activo:
Activo circulante
0,3698
0,3845
Activo fijo
0,6302
0,6155
Pasivo a corto plazo
0,5968
0,2371
Capitales permanentes
0,4032
0,7629
Tesorería
Realizable
Existencias
0,0050
0,1300
0,2348
0,0080
0, 1404
0,2362
R. ajenos a l.p.
R. propios
0,0996
0,3036
0,6032
Ratios de pasivo:
º· 1597
Ratios de solvencia y equilibrio financiero:
Equilibrio a corto
o liquidez
Equilibrio a largo
A palancam iento
TABLA 2.10
Liquidez
Tesorería inmediata
Tesorería ordina ria
0,6196
0,0083
0,2262
1,6216
0,0336
0,6256
Capital propi o inmovilizado
Capit al propi o circulante
Garan tía
Financiación del inmovilizado
1,7 477
-0,7477
1,4359
0,6398
0,7557
0,2443
2,5200
1,239 4
Endeudamiento a corto
Endeudam ient o a largo
Endeudamiento total
1,9656
0,3281
2,2937
0,3931
0,2648
0,6579
A la vista ele estos resultados resulta ev idente que la estructura económica
ele la empresa refl ej ad a en su acti vo no se ha alterad o sustancialmente. Sin
embargo , su estru ctura financiera ha mejorado ostensiblemente, reduciéndose
la parti c ipac ión del pas i vo a corto pl azo a favor de los capitales perm anentes
y, es pec ialmente, de los recursos propios, cuya partic ipac ión en la fin anc iación total pasó del 30 ,36 por 100 al 60,32. L a participación ele la fina nc iac ión
a corto pl azo el año I tenía ta l relevancia que el rondo de maniobra era negati vo (Ac - Pe= 15.590 - 25. 160 = - 9.570 millo nes de u .111.), estando
parte del activo fij o financiado con pasi vo a corto plazo . Esto hacía que el ratio ele pa rti cipac ió n del capital propi o en la finan ciación del activo circulante
fuera negati vo ( - 0 ,7477) y que su co mplemento a l a unidad (el rati o de partic ipac ió n del capital propi o e n la fin anc iaci ón del inmov ili zado) fu era su-
BENEFICIO, RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
211
perior a la unidad. Esta situación también se pone de manifiesto por el hecho
de que el ratio de liquidez (AJ Pe) fuera inferior a la unidad. La modificación
de la forma de financiación da lugar a una mayor solvencia a corto y a largo
plazo, según se pone de manifiesto por el aumento de los ratios de tesorería
inmediata y ordinaria, del ratio de garantía y del coeficiente de financiación
del inmovilizado , que pasa de tomar un valor inferior a la unidad (lo que refleja que el fondo de maniobra es negativo) a alcanzar un valor que señala
que los capitales permanentes cubren el activo fijo y parte del activo circulante. Al final del año 1, el endeudamiento a corto plazo era casi igual al doble de los recursos propios (el coeficiente valía 1,9656) y los recursos ajenos
totales lo duplicaban ampliamente (2,2937). Al final del año 2, el endeudamiento a corto plazo representa un 23,71 por 100 del pasivo total (frente al
59 ,68 por 100 que representaba al final del año 1) y, en relación al capital
propio , esta fuente financiera representa sólo el 39 ,3 1 por 100 , siendo
el 65 ,79 por 100 la proporción correspondiente al total de recursos ajenos.
Se redujo, también , la participación de los fondos ajenos dentro de los capitales permanentes , que pasó del 32,81 por 100 de los capitales propios al
26,48 por 100.
El primer año, la rentabilidad económica de la empresa fue:
5 950
·
RE 1 = BE1 =
Al
42.160
= O 1411 = 14 11 por 100
'
'
en tanto que en el segundo tomó el valor:
BE
7.430
RE2 = - -2 = - - - = 0 ,1409 = 14,09 por 100
A2
52.720
lo cual no supone una modificación relevante. En cuanto a la rentabilidad financiera, se obtienen los siguientes valores:
BN 1
4.400
RF 1 = - = - - - = 0 ,3437 = 34,37 por 100
RP 1
12.800
BN2
RF2 = - RP2
6.500
- - - = O,2044 = 20 ,44 por 100
31.800
Dado que la rentabilidad de los activos apenas se modificó, la sustitución de
recursos ajenos por recursos propios, aunque mejoró la situación de equilibrio
y de solvencia de la empresa (redujo su riesgo), provocó una disminución de la
rentabilidad de los accionistas o propietarios de la firma.
Pero, para analizar con mayor detalle las razones de esta evolución de la
rentabilidad de la empresa, puede efectuarse un análisis de sus coeficientes de
rotación y un estudio basado en el método Dupont.
212
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Los principales coe fi cientes de rotación son los siguientes:
Año 1
Año 2
Rotac ión de acti vos:
42.200
Ac ti vo tota l (V/A)
1,0009
42. 160
42.200
Activo fij o ( VI A1..)
26 .570
A ctivo circulante ( V/Ac)
42.200
l 5 .590
32.050
Ex istencias (C/E)
9 .900
1,5883
= 2,7068
= 3,2374
52 .750
1,006
52.720
52.750
1,6256
32.450
52.750
20.270
40.050
12.450
= 2,6024
= 3,2169
Rotación de fuentes de finan ciación
Cap itales permanentes ( V/CP)
-
Cap itales propios ( VIRP)
42.200
17.000
42.200
12.800
= 2,4824
= 2,2969
52 .750
40.220
52.750
3 J .800
1,3 115
l ,6588
Dado que la rotaci ón del acti vo total apenas se ha mod ificado y que tampoco se ha alterado sustanci almente la composición del activo , las rotaciones
de los co mponentes del activo no han variado de forma destacable de un año al
otro.
Sin embargo, debido a la elevación de los capitales propios y de los capitales permanentes, su rotación se redujo sustancial mente , a pesar de que las
ventas aumentaron en un 25 por 100 de un período a otro:
52.750 - 42.200 00
00
- -- - - -- - 1 = 2S por J
42.200
En cuanto al análisis basado en el método de Dupont , los resultados se recogen en la tabla 2 .l 1.
De este anál isis se ded uce que la principal razón de la reducción ele la
rentabi l idad fin anciera es la disminución del grado de endeudamiento, la cual
compensó la favorable evoluci ón de la rentabi lidad de los capitales totales propic iada por el au mento del margen neto sobre ventas.
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
213
Desde el punto de vista de la rentabilidad de los propietarios, en una empresa en la que la rentabilidad de los activos es superior al coste de los recursos ajenos, interesa sustituir capitales propios por fondos ajenos; con ello , la
rentabilidad de los recursos propios se eleva. El coste medio de los recursos
ajenos en esta empresa fue , en el primer período:
Gastos financieros
RAT
TABLA 2.11
1.550
- - - -- - = 0,0528
25.160 + 4 .200
l. Margen neto sobre ventas (BN/ V)
11. Rotación del activ o fijo ( V/A )
111. Rentabilidad de los capitales totales (1 x 11)
IV. Medida del grado de endeudamiento (A/RP)
V. Rentabilidad financiera (111 x IV)
0,1043
1,0010
1, 1044
3,2938
0,3433
O, 1232
1,0010
o,1233
1,6579
0,2044
es decir, del 5,28 por 100, frente a una rentabilidad económica del 14,1 1 por
100. Dado que su financiación se realizó principalmente con recursos ajenos , su rentabilidad financiera fue superior que en el segundo año, en el que el
coste de estos recursos se redujo ligeramente [930/(12.500 + 8.420) = 0,0445]
y la rentabilidad económica apenas se modificó (0,1409), pero la financiación
se efectuó en mayor medida con recursos propios.
En definitiva, los propietarios de la empresa sacrificaron rentabilidad a favor de una mayor seguridad y solvencia. Se trata de una empresa que experimentó una fuerte expansión que, transitoriamente, financió con créditos a
corto plazo , los cuales fue renovando al ir venciendo para, luego (el segundo
año) , sustituirlos paulatinamente por préstamos a largo plazo y, especialmente, por capitales propios, cuya consecución requiere más trámites, y más tiempo , que los créditos a corto plazo.
Problema 2.5.4
Los ratios
El pasado año, una empresa tuvo un ratio de endeudamiento total del 0,5 por l ,
una rentabilidad financiera del 20 por 100 y obtuvo un margen neto sobre ventas del 15 por 100. ¿Cuál fue la rotación de su activo?
RESOLUCIÓN
Según el método Dupont:
RF= BN
K
214
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
= BN V A
V
A K
donde
-
A
RAT
= -- +
K
K
Por consiguiente, en este c aso:
V
O,20 = O, 15 - (O ,5 + 1)
A
de donde se ded uce que el activo ha ro tado 0,8889 veces :
V
- = 0 ,8889 veces
A
Problema 2.5.5
Los ratios
¿Cuánto ha valido la rentabilidad financiera ele una empresa que ha obtenido
un margen neto sobre ventas del 25 por 100 , cuyo acti vo ha rotado dos veces y
que fin anc ia el 60 por 100 de ese acti vo con deudas?
R ESOLUCIÓN
Según el método Dupont:
- BN _ BN V A
RF - -- - - - - K
V
A
K
Por consiguiente, en este c aso:
A
R F = O 25 · 2 - - = O 25 · 2 '
Problema 2.5.6
0,4A
'
1
0 ,4
= 1 25 por 1
'
125 por 100
Los ratios
U na empresa se fi nanc ia en un 25 por 100 con recursos ajenos, l a rentabi lidad neta de sus ventas ha sido del 50 por 100 y su ac ti vo ha rotado 10 veces
¿C uánto ha val ido su rentabi I iclad finan c iera?
BENEFICIO. RENTABILIDAD Y EQUILIBRIO FINANCIERO
215
RESOLUCIÓN
Aplicando el método Dupont:
RF = BN
K
= BN V A = O 5 . 10 .
V
A K
'
A
0,75A
1
05·10·-,
O,75
RF = 6 ,66 por 1 = 666 ,6 por 100
Problema 2.5.7
Los ratios
El pasado año, una empresa mantuvo un ratio de endeudamiento total del 40
por cien, obtuvo una rentabilidad financiera del 10 por ciento y su activo rotó
una vez ¿Cuál fue su margen neto sobre ventas?
RESOLUCIÓN
Aplicando el método Dupont:
RF = BN _ BN V A= BN V ( RAT + l)
K
V AK
V A
K
En este caso:
0,1 = BN 1(0,4 + 1)
--+
V
Ol
-BN
- = -'
- = 0,0714 por 1 = 7,14 por 100
V
1,4
El beneficio neto representó un 7 ,14 por ciento de las ventas.
216
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Rentabilidad y coste financiero
3
Los elementos relevantes
La rentabilidad requerida de una inversión
Valoración de proyectos de inversión y financiación
El cálculo de la rentabilidad de las inversiones y del
coste de la financiación. Criterios de selección.
La incidencia de la inflación
Casos particulares
La incidencia de los impuestos
El coste medio ponderado del capital
La rentabilidad requerida y la diferencia de riesgo entre
las inversiones mutuamente excluyentes
Otros métodos de selección de inversiones
La utilidad de los criterios e instrumentos de decisión en
las decisiones financieras
l . Los e lementos relevantes
Problema 3.1. l
Los elementos relevantes
Se trata de invertir en una ob li gac ión que va le 2.000 u.111. y que rentará
anualrnente y de forrna ilimitada un interés de 200 u.m. Los intereses son cobrados con la intermediación de un banco que cobra una comisió n de 5 u.m.
Identifique las variabl es relevantes de esta inversión.
RESOLUCIÓN
D esde el punto de v ista económico, lo ún ico relevante en una inversión es
el desembolso inicial que requiere, los fluj os de caja que cabe esperar de la misma , los momentos en que se espera que sean generad os cada uno ele el los y el
ri esgo que comporta.
En este caso, el desembolso inicial necesario para realizar esta in versión es
de 2.000 u.m. , y cada año genera un flujo de caja igual a 195 u.m., es decir,
igual a la diferencia entre el cobro anual que genera la inversió n (200 u.m.) y
los pagos que requiere ( las 5 u.111. que se han de abonar al banco por su intermed iació n).
Por consiguiente, son variab les fundamental es que definen el plan ele esta
in versión las siguientes:
A = 2.000 U.111. , Q, = Q 2 = Q, = ... = 195 , 11 -
00
donde A es el desembol so inicial , Q, es el flujo ele caja del 1-ésirno año y II es la
duración ele la inversión.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
219
Problema 3.1.2
El desembolso inicial
Mueblisa, que tiene una cadena de tiendas de venta de muebles, está
pensando en abrir otra sucursal en un nuevo barrio de cierta ciudad. Para realizar un estudio, el pasado año pagó 100.000 u.m. a una empresa consultora. ¿Es este importe un dato relevante para la decisión de abrir la sucursal o no hacerlo?
RESOLUCIÓN
Evidentemente, la respuesta es no. Las 100.000 u.m. no se pueden recuperar ni abriendo la sucursal ni no abriéndola. Constituyen un pago que
ya se ha efectuado y, por tanto, no se debe considerar en la decisión de inversión.
Problema 3. 1.3
El desembolso inicial
Mueblisa, a la que se refiere el problema anterior, es propietaria desde hace
bastantes años del local en el que se está considerando la posibilidad de poner
una sucursal. ¿Habría que olvidar el valor del solar porque no se precisa realizar ningún desembolso adicional por él?
RESOLUCIÓN
Evidentemente, la respuesta es no. La utilización de este local comportaría
un coste de oportunidad. Si el local se pudiera vender en 125.000 u.m., su utilización para instalar la sucursal supondría perder este cobro. Por ello, habría
que incluirlo entre el desembolso inicial de la inversión. Adviértase , además,
que el importe que hay que tener en cuenta son las 125.000 u.m. que vale el terreno en el mercado, independientemente de si Mueblisa pagó más o menos
cuando lo adquirió.
Problema 3.1.4
Los flujos de caja
¿Cómo habría de considerarse el hecho de que Mueblisa, a la que se refieren los problemas anteriores, cuente ya con una tienda en un barrio que
se encuentra en las proximidades de aquel en el que se va a situar la nueva?
RESOLUCIÓN
Han de tenerse en cuenta los efectos que tiene el proyecto en las otras
áreas de la empresa. Por ejemplo , si, como señala el enunciado, Mueblisa
tuviera ya otra tienda en un barrio próximo a aquel en el que piensa colocar
la nueva sucursal , habría que estudiar los efectos de ésta en la actividad de
220
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
aquélla , y, al es timar los fl ujos de caja , considerar como pagos del proyecto
la reducc ió n ele los cobros de la tie nda an tigua c incorpora r entre sus cobros
la red ucc ió n de los pagos ele esa anti g ua suc ursal.
2. La rentabilidad requerida de una inversión
Problema 3.2. l
El efecto de la inflación y del riesgo: la rentabilidad
requerida
Dado e l riesgo que comporta, un banco no está di spuesto a prestarle dinero a cierta e mpresa a me nos que su re ntabi lidad neta de inflac ión sea el 8 por
100 anual acumu lativo. Si la tasa medi a de infl ación anual es el 5 por 100 anual
acum ulativa , ¿qué tipo ele interés deberá ap licarse?
RESOLUCIÓ N
Conforme se vio e n el capítulo 1, la relación e ntre la tasa neta de infl ación,
k, y la tasa no minal, i, es:
k = i + g + ig
Muy probablemente quien no sepa nada sobre el te ma, sumará ambas tasas y
dirá que la tasa que hay que aplicar es el 13 por 100, pues, al restar el 5 por 100
de inflación, quedará el deseado 8 por 100 neto. En realidad , se equi vocará poco
pues la verdadera tasa nominal que habrá de aplicarse es el 13,4 por 100:
k = 0,08 + 0,05 + 0 ,08 X 0 ,05 = 0 ,134 po r J a nual = 13,4 por 100 anual
Problema 3.2.2
El efecto d e la inflación y del riesgo : la rentabilidad
requerida
Qué rentabil idad neta de inflación obtie ne quien aplica un tipo nominal del
12 por ciento an ual acumul ativo, si la tasa ele inflación es el 4 por 100 también
anual y acumu lativa?
R ESOLUCIÓN
La expresión del proble ma a nterior que relaciona k con i también puede esc ribirse:
k= i (J+g)+g
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
221
De donde se deduce que, dada la rentabilidad que incorpora inflación , k, la
rentabilidad neta de inflación es:
t=
k-g
1+g
En este caso,
¡=
º•12 - 0,04 = 0 ,0769 por 1 anual= 7 ,69 por 100 anual
1 + 0,04
Restando ambas tasas, una persona lega en la materia hubiera dicho que la
rentabilidad neta de inflación es el 8 por 100. En realidad, es el 7 ,69 por 100.
3.
Valoración de proyectos de inversión
y financiación
Problema 3.3.1
VAN
Determinar si es efectuable, según el criterio del valor actual (VAN) , un proyecto de inversión que precisa un desembolso inicial de 2.000 u.m. y que genera unos flujos netos de caja de 200 u.m. el primer año, 300 el segundo, 500
el tercero y 1.200 el cuarto, y último, de su duración. La rentabilidad que se requeriría si no existiera inflación, sería el 8 por 100. Existe una tasa de inflación
del 9 por 100 anual acumulativa.
RESOLUCIÓN
Rentabilidad requerida con inflación = 0,08 + 0,09 + 0,08 X 0,09 =
= 0 ,1772 por uno.
El valor actual de los flujos netos, es decir, el capital equivalente a todos
ellos en el momento O, será:
200
300
500
1.200
1,1772
(1,1772)
(1,1772)
(1,1772)
- - - + - - - -2+ - - - + ---= 1.31 7,72 u.m.
3
4
El valor actual de inversión, es decir , el valor, en términos actuales, de lo
que el inversor adquiere, pagando 2.000 u.m. , es de 1.317 ,72 u.m. Dado que
ambas magnitudes (la desinversión, es decir, las 1.317 ,72 u .m. que el inversor
va a percibir, y las 2.000 u.m. que ha de pagar por ello, o inversión) se encuentran referidas al mismo momento del tiempo (momento O, en el que se ha
de efectuar el desembolso), son comparables. Obviamente, no parece razona-
222
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
ble pagar 2.000 u.m. por algo que, en términos actuales. vale 1.3 17,72 u.111. Deduciendo del valor actual ele la in versión ( 1.3 17,72 u.m.) el desembo lso preciso
(2 .000 u.m .) , se obt iene su valor actual neto:
VAN = - 2 .000 + 1.317,72 = - 682,28
Dacio que su va lor actual neto es negati vo , la inversión no es efcctuablc. Un
proyecto sólo es viable, segú n este cr iterio , cuando su VAN es pos it i vo, es decir, cuando el valor actual ele la clesinversión (flujos netos de caj a) es mayor que
la in versió n (desembolso ini ci al).
Problema 3.3.2
VAN
Sea un proyecto de inversió n que requiere un desembolso inic ial ele 10.000
u.m. y que genera los sigu ien tes fluj os ele caja:
Primer año:
Segundo año:
T ercer año:
Cua rto año:
2.000 U.m.
3 .000 U.m.
4 .000 ll.117.
3 .000 u.m.
La rentabi l idad requ erida en ausencia ele infl ac ió n sería un 5 por 100
anual , pero la tasa de infl ac ión anual acumulativa es del 6 por 100. Se desea determinar:
a) El valor actual ele los fluj os ele caj a.
b) El valor actual neto de la in versión.
e) Si la inversión es, o no , efectuable, según este criterio.
RESOLUCIÓN
a) Rentabilidad req uer ida : 0 ,05 + 0 ,06 + 0 ,05 X 0 ,06 = O, 11 3 por uno .
V alor actual ele los flujos de caja =
2 .000
3 .000
4 .000
3 .000
- - - + - - - - + - -- - + - -- - = 9.074,86 u.m.
1, j 13
( 1, 1 13 )
2
(
1, 1 13 )
3
(
1' I 13 ) 4
b) VAN= - Inversión + D es inversión = - 10.000 + 9 .074,86 =
= - 925, 14 .
e) L a in versión no es efectu ab le, pues lo que el in versor adqu iere realizando la i nversión (futuros flujos ele caja) vale, en términos actuales , 9.074,86
u.m. y ha ele pagar , por ello, 10.000 u.111 . Dicho ele otro modo , el VAN ele la inversió n es negativo.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
223
Problema 3.3.3
VAN
Sea un proyecto de inversión que requiere un desembolso inicial de 5.000
u.m. y que genera los siguientes flujos netos de caja:
Primer año:
Segundo año:
Tercer año:
2.000 u.m.
3.000 u.m.
4.000 u.m.
Si no existiera inflación se aplicaría un tipo de descuento del 4 por 100
anual, pero existe una tasa de inflación del 8 por 100 anual acumulativo. ¿Es
efectuable este proyecto de inversión según el criterio del valor actual neto?
RESOLUCIÓN
Rentabilidad requerida= 0,04 + 0,08 + 0,04 X 0,08 = 0 ,1232 por uno:
2.000
3.000
4.000
VAN= -5.000 + - - - + - - - + - - - = 1.981,46
2
1,1232
1,1232
1,12323
Dado que el VAN es positivo, la inversión es efectuable.
Importa recordar, aunque resulte obvio, que el cálculo también podría haberse realizado, sin necesidad de determinar el tipo calculatorio aplicable con
inflación , del siguiente modo:
2 000
3 000
4 000
·
VAN= - 5.ooo + - --· - - - + - -- ·- - - - +
= 1.981 46
2
(1 ,04)(1,08)
(1 ,04)2(1,08)
(1,04)3(1,08)3
'
Problema 3.3.4
VAN
Una empresa considera la posibilidad de realizar una inversión que requeriría un desembolso inicial de 1.000 u.m. y que, teniendo una duración de
tres períodos, generaría unos flujos de caja de 300 u.m. en el primer período ,
500 en el segundo y 600 en el tercero. Siendo los tipos de descuento adecuados
a este análisis del 10 por 100 en el primer intervalo , del 12 por 100 en el segundo y del 15 por 100 en el tercero, ¿cuál es el valor actual neto de esta inversión? ¿Es efectuable?
RESOLUCIÓN
300
500
600
VAN = - 1.000 + - - + - - - - + - - - - - - - = 102,06
1,1
(1,1)(1,12)
(1,1)(1,12)(1 ,15)
224
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Dado que el valor neto es positi vo, la in versión es efectuable.
- A = - 1.000
o
Problema 3.3.5
º3=
Q2 = 500
Q 1 = 300
2
1 + k2 =
600
3
1 + k, = 1, 15
1 , 12
VAN
¿Es efectuable la inversión del problema anteri or según el criteri o del valor
actual neto si se prevén unas tasas ele inflación del 5 por 100 para el primer período, del 3 por 100 para el segundo y del 2 por 100 para el tercero?
RESOLUCIÓN
VAN = - 1.000 +
+
3 00
50_0_ _ _ _ +
+ ____
( 1,1)( 1,05)
( 1, 1)(1,12)(1,05)( 1,03)
600
( ] , 1)( 1, 12)(1 ,15)( 1,05)( 1,03)( 1,02)
= 18,90
Aunqu e, al tener en cuenta el efecto de la inflación , el valor actual neto se
ha reducido con siderablemente, continúa siendo pos iti vo y, por consiguiente,
la inversión es efectuable con arreglo a este cri terio:
- A = - 1.000
Q 1 = 300
o
2
l + kl= J, I
1 +g 1 = 1,05
Problema 3.3.6
º3=
Q2 = 500
1 + k, = 1, 12
1+
= 1 ,03
g;
=
600
3
1 + k3
1,15
1 + g, = 1,02
VAN
¿Sería efectuable la in versión ele los prob lemas anteri ores, conforme al
cri terio del valor actual neto , si , ex i st iendo los menci o nados grados de
inflac ión , la empresa obtiene benefi c ios que so n gravados con un tipo del
36 por 100 y la amorti zació n d e esta in versión se reali za linealmente? Supóngase que los fl uj os de caja constitu yen benefic ios del período en q ue se
ge neran .
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
225
RESOLUCIÓN
En este caso, para determinar el valor actual neto , se habría de descontar de los flujos de caja la parte que se paga e n forma de impuestos. Dado,
además, que las cuotas de amortización constituyen gastos deducibles , el
flujo de caja neto de impuestos del período t sería, para un tipo impositivo
del 36 por 100:
Q ; = Qt - ( Qt -
1.000)
360
0,36 = QP - 0,36) + -3- = 0,64QI + 120
3
Así pues:
Q; = 0,64 X 300 + 120 = 3 12 u.m.*
Q; = 0,64 X 500 + 120 = 440 u.m.
Q; = 0,64 X 600 + 120 = 504 u.m.
y por consiguiente:
VAN= -1.000 +
312
+ ____4_4_0_ _ _ +
( 1,1)(1,05)
(1,l)(l ,12)(1,05)(1,03)
+ - - - - - -504
- - - - - - - = -77 ,17 u.m.
(1 ,1)(1,12)(1,15)(1,05)(1,03)(1,02)
Al introducir el impuesto de sociedades, el valor actual neto de la inversión
es negativo y, por consiguiente, dicha inversión no es efectuable.
-A = -1.000
Q 1 = 312
o
1
1 + kl = 1,1
1 + g 1 = 1,05
º2=
440
Q3 = 504
2
1 + k 2 = 1,12
1 + g2 = 1,03
3
1 + k3 = 1,15
1 + g3 = 1,02
* El primer año, esta inversión genera 33,33 u.m. de pérdidas,.(300 - 1.000/3 = - 33,33). Si las otras inversiones de
la empresa generan beneficios superiores, se ahorrará 0,36 · 33 ,33 = 12 u .m. de impuestos que se añaden a las 300 u .m.
como mayor flujo de caja. Lo mismo sucede en otros problemas posteriores.
226
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
4.
El cálcu lo de la rentabilidad de las inversiones y
del coste de la financiación. Criterios de
selección . La inc idencia de la inflación
Problema 3.4.1
VANy TIR
C iert a in versión req uiere un desembolso inicial ele 1.500 u.m. y ge nera los
cobros y pagos en los suces ivos años ele su durac ión , tal como se ind ica en la
tabla 3. 1.
TABLA3.l
Primer año
3.000
2.500
Segundo año
4.500
3.500
Tercer año
5,000
4.500
Cuarto año
3.000
2.000
¿Para qué tipos ele descuento es efectuabl e o deja ele serl o?
R ESOLUCIÓN
En las inversiones en las que, inicial mente, se produce un desembolso osalida ele caj a (A) y, posteriormente, tocios los fluj os netos ele caja (cobros-pagos)
son positivos ( Q 1, Q 2 , ••. , Q,,), el VAN evo luciona con el ti po ele descuento (k)
siguiendo una curva semejante a la de la figura 3. 1.
VAN(k)
n
- A +~ O,
I
1
0 -t----
FIGURA 3. 1
-A
RENTABILIDAD Y COSTE FINANC IERO
227
En efecto, la expresión del VAN sería:
VAN = -A +
k
º
1
(1 + k)
+
--º-+= + .. . + --º-"-"+
2
(1
-
k) 2
(1
k)
11
Cuando k tiende a infinito , el VAN tiende a un importe negativo ( - A) .
A medida que se va reduciendo, el VAN crece y toma el máximo valor ( - A+
+ Q 1 + Q2 + ... + Q,,) cuando k toma el mínimo valor que puede alcanzar, es
decir, cuando k vale cero. No tendría sentido analizar una inversión en la que
la suma aritmética de los flujos de caja (Q 1 + Q2 + ... + Q,,) es más pequeña
que el desembolso inicial (A), pues tal inversión es, claramente, no efectuable
cualquiera que sea el tipo de descuento. Por consiguiente, en las inversiones
«analizables» el importe -A + Q1 + Q2 + ... + Q,, ha de ser positivo. Por tanto, en estas inversiones, a medida que crece el tipo de descuento desde cero hacia infinito, el VAN se reduce desde valores positivos hasta valores negativos ,
existiendo, siempre, un valor intermedio de k, al que se denominar, que hace
que el VAN valga cero. Para tipos de descuento inferiores a r, el VAN será positivo y, por consiguiente, la inversión será efectuable con arreglo a este criterio. Para tipos superiores ar, el VAN será negativo y la inversión no será efectuable .
En este ejercicio, en concreto , deduciendo los pagos de los cobros , se obtienen los siguientes flujos netos de caja:
Primer año:
Segundo año:
Tercer año:
Cuarto año:
Q 1 = 500
Q2 = 1.000
= 500
Q4 = 1.000
º3
Igualando el VAN a cero se obtendrá el valor de r:
1.000
500
1.000
500
=O
- 1.500 + - - - +
+ - ---+
(1 + r)4
(1 + r)3
(1 + r)2
(1 + r)
(1)
Dado que r no puede ser despejada en la anterior expresión, ha de probarse con distintos valores hasta encontrar aquel que la cumple, o bien utilizar fórmulas aproximadas. La siguiente expresión proporciona una aproximación
por defecto, es decir, que el verdadero valor de res superior al que resulta de
aplicarla:
r* = (SI A)(s'MJ - 1
donde :
S (de s uma) es igual a Q 1 + Q2 + ... + Q,,.
M (de multiplicación) es igual a Q 1 • 1 + Q2 • 2 + Q 3 • 3 + ... + Q,, · n.
228
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Otra apro ximació n, e n este caso por exceso, es la s ig uie nte:
r ** = (SIA )UJtS> -
1
s ie ndo:
D (de di vis ió n) ig ual a Q / 1 + Q/2 + Q/3 + .. . + Q,/11
Se c umple que:
r * :5 r :5 r **
En este ej e mplo resulta :
S = 500 + 1 .000 + 500 + 1.000 = 3 .000
M = 1 X 500 + 2 X 1.000 + 3 X 500 + 4 X 1.000 = 8 .000
500
1 .000
500
J .000
D = -- + - - + - - + - - = 1.4 16 ,66
1
2
3
4
..
,.-1• =
(3 .000
- -) ~:~'
· 1 - 1 = (2)318 - J = O 2968 po r uno = 29 68 por 100
1.500
'
'
3 .000 ) ~
r ** = ( - - - 3 ·000
1.500
-
1 = O 3872 po r uno= 38 72 por 100
'
'
E l verdadero tipo ele descue nto que hace el VAN ig ual a cero (el que cu mple
la expresió n [ 11) se e ncontrará compre ndido e ntre 0 ,2968 y 0 ,3872. Probando
con d istintos valores compre ndidos e ntre estos ex tre mos, e n la expres ión(]),
se obtiene el s ig uie nte va lo r de r:
r = 0 ,3 197 por uno = 3 1,97 po r 100
Para tipos de descue nto infe rio res al 3 1 ,97 por 100 anual , e l VAN de esta inversió n será pos iti vo y, por cons iguie nte , la in ve rs ión será e fectuable con
arreglo a este criterio. Para tipos de descue nto superiores a esa tasa , la inversión
no será e fectuable, por resultar un VAN negativo .
A ese valor, r, que hace que e l \IAN de una invers ión sea nul o, se le de nomi na tipo de rendimiento intern o, tasa interna d e re11tabiliclad ( TIR ), tasa de
re torno o , simple mente, ren tabilidad ele la inve rsión.
Problema 3.4.2
VANy TIR
Sea una in vers ión que requiere un desembolso inicial ele 3.000 u.111. y que
dura dos años, en e l prime ro de los cuales gene ra un flujo neto de caja ele 2 .000
u.111 ., s iendo ele 4.500 e l generado e n el segundo. Si existe una tasa de inflación
de l 6 po r 100 a nu al ac umu lativo y la re ntabilidad que se le requeriría e n au -
RENTABILIDAD Y C OSTE FINANCIERO
229
sencia de inflación es del 8 por 100, ¿cuál es su valor actual neto?¿ Y su tasa de
rentabilidad interna real (neta de inflación)?
RESOLUCIÓN
El VAN puede calcularse aplicando el nuevo tipo calculatorio (rentabilidad
requerida en situación de inflación):
k = 0,08 + 0 ,06 + 0,08 X 0,06 = 0,1448 por uno anual
y haciendo:
2.000
4.500
VAN = - 3.000 + - - - + = 2.180 ,66u.m.
1,1448
1,14482
o bien, de forma directa:
2.000
4.500
VAN = - 3.000 + -- - - + - -- - - = 2.180,66u.m.
1 ,08 X 1 ,06
1,082 X 1,062
La tasa de rentabilidad interna es el tipo de descuento que hace el VAN igual
a cero. El cálculo de la tasa real (neta de inflación) , a la que se denominará rR,
podrá hacerse determinando el valor de r R' que cumple:
2.000
4.500
O = - 3.000 + - - - · - - - + -- - - - -- (1 + r R) X 1, 06
(1 + rR)2 X 1 ' 062
(1)
obteniéndose, en este caso , una ecuación de segundo grado, que también puede expresarse del siguiente modo:
- 3.000 X 1,062(1 + rR)2 + 2.000 X 1,06(1 + rR) + 4.500 = O
de donde se deduce que:
- 2.000 X 1, 06 ± Y (2.000 X 1,06) 2 + 4 X 3.000 X 1,06 2 X 4.500
2( - 3 .000)(1 ,06)2
= {
1,5119
-0,8830
La única solución que tiene sentido económico es la primera (la tasa de rentabilidad de esta inversión ha de ser positiva). Por consiguiente:
1 + rR = 1,5119 -
230
rR = 0 ,5119 por uno anual = 51 ,19 por 100 an ual
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Otra forma de calcular el tipo interno de rentabilidad (TIR) es comenzar determinando la ta sa ele rentabil iclacl aparente (r,) ; es decir, la que correspondería a esta in versión si no ex istiera inflación, del siguiente modo:
2.000
4.500
O = - 3.000 + - -- + - - - - _,.
1 + r11
( 1 + r )1
11
(2)
-,. - 3.000( 1 + r" )2 + 2 .000( 1 + r11 ) + 4 .500 = O 1 + ,.A =
- 2.000 ± Y2 .0002 + 4 X 3.000 X 4.5 00
2( - 3.000)
=
= { 1, 602629 -,. r11 = O,6026
- 0 ,9395
y luego , observando que ele la s expres iones ( 1) y (2) se deduce que:
determinar r 11 como sigue:
1 + r"
r, - 0 ,06
1,06
0 ,6026 - 0 ,06
1,06
= 1 , 06 + l ,06r11 -,. ,. = -'- - - = - - -- - //
= O, 51 19 por uno anual = 51 ,19 por 100 anua l
Si no existiera inflación, la rentabilidad ele esta inversión sería del 60,26 por
100 anual (r 11 ) . A l considerar que ex iste una ta sa de inflación del 6 por 100, di cha rentabilidad res ulta ser realmente del 5 1, 19 por 100.
En genera l , la relación ex istente entre ambas tasas puede expresarse como:
donde ges el tanto por uno de inflación an ual acumulati vo, o bien como:
,. - g
,. = ~"~//
Problema 3.4.3
1
+g
T/R
La empresa P, S. A. , rev isa tocios los años l as ex pectativas ele rentabilidad
de sus inversiones. El pasado año previó, para su in versión en una nueva fac to ría , una rentabil idad real del 10 por 100 an ual suponiendo que la tasa de in flación fuera del 5 por 100 acumulativo en cada uno ele los años ele la duración
ele dicha inversión . Pero en di cho año , que ahora termina , la inflación fue del
8 por 100 y se con sidera que continuará esta ta sa durante tocia la v ici a de la inversió n. ¿Cuéíl es el nuevo tipo ele rentabi li dad re visado rea l?
RENTABILIDAD Y C OSTE FINANC IERO
23 1
RESOLUCIÓN
Conforme se expuso en el problema anterior,
r - g
r
=-A
_ __
R
l +g
Para el 5 por 100 de inflación, previsto para el pasado año , se tendría:
0,10 =
rA - 0,05
__.. rA = 0,155 por uno anual
1 05
'
En ausencia de inflación, esta inversión generaría una rentabilidad del
15 ,5 por 100 anual. Para una inflación del 8 por 100 anual, su tasa de rentabilidad real sería:
0 ,155 - 0,08
rR = - - -- - - = O,0694 por uno anual
1,08
es decir, el 6 ,94 por 100 anual.
Problema 3.4.4
TIR
Si la tasa de inflación es el 10 por 100 anual , la rentabilidad anual real de
una inversión es el 12 por 100. ¿Cuál será su rentabilidad real para una tasa de
inflación del 20 por 100?
RESOLUCIÓN
rA _
-0_
,10_
O,12 = __,_,_
1 +o ,10
de donde se deduce que
rA = 0 ,232
Por consiguiente , para una inflación del 20 por 100:
r
Problema 3.4.5
0,232 - 0,20
= - - -- - = 0 ,0267 por 1 = 2,67 por 100
R
l + 0,20
TIR
Un banco desea calcular la rentabilidad real de un préstamo que tiene un
tipo de interés del 16 por 100, sabiendo que la inflación anual es el 6 por 100.
232
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUC IÓN
r - g
O, 16 - O,06
O, 1
= - - - - - = - - = O 0943 = 9 43 ¡)or 100
1+ g
1 +0,06
1,06
'
,
r1 = -'' -
Problema 3.4.6
TIR
U n banco concede a uno ele sus clientes un crédito ele un millón ele u.m. por
el que, en cada uno ele los cinco años ele su duración, le cobrará un interés del
16 por I OO. El último año, el c liente deberá devol ver el principal del préstamo
(un millón ele u.m.) y los intereses correspond ientes al último año. ¿Cuál es la
tasa ele rentabilidad obtenida por el banco en esta operació n?
RESOLUCIÓN
Evidentemente, la ta sa ele rentabilidad será del 16 por I OO. Para comprobarlo basta calcular el valor de r , que cumple:
O = - l.000 .000 +
160.000
+,.
+
+
160.000
(1+
r )2
+
160.000
( 1 + ,-)3
+
160.000
( 1 + r )4
+
l .l 60.000
( J + ,-)5
Probando con distintos valores comprendidos entre estos extremos, se deduce
que:
r = 0 ,16 por uno anual = 16 por JO0 anual
Obviamente , la rentabilidad ele un préstamo de este tipo, en el que el ti po de
interés es del I 6por I00 anu al, habrádesertamb ién del 16 po r 100 .
Problema 3.4.7
VANy TIR
Sea un proyecto de in versión que requ iere un desembol so inicial ele l .000
u.m. y que duraría dos años, generando unos flujos netos de caja de 600 u .m. al
final del primero y 500 al fi nal del segundo , y siendo su valor residual de 200
u .m. Se desea estudiar su efectuab i I idacl para un tipo ele descuento y rentabilidad requeri da real del 12 por JO0 anual , en los casos siguientes:
a) No ex iste inflación y la empresa está exenta del pago del impuesto sobre
el benefi cio.
b) Se prevé una tasa de i nfl ación para los próximos años de un 6 por 100
anual y la empresa está exenta del pago del impuesto sobre el benefi cio.
RENTABILIDAD Y C OSTE FINANCIERO
233
e) No existe inflación y la empresa está sometida al impuesto sobre el beneficio con un tipo impositivo del 36 por 100.
d) Se prevé una tasa de inflación para los próximos años de un 6 por 100
anual y la empresa está sometida al impuesto sobre el beneficio con un
tipo impositivo del 36 por 100.
Supóngase que los flujos son beneficios para la empresa en el período en
que se generan y que la amortización de la inversión es lineal.
RESOLUCIÓN
600
500
200
600
1,12
1,12
1,12
1,12
a) VAN = - 1.000 + -
700
+ --=93,75
1,122
- + - - 2 + -= -1.000 + - - +
2
La inversión es efectuable.
600
700
1.000 = - - + - -l +r
(1 + r) 2
1.000(1 + r) 2 - 600(1 + r) - 700 = O
600 ± V6002 + 4 X 1 .000 X 700
( 1 + r) = - - -- - - - - - -- - - =
2 X 1.000
= {-0 ,5888 1,1888 -
r = - 1,5888
r = 0 ,1888
El único resultado económicamente viable es r = 0,1888. La inversión es
efectuable (r > rentabilidad requerida = O, I 2).
º
7
+ _ __0_0_ _ = 2 ,04 > O
1 ,12 X l ,06
1,122 X l ,062
60
b) VAN= - 1.000 +
Aunque el VAN de la inversión se ha reducido considerablemente al introducir el efecto de la inflación , continúa siendo aceptable.
En cuanto a la tasa de rentabilidad , es posible calcularla mediante la expresión:
(1 + rA) = (1 + g )( l + rR)
donde ges la tasa de inflación y rR y rA los tipos de rentabilidad real y aparente,
respectivamente, deduciéndose:
r
R
234
=
rA - g
1+g
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
0 ,1888 - 0,06
- - - - - = 0,1215 > 0,12
1,06
Si bien la tasa de rentabilid ad rea l se ha rccluc iclo al introd uc ir el erecto ele
la inflac ió n. la in versión continúa siendo ef'ectuabl c .
e) Para determin ar el \IA N y la T!R en este caso, es prec iso cal c ul ar antes
los fluj os netos ele impuestos , dceluc ic nelo ele los ['lujos to tales la parle que se
paga en fo rma de impuestos, teniendo en cuenta que las cuotas ele amort izac ión
constitu yen gastos decluc iblcs. Así , el fluj o ele caj a neto de im puestos del período t sería:
1.000 - 200 )
0 ,36 = Q,( 1 - 0,36) + 400 X 0 ,36 =
2
Q; = Q, - ( Q, -
= 0,64Q, + 144
Por consiguiente:
Q 1 = 0,64 X 600 + 144 = 528
Q2 = 0 , 64 X 500 + 144 + 200 = 664
528
VAN = - l .000 + - - + -
1, 12
664
- = 0 ,76
l ,l 2 2
La in versión es efectuabl e.
J .000 = -
1
528
-
l + ,.
664
+ --- (1
+ r)2
J .000( 1 + ,-)2 -
528( 1 + r) - 664 = O
+ r = 528±Y528 2 +4X 1.000 X664 ={ 1,1205 - 0 ,5926 -
2 X 1.000
r = 0 , 1205
r = - 1,5926
El único resul tado económi camente viable es r = 0 ,1205 y esta tasa es superi or a l a rentabi I idael requerí da (O, l 2). Por co nsi gu ienle, en este caso la in versió n es efectuable.
d ) D ado que en el caso e) la in versión es efectuable por un escaso margen ,
no lo será en éste, pues al efecto ele los impuestos hay que añadir el ele la infl ación. No obstante, si se desea calcular el VAN y la T!R de esta in versión, basta hacer:
528
VAN= - 1.000 + - -
1,J 2 X 1,06
,.11 =
1'
11
-
g
.......!.!,.___;;e_
1+ g
+ -
664
- - -- - = - 84,15 < O
2
I , 12 X l ,06 2
0 ,1205 - 0 ,06
- -- - - --
= 0,057 1 < 0. 12
1,06
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
235
Problema 3.4.8
El coste de los préstamos
Auned, S. A., tiene que elegir entre los créditos que puede obtener en el
banco A y en el banco B. El primero le ofrece los 2 millones de u.m. que Auned
necesita durante dos años, cobrándole un 16 por 100 anual. El segundo le
cobra unos intereses anuales del 15 por 100 y, además, una comisión inicial del
0,05 por 1 de los 2 millones de u.m. En cualquiera de los dos casos, la devolución del principal del crédito, es decir, de los 2 millones de u.m., ha de
efectuarse al final del segundo año, junto con el pago de los intereses correspondientes a este período. Se desea saber cuál es el crédito que tiene menor
coste.
RESOLUCIÓN
Cuando, como en este caso, no existen costes de intermediación, la rentabilidad de quien coloca los fondos (el banco) coincide con el coste de quien los
recibe (Auned). Por consiguiente, el cálculo de la tasa de coste tiene las mismas
dificultades que la determinación del tipo de rendimiento interno.
Al igual que la TIR , el coste de una fuente de financiación es el tipo de descuento que hace que el valor actual neto de sus flujos de caja sea nulo. Así, el
coste del crédito del banco A sería el kA, para el cual:
O = 2.000.000 _ 0,16 · 2.000.000 _ 0,16 · 2.000.000
2.000.000
1 + kA
(1 + kA)2
(1 + kA)2
Para calcular su rentabilidad , que, evidentemente, resulta igual al 16 por 100
(kA = 0,16), el banco aplicaría la misma expresión cambiando el signo a ambos
lados de la igualdad. El coste del deudor, y la rentabilidad del acreedor, es el 16
por 100.
En cuanto al banco B , los fondos que él invierte, y que la empresa percibe,
son el resultado de deducir, de los 2 millones de u.m. , la comisión inicial retenida por el banco (0 ,05 · 2.000.000 = 100.000 u.m.). Por tanto , la rentabilidad del banco y el coste de la empresa serán el valor de k, para el cual:
O = 1.900.000 _ 0,15 · 2.000.000
1 + kB
0 ,15 · 2.000.000
2.000 .000
(1 + kB)2
(1 + kB)2
Se trata de una ecuación de segundo grado de la que se deduce que
k 8 = 0,1820 (la otra solución de la ecuación es negativa, lo cual no es posible
económicamente); es decir, el 18 ,20 por 100.
Por tanto , para la empresa es preferible el crédito del banco A, por ser el
más barato.
236
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 3.4.9
El coste de los empréstitos
Buned , S. A. , ha em itido, a tra vés de un grupo bancario encargado de colocarlas entre sus clientes, 10.000 obligaciones a 5.000 u.m. cada una, a las que
pagará un interés del 12 po r 100 anual durante dos años, al rin al ele los cuales
las amorti zará por su valor ele emi sión. El gru po bancario le ha cobrado una comisión, por la interm ediación , del 0 ,1 por 100. ¿Cuál es el cos te del emprésti to para Bunecl ? ¿Y la rentabilidad ele estos t ítulos para los obli gacioni sta s?
RESOLUCIÓN
Un empréstito es un crédito que percibe la empresa a través ele partes al ícuotas (obl igaciones) colocadas entre quienes adquieren esas cuotas (obli gacionistas) . Por consiguiente , el cálculo de su coste es semejante al ele un crédito. En este caso , la empresa percibe in icialmente la diferencia entre lo que los
ob ligacioni stas abonan y l a reten ción que efectúa el banco por la comi sión ele
intermediación; es decir, el importe:
10 .000 · 5.000 - 0 ,001 · 10.000 · 5 .000 = I0.000 · 5.000( 1 - 0,001) =
= 49.950.000
Por tanto , el coste ele esta fuente fina nciera para la empresa es el valor de k;
para el cual:
0 ,12 · 5.000 · J0.000
( 1 + k¡)2
O = 49 .950.000 _ 0 ,12 · 5.000 · 10.000
1 + k;
5.000 · 10 .000
( l + k)2
La única solución que tiene sentido económico es k; = 0 ,1206. El coste para
la empresa es el 12 ,06 por 100 anual. Sin embargo , suponiendo que no tu v ieran ningún gasto de intermed iación para el cobro de sus intereses ni que pagar
impuestos sobre los mi smos, la rentabil idad de los obl i gac ioni sta s sería el
valor de r para el cual:
O = - 5.000. 10.000 + 0 ,12 · 5.000 · 10.000 +
l + ,.
0 ,12 · 5.000 · J0 .000
5.000 · 10.000
+ - - -- -- - - + - - -- 2-( 1 + r)
(1 + r) 2
Es dec ir , como es obvio, el 12 por JO0.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANC IERO
237
Problema 3.4.10
El coste de los préstamos
Una empresa emite un empréstito de 100.000 obligaciones que tienen un
nominal de 1.000 u.m. cada una y un plazo de amortización de dos años, sin
prima ni quebranto de emisión ni de reembolso, siendo su tipo de interés
anual el 15%. El sindicato bancario encargado de colocar la emisión entre sus
clientes le cobra a la empresa un 5% del importe emitido. ¿Cuál es el coste de
este empréstito?
RESOLUCIÓN
Emite 100.000 obligaciones a 1.000 u.m. cada una, pero el sindicato bancario le cobra una comisión del 5 por 100 sobre ese importe, por lo que el importe neto que cobra es 95.000.000 u.m.:
100.000 · 1.000 - 0,05 · 100.000 · 1.000 =
= 100.000 · 1.000(1 - 0 ,05) = 95.000.000
Por tanto, el coste de esta fuente financiera para la empresa es el valor de
para el cual:
o = 95.000.000 _ 0 ,15 · 1.000 · 100.000 _ 0,15 · 1.000 · 100.000 _
1 + k;
(1 + k)2
1.000 · 100 .000
(1 + k)2
Resolviendo la ecuación de segundo grado, se obtiene:
k; = 18,2%
5.
Casos particulares
Problema 3.5. 1
VAN y TIR en casos especiales
Se desea calcular el valor actual neto de una inversión de duración
igual a un año, que precisa un desembolso inicial de 1.500 u.m. y que generaría los siguie ntes flujos de caja: 500 al final del primer trimestre,
1.000 al final del segundo , 500 al finalizar el tercero y 1.000 al final del
cuarto y último trimestre de su duración. La rentabilidad anual requerida de
esta inversión es el 60 por 100.
238
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Dacio que los flujos de caja so n lrimcs tral es , para descon tarlos puede procederse del sig uiente modo:
500
1,6114
1.000
1,61/2
500
1.000
+ -- = 71 1,5
1,631<1
1,6
VA N = - 1.500 + - - + - - + --
Es decir, aplicando la rentabi lidad requerida anual , y teniendo en cuenta que
el primer rl ujo se genera al cabo de una c uarta parle de un año. el segundo al fi nal de medio año, el tercero dentro de tres cuartas partes ele año y el últi mo al
fin al de un año .
Otra forma de proceder es la siguiente:
500
1.000
500
VAN = - 1.500 + - - - + - -- - + - -( I + k')
( 1 + k') 2
( 1 +k')3
1.000
+- -( 1 + k') 4
donde k' es la renlabil iclacl requeri da trimestral. Para determinar el va lo r ele una
u.111. actua l dentro ele un año, puede procederse apl icando la tasa requer ida trimestral cuatro veces, obteniéndose ( 1 + k') 4 o bi en aplicando la tasa req uerida anual , k, una vez, con lo que se obtiene ( 1 + k). Dacio que ambos importes
han ele coi nc idir:
(1
+ k ')4 = 1 + k
se deduce que:
k' = ( I +k) 114 En este caso en conc reto , se obti ene:
k' = ( 1 + 0,6) 114 -
1 = 0 , 1247
Por tanto:
VAN = - 1.500 +
Problema 3.5.2
500
1, 1247
+
1.000
1, 1247
2
500
J .000
1,1247
J, I247
+--+-- - 4= 711,5
3
VAN y TIR en casos especiales
Se desea co nocer la TIR anua l ele la i nversión del problema anterior, así
como anal izar la efectuabi l icl acl de esta in versión uti li zando este c riterio.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
239
RESOLUCIÓN
Al igual que en el cálculo del VAN , en la determinación de la TIR anual, r ,
puede procederse de dos formas equivalentes. La primera consiste en aplicar la
siguiente expresión:
500
1 .000
500
1.000
O = - 1.500 + - - - - + - - - - + - -- - +
(1 + r) I/4
(1 + r)I/2
(1 + r )3f4
( 1 + r)
obteniéndose, por prueba y error:
r = 2,0332 por 1 = 203,32 por 100 anual
La segunda consiste en calcular primero la TIR trimestral, r' , y luego, a partir de ella, la anual del siguiente modo:
Cálculo de la tasa trimestral:
500
1 .000
500
1.000
O = - 1.500 + - - - + - - - - + - - - - +
2
3
(1 + r')4
(1 + r ')
(1 + r')
( 1 + r')
de donde, utilizando los procedimientos aproximados ya conocidos, y por
posterior prueba y error , se deduce que:
r' = O,3 197 por 1 = 31 ,97 por 100 trimestral
Cálculo de la tasa anual: según se dedujo en el problema anterior:
(1 + r') 4 = 1 + r
se deduce que:
r = (1 + r') 4 - 1
En este caso en concreto, se obtiene:
r = (l + 0,3 197)4 -
1 = 2,0332 por 1 = 203,32 por 100 anual
El análisis de la efectuabilidad de la inversión puede realizarse utilizando las rentabilidades trimestrales o las anuales. Por ejemplo, esta inversión es
realizable , pues su rentabilidad trimestral esperada (0,3197 por uno) es mayor que la requerida (0,1247 , según se dedujo en el problema anterior). Dicho
de otro modo , es efectuable porque su rentabilidad anual esperada (2 ,0332
por uno) es superior a la requerida (0 ,6 según el enunciado del problema anterior).
240
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 3.5.3
VAN y TIR en c asos especiales
L a rentabi l idad trimestral ele una inversión es el 0, 1 po r 100. ¿Cué1nlo va le
su rentabi lidad anual ?
RESOLUCIÓN
r = ( 1 + 0 ,00 1)4 -
Problema 3.5.4
1 = 0 ,004006 por 1 = 0,4006 por 100
VAN y TIR en casos especia les
Un banco ha concedido a un cl iente un préstamo de 2.000.000 ele u .m . por
el que, al final de cada uno de l os doce trimestres de su du ración, le cobrará un
interés del 3 por I OO. El último trimestre el cl iente deberá devolver el principal
del préstam o y los intereses del úl timo trimestre. ¿Cuánto vale la rentabilidad
anual de la in versión del banco?
RESOLUCIÓN
Evidentemente , la rentabi lidad trimestral del banco es el 3 por I OO. Para
calcular la rentabi lidad anua l basta hacer:
r = (1 + 0,03) 4 -
Problema 3.5.5
J = 0 ,1255 por 1 = 12,55 por 100
VAN y TIR en casos especiales
Una in versió n requiere un desembolso in ic ial de 625 u.m. y genera los siguientes fluj os de caja: 300 u.m. al cabo de un mes, 200 u .m. al cabo de un semestre y 500 u.m. al cabo de dos años. Si la rentabi l idad anual req uerid a es el
.12 por 100 , ¿cuánto va le su VAN?
RESOLUCIÓN
200
- 300
- - --1112 + - - -- - + - - 500
- - =
( 1 + 0 ,12)
( 1 + 0 ,12) 112
( 1 + 0, 12)2
= - 625 + 297, 18 + 188,98 + 389,60 = 259,76 U.111 .
VAN = - 625 + -
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
24 1
Problema 3.5.6
VAN y TIR en casos especiales
Una inversión requiere un desembolso inicial de 2.000 u.m. y genera, durante cada uno de los cinco años de su duración, un flujo anual constante de
600 u.m. Siendo la rentabilidad requerida del 10 por 100, se desea conocer su
valor actual neto y su tasa de rentabilidad. No existe inflación.
RESOLUCIÓN
En el caso en que los flujos son constantes (Q, = Q2 = ... = Q,, = Q) , la
expresión del VAN será:
VAN = -A +
= -A+
~º=----+ __Q_ _ + ... + - - =º=-- - 1+k
(1 + k)
(1 + k)"
2
Q[ 1 : k + (1 : k) + ... + (1 : k)"]
2
El importe recogido entre corchetes es la suma de los términos de una
progresión geométrica cuyo primer término es 1/(1 + k), siendo el último
1/( 1 + k) 11 , y la razón (factor que, multiplicado a cada término, genera el siguiente) igual a 1/( 1 + k). En general, la suma de los términos de una progresión geométrica es igual a
T, - T,,R
s = --'------"---
1-R
donde T, es el primer término, T,, el último y R la razón. En este caso se tendrá:
1
1
- -x - -(1 + k)"
(1 + k)
1+k
VAN = - A + Q - - -----'-----'-- -·'-----'1
1 - - -1+k
1
1- - - (1 + k)"
1 - (1 + k)- 11
- -A+ Q - - -- - = - A+ Q - -- -_;__(1 + k) - 1
k
El importe:
1
1
1
- - - +-- -+
... + - -- 11
1+k
(1 + k) 2
(1 + k)
242
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
1 - (1 + k,) - 11
k
es el va lor ac tual , al tanto k, de una corri ente de rlujos unitarios anuales de
duración II años, y se le suele designar mccl ianle el símbo lo a,,14 . Por tant o:
En el caso del problema planteado , se hará:
- ( 1, 1) 5
\IAN = - 2.000 + 6OOo;¡J_I0 = - 2.000 + 600 X -- - - - = 274,47 u.m .
0,1
La tasa de rcntabi liclacl será el valor de r 4uc cumple:
-2 .000 + 6000¡¡¡0,10 = o
es clec i r:
1 - ( 1 + r )- 5
-2.000 + 600 X - - - - - - = 0 -'-"
- ( l + r) 5
/'
-
2.000
/'
- = 3,33
600
ele donde se obt iene, probando con di stintos valores ele r:
r = 0 , 1524 por uno anual = 15 ,24 por 100 anual
Problema 3.5.7
VAN y TIR e n casos especiales
Una empresa se plantea reali zar una in versión, cuya duración considera ilimitada , que generaría un flujo ele caja anual constante igual a J 25 u.m. , requiriendo un desembolso in icial ele 1.000 u.m. Si no ex istiera inflación y el tipo
ele rentabilidad requer ida fuera del 5 por 100, ¿cuál sería su va lor actua l neto?
¿Y su tasa de rentabi l idad interna ?
RESOLUCIÓN
Conforme se expuso en el problema anterior , cuando los flujo s de caja son
constantes:
VAN = - A + Q
- ( 1 + k) - "
k
Si , además, la duración de la inversión fu era ilimilacla , se tendría:
\IAN = - A + Q X lím
RENTABtLIDAD Y COSTE FINANCIERO
243
dado que 1 + k > 1, cuando n tiende a infinito, el importe (1 + k)-" = 1/(1 + k)
tenderá a cero y, por tanto:
11
Q
VAN= -A + k
En este caso:
125
VAN = - l.000 + - - = 1.500 u.m.
0,05
El tipo interno de rentabilidad (TJR) es el tipo de descuento para el cual el
VAN vale cero, es decir:
125
O= - 1.000 + - - -
r = 0 ,125 por uno anual = 12,5 por 100 anual
r
Problema 3.5.8
VAN y TIR en casos especiales
¿Cuáles serían el valor actual neto y la tasa interna de rentabilidad real de
la inversión del problema anterior si existiera una tasa de inflación anual acumulativa del 6 por 100?
RESOLUCIÓN
El tipo calculatorio sería, como se sabe:
k = i + g + ig = 0,05 + 0,06 + 0 ,05 X 0,06 = 0 ,113
y, por consiguiente:
Q
125
VAN = - A + - = - 1.000 + - = 106,19 u.m.
k
0,113
En ausencia de inflación, la rentabilidad era del 12,5 por 100 anual. Tal sería, por tanto, la tasa de rendimiento aparente (rA) cuando existe inflación. Para
determinar la tasa real, cabe hacer uso de la ya conocida expresión:
r - g
= ___,_,_
A_=-R
1+g
r
obteniéndose:
rR =
244
0,125 - 0,06
1,06
= 0 ,0613 por uno anual= 6,13 por 100 anual
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 3.5.9
VAN y TIR en casos especiales
Una empresa dispone ele las siguientes posi bil idades de in versión:
a) Se trata ele una in versión que requeriría un desembolso inic ia l de 1.000
u.m. y generaría durante siete años un fl ujo neto ele caja constante e
igual a 250 u .m.
b) Este proyecto requeriría un desembolso inicial de 1.000 u.m. y generaría durante veinte años un flujo neto ele caja constante e igual a 200 u.m .
Dacio que esta empresa di spone tan sólo ele 1.000 u.m. para in vertir , se precisa saber qué proyecto debe ef ectuarse, en base a los criteri os del VAN y de la
tasa de retorno , siendo la rentabi I idad requerida de los dos proyec tos el I O por
100. Ninguna de las inversiones tendría valor residual alg uno y ambas tienen
el mi smo ri esgo.
RESOLUCIÓN
a ) Valores actuales netos:
VAN = - 1.000 + 2500710,1 = - 1.000 + 250
l - 1 J- 7
,
= 2 17,10 u .m.
0,1
- 1 1- 20
VAN = - 1.000 + 200awlo.i = - l .000 + 200 - - ' - = 702 ,7 u.m.
0,1
Conforme al cr iterio del valor actual neto , las dos inversiones son efectuables, pero es preferibl e l a segunda.
b) Tipos de rendimiento internos :
0 = - 1.000 + 250071,.A -
Ci7JrA =
1 - (1 + ,. )- 1
- - --~'~'
,. - = 4
4 -
¡\
M ed iante prueba y error se comprueba que el valor de r" para el cual se
cumple que a71 rA = 4 es:
r¡\ = O' 1632
D el mismo modo:
O = - 1.000 + 200aw1,.11 -
ªwJ,n = 5 -
1 - ( l + r11)- 20
r,1
= 5; r11 = 0,1942
Conforme al criter io de l a tasa de rendimiento , las dos i nversiones son
efectuables, pero es preferible la segunda.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
245
Probtema3.s.10
VAN y T!Ren casos especiales
Resolver el problema anterior en base a los criterios del valor actual neto y
del tipo de rendimiento interno , cuando existe un grado de inflación anual acumulativo del 5 por 100.
RESOLUCIÓN
a) Valores actuales netos:
VANA = - 1.000 + 25Oa710 ,1+o,o5 +o,i -o,o5 = -1.000 + 25Oa710_155 =
1 - 1,155- 7
= -1.000 + 250 - - - - = 24,69
0 ,155
VAN8 = - 1.000 + 2O0a20J0 155 = - 1.000 + 200
·
1 - 1 155- 20
'
= 218,04
0,155
Ambas inversiones son efectuables, siendo preferible la segunda.
b) Tipos de rendimiento internos:
donde ges el grado de inflación, rA es el tipo de rendimiento aparente y rR es el
tipo de rendimiento real. Por consiguiente:
r =
R
1+r
A
l +g
-
}
rA - g
= --"-----'
:::....
l+g
0,1632 - 0,05
rRA = - - - -- - = 0 ,1078
1,05
0,1942 - 0 ,05
rRB
= - -- - -- - = 0 ,1373
1,05
Ambas inversiones son efectuables, siendo preferible la segunda.
Problema 3.s.11
VAN y TIR en casos especiales
Se desea determinar el VAN y la TIR de una inversión cuyo desembolso inicial es de 1.000 u.m. , siendo su duración de 3 años. Tal inversión generaría el
próximo año un flujo de caja de 500 u.m. y los flujos anuales posteriores crecerían a una tasa anual del 5 por 100. La rentabilidad requerida de esta inversión es el 12 por 100 anual.
246
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Qu e los r!ujos de caja crecen a una tasa/, ex presada e n tant o por uno, significa que:
º2=
Ql(O +I)
Q 1 = Q,( I +I) = Q 1( l + ./)2
Q4 = Q_,( 1 + /) = QI( 1 + .f)-1
Po r tanto, e l \IAN de la in vers ión será :
\IAN - A+ _ Q
_ I~ + Ql(J +.f) + ... + Q¡( I + ./)"
( J + k)
( 1 + k )2
( 1 + k )"
1
-
( J + _/)"- 1 ]
1
( J + .f)
=- A+ QI [ - - - + - - - + ... + - -- 2
( ! +k)
( 1 +k)
( 1 +k)"
De nuevo aparece entre corc hetes la suma de los té rminos de una progresión
geomé trica. Resolvi e ndo como en ocas iones anterio res, se obtie ne :
ll /( 1 + k)J - 1( 1 + J) 1/( I + k)"][( I + J)/( J + k)l
\IAN = - A + Q I - - - - -- - -- - -- - -- - - 1 - j( 1 + J)( I +k)I
11
-
1 -[( I +f)"/( 1 +k)" ]
=- A + Q I - - -- - -- -
k-J
Así, e n este caso:
\IAN = - 1.000 + 500 J - l( I + 0 ,0 5 )J/( I + O,J 2 Pl
0 ,12 - 0 ,05
= 257 ,32 u.m.
En cuanto a la tasa de re ntabilidad inte rna, como ya resultará ev idente, es e l
valor de r que cumple la s iguiente ex presión:
1 - [( 1 + _/)"/( 1 + r)"I
o= - A + QI -- -- -- -
r - f
Es dec ir , en este caso:
1 -1.( 1 + 0 ,05) 3/( 1 + 1-)1 1
\/AN = - J.000 + 500 - - - -- -- -,. - 0 ,05
Probando con distintos va lo res , se obtie ne:
r = 0,262 por 1 = 26,2 por 100
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
247
Problema 3.s.12
VAN y TIR en casos especiales
Se desea determinar el VAN y la TIR de la inversión del problema anterior
suponiendo que su duración tiende a infinito.
RESOLUCIÓN
Si al supuesto de que los flujos de caja crecen a una tasa constante se añade el de que la duración de la inversión tiende a infinito, el valor actual neto
será el límite , paran tendiendo a infinito, de:
1 - [(1 + f)/(1 + k)]"
1 - (1 + !) /(1 + k)
- A + Q - -----':...,_____ = -A + Q
1
k-f
l
k-J
11
11
Siffuera inferior a k, el cociente (1 + f)/(1 + k) sería superior a la unidad
y el límite valdría infinito. Puesto que toda inversión ha de tener un valor actual finito , ha de suponerse quejes inferior a k , y, en tal caso, el límite es:
VAN= -A + -ª1_
k- f
y la rentabilidad de la inversión será el valor de r tal que:
es decir:
r = J1_+f
A
En el caso del problema planteado, se obtiene :
500
VAN= - l.000 + - - -- - = 6.142,86 u.m.
0,12 - 0 ,05
r = -
500
-
1.000
+ 0 ,05 = 0,55 por 1 = 55 por 100
Como se dedujo en un problema anterior, si tendiendo la duración de la inversión hacia infinito todos los flujos se mantuvieran al nivel del primero (es
decir, si no crecieran, sino que se mantuvieran constantes) , la rentabilidad de
la inversión sería igual al cociente entre el flujo constante y el desembolso inicial (500/1.000 = 0 ,50 por 1, en este caso). Si , por el contrario, los flujos crecen a una cierta tasa, el aumento de rentabilidad que ello produce es precisamente igual a la tasa de crecimiento de los flujos (0 ,05 por 1, en este caso).
248
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 3.5.13
VAN y TIR en casos especiales
Si no hubiera inflación, el ['lujo de caja de ciert a in versión, cuya duración es
ilimitada, se mantendría constante e igual al del próx imo año, en cuyo caso su
rentabilidad se ría del 12% anual. Sin embargo, si la infl ac ió n f uera de l
6 ,363636% anual , a partir del próx imo año el fluj o ele caja ele la in versión crecería a una tasa del 5% interanual. En el caso ele ex istencia de esa inflac ión
¿c uánto valdrían rentabilidad aparente y la rentabi l idad real ele la in versión?
RESOLUCIÓN
La rentabilidad aparente de la in versión, como ya es sabido, aumentaría en
un a cuantía igual a la tasa de crec imiento ele los fl ujos, pasando a ser el 17 po r
cien anual :
,-" =
+
+ f= 0 , 12 + 0 ,05 = 0 ,17 por 1 = 17 por 100
En cuanto a la rentabilidad rea l , como y a se estudió en los problemas de la
relati vos al va lor del d inero en el tiempo, en la primera parte de este li bro, sería el resultado ele apl icar a la rentabilidad aparente una minusvalía ligeramente
superi or a la tasa de inflac ió n, quedando en un 10 por cien anual:
k" - g _ 0,1 7 - 0 ,0636363
k11 = - - - - - - -- - - = 0, 10 por l = 10 por 100
1
Problema 3.5.14
+g
1 ,0 636363
VAN y TIR en casos especiales
Se desea determin ar el VAN de una in versión cuyo desembolso inicial es de
2.000 u.m. , siendo su duración de 20 años. T al inversión generaría el próx imo
año un flujo de caja de l .000 u.m . y los fluj os ele caj a posteri ores crecerían a
una tasa anual del 5 por 100. L a rentabilidad requerida de esta in versión es el
12 por 100 anual .
RESOLUCIÓN
VAN= -A + QI
= - 2.000 + 1.000
1 - (! + /)11/ ( 1 + k)"
.
k- J
=
1 - ( l + O 05) 2º/( 1 + O 12)2º
'
'
O,J2 - 0,05
= 8.356,30 U.111.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
249
Problema 3.5.15
VAN y TIR en casos especiales
Una inversión que requiere un desembolso inicial de 3 .000 u.m. tiene una
duración ilimitada. Se espera que el flujo de caja del próximo año valga 800
u.m. y que luego crezca a una tasa anual constante del 7 por 100. La tasa de inflación anual es el 10 por 100. ¿Cuánto vale su rentabilidad real anual?
RESOLUCIÓN
r = A
Q1
800
+ f= - -
3.000
A
+ 0,07 = 0 ,33667 por 1
r - g
0 ,33667 - 0 ,10
r =_A___ = - - -- -- - = 0,2152 por 1 = 21,52 por 100
R
1+g
1 + 0 ,}0
Problema 3.5.16
VAN y TIR en casos especiales
Una inversión que requiere un desembolso inicial de 2.000 u.m. tiene una
duración ilimitada. Se espera que el flujo de caja del próximo año valga 1 .000
u.m. y que luego crezca a una tasa anual constante del 5 por 100. La tasa de inflación anual es el 10 por 100. ¿Cuánto vale su rentabilidad real anual?
RESOLUCIÓN
= --ª-1_ +f = l.OOO + O 05 = O 55
r
A
'
'
0,55 - 0 ,10
rA - g
rR = ~ - 1+g
Problema 3.5.17
2.000
A
- - -- - = 0,4091 = 40,91 por 100
l + 0,10
VAN y T/Ren casos especiales
Una inversión cuya duración no tiene límite precisa un desembolso inicial
de 20 u.m. y generará un flujo de caja de 8 u.m. el próximo año, a partir del
cual crecerá a una tasa constante anual del 7%. Si la tasa de inflación anual es
el 10%, ¿cuánto vale su rentabilidad anual real ?
RESOLUCIÓN
Aplicando las expresiones ya conocidas, se obtiene como rentabilidad
anual real el 33,64 por c iento:
rA =
TQ + f
=
8
20
+ O,07 = O,47 por 1 = 4 7 por 100
r A - g_ 047 - 01
'
' = O 3364 por 1 = 33 64 por 100
rR = - - 1+g
250
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
1,1
'
'
Problema 3.5.18
VAN y TIR e n c a sos especia les
Para elaborar una nueva marca de lejía , la empresa Unedia de Prod uctos Quími cos, S. A. ( UPEQU ISA) puede elegir las altern ati vas ele in versio nes X o Y,
qu e so n mutuamente excl uyentes entre sí . A mbas requ ieren un desem bo lso
inic ial de 2.000 u .m. y tienen una d urac ió n il i mi tada. La primera tiene un rlujo
anual co nstante de 1.000 u .111 ., en tanto que la segunda generaría un pri mer fl ujo , al cabo ele un año, igual a 800 u.m. y, a partir de entonces, los f"luj os anuales
crecerían a una l asa inleran ual del 12 por 100. Se desea ana lizar este problema
utili zando los criteri os del valo r actual neto y de la tasa intern a de rentabilidad,
bajo el supuesto ele que ambas alt·ern ativas de inversión tienen el mismo ni vel ele
riesgo y ele que la rentab ili dad requerida es la mi sma para las dos.
RESOLUCIÓN
Como ya es bien sabi do , c uando los flujos de caja son constantes y la du rac ión de la inversión es il imi tada , el valor actual neto y la tasa interna ele rentabilidad responden a l as ex presio nes:
VAN = - A + -
Q
k
y
Q
r= A
respecti va mente . Por consiguien te, en el caso de la al ternativa X , se obtiene:
1.000
VANx = - 2 .000 + - k
1.000
r = - -- = 0 ,5 j)Or J = 50 por 100
2 .000
.I
T amb ién es ya sabido que, c uando la durac ión de la in versión es ili m itada
y los fl uj os c recen a una tasa constante, el VAN y la T!R responden a las siguientes ex pres io nes:
VAN = - A + ---ª1__
k - I
r= ~
+J
A
A sí , en el caso de la i nversió n Y, se obtiene:
800
\IAN1, = -2 .000 + - - - k - 0 , 12
800
r r = - - - + 0 , 12 = 0 ,52 por 1 = 52 po r 100
2.000
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
25 1
Dado que ambas inversiones tienen el mismo nivel de riesgo y que la rentabilidad de la inversión Y (el 52 por 100) es mayor que la de la inversión X (el
50 por 100), según el criterio de la TIR la Y es preferible a la X.
Sin embargo, siguiendo el criterio del VAN, la preferencia por uno u otro
proyecto dependerá, en principio, de cuál sea el tipo k que se utilice para valorarles. Existirá un k* para el cual ambas inversiones sean indiferentes entre
sí, es decir, un k* tal que:
o , lo que es lo mismo:
-º-º-
8
VANX = - 2.000 + 1.000 = -2.000 + - = VANy
k*
k* - 0 ,12
De donde se deduce que la intersección entre las curvas de ambos valores
actuales netos (denominada intersección de Fisher) se produce para un tipo de
descuento igual a:
k* = 0,6 por 1 = 60 por 100
Puede comprobarse que para cualquier tipo inferior al 60 por 100 el VAN de
la inversión Y es superior al de la inversión X. (Recuérdese, a este respecto , que
la expresión utilizada para calcular el VAN de la inversión Y sólo es aplicable
cuando el tipo de descuento es superior a la tasa de crecimiento de los flujos , y
que cuando aquélla es inferior a ésta, el VAN es infinito.) Por otra parte, cuando se sustituye k por O,6 en las expresiones de los valores actuales netos de ambas inversiones, se observa que los dos son negativos e iguales a -333,33 u.m.
Por consiguiente, para esa rentabilidad requerida no es realizable ninguna de las
inversiones y tampoco lo serían para rentabilidades requeridas más elevadas.
Dicho de otro modo , para cualquier tipo de descuento para el que hubiera
que tomar una decisión de selección, la alternativa elegida sería la inversión Y.
Dado que también la TIR conduce a preferir la inversión Y , en este caso no
existe discrepancia entre los dos criterios aunque se utilice un único tipo de descuento. En la figura 3 .2 se han representado los valores actuales netos de ambos proyectos como funciones del tipo de descuento.
252
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
FIGURA 3.2
Problema 3.5.19
- 2.000 · ·······················································································•·····••···
VAN y TIR ante p royectos mutuamente excluyentes
que tienen el mismo riesgo: caso en el que no existe
discrepancia, aunque se utilice un único tipo
de descuento
Las du rac iones de las in ve rs iones mutuamente exc luyentes A y B son il imitadas. La prime ra tiene un desembol so inic ial de 500 u .m. y un flujo de caja
anua l cons tante de 250 u .m . La inversión B requ iere un desembolso in ic ia l de
1.000 u .111. y ge nera un flujo de caja anua l constante de 600 u .m. ¿Qué invers ió n es preferible según e l VAN?
RESOLUCIÓN
Las re ntabil idades de las inve rs iones son:
250
r = - - = 0,5 por l = 50 por J 00
"
500
600
r = - - = 0,6 l)Or l = 60 por 100
//
1.000
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
253
La intersección entre las curvas de los VAN se producirá en un valor de k*
que cumple:
250
600
k*
k*
VAN = - 500 + -
- = - 1.000 + - - = VAN
A
8
Es decir:
k* = 0,7 por 1 = 70 por 100
La intersección se produce para un tipo de descuento superior a las tasas de
rentabilidad de las dos inversiones. Si una inversión se valora con un tipo de
descuento superior a su rentabilidad , su VAN es negativo. Por tanto , la intersección se produce por debajo del eje de abscisas y, en consecuencia, no existe discrepancia entre el VAN y la TIR al jerarquizar las inversiones. Es preferible la inversión B.
Problema 3.5.20
VAN y TIR en casos especiales
Las duraciones de las inversiones mutuamente excluyentes A y B son ilimitadas. La primera tiene un desembolso inicial de 2.000 u.m. y un flujo de
caja anual constante de 1.200 u.m. La inversión B requiere un desembolso inicial de 1.000 u.m. y genera un flujo de caja anual constante de 500 u.m. ¿Qué
inversión es preferible según el VAN?
RESOLUCIÓN
El problema se resuelve exactamente igual que el anterior, y los resultados
son muy semejantes, aunque en este caso es preferible la inversión A:
r8 =
rA =
500
= 0 ,5 por 1 =
1.000
1.200
50 por 100
= 0 ,6 por 1 = 60 por 100
2.000
500
1.200
k*
k*
VANB = - l.000 + -
- = - 2.000 + - - = VANA
k* = 0,7 por 1 = 70 por 100
La intersección entre los VAN se produce por debajo del eje de abscisas y,
en consecuencia, no existe discrepancia entre el VAN y la TIR al jerarquizar las
inversiones. Es preferible la inversión A , que es la que tiene la mayor TIR.
254
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 3.5.2 1
VAN y TIR e n casos espec iales
Los proyectos de inversión A y B tienen el mi smo riesgo , requieren unos desembolsos ini cial es de 2.000 y 1.000 u.m. , respecti va mente, y generan ilimitadamente unos flujos de caja anuales constantes iguales a 1.000 u.m . la in versión
;\ y 500 u.m. la in versión B. ¿Qué in versión es preferibl e según el VA N?
RESOLUCIÓN
1.000
= - - - = 0,5 ¡Jor 1 = 50 ¡Jor 100
r
A
2.000
500
r 11 = - - - = 0 ,5 por 1 = 50 ¡Jor 100
1.000
La representación gráfica ele los valores actuales netos ele ambas inversiones se
ha real izado en la fi gura 3.3. Como puede observarse, para cualquier ti po ele descuento para el que ambas inversiones son efectuables es preferible la in versión A.
Problema 3.5.22
VAN y TIR en casos especiales
Sean dos proyectos ele in versión, A y B , que requieren unos desembo lsos
iniciales de 2.000 y 1.000 u.m. , respecti vamente, y que generan ilim itadamente
unos fluj os netos de caja anua les constantes igual es a 1.000 u.m. l a in versió n
A y 600 u.111. la in vers ió n B. ¿Para qué tipos ele desc uento es preferible una u
otra in versión según el criterio del VAN? ¿Qué inversión es preferible según su
tipo ele rendimiento interno?
RESOLUCIÓN
fgualanclo los va lores actuales netos ele ambos proyec tos se obtiene:
1.000
600
VA N 1 = -2 .000 + - - = - 1,000 + - - = VAN11 ,
k*
k*
= O -
400
- 1.000 + - k*
k* = 0 ,4poruno = 40 por l 00
Para un tipo ele descuento del 40 por 100 los valores actual es netos ele ambos proyectos co i nciden .
Para k = O, ambos VAN ti enden a infinito. C uando k tiende a infinito , el
VANA tiende a - 2 .000 y el VAN11 tiende a - J .000 .
El tipo ele descuento para el cual el VANA vale cero (tipo ele rendimi ento in temo ele la inversión A) se calc ulará haciendo:
1.000
- 2 .000 + - - - = O -
r" = 0.5 por uno anual = 50 por 100 anual
/'A
RENTABILIDAD Y COSTE FINANC IERO
255
-1.000 - ------------------------ ---------- ----------------FIGURA 3.3
- 2.000 - -------------------------------------------------------------------
De forma semejante, en cuanto a la rentabilidad de la inversión B, se tiene:
600
- 1.000 + - - = O -
rB
r8 = 0,6 por uno anual= 60 por 100 anual
En la representación gráfica de los VAN de ambas inversiones (figura 3 .4),
como funciones del tipo de descuento, se observa que para tipos inferiores al 40
por 100, según este criterio es preferible la inversión A, y a partir de dicho tipo
es preferible la inversión B.
Según el criterio de la tasa interna de rentabilidad es siempre preferible la
inversión B, cuya rentabilidad (O ,6 por uno) es más elevada que la de la inversión A (O ,5 por uno).
Problema 3.5.23
VAN y TIR en casos especiales
Cierta empresa dispone de las dos posibilidades de inversión siguientes:
a) Se trata de una inversión que requiere un desembolso inicial de 1.000 u.m.
y que generará ilimitadamente un flujo de caja anual constante de 120
u.m.
b) Se trata de una inversión que precisa un desembolso inicial de 1.500 u.m. y
que generará ilimitadamente un flujo de caja anual constante de 150 u.m.
256
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
500
· ························ ·
o ;--- - - - -- ---'--~ =--.¡.;:::--- -- - - - -- - --k
- 1.000 · ···················•··•·········· ...............
FIGURA 3.4
-2.000 · · ··· ·· · ····· ·· ·· ··••································ ·· ·····• . -· ....... . .
Se desea conocer , sie ndo eJ tipo calcul a torio e n ausencia de inflac ió n del 5
por 100 , para qué tasa de inflación media anual ac umulativa es preferib le
uno u o tro proyecto de inve rs ión según e l criterio de l valor actual neto.
RESOLUCIÓN
Los dos proyectos serán ind iferentes para aquella tasa de inflac ión g ta l que:
120
150
VAN, = - 1.000 + - - -- -- - = -1.500 + - - -- - -I
0 ,05 + g + 0 ,05g
0,05 + g + 0 ,05g
= VAN11
30
- 500 + - - ----- - = O _,. g = 0 ,00952 po r uno anual
0,05 + g + 0,05g
Po r otra parte , s i no existiese inflación:
120
VAN,= - J.000 + - - = J .400
0 ,05
I
150
VAN1J = - 1.500 + - 0 ,05
= 1.500
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
257
Los tipos de inflación para los cuales los valores actuales netos de cada uno
de los proyectos valen cero son aquellos g';; y gt, respectivamente, tales que:
120
-1.000 + -- - -- ---=O 0,05 + g! + 0 ,05g!
g! = 0 ,066 por uno anual
150
=O- 1.500 + - -- 0,05 + gt + 0 ,05gt
gt = 0,0476 por uno anual
Los resultados anteriores se han recogido en la figura 3 .5. Como puede observarse, el proyecto B es preferible para tasas de inflación medias inferiores al
0,952 por 100. Para tasas superiores es preferible la inversión A.
Problema 3.5.24
VAN y TIR en casos especiales
Para elaborar una nueva marca de leche en polvo, la empresa Lactuned, S.
A., puede elegir las alternativas de inversiones Lo C, que son mutuamente excluyentes entre sí. Ambas requieren un desembolso inicial de 4.000 u.m. y tienen una duración ilimitada. La primera tiene un flujo, al cabo de un año,
igual a 1.600 u.m. y, a partir de entonces, los flujos anuales crecerían a una tasa
interanual del 5 por 100. La segunda tiene un flujo de caja constante de 2.000
u.m. Se desea analizar este problema utilizando los criterios del valor actual
neto y de la tasa interna de rentabilidad , bajo el supuesto de que ambas alternativas de inversión tienen el mismo nivel de riesgo.
FIGURA 3.5
258
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Como ya es bien sabido , cuando los flujos ele caja son con stantes y la duraci ón ele la i nversión es i limit ada , el va lor actual neto y la tasa interna de rentabilidad responden a las expresiones:
\/AN = - A + -
Q
k
y
Q
r=-
A
respectivamente. Por consiguiente, en el caso ele la al tern ati va C, se obt iene:
VANC = -4 .000 +
,.e =
2 .000
4.000
2 .000
k
= 0 ,5 por 1 = 50 por 100
También es ya sabido que, cuando la durac ión ele la inversión es ilimitada
y los fl ujos crecen a una tasa constan te, el VAN y la TIR responden a las siguientes expresiones:
VAN = - A + ----ª-1_
k- f
,. = 2L + f
A
Así, en el caso ele la inversió n L , se obtiene:
1.600
\IANl = - 4.000 +
k - 0 ,05
1.600
r = - - - + 0 ,05 = 0 ,45 por 1 = 45 por 100
'4 .000
Dacio que ambas in versiones tienen el mi smo nivel ele riesgo y que la rentabilidad ele la inversión L (el 45 por 100) es menor que la ele la inversión C (el
50 por 100), según el criteri o d e la TIR la Ces preferible a la L.
Sin embargo , sigu iendo el criterio del \/AN, si se ha ele aplicar el mismo tipo
de descuento a las dos inversiones, la preferenc ia por uno u otro proyecto clepencleni , en principi o, ele cuál sea el tipo k que se utili ce para valorarl es.
Exi stin1 un k* para el cual ambas inversiones sean indiferentes entre sí, es dec ir, un k* tal que:
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
259
o, lo que es lo mismo:
2.000
VANC = - 4.000 + -
-
k*
1.600
= -4.000 + - -- - = VANL
k* - 0 ,05
De donde se deduce que la intersección entre las curvas de ambos valores
actuales netos (denominada intersección de Fisher) se produce para un tipo de
descuento igual a:
k* = 0,25 por 1 = 25 por 100
Puede comprobarse que para cualquier tipo inferior al 25 por 100 el VAN
de la inversión Les superior al de la inversión C. (Recuérdese nuevamente,
a este respecto, que la expresión utilizada para calcular el VAN de la inversión
L sólo es aplicable cuando el tipo de descuento es superior a la tasa de crecimiento de los flujos, y que cuando aquélla es inferior a ésta el VAN es infinito.) Si , por el contrario, el tipo aplicable a ambas inversiones fuera superior al 25 por 100, el VAN de la C sería superior al de la L. Por otra parte,
cuando se sustituye k por 0 ,25 en las expresiones de los valores actuales netos de ambas inversiones, se observa que los dos son positivos e iguales a
4.000 u .m. Por consiguiente , para esa rentabilidad requerida son realizables las dos inversiones y resulta indiferente elegir una u otra; para cualquier
tipo inferior es preferible la inversión L , y para cualquier tipo superior es preferible la inversión C.
Para resolver la discrepancia, basta observar que la rentabilidad requerida
no ha de ser necesariamente la misma para las dos inversiones. En realidad, parece más razonable considerar que la rentabilidad requerida de cada uno de los
proyectos de inversión que tienen el mismo riesgo es la rentabilidad de la inversión alternativa. Por ejemplo, si alguien puede colocar las 4 .000 u.m. de que
dispone en unos pagarés que, como la inversión C, rentan el 50 por 100 anual ,
y le ofrecen otra inversión que tiene el mi smo riesgo , de esta inversión alternativa requerirá al menos el 50 por 100. Si tal inversión alternativa fuera la inversión L , al calcular su VAN, se obtendría una cifra negativa:
1.600
1 600
VANL = - 4 .000 + - - - = -4.000 +
.
kl - 0 ,05
0,5 - 0,05
= -444,44
Del mismo modo, si una persona puede colocar las 4.000 u .m. en unos pagarés que , como la inversión L , rentan el 45 por 100 anual , y le ofrecen laposibilidad de realizar la inversión C que tiene el mismo riesgo, a esta alternativa le exigirá una rentabilidad anual de, al menos, el 45 por 100, y al calcular su
VAN, obtendrá un valor positivo:
2.000
2.000
VANC = - 4 .000 + - - = - 4.000 + - kc
0,45
260
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
= 444,44
Por tanto , el \IAN conduce a la rn isrn a decisión que la TIR: debe realizarse
la in versión C. Con ello, se res uel ve la d iscrepa nci a.
Obsérvese, adernás , que no es tan to un problema de j erarqui zac ió n o selecc ió n entre un conjunto de proyectos reali zables . En rea l idad , es un probl ema de efectuabilidad: el proyecto Ces efectuab le porque su rentab ilidad
(el 50 por 100) excede a la rentabi lidad q ue le es ex ig ibl e (e l 45 por 100) y,
en consecuencia, su valor actu al neto es pos iti vo (444,44). El proyecto L no
es efectuable, desde el punto ele v ista de l a T!R , pues su rentabilidad (el 45
por 100) es inferi or a la que se le debe requerir (el 50 por 100), y tampoco lo
es desde el punto de vista del \IAN, pues éste es negati vo .
En la fi gura 3 .6 se han representado los resultad os obtenidos.
444,44
o t------,---------"'t-;;;::--~.;:---------t►
k
- 444,44
FIGURA 3.6
Problema 3.5.25
VAN y TIR en casos especiales
A l resolver l a discrepancia del prob lema 3 .5 .2 1, ¿q ué in versión es preferi ble según el \IAN?
RESOLUCIÓN
Al resol ver la d iscrepanc ia , los criteri os \IAN y TIR conducen a l a mi sma
conclusión de j erarquizac ión. D ado que las dos in versiones t ienen la mi sma
rentabilidad (el 50 por 100), según la T!R ambas inversiones son i ndiferentes
entre sí. Por consiguiente, según el \IAN tarnbi én son ind iferentes entre sí, y
ninguna es preferib le a la otra.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
261
Problema 3.5.26
VAN y TIR en casos especiales
Doña María Dolores Cuárez Piga heredó recientemente una inesperada y
cuantiosa fortuna de un olvidado pariente afincado en un país oriental. Gastó
pa1te de la misma viajando por dicho país, al que acudió para resolver los trámites
de la herencia. En sus viajes conoció una deliciosa fruta, que pensó plantar en su
pueblo a la vuelta. Pero , una vez en él, se enteró de que ya habían sido plantados
multidud de arbustos productores de esa fruta, de la que, tras diversos estudios realizados por los organismos oficiales que aconsejaron su cultivo, se esperan unas
ventas anuales, distribuidas regularmente a lo largo del año, de 2.040.000 kg, a 500
u.m./kg. Los arbustos fueron plantados hace un año y necesitan seis, desde su plantación, para comenzar a dar frutos, por lo que doña María Dolores ha pensado dedicarse a la importación de los mismos durante los próximos cinco años. Tras informarse, a través de amigos dejados en Oriente y consultando con compañías de
transporte, sabe que cada kilo le costaría 400 u.m. y que el transporte y seguro de
cada pedido no superior a 200.000 kg cuesta 10.000.000 de u.m. Se trata de un producto perecedero que no puede conservarse en condiciones adecuadas más de un
mes, por lo que considera que habría que realizarse, al menos, un pedido mensual.
El terreno donde piensa ubicar los almacenes le costaría 25 millones de u.m. y la
construcción de los locales le supondría otros 15 millones. Al final de los cinco
años podría enajenar el terreno en el mismo importe que le costó y estima que, una
vez desmontados los locales, podría venderlos en 2,5 millones. La constitución de
la sociedad anónima importadora le costaría, entre gastos de notaría, registro,
etc., 4 millones, y sus beneficios se verían gravados anualmente con un tipo impositivo del 33 por 100. La distribución del producto sería realizada por un intermediario que trabaja con un margen de beneficio del 5 por 100 sobre el precio, por
lo que pagaiía a doña María Dolores sólo el 95 por 100 del precio de venta final de
cada kilo. Necesitaría emplear, además, dos operai·ios que le supondrían un coste
anual de 2 millones de u.m. cada uno. Un banco le ha ofrecido a esta señora pagarle
el 20 por 100 anual acumulativo de intereses libres de impuestos si coloca en él sus
fondos, y ella le pide a usted que le analice la conveniencia de la inversión en la
empresa importadora suponiendo que no existe inflación de precios, que todos los
ingresos se cobran y los gastos se pagan al contado y que el proyecto de importación tiene el mismo riesgo que el de colocación de los fondos en el banco.
RESOLUCIÓN
El primer paso en la resolución será estimar el desembolso inicial requerido y los cobros y pagos anuales, de cuya diferencia resultarán los flujos netos
de caja:
- Desembolsos iniciales:
262
Adquisición de terreno
Construcción de locales
Constitución de la sociedad
25.000.000
15.000.000
4.000.000
Desembolso inicial
44.000.000
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
-
Co bros anuales :
Se venderían 2 .040 .000 kg, por cada uno de los cual es el di stribuido r
pagaría el 95 por 100 de 500 u.m ., que es su prec io l'inal. Por consiguiente, el cobro an ual ser ía de
2.040 .000 X 0 ,95 X 500 = 969.000.000 de u.m.
-
Pagos anuales :
o ) Para adqui sición de merca derías : habría qu e im po rt ar 2 .040.000
k g anuales, cada uno de los cual es cos taría 400 u. m. Po r consig uiente, an ual mente habría ele pagarse :
2.040 .000 X 400 = 8 16 .000.000 ele u.m.
b) D aci o que:
2.040.000
- - - - = 170.000 ko
°
12
real izando un pedido mensual (doce anuales) de 170.000 kg, se satisface
la demanda anual , y dacio que cada pedido no superi or a 200 .000 kg
cuesta 10 .000 .000 ele u .111. , el pago anua l a tran sporti stas y aseguradores sería de:
12 X JO .000 .000 = J20 .000 .000 ele u .111.
e) Pagos anuales de gastos de personal (dos personas a dos mi llones
cada una) : 4 .000 .000.
el) Pago ele impuestos sobre el benefi cio:
Beneficio = I ngresos - Gastos
I ngresos por ventas = 969 .000 .000 de u .111. anua les
Gastos:
Compras de mercade r ías
Tra nsportes y seguro s
Costes ele personal
8 16 .000 .000
120 .000 .000
4.000 .000
To tal gastos
940.000.000 ele u.111. anuales
El benefic io bruto (antes ele deducir l as amorti zac io nes) es ele:
969.000 .000 - 940.000.000 = 29.000.000 ele u.m. anual es
Por otra parte, han ele amorti zarse los gastos de constitución (4 m i llo'nes)
y la depreciación ele los locales ( 15 millones - 2,5 mil lones = 12,5 mi-
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
263
llones de u.m.) en los cinco años de vida de la sociedad, por lo que el
coste anual de amortización será:
16.500.000
5
- - - - - = 3.300.000 u.m. anuales
El beneficio neto será, por consiguiente,
B = 29 .000 .000 - 3 .300 .000 = 25 .700 .000 u .m. anuales
El pago anual de impuestos será el 33 por 100 del beneficio neto, es decir:
0 ,33 X 25.700.000 = 8.48 1.000 u.m. anuales
e) Total pagos: el total de pagos anuales será la suma de los calculados:
Pagos de compras de mercaderías
Pagos de transportes y seguros
Pagos de gastos de personal
Pagos de impuestos sobre beneficios
816 .000 .000
120 .000 .000
4.000.000
8.481.000
Total pagos anuales
948 .481 .000 u .m.
Obsérvese que las amortizaciones son costes, que hay que deducir para
calcular el beneficio neto, pero no son pagos.
Flujos netos de caja anuales: anualmente, el flujo neto de caja será la diferencia entre los cobros y los pagos:
969.000.000 - 948.481.000 = 20.519.000 u.m. anuales
Existe, además, al final del quinto año, otro cobro, correspondiente a la venta del terreno (25 millones) y de los locales por su valor residual (2,5 millones),
que totaliza 27 ,5 millones.
Utilizando como tipo de descuento aquel al que pueden ser colocados los
capitales líquidos (20 por 100 ofrecido por el banco), resulta, como valor actual
neto de la inversión:
20.519.000
VAN = -44.000.000 + - - - 1 ,20
20.519.000
1 ,20
20.519.000
20.5 19.000
+ - - -3 - +
1 ,20
1,20
+ - -- 2 -
20 .519 .000
27 .500 .000
1 ,20
1 ,20
+ - - -- + - - --5 -+ - --5-4
= -44.000.000 + 20.519.000( - 1 - + - 1 -2 + - 1 -3 + - 1 -4 + - 1-5) +
1,20
27 .500.000
1,20
1 ,20
+ - - --5 - = -44.000.000 + 20.519.000a~.20 +
1,20
264
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
1,20
1 ,20
27 .500.000
1,205
= - 44 .000.000 + 20.5 19.000
1 - ( 1 20) 5
27.500.000
'
+- - -=
0 ,20
1,20 5
=28.4 16.003,87 U.lll. > 0
Según el criterio del VAN, la inversión es efectu able.
En cuanto a la TI R , o tipo de desc uento para el que el VAN es igua l a
cero, se tend ría:
- 44.000.000 + 20.5 19.000
1
5
1
- ( + r)
+ 27 ·500.000 = O
,.
( 1 + r )5
M ed iante prueba y error , se obtiene:
r = 0.4354 por uno anual = 43,54 por 100 anual
La rentabilidad de la in versión ser ía de un 43 ,54 por 100 anual , que resul ta sustancialmente superior al 20 por 100 ofrecido por el banco si se colocan en
él los fondos. Por consiguiente, también según este cri terio es efectuable la inversión.
Problema 3.5.27
TIR en casos especiales
Una persona tiene invertidos 30.000.000 ele u.111. en deuda perpetua del Estado , que le renta el l 2 por 100 anua l. Actualmente está considerando la posibil idad de vender dicha deuda e in vert ir los 30 m illones en la adqui sic ión de
una tienda para la venta de pan. T ras consultar con distintos establecimientos
de este ti po , ha llegado a la co ncl usión de que sus ven tas en u.m . crecen un 5
por 100 acumulativo , cada año , y a la de que el i mporte de dichas ventas incorpora un 40 por JO0 de margen sobre el precio total en el que se adquiere el
pan al fabri cante. Esti ma , además , que las ventas del primer año sería n de 14
mi l lones de u.m., y que para atender al negocio bastaría un depend iente. que representaría unos gastos de personal , el pr imer año, ele 1.500.000 u.m . A parti r
de ese año , di chos gastos de persona l crecerían en la misma tasa, acumulati va
que la ele la inflación, que se espera sea del 6 por 100. A unque , en caso ele ponerlo en marcha , no tiene intención de vender nunca el negocio, las normas del
Mini sterio de Econom ía y Hac ienda le permiten amortizar l a inversión real izada con la adqu isición de la tienda en diez años. Sus beneficios netos anuales
se ver ían gravados con un tipo del 33 por 100, cada año, en el impuesto sobre
la renta de las sociedades. Suponiendo que todos los ingresos se cobran al contado y que los gastos se pagan, también, al contado, ¿considera usted aconsejable instalar el negocio siguiendo el cri terio basado en su rentabi lidad? Supóngase, además, que la deuda perpetua y el proyecto ele la panadería tienen el
m ismo ri esgo .
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
265
RESOLUCIÓN
- Desembolso inicial = 30.000.000 de u.m.
- Cobros anuales por ventas:
Primer año 14.000.000 u.m.
Segundo año 14.000.000(1 + 0 ,05) u.m.
Tercer año
14.000.000(1 + 0,05)(1 + 0,05) = 14.000.000 X 1,052 u.m.
Cuarto año 14.000.000 X 1,052 (1 + 0,05) = 14.000.000 X 1,053 u.m.
Quinto año 14.000.000 X 1,05 4 u.m .
t-ésimo año
14.000.000(1,05)'- 1 u.m .
- Pagos anuales por compras:
El importe anual de las ventas (V) incorpora un 40 por 100 sobre el importe
de las compras (C). Por consiguiente:
V = C + 0,40C = l ,4C -
C= -
V
1,4
Por tanto , los pagos anuales por compras serán:
Primer año
14.000.000
- - - 1,4
Segundo año -
= 10.000.000 u .m.
14.000 .000
- - -(1 + 0 ,05) = 10.000.000(1,05) u.m.
1,4
Tercer año
14.000.000
- - - -(1 + O,05)2 = 10 .000 .000(1,05) 2 u .m.
1,4
Cuarto año
14.000.000
- - - - (1,05)3 = 10.000.000(1,05)3 u.m.
1,4
Quinto año
14.000.000
- - - - - (1 + 0,05)4 = 10.000.000(1 ,05)4 u.m.
1,4
t-ésimo año 10 .000 .000 X l ,05 1- 1
- Pagos anuales por gastos de personal :
Primer año 1.500.000 u.m.
Segundo año 1.500.000(1 + 0 ,06) u.m.
Tercer año 1.500.000(1 + 0,06) 2 u.m.
Cuarto año 1.500.000( J + 0,06) 3 u.m.
Quinto año 1.500.000(1 + 0 ,06) 4 u.m.
t-ésimo año 1.500.000(1 + 0,06) 1- 1
266
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
-
Pagos anuales ele impuestos sobre bencl'ic ios:
Benc ri c io bruto del año 1 = Ingresos - Gastos = Ventas - Compras - Gastos ele personal= 14.000.000( 1,05)'
1
- 1.500.000( 1,06)' 1 = 4 .000.000( 1,05)'
- 10.000.000( 1,05)'
1
1.500.000( 1,06)'
1
1
-
-
A partir del undécimo año el benefi cio neto coi ncidirá con el benef'icio bruto. Pero , en los di ez primeros, hay que deduc ir las amorti zac iones de los
30.000.000 inve rtidos en la adqui sición del local , correspondiendo 3 millones
a cada año. Por consiguien te, los pagos de impuestos serán:
0 ,33 l4.000.000( 1,05)' 1 -
1.500.000( 1,06)'
1
-
3.000.0001
los diez pr imero s años (1 = 1, 2, ... , 1O)
y
0 ,3314.000.000( l ,05)'- 1 - 1.500.000( 1,06)' 1 1
a partir del undéc imo año (1 = 11 , 12, ... )
En de finiti va, el flujo neto ele caja (cobros-pagos) del 1-és imo año será:
a) L os diez pr imeros años (1 = 1, 2, ... , 10):
Q,= 14.000.000( 1,05)1 - 1 -
10.000.000( 1,05) 1 - 1 -
1.500.000(l ,06)r-1 -
- 0 ,33 14.000.000( l ,05)r-1 - 1.500.000( l ,06)r-1 - 3.000.0001 =
= 4 .000.000( l ,05)r-l( 1 - 0 ,33) - 1.500.000( 1,06)'
+ 0 ,33 -
3 .000.000 = 2.680.000( 1,05) 1 - 1 -
1
(
1 - 0 ,33) +
1.005.000( l ,06)r-l + 990.000
b) A partir del undéc imo año (t = l l , 12, ...):
Q, = 14.000.000( 1,05)1-I - 10.000.000( 1,05)'- 1 - 1.500.000( l ,06)r-l - 0 ,33 f 4.000.000( l ,05)r-1 - J .500.000( l ,06) 1- 1 I =
= 2 .680 .000( 1,05 )'- 1 -
1.005 .000( 1,06)r-1
La tasa de rentabil idad aparente ele esta in versión será aquel va lor r" para el
cual:
2,680.000 - 1.005.000 + 990.000
O = -30.000.000 + - - - - - - - - - - - - - +
1+
2.680.000 X l ,05 -
,.ti
1.005.000 X l ,06 + 990.000
+ ---------·----------- +
(1 + r,1)2
2 .680 .000 X 1,05 2 -
1.005 .000 X 1,062 + 990 .000
+ - - - · - - - · - - - - - - - - - - - - - - - + ... +
( 1 + r,1)3
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
267
2.680.000 X 1,059 - 1.005.000 X 1,069 + 990.000
+ - - - - -- - -- - - - - - -- - - - - - +
(1 + rA)lO
2.680.000 X 1,05 1º - 1.005.000 X 1,06 1º
+ - -- - -- - - - - - - - - - +
(1 + rA)ll
X 1,05 - 1.005 .000 X 1,06
+ -2.680.000
- --- -- - -- - - - - - - 11
= 2.680.000[
11
1
+ 1,05 + _1_,0_5_
21 + rA
( 1 + r A)2
(1 + r A)3
1,052
1,05 1º
(1,05)
(1 + rA)'º
(1 + rA)"
(1 + rA)1 2
+ - - - - + -- - - +
- 1.005
.ooo[ 1 +1 r + 1 1+•06r
A
(
A)
11
+ ... +
+ ... ] -
1,062
+----+ ... +
2
º
+ -1,05
- - - + - 1,06
--+ 1'06
+ ... ] +
(1 + rA)'º
(1 + rA)"
(1 + rA)l 2
9
11
1
1 - +- 1 - + ... + _ 1 _ ]
+ 990.000 [-1- + - 2
3
1 + rA
(1 + rA)
(1 + rA)
( 1 + rA)'º
Los tres importes situados entre corchetes son sumas de términos de progresiones geométricas. Como se recordará de otro problema anterior, la suma
de los términos de una progresión de este tipo en la que el primer término es T,,
siendo T,, el último y R la razón, que multiplicada por cada término genera el siguiente , es:
S = T, - T,,R
1- R
En cuanto al primer importe situado entre corchetes, que multiplica a
2.680.000 , se tendría:
1
1
1-
268
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
1,05
1 + rA
pues ha de s upone rse que la razón ( 1,05/( J + 1)) es infe ri or a la unidad ( la progresión es decrecie nte). De otro modo, cada té rmino sería s uperior a l a nte rio r
y, dado que la prog res ión es ilimitada, s u s uma valdría infi nito . A l ser la prog resión dec rec ie nte, e l últ imo té rmino (en e l infinito) va ld ría cero T,, = O).
De fo rma semejan te, e n c ua nto a l segundo impo rte situado e ntre corc hetes,
se te ndrá:
l + ,.t1
- - - - - - - - - --
1-
,.¡\ - 0,06
~~
l + ,.A
En cuanto a l tercero , como es ya bie n sabido tras los proble mas real izados
a nte riormente, va le:
l _ (l +,. ) - 10
Q
iolr
I1
-
A
/'
A
Po r consig uiente, la ex presión de la tasa de retorno aparente resulta nte es:
O = -30.000.000 + 2.680.000 - - - - l .005.000 /'A - 0 ,05
-- +
l - ( l + rt1) - 1º
+ 990.000------
,.
¡\
Mediante s ucesivas aproximaciones , por el método de prueba y error, o con
una hoja de cálculo , se obtie ne:
r,1 = 0 ,1111 por u no anua l = 11 ,11 por 100 a nua l
La inversión no es conveniente, ha bida c ue nta de que la inversión actual de
esta persona le renta e l 12 por 100 anual. En términos reales, la tasa neta de inflac ión de esta inve rsión e n la expendu ría de pan sería:
0,1111 -0,06
rR = - - - · - - - = 0 ,0482 por uno anua l = 4,82 por 100 anua l
1,06
E n c uanto a la inversión e n deud a perpetua del Estado , su re ntabilidad
real es:
0,12 - 1,06
rR = - - - - = 0 ,0566 por u no a nua l = 5,66 por 100 a nua l
l ,06
En términos rea les tambié n es s uperio r la re ntabilidad de la deuda pe rpetua
q ue la de la tie nda.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
269
Problema 3.5.28
El sistema de cuotas constantes
Don Unedío Gomís es el director de una oficina bancaria a la que ha acudido un cliente solicitando un crédito a cuatro años por 57.000.000 de u.m. para
comprarse un modesto apartamento en el cinturón de una capital de provincia.
Don Unedio tiene orden de aplicar una tasa anual equivalente (TAE) del 20 por
100 en este tipo de créditos , y de utilizar el sistema de cuotas constantes. Se desea conocer:
a) La cuota constante que deberá pagar el cliente si las cuotas son anuales.
b) El cuadro de amortización del préstamo.
RESOLUCIÓN
a) En el sistema de cuotas constantes todos los años se paga la misma cuota, Q, en concepto de intereses y de devolución del principal. Por consiguiente, su coste será el k 1 que cumple la ecuación:
0=A - -
=A-
Q
Q
Q
1 + k1
(1 + k¡)2
(1 + k 1) "
Q[
-
1:
1
k
(1 :
1
Por tanto:
O = A - Qa,-¡¡ 1
TABLA 3.2
1
11.400.000
10.618.480
2
9.276.304
12.742.176
3
6.727.869
15.290.611
4
3.669.747
18.348.733
57.000.000
Total
Así, en este caso:
O= 57.000.000 - Q -
270
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
1 - (1 + 0 ,2)-4
-'--~ - ----'----0,2
k,)"]
De donde se deduce que:
Q = 22.018 .480 U.111.
Si el el iente paga 22.01 8.480 u .m. al año, el préstamo es tará amort izado en
cuatro años y e l interés efec ti vo ser á el 20 po r I OO.
b) E n e rec to , en l a tabla 3.2 se recoge el cuadro de amorti zac ió n de l préstam o.
El primer año , el cli ente dispo ne ele un prés tam o ele 57 .000.000 millones y,
por tanto. l os intereses han ele ser 11 .400.000 (el 20 por 100). El res to hasta
22.0 18.480 u.111. ( 10.618.480 u.111 .) será devol uc ión del princ ipal. Con ello , e l
impo rte del p rés tam o durante el año sig uiente será:
57 .000 .000 -
1O.6 18 .480 = 46 .38 1.520 u .111.
y al final de l mi sm o tendrá que paga r com o intereses el 20 por 100; es dec ir:
46.38 J .520' 0 ,2 = 9.276.304 U.m .
E l res to hasta 22 .Ol 8 .480 u .m. de c uo ta fij a ( 12 .742 . l 76 u .111.) será devoluc ión del princ ipal. Con lo c ua l , el impo rte del prés tamo du ran te el tercer año
es de 33 .639 .344 u .111.
46 .38 ] .520 -
12 .742 .176 = 33 .639.344 U.111.
y en la sigu iente cuota el 20 por 100 ele esta cantidad corresponderá a intereses,
siendo el res to devolución del princ ipa l , etcéter a .
Problema 3.5.29
El sistema de cuotas constantes
¿Cuál será l a cuot a constante que deber á pagar e l cl i ente del prob lema
an terior si las c uo tas son m ensuales?
RESOLUCIÓN
Com o ya es sabido , el tipo de interés mensual , k', c uyo eq ui valente anual es
e l 20 po r 100 , es aquel para el c ual :
( 1 + k') 12 = 1 + O,2
E s decir:
k' = l ,2 1112 -
1 = 0,0 153095
Po r o tra parte, c uatro años son 48 meses. Po r tanto , la c uo ta mensual ha de
ser el Q' que c umpl e la si g uiente expresió n:
Ü = 57 .000.ÜÜÜ - Q' Cl.¡¡¡¡0,0 1530'>5
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
27 1
Es decir:
o = 57 .000.000 - Q' 1 - (1 + 0,0153095)- 48
0,0153095
De donde se deduce que la cuota vale 1.685.457 u.m. En la primera cuota
serán intereses 872.642 u.m.:
57.000.000 · 0,0153095 = 872.642 u.m.
y el resto, hasta 1.685 .457 u .m., será devolución de principal. Procediendo de este
modo, como se hizo en el problema anterior, el lector paciente puede ahora realizar el cuadro de amortización de este préstamo para comprobar que las 48 devoluciones de principal totalizan 57 .000.000 u.m. Dicho de otro modo, en un préstamo de 57 millones, que se contrapresta con el abono de 48 mensualidades
consecutivas de 1.685.457 u.m. cada una, la tasa anual equivalente es el 20 por 100.
Problema 3.5.30
El sistema de cuotas constantes
¿Cuánto vale la cuota mensual constante que amortiza un préstamo de
2.850 u.m. en cuatro años, siendo la TAE aplicable el 20 por 100?
RESOLUCIÓN
La tasa mensual equivalente al 20 por 100 anual es:
k ' = 1,2 1112 - 1 = 0,0153095 por 1
Por tanto:
O= _
_ Q l - (1 + 0,0153095)- 48
2 850
0,0153095
de donde se deduce que:
Q = 84,2697 u.m.
Problema 5.5.31
El sistema de cuotas constantes
¿Cuál es la cuota mensual constante que amortiza un préstamo de 25 millones de u.m. en 6 años con un tipo de interés del 10 por 100 anual?
RESOLUCIÓN
La tasa mensual equivalente al 10 por 100 anual es:
k' = 1,1 1112 - 1 = 0,0079741 por 1
272
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Por tanto:
o = 25.000.000 - Q 1 - ( 1 + 0,007974 1 ) - 72
0,007974 1
ele donde se deduce que:
Q = 457 .728,05 U.ll1 .
Problema 5.5.32
El sistema de cuotas constantes
Un importe de 30 millones de u.m. se fi nancia con un préstamo de cuotas
mensuales constan tes que tiene un tipo de interés anu al del 12 por 100 . ¿Qué
parte de la cuota del primer mes corresponderá a pago de intereses?
R ESOLUCIÓN
L a tasa mensual equivalente al 12 por 100 anual es:
k' = l ,I 2 111 2 -
1 = 0,0094887 por 1
Dacio que, durante el prim er mes, el prestatari o d ispone de 30 mill ones, la
parte de la cuota del primer mes correspondiente a pago ele intereses será:
0,0094887 · 30.000.000 = 284.663,79 U.111 .
Problema 5.5.33
El sistema de cuotas constantes
Un préstamo ele 10 .000 u.m . a cinco años tiene una TAE del 9 por JO0 y se
amorti za con cuotas trimestrales constantes . D e la cuota del primer trimestre,
¿qué parte corresponde a devo lución de princ ipal ?
RESOLUCIÓN
La tasa trimestral que equi va le al 9 por 100 anual es:
k' = (1 + 0 ,09) 114 -
1 = 0,0217782
Por otra parte , cinco años so n 20 trimestres. Por tanto, la cuota trimestral
que amorti za el préstamo es el valor de Q que cumple la expresión:
o= 10.000 - Q 1 - ( 1 + 0,02 17782)- 20
0 ,0217782
Es dec ir:
Q = 622,1 12 U.m .
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
273
El primer trimestre se dispone de 10.000 u.m. de préstamo, por lo que la
parte de la cuota que corresponde a pago de intereses es:
10.000 · 0 ,0217782 = 217 ,782 u.m.
El resto, hasta el total de la cuota, es devolución de principal:
622,112 - 2 17,782 = 404 ,33u.m.
Problema 3.5.34
El coste del crédito comercial
Don Prunedsio tiene una próspera panadería situada en un céntrico barrio de
una capital de provincia. El fabricante del pan le cobra 30 u .m. por cada kilo si
don Prunedsio le paga a los treinta días, y le aplica un descuento del 10 por 100
si le paga al contado. Se desea conocer el coste anual del crédito comercial de
este comerciante minorista.
RESOLUCIÓN
Siendo C la cantidad que ha de pagar el cliente si aplaza el pago D días , y
denominando sa la tasa de descuento por pronto pago, es obvio que si pagara
al contado sólo abonaría:
C - sC = C(1 - s)
unidades monetarias. Por consiguiente, al aplazar el pago , está incurriendo en
un coste de oportunidad, cada D días , igual al cociente entre lo que deja de ahorrarse por no pagar al contado , sC (en cierto sentido son intereses que el proveedor le aplica por el aplazamiento del pago) , y el precio al contado:
sC
s
C(l - s)
1- s
h=-- - -
Tomando un año comercial de 360 días, el número de veces que el plazo de
pago, D , está comprendido dentro del año comercial es 360/D. Por tanto , el coste anual será 360/D veces el importe h:
360
360
s
k = - - h = - - - -'
D
D l -s
Esta forma de resolver, en la que el coste correspondiente a D días se multiplica
por el número de veces que el año comprende ese período, para así obtener el coste anual , resulta de la aplicación de la denominada capitalización simple.
El procedimiento más correcto es la aplicación de la capitalización compuesta , utilizada en los ejercicios anteriores para calcular el valor actual de los
flujos de caja, que se basa en la relación de equivalencia (fi gura 3.7):
(1 + h)36om = 1 + k2
27 4
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
donde k 2 es el coste anua l del c réd i to comercia l bajo esta rorrna de cá lculo. Por
tant o:
k2 = ( 1 + h pr,ow -
1
1 año
o
1+h
1 +h
1 ➔ h
2
360
o
FIGURA 3.7
t - - - - -- - - - - - 1 + k2 - - - -- - - - -- - - -
En este caso , ses el 10 por 100 y D vale 30 días. Po r consig uiente:
0 , 10
_
_
h = - -- - = O, 11 11 = 1 1, 1 I po r 100
1 - 0 ,10
360
-
k 1 = - - 0, 1111
30
1,3333 = 133,33 por 100
k 2 = ( I + O, 111 1)3 6º'3º - I = 2,5407 = 254,07 por 100
Como puede obser varse, el procedimi ento basado en la capitalizac ió n simple consti tuy e una mala aproximac ión al verdadero coste anual , que , en este
caso, es del 254,07 por I OO.
Problema 3.5.35
El efecto de los impuestos en el coste del c rédito
comercial
Se desea conocer el coste del c rédi to comerc ial ele don Prunecl si o (comerc iante d el problema anteri or) si sus benefic i os están gra vados fi scalmente
con un tipo del 33 por 100.
R ESOLUCIÓN
Si el tipo ele gravamen es el t por uno , el desc uento neto ele impuestos es :
sC - sCt = sC( 1 - t )
y la tasa h ha ele sustituirse por la!, ' si guiente:
sC( I - t)
t, ' = - - -- = h(I - t)
C( 1 - s)
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
275
En este caso:
h' = O, llll(l - 0 ,33) = 0 ,074074
º'
kc = (1 + 0 ,074074)36 3º - 1 = 1,3572 = 135,72 por 100
Problema 3.5.36
El efecto de los impuestos en el coste del crédito
comercial
Un proveedor permite aplazar el pago 60 días y ofrece un descuento del 20
por 100 por el pago al contado. El impuesto sobre el beneficio es el 33 por 100.
¿Cuál es el coste anual neto de impuestos de este crédito comercial?
RESOLUCIÓN
s
0 ,2
1 - 0,2
h' = h(l - t) = - - (1 - t) = - -- (1 - 0 ,33) = 0 ,1675 por 1
1- s
º' º - 1
k = (1 + h') 360m - 1 = (1 + 0 ,1675)36 6
= 1,532453 por 1 = 153,2453 por 100
Problema 3.5.37
El efecto de los impuestos en el coste del crédito
comercial
Un proveedor permite aplazar el pago medio año y ofrece un descuento del
20 por 100 por el pago al contado. El impuesto sobre el beneficio es el 33 por
100. ¿Cuál es el coste anual neto de impuestos de este crédito comercial?
RESOLUCIÓN
Hasta el cálculo de h' , este problema se resuelve igual que el anterior.
Por tanto:
h' = 0,1675
En este caso , el coste anual es el 36,31 por 100:
k = (l + h ' )36010 - l = (1 + 0 ,1675) 2 -
Problema 3.5.38
I = 0,3631 por 1 = 36,31 por 100
Crédito comercial versus crédito no comercial
Una empresa fabricante de tubos de vidrio tiene que realizar una compra de
materias primas valorada en 100 millones de u.m. a pagar dentro de dos años.
Si paga al contado, su proveedor le aplica un tipo de descuento del 20 por 100.
276
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
La empresa no di spone de fondos para pagar ahora , por lo que, como allern aLíva a esle créd ito comercial , esl él pensando en Lomar un crédito bancario a dos
años que sea suficiente para poder pagar al contado. El banco le cobraría un
tipo de interés del 10 por 100 anual , debiendo efectuar al f inal la devolución del
principal junto con los intereses correspondientes al segundo año. Además, esle
banco cobra una com isión inic ial , por apertu ra de crédito , de 500.000 u.m.
¿Qué fu ente de financiación es preferibl e?
RESOLUCIÓN
En cuanto al crédi to comerc ial:
h =
2
= O 25
0, 0
'
1 - 0 ,20
k = ( 1 + 0 ,25) 3601<3 60 · 2J -
1 = O, 11 80 = l 1,80 por 100
Dado que la empresa necesita 80 mill ones de u.m. para pagar al contado
( 100 - 0 ,20 · 100 = 80), y que el banco cobra una comisión inici al de 0 ,5 mi llones de u.m ., el créd ito sol ic itado , por la empresa habrá de ser de 80,5 millones de u.m. Por consiguiente, su coste será el valor de k; para el cual los fondos netos obtenidos (80 millones de u.m.) son iguales al val or actual de los
flujos de caja requerid os posteriormente por el banco:
O = 80 _ 0 ,10 · 80 ,5 _ 0 ,10 · 80,5 _
1 + k;
80,5
( 1 + k)2
( 1 + k)2
La única sol ución que tiene sentido económico es:
k; = 0 ,1036 = 10,36 por 100
La fuente financiera preferible es la más barata, es decir , el créd ito bancari o . Dicho con otras palabras, la mejor altern ati va es tomar el créd ito y, con él ,
aprovechar el descuento del proveedor, con lo cual se cons igue una economía
(que sería el cos te de oportunidad si se aplazara el pago) del l 1,80 por 100
anual (eq uivalente al 20 por 100 referido a dos años) debiéndose abonar por
ello una ta sa anual que es inferi or (el 10,36 por 100).
Considerado desde otro punto de vista , el crédito comercial es semejante a
un crédito bancario de 80 millones de u .m. por el que al cabo de dos años habrían de abonarse unos intereses de 20 millones de u.m. y devolver el principal
(80 + 20 = 100). E l coste de este crédito sería el va lor de k para el cual :
JOO
0 = 80 - -- ( l +k) 2
-
k=0, 11 80= 11 80porl 00
'
y , ev identemente, es preferibl e el otro créd ito , en el que el coste es del 10 ,36
por 100.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
277
Problema 3.5.39
El coste del capital obtenido mediante la emisión
de acciones
Las acciones de Capuned, S. A., cotizan en la bolsa de Finunedlandia a 300
u.m. cada una, y sus accionistas esperan que genere ilimitadamente un beneficio por acción constante e igual a 150 u.m. anuales, así como que aplique un
coeficiente de reparto del 10 por 100. ¿Cuál es el coste del capital-acciones de
esta empresa, si no desea que se reduzca su cotización bursátil?
RESOLUCIÓN
Siendo P el valor bursátil de una acción y del dividendo constante esperado
ilimitadamente de la misma, si el tipo de rentabilidad requerido por los accionistas es k, , el valor actual neto de la inversión en una acción será:
d
VAN= - P + -
k,
pues Pes el desembolso inicial necesario para comprar una acción y des el flujo de caja anual constante esperado , de forma ilimitada, por el accionista. Si
este VAN fuera positivo (dlk, > P), sería una inversión interesante , muchos
inversores demandarían esta acción y pocos estarían dispuestos a venderla,
con lo que su precio ascendería hasta que el VAN fuera nulo (dlk, = P). Si, por
el contrario, el VAN fuera negativo (dlk, < P) , la oferta de este título superaría a su demanda y su precio se reduciría hasta que el VAN fuera igual a cero
(dlk, = P). Por ello, en equilibrio se produce la igualdad:
P= -
d
k,
y, con ello, la rentabilidad anual esperada por los accionistas, d/P, coincide con
la que ellos requieren, k,:
d
k =•
p
Si no fuera así, el precio se modificaría hasta alcanzarse el equilibrio.
En este caso, se espera que el beneficio anual por acción, B, sea de 150 u.m.
y que el coeficiente de reparto , b, sea del 10 por 100. Por tanto:
d = B · b = 150 · 0 ,10 = 15 u.m.
Por consiguiente:
15
k, = - - = O,05 = 5 por 100
300
278
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
La ren tabilidad esperada por los accioni stas co incide co n el cos te ele capi tal esperad o po r la empresa, que sení del 5 po r 100. Si la empresa abonara un
di videndo inferior al 5 por 100 anual del precio de la acc ión (0 ,05 · 300 = 15
u.111.), las ex pectati vas ele los in versores se verían defraud adas y el prec io de las
acc iones se reduc iría.
Problema 3.5.40
El coste del capital obtenido mediante la emisión
de acciones
Los inversores ele c ierto mercado ele ca pitales esperan que el pró x imo cliv iclenclo por acc ión de c ierta empresa sea ele 200 u .m. y que posteri ormente
crezca a una tasa interanual del 15 por I OO. La cotización actual ele cada acc ión
es de 1.000 u.m. ¿Cuál es el cos te del capital obtenido mediante emis ión ele acciones ele esta empresa?
RESOLUCIÓN
Si los in ver sores esperan q ue el dividendo c rezca según una tasa,f, el prec io de la acc ión será el siguiente:
Como se recordará, el valor actual ele una seri e ilimitada ele flujos ele caja
(di videndos, en este caso) que crecen a una ta sa constante es igual al cociente
entre el primer flujo y la diferencia entre el ti po ele descuento y la tasa de c rec imiento . Po r tanto, se obtiene:
De donde se deduce que:
k
el
,.
= -P,.' + I
Como tambi én se recordará, ha ele suponerse que k,., es superior a la tasa /,
pues si no lo fuera la acción va ldría in finitas unidades monetarias y no ex iste
ninguna que tenga este precio , por lo que no hay ninguna acción de la que se espere que sus cliviclenclos crezcan a una tasa superior a su rentabiliclacl requerida.
En el caso planteado, se obtiene:
k
200
,.
=- + 0.15 = 0.35 ¡)or 1 = 35 ¡)or 100
1.000
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
279
Problema 3.5.41
El coste del capital obtenido mediante la emisión
de acciones
Los inversores de cierto mercado de capitales esperan que el próximo dividendo por acción de cierta empresa sea de 100 u.m. y que posteriormente
crezcan a una tasa interanual del 12 por 100. La cotización actual de cada acción es de 500 u.m. ¿Cuál es el coste del capital obtenido mediante emisión de
acciones de esta empresa?
RESOLUCIÓN
d 1 = 100
f
= 0 ,12
P, = 500
d
100
P,
500
k = - 1 + f = - - + 0,12 = 0 ,2 + 0 ,12 = 0 ,32 = 32 por 100
'
Problema 3.5.42
El coste del capital obtenido mediante la emisión
de acciones
Sabemos que los dividendos de una acción crecen un 10 por 100 cada año
y que su cotización, actual es de 3.500 u.m. ¿Cuál será su cotización dentro de
un año si se mantiene su rentabilidad requerida?
RESOLUCIÓN
Actualmente, el precio es:
P, 0 = - d1
~ - -- 3.500 u .m.
k, - f
Dentro de un año , el próximo dividendo será:
Por ello, el precio de la acción será:
_ d 1(1 + 0 ,10) _
_
_
- - ' -=---__;_ P 0 (1 + 0,10) - 3.500(1 + 0 ,10) - 3.850 u.m.
k, - f
e
P 1e
Como puede observarse, el precio de la acción crece según la misma tasa
que los dividendos.
280
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 3.5.43
El coste del capital obtenido mediante la emisión
de acciones
Los di videndos de una acción crecen un 12 por 100 cada año y su coti zación
actual es ele 1.750 u.m. ¿Cuál será su coti zación dentro ele un año si se mantiene
su rentabilidad requerida?
RESOLUCIÓN
Como ya es sabido, actua l mente el prec io es:
=
p
di
el 1
k,. - J·
= 1.750
Dentro ele un año, el próximo di v idendo será:
c/1( 1 + 0 , 12)
Por ello , el precio de l a acc ión será:
P,,1 =
Problema 3.5.44
c/1( 1 + 0,12)
k" _ f
= P,,o( I + 0, 12) = 1.750 · 1,12 = 1.960 u .m.
El coste del capital obtenido mediante la emisión
de acciones
Sabemos que los dividendos de una acción crecen un 10 por 100 cada año
y que su cotización actual es de 700 u.m. ¿Cuál será su cotización dentro de un
año si se mantiene su rentabilidad requerid a?
RESOLUCIÓN
Resolviendo del mismo modo que en los dos ejercic ios anterio res, en la actualidad el precio es:
p
d
,,o
= k, -1 f = 700
Dentro de un año, el próx imo di v idendo será:
Por ello, el precio ele la acc ió n será:
c/ I( 1 + 0 , 10)
p 1= ~
- - - - = P,,(l( I + 0 , 10) = 700 . 1.1 = 770 u.m .
,.
- ¡·
k
t'
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
281
Problema 3.5.45
El coste del capital obtenido mediante la emisión
de acciones
¿En qué tasa espera el me rcado que crezcan los dividendos anuales de
una e mpresa c uya acción cotiza e n 200 u.m. , si el próximo dividendo esperado es de 10 u.m. y la tasa de rentabilidad requerida de sus acciones se estima en
un 8 por 100 anual?
RESOLUCIÓN
De la conocida expresión del valor de la acción se sigue que:
el
IO
f = k - -1- =008 - - - =003porl =3porl00
e
Pe
'
200
'
La tasa de crecimiento esperada de los di videndos es el 3 por 100 anual.
Problema 3.5.46
El coste de la autofinanclación y las decisiones
de distribución de dividendos
El coste del capital-acciones de Ofiuned, S. A. , es del JO por 100. Esta empresa dispone de m unidades monetarias de benefic io por acción y puede repartirlas como dividendos o retenerlas como autofinanciación. ¿Cuál es el
coste de estos fondos si la empresa los retiene?
RESOLUCIÓN
Si la empresa repartiera las ni u.m. de dividendo por acción, la riqueza del
accionista por su pertene ncia a la empresa sería, por cada acción que tenga, el
resultado de añadir, al precio de la acción, el divide ndo repartido:
el
R = P, +m =-+
m
k
•
Si, por el contrario , retuvie ra las m u.m . y las colocara en una inversión
cuya rentabilidad anual esperada fuera del r por 1, el flujo de caja anual de esta
inversión sería de r · m u.m., con lo cual los futuros di videndos pasarían a ser:
el + r·m
La riqueza del accionista propietario de una acción por su pertenencia a la
e mpresa, R', sería el nuevo valor de su acción , P;, es decir, el resultado de actualizar este divide ndo aplicando la re ntabilidad requerida por los accionistas:
el+ r · m
R'= P; = - - - -
k,
282
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Si se desea max imizar la ri queza del accionari ado, la condic ión ele retención
de las 111 unidades será que:
R' 2:: R
es deci r:
e/ + r · /JI
2:: -
k,.
d
k,.
d
+ /11 - -
k,.
r · 111
+- -
k,.
d
2:: -
k,.
+ /1/ -
,. 2:: k
..
La rentabi lidad mín i ma ex ig ible ele las inversiones l'inanc iaclas con benefi cios retenidos (o, lo que es lo mismo, el coste del capital proveniente ele la aulofinanciac ión) es el coste del capital -acc iones, k,.· En este caso, el cos te ele la
autofina nciación ele Ol'itmed, S. A., es el 10 por 100.
El anál isis reali zado perm ite concluir, en cuanto a las decisiones de distri bu ción ele los benefic ios, que la pol ít ica de d i videndos óptima consiste en repartirlos siempre que la rentabil idad que se espere obtener en la empresa si se
les reti ene, r, sea inferi or a la renlabi l idael esperada req uerid a por los acc ionistas, que es el 10 por 100 .
Problema 3.5.47
El coste del capital en casos especiales
Una empresa estudi a un préstamo ele 2 .000.000 u .m . que req ueriría un
pago bienal ele 200.000 u.m. durante 6 años , al final ele los cuales devolvería los
2.000.000 u .m . Se desea conocer su coste anual.
RESOLUCIÓN
El cos te bienal será el k 2 que cumple:
O = + 2 .000 .000 -
200
·ººº
( 1 + k2 ) 1
200.000
( 1 + k 2) 2
200 .000
2 .000 .000
----+ ----
Y, ev identemente, k, resulta igual a O, 1O por uno , es dec ir , al 1O por 100,
pues el importe que ha de abonarse cada dos años (200 .000 u.m.) es el 10 por
100 del i mporle del préstamo (2 .000 .000), el cual se amortiza en ese 111 ismo i mporte j unto con la última cuota de 200.000 u.m. El deudor paga cada dos años
un 10 por 100 del importe ele crédito del que está cli sfrulanclo en tocio momento,
por lo que el cos te bienal habrá ele ser ese I O por 100.
El tipo bi anu al k 2 será equi va lente al siguiente ti po anual k:
Es dec ir ,
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
283
Al aplicar esta expresión en el caso planteado , se deduce que el coste
anual de este préstamo es el 4,88 por 100:
k = (l + O,JO) L12 - l= 0,0488 por 1 = 4,88 por 100
Problema 3.5.48
El coste del capital en casos especiales
Una empresa estudia un préstamo de 1.000.000 u.m. que amortizaría en 6
años mediante cuotas bienales La primera cuota sería de 500.000 u.m. y a partir de ella crecerían un 5 por 100 cada dos años. Se desea conocer el coste anual
de este préstamo .
RESOLUCIÓN
El coste bienal sería el k2 que cumple:
1 - [(1 + !) (1 + k2) " ]
kz- f
11
0=-A+Q,
/
En el caso planteado:
O = -1.000 .000 + 500 .000
1 - [1 ,05 3(1 + k2 )3]
k2 -0,05
Por prueba y error, se obtiene:
k2 = 0,262 por 1 = 26,2 por 100
La tasa anual equivalente a esa tasa bienal será el k que cumple:
(1 + k)2 = 1 + k2
Es decir,
k = ( 1 + k2 ) 112 - 1
De donde se deduce que el coste anual de este préstamo es el 12,34 por 100:
k = (1 + 0,262) Ll2 - 1= 0,1234 por 1 = 12,34 por 100
284
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
6.
La inc ide ncia de los impuestos
Problema 3.6. l
El efecto de los impuestos
Tribunecl es una empresa muy rentable que va a acometer un proyecto ele inversión ele 50 millones ele u.m., cuya duración es ele dos años. Para ello, cuenta con las siguientes fuentes ele fina nciación al ternativas:
a) Un crédito bancario por el que tendría que pagar una comisión inicial del
1 por 100 del importe del crédito y un interés an ual del 10 por 100. El
pri ncipal del crédito se devo lvería ju nto con los i ntereses del segundo
año.
b) Un empréstito ele obligaciones al 9,5 por 100 anual de interés por el que
tendría que pagar al banco que actuaría como intennecl iario de la operación un 0,5 por 100 de comi sión inicial sobre el importe del empréstito. Su amortización se real izaría al final del segundo año .
La empresa está sometida a un tipo ele gravamen del 35 por 100 en el impuesto sobre la renta ele las soci edades. Se desea saber el cos te ele cada una de
las fuentes de financiación altern ativas , y cuál es la prefer ible.
RESOLUCIÓN
La empresa necesita 50 mil lones de u.m. netos de comisiones iniciales. Por
tanto, si Mes el i mporte obten ido con la fuente de fi nanciación y e es el tanto
por uno de com isión in ic ial , habrá ele cumpl irse que:
M( 1 - e)= 50.000.000 u.m. -
50.000.000
M=-
- - 1- c
u.m.
Así, en el caso del crédi to , el i mporte necesario será:
50 .000 .000
M = - -- 1 - 0,0 1
-
= 50 .505.050,50 u.m.
y en el del empréstito, el vol umen ele financiación preciso valdrá:
50 .000.000
= 50.251 .256,28 u.m.
M = - - -1 - 0,005
Tanto la comisión inicia l (0,01 · 50.505.050 ,50 = 505.050,50 u.m., en el
caso del crédito, y 25 1.256,28 u.m. en el caso del emprésti to) como los i ntereses son gastos cleclucibles en el i mpuesto sobre el benefi cio. Así , en el caso
del crédito, con su consecución , los impuestos se reducirán en el 35 por 100 de
la comi sión in icial ; y cada año la carga impositiva se reduci rá en un 35 por IO0
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
285
de los intereses abonados. Por tanto, al tener en cuenta este menor pago de impuestos, el coste del crédito es el valor de k para el cual:
O= 50.000.000 + 0 ,35 · 505.050,50 - O,lO.
º· º ·º º• º( - 0,35 )
5 5 5 5 5 1
1 +k
0,10 · 50.505.050,50(1 - 0 ,35)
50.505.050,50
(1 + k)2
(1 + k)2
Es decir:
k = O,0686 = 6,86 por 100 anual
Del mismo modo , el coste del empréstito habrá de cumplir la expresión:
O = 50.000 .000 + 0,35 · 251.256,28 -
35
0 095 5 25 256 28
1.
' (1 - 0, )
•
.
0 ,095 · 50.251.256,28(1 - 0 ,35)
(1 + k)2
º·
(1 + k)
50.25 1.256,28
(1 + k)2
de la que se deduce que:
k = O,0635 = 6,35 por 100 anual
Es preferible la financiación mediante el empréstito.
Problema 3.6.2
El efecto de la inflación y del impuesto sobre el beneficio
Antes de tener en cuenta el impuesto sobre el beneficio (cuyo tipo de gravamen es el 33 por 100) ni la tasa de inflación (que es el 4 por 100), el coste de
un empréstito es el 24 por 100. ¿Cuál es el coste después de tener en cuenta ambas cuestiones?
RESOLUCIÓN
kA = 0,24(1 - 0,33) = 0,1608 por 1
0 ,1608 - 0 ,04
kR = - - ---- - = 0,1542 por 1 = 15,42 por 100
1 +0 ,04
Problema 3.6.3
El efecto de la inflación y del impuesto sobre el beneficio
Se desea conocer el coste anual esperado, en términos reales , de un crédito de 100 u.m. a dos años , que tiene un interés del 15 por 100 cada año , dedu-
286
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
c ible en el i mpuesto sobre el benef ic io, c uyo tipo ele gra vamen es del 35 por
100 . La tasa ele inflac ión esperada para los dos próx imos años es del 8 por 100
anu al .
RESOLUCIÓN
Si no hubiera in['lación, el coste ele este crédito sería el valor k" para el c ual :
0 , 15 · 100( 1 - 0 ,35)
O = 100 - - -- - - -- 1 + k,,
0, 15 · 100( 1 - 0,35 )
100
( l + k,Y
( 1 + k,Y
es dec ir:
k" = 0,0975 = 9,75 po r 100 anual
Obsér vese que, siendo/ el tipo de gravamen , en este caso, en el que no interv ienen las comisiones, se cu mple que el coste después de impuestos, k, es
igual al producto entre el cos te antes ele i mpuestos , e, y ( 1 - t):
k" = k,;(l - t) = O, 15( 1 - 0 ,35) = 0,0975
Como ya se estudió en las áreas de equ iva lenc ia ele capital es y ele selección
ele inversiones, el coste real , k 11 , de este crédito , es decir , el cos te en términos de
capac idad adquisitiva , ser,1:
k
Problema 3.6.4
k - g
//
=~"-l +g
-
0 ,0975 - 0 ,0 8
- -- - - = 0 ,0162 = 1,62 por 100 anual
1 + 0.08
El efecto de la inflación y del impuesto sobre el benefic io
Para finan c iar una in versi ón, una empresa precisa 840 u.m. que va a obtener mediante un préstamo bancario a tres años. El importe del préstamo será de
900 u.m. para cubri r también sus gastos de fo rmalizac ión que totali zan 60 u.m .
que tend rá que abonar en el momento inic ial. El principal del crédito se amorti zará med iante el método lineal (todos los años se amortiza la misma cantidad ,
es decir, 300 u.m. , en este caso) . Los intereses anuales se pagan al fina l de cada
año y son del I O por l 00 sobre el capital pendiente de devo lver en ese momento . El tipo de gra vamen en el impuesto sobre el benefi cio es el 30 por 100.
Se desea determ i nar el coste ele este préstamo.
RESOLUCIÓN
Duran te el primer año , se t iene una deuda de 900 u.111. , por lo que habrá que
pagar unos intereses de 90 u.m.:
0 , 10 X 900 = 90 u .111.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
287
Entonces, se amortizarán 300 u.m., con lo cual quedarán 600 u.m. por
amortizar y, consecuentemente, el interés que habrá que abonar el segundo año
será:
0,10 X 600 = 60 u.m.
Por la misma razón, durante el tercer año quedarán 300 u.m. por amortizar
y los intereses que habrá que abonar al final importarán 30 u.m.:
0,10 X 300 = 30 u.m.
Tanto los gastos de formalización como los intereses son deducibles en el
impuesto sobre el beneficio.
Por consiguiente, el coste de este préstamo será el valor de k que cumple:
O= 900 - 60(1 - 0,3) - 300 + 90(l -0,3 )
l+k
300 + 60(1 -0,3)
(1 + k)2
300 + 30( 1 -0,3)
(1 + k)3
Por cualquier procedimiento al uso, incluyendo calculadoras financieras,
hojas de cálculo, o calculadoras de TIR disponibles gratuitamente en Internet,
se obtiene:
k = 0,0972 = 9,72 por 100 anual
7.
El coste medio ponderado del capital
Problema 3.7 .1
El coste medio ponderado del capital
Ponduned, S. A., es una empresa muy rentable que tiene las fuentes de financiación cuyos importes y costes (antes de deducir los impuestos y sin tener
en cuenta la incidencia de la inflación) se recogen en la tabla 3 .3.
TABLA 3.3
288
Créditos
Empréstito de obligaciones
Capital propio
35
10
40
100
12
Total
175
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
14
Se desea conocer el coste medio ponderado real de su capital , sabiendo que
los ún icos gas tos financieros deducibles fi sca lmente son los intereses de los
créditos y del empréstito , que el tipo de gravamen es el 35 por 100 y que la inflación es del 6 por 100 anual.
RESOLUCIÓN
Conform e se expuso en un probl ema anteri or , el cos te después ele tener en
cuenta los impuestos será , en el caso del créd ito:
k,1c = 0 , 10( 1 - 0,35) = 0,0650 = 6,50 por 100 anual
Del mi smo modo , el cos te del empréstito será:
kM, = 0,12( 1 - 0 ,35) = 0,0780 = 7,80 por 100 anua l
Dado que los dividendos no son deducibles en el impuesto sobre el benefi cio , el coste del capital propio no resulta afectado por este impuesto.
Ponderando el cos te ele cada fuente de financi ación por su importe, se obtiene el coste medio ponderado , que, en este caso, antes ele tener en cuenta la
inflac ión , será:
k
~
+ 0 ,0780 · 40 + 0 ,14 · JOO
= -0 ,0650
- - -· 35
-- - - - · - - - - - - = 0 ,11 08 = 11 ,08 por 100
175
A l tener en cuenta la inflac ión, se obtiene un coste medio en térm inos reales igual a:
0, 1108 - 0 ,06
kRu = - - - - - - - = 0 ,0479 = 4,79 por 100
1 + 0 ,06
Problema 3.7.2
El coste medio ponderado del capital
Una empresa muy rentable utiliza tres fuentes de financiación: créditos, por
un importe de 40 u.rn . con un coste anual del 12 por 100; un empréstito ele obligaciones por un importe de 50 u.m. y con un coste anual del 13 por 100; y capital propio , por un importe ele 110 u.rn. con un cos te anual del 14 por 100 . En
los menc ionados costes no se han tenido en cuenta la inflación , que es el 5 por
100 anual , ni el I mpuesto sobre la Renta de las Sociedades, que tiene un tipo de
gravamen del 35 por 100 . ¿Cu,íl es el coste medio ponderado real después de
tener en cuenta ambas cuestiones?
RESOLUCIÓN
El coste de los créditos después de impuestos es:
k"c = 0,1 2( 1 - 0 ,35) = 0 ,078 por 1
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
289
En cuanto al empréstito:
kAE = 0,13(1 - 0 ,35) = 0 ,0845 por 1
Al calcular el coste medio ponderado , se obtie ne:
0 ,078 · 40 + 0 ,0845 · 50 + 0 ,14 · 110
kAo = - - - - - - - - - - - - - - - - = 011 3725 por 1
40 + 50 + 110
Finalmente, se corrige este importe por la inflación:
0 ,113725 - 0 ,05
kRO = - - - - - - = 0 ,06069 por 1 = 6 ,069 por 100
1 + 0 ,05
8.
La rentabilidad requerida y la diferencia
de riesgo entre las inversiones mutuamente
excluyentes
Problema 3.8.1
La sensibilidad del valor actual respecto a la rentabilidad
requerida
Se desea determinar la reducción que se produce en el valor actual de un
flujo de caja de 500 u.m. al pasar el tipo de descuento del 5 al 10 por 100 anual ,
e n los dos casos siguientes:
-
Cuando el flujo de caja se produce al cabo de un año .
Cuando el flujo de caja se genera a los diez años .
RESOLUCIÓN
El valor actual de un flujo , Q , situado en el momento n (es decir, al cabo de
n años), es:
Q
VA = - - (1 + k )"
A medida que aumentan k y el momento en el que se genera cada flujo, el denominador de VA se eleva, y el aumento es exponencial, de modo que el efecto de
una elevación de k es más acusado en el valor actual de los flujos más distantes .
Así , en este caso , el valor actual de 500 u .m. de de ntro de un año descontadas al 5 por 100 vale 476,20 u.m.:
500
- - - - = 476 ,20 u.m.
(1 + 0 ,05)
290
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Po r ot ro lado, si la rentab ilidad requerid a pasara a ser el 10 por 100 , el va lor actu al ele las 500 u.m. pasa r ía a va ler 454,55:
500
- - - - = 454,55 U.lll.
( 1 + 0 , 10)
Po r tanto, el aumento de c inco puntos en el tipo ele desc uento hace q ue el
valor actual del rlujo a un año se red uzca en un 4,55 por 100:
454,55 - 476,20
- -- -- - = - 0,0455 por 1
476 ,20
Sin embargo, si las 500 u.m. se generaran dentro ele 10 años, los resultados
se rían los sig uientes:
-
Va lo r actual para un tipo de desc uento igua l al 5 por 100:
500
- - - - = 306,95 U.111.
( 1 +0,05) 1º
-
Valor actual para un tipo ele descuento igual al 10 por 100:
500
- - --
(1 + 0 ,10) 1º
= 192,75 U.111.
Porcentaje ele reducción en el valor actual provocado por un aumento ele
c inco puntos porce ntuales en el tipo ele descuento:
192,75 - 306,95
- -- - -306,95
= -0,3720 por J = - 37,20 po r 100
La dupli cac ión de l tipo ele descuento produce só lo una pequeña reducc ión del val or actual del flujo ele caja a un año y, sin embargo, el mi smo aumento del tipo de descuento h ace que el valor actual del flujo ele caja a d iez
años se reduzca en un 37 ,2 por I OO. Por tanto , el ri esgo ele q ue, al alterarse el
tipo ele descuento ( la rentabilidad req uerida), el proyecto deje ele ser v iable es
mayor c uando sus mayores fluj os de caja se generan tarde que c uando se produ cen pronto .
En la práctica, puede haber muchos más factores que afecten al ri esgo de los
di versos proyectos alternativos , pero, si los demás factores inc iden sobre los niveles de ri esgo ele los m ismos en la misma medida , el m,1s arriesgado será aquel
en el que los mayores flujos ele caja se generen más tarde.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
29 1
Problema 3.8.2
La introducción del riesgo en la selección de proyectos
mutuamente excluyentes
Se están analizando las dos inversiones mutuamente excluyentes,A y B, cuyas características más relevantes son las siguientes:
En cuanto a la inversión A, se ha calculado la rentabilidad que cabe esperar de la misma, habiendo resultado ser un 15 por 100 anual. Se trata de una inversión muy segura, por lo que se le aplica una prima de
riesgo de sólo el 4 por 100 .
En cuanto a la inversión B, su realización entraña cierto nivel de riesgo,
por lo que se le asigna una prima del 8 por 100. También se ha calculado su rentabilidad esperada y ha resultado ser el 18 por 100.
El coste de financiación de esta empresa es el 10 por 100 y la rentabilidad
del activo libre de riesgo es el 5 por 100. Se desea saber qué inversión es realizable.
RESOLUCIÓN
El activo libre de riesgo es, como su nombre indica, aquel cuya rentabilidad
es conocida con certeza. Quien presta dinero al Estado, adquiriendo un título de
deuda a corto plazo emitido por el Tesoro Público, realiza una inversión que
puede considerarse libre de riesgo. Pero con ello renuncia a hacer otro uso de
ese dinero durante cierto período de tiempo y, por ello, ha de percibir cierta remuneración. A esas inversiones se les denomina activos sin riesgo, y su rentabilidad es el tipo de interés libre de riesgo, R¡- A medida que las inversiones
tengan mayor nivel de riesgo, su rentabilidad esperada habrá de ser más elevada
para compensar ese mayor riesgo que incorporan. De manera que la rentabilidad esperada estará integrada por dos partes: una con la que remunera el
mero transcurso del tiempo sin disponer de los fondos invertidos (el tipo de interés libre de riesgo), y otra que remunera el riesgo en que se incurre.
Asignar a una inversión una prima de riesgo igual p equivale a señalar que,
para compensar el nivel de riesgo que tiene , ha de generar, al menos , una
rentabilidad igual al resultado de añadir esta prima a la rentabilidad libre de
riesgo Rr Se denomina rentabilidad neta de riesgo de un proyecto de inversión
a la diferencia entre la rentabilidad esperada del mismo y su prima de riesgo.
Pero el problema es más complejo cuando no se trata ya de analizar si la
rentabilidad de un activo compensa el riesgo que tiene (de modo que resulta
preferible invertir en él , en lugar de hacerlo en el activo sin riesgo), sino de
compararle con otro u otros proyectos de inversión mutuamente excluyentes
que tienen distintos niveles de riesgo. Evidentemente, la diferencia entre sus
rentabilidades ha de compensar la diferencia entre sus riesgos.
Además , evidentemente, la rentabilidad de un activo ha de superar al coste de la financiación, pues , por ejemplo , no es económico tomar dinero a un
coste anual del 20 por 100 para invertir esos fondos al 10 por 100.
292
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Por tocio ello, sintetizando, para que un proyecto sea cfec tuable con arreglo
al tipo de rendimiento interno , ha de cumplir tres condic iones:
1. Su rentabil idad neta de riesgo ha ele superar la rentabilidad del acti vo li bre de ri esgo . Dicho de otro modo, su rentabilidad total ha de ser superi or a la que resulta de añad ir su pri ma de riesgo a la rentab ilidad del acti vo si n ri esgo.
2. Su rentabi lidad neta de ri esgo ha de superar la rentabi l idad neta de
r iesgo ele las otras inve rsiones altern ati vas, es decir, de los otros proyectos con los que sea m utu amente exc luyent e.
3. Su rent abilidad aparente total ha de superar el cos te ele la f inanciación .
Denominando p a la prima de ri esgo de l proyecto, R1 a l a rentabi lidad del
activo sin riesgo, k; al coste de la fi nanciación, r' a la rentab il idad del proyecto altern ativo y p' a la prima de ri esgo de este último, las tres condiciones se
ex presan del siguiente modo:
o bien , r > R1 + p
r - p > r' - p ' o bien , r > r ' - p ' + p
r > k.
'
Puesto que r ha de ser mayor que (R1 + p), mayor que (r ' - p' + p) y mayor que k ;, las tres condiciones pueden sinteti zarse en que la rentabilidad total
de la inversión , r , ha de ser superior a su rentabilidad requerida, k, siendo ésta
la mayor de las tres tasas anteri ores; dicho de otro modo:
Condición de efectuabi lidad:
r>k
donde:
k = máx [(R1 + p); (r' - p' + p); k;J
Así, en relación a la inversión B a la que se refi ere el enunciado:
R1 + p = 0 ,05 + 0 ,08 = 0 ,13
r' - p' + p = 0 ,15 - 0,04 + 0,08 = 0 , 19
k; = 0, 10
Por consiguiente, l a rentabilidad que ha de exigirse de esta inversión es el
19 por JOO. Si se tratara de una i nversión independiente, su rentabilidad requerida sería el 13 por I OO . Pero, dado que se ha de elegi r en tre este proyecto
y el proyecto A, y que, para que el B sea preferibl e, su rentabilidad neta de riesgo ha de superar a la de la inversión alternativa, debe generar una rentabil idad
de, al menos, el 19 por 100. Como su rentabilidad total es el 18 por 100, el proyecto 8 no es efectuable.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
293
En cuanto al proyecto A, los datos son los siguientes:
R1 + p = 0 ,05 + 0,04 = 0 ,09
,., - p' + p = 0,18 - 0 ,08 + 0 ,04 = 0,14
k; = 0 ,10
La rentabilidad requerida de este proyecto es el 14 por 100. Como su rentabilidad total esperada es el 15 por 100 , de acuerdo con la TIR el proyecto es
efectuable.
Como ya es evidente , si el criterio del VAN se aplica correctamente, utili zando como tipo de descue nto la re ntabilidad requerida, conduce a la misma
decisión que el tipo de rendimiento interno. En efecto, si la rentabilidad esperada (18 por 100 en el proyecto B) es inferior a la rentabilidad requerida(] 9 por
100 en el proyecto B ), el VAN del proyecto es negativo y éste no es efectuable.
Cuando, por el contrario , la rentabilidad esperada del proyecto (el 15 por 100
en el proyecto A) supera su rentabilidad requerida (el 14 por 100 en el proyecto
A), el VAN del proyecto es positivo y éste es realizable. En la figura 3 .8 se han
representado gráficamente estos resultados.
FIGURA 3.8
Problema 3.8.3
La introducción del riesgo en la selección de proyectos
mutuamente excluyentes
Transportes Interurbanos Ovidio (TIO) es una empresa que comenzó sus actividades hace más de medio siglo, transportando pasajeros de unas ciudades a
otras en autobuses. Dada la gran dinamicidad de la empresa, ha llegado a
294
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
ampliar su acli vidad al lran sport e urgente de perso nas po r vía aérea en avionetas y hel icópleros.
Rec ientemente ha l iquidado algunas ele sus in versiones en autobu ses, al fi nali za r una ele las licencias que tenía concedidas y no serl e renovada. Con los
fondos, 20.000.000 u.m. , pensaba ampliar la f'lota ele avionetas co mprando otra
para prestar ser vic ios a altos mandos de la Ad mini strac ió n Públ ica y ele graneles empresas que licnen urgenc ia en sus desplazamientos con c ierta l'recuenc ia.
Éste es un negoc io que en TIO conocen bien, por lo que se pueden estimar los
fl ujos de caja con c ierta preci sión y el riesgo ex istente es escaso.
Pero no hace mucho, ante la d irección ele la empresa se presentó don Unedio G ómez, que trabaja en los talleres ele mantenimiento y que ha desarrollado
un producto que, una vez anali zado el mercado por otra empresa ex pert a ele
marketing, puede ser revoluc ionario . Se trata del prod ucto que don Unecl io denomina Heliman, y que es un helicóptero plegable ele bolsillo ele uso indi vidual.
Dacios los estudi os ele mercado efectu ados, l a em presa se ha planteado la
pos ibil idad de i nvertir los rec ursos provenientes ele la liquidación ele l a flota
ele autobuses en la fabri cac ió n del in vento ele don Unecl io, pues , además,
según los estudios técni cos que ha encargado , el importe necesari o para ello es
sorprendentemente pequeño, pudi endo c ubrirse con los 20 millones dispon ibles.
L os flujos ele caja esperados del proyecto consistente en ampliar la fl ota ele
avionetas ( proyecto A) son J0.000.000 u.m. an uales durante tanto tiempo que
su durac ión se puede considerar ilimitada. E l flujo ele caja del primer año del
proyecto ele don Uneclio (proyecto H) sería ele 9.000 .000 u .m. , y a partir ele ese
momento se espera que crezcan los fluj os a una tasa interanual constante del J5
por 100, siendo su durac ión tan prolongada que también puede considerarse il imitada .
D acio que la inversión en la avioneta tiene un ri esgo semej ante al ri esgo medio de las inversiones que y a conforman la empresa, antes de aparecer el proyecto de don U nedio se consideraba que la rentabilidad que se le debería requerir ser ía igual al coste medio ele la fi nanc iac ió n ele TTO , que es el 27 por
100. En el proyecto del Hel iman no se tiene tanta confianza, pues el negocio no
es habi tual en la empresa (se trata ele un proyec to de fabri cac ión y la empresa
es ele servic ios); es un producto totalmente nuevo en el mercado , por lo que no
ex iste ex peri enc ia prev ia , y se teme que muchos posibles adquirentes del mi smo por sus neces idades de despl aza miento, o de atravesa r la c iudad en horas
punta , no se atrevan a usarlo; se teme, incluso, q ue el Gobierno ve te el proyecto
an te el temor ele que se llene de estos aparatos un espac io donde no es posible
colocar semáforos. No obstante, es difícil as ignarle una prima sobre el tipo ele
interés sin ri esgo que es el 6 por 100. Por ello , don O vidio , presidente ele la empresa TIO y descendiente ele su fundador , nos ha pedido que determinemos para
qué primas ele riesgo es efectuable el proyecto ele su empl eado. Como los honorari os son aceptables (superi ores a los ele o tra ded icac ión alternativ a ele
nues tro tiempo), y don O v iclio paga puntual mente y es sol vente (el r iesgo es
prácticamente nulo), aceptamos y resolvemos su prob lema.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
295
RESOLUCIÓN
Evidentemente, la rentabilidad del proyecto A , rA, es el 50 por 100:
10.000.000
rA = - -- - = 0,50 por 1 = 50 por 100
20.000.000
También resulta ya evidente que la rentabilidad del proyecto Hes el 60 por 100:
9.000.000
20.000.000
rH = - - - - + 0,15 = 0,60 por 1 = 60 por 100
Como se señaló en el problema anterior, para que una inversión sea realizable, su rentabilidad, r, ha de cumplir la siguiente condición:
Condición de efectuabilidad:
r>k
donde:
k = máx [(R1 + p); (r' - p' + p); k¡]
Si el proyecto A fuera un proyecto independiente, se le requeriría una rentabilidad del 25 por 100 anual, que es el coste de la financiación; es decir, en el
caso de este proyecto:
R¡+ p = 0,27
Puesto que el tipo de interés sin riesgo es el 6 por 100, la prima de riesgo requerida de este proyecto es el 21 por 100:
p = 0,27 - R1 = 0,27 - 0 ,06 = 0,21 por 1 = 21 por 100
Puesto que la rentabilidad de este proyecto (el 50 por 100) es superior a su
rentabilidad requerida (el 27 por 100), como proyecto independiente es efectuable. Pero , al aparecer el proyecto H , nos encontramos ante dos proyectos
mutuamente excluyentes, y, para que el proyecto A sea efectuable, su rentabilidad ha de ser también superior a (r' - p' + p), donde r' y p' son la rentabilidad y la prima de riesgo del proyecto alternativo, respectivamente (es decir,
del proyecto H). Por consiguiente, en cuanto al proyecto A:
r' - p' + p = 0,60 - p' + 0 ,21 = 0 ,8 1 - p'
Puesto que la rentabilidad del proyecto A es el 50 por 100, sólo será efectuable cuando:
0 ,50 > 0,81 - p'
es decir, cuando la prima de riesgo del proyecto alternativo (el proyecto H) supere el 31 por 100:
p' > 0 ,3 1 por 1
296
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Si la prima de ri esgo del proyecto de 1-lcliman ruera inferi or al 3 1 por 100, sería preferibl e tal proyec to al consistente en adquirir una nueva avioneta.
El pro blema tambi én pued e pl antearse parti end o del aná l isis del proyecto H . Para qu e sea efectuable ha ele cump l ir la co ndic ió n señalada an teri orm ente , o sea:
Condició n ele erect ualiclad:
r> k
donde:
k = máx l (R1 + p); ( r ' - p ' + p ); k;
Y , en este caso:
En primer lugar , su rentabilidad (el 60 por 100) supera al cos te ele la fi nanciación , k; (el 27 por 100).
En segundo lugar, su rentabi l idad ha ele superar el resu ltado ele añadir su
prima ele ri esgo al tipo R1, es cleci r :
R1 + p' = 0,06 + p
Dacio que la rentabilidad ele esta i nve rsión es el 60 por 100 , ha ele
cumpl irse que:
0 ,60 > 0 ,06 + p
Por consiguiente, si fuera un proyecto independiente sería suficiente que
su prima ele ri esgo no alcanzara el 54 por J00:
p < 0,54
Pero, en tercer lugar , al haber un proyecto alternati vo, su rentabi lidad ha
ele superar el importe:
r' - p' + p = 0 ,50 - 0 ,2 1 + p = 0,29 + p
Como su rentabi l iclacl es el 60 por 100, para que sea efectuable habrá de
cumplirse:
0 ,60 > 0 ,29 + p
o, lo que es lo mi smo:
p < 0,3 1
que es la misma concl usión que se obtuvo anteriormente.
El probl ema también puede plantearse en térm i nos de rentabi l idades netas
de riesgo. Puesto que la rentabil idad del proyecto A es el 50 por 100 y que su
prima de riesgo es el 2 1 por 100, su rentabi I idad neta de riesgo es el 29 por 100:
0 ,50 - 0 ,2 1 = 0 ,29 por 1
RENTABILIDAD Y C OSTE FINANCIERO
297
Del mismo modo, siendo p la prima de riesgo del proyecto H , su rentabilidad neta de riesgo es:
0 ,60 - p
Será realizable el proyecto H cuando:
0,60 - p > 0 ,29
es decir, cuando:
p < 0,31
Problema 3.8.4
La introducción del riesgo en la selección de proyectos
mutuamente excluyentes
Se están analizando dos inversiones mutuamente excluyentes , A y B, cuyas
características más relevantes son las siguientes:
Inversión A: la rentabilidad que cabe esperar de la misma es del 9 por
100 anual. Por ser una inversión muy segura se le aplica una prima por
riesgo del 2 por 100.
Inversión B: Su realización conlleva un cierto nivel de riesgo , por lo que
se Je aplica una prima del 4 por 100. Su rentabilidad esperada es del 9
por 100.
El coste de la financiación de esta empresa es del 6 por 100 y la rentabilidad
del activo libre de riesgo es del 3 por 100. Se desea saber qué inversión es preferible.
RESOLUCIÓN
En cuanto a la inversión A:
R1 + p = 0 ,03 + 0 ,02 = 0 ,05 por 1
r' - p' + p = 0,09 - 0,04 + 0 ,02 = 0 ,07 por 1
k; = 0 ,06 por 1
La rentabilidad requerida de la inversión A es el 7 por 100, pues es la más
alta de las tres tasas calculadas. Dado que su rentabilidad esperada es más alta
(el 9 por 100), sí es realizable .
En cuanto a la inversión B:
R1 + p = 0 ,03 + 0,04 = 0 ,07 por 1
r' - p ' + p = 0 ,09 - 0 ,02 + 0 ,04 = 0 ,11 por 1
k; = 0 ,06 por 1
298
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
La rentabi lidad requerid a de esta in versió n es el 11 por 100. Dado que su
rentabilidad esperada es más baja (el 9 por 100) , la in versió n B no es realiza ble.
Problema 3.8.5
La introducción del riesgo en la selección de proyectos
mutuamente excluyentes
A una em presa cuyo cos te del capital es el 12 por 100 se le presentan dos
altern ati vas de in versión mutuamente exc luyentes , X e Y. A la alternati va X
se le asigna una prima ele ri esgo del 3 por 100 sobre la rentabi lidad del activo libre de ri esgo qu e se estima en un 4 por 100 , en tan to que la prima ele
ri esgo que se as igna a la in ver sió n Y es el 5 por 100 . L a rentab ilidad esperada de la i nversión Y es el 15 por 100. ¿Cuál es la renlabilicl acl requerid a de la
in versión X?
RESOLUCIÓN
La rentabi lidad req uerida de l a i nversión X sen1 el mayor de los tres importes siguientes:
R1 + p = 0 ,04 + 0 ,03 = 0 ,07 por 1
r' - p' + p = 0 ,15 - 0,05 + 0 ,0 3 = 0,13 por 1
k; = O, 12 por 1
Por consiguiente, la rentab ilidad requerida de la in versió n X es el 13 por
100 .
Problema 3.8.6
La introducción del riesgo en la selección de proyectos
mutuamente excluyentes
Las inversiones A y B tienen unas rentabilidades esperadas respectivas del 15
y del 18 por I OO. Sus primas de ri esgo son del 4 y del 8 por 100, respecti vamente. El cos te ele financiación de l a empresa es el 10 por 100, y la rentabilidad
del acti vo libre de ri esgo es el 6 por 100. ¿Qué inversión es efecluable?
RESOLUCIÓN
En cuanto a la in versión A:
R1 + p = 0,06 + 0,04 = 0 , 10 por 1
r' - p' + p = 0 . 18 - 0,08 + 0 ,04 = 0, 14 por 1
k 1 = 0,10 por 1
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
299
La rentabilidad requerida de la inversión A es el 14 por 100, y puesto que su
rentabilidad esperada es más elevada (el 15 por 100), es efectuable .
En cuanto a la inversión B:
R1 + p = 0 ,06 + 0 ,08 = 0 ,14 por 1
r' - p' + p = 0 ,15 - 0,04 + 0 ,08 = 0,19 por 1
k; = 0,10 por 1
La rentabilidad requerida de la inversión Bes el 19 por 100, que es más elevada que su rentabilidad esperada, por lo que no es efectuable.
9.
Otros métodos de selección de inversiones
Problema 3.9.1
Métodos estáticos. Plazo de recuperación
Sean dos proyectos de inversión c uyos desembolsos iniciales y flujos de
caja, generados en los distintos años de su duración , vienen recogidos en la tabla 3 .4.
A
TABLA 3.4
B
400
1.000
600
12.000
2.000
¿Qué inversión es preferible según el criterio del pay-back?
RESOLUCIÓN
Es preferible la primera i nversión, pues las 2 .000 u.m. invertidas se recuperarán en dos años (200 u.m. el primer año y 1.800 el segundo) , en tanto que
e n la inversión B se precisan tres años para recuperar el importe invertido
(400 + 1.000 + 600 = 2.000). Como puede observarse, en el criterio delpayback prima la liquidez de las inversiones sobre su rentabilidad. Este método de
selección no tiene en cuenta el valor de los flujos de caja generados con posterioridad al plazo de recuperación (12.000 u .m . en la inversión B y sólo
100 u.m. e n los años tercero y cuarto del proyecto A). Además, para determinar el pay-back no se actualizan los flujos de caja, sino que se les suma sin tener en cue nta que son magnitudes heterogéneas por referirse a distintos momentos del tiempo .
300
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 3.9.2
Métodos estáticos. Plazo de recuperación
Sean las dos inversiones (X e Y) definid as en la tabl a 3.5.
Desembolso inicial
Flujo de caja del primer periodo
Flujo de caja del segundo periodo
TABLA 3.5
o
Flujo de caja del tercer (último) periodo
10.000
¿Cuál ele ellas es preferible según el criterio del plazo ele recuperac ión? Coméntese la solución del ej ercicio.
RESOLUCIÓN
En la inversión X las 1.000 u.m. del desembolso inicial se recuperan con el
flujo de caja del primer período. Por consiguiente, su plazo de recuperac ión es
de un período.
En la inversión Y se recuperan 100 u.m. en el primer período y 900 en el segundo . Por tanto, su plazo de recuperación es de dos períodos.
Conforme a este criteri o, la in versión X es preferibl e a la in versión Y. Sin
embargo, es evidente que, conforme a cualquier criteri o ele valor o rentabi lidad ,
la inversión Y sería preferida a la X. E l método del plazo ele recuperación es un
criterio de l iquidez, y las inversiones líquidas no tienen por qué ser siempre las
más rentables.
Problema 3.9.3
Métodos estáticos. Plazo de recuperación
Un proyecto de i nversión ti ene un desembo lso inicial ele 2 .000 u .m. y genera anualmente un flujo de caja constante e igual a 500 u.m. ¿Cuánto vale su
pay -back?
RESOLUCIÓN
p =
2.000
500
= 4 años
Si cada año genera un flujo ele caja de 500 u.m. y su duración es igual o mayor que cuatro años, éste será el período al cabo del cual se recuperarán las
2.000 u.111 . invertidas. Obsérvese que el enunc iado del problema estaría completo si hiciese referencia a la duración ele la inversión , pues, si ésta fuera inferior a cuatro años, la inversión no se recuperaría nunca y no tendría pay-back .
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
301
Problema 3.9.4
Métodos estáticos. Métodos del flujo de caja total,
y medio anual, por unidad monetaria comprometida
¿ Cuál de los proyectos de inversión del problema 3 .9 .1 de esta parte es preferible según los criterios de comparación de réditos basados en la rentabilidad
total del proyecto y en una base anual (criterios de flujo de caja total, y anual,
por unidad monetaria comprometida)?
RESOLUCIÓN
Un criterio de comparación de réditos es el que trata de estimar la rentabilidad global del proyecto determinando el flujo de caja generado, por cada proyecto , por unidad monetaria invertida. Para el proyecto A se tendría:
+ 100 + 100
r; = 200 + 1.800
_
= 1,10 por uno = 110 por 100
2 000
y para el B:
400 + 1.000 + 600 + 12.000
r' = - - - -- -- - - -- - = 7 por uno = 700 por 100
B
2.000
Por consiguiente, según este método, es preferible el proyecto B. Este procedimiento tiene varios inconvenientes. En primer lugar, no tiene en cuenta el
momento en que se generan los distintos flujos de caja, y, así, suma, en el numerador, magnitudes que son heterogéneas entre sí. En segundo lugar, no calcula
una verdadera rentabilidad, pues , para ello, sería preciso que restara, en el numerador, la cantidad invertida; por ejemplo , si se invierten 100 u.m. y se obtiene, en contrapartida, 125, se diría que se ha obtenido una rentabilidad del 25 por
100, o del 0,25 por uno, que resulta de restar, de las 125, las 100 invertidas, y dividir el resultado entre el importe de la inversión ([125 - 100)/100 = 0 ,25 por
uno = 25 por 100). En tercer lugar, no va referido a una base temporal, lo que no
tiene sentido en economía, donde estamos acostumbrados a hablar de rentabilidades anuales , semestrales, trimestrales, etc. Para subsanar este último inconveniente y obtener un rédito anual, basta dividir los resultados del criterio anterior entre los años que duran las inversiones , obteniéndose:
200 + 1.800 + 100 + 100
2.000 X 4
r" = - -- - -- -- -- - - = 0,275 por uno anual = 27 ,50 por 100 anual
A
+ 600 + 12.000
r; = -400- -+ -1.000
- - - -- - - -- - = 1,75 por uno anual = 175 por 100 anual
2.000 X 4
302
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Este crileri o adolece de los mi smos inconvenientes que el anterior, sa l vo
que viene referido a una base anual. Sin embargo, como se verá en un próxi mo
problema , el procedim iento empl eado para tal referencia introduce importan tes inconven ientes.
Proble ma 3.9.5
Métodos estáticos. Métodos del flujo de caja total,
y medio anual, por unidad monetaria comprometida
Sean dos proyectos de in versión cuyos desem bo lsos inicia les y fluj os de
caj a, generados en los distintos años ele su duración , vienen recogidos en la tabla 3.6, en la que Q, representa el fluj o de caja del año 1(1 = 1, 2 , 3, 4).
A
2.000
B
TABLA 3.6
20
20
20
3.000
Se desea jerarquizarlos, por orden de preferencia , según los criteri os ele
comparación de réditos de fluj o ele caja total , y flujo ele caja anual. por unidad
monetaria comprometida.
RESOLUCIÓN
,.,, \ = 3 .000 + 20 + 20 + 20 = 1,53 por uno = 153 por 100
2.000
,.,/J = 20 + 20 + 20 + 3 .000
2.000
= 1,53 por uno = 153 por 100
3 .000 + 20 + 20 + 20
,': = - - - - - - - - = 0 ,3825 por uno anual = 38,25 por 100 anual
'
2.000 X 4
20 + 20 + 20 + 3 .000
r;; = - - - -_- - -X- - - - = 0,3825 por uno anual = 38,25 por 100 anual
2 000
4
Dacio que no tienen en cuenta el momento en que se generan los flujos, los
dos proyectos son indiferentes según ambos criterios. Sin embargo, cualq uier
persona preferiría el proyecto A - en el que la mayor parte del rluj o total se genera con anterioridad al B - al menos por dos moti vos:
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
303
a) Las 3.000 u.m. podrían ser colocadas a cierto tipo de interés desde el período uno, con lo que en el cuarto se tendrían tales unidades monetarias
más sus intereses acumulados.
b) La inflación conduce a preferir obtener los flujos de caja lo antes posible, pues, con el paso del tiempo, su valor real es menor.
Problema 3.9.6
Métodos estáticos. Métodos del flujo de caja total,
y medio anual, por unidad monetaria comprometida
Sean dos proyectos de inversión cuyos desembolsos iniciales y flujos
de caja, generados en los distintos años de sus duraciones, vienen recogidos en
la tabla 3.7, en la que Q, representa el flujo de caja del año t (t = 1, 2, 3, 4 ,
5, 6).
¿Cuál es preferible según el criterio de comparación de réditos del flujo neto
de caja medio anual por unidad monetaria comprometida?
•
TABLA3.7
,
'
A
2.000
1.000
1.400
1.600
B
2.000
1.000
1.400
1.600
0,5
0,5
0,5
RESOLUCIÓN
1.000 + 1 .400 + 1.600
r" - - - -- - - - - - = 0,667 por uno anual = 66,67 por 100 anual
A 2.000 X 3
ll _
1.000 + 1.400 + 1.600 + 0,5 + 0,5 + 0 ,5
r8 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = 0,3335 por uno anual
2.000 X 6
= 33,35 por 100 anual
Conforme a este criterio, es preferible el proyecto A. Sin embargo, como es
obvio, ambos son prácticamente equivalentes y, en cualquier caso, es preferible el segundo, el cual genera los mismos flujos que el primero los tres primeros años y continúa generando flujos los tres siguientes, por pequeños que
sean estos últimos.
Este criterio siempre conduce a preferir las inversiones de corta duración y
penaliza a aquellas que tienen una vida más prolongada.
304
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 3.9.7
Métodos estáticos. Comparación de costes
U na empresa fabricante de productos deportivos piensa introducir un nuevo modelo de raqueta ele teni s fabri cada con material es pl ásticos ultra l igero s.
Para ello puede uti l izar cualqu iera ele los dos proced imientos de fabricación cuyas caracter ísticas más releva ntes se recogen en la tabla 3.8.
TABLA 3.8
Invertir en factoría tipo A
1.000.000 u.m.
2.000 u.m.
Invertir en factoría tipo B
250.000 u.m.
2 500 u.m.
Como puede observarse, la factoría tipo A tiene mayor tamaño y, por consiguiente , sus cos tes fijos, o cargas de estructura, son más elevados que los de
la tipo B , cuya dimensión es más red ucida. Sin embargo, la factoría grande fabrica los prod uctos con menores requerim ientos de cos tes variables que la pequeña. ¿Qué inversión reco mendaría usted a esta empresa?
RESOLUCIÓN
Supuesto que el vo l umen anual de fabri cación y venta de raquetas fuera V,
los costes totales ser ían , en caso de i nvertir en la fábrica grande:
C 7¡ 1 = J .000.000 + 2.000 · V
y si lo hiciera en la pequeña:
Cn1 = 250.000 + 2.500 · V
Sigui endo el cri terio de comparación de costes, se observa que los ele ambas i nversiones coinciden para aquel vo lu men de ventas, X , para el cual :
1.000.000 + 2.000X = 250 .000 + 2.500X
de do nde se deduce que:
750.000
X = - -- - = 1.500 raquetas
500
Si el volumen anual de fabri cación y ventas que espera esta empresa es inferior a 1.500 raquetas, habrá de in vertir en una fábrica pequeña. Si , por el contrario , la demanda esperada supera esta cantidad , es preferi ble aprovechar las
ventajas de la fá brica A , que ti ene unos costes variables más bajos, dacio que,
aunque sus costes fijos son elevados, al reparti rse entre gran número de uni dades , comporta un coste total un itario más peq ueño que el de la fábr ica pe-
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
305
queña. En la tabla 3 .9 se recogen los resultados obtenidos para distintos supuestos en cuanto al volumen anual de fabricación y ventas .
TABLA 3.9
Problema 3.9.8
1.000
3.000.000
3.000
2.750.000
2.750
1.250
3.500.000
2.800
3.375.000
2.700
1,500
4.000.000
2.666,67
4.000.000
2.666,67
1.750
4.500.000
2.571,43
4.625,000
2.642,86
2.000
5.000.000
2.500
5.250.000
2.625
Métodos estáticos. Comparación de costes
Una empresa fabricante de productos de arcilla va a instalar una planta industrial en una zona geográfica en la que no operaba anteriormente y en la que,
según los estudios mercadotécnicos realizados, podrá vender anualmente
10.000 unidades físicas (u.f.) de ladrillo tipo A, 15.000 u.f. de ladrillo tipo By
5.000 u.f. de tejas. Las tres posibilidades de inversión existentes , así como los
costes fijos y variables que requieren, se recogen en la tabla 3 .1 O.
TABLA 3.10
Planta grande (G)
10.000.000 u.m .
1.000 u.m.
750 u.m .
1.100u.m.
Planta mediana (M)
7 .000.000 u.m.
1.050 u.m.
800 u.m.
1.150 u.m.
Planta pequeña (P)
5.000.000 u.m.
1.200 u.m.
850 u.m.
1.200 u.m.
¿Qué alternativa es preferible según el método de comparación de costes?
RESOLUCIÓN
Para tales volúmenes de ventas, los costes totales de cada una de las posibilidades son:
CTG = 10.000.000 + 10.000 X 1.000 + 15 .000 X 750 + 5.000 X 1.100 =
= 36.750.000 u.m. anuales
306
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
C,,11 = 7 .000 .000 + 10 .000 X 1.050 + 15.000 X 800 + 5.000 X 1.1 50 =
= 35.250.000 u.m. anua les
Cn, = 5.000.000 + 10 .000 X 1.200 + 15.000 X 850 + 5.000 X 1.200 =
= 35.750.000 u.111 . anua les
L a alternati va preferibl e es, por consiguiente, la inversión en planta mediana, a la que le corresponden los cos tes to tales más bajos.
Problema 3.9.9
Métodos estáticos. Comparació n de costes
La empresa del problema anteri or tiene cer teza en relación a las ventas
anuales ele lacl rill os, pero, en c uanto a la ele tejas, ex iste algun a incertidumbre,
dacio que sus ventas dependen del esti lo ele la constru cción que se vaya a realizar en la zona. ¿Para qué volúmenes ele ventas ele tejas se alterar ía la decisión
ele in versió n a la que se l legó anteriormente?
RESOLUCIÓN
El volumen de ventas ele tejas para el c ual resulta indiferente invertir en la
planta mediana o en la grande será el valo r ele V, que cumple:
c Tc
= 10.000.000 + 10.000 x 1.000 + J5.ooo x 750 + v x 1.100 =
1
= 7.000 .000 + 10.000 x 1.050 + J5.ooo x 800 + v 1 x 1.150 = cT¡\f
Es deci r:
CTG
= 31.250.000 + vi X I .JOO = 29.500.000 + \/1 X 1.150 = en,
de donde se deduce que:
V1 = 35.000 u.f. anuales
Para este vo lumen ele ventas, CTG = CT,11 = 69.750 .000.
Para un volumen superior , puede comprobarse que es preferible invertir en
la planta grande. Para ventas i n fer iores es preferible la mediana.
De forma semej ante , el vo lumen ele ventas de teja s para el cual resulta indiferente in ver tir en planta pequeña o en mediana será el V2 , que c umple:
C-,.,11 = 7 .000.000 + 10.000 X 1.050 + 15 .000 X 800 + \/2 X 1.1 50 =
= 5.000.000 + 10.000 X 1.200 + 15 .000 X 850 + V2 X 1.200 = C-,-1,
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
307
o, lo que es lo mismo,
e™ = 29.500.000 + v2 x 1.150 = 29.750.000 + v2 x 1.200
de donde se deduce que:
V 2 = -5.000
Sólo si las ventas fueran negativas, lo cual es económicamente imposible ,
podría llegar a ser preferible la inversión en planta pequeña. Para cualquier posible volumen de ventas, los costes más bajos corresponden a la planta mediana
hasta 35.000 u.f. anuales; a partir de ese nivel, que resulta sustancialmente elevado, en relación a las 5 .000 u .f. asignadas por la empresa, sería preferible la
inversión en una planta grande.
Problema 3.9.10
La relación entre el plazo de recuperación simple y los
criterios VAN y TIR cuando los flujos de caja son
constantes y la duración de la inversión es ilimitada
Una inversión genera ad infinitum un flujo de caja anual constante de 100
u.m. y su rentabilidad requerida es el 10 por 100 anual. ¿Qué VAN mínimo ha
de exigírsele para que sea congruente con la exigencia de que su plazo de recuperación simple no sobrepase los 5 años?
RESOLUCIÓN
Cuando los flujos de caja son constantes (iguales a Q) y la duración de la inversión es mayor que el propio plazo de recuperación simple, éste es igual al
cociente entre el desembolso inicial y el flujo de caja constante:
A
P =Q
Por consiguiente, en tal caso:
A= Q·P
A
Q= ----¡;
Por otra parte, cuando el flujo de caja es constante y la inversión dura indefinidamente,
Q
VAN = - A+ k
Q
r =A
308
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Si la duración ele la inversión tiende a infin ito, y el desembolso inicial se recupera en algún momento, tal du ración será superior a su plazo de recuperación
y, en tal caso , siendo el flujo de caja constante, podrá escr ibirse:
VAN = - A+ _ A_=
P ·k
A(- 1- - 1)
P·k
o bien:
y también:
r =-
p
En este caso, li mitar P a un máximo ele cinco años equivale a ex igir un VAN
mín imo ele 500 u.m.:
VAN =
Problema 3.9. 11
Q(~ - = 100(-0 ,101- - 5) = 500
k
P)
u.m
La relación entre el plazo de recuperación simple y los
criterios VAN y TIR cuando los flujos de caja son
constantes y la duración de la inversión es ilimitada
Una inversión tiene flujos ele caja anuales constantes y una duraci ón i limitada. Si el único requisito que se le ex ige es que tenga una rentabi lidad anual
mínima del 20 por 100, ¿qué plazo ele recuperación máx imo se le está exi giendo?
RESOLUCIÓN
Si la rentabi l idad anual míni ma requerida es del 20 por 100, el plazo de recuperación máx imo adm itido será de 5 años:
l
0 ,20 =p1
P = - - = 5 años
0 ,20
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
309
Problema 3.9.12
La relación entre el plazo de recuperación simple y los
criterios VAN y TIR cuando los flujos de caja son
constantes y la duración de la inversión es ilimitada
Una inversión genera ad infinitum un flujo de caja anual constante de 200
u.m. y su rentabilidad requerida es el 5 por 100 anual. ¿Qué VAN núnimo ha de
exigírsele para que sea congruente con la exigencia de que su plazo de recuperación simple no sobrepase los 4 años?
RESOLUCIÓN
En este caso:
VAN=
Problema 3.9.13
1
Q(_!_k - p) = 200(-0 ,05
- - 4) = 3.200 u.m
Plazo de recuperación con descuento
Se desea conocer el plazo de recuperación con descuento de una inversión
que requiere un desembolso inicial de 5.000 u .m. y que genera unos flujos de
caja de 1.100 u.m. el primer año , 2.420 el segundo, 2.662 el tercero y 3.600 el
cuarto y último de su duración. La rentabilidad requerida de esta inversión es
el 10 por 100 anual.
RESOLUCIÓN
El valor actual de las 1.100 u.m. que genera la inversión el primer año es
1.000 u.m.:
1.100
- -- = 1.000 u.m.
1,1
Por tanto , al final del primer año se habrán recuperado, en términos actuales, 1.000 u.m. de las 5.000 u.m . invertidas. Del mismo modo, se deduce que,
al final del segundo , se recuperarán otras 2.000 u.m.:
2.420
- - - = 2.000 u.m.
1,l2
y que, al final del tercero , se recuperarán 2.000 u.m. más:
2.662
- - - == 2.000 u.m.
1,P
310
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Por consiguiente, al cabo de tres años se habrá recuperado el desembolso
inicial . Dicho de otro modo, el plazo de recuperación con descuento de esta inversión es de tres años .
Problema 3.9.14
Índice de rentabilidad
Una in versión que requiere un desembo lso inicial ele 200 u.m . dura dos
años, en el primero de los cuales genera un cobro ele 300 u.m ., siendo igual a
400 el que produce en el segundo. Además, precisa la realización de un pago de
100 u.m. el primer año, y otro de 200 el segundo. La rentabilidad requeri da de
esta inversión es el 12 por J 00 anual , y se desea saber si es reali zab le de
acuerd o con el cri terio de índ ice ele ren tabilidad.
RESOLUCIÓN
El denominado «índice ele rentabi l idad» es el coc iente entre el valor actual
ele los cobros y el va lor actu al ele los pagos, incluyendo en tre estos últimos el
desembo lso inicial. Por ej emplo , en este caso, se o btendría el siguiente valor
actual de l os cobros:
VAC = -
300
400
1, 12
1, 12
- + - -2 = 586,73 u.m.
y el siguiente valor actual de los pagos:
100
200
VAP = 200 + - - + - - = 448,72 u.m.
l ,J 21
1,12
Por consiguiente, el índice de rentabilidad , IR , va le 1,30:
VAC
586,73
IR = - - = - - - = 1 30
VAP
448,72
'
Congruentemente con el criteri o del VAN, según el IR una inversión es efectuable cuando el valor actual de los cobros es superi or al valor actual de los pagos, es dec ir, cuando el IR es superi o r a la unidad. Por consiguiente, esta inversión es efectuable.
Problema 3.9.15
Índice de rentabilidad
U na inversión que requiere un desembol so inicial de 400 u.111. dura dos años
y genera unos cobros ele 600 u .rn. el primer año y 800 el segundo. El primer año
requiere un pago ele 200 u.m. y el segundo otro de 400 u.m. ¿Cuánto vale el índice
ele rentabi I idacl ele esta inversión si su rentabi I iclacl req uerida es el 12% anual ?
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
311
RESOLUCIÓN
El índice de rentabilidad es el cociente entre el valor actual de los cobros y el
valor actual de los pagos, incluyendo entre estos últimos el desembolso inicial.
IR= VAC
VAP
En este caso:
600
800
VAC = - - + - - = 1.173,47
1,12
1,122
200
400
VAP = 400 + - - + - - = 897,45
1,12
1,122
IR = 1.173 ,47
897,45
= l ,3
Dado que el índice es superior a la unidad, la inversión es efectuable.
Problema 3.9. 16
Tasa de valor actual
Cierto proyecto de inversión requiere un desembolso inicial de 10.000
u.m. y genera los siguientes fluj os de caja:
Primer año:
Segundo año:
Tercer año:
Cuarto año:
Quinto año:
5.000 u.m.
6.000 u.m.
6.000 u.m.
8.000 u.m.
8.000 u.m .
En ausencia de inflación la rentabilidad requerida sería del 5 por 100,
pero existe una tasa de crecimiento medio de los precios del 8 por 100 anual
acumulativo. ¿Cuánto vale la tasa de valor actual de esta inversión?
RESOLUCIÓN
Tipo de descuento considerada la inflación =
= 0 ,05 + 0,08 + 0,05 X 0,08 = 0 ,134 por uno
5.000
6.000
6.000
8.000
8.000
VAN= - 10.000+ - - + - - + - - + - - + - 2
3
4
1,134
1,134
1,134
1,134
1,1345
= 12.293,14 u.m.
312
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
El va lor ac tual neto de esta in versión representa un 122,93 po r 100 sobre su
desembolso i nicial :
VAN
Tasa de valor actual = T = - - --Desem bolso inic ial
12.293, 14
10 .000
=
1,2293 por uno = 122,93 por 100
Problema 3.9.17
VAN y tasa de valor actual
Se desea j erarqui zar , por o rden de preferencia, según los cri teri os del VAN
y ele la l asa ele valor actual , los proyectos de in versió n cuyos desembolsos inic iales y flujos ele caja, generados en los d istintos años ele su durac ión , v ienen
recogidos en la tabl a 3. J 1.
La rentabilidad requer ida es la mi sma para todos los proyectos y, teniendo
ya en cuenta la tasa de inflació n, es del 10 por 100. ¿Qué proyectos habría de
efectuar un inversor que dispone de 40.000 u.m. para realizar in versiones si éstas no se pueden repetir (ning una puede ser realizada vari as veces)?
A
B
e
3.000
3.000
4.000
D
2.000
2.000
15.000
E
2.000
3.000
5.000
5.000
5.000
14.000
F
4.000
4.000
4.500
4.500
4.500
15.000
4.000
4.000
12.000
13.000
TABLA 3.11
RESOLUCIÓN
Denominando T a la tasa de val or actual :
2.000
2.000
3 .500
3.500
3.500
VANA = - 10.000 + - - + -+ - - + - - + -- =
4
1,1
1,12
l ,J3
1,1
1,15
= 664,45 u.m .
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
313
TA =
664
10.000
= 0 ,0664 por uno
VANB = -11.000 +
= 692,07 u.m.
TB =
692,07
11.000
= 1.427,61 u .m.
1.427,61
12.000
1.740,79
13 .000
= 573,77 u.m.
573,77
14.000
= 1.190,77 u.m.
1.190,77
15.000
4.000
1,13
+
4.000
4.000
+
=
1,1 4
l ,l5
3.000
1,1
+
3.000
1,l2
+
4.000
+
4.000
4.000
+
=
4
1,1
1,l5
1,P
2.000
1,1
+
2 .000
1,l2
+
15.000
1,P
= 1.740,79 u.m.
2.000
1,1
+
3.000
1,l2
+
5.000
1,P
+
5 .000
5.000
+
=
1.14
1,1 5
= 0 ,0410 por uno
VANF = -15.000 +
TF =
l ,l2
+
= 0 ,1339 por uno
VANE = - 14.000 +
TE =
2.000
= O, 1190 por uno
VAND = - 13.000 +
TD =
1,1
+
= O,0629 por uno
VANC = - 12.000 +
Te =
2.000
4.000
1,1
+
4.000
l ,l2
+
4.500
1,P
+
4.500
1,1
4
+
4.500
1,l5
=
= O,0794 por uno
Las relaciones, por orden de preferencia, se establecerán ordenando los proyectos de mayor a menor VAN y T , como se indica e n la tabla 3 .12.
314
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
TABLA3.12
D
D
2
e
e
3
F
F
4
B
A
5
A
B
6
E
E
Segú n cualquiera de los dos criterios, el in versor que di spone de 40.000
u.m. habría de efectuar las inversiones O (dedicándole 13 .000 u.m.), C ( 12 .000
u .m .) y F ( 15 .000 u .m .) . La suma ele los desembol sos iniciales ele estas tres in versiones preferibl es coinc ide con el capital del inversor .
l O.
La utilidad de los criterios e instrume ntos de
decisión en las decisiones financieras
Problema 3.10.1
Programación de inversiones
Don Nicanor E smez Salabastre es propieta rio ele un terreno de 650 unidades ele superficie ( u.s.) en el que puede construir pistas de tenis, pi stas ele baloncesto o varias pistas de tenis y varias ele baloncesto. Cada pista, ele cualquier
tipo que sea, requiere 70 u.s. Además, la construcción ele una pi sta de teni s requiere pagar 500.000 u.m. el primer año y 700.000 el segundo , en tanto que
para la construcc ión de una p ista ele balo ncesto son prec isos unos pagos ele
750.000 u.m. el pri mer año y 350.000 el segundo . A partir del tercer año, ambas in versiones comenzarían a generar flujos netos de caja positi vos, de manera
que el VAN ele la in versión en una pista de tenis, calculado actualizando dichos
flujos y los desembolsos requer idos en los dos primeros años , es ele 400.000
u.111. , siendo ele 250.000 u.m. el VAN ele la in versión en una pi sta ele balonces to , ca lcu lado ele la misma forma. El total ele fondos que puede aportar don
N ica nor es ele 3.000.000 de u.m. el primer año y 2.800.000 el segundo. Se desea plantear el programa lineal que permite determinar el número ele pistas que
ha de construir el señor Esmez, de cada tipo , ele manera q ue el VAN del conjunto de todas ell as sea máximo.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANC IERO
315
RESOLUCIÓN
a) Denominando x, al número de pistas de tenis construidas y xb a las pistas de baloncesto instaladas, la función a maximizar será (trabajando
siempre en decenas de miles de u.m.):
Z = 40x, + 25xb
pues, si a una pista de tenis le corresponden 400 .000 u .m. de VAN, a x, pistas le
corresponderán 400.000x,. Otro tanto ocurre con las pistas de baloncesto , y el
VAN total será el resultado de sumar el VAN correspondiente ax, pistas de tenis y el que corresponde a xb pistas de baloncesto.
Las limitaciones son:
1. Limitación física de disponibilidades de terreno. Si cada pista de tenis requiere 70 u .s., x, pistas requerirán 70x,. Otro tanto ocurre con las xb pistas debaloncesto , que requerirán 70xb u .s. El total no puede superar las 650 u .s. disponibles:
70x, + 70xb $ 650
2. Limitaciones financieras de fondos disponibles para los años primero y
segundo. Cada pista de tenis requiere 50 decenas de miles de u.m. el primer año
y, por tanto , las x, pistas requerirán 50x,. En cuanto a las pistas de baloncesto,
requerirán 75xb decenas de miles de u.m. Dado que en ese año sólo se dispone
de 300 decenas de miles , se tiene que:
50x, + 75xb $ 300
De forma semejante, para el segundo año la limitación sería:
70x, + 35xb $ 280
3. Restricciones de no negatividad. El número de pistas construidas no puede ser negativo:
x,~ o
Xb ~
0
El programa lineal es, por consiguiente :
max.:
316
Z = 40x, + 25xb
70x, + 70xb $ 650
50x, + 75xb $ 300
70x, + 35xb $ 280
x,,xb~ O
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
(1 )
(2)
(3)
(4)
Problema 3. 10.2
Programación de inversiones
En cuanto al caso del prob lema anterior, se desea representar gráfi ca mente el problema e identificar las combinac iones ele in versión factibles, así como
determinar el número óptimo ele pi stas que han ele construirse de cada tipo.
RESOLUCIÓN
La restricc ión (3) es más limitati va que la ( 1) (s i la tercera se c umple ha ele
c umplirse la primera). por lo que esta última puede eliminarse , quedando las
dos siguientes:
50.r, + 7 5x1, :5 300 70x, + 35..rb :5 280 -
x, :5 6 - 1,5x1,
x, :5 4 - 0 ,5xb
(5)
(6)
En la fi gura se han representado las rectas:
x, = 6 - 1,5xi,
y
x, = 4 - O,5xb
D ado que x, ha de encontrarse en esas líneas o debajo de ellas (ex presiones
(5) y (6)) y que, además, tanto x, como x1,, han de ser no negativos, la región de
soluciones posibles es el área limitada por los segmentos que unen los puntos
(O, O), (O, 4), (2, 3) y (4, 0).
La recta I recoge todas las combinaciones de x, y xb que generan un valor
actual neto igua l a 200. Pero, dado que ninguno de sus puntos se encuentra en
la región de soluc iones factibles , obviamente no es pos ible alcanzar tal VAN.
D e forma semej ante, cada punto de la recta II, que es paralela a la anterior, corresponde a una combinac ión de x, y xb que proporciona un VAN igual a 140 .
L as rectas paralelas a las anteriores situadas entre ellas proporcionan VAN comprendidos entre 140 y 200. E l máximo VAN que puede conseguirse es el que
corresponde a la recta que pasa por el punto (2, 3), el cual pertenece a la región
de soluciones factib les.
Para x, = 3 y xb = 2 se obtiene un VAN igual a
40 · 3 + 25 · 2 = 170 decenas de miles de u.m .
RENTABILIDAD Y C OSTE FINANCIERO
317
X,
6
5
4
3
2
FIGURA 3.9
2
3
4
5
5,6
6
7
8
Por consiguiente, la solución óptima es construir tres pistas de tenis y dos
de baloncesto. Cualquier otro punto de la región de soluciones factibles se encontrará en una paralela a III situada por debajo de ésta, y le corresponderá, por
tanto, un VAN total inferior.
Problema 3.10.3
Programación de inversiones
En cuanto al caso planteado en los problemas anteriores, se desea:
a) Determinar el terreno sobrante y los fondos restantes no empleados, en
los dos primeros años.
b) Calcular el VAN de la combinación de inversiones óptima.
318
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
a) El terreno total empl eado será:
70 · 3 + 70 · 2 = 350 U.S.
Sobran , por consiguiente, 300 u.s.:
650 - 350 = 300
Los fondos empicados en el primer año senín:
50 · 3 + 75 · 2 = 300 decenas ele miles ele u .m.
Po r cons igu iente, se empl ean tocios los fondos d isponibles ese año. En
cuanto al segundo, se utili zan también los 280 di sponibl es y no sobra nada:
70 · 3 + 35 · 2 = 280 decenas ele miles ele u.m .
b) Como se observó anteri o rmente, el VAN total ele la combinación ele inversiones óptima es 170 decenas de miles ele u.m.:
40 · 3 + 25 · 2 = l 70clecenascle miles cle u.m .
Problema 3.10.4
Planificación financiera
Se constituye una empresa para real izar dos in versiones que duran tres años
y que tienen l as caracter ísticas que se refl ejan en la tabla.
TABLA3.13
Actual (O)
Dentro de 1 año (1)
Dentro de 2 años (2)
Dentro de 3 años (3)
10
7
7
17
12
24
40
9
35
30
Los accionistas estarían di spuestos a aportar 260 unid ades en el mo mento
O, 120 en el I y nada en los sig uientes. Al com ienzo de cada año l a empresa
puede obtener fondos endeudándose al 30 por 100 ele interés an ual , que ha de
devol ver, con sus intereses, al fin al del año , pero la deuda máx ima que se desea mantener es ele 100 u.m . A demás, al princ ipio ele cada año prestará sus excedentes de caja al I O por 100 y las cantidades prestadas, j unto con sus intereses, le serán devueltas al fin al del año en que las prestó.
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
319
Plantee el modelo lineal que maximiza la riqueza de la empresa al final del
tercer año y permite determinar los valores óptimos de:
1. Los niveles de realización de los dos proyectos de inversión, los cuales
se pueden realizar fraccionadamente y una o varias veces, pero sólo en
el momento actual.
2 . La cuantía de préstamo y endeudamiento en el momento actual, dentro
de un año y dentro de dos.
RESOLUCIÓN
En cada momento , las salidas de caja (tanto las requeridas por las inversiones como los pagos para la realización de préstamos y para devolver deudas)
igualarán a las entradas de caja (que incluyen los provenientes de las inversiones, las aportaciones de los accionistas , los cobros de los préstamos concedidos en el momento anterior y los fondos obtenidos mediante endeudamiento). Si algún fondo sobra , se presta.
Denominando:
D , = Volumen de fondos obtenidos por la empresa mediante endeudamiento en
el momento t (entrada de caja del momento t).
D, + 0,3D, = 1,3D, = Volumen que la empresa habrá de devolver en el mo-
mento t + 1 (principal de la deuda más 30 por 100 de interés) (salida de
caja del periodo t + 1) .
P, = Volumen de fondos entregados por la empresa como préstamo en el
momento t (salida de caja del momento t).
P, + 0 ,10P, = l ,lP, = Volumen de fondos que a la empresa le serán devueltos
en el momento t + 1 (principal del préstamo más 10 por 100 de intereses)
(entrada de caja del momento t + 1).
Si la empresa realizara la inversión 1 una vez, en el momento O habría de
pagar 10 u .m. Pero si la realiza x, veces (x, puede ser un número fraccionario
o entero), el pago preciso será de 10 x, u.m. Otro tanto ocurre con la inversión
2-que, si se realiza x2 veces, precisará un pago de 7x2 u.m. en el momento O y
l 7x2 dentro de un año- y con los cobros. Así pues, en el momento actual se tendría que:
10x1 + 7x2 + P0 = 260 + D0
(pagos)
(cobros)
De forma semejante , dentro de un año (momento 1):
320
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
y en el momento 2 (dentro de dos años) :
(pagos)
(cobros)
01 ras restriccio nes son I as cleri vaclas ele la I i 111 ilación del cncleudam ienlo:
ºº
::s 100
DI ::s 100
0 2 ::s 100
y las ele no negati vidad:
A grupando las vari ables a la izq uierda ele las ecuac iones e inecuaciones se
obtiene el modelo deseado:
max .: 40x 1 + 30.r2 + l ,ll\ - 1,3 0 2
1Ox, + 7.r2 + P0 - D0 = 260
-Sx 1 + 8x2 - l ,IP0 + 1,3D0 + P 1 - 0 1 = 120
- 24.r 1 - 35x2 - l,IP 1 + 1,3 D 1+ P2 - D2 = O
Do+ D'.ol' = JOO
D I+ o:::= 100
D2 + D1' = 100
x i, X2· Po, p i, Pl , º º' DI, D2, a¡;, o•:=, DI 2': 0
o-i,
o;
donde
0-¡' y
son las capacidades de endeudamiento no utilizadas en los
momentos O, 1 y 2, respecti vamente (O'/' = 100 - O¡).
RENTABILIDAD Y COSTE FINANCIERO
321
Riesgo y valoración
de empresas
El apalancamiento y el punto muerto
Endeudamiento y rentabilidad
El presupuesto de tesorería
Valoración de empresas
4
l.
El apalancamiento y el punto muerto
Problema 4.1. 1
El apalancamiento y el punto muerto
Se acaba de crear la empresa Compuned, S. A., para fa bricar c ierto componente neumático de uso industrial. Para constituir la empresa se abonaron
1.000.000 u.m. en concepto de gastos de notaría, registro mercantil , etc., que se
amorti zarán en diez años. Este mismo es el plazo de amorti zación de lamaqu inaria y de los locales industriales de la empresa, por los que se abonaron
5.000.000 de u.m. Junto a estos gastos de amortización, que se ef ectúa linealmente, existen otros costes fijos de producción y di stribución que importan
1.400.000 de u.m . anuales. Además, la fa bricación y di stribución de cada
componente requ iere un coste variable de 10.000 u .m . Esta empresa tiene,junto a los acti vos mencionados anteriormente, un activo circulante que importa
2.000 .000 de u.m . Compuned, S. A ., se fin ancia en un 50 por 100 con recursos
propios y en el otro 50 por 100 con recursos aj enos, a los que abona un interés
anual del 12 por JOO. Si el precio de cada componente que vende es de 20.000
u .m. , se desea conocer:
a) E l punto muerto , punto de eq uilibrio o umbral de rentabilidad de esta
empresa.
b) Su coe fic iente de apalancamiento operati vo si vende 500 co mponentes
al año.
e) Su coefi ciente de apalancarniento financiero para ese volumen de ventas.
d) Su coe fi c iente de apalanca miento combinado , o total , para ese mismo
volumen de ventas.
RESOLUCIÓN
a) El punto muerto es el ni vel de producción y ventas para el cual el beneficio va le cero. Hasta este ni vel , la empresa obtiene pérdidas y, a partir de él ,
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
325
comienza a generar beneficios. Generalmente, el beneficio a que hace referencia el punto muerto es el beneficio económico , es decir, el beneficio generado por los activos , antes de deducir los intereses de las deudas y el Impuesto sobre la Renta de Sociedades.
Siendo p el precio de venta, Vel número de unidades físicas vendidas, C" el
coste variable unitario y C¡ el importe de los costes fijos no financieros, el beneficio económico, BE (también denominado BAIT, o beneficio antes de intereses y tasas impositivas) , será:
BE = pV- e,.V -
eJ = (p - e,.)V - eJ
(1)
Por consiguiente, el punto muerto será el número de unidades físicas vendidas , X , para el cual:
Es decir:
X = --C~'p - C,.
(2)
En este caso, los costes fijos son los siguientes:
Amortización de gastos de constitución ( 1.000.000 de u.m. en diez años):
100 .000 u .m. anuales
Amortización de maquinaria y locales (5 .000.000 de u.m. en diez años) :
500.000 u.m. anuales
Otros gastos fijos:
1.400.000 u.m. anuales
Coste fijo anual total = 100.000 + 500.000 + 1.400.000 = 2.000.000 de u.m.
Por tanto:
2.000.000
X = - - - - - - = 200 u.f.
20 .000 - 1O.000
b) El apalancamiento operativo se mide por el cociente entre el tanto por
uno de modificación del beneficio económico y el tanto por uno de variación de
las ventas que da lugar a dicha modificación del beneficio. Si, inicialmente, las
unidades físicas producidas y vendidas son V, el beneficio económico es BE y,
al mortificarse las ventas en una cuantía igual a ti V, el beneficio económico se
altera en t1BE, el apalancamiento operativo valdrá:
tiBEIBE
t1BE
V
tiV/V
tiV
BE
Ao= - - - - = - - - -
(3)
Cuando las alteraciones son infin itesimales, las variaciones finitas han de
326
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
sustituirse por dil'erencialcs:
e/BE \/
d\/ BE
A =----
º
En la ecuación ( 1) puede comprobarse que la dcri vada del beneficio respecto a las venias va le:
dBE
--= p - C
d\/
,.
Por consiguiente:
(p - C..)\/
\/
Ao = (p - C..) BE =
(p -
(4)
C..)\/ - C1
Dado que los cos tes fij os no pueden ser negati vos, es obvio que:
b.BEIBE
b.BE
b. \/
b. \//\/
BE
\/
----~ 1 ~ --~--
(5)
Una mod ificac ión de las ventas provocará una mod ificación del benefic io
ele proporción no in ferior y su incidencia será tanto mayor cuanto mayores sean
los costes fijos.
En este caso:
(20.000 - 10.000)500
Ao = - - - - - - - - - - - - - (20.000 - 10.000)500 - 2.000.000
1,66
e) El apalancamiento fin anc iero e la incidencia que tiene l a variación de l
ebit , o benefi cio económico, sobre el benefi cio financiero o neto que resta después de deducir las cargas financ ieras, pero antes de deducir los impuestos, BN.
Si inicialmente el beneficio financ iero es BN y, al alterarse el benefi cio económi co en una cuantía igual a D.BE, aquél se modifica en b.BN u.m., el apalancam iento fina nciero se medirá por el coefi ciente:
A =----
BNIBN
b.BEIBE
- - · --
b.BN
BE
!
b.BE
BN
(6)
y, si las va riaciones son infinites i males:
dBN
dBE
A =-- · 1
BE
BN
Pero siendo F los intereses de las deudas:
BN = BE - F
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
327
Por consiguiente:
dBN
--= 1
dBE
y, en definitiva,
A = _BE
_ = __
(p_-_ C~) _V_-_C~' f
BN
(p - C.)V - C1 - F
(7)
Dado que F ~ O, es obvio que:
A ~ l
fl.BN/BN
⇒ ----~ l
A.BE/BE
¡
fl.BN
!:::.BE
BN
BE
⇒ --~--
Una proporción de variación del beneficio económico genera una variación
del beneficio neto de proporción mayor o igual que aquélla y tanto mayor cuanto mayores sean los gastos financieros .
Obsérvese que el valor de A1 es el mismo si se mide la incidencia de las variaciones del beneficio económico sobre el beneficio líquido, BL, resultante de
descontar los impuestos del beneficio neto. En efecto, en tal caso , siendo t el
tipo de gravamen:
!:::.BLIBL
!:::.BL BE
A= - - - = - - - ¡
!:::.BE/BE
!:::.BE BL
donde BL = BN(l - t) = (BE - F)(l - t). Y tomando variaciones infinitesimales:
dBL BE
BE
BE
A¡= dBE BL = (l - t) BN(I - t) = BN
que coincide con el resultado de la expresión (7).
En este caso , los activos de la empresa importan:
Activo fijo
Gastos de constitución
Maquinaria y locales
Activo circulante
Total
1 .000 .000 u .m.
5.000.000 U.ID.
2.000.000 u .m.
8.000.000 u.m.
Estos 8.000.000 de u.ID. se encuentran financiadas al 50 por 100 por capitales propios (4.000 .000 de u.m.) y ajenos (4.000 .000 de u.m.) y el coste de estos últimos es el 12 por 100 anual , es decir:
F = 0,12 · 4.000.000 = 480.000 u.m.
328
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Por tanto:
A1 =
(20 .000 -
10.000)500 - 2.000.000
(20 .000 - 10 .000)500 - 2.000 .000 - 480 .000
= 1,19
e/) A l modifica rse las ventas, se produce una vari ac ión del benefi c io generado por los acti vos, BE, y al modi f icarse este último se altera el benefi cio financiero ele la empresa ( fi gura 4. 1). El apalancamiento total mide la incidencia
de las vari aciones de las ventas sobre el benefi cio neto de intereses, por el coefi ciente:
A =
(
t::.BNIBN
t::.V/ V
ilBN
FIGURA 4.1
Como se deduce de esta ex pres ión y de las expresiones del apalancamiento operati vo y del apalancamiento finan ciero (3) y (6), es ev idente que:
A,= A 0 A1
Es decir :
(p - e ,) V
A =
'
'
(p - C..) V - C1
(p - C,.) V (p -
e,-
(p - C..) V
C..) V - C1 - F
(j'J -
e ,.)V - ef - F
D ado que C 2:: O y F 2='. O, es obvio que:
1
t::.BNI BN
t::.BN
t::. V
----2:: 1 => - - 2 : : - 6. \/IV
BN
V
L a ex istencia de costes fijos (fi nancieros y no fin anc ieros) ampl ifica la incidencia de la coyuntura de las ventas sobre el beneficio fi nanciero que restan,
para los accionistas. L a ex istenc ia ele altos coefi cientes de apal ancamiento (es
decir, la ex istenc ia de elevados costes fijos) es favorabl e cuando lo es la evolución de las ventas, pues, si éstas se elevan, los beneficios subirán en un a proporción tanto mayor cuanto mayores sean estos coeficientes. Sin embargo, si las
ventas se reducen, la reducción de los benefic ios será también tanto mayor , proporcionalmente, cuanto mayores sean los coeficientes ele apalancamiento. De ahí
que estos coe fi cientes permitan una medida del riesgo empresarial.
L os cos tes fij os no fi nancieros suelen crecer con el tamaño de la empresa
(entre ellos se encuentran las am orti zaciones). T ambién se les denomina «cargas de estructu ra». L os costes fin ancieros, por su parte, dependen, como es obvio, del endeudamiento de la empresa y de los tipos de interés.
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
329
En el presente caso:
A =
(20 .000 - 10.000)500
'
(20.000 - 10.000)500 - 2.000.000 - 480.000
Problema 4. 1.2
= l ,98
El punto muerto
El producto de una empresa tiene unos costes fijos anuales de 100 u.m. y un
coste variable unitario de 10 u.m . Si el precio unitario de venta es de 6 u.m.,
¿cuánto vale su punto muerto?
RESOLUCIÓN
Si el coste variable unitario es superior al precio de venta, el margen bruto
unitario es negativo. Con cada unidad vendida se pierden 10 u.m.:
p - c., = 6 - 1O = - 4 u .m.
Por consiguiente, los costes fijos no se recuperan nunca o, lo que es lo mismo , el punto muerto no existe. Cuanto más se vende, más pérdidas se tiene n.
No existe un volumen de ventas a partir del cual se obtengan beneficios.
Problema 4.1.3
El punto muerto
Los costes fijos anuales de una empresa valen 200.000 u.m . El coste variable unitario de su producto es igual al precio en el que lo vende e igual a 200
u.m. ¿Cuánto vale su punto muerto?
RESOLUCIÓN
Si se aplica la expresión del punto muerto:
CF
X = _ __,__
P - e,,
puede llegarse a la conclusión de que el punto muerto vale infinito.
En realidad, el punto muerto no existe. La lógica del punto muerto es la siguiente: con cada unidad física de producto que se vende se recuperan p - e,,
unidades monetarias de coste fijo. Por ello, al dividir el total a recuperar (CF)
entre lo que se recupera con cada unidad vendida, se obtiene el número de unidades necesarias para la recuperación.
Pero, cuando el margen unitario (p - c.) vale cero, como en este caso, con
cada unidad de venta no se recupera nada, no existe el punto muerto; no existe un volumen de ventas anual a partir del cual se obtengan beneficios.
330
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 4. 1.4
El punto muerto
El margen bruto unitario de un producto representa el I por mil ele sus costes fijos an uales y se vende a un precio unitario ele 10.000 u.m. ¿Cuánto va le su
punto muerto?
RESOLUCIÓN
P -
1
e,.= --- cF
1.000
Ci:
X =-~-
- ~CF- - = J.000
i
e
e,.
p -
1.000
Problema 4.1.5
/·
El apalancamiento
En las páginas ele Economía ele un di ario madrileño se pudo leer recientemente que una empresa fab ri cante de c ierto componente para automóv iles
había vendido el pasado año 100.000 unidades físicas de su producto , lo cual
representa un elevado margen sobre su punto muerto, o punto de equi librio, que
se encuentra situad o en las 20.000 unidades físicas. ¿C uál es el coe fi ciente de
apalancamiento operat ivo ele esta empresa?
RESOLUCIÓN
Según se indicó anteri orme nte:
A
0
=
(p - C..) \/
(p - C..) V - C
1
Es dec ir:
\/
A = - -- - - º
e
V --~P - e,.
\/
V- X
donde, según se recordan1. X es el punto muerto. Por consiguiente, en este caso:
100.000
A0 = - - - - - - - - = 1,25
100 .000 - 20 .000
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
331
Problema 4.1.6
El apalancamiento y el punto muerto
En las mismas páginas del diario madrileño a que se refería el problema anterior se recogían los siguientes datos sobre otra empresa del sector de aparatos de informática:
-
Margen bruto unitario de su producto: 12.330 u.m.
Coste fijo no financiero por unidad física de producto: 2.577 u.m.
Coste financiero por unidad física de producto: 352 u.m.
Se desea conocer los coeficientes de apalancarniento de esta empresa.
RESOLUCIÓN
Según se dedujo anteriormente:
=
A
0
(p - C) V
(p - C)V - C1
La diferencia entre el precio de venta y el coste variable por unidad es el denominado «margen bruto unitario»:
m =p -
C.,
y de la expresión anterior se deduce que:
p -C.,
Ao = ----"---'--(p - C) - _!;_
V
m
e
,n- ..:::L
V
V
Por tanto:
12.330
12.330 - 2.577
A 0 = - - - - - = 1,26
E n cuanto al apalancamiento financiero:
e
(p - C,,)V - e,
(p - C.,) V - C - F
A = ---~--~-¡
1
m - ..:::L
C
F
(p - C) - ..:::1- _ _
V
V
V
e __
F
m-..:::L
- - - - - - - - = - - - -V- -
12.330 - 2.577
= 1,04
12.330 - 2.577 - 352
= - - -- - -El apalancamiento total será:
A, = A0 · A1 = 1,26 · 1 ,04 = 1 ,31
332
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
e
(p - C) -..:::1"
V
V
V
Problema 4. 1.7
El apalancamiento y el punto muerto
Se dispone de los siguientes datos relati vos al producto S70 de Punumeclsa:
Margen brulo unitario: 10.000 u.111 .
Vol umen de ventas anual: 2.000 u.f.
Cos tes fijos anuales no financ ieros: 1.000.000 ele u.m.
Volumen de deudas: 20.000 .000 de u .m.
Tipo ele interés ele sus deudas: 14 por 100.
Se desea saber:
o) El punto muerto de este produc to de Pumunecl sa.
b) Sus coe ficientes ele apalancamiento .
RESOLUCIÓN
o) Conforme ya se sabe:
X = _ Ce__=!:_¡_=
_
p -
e,,
m
1.000.000
10.000
= IOO u.f.
b) T ambién son ya conocidas las siguientes ex presiones :
Ao =
(p - C..)V
= - --
(p - C.,) V - C1
10.000 · 2.000
1,0S
-
] 0.000 · 2.000 - 1.000.000
A =
1
(p - C..) V - Cr
(J'J -
=
e,,)V - ef - F
1O.000 · 2 .000 - 1.000 .000
1O.000 · 2 .000 -
1.000 .000 - O, 14 · 20 .000 .000
= J , 17
A, = A 0 • A1 = 1,OS · 1, 17 = l ,23
Problema 4.1.8
El apalancamiento
Del in forme sobre la estructura ele los costes de la empresa Xuneclisa se deduce que, en relac ión al beneficio generado por los acti vos de la empresa, los
costes fij os no fin ancieros representan el 25 por 100 y que los fi nancieros representan el 10 por 100. ¿Cu,íles son los coeficientes de apalancamielto ele esta
empresa? ¿En qué porcentaje aumentará su benefi c io neto si sus ventas aumentan un 100 por 100?
RESOLUCIÓN
Operando en las expresiones ya conoc idas, se ded ucen las sig uientes:
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
333
BE + C, = l + ~
BE
BE
Ao = _...c,_(p_-_
C_,_.,)_
V_
(p - C,,)V- C1
l
BE
A¡ = _B_N_ = -B-N-IB_E_
1
1
(BE - F)IBE
1 - (FIBE)
por tanto, en este caso:
A0 = 1 + O,25 = l ,25
l
A = - - - = 111
1
1 - 0 ,10
'
A, = A0 • A1 = 1,25 · 1,11 = 1 ,39
!::.BN
!::.V
-- = · A, = l · 1,39 = 1 ,39 por 1 = 139 por 100
BN
V
Problema 4.1.9
El apalancamiento
El beneficio económico de una empresa ha sido 2.000.000 de u.m. con unos
costes fijos no financieros de 400.000 u.m. ¿Cuánto habría aumentado su beneficio económico si sus ventas hubieran aumentado un 200 por 100?
RESOLUCIÓN
El apalancamiento operativo vale 1 ,2:
A = (p _ e ) ~ = BE + cF = 1 +
0
"
BE
BE
cF = 1 +
BE
400.000 = 1 ,2
2.000.000
Por otra parte:
!::.BE
!::.V
BE
V
- - = - A0
Por consiguiente:
!::.BE
- - = 2 · 1,2 = 2,4 por 1 = 240 por 100
BE
Al aumentar las ventas un 200 por 100, el beneficio económico aumenta un
240 por 100.
334
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 4.1. 10
El apalancamiento
El beneri c io económico de una empresa es el cuádrupl e de sus costes f ijos
no finan cieros. Si sus ventas aument an un 15 por 100, ¿en qué porcen taje
va ri ará su benef'i cio económi co?
RESOLUCIÓN
Como se ha demostrado anteriormente:
BE+ C,..
BE
A0 = - - - ~
En este caso:
4 C,.. + Cr
4+ 1
4Cr
4
Au = - ~ - ~ =
1,25
Por otra parte:
t1BE
ti V
BE
V
- - = - A0
Por consiguiente:
t1B E
- - = 0, 15 · 1,25 = 0, 1875 por 1 = 18,75 por 100
BE
Problema 4.1.11
El apalancamiento y el punto muerto
Las ventas del producto de una empresa superan en un 20 por 100 a su punto muerto. ¿Cuánto vale su apalancamiento operativo?
R ESOLUC IÓN
Según se ha demostrado anteri orm ente:
V
Ao = - - -
V- X
En este caso:
V = l ,2X
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
335
Por tanto:
l ,2X
1,2
Ao = -1-,2-X---X- = -1-,2
--1 = 6
Problema 4.1.12
El apalancamiento y el punto muerto
El punto muerto de una empresa es el 20 por 100 de sus ventas. ¿Cuánto
vale su apalancamiento operativo?
RESOLUCIÓN
V
Ao = -V- --X
-
En este caso:
X = 0 ,2V
Por consiguiente:
V
1
A=
- -- - = - - - = 1,25
0
V - O,2 V
1 - O;2
Problema 4. 1.13
El apalancamiento y el punto muerto
En relación al beneficio económico de una empresa , los costes financieros
representan el 20 por 100. ¿Cuánto vale su apalancamiento financiero?
RESOLUCIÓN
BE
BN -
A - - - - - -¡-
Problema 4. 1.14
BNIBE
1
1
- - - -- = - - - (BE - F)IBE
1 - FIBE
1
- - - - = 1,25
1 - 0,20
El apalancamiento
El beneficio neto de una empresa es el 80 por 100 de su beneficio operativo. ¿Cuánto vale su apalancamiento financiero?
336
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
BE
BN -
A ------¡-
Problema 4. 1.15
BNIBE
1
0,8
= 1,25
El apalancamiento
Si el beneficio neto de una empresa es igual al doble de sus costes f inanc ieros, ¿en qué porcentaj e se modificará su benefi cio neto si su benefic io
económico aumenta un 15 por 100?
R ESOLUCIÓN
BE
BN + F
2F + F
A -------=--¡ - BN BN
2F
2+ 1
- - - = 1,5
2
Por otra parte:
!).BN
!).BE
--=--A
BN
BE 1
Por tanto:
!).BN
- - = 0,15 · 1,5 = 0 ,225 por 1 = 22,5 por 100
BN
Problema 4.1.16
El apalancamiento y e l punto muerto
Las ventas del producto ele una empresa duplican su punto muerto, y su benefi cio neto tripl ica sus costes fin ancieros. ¿Cuánto vale su apalancamiento total ?
R ESOLUCIÓN
Según se ha demostrado anteri ormente:
V
A =--º
V- X
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
337
En este caso:
V= 2X
Por tanto:
2X
Ao = _2_X_ _ X_
2
- --= 2
2 - 1
Por otra parte:
BE
BN + F
BN -
BN
A -- ¡-
Por consiguiente:
A=
f
3+ 1
3F + F
= - - = 1,3333
3F
3
El apalancamiento total es el producto del apalancamiento operativo y el financiero . Por tanto:
A, = A0 • A1 = 2 · 1,3333 = 2,67
Problema 4.1.17
El apalancamiento
El total de costes fijos (financieros y no fi nancieros) de una empresa representa el 25 por 100 de su beneficio neto. ¿Cuánto vale su apalancamiento total?
RESOLUCIÓN
Operando en la expresión ya conocida, se obtiene:
A =
1
(p - c,,) V
(p - e )V - C - F
"
Problema 4.1.18
F
_B_N_+_c~F_+_F_ = 1 + Cr + F = 1 + o25 = 1 25
BN
BN
'
'
El apalancamiento y el punto muerto
El punto muerto de una empresa es el 20 por 100 de sus ventas . ¿Cuánto habría aumentado su beneficio económico si sus ventas hubieran aumentado un
200 por 100 ?
338
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
X = 0,2 \/
Ao =
\I
1
- - - = 1,25
\I - 0,2 \/
1 - 0,2
A0 = 1,25
AV
-= 2
V
ABE
AV
BE
V
-
- =-
A O = 2 X 1 25 = 2 5 ¡Jor 1 = 250 por 100
'
'
Su benefic io económico habría aumen tado un 250 por IOO.
Problema 4.1.19
El apalancamiento
En rel ac ión al beneficio neto de una em presa, sus costes financie ros representan un 10 por 100. Si su coeficiente de apalancamienlo total vale 2,2, ¿en
qué porcen taj e variará su beneficio económ ico si sus ventas crecen un 50 por
100?
RESOLUCIÓN
Según el enunciado:
F = 0 ,28 N
A,= 2,2
AV
- V = 0 ,5
Por otra parte:
-
ABE
AV
-
= - X A0
BE
V
Calcularemos el apalancamiento operati vo mediante cociente en tre el apalanca miento total (que conocemos) y el finan ciero, que es igual a:
BE
BN -
A --1-
BN(I + 0,1)
= -- - - = 1 +0, 1
BN
1, 1
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
339
BN + F
BN + 0 , IBN
BN
BN
Por consiguiente:
A
2,2
A
o -- - ' - - - --2
A
l ,l
1
Y, en consecuencia:
tlBE
tl V
BE
V
- - = - - X A 0 = O,5 X 2 = 1 = 100 por 100
2.
Endeudamiento y rentabilidad
Problema 4.2.1
La rentabilidad y el apalancamiento
Una empresa tiene un coeficiente de apalancamiento financiero de 2 y el 50
por 100 de sus activos se financian con deudas. Si su rentabilidad económica
aumenta un 12 por 100, ¿cuánto aumentará su rentabilidad financiera?
RESOLUCIÓN
Cuando se modifica el beneficio operativo como consecuencia de una alteración de las ventas, la rentabilidad económica se alterará en la misma proporción:
tlRE
tlBE
RE
BE
pues RE es igual al resultado de dividir BE entre una constante, que es el activo
(A).
Cuando se modifica el beneficio neto como consecuencia de una variación
del beneficio operativo, la rentabilidad financiera se alterará en la misma proporción:
tlRF
tlBN
RF
BN
pues RF es ig ual al resultado de dividir BN entre una constante (los recursos
propios, K.). Por tanto, la elasticidad respecto a la rentabilidad económica de la
rentabilidad financiera será igual al apalancamiento financiero:
tlRFIRF
tlREIRE
340
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
tlBNIBN
= ----=A
tlBEIBE
1
Por consiguiente:
D.RF = ( /:,.RE) A
1
RF
RE
Si el apalancamiento fin anciero vale 2 y la rentabi lidad económi ca aumenta un 12 por 100 , la rentabil idad fi nanc iera aumentará un 24 por 100:
/:,.R F
RF
- - = O 12 · 2 = O 24 por 1 = 24 ¡Jor 100
Problema 4.2.2
'
'
La rentabilidad y el apalancamiento
E l apalancamiento operati vo de una empresa vale 1,5, su activo vale 50 mi l lo nes ele u.m. y tiene unos costes f ij os no financieros de 25 millones. ¿En qué
porcentaje aumentará su rentabilidad económica si sus ventas aumentan un 12
por 100?
RESOLUCIÓN
Como se demostró anteri ormente:
/:,.RE
RE
/:,.BE
BE
Por consiguiente:
D.BEIBE
A =---º
/:,.V/V
/:,.RE/RE
=---!:,.V/ V
de donde se deduce que:
/:,.R E
!:,. V
RE
V
-
- = - A0
E n este caso:
/:,.RE
- - = 0 , 12 · J ,5 = 0 ,18 po r 1 = 18 por 100
RE
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
341
Problema 4.2.3
La rentabilidad y el apalancamiento
En relación al beneficio neto de una empresa, sus costes fin ancieros representan un 10 por 100. Sus costes fijos no financieros representan un 20 por
100 de su beneficio económico. ¿En qué porcentaje se modificará su rentabilidad financiera si sus ventas crecen un 50 por 100?
RESOLUCIÓN
A,= A0 X A1
BE
BN + F
BN(I + 0 ,1)
A1 = - - = - - - = - - - - - = 1 + O,J = 1,1
BN
BN
BN
2
A = I + 5L_ = 1 + 0 , BE = 1 + O 2 = 1 2
0
BE
BE
'
'
A, = 1,1 X 1,2 = J ,32
!::.RF
!::.V
RF
V
-- = -
X A,= 0 ,5 X
1,32 = 0,66 por 1 = 66 por 100
Si sus ventas aumentan un 50 por 100, su rentabilidad financiera se elevará un 66 por 100.
Problema 4.2.4
La rentabilidad y el apalancamiento
Una empresa que financia el 50 por 100 de sus activos con deudas que tienen un tipo de interés anual del 8 por 100, ha observado que al aumentar su rentabilidad económica un 12 por 100, su rentabilidad financiera ha aumentado un
24 por 100. ¿Cuánto vale su apalancamiento financiero?
RESOLUCIÓN
!::.RF
A =
1
RF = O,24 = 2
!::.RE
0 ,12
RE
Problema 4.2.5
La rentabilidad y el apalancamiento
Al reducirse un 1O por 100 las ventas del producto de una empresa, su beneficio económico se reduce un 10 ,53 por 100. Si su coeficiente de apalanca-
342
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
miento fina nciero va le 1,1168, ¿en qué porcentaje se mod ificará su rentabilidad
fi nanciera?
RESOLUCIÓN
Los datos que ofrece el enunc iado son:
tiv
-V= -01
,
LiBE
- - = - 0 ,1053
BE
A1 = 1.11 68
Por consigu iente:
-
tiRF
-
RF
ti V
=-X A
1
V
A,= A 0 X A1
LiBEIBE
~V/ V
-0 ,J053
A0 = - -- - = l ,053
- 0 ,1
A1 = l ,11 68
A, = 1,053 X 1 ,l l 68 = J , 176
Por lo que , fina lmente, se deduce que la rentabi lidad financiera di sminuirá
un 1 1,76 por 100:
-
Problema 4.2.6
LiRF
- = - 0 , 1 X J ,176 = -O ,l 176 por 1 = - 11 ,76 por 100
RF
La rentabilidad y el apalancamiento
U na empresa ti ene un activo valorado en 120.000 u. 111. que fi nancia con
deudas en un 25 por 100. Las venias ele su producto dupl ican su punto muerto
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
343
y su beneficio neto triplica sus costes financieros . ¿En qué porcentaje aumentará su rentabilidad financiera si sus ventas aumentan un 20 por 100?
RESOLUCIÓN
Según el enunciado:
A= 120.000 U.ID.
F = 25 por 100
V = 2X
BN= 3F
tlV
= 20 por 100
V
Por otra parte:
tlRF
tl V
RF
V
--=-A
'
A,= A0 X A1
BE
BN + F
Al= BN =
BN
3F + F
_3_F_•=
4
-
3 = l ,33
V
2X
2
A0 = - - - = - - - = - = 2
V-X
2X - X
1
A, = 2 X 1,33 = 2,66
Por consiguiente, la rentabilidad financiera aumentará un 53,4 por 100:
tlRF
- - = 0 ,2 X 2 ,66 = 0,534 por 1 = 53,4 por 100
RF
Problema 4.2.7
La rentabilidad y el apalancamiento
Una empresa tiene un activo que vale 60 millones de u .m. financiado al 20
por 100 con deudas a las que abona un interés del 8 por 100 anual, y su apalancamiento operativo vale 1,2. ¿En qué porcentaje aumentará su rentabilidad
económica si sus ventas aumentan un 12 por 100?
344
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
6.R E
11 V
RE
V
- - = - A0
6. RE
-
Problema 4.2.8
- = 0 , 12 X 1,2 = 0, 144 = 14,4 %
RE
La rentabilidad y el apalancamiento
Un a em presa tiene un coe fi c iente de apal ancamiento finan ciero ele 1,5 y el
30 po r 100 de sus acti vos (q ue i mportan 1.000 mil lo nes ele u .m .) se fina nc ian
con deudas al 7 por 100 ele interés anual. Si su rentabilidad económica aumenta
un J 2 por 100, ¿qué porcentaje aumentará su rentabil idad f inanciera?
RESOLUCIÓN
Según el enunc i ado:
A1 = 1,5
6.RE
-
- = 0,1 2
RE
Por otra parte:
6.RE
6.BE
RE
BE
6.RF
6.BN
RF
BN
6.RFIRF
6.BNIBN
6.REIRE
6.BEIBE
= AJ
Po r consi g uiente:
6.RF = ( 6.RE
RF
RE
6.RF
RF
)A1
- - = O J 2 X J 5 = O J 8 = 18 por J 00
'
'
'
A l au mentar l a rentab ilidad económ ica u n 12 por J 00 , la rentabil idad fi nanc iera, po r e fecto del apalancam iento , aumentará en una proporc ión más elevad a; concretamente, un 18 por I OO.
https://celetenino.wordpress.com/
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
345
Problema 4.2.9
La relación entre la rentabilidad financiera
y la rentabilidad operativa
Se desea estudiar la rentabilidad financiera líquida , o rentabilidad líquida de
los capitales propios, de una empresa que tie ne un activo de 100 millones de
u.m. , para niveles de rentabilidad económica (o rentabilidad de los activos) que
oscilan, de cinco en cinco puntos, entre un l y un 31 por 100, para los siguientes niveles de endeudamiento:
a) Endeudamiento nulo (financiación íntegra con capital propio).
b) Endeudamiento del 50 por 100.
e) Endeudamiento del 75 por 100.
El tipo de interés de las deudas es del 8 por 100 y la empresa está sometida
a un tipo impositivo, en el impuesto sobre el beneficio de las sociedades, del 50
por 100.
RESOLUCIÓN
En la tabla 4.1 se han recogido los cálculos precisos para la resolución del
problema, en mmones de u.m.
Los cálculos se realizan del siguiente modo (aplicando la simbología ya utilizada e n los problemas de rentabilidad):
RE· Activo
RE· 100
BE = - - - - - = - - - - millones de u.m.
100
100
Deudas = Coeficiente de endeudamiento · Pasivo =
= Coeficiente de endeudamie nto · Activo =
= (Coeficiente de endeudamiento)· 100 millones de u.m.
F = 8 por 100 s/Deudas = (0,08 · De udas) millones de u.m .
BN = (BE - F) millones de u.m.
BL = (BN - T) millones de u.m.
RF
°
BL
= - - - BL
- - 1 0 0 = - - - - - 100
Capital propio
100 - Deudas
Como puede observarse, para altos niveles de rentabilidad económica, es
preferible e ndeudarse; la rentabilidad financiera, o rentabilidad de los accionistas, será tanto mayor cuanto mayor sea el nivel de endeudamiento. Pero si la
rentabilidad económica es reducida, la rentabilidad financiera será tanto más
baja cuanto mayor sea el endeudamiento de la empresa. Dado que a priori no se
sabe la rentabilidad económica futura que tendrá la empresa, las decisiones han
de basarse e n estimaciones, y el riesgo financiero será tanto mayor cuanto mayor sea el nivel de deudas que se decida mantener. Si la rentabilidad económica
346
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Caso a) Endeudanflento nulo
F. Gastos de intereses
BN. Beneficio imponible
T. Impuestos
BL. Beneficio liquido después
de impuestos
RF0 . Rentabilidad financiera liquida (% )
1
0,5
6
3
11
5,5
16
8
21
10,5
26
13
31
15,5
0,5
0,5
3
3
5,5
5,5
8
8
10,5
10,5
13
13
15,5
15,5
4
3
- 1,5
4
2
1
4
7
3,5
4
12
6
4
17
8,5
4
22
11
4
27
13,5
- 1,5
-3
1
2
3,5
7
6
12
8,5
17
11
22
13,5
27
6
-5
- 2,5
o
o
6
6
5
2,5
6
10
5
6
15
7,5
6
20
10
6
25
12,5
- 2,5
- 10
o
o
2,5
10
5
20
7,5
30
10
40
12,5
50
Caso b) Endeudamiento del 50 por 100
F. Gastos de intereses (8 por 100 s/50)
BN. Beneficio imponible
T. Impuestos
BL. Beneficio liquido después
de impuestos
RF0 . Rentabilidad financiera liquida (%)
aso e) Endeudamiento del 75 por 100
TABLA 4. 1
F. Gastos de intereses (8 por 100 s/75)
BN. Beneficio imponible
T. Impuestos
BL. Beneficio líquido después
de impuestos
RFD. Rentabi lidad financiera liquida (%)
resulta ser elevada , se consegui rá una alta rentabilidad financ iera; pero si
aq uell a resulta ser fin almente baja , ésta será tanto menor cuanto mayor sea el
coeficiente ele endeudami ento.
Problema 4.2.10
La relación entre la ren tabilidad financiera
y la rentabilidad operativa
Los directivos ele Palancunecl, S. A. , esperan consegu ir que el próximo año
el margen ele beneficio bruto ele la empresa sea ele 100 millones ele u.111. , lo
cual , una vez clecluciclo el coste fijo , generaría un beneficio econó mico u operativo ele 80 millones ele u.m . La empresa se está planteando la modificación ele
la actual fi nanciación ele los 300 millones ele u.m. que tiene ele acti vos, por lo
cual desea conocer sus niveles ele apalancamiento financ iero y to tal , así como
su rentab il idad financiera , antes y después del impuesto sobre el beneficio
(cuyo tipo ele gravamen es del 35 por 100) , para los siguientes va lores del coefi ciente recursos ajenos/recursos propios: O; 0 ,5; 1; 1,5 y 2. El tipo ele interés ele
las deudas es del 12 por I OO.
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
347
RESOLUCIÓN
El margen de beneficio bruto, MB , es la ganancia obtenida antes de deducir
los costes fijos, es decir,
MB =pV - CV. V= (p - C.,)V
Por consiguiente, el apalancamiento operativo de esta empresa vale:
A =
0
(p - C.,) V
= 100 = 1 25
(p - C.,)V - C¡
80
'
En cuanto a su apalancamiento financiero (sobre el cual, como se recordará, no influye la consideración de los impuestos), denominando RA a los recursos ajenos y RP a los recursos propios, será igual a:
A =
l
(p - e )V- e
v
r
(p - C.,)V-C¡- F
80
80 - 0 ,12RA
( 1)
Para cada nivel de recursos ajenos se tendrá un apalancamiento financiero
diferente, y también un apalancamiento total distinto , conforme a la expresión:
(2)
El caso en el que el coeficiente RAIK vale cero es aquel en el que la empresa
no tiene deudas (RA = O) y los 300 millones están financiados íntegramente
con capital propio (K = 300 millones de u.m.). Cuando este coeficiente vale 0,5
significa que los recursos ajenos representan la müad que los propios y, dado
que el total ha de ser de 300, se deduce que:
K + RA = K + _!_ K = l 5K = 300 ⇒ { K = 200 m~llones de u.m.
RA = 100 millones de u.m.
2
'
En general, denominando L al coeficiente recursos ajenos/recursos propios,
y siendo P el pasivo total:
P = K + RA
L = RA
K
⇒ K = RA ⇒ P = RA + RA =
L
L
RA(l + _Ll) ⇒ RA = P l +L L (3)
En este caso, P = 300 millones de u.m. Aplicando la expresión (3) para
cada valor de L y sustituyendo luego en las expresiones (1) y (2), se obtienen
los resultados de la tabla 4.2.
Como ya se sabe , la rentabilidad financiera antes de impuestos responde a
la expresión:
348
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
TABLA 4.2
o
o
0,5
100
1, 18
1,47
1
150
1,29
1,61
1,5
180
1,37
1,7 1
2
200
1,43
1,79
1,25
BE - F
BN
RF,, = K=
K
o, lo que es lo mi smo , sie ndo k; e l tipo de interés de las deudas, RE la re ntabi lidad económica y A e l volumen de acti vos que habrá de coincid ir con e l del pas ivo (A = P):
BE - k . · RA
RFA = ------'
1
'---
RE· A - k.1 · RA
RE(K + RA ) - k; · RA
K
K
K
RE· K + (RE - k)RA
K
=
RA
= RE+ (RE - k) K = RE+ (RE - k)L (4)
Esta importante expresión muestra que , desde e l punto ele vista ele la re ntabilidad de los propietarios ele la empresa, siempre que la rentabilidad esperada
de los ac ti vos, RE, supe re e l coste de los recursos aje nos , k;, es conveniente endeudarse. Así, en e l presente caso:
BE
80
RE = = - - = O 2666 ~
A
300
'
~ RF = 0,2666 + (0 ,2666 - 0 ,12)L = 0 ,2666 + 0 ,1466 - L
y al sustituir los distintos valores alternativos de L, se obtie ne n los resultados
de la tab la 4.3 .
TABLA 4.3
o
0 ,2666
0,5
0 ,3400
1
0 ,4133
1,5
0,4866
2
0,5600
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
349
Dado que la rentabilidad económica esperada por los directivos de la empresa supera el coste de sus deudas , la rentabilidad financiera esperada será tanto mayor cuanto mayor sea el endeudamiento de la misma, es decir, cuanto más
elevada sea la relación entre los recursos ajenos y los propios, L. Sin embargo,
el riesgo también es cada vez más elevado , como lo muestran las evoluciones
del apalancamiento financiero y del total, que, como ya se expuso anteriormente , son medidas de riesgo.
También la expresión (4) muestra que si los directivos se equivocaran en
sus previsiones y la rentabilidad económica efectiva fuera inferior al coste de
las deudas, la rentabilidad financiera sería tanto más baja cuanto mayor fuese
el nivel de endeudamiento.
Las mismas conclusiones se obtienen al calcular la rentabilidad financiera
después de impuestos, que, siendo t el tipo de gravamen, será:
FRv =
(BE - k. · RA)(l - t)
'K
= RF/1 - t) = [RE+ (RE - k¡)L](l - t)
En el presente caso (t = 0,35), se obtienen los resultados de la tabla 4.4.
O
0,1733
0,5
0,2210
0,2686
TABLA 4.4
Problema 4.2. 11
1,5
0,3163
2
0,3640
La relación entre la rentabilidad financiera
y la rentabilidad operativa
Los directivos de Riesguned, S. A. , estiman que los futuros beneficios
anuales generados por los activos de la empresa pueden tomar los siguientes
valores (en millones de u.m.): 300, 400 y 500. Sus activos valen 1.000 millones de u.m., y para efectuar la reestructuración financiera de la empresa estos
directivos desean conocer la rentabilidad de sus accionistas, antes de deducir
sus impuestos, para los siguientes valores del coeficiente de recursos ajenos sobre recursos propios: 0,5; 1; 1,5; 2; según cual sea el beneficio operativo obtenido. El tipo de interés de las deudas es el 15 por 100.
RESOLUCIÓN
Los posibles valores de la rentabilidad económica, RE, son:
350
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
300
- - = 0 ,30 = 300 por 100
1.000
400
- - = 0 ,40 = 40 por 100
1.000
500
- - = 0 ,50 = SO po r 100
1.000
Apli cando la ex pres ión:
RF11 = RE+ (RE - k) L
deducida en el problema anteri or (siendo k; = 0,15) se obtienen los resultados
de la tabla 4.5 .
Como puede o bservarse, siendo RE > k;, para cada ni vel de rentabilidad
económica, la rentabilidad fin anciera es tanto mayor cuanto mayor sea el coefi ciente de endeudamiento L.
TABLA 4.5
Problema 4.2.12
0,30
0,375
0,450
0,525
0,600
0,40
0,525
0,650
0,775
0,900
0,50
0,675
0,850
1,025
1,200
La relación entre la rentabilidad financiera
y la rentabilidad operativa
Suponiendo que los d i recti vos de Riesguned, S. A. , a la que se refi ere el
problema anterior , se hubieran decidido por un coefi ciente de recursos aj enos
sobre recursos propios igual a la unidad , ¿para qué nivel de rentabilidad económica pasaría a ser negati va la rentabilidad financ iera de la empresa?
RESOLUC IÓ N
Lo que se desea saber es el va lor de RE para el cual:
RE + (RE - k) L = O
Es dec ir:
L
RE = k; -l_+_L_ = 0, 15 - +-
= 0 ,075
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
351
Si la rentabilidad de los activos de esta empresa fuera inferior al 7 ,5 por 100,
su rentabilidad financiera sería negativa y los accionistas experimentarían pérdidas.
Problema 4.2.13
La relación entre la rentabilidad financiera
y la rentabilidad operativa
El coeficiente de endeudamiento de una empresa es el 50 por 100 y el
coste de sus deudas es el 15 por 100. ¿Para qué nivel de rentabilidad económica
sería nula su rentabilidad financiera?
RESOLUCIÓN
L
0 ,5
RE = k. ---= 0 ,15 - -- = 0,05 por 1 = 5 por 100
' 1+L
1 + 0 ,5
Problema 4.2.14
La relación entre la rentabilidad financiera
y la rentabilidad operativa
El coeficiente de endeudamiento de una empresa vale 2 y el coste anual de
sus deudas es el 14 por 100. ¿Para qué nivel de rentabilidad económica pasaría
a ser negativa la rentabilidad financiera de este empresa:
RESOLUCIÓN
Como ya es sabido, la rentabilidad económica para la que la rentabilidad financiera es nula es:
L
RE=k. - , 1+L
En este caso:
RE= 0,14 -
2
-
1+2
= 0 ,0933 por 1 = 9 ,33 por 100
Si la rentabilidad económica de esta empresa fuera inferior al 9 ,33 por 100,
su rentabilidad financiera sería negativa.
352
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 4.2. 15
La relación entre la rentabilidad financiera
y la rentabilidad operativa
L os recursos ajenos de una empresa (que tienen un cos te anu al del 5 por
100) representan un 25 por 100 del total ele su fin anciac ión. Si su rentabi l idad
económica es el 11 por 100 anual , ¿cuánto vale su rentabilidad fin anciera
anual en ausencia de impuestos?
RESOLUCIÓN
RF = RE+ (RE - k) · L
L = RA = 0,25 = O 33
K·
0,75
'
RF = 0, 11 + (0 , 11 - 0,05) X 0 ,33 = 0,1298 = 0 , 13 por 1 = J3 por JOO
Problema 4.2.16
La relación entre la rentabilidad financiera
y la rentabilidad operativa
Una empresa se encuentra f inanciada con deudas en un 20 po r 100 . Si su
rentabi l idad económ ica es el 25 por JOO y el coste de sus deudas es el 12 por
l 00 , ¿cuánto vale su rentabi I id ad fin anciera?
RESOLUCIÓN
RF = RE+ (RE - k) · L
L = RA = 0,2 = O 25
K
0,8
'
RF = 0 ,25 + 0,25(0 ,25 - 0, 12) = 0 ,2825 por uno= 28,25 por 100
Problema 4.2. 11
La relación entre la rentabilidad financiera
y la rentabilidad operativa
Con relación a la rentabilidad económica ele una empresa, su rentabi lidad fi nanciera representa un 120 por 100 , y el coste de sus deudas un 80 por 100 .
¿Cuál es su coe ficiente de encleuclamiento, L?:
RESOLUCIÓN
RF = RE+ (RE - k)L
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
353
~)L
RF = RE + ( RE _
RE
RE
RE
RE
1 ,2 = 1 + (1 - 0,8)L
1,2 = l,2L
L= l
Problema 4.2.18
La relación entre la rentabilidad financiera
y la rentabilidad operativa
Una empresa financia el 25 por 100 de sus activos con deudas , a las que
abona un interés del 12 por 100 anual. ¿Para qué nivel de rentabilidad económica anual de esta empresa sería nula su rentabilidad financiera anual?
RESOLUCIÓN
L
RE = k; _ _ _
I + L
L = RA = 0 ,25 = O 33
RP
0,75
'
0 ,33
RE = 0,12 - - - - = 0,03 = 3%
(1 + 0 ,33)
3.
El presupuesto de tesorería
Problema 4.3.1
El presupuesto de tesorería
A continuación se recogen algunos datos relativos a la empresa Zuned, S. A.:
l. Saldo de tesorería el 1 de enero: 2.000 u.m.
2. Todas las ventas se cobran aplazadamente: el 50 por 100 en el mes en el
que se realizan, el 40 por 100 el mes siguiente y el 10 por 100 el tercer mes.
3. El 70 por 100 de las compras se pagan en el mismo mes en el que se
efectúan y el 30 por 100 el mes siguiente.
4. El volumen de ventas del mes de noviembre fue de 6.000 u.m., en tanto
que el del último mes (diciembre) importó 6.800 u.m. Las ventas previs tas para los tres próximos meses son 5 .200 u .m. en enero, 5 .600
u.m. en febrero y 6.000 u.m. en marzo.
354
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
5. En cuanto a las co111pras, en clicie111bre totalizaron 3.600 u.111. y se prevé que
i111porten 4.000 u.111. en enero, 3.800 u.111 . en febrero y 4.000 u.111. en marzo.
6. Los costes rijos mensuales son 600 u .111. , ele los cuales 100 u .111. corresponden a amorti zac iones. Los costes vari ables mensuales son , aprox i111acla111ente, el 15 por 100 ele las ventas del mes anterior.
7. En enero hay que pagar 240 u.111. ele impuestos y se co mprará una 111áquina que cues ta 660 u.m., ele las cuales la tercera parte se pagará al conlaclo; el resto se abonará en veinte plazos 111ensuales iguales con tados a
partir ele febrero. En enero hay que pagar, además , la pri111 a ele seguros
anual, que to tali za 180 u .m.
....-•.. 1-~----.....
Enero ,·.:
.-- ----, ~. -
Febrero
,.'
JI~~~...-.•-- ,:..-t_t
.....
~ · · ..,.1
COBROS
Cobros a clientes
Por ventas de noviembre (6.000)
Por ventas de diciembre (6.800)
Por ventas de enero (5.200)
Por ventas de febrero (5.600)
Por ventas de marzo (6.000)
Cobros por inve rsiones financieras
10%: 600
40%: 2.700
50%: 2.600
10%: 680
40%: 2.080
50%: 2.800
20
C1 = 5.940
C. Total cobros
30
10% :520
40%: 2.240
50%: 3.000
10
c = 5.590 c = s .110
2
2
PAGOS
Pagos a proveedores
Por compras de diciembre (3.600)
Por compras de enero (4.000)
Por compras de febrero (3.800)
Por compras de marzo (4.000)
Pagos de costes fijos (600 - 100°)
Pagos de costes variablesb
Pago de impuestos
Pagos de maq uinaria
Pago de prima de seg uros
30%: 1.080
70%: 2.800
P. Total pagos
TABLA 4.6
30%: 1,200
70%: 2.600
500
1.020
240
220
180
500
780
p i = 6.0 40
p2 = 5.162
22t
Flujo net o de caja (C - P)
Saldo al principio del m es
( 100)
2.000
Saldo al fin al del m es
1.900 /
2.328 /
Saldo deseado (0,5 · P,. ,)
Exceso (défi cit)
2,58 1
(681)
2.651
(323)
• Las amortizaciones son costes, pero no pagos.
b 1.020 =
15 · 6.800; 780 = O, 15 · 5.200; 840 =
e 22 = (660 - 220)/20.
º·
30%: 1.140
70%: 2.800
500
840
/
428
1.900
p3 = 5.302
/
468
2.328
2.796
º· 15 · 5.600.
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
355
8. Se espera que los flujos netos de caja generados por las inversiones financieras de la emprea sean de 20, 30 y 10 u.m., respectivamente, en los
meses de enero, febrero y marzo .
9. La política de la empresa es mantener un saldo de tesorería, al final de
cada mes, igual a la mitad de las necesidades estimadas para el mes siguiente.
Se desea preparar el presupuesto de tesorería de esta empresa para los
meses de enero, febrero y marzo.
RESOLUCIÓN
En el presupuesto de tesorería se reflejan los flujos monetarios derivados de
las corrientes de cobros y pagos. En la tabla 4.6 se recoge el correspondiente al
próximo trimestre de esta empresa.
Como puede observarse, si la empresa desea mantener su política, tendrá
que modificar el sistema de cobros y pagos o acudir, por ejemplo, a un crédito bancario a corto plazo.
Problema 4.3.2
El presupuesto de tesorería
Unedtesina, S. A., sabe por experiencia que el 20 por 100 de las ventas se
cobra en el mismo mes en el que se efectúan, que el 70 por 100 se cobra el mes
siguiente y que el 10 por 100 se liquida el tercer mes. Esta empresa se dedica
a la intermediación en instrumentos de ferretería y el precio en el que los
compra es igual al 70 por 100 del precio en el que luego los vende. El período
medio que transcurre entre la compra y la venta de los productos es de un mes
y Unedtesina demora los pagos hasta dos meses después de las compras.
Mensualmente tiene que pagar el alquiler del local , que importa 125 u.m.
Este local se encuentra situado en una ciudad turística de la costa, por lo cual
la mayor actividad de la empresa se produce en los meses de julio y agosto, lo
cual explica la evolución prevista de los gastos para los próximos cuatro meses,
que es la mostrada en la tabla 4.7.
TABLA 4.7
Sueldos y salarios
400
Otros gastos
60
300
80
40
40
La misma razón explica la evolución prevista de las ventas que se recoge en
la tabla 4.8.
356
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
6.000
TABLA 4.8
8.000
2.000
2.000
2.000
En mayo y junio las ventas totalizaron 2.000 u.m. mensuales. En agosto hay
que pagar J 60 u.m . de impuestos y en octubre hay que abo nar el precio de un
camión adquirido hace tiempo por 2.000 u.m. El saldo actual ele tesorería, al f inal de junio, es de 3.000 u.m . Éste es el saldo que la empresa quiere mantener
en el futu ro. Se desea elaborar el presupuesto ele efecti vo para los cuatro próx imos meses.
RESOLUCIÓN
L a resolución puede efectuarse rea li zando prev iamente los cá lcul os de
los cobros provenientes de las ventas y de los pagos deri vados de las compras,
confo rme a l a tabl a 4 .9 .
Ventas
Cobros:
En el primer mes
(20 por 100)
En el segundo mes
(70 por 100)
En el tercer mes
(1 0 por 100)
2.000
2.000
6.000
8.000
2,000
2.000
400
400
1.200
1.600
400
400
1.400
1.400
4.200
5.600
1.400
200
200
600
800
2.800
6.000
6.600
2.600
5.600
1.400
1.400
4.200
1.400
5,600
1.400
1.400
Total
TABLA 4.9
Compras (0,7 · Ventas
del mes siguiente)
Pagos
1.400
4.200
E l presupuesto de tesorer ía, o presupuesto ele caj a, de esta empresa será el
presentado en la tabl a 4. JO .
L a evolución prev ista manifiesta la ex istencia de un evidente exceso de tesorería que podría aplicarse a la reali zación de inversiones rentables o a l a devolución de prés tamos.
RIESGO Y VALORACIÓN DE EM PRESAS
357
2.800
6.000
6.600
2.600
Compras
Sueldos y salarios
Alquiler
Otros gastos
Impuestos
Pago de camión
1.400
400
125
60
4.200
500
125
80
160
5.600
300
125
40
1.400
300
125
40
Total pagos
1.985
5.065
6.065
3.865
Flujo neto de caja
Saldo al principio del mes
815
3.000 /
935
3.815 /
535
4.750 /
- 1.265
5.285
Saldo al final del mes
Saldo deseado
3.815
3.000
4.750
3.000
5.285
3.000
4.020
3.000
815
1.750
2.285
1.020
Cobros
Pagos
TABLA 4.10
2.000
Exceso
4. Valoración de empresas
Problema 4.4. 1
Valoración de empresas
Al finalizar el ejercicio económico, cierta sociedad anónima presenta el siguiente balance de situación antes de la distribución del beneficio y según valores de reposición actualizados:
Pasivo (millones)
Activo (millones)
Caja, ptas.
Clientes
Deudores diversos
Existencias
Inmovilizado neto
Gastos de constitución
2
3
0,5
6
10
1
Proveedores
Acreedores diversos
Préstamos a largo plazo
Capital social
Reservas
Pérdidas y ganancias
2
0 ,5
TOTAL ACTIVO
22,5
TOTAL PASIVO
22,5
El beneficio del ejercicio se va a repartir del siguiente modo:
Un 36 por 100 para el pago de impuestos.
Un 14 por 100 se distribuye como dividendos.
Un 50 por 100 se destina a la autofinanciación.
358
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
9
6
3
2
Supon iendo que el benericio ele esta sociedad se va a mantener constante en los
sucesivos ejercicios, y que el horizonte económico es ilimi tado , se desea conocer:
a ) Su valor sustanci al neto.
b) Su valor ele rendimi ento para un ti po de actuali zación del 10 por 100.
e) Su fondo ele comercio , según el método ind irecto.
d) Su valor global según el método alemán.
RESOLUCIÓN
a) Tras la di stribuc ión contable del benefi cio, el balance, debida mente
clasificado, sería , en millones , el siguiente:
Acti vo ( mill ones)
Di sponible
Caja
Realizable
C li en tes
D eudores di versos
Ex istencias
I nmov ilizado neto
Pasi vo ( mi llones)
2
2
3,5
3
0 ,5
6
JO
Fondos propios
Cap ital social
Reservas
Activo fi cticio
Gastos ele constituc ión
TOTAL ACT I VO
Exig ible
Proveedores
2
Acreedo res di versos
0 ,5
Hacienda públi ca
acreedora
0 ,72
Acreedores por
di videndos acti vos
0,28
Préstamos a plazo largo
9
22,5
T OTAL PAS I VO
12,5
10
6
4
22,5
E l valor sustancial neto es el valor contable (patrimonio neto) calculado sobre va lores de reposición actuali zados:
Valor sustancial neto = VS = Valor de repos ición actualizado del activo
real - Pasivo ex igible = (Valor ele reposición actuali zado del acti vo total - Acti vo ficticio) - Pasivo
ex igibl e
= (22,5 - l ) - J 2,5 = 9 millones ele u.m.
O bien, como es obvio , a la vista del ba lance actuali zado según valores ele
reposición:
VS = Fondos propios - A ctivo f icti cio = 10 - 1 = 9 mill ones de u.m .
b) Cuando el beneficio es constante y el hori zonte económico ilim itado, el
valor de rendimiento (es decir, el resultado ele actual izar los benefi cios fu turos)
es igual a:
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
359
Beneficio neto de impuestos
VR = - - -- -- - --=--- Tipo de actualización
2 - 0,36 · 2
1,28
0,10
0,10
= 12,8 millones de u.m.
e) Según el método indirecto , el fondo de comercio es la diferencia entre el
valor en rendimiento y el valor sustancial:
Fondo de comercio= FC = VR - VS = 12,8 - 9 = 3,8 millones de u.m.
d) El valor global de la empresa es el resultado de añadir el fondo de comercio al valor sustancial, pero, dado que la determinación del FC entraña cierto margen de subjetividad, el método alemán sólo toma la mitad del mismo, resultando así:
1
1
1
VG = VS + -(VR - VS) = - (VS + VR) = -(9 + 12,8) =
2
2
2
= 10 ,9 millones de u .m.
Problema 4.4.2
Valoración de empresas
¿Cuánto vale , según el método directo, el fondo de comercio de la empresa del problema anterior si sus accionistas pueden obtener en el mercado financiero un tipo de interés normal del 10 por 100?
RESOLUCIÓN
El valor sustancial o valor de los capitales propios invertidos en esta empresa renta anualmente 1,28 millones de pesetas (beneficio neto disponible para
los accionistas). La rentabilidad que genera es, por consiguiente:
1,28
1,28
r = - - = - - = O, 1422 = 14,22 por 100
vs
9
Si el importe del valor sustancial fuera invertido en el mercado financiero
se obtendría una renta igual a:
k · VS = 0 ,10 · 9 = 0 ,9 millones de u.m.
Los superrendimientos obtenidos son, por consiguiente:
r · VS - k · VS = 1,28 - 0,9 = 0,38 millones de u.m.
Actualizando estos superrendimientos , se obtiene el fondo de comercio según el método directo:
(r - k)VS
FC = -
360
- -k
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EM PRESAS
0 ,38
=- -
0,10
= 3,8 millones de u.m.
Problema 4.4.3
Valoración de empresas
¿Cuál es el valor global de la empresa de los problemas anteriores según el
método anglosajón si , para ca lcul ar el fondo de comercio, se aplica un tipo de
descuento igua l , como es usual , al doble del interés norm al del mercado?
RESOLUCIÓN
Denominando B al beneficio neto , según el método anglosaj ón el fondo
de comercio se calcul a actualiza ndo la di fe rencia entre B y la renta normal
(k · VS). Añadiendo al fondo, así calculado, el valor sustancial , se obtiene el valor globa l :
B - k · VS
1,28 - 0 ,10 · 9
k'
2 · 0 ,10
ve = vs + - - - - = 9 + - - - - - -
Problema 4.4.4
10 ,9 millones de u .m.
Valoración de empresas
Se desea conocer el valor en rendi miento, el fondo de co mercio y el valor
global de la em presa a la que se refieren los problemas anteriores, suponiendo
que sólo durará veinte años, aplicando los diferentes procedimientos devaloración ex isten tes .
RESOLUCIÓN
En tal caso , su valor de rendimiento (es dec ir, el valor actual de los futuros
beneficios de la empresa) será:
1 - ( 1 + k) 1 - ( 1 + O,J0)- 2º
= 8 - - - - - = 1 28 - -- - - - 11
VR = B · a
iilk
=
k
'
o 10
'
1,28 · 8 .5 1 = 10,90 millones de u.m .
E n cuanto al fondo de comercio, según el método indirecto vale:
FC = VR - VS = 10,90 - 9 = 1,90 millones de u.m.
y según el método directo será igual al resultado de actualizar los superrendimientos de los vein te años; es deci r:
FC = (r - k) VS · a iilk = (r · VS - k · VS) · a iilk =
= (B - k · VS) · a = ( 1 28 - O JO · 9)
iilk
'
'
= 0 ,3 8 · 8 ,5 1 =
1 - ( 1 + o 10)- 20
0 ,10
'
3,23 millones de u.m.
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
361
Este es el procedimiento más correcto de cálculo directo del fondo de comercio, pero algunos autores lo determinan multiplicando el superrendimiento anual por el número de años en los que se produce; es decir, aplicando la siguiente expresión:
(r - k)VS · n
o, lo que es lo mismo:
(r · VS - k · VS)n = (B - k · VS)n = (1 ,28 - 0 ,10 · 9)20 =
= 7 ,60 millones de u.m.
El método alemán de determinación del valor global parte de la medición
indirecta del fondo de comercio y de la consideración de que, dada la elevada
subjetividad que comporta su determinación, ha de repartirse por igual entre el
comprador y el vendedor; por consiguiente:
VG = VS + (l/2)(VR - VS) = (1/2)(VS + VR)
= (1/2)(9 + 10,90) = 9,95 millones de u.m.
Según el método anglosajón el valor global de la empresa será:
VG = VS + (B - k - VS) · aiilk = 9 + 3,23 = 12,23 millones de u.m.
o bien, siguiendo el procedimiento alternativo señalado anteriormente (que, en
general , no es correcto):
VG = VS + (B - k · VS)n = 9 + 7,60 = 16,60 millones de u.m.
Algunos autores señalan que el tipo de rendimiento normal k no ha de ser
aplicado al valor sustancial sino al valor global de la empresa, pues es éste el
importe en el que el adquirente de la misma tendría que comprarla y , por tanto, el tamaño de su inversión. E l superrendimiento ha de ser la diferencia entre
el beneficio anual que obtiene adquiriendo esta empresa, B, y el que obtendría
con una inversión del mismo importe , VG , que tuviera un interés igual al que
es normal en el mercado. Conforme a esta perspectiva:
VG = VS + (B - k · VG)a,ilk VG = VS + B,ilk - k · VG · a,ilk -
-
VG( l + kaiilk) = VS + Baiilk -
VS + Ba,i1k
VG = - - - ~
Así, en este caso:
VG= -
362
9 + 1,28am0 1
- --==,_,_
1 + 0,lawo, ,
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
9 + 1 ,28 · 8 ,5 1
-- -- - = 10,75 millones de u.m.
1 + 0 ,1 · 8 ,5 1
Problema 4.4.5
Valoración de empresas
El valor sustanc ial de U necli valsa es de 100 u.m. y se espera que obtenga un
bene fi c io anual ele 50 u.m. Se desea conocer su v alor ele rendimiento , su fondo
de comerc io y su valor global consicleranclo que el tipo ele rentabilidad norm al
es el 12 por 100 y que, para ac tualizar los benefic ios, ha ele aplicarse un tipo del
15 por I00 ,en los dos supuestos siguientes :
a) La empresa tiene una durac ión ilimitada.
/J) L a empresa durará qu ince años.
RESOLUCIÓ N
a) En el caso de durac ión ilimitada se obti ene:
Va lor de rend imiento:
VR = -
B
k'
SO
-
= - - = 333,33 u.m .
0 , 15
Fondo ele comercio por el método indirecto:
FC = VR - VS = 333,33 - 100 = 233,33 u.m.
Fondo ele comercio por el método directo :
B - k · VS
FC = -- - k'
50 - 0 ,12 · JOO
- - -- - = 255 ,33 Ll.111.
0 ,15
Val o r g lobal por el métod o al emán:
ve = VS + ( 1/2)( VR - VS) = ( 1/2)( VS + VR) =
= ( J/2)( I00 + 333,33) = 2 16,66 U.m.
Val or g lobal por el método ang losajón habitual:
(8 - k · VS)
-
-
ve = vs + - - -- - = 100 + 253,33 = 353,33 u.m.
k'
V alor g lobal por el método anglosajón rev isado . Apli c ando el interés normal al propio val or g lobal , se obtiene:
ve = \IS + (B - k . ve)
k'
ve = vs + -
8
k'
- ve -
k
k'
VS + (Blk' )
_,, Ve = - - - - 1
+ (klk' )
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
363
VS · k' + B
100 · 0,15 + 50
k' + k
0 ,15 + 0,12
= - - - - = - - - - - - = 240,74 u.m.
b) Si se supone que la empresa durará quince años , los resultados son los
siguientes:
Valor de rendimiento:
1 - (1 + 0,15)- 15
VR = Ba,-¡¡k' = 50a1510 , 15 = 50 - - - - -- - = 292,36 u.m.
0 ,15
Fondo de comercio por el método indirecto:
FC = VR - VS = 292,36 - 100 = 192,36 u.m.
Fondo de comercio por el método directo:
FC = (B - k · VS)a,-¡¡k' = (50 - 0,12 · 100)
1 - (1 + o 15)- 15
'
0,15
= 38 · 5 ,8474 = 222,20 u.m.
Valor global por el método alemán:
VG = VS + (1/2)(VR - VS) = (1/2)(VS + VR) =
=
(1/2)(100 + 292,36) = 196,18 u.m.
Valor global por el método anglosajón correcto habitual:
VG = VS + (B - k · VS)a,-¡¡k' = 100 + 222 ,20 = 322,20 u.m.
-
Valor global por el método anglosajón simplificado y generalmente incorrecto (pues lo adecuado es actualizar):
VG = VS + (B - k · VS)n = 100 + (50 - 0 ,12 · 100)15 = 670 u.m.
Valor global por el método anglosajón revisado. Aplicando el tipo de
rentabilidad normal al propio valor global , se obtiene:
VG = VS + (B - k · VG)a,-¡¡k' -
_ 100 + 50aisb
_
ª
VG = VS + B . 11 1J'
1 + k · a1111'
100 + 50 · 5,8474
15
- ---~~~
- - - - - - - - = 230,58 u.m.
1 + 0,12aisb,i 5
1 + 0,12 · 5.8474
Como puede observarse, los resultados obtenidos varían ostensiblemente según los modelos utilizados. Se trata, no obstante, de valoraciones a partir de las
cuales comienza la negociación para la asignación definitiva de un valor a la
empresa; valor que siempre dependerá de criterios subjetivos.
364
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 4.4.6
Valoración de empresas
El valor sustancial de una empresa es de 50 u.m. y se espera que obtenga un
beneficio anual de 25 u.m. Se desea conocer su fondo ele comerc io por el
método directo considerando que el ti po de rentab il idad normal es el 12 por
100 , que, para actua l izar los benefi cios, ha ele aplicarse un ti po del 15 po r 100
y que la empresa durará J5 años.
RESOLUCIÓN
Dado que la empresa tendrá una durac ión limitada a 15 años, para calcular
el fondo ele comercio se ha de actual izar el superrendimiento durante esos años:
- ( 1 + 0 ,15) - 15
FC = (25 - 0 , 12 X 50) - -- - - - = 19 X 5 ,8474 = 11 1,1 u.m .
0 , 15
Problema 4.4.7
Valoración de e mpresas
El beneficio neto anual dispon ible para los accionistas de Truned , S.A., es
128 u.m. y su valor sustancial importa 900 u.m. ¿Cuánto vale el fo ndo de comercio ele esta empresa por el método directo , si sus acc ionistas pueden obtener en el mercado financiero un t ipo de interés normal del 10 por 100?
RESOLUCIÓ N
Supon iendo que la duración de la empresa es ilimitada:
B - k · VS
FC = - -- k
Problema 4.4.8
128 - 0 ,10 · 900
- - - - - - - = 380 u .m.
0,10
Valoración de empresas
U na empresa cuyo valor sustancial importa 100 u.111. tiene una duració n i limitada , generando un benefic io anual ele 50 u .m. y el tipo de descuento apl i cable es el 15% anual. Si el tipo de rentabilidad normal que puede obtenerse en
el mercado financiero es el 20 % anual con un r iesgo semejante al de la in versión en esta empresa, ¿cuánto vale el fo ndo de comerci o de esta empresa?
RESOLUCIÓN
Superbeneficio = 50 - 0,20 · 100 = 30 u.m.
30
. =~
F . e omerc,o
= 200 u.m.
RIESGO Y VALORACIÓN DE EMPRESAS
365
Problema 4.4.9
Valoración de empresas
¿Cuánto vale el valor global de la empresa del problema anterior, según el
método directo?
RESOLUCIÓN
En el método directo el valor global se obtiene sumando el valor sustancial
(parte material) y el fondo de comercio (parte inmaterial):
V. Global= VS + FC = 100 + 200 = 300 u.m.
Parte 111
Dirección
de la producción
Capítulo 5. Objetivos, alternativas y decisiones de p roducción
Capítulo 6.
Capacidad de producción y logística
Objetivos, alternativas
y decisiones de producción
La primera decisión: producir o comprar
Los costes de producción y su control
La productividad
Los bienes de equipo
Sistemas de remuneración por incentivos
5
l.
La primera decisión: producir o comprar
Problema 5. 1. 1
La decisión de producir o comprar
Para elabo rar su producto (un vehícu lo todoterreno capaz de sumergirse en
el mar, denominado A utosubmarino GTJ), la empresa Unedfutu ros, S. A. , va a
neces itar el componente indu strial TRX- rr , del cual se prec isa una unidad
por cada vehículo fabricado. Las alternati vas ex isten tes son dos: adquirirlo en
el exteri or a un precio ele 5.000 u.m. cada unidad o elaborarlo en la propia empresa. En este segundo caso, se incurriría en unos cos tes f ijos valorados en
100.000 u.m. al año , y cada unidad tend ría un coste variable igual a 2.500 u.m.
Se desea saber para qué cantidad anual de vehículos fabricados comi enza a ser
preferibl e fab r icar el TRX-Il en la propia empresa .
RESOLUC IÓN
Siendo p el prec io que habría que pagar por cada unidad si se adquiere fuera , c 11 el coste variable asociado a la producción ele una unidad , C,, los costes fi jos anuales necesarios para acometer la elaboración del bien o ser vicio y P el
número ele unidades necesa rias al año, interesará producir cuando:
e,, + l\,P < P • P
es decir , cuando el coste total de «produc ir» sea in ferior al coste ele «comprar» .
Dicho ele otro modo , la decisión óptima será la de elaborar el producto cuando:
e,,
P > - ~p -
Cv
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
371
En el caso planteado en el enunciado, se obtiene:
100.000
- - - - - - = 40 componentes
5 .000 - 2.500
Puesto que cada vehículo requiere un componente, sólo interesará elaborar
tales componentes cuando el número de vehículos fabricados supere los 40 vehículos anuales. En otro caso, es preferible adquirir los componentes en el exterior.
Problema 5.1.2
La decisión de producir o comprar
Una empresa necesita adquirir unos componentes que puede comprar en el
exterior por 5.000 u.m. cada unidad , o fabricarlos ella con un coste variable de
2.500 u.m. y un coste fijo anual de 200.000 u.m. Se desea saber cuántos componentes debe necesitar al año como mínimo para que sea preferible fabricarlos.
RESOLUCIÓN
200.000
- -- - - - = 80 u.f.
5.000 - 2.500
Problema 5. 1.3
La decisión de producir o comprar
La diferencia entre el precio de adquirir un componente fuera y su coste variable unitario si se fabrica dentro es el 0 ,25 por 100 del coste fijo anual total
que requiere fabricarlo dentro. ¿Para qué volumen de componentes anuales es
indiferente fabricarlos o comprarlos?
RESOLUCIÓN
1
-
1
- - == 400 u.f.
0,0025
2.
Los costes de producción y su control
Problema 5.2.1
Los costes de producción y su control. Direct costíng
Sea una empresa que fabrica dos tipos de productos: A y B. El mes pasado,
por diferentes partidas, tuvo 1.100 u.m. de costes fijos , y elaboró 120 unidades
372
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
de A y 180 de B , las cuales vendió inmediatamente a un precio unitario de 100
u.m. y 80 u.m., respecti vamen te. Al comienzo del mes la empresa no tenía ex istencias de prod uctos en curso ele fabricación ni termin ados y los cos tes vari ables del período fueron:
Producto A
Materias primas
Mano de ob ra vari able
Combustible
Materias auxiliares
Total cos tes var iables
Producto B
640
500
150
I SO
900
500
180
220
] .440 U . m .
1.800 U.m.
Se desea anal izar la estructura ele márgenes ele esta empresa por el método
del direcl casting.
RESOLUCIÓN
Cuando una empresa elabora varios productos , para determinar el coste ele
cada uno de el los es prec iso di stribu ir los costes fijos, es deci r , aquellos que
no se modifican con el volumen de producción . En la técni ca delfu/1-cosling
los costes fijos se distribuyen prorrateándolos en proporción a los cos tes variab les totales ele los diversos productos o a l os costes de los materi ales que
llevan incorporados, y el precio de coste es el resultado ele añadi r , al coste variab le unitario , los costes fij os unitarios correspondientes. En la técnica del
direc1 cosling a cada producto se le imputa como precio de coste sol amente
su cos te variab le. A la diferen cia entre el precio ele venta y el coste variable
unitario se le denomina margen brulo unitario. Al multipli carle por el número de un idades vend idas resulta el margen brulo 101al del producto. Sumando los márgenes de los diversos productos, se obtiene el margen bruto de
la empresa, del que , fina l mente, se deducen los costes fijos para determin ar
el beneficio ne /o.
c 1,A = Coste variab le unitario medio del producto A =
Costes variables totales de A
Producción de A
1 .440
- - - == J 2 U.111.
120
1.800
c 118 = Coste variable unitario medio del producto B = - - 10 U.m.
180
M argen de beneficio bruto unitario del producto A =
= mA = Precio de venta unitario de A - c 11,1 = 100 - 12 = 88 u.m .
Margen de benefi cio bruto unitario del prod ucto B =
= 111 11 = 80 - 10 = 70 U.m .
Margen ele benefi c io bruto total del producto A =
= MBA = 111,1 • Número de unidades vend idas ele A = 88 · 120 = 10.560 u.m.
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCION
373
Margen de beneficio bruto total del producto B =
= MB 8 = 70 · 180 = 12.600 u.m.
Margen de beneficio bruto total de la empresa =
= MB =MEA+ MB8 = 23.160 u.m.
Beneficio neto total de la empresa =
= MB - Costes fijos= 23.160 - 1.100 = 22.060 u.m.
La información así elaborada puede ser ordenada en la tabla 5 .1 de direct
casting.
1
' 1
1
120 · 100 = 12.000
180 · 80 = 14.400
26.400
Costes variables de las ventas:
- Materias primas
- Mano de obra variable
- Combustible
- Materiales auxiliares
640
500
150
150
900
500
180
220
1.540
1.000
330
370
Total costes variables
de las ventas (11)
1.440
1.800
3.240
Margen de beneficio
bruto = 111 = 1- 11
10.560
12.600
23.160
Ventas (1)
TABLA 5.1
Problema 5.2.2
Costes fijos (IV)
1.100
Beneficio neto total = 111 = IV
22.060
Los costes de producción y su control. Costes estándares
La empresa GUSA había estimado para el pasado mes una producción estándar de 4.000 unidades físicas (u.f.) de producto y los siguientes costes estándares de materias primas.
F . = Unidades físicas a consumir para elaborar la producción estándar =
= 2.000 kg
f.= Precio de adquisición estándar por unidad de materia prima = 4 u.m./kg
Finalizado el mes, la producción real fue de 3 .600 u.f. con los siguientes
consumos efectivos:
F,. = 1.890 kg
f,. = 5 u.m./kg
Se desea analizar las desviaciones producidas.
374
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
R ESOLUCIÓN
Segú n las esti maciones , se iban a utili za r 2 .000 kg ele materia prima para
obtener 4.000 un idades ele producto; es deci r , 0,5 kg (2 .000/4.000) por unidad
termi nada. En rea lidad , se han empl eado 1.890 kg para fabrica r 3.600 u .r. de
producto ( 1.890/3.600 = 0 ,525 kg por unidad term inada) . Además, el prec io del
k i logra mo ele materia prima ha siclo super ior al prev isto en una u.m.
Resumiendo:
-
Consumo rea l = 1.890 kg · 5 u.m ./kg = (3.600 · 0 ,525)5 = 9.450 u.m .
Consumo estándar = 2.000 kg · 4 u.m ./kg = (4.000 · 0 ,5)4 = 8.000 u.111.
Deno minando Q a la producción y.ra la cantidad con sumida por unidad ele
producto, puede escribi rse:
Desviación total = Or = Consumo rea l - Consumo prev isto =
= FJ;. - F_f = P,xJ;. - P_,xJ;. = 9.450 - 8.000 = 1.450 U.ll1.
I mporta pun tual izar que:
a) A lgunos autores mielen la desviación ele lo previsto respecto a lo real , en
lugar ele lo efecti vo respecto al estándar. En tal caso, como es o bvio, la
desv iac ión total será la mi sma, pero ele sig no contrario.
b) Res ulta ele gran interés, cuando el volumen ele fabr icación real no co incide con el prev isto, medir la desv iación entre el consumo real y el consumo estándar correspondiente a la producción efecti va . A sí, en el presente caso, ciado que, según el estándar , a cada unidad ele produc to le
corresponde un consumo ele O,5 kg , a 4 u .111. cad a uno , a las 3 .600 u .f.
rea l mente fab r icadas le corresponderán:
3.600 · 0 ,5 · 4 = 7 .200 U.111.
con lo cual , la desv iac ión ha siclo:
O = Consumo rea l - Consumo estándar correspondiente a la producc ión
real = 9.450 - 7.200 = 2 .250 u.111. = P,,rJ;- P,xJ: = P,(:r:J;. - x/J
Tanto una como otra desv i ación se han prod ucido por var iac io nes en las
cantid ades y en los prec ios ele las materias primas. Así, en cuanto a la pri mera,
pueden distinguirse:
Desviación en precio = 0 1, = (!;. - f)Fr = (5 - 4) 1.890 = 1.890 u .111.
Desviac ión en can tidad = O,. = (F,. Desv iac ió n tota l = D
F,)J.'. = ( 1.890 - 2.000)4 = - 440 u .111 .
" + O = 1.890 - 440 = 1.450 u .m.
(_'
En cuanto a la segund a:
D esv iación en prec io o desv iación económica = 0 1, = (f,. - .f)F,. = 1.890 u.111.
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓ N
375
Desviación en cantidad o desviación técnica = De = (F,. - P,.x,)fs =
= (1.890 - 3.600 · 0,5)4 = 360 u.m.
Desviación total = D = DP +De = 1.890 + 360 =
= 2.250 u.m.
Problema 5.2.3
Los costes de producción y su control. Costes estándares
La empresa PASA realizó a comienzo del mes pasado unas previsiones de
coste. Tanto dichas previsiones como los consumos efectivos se recogen en la
tabla 5.2.
La producción efectiva fue de 2.000 unidades, habiendo sido previsto un estándar de 2.500.
Se desea analizar las desviaciones del período.
TABLA 5.2
Mano de
obra
3.000 h/ h
Materias
primas
1.500 kg
1.000 u.m . 3.000.000 u.m.
3.100 h/h
750.000 u.m.
1.550 kg
500 u.m.
1.200 u.m. 3.720.000 u.m.
525 u.m.
813.750 u.m.
RESOLUCIÓN
Dado que la producción real no coincidió con la estándar, el análisis de mayor interés es el que se expuso en segundo lugar en el problema anterior. Tal
será el que se realizará seguidamente.
a) Desviaciones en mano de obra:
Desviación económica= DP = (f,. - J,)F,. = (1.200 - 1.000)3.100 = 620.000 u.m.
. . , tecmca
, . = D = (F - P,x)F = ( 3 .100 - 2.000 -3 .000
)
Desviac10n
e
,
, s'J s
_- - 1.000 =
2 500
= 700.000 u.m.
Desviación total = Dr = P,(xJ,. - xj) =
3.100
3.000
)
= 2.000 ( - · 1.200 - - - · 1.000 = l.320.000 u.m. = D + D
2.000
2.500
p
e
Tanto en precios como en cantidades, las desviaciones han sido desfavorables. Se había previsto un consumo de 3.000/2.500 = 1,2 horas/hombre
por unidad de producto, y se consumieron 3.100/2.000 = 1,55 horas/hombre.
376
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
L a diferenc ia es ele 0,35 horas/hombre por unidad ele producción real ; es dec ir ,
0,35 · 2.000 = 700 horas/hombre en total , que, va loradas al precio estándar, representan una desviac ión técn ica ele 700 · 1.000 = 700.000 u.m. A demás, el
precio rea l ha siclo 200 u.m . mayor que el estándar por cada hora empleada, por
lo que la desviación eco nóm ica resu lLa igual a 200 · 3. 100 = 620.000. L a desv iac ión Lo tal es la suma de ambas.
b) Desv iaciones en mater ias primas:
Desv iación econó mi ca = D,, = (525 - 500) 1.550 = 38.750 u .m .
Desv iac ión técnica = D .= ( J .550 - 2.000 I .SOO
'
. .,
2.500
.
.
)sao = 175.000 u.m.
( 1.550
2.500
1.500
2.500
Desviac1on total = D.,. = P .(xj1. - x f) = 2 .000 - - · 525 - - - · 500
,
,\
'
)
= 2 J 3.750 U . 111 . = D,, + De
También en este caso han siclo desfavorables las dos desviaciones. Se han consumido 1.550/ 1000 - 1.50012.500 = 0 , 175 kg, por unidad de producto, m ás de
lo prev isto, que, valoradas al prec io está ndar representan un to tal , pa ra el
conj unto de la producc ión real , igual a 175.000 (es decir, 0 , 175 · 500 · 2.000) .
Por o tra par te , el precio real ha sido superi or , en 25 u.m ., al estándar , lo que,
para el to tal del consumo rea l ( 1.550 kg) , representa una desv iació n igual a
38.750 u .111 . L a desviac ión total es, por consiguiente , de:
175.000 + 38.750 = 2 13.750 U.m .
e) Desv iación total del per íodo :
Será igual al resultado de añadi r la desv iac ión total en materi as primas a la
habida en mano de obra, obteniéndose:
1.320 .ÜÜÜ + 2 13.750 = 1.533.750 U.111 .
Problema 5.2.4
Los costes de producción y su c ontrol . Costes estándares
Para c ierto factor de produ cc ión , una em presa prev ió a com ienzos del trimestre pasado un precio unitari o de 500 u .m . y el real ha sido de 600 u.m . L a
cantid ad realmente utili zada de este factor ha sido de 3. 100 u .f. Si la desviación
to tal ha siclo de 660 .000 u .m ., ¿cuán to ha va lido l a desviac ión téc ni ca?
R ESOLUCIÓN
Co mo se v io en el prob lem a anteri or , la desv iación económ ica será:
D,, = (600 - 500) · 3. 100 = 3 10 .000 u.m .
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCION
377
Y, por consiguiente, la desviación técnica vale 350.000 u .m.:
De = DT- DP = 660.000 - 310.000 = 350.000 u.m.
Problema 5.2.5
Los costes de producción y su control. Costes estándares
La empresa Unedosa a comienzos del mes pasado preveía producir 125 u.f. y
utilizar 150 u.f. de materias primas a un precio de 200 u.m. cada una. En rea-lidad utilizó 155 u.f. de materias primas a un precio de 240 u.m. cada una, y su
producción fue de 100 u.f. Según los costes estándares, la desviación técnica fue:
RESOLUCIÓN
Según los datos del enunciado:
Ps = 125 u.f.
Fs = 150 u.f.
f s = 200 u.m .
P,. = 100 u.f.
F,. = 155 u.f.
f,. = 240 u.m.
Por lo tanto:
DC = (F,. - xsP,.)fs
F
150
x= - s= - - = 1 2
s
P
125
'
s
DC = ( 155 - 1,2 · 100) · 200 = (155 - 120) · 200 = 7.000 u.m.
3.
La productividad
Problema 5.3.1
La productividad
Uned'art es una cooperativa de trabajadores que se dedica a la fabricación
de cestos y maletas de mimbre. El pasado año contaba con veinte operarios dedicados a la fabricación de cestos y treinta asignados a la elaboración de maletas, siendo la producción de 15.000 cestos y 21.000 maletas. Este año se efectuó una reasignación por la cual diez trabajadores dedicados a la fabricación de
maletas pasaron a la de cestos, con lo cual se elaboraron 24.000 cestos y
12.000 maletas. Se desea conocer la incidencia de la reasignación en la pro-
378
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
clucti v iclad de la mano ele obra ele la empresa, en cada tipo de produc to, sab iendo que no se modifi có el número de horas trabajada s po r cada operari o al
cabo del año.
RESOLUCIÓN
L a rac ionalidad ele las decisiones depende de su contribuc ión a los objeti vos deseados . Un obj eti vo final o, más frecuentemente, intermedio para la consecución ele otros objet ivos , es el referido a la procluctiviclacl ele los factores. La
procluctiviclacl es una medida técnica que relac iona la prod ucc ión obten ida y los
medios apl icados para alca nzarla. As í, en este caso, en el pasado año, la produc ti vidad ele la sección ele ces tos fue:
p
o .e
Producc ió n
15.000
Ca ntidad ele factor apli cado
20
- - - -- - -- - - - - - = - --
= 750 cestos/hombre
y ele form a semeja nte se calcula la prod ucti vidad ele la secc ión de ma leta s el
mismo año:
P
= -
"·"'
2 1.000
- = 700 maletas/hombre
30
En cuanto a las producti v idades de las dos secciones este año , se obtiene:
24.000
P1_c = - - -+- I-
20
0
= 800 cesto s/ho mbre
12.000
30 - 10
P 1 = - - - - = 600 maletas/ho mbre
.III
Por consiguiente, la prod uc ti vidad de la secc ió n de cestos aumentó un
6,67 por 100, mientras que la de maletas se red ujo en un 14,29 por l 00:
VP = e
800 - 750
- - - = O 0667 = 6 67 por 100
750
'
'
600 - 700
VP 111 = -
- - - = - 0,1429 = - 14,29 por IO0
700
L a razón puede encontrarse en que los operarios tran sferidos tienen una produc ti vidad superior a la media.
Problema 5.3.2
La productividad
Botijunecl es una coopera tiva artesanal dedicada a la fabri cació n ele botijos
destin ados, princ ipalmente, a la exportación a países ele clima dliclo. El pasado
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
379
año, los veinte socios de esta empresa trabajaron las 1.760 horas, cada uno, que
constituyen el tiempo de trabajo previsto en condiciones normales, y produjeron 70.400 botijos. Este año, que ahora termina, se cambiaron los antiguos
tornos manuales por otros eléctricos de mayor rapidez y , como consecuencia,
a pesar de que la modernización impidió a estos operarios trabajar durante tres
días, perdiéndose ocho horas diarias de trabajo en cada uno de ellos, la producción se ha elevado a 104.160 botijos. Se desea analizar la productividad de
la mano de obra en cada uno de los años y su evolución.
RESOLUCIÓN
La productividad el pasado año fue:
70.400
P0 = - - - - - = 2 botijos cada hora/hombre
1.760 X 20
En el año actual, cabe distinguir entre la productividad bruta, que se mide
en relación a las horas de trabajo habituales (sin descontar las horas perdidas),
y la productividad neta, que se mide en relación a las horas de trabajo efectivas.
La productividad bruta será:
104.160
P 18 = - -- - - = 2,96 botiJ·os cada hora/hombre
1.760 X 20
mientras que la productividad neta valdrá:
104.160
(1.760 - 3X8)X20
.
PIN = - - - -- -· - - - = 3 botiJOS cada hora/hombre
La evolución de la productividad puede medirse tomando la productividad
bruta o la neta. En el primer caso, se obtiene, como coeficiente de variación:
2 ,96 - 2
VP 8 = - - - = 0 ,48 = 48 por 100
2
en tanto que, en el segundo , se obtiene:
3- 2
VPN = -
- - = 0,50 = 50 por 100
2
Si la productividad se mide por hombre, en lugar de hacerse por hora/hombre , se obtiene, para el pasado año:
70.400
P'0 = - - - = 3.520 botiJ·os/hombre
20
380
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
y para el presente:
104. 160
P¡ = - - - - = 5 .208 botijos/ho mbre
20
El coe fi ciente de vari ación de la productiv idad coincide, en tal caso, con los
d lculos efectuados para el caso en el que l a producti vidad ele la hora/hombre
se mida en términ os brutos :
5 .20 8 - 3.520
VP ' = - - - - - - = 0,48 = 48 por 100
3 .520
Problema 5.3.3
La productividad
En Obu nedsa utili zan los facto res ele producción A , By C para elaborar los
produc tos X, Y y Z. En la tabla 5.3 se recogen, en unidades físicas y en unidades monetarias, las cantidades elaboradas de los tres productos y las empleadas
de los tres factores en dos años consecuti vos.
Se desea conocer el índice y la Tasa de Productividad G lobal que miden l a
evo lución de la produc tividad de la empresa entre estos dos años.
TABLA 5.3
Factor A
Factor B
Factor C
100
110
200
1.000
2.200
6.000
150
120
190
1.800
2.880
6.840
Producto X
Producto Y
200
250
400
8.000
7.500
16.000
210
240
500
10.920
8.640
26.000
Producto Z
RESOLUCIÓN
La productividad es una medida de carácter técnico que rel aciona la producción obtenida y los recursos utili zados para obtenerl a, y, como tal , tanto la
producción como los medios han de ser med idos en unidades físicas. Pero ,
dado q ue los distintos factores y los d ife rentes productos son heterogéneos y,
por tanto , sus cantidades físicas no son sumables, para medi r l a producti vidad
g lobal de una empresa, la producción total y l a cantidad to ta l ele factores empleados han de ser valoradas en unid ades monetarias .
No obstante, para poder efectuar comparac iones entre la producti vid ad de
un período y la ele otro, si n que la evolución de los precios de los facto res y de
los productos influy a en los resultados, las valoraciones han ele rea lizarse
OBJETIVOS, A LTERNATIVAS Y DECISIO NES DE PRODUCCIÓN
381
aplicando precios constantes. Así, si una empresa utiliza m factores de produción con los que elaboran productos, denominando:
P1.: al volumen elaborado, en unidades físicas, del producto ) en el período
O, y p. a su precio unitario en ese período ;
F;: a la c~ntidad utilizada del factor i en el período O, y Í; a su coste unitario
en ese período;
Ll: a la variación, positiva o negativa, experimentada por la variable ante la
que se sitúa este símbolo, en el período 1 respecto al período O;
efectuando las valoraciones con los precios y costes del período O, la productividad de la empresa en dicho período sería:
11
I p. P
j= 1
J
J
111
I f..F.
J
i=l
I
siendo la del período 1:
11
I p.P(P.J + LlP.)J
j= 1 J J
p1 =
111
I Í; (F; + LlF¡)
i =I
El coeficiente que mide la relación entre ambas productividades en el índice
de Productividad Global:
11
I p .(PJ. + LlP.)J
j= 1 J
111
I J:F.
i=l J
I
11
111
I !;(F; + LlF¡)
i= I
I p .P .
j= l
J
J
La Tasa de Productividad Global mide la proporción de variación de la productividad entre los dos períodos:
T PG =
p - P0
'-
= IPG - l
Po
El precio o coste unitario habrá de ser igual al cociente entre el valor en unidades monetarias y la cantidad de unidades físicas del producto o factor en
cuestión. Así, en este caso:
1.000
JA = - - = 10 u.m./u.f.
100
382
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
.1;1 =
./~ =
Px =
Pi, =
2.200
110
6.000
200
8 .000
200
7.500
250
16 .000
Pz =
400
= 20 u.m ./u.f.
= 30 u.111 ./uJ.
= 40 u.111 ./u.f.
= 30 u .m ./u.r.
= 40 u .m ./u .f
Por otra parte, según el enunciado:
11/
I J; F; = J .000 + 2.200 + 6 .000 = 9.200 u .m .
i= I
11
_¿ p .P. = 8.000 + 7.500 + 16.000 = 3 1.500 U .111 .
j= 1 J J
FA+ Di.FA= 150
Fil + 6.Fu = 120
Fe+ 6.Fc = 190
Px+ 6.Px=2 10
P¡, + 6.Py = 240
P2 + 6.P2 = 500
En consecuenc ia:
11/
-= f(F¡ + 6.F) = 10 · 150 + 20 · 120 + 30 · 190 = 9.600 U.111 ,
i= I
11
~ p (p.+ 6.P .) = 40 · 2 JO + 30 · 240 + 40 · 500 = 35 .600 U .111.
j= 1
J
J
J
Y , sustitu yendo en las ex presiones del !PG y de la TPG , se obtienen los sig uientes resultados:
IPG =
35.600
9 .600
9.200
- - - = 1,083 1 = 108,3 1 por 100
3 l .500
TPG = 1,083 1 - 1 = 0 ,083 1 = 8,3 1 po r 100
La producti vidad se elevó un 8,3 1 por 100; es dec ir, la produc ti v idad del
año I representa un 108 ,3 1 por 100 respecto a la del año O.
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
383
Problema 5 .3.4
La productividad
Divuned, S. A., es una empresa que tiene dos divisiones, I y II. En la primera
elabora los productos X, Y y Z, utilizando los factores A, B y C; en la segunda fabrica los productos U, V y W, con los factores D , E y F. En la tabla 5.4 se recogen los precios de los distintos factores y productos del pasado año (año O),
así como las cantidades utilizadas y elaboradas, de cada uno de ellos, en dicho
año y en el que ahora termina (año 1).
Se desea conocer, para cada una de las divisiones y para la empresa en su
conjunto:
a) Los índices de evolución de las cantidades producidas de Laspeyres.
b) Los índices de evolución de las cantidades de factores empleados de
Laspeyres.
e) Los índices de Productividad Global.
d) Las Tasas de Productividad Global.
Factores
A
B
e
o
E
F
Productos
X
y
z
u
V
TABLA 5.4
w
100
120
50
70
60
200
1.000
2.000
5.000
800
1.400
90
1.100
2.050
4.500
1.000
1.450
1.200
200
100
150
120
110
100
10.000
15.000
10.000
9.000
20.000
10.000
11 .000
20.000
12.000
9.000
18.000
9.000
RESOLUCIÓN
a) Los índices de cantidades de Laspeyres miden la evolución de los volúmenes valorándolos según los precios del período inicial. Así, utilizando la
simbología del problema anterior, el índice de la evolución de la producción entre los dos períodos sería:
11
I p .(P.1 + l:!.P1.)
j= I J
ILP = - - --11
p .P .
I
i= 1
384
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
J
J
Por consiguiente, se obtiene:
Para la división 1, en la que se elaboran los produ ctos X, Y y Z :
6.000.000
200 · 11.000 + 100 · 20.000 + 150 · 12.000
IL 1,_1 = - - - - - - - - - -- - - - ---- - - = - - - - =
200 · 10.000 + 100 · 15.000 + 150 · 10.000
5.000.000
= 1,2 = 120 por J00
Para la división IJ , en la que se fabri can los productos U , \/ y W:
120 · 9.000 + 1JO · 18 .000 + 100 · 9.000
3 .960.000
120 · 9.000 + l 10 · 20.000 + 100 · 10.000
4.280.000
/LP.11 = - - - - - --- - - - - - - -- - - = - - - - =
= 92 ,52 por l 00
Para la empresa en su conj unto:
IL,,c = 6.000.000 + 3 .960.000 = l ,0733 = 107,33 por JOO
.
5.000.000 + 4.280.000
La relación entre la producció n del año J y l a del año O es de un J 20 por
100 en la división l , de un 92,52 por JOO en la d iv isión ll y de un l 07 ,33 por
100 para la empresa en su conju nto.
b) De forma semejante , el índice de la evol ución de los factores empleados
entre los dos períodos será:
111
¿ f;(F; + D,.F)
i= I
ILF = - - ,,,- - - -
-'\' j'., F.,
i= I
Por tanto , se o btiene:
Para la div isión 1, en la que se utilizan los factores A, By C:
100 · 1.1 00 + 120 · 2 .050 + 50 · 4.500
58 J.000
lLF,I = - -- - - -- - - - - - - - = - - - JOO · 1.000 + 120 · 2 .000 + 50 · 5 .000
590 .000
=
= 0 ,9847 = 98 ,47 por 100
Para l a división II , en la que se emplean los factores D , E y F:
70 · 1.000 + 60 · l .450 + 200 · 1.200
397 .000
ILF.11 = - -- - - - - - -- -- - - = - - 70 · 800 + 60 · l .400 + 200 · 90
158.000
= 2,5 127 = 25 1 ,27 por 100
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓ N
385
Para 1a empresa en general:
ILF,G =
581.000 + 397 .000
+
= 1,3075 = 130,75 por 100
_
_
590 000 158 000
La relación entre los factores utilizados en el año 1 y los empleados en el
año O es de un 98,47 por 100 en la división I, de un 251,27 por 100 en la división II y de un 130,75 por 100 en la empresa en su conjunto.
e) A la vista de los resultados obtenidos hasta el momento , puede concluirse que la evolución de la producción fue favorable en la división I y en la
empresa en su conjunto , siendo desfavorable en la división II. En cuanto a la
evolución de los factores aplicados para obtener estos resultados, también
fue favorable en la división I, siendo desfavorable en la II y en la empresa en
general. En el conjunto de la empresa, la producción del año 1 representa un
107 ,33 por 100 respecto a la del año O, mientras que los factores empleados en
el último año suponen un 130,75 por 100 de los utilizados en el pasado año. Por
consiguiente, la evolución general de 1a productividad ha sido negativa. Pero,
para cuantificarla y explicar cómo han influido las dos divisiones en la misma,
adviértase que, según la expresión del JPG del problema anterior y las que, en
éste, se han señalado para el ILP y el ILF , se deduce que:
!L
JPG = _P_
ILF
Por tanto:
IPGI =
1,2
0 ,9847
IPGII =
!PGG =
0 ,9252
2 ,5127
1,0733
1,3075
= 1,2186 = 121 ,86 por 100
= 0 ,3682 = 36,82 por 100
= 0,8209 = 82,09 por 100
La productividad global de la empresa en el año que ahora termina representa un 82,09 por 100 respecto a la del pasado año, debido a la desfavorable
evolución de la división II que no fue cubierta por la favorable evolución observada en la división l.
d) Conforme se expuso en el problema anterior, la tasa de productividad
global es igual a:
TPG = !PG - 1
386
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Po r consiguiente:
TPC 1 = 1,2 186 - 1 = 0,2 186 = 2 1,86 por 100
T PC 11 = 0 ,36 82 - 1 = - 0 ,63 18 = - 63, 18 por 100
TPCc; = 0 ,8209 - 1 = - 0 , 179 1 = - 17 ,9 1 por 100
Dada la des favorabl e evo lución ex perimentada en la divi sión JI , cuya produ cti vidad se redujo en un 63, 18 por 100, la producti v idad general de la empresa di sminuyó en un 17 ,91 por 100, a pesar de la favorab le evolución de la
producti vidad en la d i visión l , que aumentó un 2 1,86 por 100 entre los dos períodos anuales.
Problema 5.3.5
La productividad
En una empresa , según los índices de Laspeyres, su producc ión ha aumentado un 15 por 100 y ha utili zado un IO por 100 menos de factores. ¿En qué
porcentaje se ha mod i ficado su produc tividad global ?
RESOLUCIÓN
I L 1, = 1 + 0 ,15 = 1, 15
ILF = 1 - 0 , 10 = 0 ,9
IL1,
!PG = -
IL¡:
l , 15
= - - = l 2778
0 ,9
'
TPG = IPG - 1 = 1,2778 - J = 0,2778 por 1 = 27 ,78 por 100
L a productividad ha aumentado un 27 ,78 por I OO.
Problema 5.3.6
La productividad
Si la tasa ele producti v idad g lobal de una empresa ha sido el 30 por 100 y su
índice de evol ució n de los facto res em pleados ele Laspey res ha val ido 95 por
100 , ¿cuánto ha valido su índice de evolución ele la producc ión de L aspeyres?
RESOLUCIÓN
I PC = TPG + 1 = O,30 + 1 = 1,3
!PG = -
/L 1,
I L 1.•
!L1,
-= l 3
0 ,95
'
=-
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
387
de donde se deduce que:
ILP = 1,3 · 0,95 = 1,235 por 1 = 123,5 por 100
Problema 5.3.7
La productividad
En una empresa, la productividad global ha subido un 20 por 100 y, según
el índice de Laspeyres, su producción se ha reducido un 20 por 100. ¿En qué
porcentaje se ha modificado la cantidad de factores que ha utilizado, según ese
índice?
RESOLUCIÓN
IPG = TPG + 1 = O,20 + 1 = 1,2
8
= 12
ILF
'
IPG = ILP = O'
ILF
de donde se deduce que:
0,8
ILF = = 0,6667 por l = 66,67 por 100
1,2
Por tanto, la cantidad de factores que ha utilizado se ha reducido en un
33 ,33 por 100:
0,6667 - 1 = -0,3333 por 1 = -33 ,33 por 100
Problema 5.3.8
La productividad
Si la tasa de productividad global de una empresa ha sido el 21,8645 por 100
y su índice de evolución de los factores empleados de Laspeyres ha valido 98,47
por 100, ¿cuál ha sido su índice de evolución de la producción de Laspeyres?
RESOLUCIÓN
En este caso:
IPG = TPG + l = 0,218645 + 1 = 1,218645
IPG = ILP = ILP = l 218645
ILF
0,9847
'
ILP = 1,218645 X 0,9847 = 1,20 por uno = 120 por 100
388
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 5.3.9
La productividad
Según los índices ele Laspeyres, la prod ucció n de una empresa ha aumentado un 6% y ha utilizado un 5% menos de fa ctores. ¿En q ué proporc ión se ha
modificado su produc ti vidad g lobal ?
RESOLUCIÓN
El problema pregunta por la tasa ele producti vidad global. En este caso:
1,06
TPG = IPG - 1 = - - - 1 = 1,11 58 - 1 = 0,1158 por 1 = J 1,58 por 100
0,95
La procluctiviclacl global de esta empresa ha aumentado un J 1,58 por ciento.
4.
Los bienes de equipo
Problema 5.4.1
Los bienes de equipo. Selección
Papunecl , S. A ., es una empresa productora y distribuidora de distintos tipos
de papel de diversos usos. Su departamento ele investigación y desarroll o ha
presentado a la dirección, y ésta ha aceptado , un proyecto de papel de tri ple
capa , cuya denominac ió n prov isional es l a marca T ripl eh ig ien, para cuya fabricación puede elegirse entre los equi pos de prod ucción A y 8 , cuyas características más relevantes se recogen en l a tab la 5 .5.
A
TABLA 5.5
B
15
14
4
El coste del capital es del 8 por IOO y se desea saber qué equipo de producción es preferibl e supon iendo que la vida de la nueva marca es ilimitada y
aplicando el criteri o del va lor actual neto .
RESOLUCIÓN
Si con el fina l de la vida del equi po finali zara la fabricación del papel, pod ría
considerarse adecuado un criterio basado en la elecció n del equipo que tu viese el
mayor \IAN o la TIR más elevada , Pero, dado que el producto tiene una v id a ili-
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
389
mitada, si se elige el equipo A, al cabo de los 3 años habría que comprar otro
equipo para continuar la producción, abonando las 10 u.m., que tiene como
desembolso inicial , y la misma operación habría que efectuar a los 6 años , a los
9 años , etc., con lo que el VAN de toda la cadena de renovaciones , VANC, valdría:
11
11
10
11
08
1 08
'
'
11
10
+ -1 ,08
- 6 - -+ ...
1,08 6
1 08
'
VANC = -10 + - - + -A
1 08
1 082
'
'
11
.
11
+ -- -+-+-+
3
3
4
5
}
1 05
'
Dado que , en ausencia de renovaciones,
VAN
A
11
} ,08
11
1,08
11
1,08
= - 10 + -- + - +-= 18,348 1 u.m.
2
3
puede escribirse la sig uiente expresión , deducida de las dos anteriores:
VANA
VANA
VANCA = VANA+------'-'-+------'-'-+ .. .
1,08 3
1,08 6
o , lo que es lo mismo:
VANCA
=VAN',( 1 + _1,08l_ + _1,08l_ + .. .)=VANA l _ _l 1_
3
6
1,08 3
1,08
1,08
3
3
= VAN11 - - -- = 18,3481 - -3- - = 89 u.m.
1,08
3 -
1
1,08
-
1
En general , tratándose de l equipo i , que dura n períodos, y siendo k el
tipo de actualización (figura 5 .1):
(1 + k)"
VANC; = VAN; (1 + k)" _ l
Así, en el caso del equipo B:
1 - (1 + 0 ,08)- 4
VAN8 = - 15 + 14a410 _08 = -15 + 14 - -- - - - = 31,3698 u.m.
0 ,08
VANC8 = 3 1,3698
8
(1 + 0 ,0 )
4
(1 + 0 ,08)4 - 1
= 11 8,39 u .m.
Al tenerse en cuenta toda la cadena de renovaciones, resulta preferible el equipo B,cuyo valor actual neto (1 18,39 u.m.) es superior al del equipo A (89 u.m.).
390
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Otra alternati va para la resoluc ió n del problema , que no precisa del supuesto de durac ión ilimitada del producto, es la basada en su pl anteamiento baj o
una base te111poral ho111ogé11ea como puedan ser los 12 años, que es el míni 1110
común múltiplo ele los años que dura el equipo A (3 años) y los que dura el equipo B (4 años). Con cuatro renovaciones del equipo A (4 · 3 = 12 años) quedarían resueltas las neces idades ele producción durante 12 años. Si se elig iera el
equipo B , serían prec isas tres renovaciones (3 · 4 = 12 años). B asta observa r la
figura 5 .1 para advertir que el val or actua l neto correspondiente a 12 años ele
func ionamiento del equipo A es:
VANC 1 = 18,348 1(1 + I
= J8,348 1
1-
1
1,083
+-
1
1 ,086
+-
1
- ) =
J ,08'J
1 08- 9 • 1 08- J
'
'
= 53,65 u .m .
1 - I,08- J
Del mi smo modo, en c uanto al equipo B,
VA NCIJ = 3 1.3698( 1 + -
1
J ,08 4
+-
1
-) =
1,088
l - ( J ,08) - 8 ( 1,08) - 4
=3 1,3698
l - ( l ,0 ) _4
= 7 1,38 u.m .
8
Con lo c ual , como es evidente, la decisión más conveniente es la mi sma a la
que se llegó bajo el supuesto ele duración il imitada, es decir, la de elegir el equipo B.
o
6
3
9
- - ~ Equipo A
12
!VANC = VAN + -VAN
.
VAN
VAN
~-+---+-~..
~
(1 + k) 3
(1 + k)6
(1 + k)9
VAN8
VAN8
VAN8
o
4
8
Equipo B
tANC _1 = VAN~ +
VANn
(1 + k)''
+
12
VANi
(1 + k) 8
FIGURA 5.1
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
391
Problema 5.4.2
Los bienes de equipo. Selección
La empresa Equitmedsa está modernizando las instalaciones de transporte
interno de sus productos , para lo cual puede instalar un sistema de conducción
en cadena (proyecto C) o unas furgonetas (proyecto F).
En la tabla 5 .6 se recogen los flujos netos de caja esperados de ambos
proyectos .
TABLA 5.6
80
70
2
140
130
3
130
120
4
120
5
110
6
100
El desembolso inicial que precisa el proyecto Ces de 400 u.m., siendo de
200 u.m. el requerido por el proyecto F. El tipo de descuento adecuado a este
análisis es del 10 por 100. Se desea saber qué proyecto es preferible aplicando,
para ello, los procedimientos siguientes:
a) El del valor actual neto de una cadena de renovaciones ilimitada.
b) El del valor actual neto de una cadena de renovaciones finita.
e) El de la comparación de las rentas anuales equivalentes de los dos pro-
yectos.
RESOLUCIÓN
a) Según se expresó en la resolución del problema anterior:
80
140
130
120
110
VAN =-400+ - - + - - + - - + - - + - - +
3
4
2
e
1,10
1,10
1,10
1,10
1,105
100
+ - - = 92,81 u.m.
1,106
(1 + k)"
1,106
VANCc = VANc - - - -- - = 92,81 - - - - = 213,10 u.m.
(1 + k)" - 1
1 ,106 - 1
392
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
70
130
120
VAN,.. = - 200 + - - + - - + - - = 6 1,23 u .m.
2
1, 1o
1, 10
1, 10 3
VANC,, = 6 1,23 -
1 103
-' - - = 246,2 1 u.111.
1,10 3 - 1
Es preferible e l proyecto F.
b) El mín i mo común mú l tiplo de las duraciones de l os dos proyectos (6
años y 3 años) es 6 años. El VAN del proyec to C sobre esta duración común es
VANc = 92,81 u.m. , pues no es precisa ning una renovac ió n ele es te equ ipo. En
cuanto al proyecto F , requeriría una renovac ió n al final de los 3 años y, por tanto , el VAN ele esta cadena será:
61 ,23
VANC,, = 61,23 + - - = 107,23 u.m .
1,103
Lo cual muestra que es preferibl e el proyecto F.
e) La renta anual constante que es equi va lente, en términos actua les, al
equipo Ces aquella que , teniendo su misma duración (6 años), produce el mismo valor actual neto (92,8 1 u.m.), es decir , aquella cuyo flujo de caja anual
constante, Q~., es tal que:
VANc = 92 ,8 1 = Q~aGlo.io 92,8 ]
o JO
= 92,8 1 - - '- - = 2 1,3 ] U.m.
ª 610.1 0
1 -
1, 1
o-6
D el mi smo modo , el flujo ele caja anual constante que tiene el mismo VAN
que e l proyecto Fes:
Q~ =
VAN,,
ª JJo.1 0
O 10
= 61 ,23 - -'- = 24 ,62 U.111.
3
J - 1 ,l 0 -
E l proyecto Fes eq uival ente a una renta de 24 ,62 u.m. anuales durante
3 años.
Supo niendo que al fina l izar cada proyecto se van efectuando suces ivas renovacio nes, estas rentas anuales equi valentes continuarán hasta el infin ito , es dec ir , serán rentas perpetuas. D ado que es mej or una renta perpetua de 24,62 u.m.
anuales que otra ele 2 1,3 1 u.m. al año , es preferible invert ir en el proyecto F.
Problema 5.4.3
Los bienes de equipo. Duración óptima
En la tabla 5.7 se recogen los flujos netos de caja esperados del equipo XRS
y l os va lo res en los que se podría vender este eq uipo en cada uno de los años
(va l or es de retiro).
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
393
TABLA 5.7
1
400
600
2
375
380
3
350
El desembolso inicial del equipo es de 960 u.m. ¿Cuál es su duración óptima si el tipo de descuento es el 10 por 100?
RESOLUCIÓN
Generalmente, los proyectos se analizan como si la empresa se comprometiera con ellos durante un cierto período. Sin embargo, en algunas ocasiones
puede ser preferible retirar el proyecto antes de que finalice su duración potencial y esta posibilidad puede afectar al VAN y a la TIR del proyecto.
Si se mantiene el equipo hasta que ya no vale nada (3 años), se obtiene un
VAN esperado igual a:
400
375
350
VAN3 = - 960 + - - + - - + - - = - 23,4 u.m .
2
1 '10
1 '10
1'103
En tal caso, no se debe aceptar el equipo, pues su VAN es negativo.
Sin embargo, si se le retira al cabo de 2 años, se perciben los flujos de caja
de esos 2 años y el valor de retiro al final del segundo año , con lo cual el VAN
es de 27 ,6 u.m.:
400
375
380
VAN=
- 960 + - - + - - + - - = 27 6u.m.
2
'
1 1O
1 102
l 10 2
'
'
'
Por tanto , si se piensa explotarlo durante 2 años y luego retirarlo , el proyecto es aceptable. Para completar el análisis, puede comprobarse que, si se le
retira al cabo de un año, su VAN es de - 50,9 1 u.m. Por tanto, la duración óptima del proyecto es de 2 años. En realidad , ésta es la única duración para la
cual el proyecto es efectuable.
Como regla general , cualquier proyecto ha de ser retirado cuando el valor
en el que se le puede vender (valor de retiro) es superior al valor actual de todos los flujos de caja que restan, descontados al momento del retiro. Por
ejemplo , si se acepta el proyecto y se le explota durante un año, el valor de retiro será 600 u .m., pero el valor actual al final del primer año de todos los flujos posteriores será:
375
350
1,10
1,10
- - + - - 2 = 630,2 u.m.
394
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
suponiendo que el proyecto contin úa hasta el fin al de l tercer aíio, y:
375
380
1, 10
1, 10
- - -f- - - = 686,4 U .111 .
si se supone que el equipo se mantiene hasta el rin al del segundo año. Dacio que
el valor ele retiro al final del primer aíio ( lo que la empresa puede obtener vend iéndolo en el ex teri or) es inferi or al va lor ac tual , en ese momento, ele los flu j os ele caj a esperados ( lo que vale, en térm inos actuales, lo que el equi po genera
dentro ele la empresa), bajo cualquiera ele las dos altern ati vas ele duración superi ores, el proyec to no ha ele ser retirad o en ese mo mento .
Sin embargo, un análisis semej ante efectuado para el final del segundo aíio
muestra que el va lor ele retiro (380 u.m.) en ese momento es superi or al va lor
descontado de los fluj os ele caja futu ros, que es ele 3 18,2 u.m .:
350
- - = 3 18,2 U.m.
1, 10
Dado que, en ese mo mento, el valor que se obtiene vendiendo el equipo es
superi or al valor actual de los fluj os de caja que generaría si no se le vende, ha
ele enajenárse le.
En otros proyectos puede haber vari os momentos, t , en los c uales el valor ele
retiro , V,, sea superior al va lo r actual ele los flujos restantes, VA R,, En tal
caso, el momento óptimo para el retiro es aquel en el cual es m ayor el VA N en
el mo mento O de la diferenc ia entre ambos, es dec ir, el impo rte:
-
l
-
( 1 + k)'
( V - \/A R )
I
I
En ef ecto , el problema es determin ar el valor ele / para el c ual es máx imo el
importe:
Q,
l +k
--º~'_
+ __Q
_2~ _ + ... +
+ __
V~
,_
( 1 +k)2
( 1 +k)'
( l +k)'
Pero, para una durac ión de 11 aíi os (n ::::: t) el VAN del proyecto es:
VAN/J =
Q,
l +k
+
Q,+1 + .. . +
º 2
+ .. . + - -º-' - +
( 1 + k) 2
(1 + k)'+I
( 1 + k)'
+
V
Q,,
+
( 1 + k)"
( J + k)"
11
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
395
Por consiguiente, se trata de determinar el valor de t para el cual es máximo
el importe:
VAN,,+
v,
Q,+2
(1 + k)t+I
(1 + k),
(1 + k)1+2
(1 + k)"
(1 + k)"
El VAN,, será cierta cantidad que no depende de t , por lo cual lo que, en definitiva, se trata de maximizar es:
__V~,- (1 + k)1
____11_
+I _ -
-----11±1._ -
Q,,
V,,
(1 + k)1+
(1 + k)1+
( 1 + k)"
(1 + k) 11
_
l
(1 + k)
-
1
2
[v _( +
(1
k)
-
V,,
)]=
Qt+I
1
Q,,
(1 + k)"- ,
1
(1 + k)"- ,
_
Q,+2
(1 + k) 2
l
(1 + k)1
(V - VAR)
,
,
Con lo que queda demostrado.
Problema 5.4.4
Los bienes de equipo. Selección
¿Cuál es la renta anual equivalente a un bien de equipo que requiere un desembolso inicial de 2.000 u .m. y que genera los siguientes flujos de caja: 700
el primer año , 1.300 el segundo y 1.200 el tercero. Tipo de descuento: 10 por
100.
RESOLUCIÓN
El valor actual neto del equipo vale 612 ,32 u.m.:
700
1 .300
1.200
VAN= - 2.000 + - - + - - -- + - - - - = 612,32
2
1 + 0 ,1
(1 + 0,1)
(1 + 0,1)3
Y su renta anual equivalente son 246 ,21 u.m.:
Q' = 612,32
Problema 5.4.5
O,l
1 - 1 1- 3
'
= 246,21 u.m.
Los bienes de equipo. Selección
El desembolso inicial de un bien de equipo es de 50 u.m. y genera tres flujos de caja anuales: 35 el primer año, 50 el segundo y 6 el tercero. Si el tipo de
396
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
descuento adecuado a este aná lis is es e l 10 po r 100, ¿cuá nto val e la renta
anual eq ui va le nte a este bie n?
RESOLUCIÓN
El va lo r actu al ne to del equipo vale 27,65 u.m.:
35
50
6
VAN = - 50 + - - - + - - -- + - -- - = 27,65
l + 0 ,J
(J + 0 , 1)2
( 1 +0,1)3
Y su renta anua l equ ivale n te son 11 , 12 u.m.:
Q
Problema 5.4.6
1
= 27,65 -
0 ,1
- - - = 11 , 12 U.111.
J - l , J -3
Los bienes de equipo. Duración óptima
En la tabla 5 .8 se recogen los flujos ele caja generados por e l robot industrial
XR-2010 , utilizado por la Robotuned Corporatio n, Inc ., así como sus valores
ele retiro, en los di stintos años de su durac ión técn ica .
2
TABLA 5.8
3
180
4
130
120
El desembo lso ini c ial del robot es de 500 u.m. S i e l tipo d e descue nto
adecuado a este análisis es e l 10 por JOO , ¿cuál es la durac ió n econó mica óptima de este bie n de equ ipo?
RESOLUCIÓN
De la forma expuesta en e l proble ma ante rior , se han calc ul ado los valores
actua les netos de este equipo, baj o los di stintos supuestos de durac ió n de l
mi smo, que se recogen en la tabla 5.9.
OBJETIVOS, ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
397
TABLA 5.9
1
- 36,36
2
- 3,30
3
65,06
4
63,70
La duración óptima es de tres años.
Otra forma de resolver el problema es calcular el valor actual de la diferencia
entre el valor de retiro, V1 , correspondiente a cada momento y el valor de los flujos restantes referido a dicho momento, VAR 1, lo que se ha efectuado en la tabla
5.10 de la forma expuesta en el problema anterior y tomando paran el instante 4:
'
TABLA 5.10
.
0,9091
300
410,07
- 100,06
2
0,8264
190
271,07
-67,00
3
0,7513
120
118, 18
1,37
4
0,6813
o
Con lo cual se llega a la misma conclusión: el momento en el que alcanza su
máximo el valor actual de la diferencia entre lo que el mercado está dispuesto
a pagar por el equipo y lo que éste vale para la empresa es el final del tercer
año. Por tanto, la duración económica óptima del equipo es la de tres años.
Problema 5.4.7
Los bienes de equipo. Duración óptima
En la tabla 5.11 se recogen los valores de retiro (V) y el valor de los flujos
restantes (VAR,) de un equipo en los cuatro años de su duración técnica. ¿Cuál es
su duración óptima si el tipo de descuento es el 10 por 100?
..
TABLA 5.11
398
1
150
205,035
2
95
135,535
3
60
59,090
4
o
o
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
No hace falta hacer ningún cálc ulo para observar que la durac ión ópti ma es
3 años. Es la única durac ión para la que la diferencia entre \/1 y \IA R 1 es mayor
que cero. Por consiguiente, es la única para la cua l también será mayor que cero
el resultado ele ac tuali zar al momento O esa d i ferenci a.
Problema 5.4.8
Los bie nes de equipo. Duración óptima
Mapiuneclita , S. A. , c uenta , entre sus acti vos, con el equipo ele prod ucc ió n
TR7 , que acaba ele adquirir clesembo lsancl o 2 .250 .000 u.rn . El TR7 es un
equipo es pec ialmente fabricado para esta empresa, q ue no sería útil para ninguna otra , po r lo que só lo se le puede vender corn o chatarra en 250.000 u.111. ,
cualquiera que sea el momento en el que se produzca su retiro. Según la empresa fabrica nte, el coste anual ele rnantenirniento del equ ipo es mayor a med ida
que éste envej ece, pues req uiere mayor gasto ele entretenimiento y reparac ión,
conforme a la tabla 5 . 12.
TABLA 5. 12
1
25.000
2
25.000
3
25.500
4
27.000
5
28.500
6
31.000
7
36.000
Esta máquina , a la que se le apl ica el método ele amortización linea l (tam bién ll amado «ele c uotas anua les constantes»), ex perimenta un a «inferioridad ele ser vic io», respecto al ú ltimo modelo que podría uti l izarse ci ados los
avances tecnológicos, tanto mayor cuanto mayor sea el número ele años tran scurridos, ele lo que se deri van unos cos tes ele oportunidad anuales que, según se
estim a, se aj ustan a la siguiente fun ción linea l:
I S, = 200.0001 + 50.000
donde/ es la v ari able tiempo ( número ele años que dura el bien ele eq uipo). Se
desea conocer la durac ión óptima ele este equipo según el método MAPI del mínimo adverso , o método ele T erborgh.
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
399
RESOLUCIÓN
Este bien de equipo comporta la existencia de dos tipos de costes:
a) Costes que crecen con el paso del tiempo (el de mantenimiento y el de
inferioridad de servicio).
b) Costes que se reducen con el paso del tiempo. Los costes anuales por
amortizaciones son tanto más pequeños cuanto mayor sea la duración
del bien, pues la base amortizable total se reparte entre mayor número de
años.
La duración óptima es aquella a la que le corresponde el mínimo coste total , y a este coste se le denomina mínimo adverso.
La depreciación del bien de equipo importa:
2 .250 .000 - 250 .000 = 2 .000 .000 de u .m.
Tal será, por tanto, la base amortizable, y la cuota de amortización anual
valdrá
2.000.000
t
TABLAS.13
2.000.000
25.000
250.000
2.275.000
2
1.000.000
25.000
450.000
1.475.000
3
666.666
25.500
650.000
1.342.166
4
500.000
27.000
850.000
1.377.000
5
400.000
28.500
1.050.000
1.478.500
6
333.333
31 .000
1.250,000
1.614.333
7
285.714
36.000
1.450.000
1.771.714
donde tes la duración del equipo. Así, si la máquina dura 2 años , la cuota de
amortización anual será de 1.000.000 u.m. , siendo de 500.000 u.m. si dura 4
años , etc.
El coste de oportunidad por inferioridad de servicio se calcula, para cada
duración, dando a t el valor correspondiente en la expresión de IS,. Sumando,
como se ha efectuado en la tabla 5. 13, este coste, el de las amortizaciones y el
de mantenimiento, se obtiene el coste anual total correspondiente a cada duración:
El mínimo adverso es de 1.342.166 u.m. y la duración óptima es de 3 años.
400
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 5.4.9
Los bienes de equipo. Amortización
Morti zuned , S. A., ha adquirido recientemente el robot de limpi eza de
oficinas RBT25, pagando por él 400 .000 u.m. L a empresa rabri cante del mi s1110 se co111pro111ete a volver a comprarlo , al cabo de los cua tro años de su duración , por 50.000 u .111. , que es , por consiguiente, su valor res idual. Se desea
conocer las cuotas de arnorti zac ió n anual es ele este inrnov il izado bajo los siguientes métodos de amorti zació n:
a) El método linea l o ele c uotas fija s.
b) El método de tanto fijo sobre una base amorti zable decrec iente.
e) El método ele los números díg itos crecientes.
e/) E l método ele los números díg itos decrecientes .
RESOLUCIÓN
a) El robot se deprec ia, a lo largo de su duración, en un importe igual a la
d i ferenc ia entre su valor i nici al ( V0 = 400.000 u.111.) y su valor res idual fina l
( V,. = 50.000 u.111.). Por tanto, su base arnorti zable, que ha de amorti zarse a lo
largo de los cuatro años, es:
M = V0 - V,.= 400.000 - 50.000 = 350 .000 u.m.
En el método lineal se arnorti za la misma cantidad todos los años de la duración (n años) del bien. Por consiguiente, en este caso, la cuota de amortización anual, A , será :
M
A = -
n
350.000
= - - - - == 87.500 ll .111 .
4
b) En el método del tanto fijo sobre una base amortizable decreciente todos
los años se apl ica una proporción de amorti zación constante, t , sobre la parte de
V0 que queda por amorti zar. Por cons iguiente, las cuotas de amortización de
cada uno de los años serán las recog idas en la tab la 5 .14.
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
A , = tV0
A 2 = t(V0 - tV0 ) = tV0 (1 - t)
A 3 = t[ V0 - tV0 - tV0 (1 - t))) = tV0 ( 1 - t) 2
A 4 = t[ V0 - tV0 - tV0 ( 1 - t) - tV0 ( 1 - t)2] = tV0 ( 1 - t) 3
n
TABLA 5.14
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCION
401
Cada año, el tanto fijo de amortización se aplica a la diferencia entre el valor inicial del bien, V0 , y las cuotas ya amortizadas los años anteriores. El total
amortizado a lo largo de los n años que dura el bien será:
tV0 + tVo( l - t) + tVo(l - t) 2 + ... + tVo(l - t)11 - 1 =
= tV0 [1 + ( 1 - t) + (1 - t)2 + ... + (1 - t)
11
-
1
]
El importe situado entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica, cuyo primer término, T I' es 1, siendo (1 - t) 11 - 1 el último
término, T,,. La razón, R , que multiplicando a cada término genera el siguiente vale 1 - t. Como se sabe, la suma de los términos de una progresión geométrica es igual a:
T 1 -TR
/1
1-R
Así pues, el total amortizado a lo largo de los n años vale:
1 - (1 - t)11 - 1(l - t)
t V ---'-----'-----'-----'- = V [1 - (1 - t)"]
ª
1 - (1 - t)
ª
Pero en el conjunto de los n años ha de haberse amortizado totalmente la
base amortizable M = Va - V,.. Por tanto:
Va - V,. = Va[l - (1 - t)"]
de donde se deduce que el tanto que ha de aplicarse vale:
t= 1- [ -
V,. ]1111
Va
Obsérvese, además, que (según la tabla anterior) cada cuota es igual al resultado de multiplicar la anterior por 1 - t. Así, en el caso planteado en este
problema se obtienen los siguientes resultados:
14
50.000 ) '
t = 1 - (- - 400.000
= 0,405396
1 - t = 0,594604
A 1 = 0,405396 · 400.000 = 162.158,7 u.m.
A 2 = 162.158 ,7 · 0 ,594604 = 96.420 ,0 u.ro.
A 3 = 96.420,0 · 0,594604 = 57.33 1,7 u.m.
A4 = 57.331 ,7 · 0 ,594604 = 34.089,6 u.m.
402
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Puede comprobarse que la suma ele las c uatro c uotas anuales es igual a la
base amorti zable (350.000 u.111.). Obsér vese, aclc1m1s , que es un método ele
amorti zación acelerada (las amorti zaciones son mayores los primeros años que
los últimos).
e) En el método de los números dígitos crecientcs, cada cuo ta de amorti zac ión es di rectamente proporc iona l a los años transc urri dos desde la adqui sic ión del bi en. La c uo ta del primer año será di rectam ente proporc ional a 1, la
del segundo a 2, la del tercero a 3, etc. L a suma ele los díg itos es igua l a:
1 + 2 + 3 + ... + ( 11 -
11 (11 + 1)
1) + 11 = - - --
2
Por consig uiente, las suces i vas c uotas valdrc.111 :
A1 =
A2 =
2· 1
n(n + 1)
2·2
11 ( 11
A
11
+ J)
M
M = 2A 1
2M
2 ·n
- - - - M = - - - = nA 1
n( n + 1)
11 + 1
A sí , en el presente caso:
11(11
+ 1) = 4( 4 + 1) = 20
2
A, = 350.000 = 35 .000 u.m .
20
A2 = 35 .000. 2 = 70.000 u.m.
AJ= 35 .000 · 3 = 105.000 u.m.
A4 = 35 .000 . 4 = 140.000 u.m.
Puede comprobar se que:
En este método, las c uotas de amorti zac ión son c recientes .
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS V DECISIONES DE PRODUCCIÓN
403
d) El método de los números dígitos decrecientes es semejante al anterior,
pero tomando la serie de los números naturales en sentido inverso. La primera cuota es directamente proporcional a n, la segunda a n - l , la tercera a
n - 2, y la última es directamente proporcional a l. Por consiguiente:
A1 =
A2 =
2·n
n(n + 1)
2 · (n - 1)
n(n + 1)
2
AII
M
n(n + 1)
Es decir, una vez determinada A
guiente modo:
11
,
M
M
las demás cuotas se calculan del si-
A 1 = nAn
A 2 = (n - l)A 11
A 3 = (n - 2)A,,
En este caso:
A4 = -
2
350.000 = 35 .000 u.m.
20
A 1 = 4 · 35.000 = 140.000 u.m.
A 2 = 3 · 35 .000 = 105.000 u.m.
A3 = 2 · 35.000 = 70.000 u.m.
Se trata de un método de amortización acelerada.
Problema 5.4.10
Los bienes de equipo. Amortización
Amoruned , S. A. , acaba de construir un complejo valorado en 100.000
u.m., para la fabricación de pequeños submarinos de paseo. La duración estimada del complejo es de cuatro años , en cada uno de los cuales se espera fabricar y vender 100,300, 500 y 100 submarinos, respectivamente. Al final de
los cuatro años se venderá el complejo en un valor residual estimado de
20.000 u.m. Se desea saber las cuotas de amortización anuales de este complejo
bajo los diferentes métodos habitualmente empleados.
404
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
R ESOLUCIÓN
M = Vº - V,= 100.000 - 20.000 = 80.000 u.m.
Método li neal :
80 .000
M
A = -
= - - - = 20.000 u .m. anuales
4
/1
Método del tanto fijo sobre una base decrec iente:
/ = 1 - (~) = 1 - ( 20.000 )
1111
100.000
V0
1-
114
= 0 ,33 1260
1 = 0 ,668740
Al = ,vo= 0 ,33 1260 · 100 .000 = 33. 126 u .m.
A2 = A¡(I - 1) = 33. 126 · 0 ,668740 = 22. 152,6 u.m.
A3 = Az( I - 1) = 22. 152,6 · 0 ,668740 = 14.814 ,4 u.m.
A 4 = A 3( 1 - 1) = 14.8 14,4 · 0 ,668740 = 9.907 u.m.
Método de los números díg itos crecientes:
11 ( 11
2
+ 1) = 20
2
A 1 = - - - - M = - 8 0.000 = 8.000 u.m.
11(11 + 1)
20
A2 = 2AI = 2. 8.000 = 16.000 u .m.
A3 = 3AI = 3 . 8.000 = 24.000 u.m .
A4 = 4AI = 4 . 8.000 = 32.000 u .m.
Método ele los números dígi tos decrecientes:
2
2
A 4 = - -- - M = -80.000 = 8.000 u.m.
n(n + 1)
20
A1 = nA,, = 4 · 8.000 = 32.000 u.111.
A 2 = (n - J)A,, = (4 - 1) · 8.000 = 24.000 u .m .
A 3 = (11 - 2)A,, = (4 - 2) · 8.000 = 16.000 u.m.
Otro método es el que establece la amortización de cada año en fu nción
de la producción obtenida o de l as unidades vendidas en el mismo.
En este caso, la producción total, en los cuatro años, es ig ual a:
100 + 300 + 500 + 100 = 1.000 submari nos
OB.J[TIVOS, ALTEí?NA flVAS Y DECISIOI\JES DE PRODUCCIÓN
405
Por tanto, si las cuotas de cada año son directamente proporcionales a la
producción y venta del mismo:
100
A1 =
1.000
300
A2 =
1.000
500
A3 =
1.000
100
A4 =
1.000
80.000 = 8.000 u.m.
80.000 = 24.000 u.m.
80 .000 = 40 .000 u .m.
80.000 = 8.000 u.m.
Puede comprobarse que, en cualquiera de los métodos de amortización ,
se cumple que la base amortizable queda totalmente amortizada, es decir, que:
Problema 5.4.11
Los bienes de equipo. Amortización
Un bien de equipo tiene un valor inicial de 10.000 u.m. y un valor residual
de 2.000. Si se le amortizara por el método de los números dígitos crecientes,
la cuota del segundo año sería 1.600 u.m . ¿Cuál será la cuota del segundo año
si se aplica el método del tanto fijo sobre una base decreciente?
RESOLUCIÓN
En el método de los números dígitos crecientes la cuota del segundo año es:
4
A2 = - - -- M
n(n + 1)
Por consiguiente:
4
- - - (10.000 - 2.000) = 1.600
n(n + 1)
de donde se deduce que el bien de equipo dura cuatro años:
n=4
Por consiguiente:
V
t = 1 - ( _,.
V0
406
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
)'l = 1 - -2.000
- -)1/4= 0,331260
11
(
10.000
A l aplicar el métod o de l tanto fijo , se obtiene:
A 1 = 0,33 1260 · 10 .000 = 3.3 12,6
A1 = 3 .3 12,6( 1 - 0 ,33 1260) = 2 .2 15 ,26
5.
Sistemas de remuneración por incentivos
Problema 5.5.1
Sistemas de remu nera c ión por incentivos
El ti empo prev isto para la reali zac ión ele una tarea, sig uiendo un rendi miento normal , es ele 12 horas. C ierto trabajador, que percibe una remuneración
ele 1.000 u.m. por hora, rea liza la tarea en 10 ho ras. Si el i ncenti vo con el que
se remunera cada hora ahorrada en la ej ecución ele la tarea es ele 800 u.m., ¿cuál
es la remuneración total ele este trabajador por tarea realizada?; ¿y su remuneración semanal si la semana consta de 40 horas labora les? ¿Qué va lor tomarían ambas remuneraciones si este trabajador real izara la tarea en el tiempo
prev i sto correspondiente a un rend imiento no rm al?
RESOLUCIÓN
Denominando :
T: Unidades ele tiempo (u.t.) prev istas para la reali zac ión ele la tarea siguiendo un rend imiento no rmal.
t: u .t. que efecti va mente emplea el trabajador en cuestión.
L: I ncentivo que remu nera cada u .t. ahorrada.
s0 : Remuneració n que el trabajador perc ibe por cada u.t. que trabaja.
La prima de rendim iento por tarea realizada será:
P = !(T- t)
y su rem uneración total , también por cada tarea rea l izada, seréi:
S = s0 I + P = s 0 t + l (T- t)
L a di ferenc ia entre unos y otros sistemas ele rem uneració n por incentivos
depende del va lor que se le el e a / . En este caso, la prim a por tarea rea li zada
vale:
p = 800 · ( 12 - 10) = 1.600 U.111.
y la remuneración total , tambi én por cada tarea rea li zada , seréi:
S = 1.000 · 1O + 1.600 = 1 1.600
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
407
En las 40 horas semanales realizará cuatro veces la tarea, por lo que la remuneración será:
4 · 11.600 = 46.400
Si el trabajador realizara la tarea en el tiempo previsto correspondiente a un
rendimiento normal, se tendría:
t = T = 12 horas
P = J(T - t) = O
S = s0 t + P = 1.000 · 12 = 12.000 u.m.
Semanalmente realizaría la tarea 40/ 12 veces y su remuneración semanal sería:
40
· 12.000 = 40.000 u.m.
12
Aunque la remuneración por tarea realizada es mayor si trabaja a ritmo normal , no ocurre así con la remuneración semanal, dado el mayor número de veces que puede realizar la tarea, cada semana , al trabajar a un ritmo superior.
Problema 5.5.2
Sistemas de remuneración por incentivos. El destajo
¿Cuál sería la remuneración , por tarea realizada, del trabajador del ejercicio anterior, si se le remunera a destajo? ¿Y su remuneración semanal?
RESOLUCIÓN
En la remuneración a destajo la tasa unitaria de incentivo es la propia tasa
de remuneración del trabajo:
Con lo cual:
P = so(T- t)
S = sof + so(T - t) = s0 T
En este caso:
P = 1.000(12 - 10) = 2.000 u.m.
S = 1.000 · 12 = 12.000 u.m.
La remuneración semanal será:
4 · 12.000 = 48.000 u.m.
408
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 5.5.3
Sistemas de remuneración por incentivos.
El sistema Halsey
¿Cuál sería la remuneración por tarea realizada, y la remuneración semanal ,
del trabajador de los problemas anteri ores, si se le aplica el sistema 1-l alsey con
un incenti vo horari o igual a la mi tad de la remunerac ión del trabaj o?
RESOLUCIÓN
En el sistema 1-l alsey el ahorro de ti empo se remunera a una tasa unitari a
que es la m-és ima parte de la que se apl ica al ti empo de trabajo efecti vo:
s
/ =-º
111
P =-
So
(T - t)
111
s
S = s0 ! + _o (T - t)
111
En este caso:
J .000
I = - - - = 500 u.m.
2
P = 500( 12 - JO)= l.000 u .m.
S = 1.000 · JO+ J .000 = J l .000 u.m .
La remunerac ión semana l será:
4 · l l .000 = 44 .000 u.m.
Problema 5.5.4
Sistemas de remuneración por incentivos. Sistema Rowan
¿Cuáles serían las remuneraciones por tarea reali zada y semanales del trabajador de los problemas anteri ores, si se sigue el sistema Rowan?
RESOLUCIÓN
B aj o el sistema Rowan el incenti vo unitari o var ía con el tiempo de ej ecuc ión, siendo igual al resultado de ponderar la remunerac ión unitari a del trabaj o
efecti vo por un índice de esfu er zo que es el coc iente entre los tiempos ef ecti vo y prev isto:
I = s ·o
f
T
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
409
Por tanto:
P = s0 • -
t
(T - t)
T
t
S = s t + s · - ( T - t)
o
o T
En este caso:
I = 1.000 · -
10
12
P = 1.000 · -
~
10
(12 - 10) = 1,666,66 u.m.
12
S = 1.000 · 10 + 1.666,66' = 11.666,66' u.m.
La remuneración semanal será:
4 · 11.666 ,66' = 46.666,66' u.m.
Problema 5.5.5
Sistemas de remuneración por incentivos. Sistema York
¿Cuáles serían las remuneraciones por tarea realizada y semanal del trabajador de los problemas anteriores si se sigue el sistema York?
RESOLUCIÓN
En el sistema York , o con prima por pieza, la proporción que representa el
incentivo , T, sobre el salario unitario , s0 , es igual a la que representa el tiempo
estándar , T, sobre el ahorro de tiempo, T - t. Es decir:
T
T
T- t
De donde se deduce que:
I = s0
T
T-t
Sustituyendo en la expresión de la prima, se obtiene:
T
P =s - (T - t) = s · T
o T- t
o
410
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Obteniéndose f'i nal mente:
En este caso:
P = .1·0 · T = 1.000 · 12 = 12 .000 u .111.
S = .1·0 · / + p = 1.000 · 10 + 12 .000 = 22 .000 U .111.
La remuneració n semanal será:
4 · 22 .000 = 88.000 U.m.
Problema 5.5.6
Sistemas de re muneración por incentivos. Siste ma Rowan
¿Para qué tiern po de ej ecuc ión de la tarea es rn áx i ma la pr i ma por cada tarea real izada en el sistema Rowan?
RESO LUCIÓN
En el sistema R owan , según se expuso en el problema anterio r:
P = .1·
/
o
• -
T
( T - t) = s t - s o
/2
o T
Para deter minar el valor de I que max i m iza P , puede procederse fij ando l a
co nd ic ión necesar ia ele máxi mo:
c/P
Yt
--= sO - 2 -· <_> = O
dt
T
de donde se deduce que:
I = -
T
2
Cu mpli éndose la co ndición suficiente de máx imo :
d 2P
s
c11 2
T
-- = - 2 - 0 < O
L a máx i ma prima por tarea real izada se co nsigue para un tiern po de ejecución igual a la mitad del tiempo prev isto para la realizac ión de la tarea al rene! i 111 iento no rmal. A sí, para el trabajador de los ejercic ios anteri ores se obti ene:
t = -
12
2
= 6 horas
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
4 11
La máxima prima que puede obtener es:
p = 1.000 · -
Problema 5.5.7
6
12
(12 - 6) = 3.000 u.m.
Sistemas de remuneración por incentivos
Gruned y Cía. es una pequeña empresa de artesanía dedicada a la fabricación de cestos de mimbre. El tiempo previsto para elaborar un cesto es de 4 horas. Doña Lola López Laborinas tarda 3 horas en fabricar un cesto. Si la remuneración del tiempo de trabajo efectivo es de 500 u.m. cada hora, y la
semana laborable es de 36 horas , determinar la remuneración que percibe
esta señora por cada cesto que fabrica y su remuneración semanal bajo los siguientes sistemas de incentivos.
a) Destajo.
b) Sistema Halsey con un incentivo horario igual a la cuarta parte de la re-
muneración unitaria del tiempo de trabajo efectivo.
e) Sistema Rowan.
d) Sistema York.
RESOLUCIÓN
Semanalmente doña Lola fabricará 36/3 = 12 cestos.
a) S = s0 T = 500 · 4 = 2.000 u.m.
Remuneración semanal= 12 · 2 .000 = 24.000 u.m.
s
500
b) S = s0 t + - 0 (T - t) = 500 · 3 + - - (4 - 3) = 1.625 u.m.
4
ni
Remuneración semanal= 12 · 1.625 = 19.500 u.m.
e) S = s0 t + s0 -
t
T
3
(T - t) = 500 · 3 + 500 -
4
(4 - 3) = 1.875 u.m.
Remuneración semanal= 12 · 1.875 = 22.500 u.m.
d) S = s0(t + T) = 500(3 + 4) = 3.500 u.m.
Remuneración semanal= 12 · 3.500 = 42.000 u.m.
412
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 5.5.8
Sistemas de remunera c ión por inc entivos
Una pe rsona tard a 3 horas e n realizar una tarea cuyo tiempo prev isto es ele
4 horas. El sa lario del tie mpo de trabajo efecti vo es de 2.500 u.111. po r hora.
¿Qué remu ne ración pe rc ibe esta perso na po r tarea rea lizada segú n el siste ma
Rowan?
RESOLUCIÓN
S = Sol + So -
Problema 5.5.9
/
3
(T - !) = 2 .500 · 3 + 2.500 - (4 - 3) = 9.375 U.111 .
T
4
Sistemas de remunera ción por incentivos
Si la remuneració n de la hora de tra bajo es 1.000 u.m. y con el destajo se
percibirían 6.000 u.m. por tarea realizada, ¿para qué tiempo de ejecución de la
tarea es máx ima la prima por c ada tarea realizada en el sistema Rowan?
RESOLUCIÓN
Los datos so n:
= 1.000
s0 T = 6.000
S0
Por consig uie nte:
T = 6 horas
La prima máxima por cada ta rea realizada en el sistema Rowan se consigue
para un tie mpo de ejecución ig ual a :
T
6
2
2
- = - = 3 horas
Problema 5.5.10
Sistemas de remuneración por incentivos
Si a una persona que tarda 5 horas en realizar la tarea se le pagase con el sistema Rowan, e l incentivo horario valdría 6.250 u. m. y conseguiría la máx ima
prima reali zando la tarea e n 4 horas. ¿Cuánto cobra por tarea rea li zada si trabaja bajo el siste ma de destajo?
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
41 3
RESOLUCIÓN
La prima máxima por cada tarea realizada en el sistema Rowan se consigue
para un tiempo de ejecución igual a:
T
- = 4 horas
2
Por tanto:
T = 4 · 2 = 8 horas
El incentivo horario en e l sistema Rowan es :
t
5
so- = so-= 6 .250
T
8
Por consiguiente:
8
s0 = -
5
6.250 = 10.000 u .m .
Por tarea realizada cobrará:
s0 T = 10.000 · 8 = 80.000 u .m.
Problema 5.5.11
Sistemas de remuneración por incentivos
En una tarea, la remuneración del tiempo de trabajo efectivo es de 500 u.m.
cada hora y D. F unedio tarda 3 horas en realizar la tarea. Bajo el sistema
York, D . Funedio cobraría 3.500 u.m. por tarea realizada. ¿Cuál es el tiempo de
ejecución para el que es máxima la prima por tarea realizada en el sistema Rowan?
RESOLUCIÓN
Según el enunciado:
S = 3.500
s0 = 500
t= 3
Sabemos que según el sis tema de York:
S = S0 (t + T)
3 .500 = 500(3 + T)
414
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
3 .500 = 500T + 1.500
2.000 = 500T
T=4
Por con siguiente, el tiempo de ej ecución para el que será máx ima la prima
por tarea rea l izada por el Sistema Rowan será el siguiente:
t
Problema s.5.12
T
4
2
2
= - = - = 2 horas
Sistemas de remuneración por incentivos
El ti empo efecti vo que neces ita cierto trabajador para real izar su tarea representa un 80 por 100 de l tiempo prev isto . Si el sa lario unitari o es ele 1.000
u.m. ¿cuánto va le su incenti vo unitario en el si stema Y ork?
RESOLUCIÓN
Basta sust itu ir/ por 0 ,8Ten la ex presión del incenti vo en el sistema Yor k
para obtener , como valor del mi smo , 5.000 u.m .:
! =S 0
T
T - I
T
I = 1.000 - - - T - 0 ,8 T
I = 1.000 X 5 = 5.000 u.m.
Problema 5.5.13
Sistemas de remunera c ión por incentivos
E l tiempo efecti vo que necesita cierto trabajador para reali zar su tarea representa un 80 po r 100 del tiempo prev isto. Si el sa lari o unitario es ele 1.000
u.m . ¿cuánto vale su incentivo unitario en el sistema Rowan ?
RESOLUCIÓN
Basta sustitui r , por 0 ,8T en la ex pres ión del incentivo en el sistema Rowan
para obtener , como valor del mismo , 800 u.m.:
! =
so -TI
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
4 15
I = l .000 O,ST
T
I = 800 U.ID.
Problema 5.5. 14
Sistemas de remuneración por incentivos
Si la remuneración de la hora de trabajo es 1.000 u.m. y la prima máxima
por cada tarea realizada en el sistema Rowan se consigue para un tiempo de
ejecución igual a 3 horas, ¿cuál será la remuneración por cada tarea realizada
con el destajo?
RESOLUCIÓN
En el sistema Rowan la prima máxima se consigue para un tiempo de ejecución igual a la mitad del tiempo previsto, de lo que se deduce que este último es 6 horas y, multiplicando ese tiempo previsto por la remuneración de la
hora de trabajo (1.000 u.m.), se obtiene una remuneración de 6.000 u.m. por
cada tarea realizada:
T
3=-
2
T=6
S = s0 • T
S = 1.000 · 6 = 6.000 u.m.
Problema 5.5.15
Sistemas de remuneración por incentivos
Un trabajador realiza su tarea en 6 horas. Si se le remunerara con el sistema
Rowan, la máxima prima que podría obtener sería si realizara la tarea en 4 horas. Si trabajara a destajo, cobraría 160.000 u.m. por cada tarea. ¿Cuánto cobrará por tarea en el sistema York?
RESOLUCIÓN
En el sistema Rowan la prima máxima se consigue para un tiempo de ejecución igual a la mitad del tiempo previsto, de lo que se deduce que este último vale 8 horas.
t= -
T
2
416
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
T
4 =-
2
T= 8
En e l destajo:
S = s0 T
= s08
1 60 .000
S0
= 20.000
En e l sistema York:
S = s 0 (1 + T )
S = 20 .000(6 + 8)
S0
= 28 0.000
En e l s istema York cobrará 280 .000 u.m. po r tarea realizada .
Problema 5.5. 16
Sistemas de remuneración por incentivos
Un trabajador realiza una tarea en la mitad de l tiempo prev isto. Si se le remunerara a destajo se le pagaría n 2.000 u.m . por tarea realizada. ¿Cuánto se le
re mu ne rará cada tarea s i se le a pl ica e l sistema York?
RESOLUCIÓN
Segú n e l e nunc iado :
I
l
= -T
2
2.000 = s0 T
Según e l sistema York:
S = so(t + T)
S= s(~T
+ T)
{) 2
1
S = -s<¡T + s0 T
2
S = 0 ,5 · 2.000 + 2 .000
S = 3 .000 U.m.
En e l s iste ma York perc ibirá 3 .000 u .m. por cad a tarea realizad a .
OBJETIVOS. ALTERNATIVAS Y DECISIONES DE PRODUCCIÓN
4 17
Problema 5.5.17
Sistemas de remuneración por incentivos
Para realizar cierto trabajo con un rendimiento normal se precisan 6 horas.
Un trabajador tiene una remuneración de 500 u. m. por hora y efectúa ese trabajo
en 5 horas. La semana consta de 40 horas laborables. ¿Cuál será la remuneración
semanal de este trabajador cuando el incentivo horario es de 400 u.m.?
RESOLUCIÓN
En este caso , la prima vale:
P = I(T - t) = 400(6-5) = 400 u.m.
A la semana se realiza la tarea 8 veces:
40
- 5
= 8 veces
Por consiguiente, la remuneración semanal será:
8S = 8 (s0 t + P) = 8 (500 · 5 + 400) = 8 · 2.900 = 23.200 u.m.
Problema 5.5.18
Sistemas de remuneración por incentivos
¿Cuál será la remuneración semanal del trabajador del problema anterior
cuando se aplica el destajo?
RESOLUCIÓN
En tal caso , la remuneración semanal será:
8S = 8 s0 T = 8.500 · 6 = 24.000 u.m.
Problema 5.5.19
Sistemas de remuneración por incentivos
¿Cuál será la remuneración semanal del trabajador del problema anterior
cuando se aplica el sistema Rowan?
RESOLUCIÓN
En este caso, la prima vale:
P = s0
t
5
(T
)(T - t) = 500 · (
6 ) · (6 - 5) = 416 ,67 u.m.
Y la remuneración semanal será:
8S = 8 (s 0 t + P ) = (500 · 5 + 416 ,67) = 23.333 ,3 u.m.
418
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Capacidad de producción
y logística
6
La localización de las instalaciones
La programación de la producción
La planificación y control de las actividades productivas
Los inventarios: modelos deterministas
l . La localización de las instalaciones
Problema 6.1.1
La localización de las instalaciones
U na empresa industrial ha de decidir la ubicación de una nueva fáb rica. Las a lternati vas ex iste ntes son las localidades A, 8, C y D. Se cons idera que no es posible situarse e n una localidad e n la que no haya di sponibilidad continua de
combustible fósil y de e nerg ía e léctrica, por lo que estos son factores c ríticos.
Ex iste n , además, tres factores objeti vos, que son los costes de mate rias primas,
mano de obra y gastos generales de fab ricación. En la sigu ie nte tabl a se ha n recogido los costes de esos tres e lementos de producció n y la calificación de los factores c ríticos e n las c uatro localidades:
TABLA 6.1
A
1
140
80
1.940
2.160
B
1
160
50
1.870
2.080
e
o
130
50
1.870
2.050
150
50
1.870
2.070
o
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN Y LOGISTICA
421
Además, se han identificado como factores subjetivos los cuatro recogidos
en la siguiente tabla, en la que también se indica la importancia relativa de cada
uno de ellos en porcentaje:
TABLA 6.2
Disponibilidad de medios
para formación
20
Servicios
35
Sanidad
15
Clima
30
Total
100
Se han definido tres niveles en los que puede presentarse cada uno de los
cuatro factores subjetivos (débil, intermedio y fuerte) en cada una de las localidades, siendo los resultados los siguientes:
Débil
Intermedio
Fuerte
Fuerte
Servicios
Intermedio
Intermedio
Intermedio
Intermedio
Sanidad
Fuerte
Intermedio
Fuerte
Intermed io
Clima
Intermedio
Intermedio
Fuerte
Intermedio
Disponibilidad
de medios para
formación
TABLA 6.3
Al nivel débil se le asignan O puntos , al intermedio se le asigna un punto y
al fuerte se le imputan 2 puntos.
Se desea determinar qué localización es preferible si se considera que a los
factores objetivos se les debe conceder una importancia tres veces superior que
a los subjetivos.
RESOLUCIÓN
En el método Brown-Gibson, el coeficiente de factores críticos de la zona i es:
422
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Siendo F.; el valor que toma el coe fi c iente del fa ctor ) en la zo na i , que solamente puede tomar los valores I o O, segú n se considere que el !'actor en cuesti ón se encuentra en la zona o no. En este caso, la localidad C presenta el va lor
O en uno ele los fa ctores, por lo c ual el coefic iente de fac to res críticos de esta
zona será nulo.
Para incorporar los factores objetivos (costes) en la val orac ión ele una local iclacl , se determina el coste tota l ele la misma , C;:
y se ca lc ul a el coe fici ente:
FO. = - - II_C_; _ __
1
- 1 + - 1 + - 1 + ...
c1
c2 c3
Por ej emplo , en cuanto a la loca liclacl A , se obt iene:
F0 . = - - - - - 1 _
12_.1_6_0_ _ _ __
'
__I_
2 .160
+
1
2 .080
+
1
2 .050
+ __l _
0 ,000925925= O 2418
0 ,003829258 '
2 .070
D el mismo modo se obtienen los valores correspondientes a los o tros factores obj etivos que se han recogido en la sig uiente tab la:
TABLA 6.4
A
0,2418
B
0,2511
e
0,2548
D
0,2523
Total
La suma ele los coefi c ientes ele factores objetivos es siempre la unidad, por
lo que los valores correspo ndi entes a las altern at iv as ele loca lizac ión son importantes relati vos.
C APAC IDAD DE PRODUCCIÓ N Y LOGÍSTIC A
423
En cuanto a los factores subjetivos, al asignar los puntos correspondientes
a de cada uno de ellos en las distintas localidades, según que su presencia sea
débil, intermedia o fuerte, se obtienen los resultados de la siguiente tabla:
Disponibilidad
de medios para
formación
o
2
5
2
4
Servicios
Sanidad
TABLA 6.5
2
Clima
2
6
2
5
En disponibilidad de medios para formación, a la localidad D le han correspondido 2 puntos de un total de 5, lo cual representa un 40 por cien:
Rw =
2
5 0,4 por uno = 40%
Del mismo modo, se obtiene, por ejemplo, que a la localidad C le ha correspondido un 33,33 por ciento de la puntuación total en sanidad:
R 3A =
2
6 0,3333 por uno= 33,33%
Los valores que se van obteniendo de este modo, se han recogido en la siguiente tabla , en la que se ha añadido una primera columna con las ponderaciones de los factores para facilitar los cálculos que se harán seguidamente:
TABLA 6.6
424
Disponibilidad
de medios para
formación
20
o
20%
40%
40%
100%
Servicios
35
25%
25%
25%
25%
100%
Sanidad
15
33,33%
16,66%
33,33%
16,66%
100%
Clima
30
20%
20%
40%
20%
100%
o,1975
0,2125
0,3375
0,2525
FS;
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Po nderando la puntuació n de cada localidad e n cada uno de los facto res y
to ta lizando, se o btie ne la calificació n de cada una de e llas e n fac to res subjetivos, que se ha recogido e n la ú lti ma fil a de la ta b la a nte rio r. Así , multipl icando tér mi no a té rm ino la columna ele las po nderac io nes po r la corres po nd ie nte
a la localiclacl A , se o btie ne:
FS11 = O · 0,20 + 0,25 · 0,35 + 0,3333 · O,l 5 + 0 ,20 · 0,30 = O, J 975
Y de l mi s mo modo se procede e n c ua nto a las tres localidades restan tes:
FS,3 = 0,20 · 0 ,20 + 0 ,25 · 0 ,35 + 0, 1666 · O,J5 + 0,20 · 0 ,30 = 0 ,2 125
FSc = 0,40 · 0 ,20 + 0 ,25 · 0 ,35 + 0 ,3333 · 0 ,15 + 0,40 · 0,30 = 0 ,3375
FSD = 0 ,40 · 0 ,20 + 0 ,25 · 0 ,35 + O,l 666 · 0 ,15 + 0 ,20 · 0,30 = 0 ,2525
Ev ide nte me nte, los c ua tro coefic ie ntes tota lizan la unidad por lo q ue, ta mb ié n e n estos fac to res, los va lo res correspond ie ntes a las a lte rna ti vas ele localizació n son importes re lativos:
FS 11 + FS 11 + FSc + FSD = 0 ,1975 + 0 ,2 125 + 0 ,3375 + 0,2525 = l
Fina lmente, se ha de valorar cada una de las alte rnativas ele loca lizació n mediante la fó rmul a de l algoritmo s iné rg ico:
Como se ha señalado a nteriorme nte, e l coeficie nte crítico de la localiclacl C,
FCc, es nulo po r serlo e l de uno de los fac to res c ríticos, que ac túa n de modo
mul tiplicativo.
S i se cons ide ra q ue a los facto res o bje ti vos se les ha ele concede r una impo rtancia tres veces supe r io r q ue a los s ubjetivos, hab rá ele c umplirse:
ex: = 3 ( ] - ex:)
De do nde se ded uce q ue e l coefi c ie nte de confiab ilid ad vale 0,75:
ex: = 0,75
Po r lo tanto :
/LA = 1(0,75 · 0 ,24 18 + 0,25 · 0, 1975) = 0,2307
IL,3 = 1(0,75 · 0,25 1 J + 0,25 · 0 ,2 125) = 0 ,24 15
!L e= 0 (0 ,75 · 0 ,2548 + 0 ,25 · 0 ,3375) = O
ILD = 1(0 ,75 · 0,2523 + 0,25 · 0,2525) = 0,2524
E l máxi mo valo r del índice de loca li zac ió n se o btie ne para la zona D, que
de be rá ser la e legida de ac ue rdo con e l métod o Brow n-Gi bson .
C APAC IDAD DE PRO DUCCIÓ N Y LOGÍSTIC A
425
Problema 6. 1.2
La localización de las instalaciones
En la localización de una fábrica, a los factores objetivos se les atribuye una
importancia dos veces mayor que a los subjetivos. ¿Cuánto vale el índice de
confiabilidad?
RESOLUCIÓN
Como se vio en el problema anterior, en este caso:
ex = 2 (1 - rx)
De donde se deduce que el coeficiente de confiabilidad vale 0,6667:
2
a= -
3 =0 '667
Problema 6. 1.3
La localización de las instalaciones
Una empresa ha de elegir entre las ciudades A, B y C para ubicar una planta industrial. Los costes de los factores objetivos en cada una de ellas son 400, 100 y
500 u.m., respectivamente.
Se desea conocer los coeficientes de factores objetivos de cada una de las ciudades según el método de Brown-Gibson.
RESOLUCIÓN
El coeficiente de factores objetivos responde a la expresión:
Al aplicarla al caso planteado se tiene:
=
FO
A
426
1/400
1
1
1
400 + 100 + 500
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
0,0025
0,0145
= 0,1724
O,Ol
0,0145
= 0 ,6897
0 ,002
0,0145
= 0,1379
Problema 6. 1.4
La localización de las instalaciones
En la empresa del problema anteri or, los factores subj eti vos que se consideran
son X, Y y Z, por cuya importancia relati va se les ha asignado unas ponderaciones
del I O, 20 y 70 por ciento, respecti vamente. A l estimar la medida en la que cada
uno ele los factores se encuentra presente en cada una de las ciudades, se ha
considerado que:
En la localidad A el facto r X y el Y se encuentran presentes a ni vel débi 1,
y que el factor Z se encuent ra presente a ni vel fuerte.
En la localidad B, los tres factores se encuentran presentes a ni vel i nter medio.
En la loca lidad C, el fac tor X se encuentra presen te a ni vel débi l , el Ya
ni vel intermed io y el Z a ni vel fuerte.
Se asigna un punto al cumplimiento ele un factor a nivel débil , dos puntos a su
cumpl imiento a nivel intermed io y cuatro puntos a su cumplimiento a nivel fuerte.
Se desea saber los coe fi cientes ele fac tores subjeti vos de las tres ciudades ele
acuerdo con el método Brown-G ibson.
R ESOLUCIÓN
En la sigui ente tabla se recoge la as ignac ión ele puntos a las ciudades para
cada uno ele los factores :
TABLA 6.7
4
X
2
y
2
2
5
2
4
10
z
4
Los porcentajes correspondientes se han recog ido en la siguiente tabl a, en
la que se ha añadido una primera columna con las ponderaciones de los factores
para faci l itar los cálculos que se harán segui damente:
100%
X
TABLA 6.8
y
20
20%
40%
40%
100%
z
70
40%
20%
40%
100%
0,345
0,27
0,385
C APAC IDAD DE PRO DUCCIÓN Y LOGÍSTIC A
427
Para calcular el coeficiente de factores subjetivos de la ciudad A, se ponderan sus porcentajes del siguiente modo:
FSA = 0,10 · 0,25 + 0,20 · 0,20 + 0,70 · 0,40 = 0 ,345 por uno
Del mismo modo , se han realizado los cálculos de los coeficientes de factores objetivos de las otras dos ciudades, todos los cuales se han reflejado en la
última fila de la tabla.
Problema 6. 1.5
La localización de las instalaciones
Se desea saber la ubicación que es preferible en el caso de la empresa de los
dos problemas anteriores , si se desea conceder a los factores objetivos una importancia cuatro veces superior que a los subjetivos, sabiendo que no existe ninguna ciudad en la que el coeficiente de un factor crítico valga cero.
RESOLUCIÓN
Se ha de valorar cada una de las alternativas de localización mediante la fórmula del algoritmo sinérgico:
/L.=
FC.l [ex FO I. + (1 - ex) FS.]I
l
En este caso, no existe ninguna localidad en la que el coeficiente crítico de
la localidad, FC; sea nulo por serlo el de alguno de los factores críticos, que actúan de modo multiplicativo.
Si se considera que a los factores objetivos se les ha de conceder una importancia cuatro veces superior que a los subjetivos, habrá de cumplirse:
ex = 4 (1 - ex)
De donde se deduce que el coeficiente de confiabilidad vale 0 ,80:
ex = 0 ,80
Por lo tanto:
/LA = 1(0,8 · 0,1724 + 0 ,2 · 0 ,345) = 0 ,20692
/LB= 1(0 ,8 · 0 ,6897 + 0,2 · 0,27) = 0 ,60576
/Le= 1(0,8 · 0,1379 + 0 ,2 · 0,385) = 0,18732
El máximo valor del índice de localización se obtiene para la zona B , que
deberá ser la elegida de acuerdo con el método Brown-Gibson.
428
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 6.1.6
La localización de las instalaciones
La empresa Di sl ribuned, S. A., tiene dos almacenes: uno situado en la ci udad A y otro en la ciudad B. La di recc ión de la em presa estima que es necesar io otro almacén y no sabe si situarlo en la ciudad Po en la ciudad Q. D esde los tres al macenes de los que, fin almente, di sponga ha de servir a los
mercados N, M y S. Ev identem ente, la in troducción de un nuevo almacén al terará las cantidades que actualmente se distribuyen desde l os al macenes ya
ex istentes, por lo q ue ex iste i nterdependencia entre las loca li zac iones. En l a
tabla 6.9 se refl eja lo que cuesta tran sportar una unidad física de producto
desde cada ciudad hasta cada mercado (en u.m.), así como la cantidad de unidades físicas requeridas mensual mente por cada uno de los mercados y las
que ha de servir al mes cada almacén.
Se desea plantear el modelo de prog ramac ió n lineal q ue permite determinar qué localizac ión es preferibl e si el objetivo es minim izar los costes tota les de di stri buc ión.
A
5
750
B
4
5
3
300
p
5
3
4
300
a
5
4
3
300
u.f. precisas
750
400
200
TABLA 6.9
RESOLUCIÓN
Supongamos que el nuevo al macén se situara en la ciudad P. D enominando X al número ele unidades que debe servir cada mes el almacén i al mercaclo J,'~1 model o de programación l ineal que permite determinar los valores de
las X;j que minimizan los costes total es de distribución es el si guiente:
Mi nimizar:
4X"N + 3X11¡\/ + sx11s + 4X11N + sxuM + 3Xus + sxl'N + 3X1.¡\/ + 4Xl's [ 11
Con sujeción a las siguientes restricciones:
Restricciones de serv icj o de los al macenes:
x11N + x11 + x11 s = 750
x/JN + x 11¡\/ + x 11s = 300
¡\/
xl'N + xf'¡\/ + xl's = 300
C APAC IDAD DE PRO DUCCIÓ N Y LOGÍSTIC A
429
Restricciones de necesidades de los mercados:
+ XBN + X PN = 750
X AM + X BM + XPM = 400
X AS + X BS + XPS = 200
X AN
Restricciones de no negatividad:
Xu 2::: O para todo i y j
Una vez resuelto el programa, es decir, una vez conocidos los valores óptimos de las variables, tales valores se introducen en la expresión del coste (expresión [1]), para determinar su valor en tales condiciones óptimas.
Supongamos ahora que el nuevo almacén se ubicara en la ciudad Q. En tal
caso, el programa que permitiría determinar los valores de las variables que minimizan los costes totales de distribución sería el siguiente:
Minimizar:
Con sujeción a las siguientes restricciones:
Restricciones de servicio de los almacenes:
+ XA M + X AS = 750
XBN + XBM + X BS = 300
XQN + X QM + XQS = 300
X AN
Restricciones de necesidades de los mercados:
+ XBN + X QN = 750
+ XBM + XQM = 400
X AS + XBS + X QS = 200
X AN
X AM
Restricciones de no negatividad:
X;j 2::: O para todo i y j
De la misma forma que en el caso de ubicación en la ciudad P , una vez resuelto el programa, es decir, una vez conocidos los valores óptimos de las variables, tales valores se introducen en la expresión del coste (expresión [2]),
para determinar su valor en tales condiciones óptimas.
430
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Dado que, cualquiera que sea la loca lizació n que se elija, se habrá de trabajar en condi ciones óptimas, la mejor localizac ión será aquella a la que, en tales condi ciones, le corresponda el cos te total ,rnís bajo.
2.
La programación de la producción
Problema 6.2. l
Programación de la producción . Caso de maximización
Do n T ejunedio es propietario de un telar en el que puede elabora r el tejido
tipo J o el tipo JL. Las necesidades de horas/máquina , por cada metro de tejido ,
son ele 3 horas el primero y 4 el segundo. El ti po I requ iere 2 horas/hombre por
metro, y el ti po II precisa, también por cada metro, 6 horas/hombre. Además, dacias las I im itaciones ele la demanda , no se venderían más ele 30 metros
del tejido ti po 1, cada qu incena , por lo que no se desea superar ese nivel ele producción. Se dispone de 120 horas/hombre y 120 hora s/máquina cada 15 días y
el margen de benefi cio de cada metro de tej ido es de 220 u.m. en el tipo l y de
J40 u.m. en el tipo U . Se desea determinar:
a) Los metros que deben elaborarse , cada 15 días, de cada tipo de tejido ,
para max imizar el beneficio de la empresa.
b) El máximo benefi cio qu incenal que puede consegui rse.
e) L as horas/máquina y l as horas/hombre que han de utili zarse cada semana y las capacidades no empleadas de ambos tipos de rec ursos.
RESOLUCIÓN
a) D enom inando X 1 a los metros fabricados del tej ido ti po l , y X 2 a los elaborados del ti po ll , el programa sería:
Función objet ivo:
Maxim izar Z = 220X 1 + 140X2
Restricciones de capac idad:
3XI + 4X2 :5 120
2X 1 + 6X2 :5 120
Restri cción deri vada de la limi tación de la demanda:
Restr icciones de no negativ idad:
C APAC IDAD DE PRO DUCCIÓ N Y LOGÍSTI C A
431
En la figura 6.1 se han representado las rectas que tienen como ecuaciones:
3XI + 4X2 = 120
2XI + 6X2 = 120
x1
= 30
70
\
\
\
\
60
\
\ / 9.800 = 220X1 + 140X2
\
\
50
'
\
\
\
\
\
\
40
\
\
\
\
\
\
30
\
X1 = 30
\
\
\
20
10
10
FIGURA 6.1
20
30
40
50
60
70
El área de soluciones posibles será la zona sombreada de la figura, en la que
también se ha dibujado la recta resultante al representar la función objetivo para un
valor arbitrario de Z como puede ser 9 .800, es decir, la recta que tiene por ecuación:
9.800 = 220X1 + 140X2
Trazando paralelas a esta recta más próximas al origen de coordenadas se
observa que la primera que tiene un punto perteneciente al área de soluciones
posibles es la que pasa por el punto P*, que tendrá como coordenadas las resultantes de resolver el sistema:
3X1 + 4X2 = 120
X1
= 30
Es decir:
X~' = 30 metros
y
X! = 7 ,5 metros
432
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Por consiguiente, la soluc ión óptima es fabricar 30 metros del tejido tipo 1 (el
máx imo q ue admite el mercado) y 7 ,5 metros del tej ido tipo 11 , en cada qui ncena.
b) El m áx imo beneficio quincenal que puede obtenerse es el correspondiente a l os va l ores ó ptimos ele X 1 y X 2 , es dec ir:
Z* = 220 · 30 + 140 · 7 ,5 = 7 .650 u .111.
e) El número ele horas/máquina empleadas cada q ui ncena será:
3 · 30 + 4 · 7 ,5 = 120 h/ 111
es decir , todas l as disponibles, sin que ex i sta capacidad de es te factor que no
sea utilizada.
El número de horas/hombre util i zadas cada quincena será:
2 · 30 + 6 · 7 ,5 = 105 h/h
De lo cual se deduce que no se utili zarán 120 -
Problema 6.2.2
105 = 15 h/ h disponi bles.
Programación de la producción. Caso de minimización
Unedespej, S. A., es una empresa fabrica nte de un embutido elaborado con
restos de carne de cerdo y de vaca. L os des pojos de vaca contienen un 80 po r
100 de carne y un 20 por l00 de g rasa y cuestan 160 u.111. cada kg; l os de cerdo
contienen un 68 por 100 de carne y un 32 po r 100 de grasa y cada kil ogramo
cuesta 120 u.m. Se desea determin ar l a cantidad que se debe emplear de cada
tipo de despojo , por cada kil ogramo de embuti do , de forma q ue su coste de producción sea mínimo y que no se supere un contenido de grasa del 25 po r 100.
RESOLUCIÓN
Deno minando Xc y X,. a las cantidades de kilogramos de despojos de cerdo
y de vaca, respecti vam ente, inclu idos en cada kilogramo de embutido, el modelo será:
-
Func ión objeti vo :
Minimi zar Z = 160X,. + 120X,.
R estri cción de contenido de g rasa:
0,20X,. + 0 ,32X,.::; 0 ,25
Restricció n de cantidad ( l a canti dad de carne de vaca por kilogramo más
l a de cerdo por ki logramo han de total izar el kilogramo ele embuti do):
X,. +X=
1
e
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN Y LOGÍSTICA
433
Restricciones de no negatividad:
x,,, xc?: o
En la figura 6.2 se han representado, en el primer cuadrante, las rectas correspondientes a las ecuaciones:
0 ,20X,, + 0 ,32Xc = 0 ,25
(1)
X,,+ XC= 1
(2)
El área de soluciones posibles es, en este caso , el segmento señalado con
una línea gruesa en la figura.
Dando a Z un valor arbitrario, como 192, se obtiene la ecuación:
192 = 160X., + 120Xc
a la que le corresponde la recta representada en la figura.
\. .<:.
192 - 160X, + 120X.
143,~ :
0,78
:.•:x· + 12ox.
X,+ X. C•,j··•.•.•..•.
··\.,\
·\·~
\-..,,_
\
....
',
~,.
FIGURA6.2
434
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
0,20Xv + 0,32Xc = 0,25
1,2 1,25
XV
L a recta paralela a la anterio r más próx i ma al ori gen de coordenadas que tiene alg ún punto situado en el segmento de soluc iones pos ibles es la que pasa por
el punto P* . en el que se produce l a i ntersecc ión entre las rectas que tienen
como ecuac iones la ( 1) y la (2). Resolv iendo el sistema l"orm aclo por esta s dos
ec uac iones, se obti ene. como sol uc ión ó ptima:
X* = I'
7
ko
12 D
X* = <"
5
j2
ko
o
El cos te ele cada k i logramo ele embutido será:
160 -
Problema 6.2.3
7
5
+ 120 = 143,33 U.111 .
12
12
Programación de la producción . Caso de maximización
U neclespoj , S. A., empresa a la que se refiere el caso anteri or , ha ca mbi ado
ele pol ítica. A hora trata ele max im izar la ca lidad ele su embut ido ( medida por su
contenido ele carne) sin que su coste ele producción supere las 150 u.m . cada kg.
¿Cuáles serán las canticl acles ópti mas ele cada tipo ele despojo incorporadas a
cada kil ogram o de embuti do?
RESOLUCIÓN
E l modelo sen1:
Fu nción obj eti vo:
M ax i mizar Z' = 0,80X,. + 0,68X..
Restri cción de costes:
160X + J 20X,. ~ 150
\'
Restricc ión de cantidad:
X+
X=
1
,.
e
Restricc iones ele no negati v idad:
x,.,x,.~ o
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN Y LOGÍSTICA
435
En la figura 6.3 se han representado, en el primer cuadrante, las ecuaciones:
I60Xv + 120Xc = 150
(1)
X., + XC= 1
(2)
1,25
160Xv + 120X0 = 150
FIGURA6.3
0,9375
XV
El área de soluciones posibles es el segmento señalado con una línea gruesa.
Tomando, arbitrariamente, cualquier valor para Z', como, por ejemplo ,
0,544, se o btiene la ecuación:
0 ,544 = 0,80X., + 0 ,68Xc
que también se ha representado en la figura . La paralela a esta recta más alejada
del origen de coordenadas que tiene algún punto en común con el área de soluciones posibles es la que pasa por el punto P*, en el que se produce la intersección entre las rectas que tienen por ecuaciones la (1) y la (2). Resolviendo
el sistema formado por estas dos ecuaciones, se obtiene:
3
X* = -kg
V
4
1
4
X*= - kg
e
436
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
B aj o esta nueva política, cada kg de embutido ha de estar fo rmado por 1/4
de kg de despoj os de cerdo y 3/4 ele kg de despojos ele vaca . El coste de cada kg
sen1 ele 150 u .111 . :
3
160 -
4
1
+ 120 - = 150 u.m.
4
y tendrá un 77 por J00 ele carne y un 23 por 100 de g rasa:
3
0,80 -
4
3.
j
+ 0 ,68 - = 0 ,77 = 77 por 100
4
La planificación y control de las actividades
productivas
Problema 6.3. 1
Planificació n y control de las actividades productivas
Para el aborar c ierto producto, l a empresa Ensamblunecl , S. A. , ha de realizar las siguientes operac i o nes:
A ) Recibir los material es necesarios para elaborar los componentes S y Ten
el tal ter ele fab ri cación.
B ) Fabri car el componente S.
TABLA 6.10
A
1,5
0 ,5
B
4
2
e
3
D
1,3
1,1
0,3
E
1,3
1,1
0,3
F
1,5
G
3
1,9
H
3
2
1,3
1,1
0,3
3
1,9
1,4
J
0,5
1,4
C APAC IDAD DE PRO DUCCIÓN Y LO GISl lCA
437
C) Fabricar el componente T.
D) Transportar el componente Sal ta1ler de ensamblaje.
E) Transportar el componente Tal taller de ensamblaje.
F) Recibir los materiales necesarios para elaborar el componente R en el ta-
ller de fabricación.
G) Fabricar el componente R.
H) Fabricar el componente ST (resultante de ensamblar S con T) .
l) Transportar el componente R al taller de ensamblaje .
J) Ensambar ST con R para obtener el producto final.
En la tabla 6.10 se recoge el tiempo mínimo necesario para efectuar cada
operación (tiempo optimista), el que se considera normal (tiempo más probable) y el que se tardaría en el peor de los casos (tiempo pesimista) , todos
ellos en unidades de tiempo (u .t.).
Se desea:
a) Determinar la duración esperada de cada una de las actividades .
b) Construir el grafo PERT de este proyecto.
e) Determinar el camjno crítico y su duración.
d) Calcular los tiempos early y last de los ilistintos nudos, así como sus oscilaciones.
e) Calcular las holguras de las distintas actividades .
j) Representar el gráfico de Gantt del proceso de producción.
RESOLUCIÓN
a) Denominando t0 al tiempo optimjsta de una actividad, t a su tiempo más
probable y tP a su tiempo pesimista, el denominado tiempo-PERT, o duración
esperada de esta actividad , es la media ponderada:
111
t + 4t,,, + tv
d = o
6
Así, en este caso , se obtienen como duraciones esperadas las de la tabla
6.11. Por ejemplo, el tiempo-PERT de la actividad A vale:
1 ,5 + 4 · 1 + O,5
- - - - - - - - = 1 u.t.
6
y el de la B es:
4+4·3 +2
6
- - - - - - = 3 u.t.
De la mjsma forma se han calculado las duraciones esperadas de las demás
actividades.
438
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
TABLA 6.11
0,5
A
1,5
B
4
3
2
3
e
3
2
1
2
D
1,3
1, 1
0,3
E
1,3
1, 1
0,3
F
1,5
G
3
1,9
1,4
2
H
3
2
1
2
1,3
1, 1
0,3
3
1,9
1,4
J
0,5
2
b) Antes de construir el grafo PERT conviene real izar la tabla de precedencias 6.J 2.
A esta tabla de precedencias, deducida de la in formació n del enunciado, le
corresponde el grafo PE RT de la fig ura 6.4, en el que se han incorporado
también las duraciones esperadas de las acti v idades .
e) L as duraciones de los caminos , según los tiempos-PERT de l as acti vi dades, son:
A
B
A
e
A
D
B
E
e
F
G
F
H
D, E
G
TABLA6.12
J
H, I
C APAC IDAD DE PRO DUCCIÓN Y LOGÍSTICA
439
Camino 1-2-3-5-8-9: 1 + 3 + 1 + 2 + 2 = 9 u.t.
Camino 1-2-4-5-8-9: 1 + 2 + 1 + 2 + 2 = 8 u.t.
1 + 2 + 1 + 2 = 6 u.t.
Camino 1-6-7-8-9:
Por consiguiente, el camino crítico (aquel al que le corresponde la mayor
duración) es el 1-2-3-5-8-9, que está integrado por las actividades A, B, D , H y
J. Su duración es de 9 u.t.
ó
l
0
~
,s,
'\
~
J
2
9
'\
l
\
G
2
FIGURA6.4
á) y e) En las tablas siguientes se recogen los tiempos early y last de los distintos nudos, así como sus oscilaciones y las holguras de las actividades.
1
o
2
1
3
4
4
o
o
o
4
3
4
1
5
5
5
o
4
3
6
TABLA 6.13
440
o
7
3
6
3
8
7
7
o
9
9
9
o
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
,
,
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
e
2
4
D
3
5
E
4
5
F
1
6
o
3
3
G
6
7
3
3
3
H
5
8
o
o
7
8
3
3
3
o
o
8
9
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
J
1
- 3
TABLA 6.14
j) El gráfi co de Gantt correspondiente a este proceso de prod ucc ión es el
representado en la figura.
Actividades
A
B
e
D
o
r=-7
E
F
G
H
t
q
J
'
i
6
7
~
►
1
FIGURA 6.5
2
3
4
5
8
9
Tiempo
CAPACIDAD DE PRODUCCION Y LOGISTICA
441
Problema 6.3.2
Planificación y control de las actividades productivas
La empresa Consunedsa ha ganado un concurso público del Ayuntamiento
de Coronalillo para construir un pantano que abastezca de agua al pueblo. Para
realizar la obra, ha de llevar a cabo las siguientes actividades:
A) Contratar personal local.
B) Construir, con personal local , un camino de acceso a la zona en la
que se va a construir el pantano.
C) Montar, también con personal local, viviendas provisionales para el personal que ha de construirlo y almacenes para los materiales.
D ) Llevar los materiales de construcción y el personal de obra.
E) Llevar e instalar la maquinaria de excavación con personal local.
F) Con personal local, limpiar la zona.
G) Realizar las excavaciones y efectuar la obra.
H) Desviar el cauce del río Aljaralamiño, que ha de abastecer al pantano,
con personal local.
[) Dar la entrada de agua al pantano.
J) Retirar el material y transportar al personal a su lugar de origen.
K) Desmontar las viviendas y almacenes y retirarlos, con personal local.
Dados los medios técnicos y humanos disponibles, según la experiencia de
la empresa los tiempos previstos para efectuar dichas actividades son los representados en la tabla 6.15 (u.t. = unidades de tiempo).
TABLA 6.15
A
2
G
100
8
30
H
30
e
10
D
2
J
4
E
10
K
3
F
50
2
Tales actividades han de ser realizadas en un determinado orden. Por tanto ,
algunas de ellas dependen de la previa ejecución de otras. Así, no es posible
montar las viviendas y almacenes sin antes construir el camino de acceso, ni
llevar los materiales y el personal sin que antes se hayan montado aquéllos.
Tampoco es posible instalar la maquinaria si no se cuenta con el personal , ni realizar las excavaciones si no está instalada la maquinaria y limpiada la zona,
etc. Por tanto:
-
442
La actividad A precede a la B , a la E, a la F y a la H.
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
La B precede a la C y ésta a la D.
L a D, la E y la F preceden a la C .
L a C y la /-/ preceden a la/.
L a / precede a la J, y ésta a la K.
Se desea:
a ) Construir el g rafo PERT correspondi ente a este proyecto.
b) Determinar el camino críti co.
e) Ca lcular los tiempos early y las/ ele cad a nudo y sus osci laciones.
d ) Anali zar las holguras o tiempos sobrantes .
RESOLUCIÓN
A partir ele la información del enunc iado, se ha construido la tab la de prelaciones 6.16.
TABLA6.16
8
A
G
D,E, F
e
8
H
A
D
e
E
A
J
F
A
K
G, H
J
Y, a su vez, a partir de esta tabla se ha constru ido el grafo PERT ele la fi gura
6 .6, sobre la cual se han incorporado las duraciones de las activ idades, los tiempos eorly y las/, las oscilaciones ele los nudos y las holguras de las acti vidades
que no son críticas, efectuándose los cálculos de la forma habitual. La duración
del camino crítico (marcado con trazo grueso) es de 16 1 u.t.
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN Y LOGÍSTICA
443
";:o
0
0
)>•
g
o
~
om
o
~
m
o
o
oz
om
m
~
"
;:o
m
(/)
)>
(/)
H
30
H L = 120
H, = 120
Número
del nudo
FIGURA6.6
4.
Los inventarios: modelos deterministas
Problema 6.4. l
Los inventarios. Modelos deterministas
Gestunedi nv , S. A., es una empresa dedicada a la dist ri bución de electrodomésticos. Uno de los produc tos que adquiere y luego vende es la lavadora en
seco Niusol , de la que an ualmente distri buye c ien uni dades. El coste de tener
una la vadora almacenada durante un año es de 20.000 u.m ., en las que se incl uye el cos te fi nanciero de la inmov ili zación de recursos. Con cada ped ido ele
lavadoras que rea liza al fabr icante incurre en un cos te ele 10.000 u.m., independ ientemente del número de lavadoras que comprenda el ped ido. Para ev itar que un inesperado aumento de la demanda, o un retraso del fabricante en el
servicio del pedido , produzcan una ruptura de stocks (es decir , una falta de productos en el almacén que detenga la actividad), se mantiene un inventario
mínimo , o stock de seguridad , de 10 lavadoras. Se desea saber cuántas l avadoras se deben solic itar en cad a pedido (el tamaño óptimo , o tamaño económico, del ped ido), cuántos pedidos se deben efectuar al año, el número de días
transcurridos entre dos ped idos, el ni vel medio del almacén y el coste anual total del in ventario.
RESOLUCIÓN
Suponiendo que el ritmo de sa lidas fuera constante, el nivel de un almacén
evolucionaría de la forma representada en 1-ª. figura 6.7, en la que Ss, es el stock
de seguridad , Q es el tamaño del pedido y Ses el ni vel med io de ex istencia en
el almacén. Como se puede observar en la figura:
Los momentos 10 , t 1, 12 , etc., representan los instantes del tiempo en los que
se reciben pedidos. Tras la recepción, el nivel de almacén se va reduciendo y,
para que dicho ni vel no sea inferior que el stock de seguridad, cuando un pedido se agota ha de recibirse el siguiente.
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN Y LOGÍSTICA
445
Nivel del
inventario
Q
s
t,
FIGURA 6.7
Tiempo
Denominemos:
q a la cantidad de producto comprada y vendida al año en unidades físicas
(u.f.).
Q al tamaño del pedido en u.f. (incógnita del problema).
-2..... será el número de pedidos realizados cada año.
Q
k a lo que cuesta efectuar cada pedido (coste del reaprovechamiento).
CR = k _2_ será el coste anual de reaprovechamiento, o coste anual de reQ
novación.
g a lo que cuesta tener una unidad física de producto almacenada durante un
año.
CP = gS =
g(S + ; ) será el coste anual de almacenamiento , o coste
5
anual de posesión del stock.
CT = CR + CP será el coste total anual.
El nivel óptimo del pedido será el valor de Q para el cual sea mínima la función de costes totales:
cr = k-2.....
+
Q
446
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
g(s + R)
s
2
Es decir, el va lor ele Q para el cual:
dC.,.
e¡
1
- - = -k - + g - = O
dQ
Q2
2
ele donde se deduce que el tamaño óptimo del pedido es:
E n el presente caso:
Q=
2 · 10.000 ·· JOO
- -- -- - - = 10 lavadoras en cada ped ido
20.000
Con ell o, el número de ped idos realizados cada año será:
100
q
- - = 10 ped idos al año
Q
10
T omando el año comercia l de 360 días, el número ele días tran scurridos entre dos ped idos será igual a:
360
,
- - = 36 d1as
JO
El nivel med io del inventario será ele 15 lavadoras:
-
S= S + -
,.
Q
2
= JO + -
10
= 15 la vadoras
2
El cos te total del inventario va ldrá:
-ª-)
C 7• = k !L +g(s +
Q
'
2
= 10 .000 · 10 + 20.000 · 15 = 400.000 u.m. anuales
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓ N Y LOGÍSTICA
447
Problema 6.4.2
Los inventarios. Modelos deterministas
La Inventuned Corporation, Inc. , necesita anualmente un millón de unidades del componente XA2 para el montaje de robots domésticos de limpieza.
Cada componente le cuesta 1.000 u.m. y, además, por cada pedido que efectúa
ha de abonar 3.200 u.m. El coste de almacenamiento de un componente durante
un año es de 300 u.m. , excluyendo los costes financieros . El coste de oportunidad del capital invertido en stocks es del 10 por 100 anual. El stock de seguridad que mantiene la empresa es de 8.000 componentes. Se desea conocer:
a) El tamaño óptimo del pedido.
b) El nivel medio del almacén en unidades físicas.
e) El número de pedidos que se debe efectuar al cabo del año.
d) El coste anual de reaprovisionamientos.
e) El coste anual de posesión del stock, o coste total de almacenamiento.
j) El coste anual del inventario.
RESOLUCIÓN
a) Tener una unidad almacenada durante un año supone para la empresa
dos tipos de costes:
El coste de almacenamiento propiamente dicho (a = 300 u.rn.) .
El coste del capital in vertido en los stocks (es decir, el coste de su financiación). Si cada unidad física vale P u.m. y el coste anual de su financiación es i, el coste financiero unitario será de P · i u.m. al año .
Por consiguiente , el coste unitario total anual de almacenamiento vale, en
este caso:
g = a + P · i = 300 + 1 .000 · O,10 = 400 u .m.
Por tanto, el volumen económico del pedido es:
/2kq
Q = ✓ -;;- =
✓ 2 · 3 .200 · 1.000 .000
400
= 4.000 componentes
b) Conforme se señaló en el problema anterior:
Q
4.000
S = S, + - = 8.000 + - - - = 10.000 componentes
2
2
e) El número de pedidos al año será:
q
Q
448
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
1.000.000
- - -- = 250 pedidos
4.000
d) Si con cada pedido se incurre en un cos te de 3.200 u .m. y se efectúan
250 pedidos al año, el cos te anual de reaprov isionamiento será:
e11 = k -
q
Q
= 3.200 · 250 = 800.000 u .m .
e) Confo rme se ex plicó en la resolución del problema anteri or:
e,, = gS = 400 • 10.000 = 4 .000 .000 u .m .
./) O bv iamente, el cos te anual es:
e.,. = e11 +e,, = 800.000 + 4.000.000 = 4 .800.000 u .m.
Problema 6.4.3
Los inventarios. Modelos deterministas
La empresa L unedesa se dedica a l a compraventa de lanchas voladoras.
Cada año compra en el extranjero y vende en l a costa español a 400 lanchas . E l
cos te de gestión de cada pedido es de 195 .3 12,5 u .111. , y el coste ele tener una
lancha almacenada durante un año es de 250.000 u.m . ¿Cuál es el volu men óptimo de ped ido?
RESOLUCIÓN
Q=Pf=
Problema 6.4.4
2 · l 9 5. 3 l 2 ,5 · 400
250.000
= 25 lanchas en cada ped ido
Los inventarios. Modelos deterministas
U na empresa se dedica a comprar en el extranjero, por un precio un itari o de
812.500 u.m ., un producto que vende en España. Cada año compra y vende 400
u.f. del producto. E l coste de gestión de cada pedid o es de 78 1.250 u .m . y el
coste de tener una unidad de prod ucto almacenada durante un año es de
168.750 u.m., excluyendo los costes fi nancieros. El coste de oportunidad de capital es el JO por 100. ¿Cuántos ped idos debe realizar al año? ¿Cuántos días
tran scu rri rán entre cada dos ped idos? Tómese el año comercial.
RESOLUCIÓN
g = a+ p · i = ] 68 .750 + 0, 10 · 8 12.500 = 250 .000 U.111 .
Q
_
Ff-gkq __
2 · 78 1.250 · 400
- ----- - = 50 u.f.
250 .000
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN Y LOGÍSTICA
449
Si con cada pedido se solicitan 50 u.f., y al cabo de un año se necesitan 400
u.f., el número de pedidos que hay que efectuar al año es:
400
50
.
- - = 8 pedidos
Entre cada dos pedidos transcurrirán 45 días:
360
- - = 45 días
8
Problema 6.4.5
Los inventarios. Modelos deterministas
Una empresa necesita anualmente 200 u.f. del elemento W. El coste de gestión de cada pedido de W es 36 u.m. y tener un elemento W almacenado durante
un año cuesta 25 u.m. ¿Cuál es el número de unidades de W que se ha de encargar en cada pedido? ¿Cuántos pedidos se realizarán en 3 años?
RESOLUCIÓN
En cada pedido se deberán encargar 24 unidades físicas:
Q
_
P!-kq _J- -- -- - =
2 · 36 · 200
25
g
24 u.f.
Cada año se realizarán 200/24 pedidos y en tres años se efectuarán 25 pedidos:
3
450
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
i°º =
2
4
25 pedidos
Parte IV
Dirección de marketing
Capítulo 7. Estudio del mercado y de la demanda
Capítulo 8.
Va riables mercadotécnicas
Estudio del mercado
y de la demanda
7
La función de demanda a corto plazo y sus elasticidades
El control del presupuesto mercadotécnico
La previsión de cuotas de mercado y las cadenas de Markov
Sistemas de afijación en investigación de mercados
La segmentación de mercados
La experimentación comercial
l.
La función de demanda a corto plazo y sus
elasticidades
Problema 7. 1.1
Elasticidades de la demanda
L as investigaciones realizadas por la empresa Unedesa han permitido determinar la función ele demanda de su producto , que adopta la siguiente expresión:
q = 100 - 2p + 1O In A + 8 1n F
donde In denota logar itmo neperiano.
Actualmente vende en 30 u .m. cada unidad de producto y destina 300
u.m. anuales a publicidad y promoción ele ventas y 100 u.m . a venta personal.
¿Cuáles so n las elasticidades actuales ele su demanda respecto a las tres vari ables de que depende?
RESOLUC IÓN
Por reg la general , el producto y la d istri buc ión son variab les estructurales
a largo plazo . Las mod ificac iones del producto y de los canales ele distribución
requieren períodos ele tiempo generalmente amplios, por lo que, una vez implantados un producto y un sistema de distr ibución, no suelen alterarse durante
un largo plazo. Por el contrario , el prec io, la ven ta personal y algunas variables
promocionales, como la public idad y la promoción de ventas, son variables a
corto plazo que, además, en la mayor parte ele los casos, se dejan sentir en las
ventas ele forma inmediata o en un período de tiempo no demasiado ampl io .
A largo plazo, la demanda depende ele todas las var iables mercadotécnicas,
pero a cort o plazo el produc to y la distri bu ción se consideran constantes,
pues no se pueden alterar con rapidez, y las var iab les con las que se puede inc idir en la demanda son el prec io (p), la venta persona l (F) y las mencionadas
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
455
variables promocionales (A). Para tomar decisiones a corto plazo interesará conocer la función que relaciona la cantidad demandada (q) y esas variables mercadotécnicas, es decir, la función de demanda:
q=q(p,F,A)
Si ésta se conociera sería posible determinar el efecto que una variación en
una de tales variables tendría sobre la cantidad demandada. A los ratios que miden, por cociente, el tanto por uno de modificación de la demanda sobre el tanto por uno de variación de la variable que provoca aquella modificación, se les
denomina «coeficientes de elasticidad». Así, la elasticidad de la demanda
respecto a la fuerza de ventas se mide por el coeficiente:
t::.q/q
t::.q
F
l =--= - • F
t::.F/F
t::.F
q
En cuanto al coeficiente de elasticidad de la demanda respecto a la promoción , se obtiene:
t::.q
A
t::.q/q = - ·!::.AJA
t::.A
q
l =
A
Dado que, en la mayor parte de los bienes, una variación del precio da lugar
a una modificación de la cantidad demandada de signo contrario (si el precio
sube, la demanda se reduce, y viceversa), para obtener una medida en términos
absolutos, al ratio que mide la elasticidad de la demanda respecto al precio se
le suele afectar de signo negativo del siguiente modo:
= - t::.q . ]!_
l = - !::.q/q
p
t::.plp
t::.p
q
Si se toman variaciones infinitesimales se obtiene:
= Y!}_ . .!__
l
F
l
A
l
p
aF
q
= aq - ~
aA q
= - aq . ]!_
ap
q
La elasticidad correspondiente a una variable queda medida, así, por el producto de la derivada parcial de la demanda respecto a la variable y el cociente
entre el valor de dicha variable y el nivel de la demanda.
456
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
En este caso , se obtiene:
Nivel actual de demanda = J00 - 2 X 30+ 10 1n 300 +8 1n 100 = 133,88
30
P
= - ( - 2)
= 0,45
q
133 ,88
aq
ap
I, = -- · I
aq
A
aA
q
I11 = - · - = -
10
A
· -=
= 0 ,07
J 33,88
q
A
10
F
F
aq
8
/ , =- · - = - · ,.
aF
q
F q
Problema 7.1.2
8
8
q
] 33 ,88
= 0 ,06
Elasticidades de la demanda
Demostrar que las funciones de demanda exponenc iales del tipo:
q = kpb' A"2 Fb3
tienen elasticidades constantes cualesqu iera que sean los valores de las variables.
RESOLUCIÓN
aq p
_
p
l
1
,,, = - - . - = -kblpb' 1 Ah, pi,, - = - b¡kph1 Ah1FbJ- = - blq - = - bl
ap
q
q
q
q
I = A
,,, = -
aq
A
A
1
1
. - = kpbi b Ab,- 1 pb, - = b,kpb, A b, FhJ - = b q - = b,
aA
q
2
q
_
q
2
q
_
aq
aF
.-
F
q
= kp'''Ah2b3 pb,- 1-
F
= bi pb, Ab2F''J-
q
I
q
= b3q -
l
= b3
q
Por consiguie nte, en las funciones de este tipo:
,,, = - b l
/" = b2
IF = b3
cualesquiera que sean los valores de las variables y el correspondiente nivel de
la demanda.
ESTUDIO DEL M ERCADO Y DE LA DEMA NDA
457
2.
El control del presupuesto mercadotécnico
Problema 7.2.1
Control del presupuesto mercadotécnico
A finales del pasado año la empresa Lunedosa había previsto, para el ejercicio que ahora termina, la venta de 600.000 u.f. de su producto PK.2000 , lo
que supondría, según tales estimaciones , un beneficio bruto de 12.000.000 de
u.m. Las ventas reales han resultado ser de 400.000 u.f. y el beneficio bruto ha
sido de 16.000.000 de u.m. Se desea analizar la desviación total del beneficio
dividiéndola en desviación en cantidades y desviación en márgenes.
RESOLUCIÓN
Denominando mal margen de beneficio bruto unitario, o diferencia entre el
precio de venta y el coste variable unitario:
m = p - Cv
y llamando q a la cantidad vendida, el beneficio bruto (es decir, antes de deducir los costes fijos) será:
BB = qm
Denotando con el subíndíce r a las cantidades reales y con el s a las cantidades presupuestadas, la desviación entre el beneficio real y el previsto será:
DT = BB,. - BES= q,.m,. - qsms
y esta desviación se puede desglosar como sigue:
DT = (q,.m,. - q,.ms) + (q,.ms - ql_m)
donde el primer sumando es la desviación en márgenes:
DM = (q,.ms - q,.m) + q,.(m,. - m)
y el segundo es la desviación en cantidades:
D º = (q,.ms - q,m ,) + m/q,. - q)
La empresa Lunedosa había previsto uns ventas de 600.000 u.f. y un beneficio bruto de 12.000.000 de u.m. Por consiguiente:
BBs = 12.000.000 de u.m.
qs = 600.000 u.f.
BB
12.000.000
,n = __
s = - -- - - = 20 u.m.
5
458
qs
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
600.000
Las ca ntidades real es rucron:
88, = 16.000.000 ele u.m.
C/,. = 400 .000 LI J .
88
= __
,. = - 16.000.000
- - - = 40 Ll .m.
111
r
Cf,.
400.000
Por consiguiente:
Dr = 88,. - 88_, = 16.000 .000 - 12.000.000 = 4 .000.000 de u.m.
o¡\/ = 400.000(40 - 20) = 8.000.000 de u .m.
0 = 20(400.000 - 600.000) = - 4.000.000 de u .m.
0
Como resulta ev idente, la desv iación total positi va que se observa se ha debido a una elevada desviación en márgenes que compensó la negativa desv iación en la cantidad vend ida. Para saber si la desv iación en márgenes tiene su
base en una elevación de l precio o en una reducción del coste variable unitario ,
so bre los ni veles previstos, sería precisa ciert a información adicional.
T ambién se precisaría más información para saber si l a reducció n de l as
ventas, sobre la magnitud prev ista , se debe a un a desfavorabl e evolución general del mercado del tipo de producto que elabo ra esta empresa o si se debe a
una reducción de la participac ión en el mercado del PK.2000.
Problema 7.2.2
Control del presupuesto mercadotécnico
Sabiendo que la empresa de l problema anteri o r había previsto un prec io de
venta ele J .000 u.m. y que éste resul tó ser ele 1.050 u.m. , se desea analizar con
mayor detall e su desv iac ión en márgenes.
RESOLUCIÓN
La desv iación en márgenes puede desco mpo nerse del siguiente modo:
D,11 = q,.(m,. - 111) = q,.í(p,. - C.) - (p_,. - C,.)l = q,.(P,. - p) + q,.(C,., - C,.)
donde
es la desv iac ión en precios y
De = q,.(C,., - C,.)
es la desv iació n en costes variabl es.
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
459
En el caso de la empresa Lunedosa se tiene que:
Ps = 1.000 u.m.
CV.r = pS - m S = 1.000 - 20 = 980 u.m.
P,. = 1.050 u.ro.
Cv, = p,. - m,. = 1.050 - 40 = 1.010 U.ID.
y, por tanto:
DP = 400.000(1.050 - 1.000) = 20.000.000 de u.m.
De= 400.000(980 - 1.010) = -12.000.000 de u.ro.
Así pues, el favorable resultado obtenido en márgenes se debe a la asignación de un precio por encima del previsto que permitió compensar la desfavorable evolución de los costes variables, cuyo importe unitario fue 30 u.ro. superior al estimado.
Problema 7.2.3
Control del presupuesto mercadotécnico
Sabiendo que la empresa de los problemas anteriores había previsto que las
ventas totales del mercado al que se dirige el producto PK2000 fueran, para el
conjunto de las empresas que compiten en el mismo, de 24.000.000 de u.f., y
que éstas resultaron ser de 28.000.000, se desea analizar, con mayor detalle, su
desviación en cantidades.
RESOLUCIÓN
Denominando Q a las ventas totales del conjunto de empresas que compiten en el mercado y t a la proporción de las mismas correspondiente al producto
de Lunedosa (cuota de ventas de este producto), como es obvio:
q = tQ
y, por tanto, la desviación en cantidades puede descomponerse del siguiente
modo:
DQ = m,(q,.- q,) = m,(t,.Q,. - tsQ) = m,[(t,.Q,. - tsQ,.) + (tsQ,. - tsQ,)] =
= msQ,.(t,. - t,) + m,t,(Q,. - Q,)
donde el primer sumando es la desviación en cuotas:
DK = msQ,.(t,. - t,)
y el segundo es la desviación en el tamaño global del mercado:
DG = m,t/Q,. - Qs)
460
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
En e l caso del produc to PK .2000 se tie ne q ue:
Q_,. = 24.000.000
q
600.000
1
t = - '· = - - - - = -
.,
Q,
24 .000 .000
40
Qr = 28 .000 .000
q
400.000
1
Q,.
28 .000 .000
70
I =r =----=-
,.
y, por cons ig uie nte:
DK = 20 X 28.000.000(-
l
1
- - ) = - 6.000 .000 de u.m.
70
40
l
De= 20 (28 .000.000 - 24.000.000) = 2.000.000 de u.m.
40
La desfavorable desviació n e n cantidades observada (- 4.000.000) se de be
a una participación e n las ve ntas del me rcado infe rior a la prev ista , pues d ichas
ventas g lobales fue ron supe rio res a las que se habían estimado. Falta info rmac ión para sabe rl o, pero es posible que la asignació n de un precio unitario
mayor que e l prev isto haya redundado e n una reducc ión de la c uota de ve ntas
del producto. No obstante, s i e l objetivo de la e mpresa es maximizar s u benefi c io, la dec is ión puede considerarse acertada.
Problema 7.2.4
Control del presupuesto mercadotécnico
En la tabla 7 .1 se compa ra n las previsiones y lo s resultados reales del
produc to D2D , fabricado y dis tribuido por la e mpresa Unedonsa.
TABLA 7. 1
Ventas globales de todo el sector (u.f.)
40.000.000
35.000.000
Ventas de D2D (u.f.)
5.000.000
7.000.000
Precio unitario de venta de D2D (u.m.)
1.000
750
Coste variable unitario de D2D (u.m.)
750
600
Se desea ana lizar la desv iació n tota l de l be nefic io bruto gene rado por este
produc to .
ESTUDIO DEL MERC ADO Y DE LA DEMANDA
461
RESOLUCIÓN
Los datos previos para el análisis son, según el enunciado del problema, los
siguientes:
Ps
= l.000
e v, = 750
111s = P s -
C.,,= 250
P,. = 750
e,,, = 600
m,. = P,. - C.,, = 150
Q., = 40 .000 .000
qs = 5.000.000
t =--2L_= J__
s
Qs
8
Q,. = 35 .000 .000
q,. = 7
·ººº ·ºPº
t =!L_=r
Q,.
5
Con estos datos se han realizado los cálculos de las desviaciones en la tabla
7.2.
La negativa desviación total se explica por una negativa desviación en
márgenes que no fue compensada con la favorable desviación en la cantidad
vendida. Dicha desviación en márgenes se debe a la sustancial inferioridad del
precio real respecto al previsto , que provoca una desviación que no fue cubierta
con la favorable evolución del coste variable unitario. En cuanto a la desviación
en cantidades, su importe positivo se alcanzó gracias a la mayor participación
del producto en las ventas del mercado que compensó la negativa evolución de
las ventas globales de la industria. Si bien no se cuenta con información suficiente para asegurarlo , dicho aumento de participación sobre la cifra prevista
puede haber sido conseguido gracias a la fijación de un precio de venta inferior
al que se había estimado inicialmente.
462
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Desviación en precios:
Desviación en márgenes
DM q,(m, m,I
7.000.000(150 250)
700.000.000
Dp q,IP, P.I
7.000.000(750 1.000)
1.750.000.000
Desviación en costes:
o, q,(C, C)
7.000.000(750 600)
1.050.000.000
Desviación total:
o,
,,
q,m, q,m,
7.000.000 X 150 - 5.000.000 X 250 =
= - 200.000.000
Desviación en cantidades
Do = m,(q, - q,) =
= 250(7.000.000 - 5.000.000) =
= 500.000.000
TABLA 7.2
Problema 7.2.5
Desviación en cuotas:
DK m,O,(t, - t,) =
= 250 X 35.000.000(1/5 - 1/8) =
= 656.250.000
Desviación en el tamaño
del mercado:
0 6 = m,t,(O, - O,) = 250
(1/8)(35.000.000 - 40.000.000) =
= - 156.250.000
Control del presupuesto mercadotécnico
Una empresa tenía previsto para el pasado año obtener un margen unitario
de 250 u.m. vendiendo su producto a un precio unitario de 1.000 u.m. En rea lidad ha vendido 7.000.000 ele u.f. con un coste variable unitario de 600 u.m.
¿Cuánto ha valido su desv iaci ón en costes?
RESOLUCIÓN
ele donde:
C,., = Ps -
111, =
l .000 - 250 = 750
Por consiguiente:
De = q,.(C,., - C,.,) = 7.000.000(750 - 600) = l .050.000.000 u.m.
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
463
Problema 7.2.6
Control del presupuesto mercadotécnico
El beneficio bruto estándar previsto para un producto era de 1.250.000.000
de u.m., con un margen de beneficio bruto unitario de 250 u.m. En realidad se
han vendido 7 .000.000 de u.f. ¿Cuánto ha valido la desviación en cantidades?
RESOLUCIÓN
DQ = m/q,. - qs) = msqr - msqs = m sqr - BBS =
= 250 · 7 .000.000 - 1.250.000.000 = 500.000.000 u.m.
Problema 7.2.7
Control del presupuesto mercadotécnico
Las ventas globales de un producto en todo el sector han sido de 35.000.000
de u.f. Se preveía un margen de beneficio unitario estándar de 250 u.m. , una
cuota de ventas estándar de un 12,5 por 100 y un beneficio bruto estándar de
1.250.000.000 de u.m. ¿Cuál ha sido su desviación en el tamaño del mercado?
RESOLUCIÓN
DG = m,t/Q,. - Q) = m/sQ,. - m/sQs = m/sQ,. - m.q., =
= m/.Q,. - BBs = 250 · 0,125 · 35 .000.000 - 1.250.000.000 =
= -156.250.000 u.m.
Problema 7.2.8
Control del presupuesto mercadotécnico
Una empresa tenía previsto vender el pasado año 5.000.000 de u.f. de su
producto, suponiendo que las ventas totales de la industria fueran 40.000.000
de u.f. En ese caso habría obtenido un beneficio bruto de 10.000.000.000 de
u.m. En realidad, las ventas totales de toda la industria han sido 35 .000.000 de
u.f. ¿Cuánto vale la desviación en el tamaño del mercado?
RESOLUCIÓN
Es el mismo caso del problema anterior aunque partiendo de unos datos diferentes .
5.000.000
1
40 .000 .000
8
1O.000 .000 .000
- -- - - - = 2.000 u.m.
5.000.000
DG = m/s(Q,. - Q,) = 2.000
464
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
1
8 (35.000.000 - 40.000.000) = -1.250.000.000 u.m.
Problema 7.2.9
Control del presupuesto merc adotécnico
L as ventas globales de un producto en todo un sector han sido de 7 .000.000
u .f. Una empresa del sector preveía un margen de benefi c io unitario estándar de
250 u .m., una c uo ta de ventas estándar de un 12,5 por 100 y un bene fi c io bruto está ndar de 250 .000.000 u.111 . ¿Cuál ha siclo su desv iac ión en el tamaño del
mercado?
RESOLUCIÓN
Es un caso semejante al del problema 9 .3 .7.
De = 111_//Qr - Q) = 111_/,Qr - 117_/,Q.,. = 111 / ,.Q,. - 111 .,qs =
= m/ ,Q,. - 88., = 250 · 0 ,125 · 7.000.000 - 250 .000 .000 =
= - 3 1.250.000 U.m .
Problema 1.2.10
Co ntro l del presupuesto mercadotécnico
U na empresa ha obtenido , con la venta de su producto unos ingresos ele
5.250 .000 u .111 ., lo cual no coinc idió con lo previsto, pues pensaba vender
cada unidad en un precio de 1.000 u. m. y tu vo que hacerlo por 750 u .111 .
¿Cuánto ha vali do la desv iación en prec ios?
RESOLUC IÓN
Segú n el enunc iado :
p,. = 750
P, = 1.000
S.250.000
750
= 7.000
Por lo tanto:
DJJ = q,.(p,.- p) = 7.000 (750 - 1.000) = - 1.750 .000 u .m.
Como el precio real ha sido inferi or al previsto , la desv iación en precios es
negati va .
Problema 1.2.11
Control del presupuesto mercadotécnico
Una empresa había prev ist o un margen bru to unitari o para su prod ucto
de 500 u .111 . y que le corresponder ía un 12,5 po r 100 ele las ventas de todo
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
465
el sector. Las ventas globales del sector han sido realmente 35 .000 .000 u .f. y
la empresa ha vendido 7 .000 .000 u .f. ¿ Cuánto ha valido la desviación en cuotas?
RESOLUCIÓN
Según el enunciado:
m s = 500
Q,. = 35.000.00
q,. = 0,125Qs
La expresión de la desviación en cuotas es:
Dk = m sQ,.(t,. - t)
donde:
t = _!!__,__ =
s
Qs
º·125 º. = O 125
Qs
,
q.
7 .000 .000
t = -' = - - - =02
,.
Q,.
35.000.000
'
Por consiguiente:
Dk = 500 X 35.000.000(0,2 - 0,125)
Dk = 1.31 2.500.000 u.m.
Problema 1.2.12
Control del presupuesto mercadotécnico
El beneficio bruto estándar previsto para un producto era de 1.000.000.000
de u.m., con un margen de beneficio bruto unitario de 250 u.m. En realidad, se
han vendido 7.000.000 de u.f. ¿Cuánto ha valido la desviación en cantidades?
RESOLUCIÓN
Es un problema prácticamente igual al 6.2.6:
DQ = m,(q,. - q) = msqr - msqs = msqr - BBS =
= 250 X 7.000.000 - 1.000.000.000 = 750.000.000 u.m.
466
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 1.2.13
Control del presupuest o mercadotécnico
Una empresa ha vendido en el pasado año 3.000 uJ. ele su producto, para el
que había previsto un benefi cio bruto estándar ele 100.000 u.111. que hubiera obtenido apli ca ndo un margen ele beneficio bruto uni tario ele 50 u.m. ¿C uánto ha
va lido la desv iac ión en cantidades?
RESOLUCIÓN
Es mu y semejante al anter io r:
Dº = 111.,(q, - e¡) = 111.,c¡,. - 111,q, = 111 ,q, - 88 , =
= 50 X 3.000 - 100.000 = 50.000 U.lll.
3.
La pre visión de cuotas de mercado
y las cadenas de Markov
Problema 7.3.1
Previsión de cuotas de mercado y cad enas de Markov
En cierto mercado compiten tres marcas ele cierto producto ele consumo que
se adquiere semanal mente. Efectuando un sondeo entre los establec imi entos
minori sta s en los que se venden se estima que, ele cada cien consumidores del
producto , en la semana que ahora term ina diez adquirieron la marca 1, vei nte
la marca 2 y setenta la marca 3 . Se ha real izado, además , un sondeo sobre la intención ele compra de los consum idores y se ha llegado a la conc l usión ele que:
D e cada cien consumidores que adqui rieron la marca I la pasada semana, ci ncuenta volverán a adqu irirla , diez ca mbiarán a la 2 y el resto
adqu i rirá la 3 .
En relación a la marca 2, ele cada cien que la adquirieron la pasada semana , ochenta la volverán a adquirir, diez cambiarán a la I y otros diez
ala 3 .
Y en cuanto a la marca 3, de cada cien adq uirentes la Cil tima semana ,
treinta cambiarán a la 1, veinte a la 2 y el resto vol verán a adqui r ir la
misma.
Se desea estimar las cuotas de mercado ele las tres marcas en la semana finali zada y prever las de la próxima.
RESOLUCIÓN
Obviamente, en la semana que ahora final iza la cuota de mercado de la marca I fue del I O po r 100 , siendo del 20 po r 100 la que correspondió a la ma rca
2 y del 70 por 100 la ele la marca 3:
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
467
p 1(0) = 0,1
pz(0) = 0,2
p3(0) = 0,7
Dicho en terminología de cadenas de Markov , el vector de estado de ese período fue:
P(0) = [p 1(0)
p/0)) = [0,1
pz(0)
0 ,2
0 ,7)
Para prever la cuota de la próxima semana de la marca 1, q 1(1) , basta considerar que , de cada cien consumidores del producto:
Diez adquirieron esta marca la pasada semana y el 50 por 100 de ellos
piensa volver a adquirirla. Cinco consumirán nuevamente esta marca.
Veinte adquirieron la marca 2 la semana pasada y el 10 por 100 de éstos piensan cambiar a la 1. Por consiguiente, de estos veinte, dos consumirán la marca 1 .
Setenta compraron la marca 3 la semana finalizada y el 30 por 100 de
ellos piensa adquirir la marca 1. Por tanto , de este grupo, veintiuno adquirirán la marca 1.
Por consiguiente, de cada cien consumidores del producto, veintiocho (es
decir, 5 + 2 + 21) serán los que, presumiblemente, consumirán la marca 1. La
cuota de mercado de esta marca se prevé que sea del 28 por 100.
Dicho de otro modo, designando como P;·1 a la proporción de consumidores
que cambian de la marca i a la marca}:
qi(l) = P1(0)P1 1 + pz(0)P21 + p/0)p31 =
= 0 ,1 X 0 ,5 + 0 ,2 X 0,1 + 0 ,7 X 0 ,3 = 0,28
De forma semejante, en cuanto a las marcas 2 y 3 se obtiene:
qz(1) = P1(0)P12 + p z(0)P22 + p / 0)p32 =
= 0 ,1 X 0,1 + 0,2 X 0,8 + 0,7 X 0,2 = 0,31
q/1) = P1(0)p13 + pz(0)p23 + PJ(0)p33 =
= 0 ,1 X 0,4 + 0 ,2 X 0,1 + 0 ,7 X 0,5 = 0,41
Se prevé que el 28 por 100 de los consumidores adquirirán la marca 1, el 31
por 100 la marca 2 y el 41 por 100 la marca 3. El vector de estado previsto para
la próxima semana es:
Q(l) = [qi( l)
q 2 (1)
q/ 1)) = [0 ,28
Obviamente, ha de cumplirse que :
468
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
0 ,3 1
0,41)
Problema 7.3.2
Previsión de cuotas de merc ado y c adenas d e Markov
Suponiendo que no se modifiquen las proporciones de consumidores que,
entre semanas consecuti vas, desean cambiar ele cada marca a cada un a de las
otras, se desea estimar las cuotas de ventas de las tres marcas del ej ercicio anterior la semana siguiente a la próx ima.
RESOLUCIÓN
De form a semeja nte:
ql(2) = ql( 1)pi 1 + qz( l )P21 + q3( 1)/J31 = 0,28 X 0,5 +
+ 0,3 1 X 0 ,1 + 0 ,4 1 X 0,3 = 0,294
qz(2) = ql( l )JJ12 + q2( 1)p22 + q3( l )/J32 = 0,28 X 0, 1 +
+ 0,3 1 X 0,8 + 0,4 1 X 0 ,2 = 0 ,358
q/2) = ql(l)pl 3 + qz( l )/J23 + q3( 1)/J33 = 0,28 X 0,4 +
+ 0 ,3 1 X 0 ,1 + 0,41 X 0,5 = 0,348
Se comprueba que:
El vec tor de estado previ sto para la segunda semana es:
Obsérvese que si hubiera N marcas, en genera l :
N
q¡(t) =
I I q¡Ct - 1)pji
i = 1,2, ... ,N
1~
y, por consiguiente:
N
Q(t) = ~~I
N
N
qp - 1)pjl l 1qp - 1)pj2 l 1qp - l )pjN]
o, lo que es lo mismo, en notació n matri ci al :
Q(t) = Q(t - l )M
donde M es la denominada «m atri z de transi ción o de cambios de estado»:
P11 P12
P21
P 22
M=
P,,'I
P N2
P1 N
P 2N
. ..
P NN
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
469
Así, en este caso:
0,5 0 ,1 0 ,4]
Q(2) = Q(l)M = [0 ,28 0,31 0,41] 0,1 0 ,8 0,1 = [0 ,294 0,358 0,348]
[ 0,3 0 ,2 0 ,5
Pero , de forma semejante:
Q(l) = P(0)M
Por lo que también podría haberse calculado Q(2) del siguiente modo:
0,5 0,1 0,4]
Q(2) = P(0)M 2 = [0 ,1 0 ,2 0 ,7] 0,1 0,8 0,1
[ 0,3 0,2 0,5
2
Por consiguiente, en general:
Q(n) = P(0)M11
Problema 7.3.3
Previsión de cuotas de mercado y cadenas de Markov
Suponiendo que no se alteren las proporciones de consumidores que, entre
semanas consecutivas, desean cambiar de cada marca a cada una de las otras, se
desea estimar las cuotas de ventas hacia las que tiende el mercado a largo plazo.
RESOLUCIÓN
Cuando las proporciones P ·; (i,j = 1, 2, ... , N) se mantengan estables en el
tiempo, se mantendrá estable , iomo es obvio, la matriz M, pues aquéllas no son
sino los elementos de ésta. Entonces se dice que es una matriz estacionaria.
El enunciado pide la determinación del límite:
lím Q(n)
Pero , según se expuso en la resolución del ejercicio anterior:
Q(n) = P(0 )M11
y, por tanto:
lím Q(n) = P(0) lím M
11
Cuando M tiene límite al tender n a infinito , se dice que la cadena de
Markov es asintóticamente ergódica.
Como se señaló en el problema anterior:
11
Q(n) = Q(n - l)M
470
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Por tanto:
lí111Q(11) = llí111Q(11 - l)IM
y denomi nando
l ím Q(11) = L = l/ 1
,,_"X
/,
•••
l,,J
se deduce que:
lo cual permite obtener un sistema de ecuaciones del que deducir los valores ele
11, /2, ··· , /,v:
O = /1(P11 - 1) + l"21721 + ··· + l,v/J,v1
O = l1P12 + 1/Pn - 1) + ··· + l,vPm
o = l 1P1 N + 1-jJ2N + ... + l,.,,(pNN - 1)
Pero dado que, como es obvio,
N
.S:: pji= 1,paratodoj = 1,2, ... ,N
j = I
las ecuac iones anteriores son complementarias, por lo que resulta preciso
sustituir cualquiera ele ellas por la siguiente:
N
"~ I.1 = 1
-
j=I
En el presente ejerc icio el sistema es:
0 = I 1( - 0 ,5) + /2 X O, 1 + /3 X O,3
0 = /1 X 0 , 1 + /2 ( -0,2) + /3 X 0,2
1
= /1 + 12 + IJ
deduciéndose que:
/1 = 0 ,2666
/2 = 0,4333
/3 = 0,3
Si la matriz de tran sición no se modifica por cualquier causa, como pueda
ser la relati va a los es fu erzos comerciales ele las empresas concurrentes , la marca 2 acabará consiguiendo una cuota próxima al 43 por 100, siendo del 27 por
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
47 1
100 la cuota aproximada que tenderá a conseguir la primera y del 30 por 100 la
correspondiente a la tercera.
Problema 7.3.4
Previsión de cuotas de mercado y cadenas de Markov
En cierto mercado compiten tres marcas de cierto producto de consumo que
se adquiere quincenalmente. Efectuando un sondeo entre los establecimientos
minoristas, se estima que de cada cien consumidores del producto, en la quincena que ahora termina treinta adquirieron la marca 1, otros treinta la marca 2
y cuarenta la marca 3. Se ha realizado , además, un sondeo sobre la intención de
compra de los consumidores , llegándose a la conclusión de que la próxima
quincena piensan adquirir la marca 1 el 25 por 100 de los que ya la adquirieron
la quincena que ahora finaliza , el 30 por 100 de los que adquirieron la marca 2
y el 20 por 100 de los que adquirieron la marca 3. Desean adquirir la marca 2
el 40 por 100 de los que la adquirieron la última quincena, el 20 por 100 de los
que compraron la marca 1 y el 25 por 100 de los que adquirieron la marca 3. Finalmente, piensan adquirir la marca 3 el 55 por 100 de los que adquirieron la
marca 1, el 30 por 100 de los que compraron la marca 2 y el 55 por 100 de los
que ya la adquirieron la quincena pasada. Se desea prever las cuotas para las
próximas dos quincenas y las previsibles a largo plazo suponiendo que la
matriz de transición es estacionaria.
RESOLUCIÓN
Del enunciado se deduce que:
P(0) = [0 ,3 0,3 0 ,4)
p 11 = 0 ,25,p2 1 = 0 ,30 ,p 3 1 = 0 ,20
p 12 = 0 ,20,p 22 = 0 ,40 ,p 32 = 0,25
p 13 = 0 ,55 ,p 23 = 0 ,30,p33 = 0 ,55
M =
P 21
P 12
P 22
P13]
[0 ,25 0,20 0 ,55]
P
= 0,30 0,40 0 ,30
P 31
P 32
P 33
P11
[
23
0,20 0 ,25 0,55
Por consiguiente:
Q(l) = P(0)M -
Q(2) = Q(l)M -
472
q 1(1) = 0 ,3 X 0 ,25 + 0 ,3 X 0,30 + 0,4 X 0,20 = 0,245
qi(l) 0,3 X 0,20 + 0,3 X 0,40 + 0,4 X 0,25 : 0,280
{ q/ 1) - 0,3 X 0,55 + 0 ,3 X 0,30 + 0,4 X 0,55 - 0,475
=
q 1(2) = 0,245 X 0,25 + 0,280 X 0,30 + 0 ,475 X 0,20 = 0,24025
qi(2) = 0,245 X 0,20 + 0 ,280 X 0,40 + 0,475 X 0,25 = 0 ,27975
{ qi 2) = 0,245 X 0,55 + 0 ,280 X 0,30 + 0 ,475 X 0,55 = 0,48
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Si las proporc io nes de camb io se mantienen constantes, al próximo período corresponderán unas cuotas del 24,5 por 100 para la marca 1, del 28 por 100
para l a marca 2 y del 47 ,5 po r 100 para la marca 3. En cuanto a la segunda
quincena, las cuotas serían un 24,025 por 100 para la marca 1, un 27,975 por
100 para la marca 2 y un 48 por 100 para la marca 3.
En cuanto al sistema que permite determ inar las cuotas a largo plazo , se tiene que:
0 = /1( - 0,75) + /2 X 0 ,30 + /3 X 0 ,20
0 = /1 X 0 ,20 + /i( - 0,60) + /3 X 0 ,25
0 = /1 X 0,55 + /2 X 0 ,30 + /3 ( - 0,45 )
Tomando la ecuación / 1 + /2 + /3 = 1 y dos cualesquiera de l as tres anter iores se obtiene un sistema del que se deduce que :
/1 = 0,24
/2 = 0 ,28
/] = 0,48
Si no se altera la matriz ele transición , a largo plazo la marca 3 tenderá a una
cuota de mercado del 48 por lOO , siendo del 28 por J00 y del 24 por J00, respecti vamente, las cuotas hacia las que tienden las marcas 2 y 1. La tendencia es,
además, rapidísima, ele manera que en la segunda qui ncena , según se ca lculó
anteriormente, ya cas i se habrían alcanzado esos porcentajes.
4.
Sistemas de afijación en investigación
de mercados
Problema 7.4. l
Sistemas de afijación
Una población de 100.000 personas se ha div id ido en cuatro estratos, A , B ,
C y D , de 50.000 , 12.500 , 25 .000 y 12 .500 personas, respecti vamente. Si se desea encuestar a J .000 personas, ¿cuál será la distri bución de la muestra según
el criteri o de afijació n por igual ?
RESOLUCIÓN
En la afijación por igual se toman muestras del mismo tamaño en todos los
estratos del sig uiente modo :
11
/l l
= 112 = ... = 11111 = -
111
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
473
donde:
n;: Número de elementos que integran la muestra del estrato i (i = 1, 2, ... , m)
n: Tamaño de la muestra total (n = n 1 + n 2 + ... + n
m: Número de estratos.
111
).
En este caso:
1.000
- - =250
4
En cada estrato se habrá de encuestar a 250 personas.
Problema 7.4.2
Sistemas de afijación
¿Cuál sería la distribución de la muestra en el muestreo estratificado del
ejercicio anterior si se desea realizar una afijación proporcional?
RESOLUCIÓN
En la afijación proporcional , la muestra total se reparte proporcionalmente a la población de cada estrato. Si N; es la población del estrato i y N es lapoblación total de los m estratos , la distribución de la muestra se hará del siguiente modo:
~
n
Nm
N
Es decir:
En este caso se tendría:
nA =
nB =
ne =
nD =
474
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
I .000
100.000
X 50 .000 = 500
1.000
X 12.500 = 125
100.000
1.000
100.000
1.000
100.000
X 25 .000 = 250
X 12.500 = 125
Problema 7.4.3
Sistemas de afijación
U na vez estimadas las desv iac iones típicas de la vari able relevante en los
cuatro estratos de los ejercic ios anteri ores, resultaron valer: 5 en el A, 4 en el B,
4 en el C y 8 en el D. ¿Cuá l es la distribuc ió n de la muestra según la afijac ió n
óptima?
RESOLUCIÓN
En la denom inada «afijación óptima» , el reparto de la muestra es proporc ional al tamaño ele la pob lación de cada estrato y a la desv iac ión típica ele l a
vari able en el estrato (raíz cuadrada ele su varianza). Es decir, denominando S;
a l a desv iac ió n típica ele la vari ab le en el estrato i:
= _ 11_111 _
___!:i_
N2S2
_11_, -
N,S,
n; = -
11
N,,,S,,,
- --------- - - N;S;
N,S, + N2S2 + ... + NIIIS/11
i = 1.2, ... , //1
En este prob lema:
11
1.000
50.000 X 5 + J 2 .500 X 4 + 25.000 X 4 + 12.500 X 8
= 0 ,002
y, por consiguiente:
II A =
0,002 X 50.000 X 5 = 500
= 0,002 X 12.500 X 4 = 100
ne = 0 ,002 X 25.000 X 4 = 200
11
11
n 0 = 0 ,002 X l 2 .500 X 8 = 200
Problema 7.4.4
Sistemas de afijación
Si los costes ele recogida de información ele un elemento son , en los di stintos estratos, 25 u .m. en el A , 4 en el B , l 6 en el C y 16 también en el D , ¿cuál
será la distribución ele la muestra entre los di sti ntos estratos según la afijación
óptima con cos tes vari ables?
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
475
RESOLUCIÓN
En la afijación óptima con costes variables el tamaño de la muestra de cada
estrato, i , es directamente proporcional a su población, N;, y a la desviación típica de la variable relevante, S;, e inversamente proporcional a la raíz cuadrada del coste de obtención de información de un elemento del estrato (CJ
nm
- --=----
NII/SII/C,)/2
=
n
Es decir:
n
n 1.=
. N;S;
c1,2
(i = 1, 2 , ... m)
1
En este caso:
n
(N AA
S I CAu2 ) + (N88
S /C8112 ) + (NCC'
S ICC112 ) + (NDD
S /CD112)
1.000
=
(50.000 X 5/5) + (1 2 .500 X 4/2) + (25.000 X 4/4) + (12.500 X 8/4) = 0 ,00 8
y, por consiguiente:
nA = 0 ,008 X
n 8 = 0 ,008 X
ne= 0 ,008 X
n0 = 0 ,008 X
476
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
50.000 X 5
5
12.500 X 4
2
25 .000 X 4
4
12.500 X 8
4
= 400
= 200
= 200
= 200
5.
La segmentación de mercados
Problema 7.5. 1
Segmentación de mercados. El método de Belson
U na empresa ele asesoría mercaclotécn ica ha rec i bici o el encargo, por parte
ele uno ele sus clientes, ele determinar qué criterio es preferibl e, si la clase social
o la edad, para ex plicar el consumo ele c ierta marca de cigarrill os y así segmentar su mercado. Para ell o se ha seleccionado una muestra de 2.000 personas, de las que 200 resultaron consumidores ele la marca. La d istribuc ión por
edades y clases sociales de las 2.000 personas y de las 200 que resultaron consumidoras se recoge en la tabla 7 .3.
Se desea determinar el cri terio de segmentac ión preferi ble según el método
ele Belson.
""'
Clase social
A. Baja
B. Media
C. Alta
Tot al
Edad
l. Hasta 30 años
TABLA 7.3
11. 31-50 años
111. Más de 50 años
...
........
,-
40
260
720
1.020
2.000
250
680
1.070
--
11 11 , ,:.r ::..1._- 4
76
84
1
200
62
70
68
RESOLUCIÓN
E l método de Bel son trata de estimar el poder discriminante de diferentes
variables expl icativas d ico tóm icas (que sólo pueden tomar dos estados alternati vos; por ej emplo , x 1 = Jóvenes y xi = Adultos, o bien, x 1 = H embras y
x, = Varones) con las que se trata de ex plicar el comportam iento o una característica de una población que es la variable a explicar (por ej emp lo, y 1 = Consumen, yi = No consumen). Cuando, como en el presente caso, las vari ables explicati vas, entre las que hay q ue selecc ionar la de m ayor poder discrimi nante
(c lase social y edad), pueden tomar tres estados o 111ás, habrán de agruparse
(por eje111plo , x 1 = Clase med ia-baja y xi = Clase alta; x; = H asta 50 años y x;
= M ás de 50 años) .
En la tabla 7.4 se tabulan las proporciones de personas que tienen la característica estudiad a (consumen) .
Segú n el método de B elson, el cr iteri o óptimo de agrupació n en cada variabl e explicat iva es situar en una clase a los estados en los que l a proporc ió n
de su poblac ión que tiene la característica estudi ada (consumen) es mayor que
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
477
Clase social
A
(40/260)100 = 15,38 (> 10)
(7an 20¡100 = 10,56 (> 10¡
(84/ 1.020)100 = 8,23 (< 10)
B
c
TABLA 7.4
Total
(200/ 12.000)100 = 10
Edad
1
11
111
(62/250)100 = 24,80 (> 10)
(70/680)100 = 10,29 (> 10)
(68/ 1.070)100 = 6,36 (< 10)
la existente a ni vel general (10 por 100) y en otra a aquellos en los que la proporción es menor. Así se formaría la tabla 7 .5.
lf
-~•
1
~
..
""'
Clase social
A+ B
c
980
116
1.020
84
Total
2.000
200
930
1.070
132
68
Edad
1 + 11
TABLA 7.5
111
Por término medio la proporción de consumidores (p) es del 10 por 100. Si
esta proporción se mantuviera en la clase social A + B , salvando errores de
muestreo, por término medio resultarían consumidoras 98 personas (el 10
por 100 de las 980 existentes en la muestra). La diferencia entre las 116 personas que se obtuvieron como consumidores y las 98 que corresponderían en
caso de homogeneidad entre las clases es:
116 - 98 = 18
Obsérvese que, utilizando el mencionado criterio de agrupación , en la otra
clase se obtiene como diferencia el mismo resultando en términos absolutos:
l84 - 0 ,10 X 1.0201 = l84 - 1021 = 18
Esta diferencia es tomada por Belson como medida del poder discriminante
de la variable explicativa. El poder discriminante de la variable edad es:
1132 - 0 ,10 X 9301 = l68 - 0,10 X 1.0701 = 39
El poder discriminante de la edad es superior al de la clase social y, por consiguiente, la edad es el mejor criterio de segmentación según el método de Belson.
478
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Si se dispusiera ele más información relativa a la distri bución ele la población en
los dos segmentos ele edades obtenidos se podría conti nuar di vidiendo cada uno ele
ellos en ot ros dos y, procediendo así de forma sucesi va, se obtendrían más segmentos de tamaño más reducido. Ahora bien , la excesi va segmentación puede no resultar operati va, al tenerse que trabajar con gran número ele segmentos ele escaso tamaño.
Problema 7 .5 .2
Segmentación de mercados. El método de Belson
U na empresa fab ri cante ele un refresco con c ierto contenido ele alcohol ha
tornado una muestra ele J0 .000 personas, si tuadas en di stintos estratos soc iológicos, dernognfficos y geo gr áficos, que r eproducen con fid elidad l as características del mercado global del prod ucto. La di stribuc ión ele l a muestra, ele
acuerd o con los cri terios al terna ti vos ele segmentación que han siclo selecc ionados a pri ori , se recoge en la tabl a 7 .6.
Se desea determin ar el c riteri o que ti ene mayor capacidad d iscri m inante según el métod o ele Belson.
Nivel de ingresos
A. Alto
M . Medio
B. Bajo
3.020
3.335
3.645
511
412
277
Total
10.0 00
1.200
Región geográfica
N. Norte
M . Media
S. Sur
3.200
350
2.995
3.805
451
399
Total
10.000
1.200
J. Jóve nes
A . Adu lt os
N. Ancia nos
2.842
5.573
1.585
340
750
110
To tal
10.000
1.200
H. Hembras
V. Va ron es
4.9 10
5.090
510
690
Tot al
10.000
1.200
S. Solteros
C. Casados
7. 108
2.892
820
380
Tota l
10.000
1.200
Edad
Sex o
Es/ado civil
TABLA 7.6
ESTUDIO DEL MERC ADO Y DE LA DEMANDA
479
RESOLUCIÓN
En la tabla 7 .7 se recogen los porcentajes de consumidores en cada grupo de los
criterios de segmentación que precisan reagrupamiento dicotómico y en el total.
A
M
B
16,92 (> 12)
12,35 (> 12)
7,60 (< 12)
Región geográfica
N
M
s
10,94 (< 12)
15,06 (> 12)
10,49 (< 12)
Edad
J
A
TABLA 7.7
N
11,96 (< 12)
13,46 (> 12)
6,94 (< 12)
La distribución en categorías dicotómicas es la que figura en la tabla 7 .8.
A+ M
923
2n
8
Región geográfica
N+S
M
7 .005
2 .995
749
451
4.427
5.573
450
750
4.910
5.090
510
690
7.108
2.892
820
380
Edad
J+ N
A
Sexo
H
V
Estado civil
s
TABLA 7.8
480
e
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
El poder discrim inante de los cl istintos criteri os puede ca lcularse ya como
sigue:
N i vel ele ingresos:
1923 - 0 , 12 X 6 .3551 = 1277 - 0 , 12 X 3.6451 = 160,4
Reg ión geográfi ca:
1749 - 0 , 12 X 7.0051 = 145 1 - 0 , 12 X 2.9951 = 9 1,6
Edad :
1450 - 0 , 12 X 4.4271 = 1750 - 0, 12 X 5 .5731 = 8 1 ,24
Sexo:
1510 - 0 , 12 X 4 .9 10 1 = J690 - 0 , 12 X 5.0901 = 79 ,2
Estado ci vi l :
1820 - 0 ,12 X 7.1081 = 1380 - 0 ,12 X 2.8921 = 32,96
Según el método ele Belso n, el criteri o que tiene mayor capacidad di scr iminante es el ni vel ele ingresos.
Problema 7.5.3
Segmentación de mercados. El método de la x2
Una empresa ele asesoramiento mercadotécnico ha recibido ele uno ele sus
clientes el encargo de deter minar el criterio que tiene mayor poder di scrimi nante para segmentar el mercado ele cierto perfume para hombres . Para ello se
ha tomado una muestra ele J5 .000 hombres que se considera que reproduce con
fidelidad l as caracterís ticas ele ese mercado . La di stri bución de d icha muestra
y de los 750 que resultaron consum idores, según los dos criterios selecc ionados a pri ori (edad y c lase soci al), se recoge en la tabla 7.9 .
Edad
S. Jóvenes
A. Adultos
N. Ancianos
Clase social
A. Alta
TABLA 7.9
3.000
9.000
3.000
210
510
30
M . Media
B. Baja
2.500
8.500
4.000
100
590
Totales
15.000
750
60
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
481
¿Qué criterio tiene mayor poder discriminante según el método de la x2 ?
RESOLUCIÓN
El método x2 es utilizado para comprobar si la diferencia entre dos distribuciones de frecuencias es significativa. En este caso se trata de comparar la
distribución efectiva de los consumidores en las distintas categorías de cada criterio con la que correspondería si se distribuyeran según el porcentaje medio de
consumidores. Sin embargo, al igual que en el método de Belson, previamente es preciso un reagrupamiento dicotómico en el criterio. Así, por ejemplo, la
distribución del criterio edad podría agruparse del siguiente modo:
Categorías
Muestra
Consumidores
J+A
N
12.000
3.000
720
30
Por término medio el porcentaje de consumidores es:
750
---100 = 5 por 100
15.000
Si los consumidores se distribuyeran conforme a la media en los distintos
grupos del criterio «edad» , en la categoría J + A habría 600 consumidores (el
5 por 100 sobre 12.000) y en la categoría N habrían aparecido 150 (el 5 por 100
sobre 3.000), salvando, obviamente, los errores de muestreo. Se trata, por
tanto , de comparar las siguientes distribuciones de frecuencia:
(i)
Distribución
efectiva (E)
Distribución
teórica (T¡)
J+A
N
720
30
600
150
Categorías
La diferencia es de 120 en la primera categoría y de ( - 120) en la segunda.
El método x2 estima la desviación entre la distribución efectiva y la teórica por
la suma de los ratios resultantes de elevar al cuadrado esas diferencias y dividfr el resultado entre los respectivos valores teóricos . Es decir:
(120)2
( - 120)2
S = - - + ---'---------'-- = 120
600
150
El poder discriminador de un criterio es tanto más elevado cuanto mayor es
la diferencia entre la distribución efectiva y la que correspondería en caso de
que la distribución se produjera con aiTeglo a la media. Por tanto, el coeficiente
Ses una medida de la capacidad de discriminación de un criterio. Pero las categorías dicotómicas pueden formarse realizando distintas agrupaciones de las
clases originales (J + A, N; J, A + N ; J + N, A). Obviamente, entre las dis-
482
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
tintas ag rupac iones que pueden reali zarse debe prel"eri rse, en cad a criterio ,
aquel la para la cual es máx imo el valo r obtenido para S. Se dispone, así, ele un
proced i miento ele se lecc ión ele rorrnas ele agrupac ió n en cada cri teri o y ele un
método para se leccionar entre los criterio s d isponibles, comparando los valores que el rati o S toma en las agrupacio nes óptim as ele los mi smos. Pero, además, es posible determin ar si la diferencia entre la distribución electi va y la teór ica, en cada caso, es o no sig nificativa , pues, cuando los erect i vos ele cada
categoría son lo suf'icienLemente graneles, puede estimarse que S sigue una di stribución x2 con un grad o ele libertad , y esta distribución se encuentra tabula da (véase tabla en apéndice). Así. para un ni vel ele confianza del 95 por 100 se
observa que x2( 1; 0,05) = 3 ,84. Dacio que el valor obtenido para S ( 120) es superio r, puede dec irse que la diferencia entre la di stri bución observada y la teórica es significati va a ese ni vel de con fianza.
En la tabla 7 . 1O se recogen los cálculos precisos para resol ver el problema
enu nciado .
E l agrupami ento óptimo bajo el cr iterio de edad es el que sitúa en una categor ía a los j óvenes y ad ultos, que es aquell a en la que el número ele consumidores está por encima de la media (720 > 600) y en la otra a los ancianos, en
la que el número de consum idores es infer io r al términ o medio (30 < 150).
Bajo el criterio de clase social , el agrupami ento ó ptimo es el realizado situando en una categoría a la clase medi a, en la que el número ele consumidores
es superior al que le corresponder ía si se ajustase a la proporción media , y en
la otra a las clases alta y baj a. Entre los dos cr iter ios, el mayor poder discriminante, según el método x2 , corresponde al basado en la clase soc ial
( 147 ,83 > 120) . Pero cualquiera que sea el cr iter io ele segmentació n y las c a-
Edad
J+A
N
12.000
3.000
720
30
600
150
120
- 120
14.400
14.400
24
96
@
J ..- N
A
6.000
9.000
240
510
300
450
- 60
60
3.600
3.600
12
20
J
3.000
12.000
210
540
150
60
3.600
24
600
- 60
3.600
6
A+M
B
11.000
4.000
690
60
550
200
140
- 140
19.600
19.600
35,64
98
A+B
M
6.500
8.500
160
590
325
425
- 165
165
27.225
27.225
83,77
64,06
A
2.500
12.500
100
650
125
625
- 25
25
625
625
5
1
A+ N
8
30
Clase soc.
TABLA 7.10
M+ B
ESTUDIO DEL MERC ADO Y DE LA DEMANDA
133,64
6
483
tegorías que se formen, la diferencia entre la distribución observada y la que
correspondería si todas las categorías se ajustasen a la proporción media de
consumidores es significativa a un nivel de confianza del 95 por 100, pues Ses
superior a 3 ,84 en cualquier caso.
En general, la técnica x2 proporciona segmentos más homogéneos en sí y
más heterogéneos entre sí que el método de Belson. Por otra parte, al igual que
con éste, si se dispusiera de más información sería posible continuar la segmentación en tanto ésta sea operativa.
Problema 7.5.4
Segmentación de mercados. El método de la x2
Una empresa fabricante de cierto producto ha de segmentarí su mercado.
Para ello ha tomado una muestra de 10.000 personas, a las que ha encuestado
para determinar el segmento en que se encuentra cada una de ellas, con arreglo
a los criterios de segmentación que fueron seleccionados a priori, y para saber
si consumen su producto. Una vez tabulados los resultados de la encuesta, se
dispone de los datos relativos a las 10.000 personas y a las 1.000 que de ellas
resultaron consumidoras del producto en cuestión (véase tabla 7 .11 ).
Se desea determinar cuál es el criterio al que le corresponde la mayor capacidad discriminante según el método x2 •
Clase social
3.500
3.500
3.000
300
500
J. Jóvenes
A. Adultos
N. Ancianos
3.000
5.000
2.000
250
600
150
Lugar de residencia
R. Zona rural
U. Zona urbana
4.000
6.000
600
400
Nivel cultural
A. A lto
M. Medio
B. Bajo
5.000
4.000
1.000
400
450
150
5.000
5.000
600
400
A
B
e
200
Edad
Sexo
TABLA 7.11
484
V
H
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
La proporc ión media es del 10 por 100 ((1.000/10.000) X 100) . En la tabla
7 .12 se realizan los cá lculos prec isos para resol ver el problema .
El criteri o de seg mentación de mayor poder di scrim inante es el basado en
la clase social , di vid iendo la población en una categoría formada por las clases
A y B , a la que le corresponde una proporción ele consu midores inferior a la media ((500/7.000) X 100 = 7 ,14 por 100 < 10 por 100) y en otra categoría , in -
Clase soc.
A+ B
e
7,000
3.000
500
500
700
300
- 200
200
40.000
40.000
57,14
133,33
A+C
B
6,500
1500
700
300
650
350
50
- 50
2.500
2.500
3,85
7,14
10,99
A
B+ C
3.500
6.500
200
800
350
650
- 150
150
22.500
22.500
64,29
34,62
98,91
Edad
J+ A
N
8.000
2.000
850
800
50
150
200
- 50
2.500
2.500
3, 12
12,50
15,62
J+N
A
5.000
5.000
400
600
500
500
- 100
100
10.000
10.000
20
20
®
J
A+ N
3.000
7.000
250
750
300
700
- 50
50
2.500
1500
8,33
3,57
11,90
u
4.000
6.000
600
400
400
600
200
- 200
40.000
40.000
100
66,66
Nivel
cultural
A+ M
B
9.000
1.000
850
150
900
100
- 50
50
2.500
2.500
2,78
25
27,78
A+ B
M
6.000
4.000
550
450
600
400
50
50
2.500
2.500
4,17
6,25
10,42
A
B+ M
5.000
5.000
400
600
500
500
- 100
100
10.000
10.000
20
20
@
Sexo
V
H
5.000
5.000
600
400
500
500
100
- 100
10.000
10.000
20
20
®
Lgar de
residencia
R
TABLA 7.12
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
485
tegrada por la clase C, en la que la proporción de consumidores de este producto es superior a la media ((500/3.000 X 100 = 16,67 por 100 > 10 por 100).
Pero el poder discriminante de cualquiera de los criterios seleccionados a
priori es significativo a un nivel de confianza del 95 por 100 , en el sentido de
que la diferencia entre las distribuciones observadas y las que corresponderían
si todas las categorías se ajustasen a la proporción media de consumidores es
significativa a un nivel de confianza del 95 por 100, pues todos los valores obtenidos para S son superiores a x2 (1 , 0 ,05) = 3 ,84.
Problema 7.5.5
Segmentación de mercados. El método de la x 2
Una población se ha dividido en dos categorías dicotómicas , A y B. Se ha
tomado una muestra de 15.000 personas , de las que 2.500 resultaron pertenecer a la categoría A. El número de personas que resultan ser consumidoras del
producto en cuestión es de 750, de las que 650 pertenecen a la categoría B .
¿Cuánto vale el coeficiente S, correspondiente al método de la x2 ?
RESOLUCIÓN
TABLA 7.13
Problema 7.5.6
A
B
2.500
12.500
100
650
125
625
5
1
6
Segmentación de mercados. El método del análisis
de la varianza
La empresa Dunedesa cuenta, entre los productos de su cartera, con un detergente que presenta especialmente elaborado para lavadoras automáticas. Para
segmentar su mercado ha realizado una encuesta entre 10.000 familias, de las
que 2.000 resultaron ser consumidoras del mismo. La distribución de las familias , de acuerdo con los dos criterios de segmentación que fueron elegidos a
priori , se recoge en la tabla 7 .14.
Se desea determinar el criterio de segmentación óptimo según el método del
análisis de la varianza.
486
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Nivel de venta
650
A
B
3.200
3.600
680
e
3.200
670
3.500
3.200
3.300
500
600
900
Nivel cultural
p
TABLA 7.14
Q
R
RESOLUCIÓN
Sea una poblac ión formada por N ítern s y sea Y; el valor tornado por el ítem
i-és imo. El va lor medio de los ítems será:
El análi sis de la varianza se basa en la descomposición ele la suma ele l as
desviac iones cuad ráti cas res pecto a l a media:
N
N
N
N
i= I
i= I
SDC.,. = I ()'; - yf = I (y¡ - 2Y;Y + y2) = I/l - 2y I Y; + Ny2 =
i= I
i= I
N
N
i= I
i= I
= I/l - 21vy2 + 1vy2 = I yl _ 1vy2
( 1)
L a SDCTT miele la dispersión de los valores ele la variabl e y en torno a su
med ia. Supóngase que se di vide la población en dos grupos formados por N 1 y
N 2 íterns, respecti vamente (N 1 + N 2 = N). D e forma semej ante a la población
total se demuestra que para el primer grupo:
(2)
donde:
1'{_¡
\ )'
_
i= I
li
Y1= N
1
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
487
y para el segundo:
(3)
donde:
Ahora bien:
y, por otra parte, sumando las expresiones (2) y (3), se obtiene:
M
~
SDCI + SDC2 = Iyt + IY~; i=I
i =l
N
N¡yf - N2Yi = iIyf
- N1Y1 - N2Yi = l
N
,IYf = SDCI + SDC2 + N1Yi + N2Yi
-
t=I
Al sustituir este resultado en la expresión (1), se obtiene:
SDCr = SDC1 + SDC2 + N 1y7 + N2y~ - Ny 2
(4)
Pero:
_
N
N1
,I Y;
IY1;
,= t
Y- -N- --
i=I
N
N2
IYi;
i=I
+N
_
NI
_
N
--y1f{ +y2 f{2 --
1
_
N
_N
N (y 1 1 +y
2
2
)
Por consiguiente, los tres últimos sumandos de la expresión (4) son iguales a:
Sustituyendo este resultado en la expresión (4) se obtiene:
<- - Y2- )2
SDCT -- sD e 1 + sD e2 + N1N2 Y1
N
488
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Como se señaló anteriormente, la suma de las desviaciones cuadráticas totales mide la dispersión , o vari abilidad, respecto a su media , ex istente en la población (D.,.). Ésta ha quedado di vidida en tres partes:
La dispersión, o vari abi I iclad , respecto a su media, ex istente en el primer
grupo (D 1 = SDC 1).
La dispersión , o vari ab ilidad, respecto a su med ia, ex istente en el segundo grupo (D2 = SDC2 ).
La dispersión , o var iab il idad ,, existente entre los dos gru pos (D 1_2
= (N1N/N)Cyl - Y2)2) .
Es decir:
Dr = Di + D2 + D1 - 2
Dacio que se desea obtener gru pos homogéneos en sí y tan heterogéneos entre sí como sea posible , entre los di stintos criterios ele división en grupos
(segmentación) ha de ciarse preferencia a los que hagan más bajo D 1 + D 2 y
más elevado D 1_2 • Pero, ciado que DT ( la suma ele las desviaciones cuadráticas
ele la población) es un va lor independiente de la forma en que la población se
divida , el criterio que maximice D 1_2 será el que m ini mice D 1 + D2 . Por co nsiguiente , la mejor forma ele agrupar la población en categor ías dicotómicas,
bajo cada criterio ele segmentac ión, será la que haga máximo:
D
1- 2
= -
NIN,
- 2
- - ()1 -)1 )
N
1
2
Entre los criterios debe ciarse preferencia a aquel para el que D 1_2 sea mayor.
L os cálculos precisos para resolver el problema planteado se recogen en la
tabla 7.15 (N = J0.000).
Si el mercado se segmenta según el criterio del ni vel de renta, la segmentación óptima es la que sitúa en una categoría los ni veles A y C, en los que la
proporción media de co nsumidores es superi or a la media general (20,63 por
100 > 20 por 100) y en otra el ni vel B , al que le corresponde una proporción
media inferi or al promedio general ( 18,89 por l 00 < 20 por 100). Pero es preferib le segmentarlo utilizando el criterio del nivel cul tural , situando en una categoría los miembros de los ni veles P y Q, en los que la proporc ión conjunta de
consumidores es, por térmi no medio , inferior al promed io de la muestra total
( 16,42 por 100 < 20 por 100) , y en otra, al nivel R cuya proporc ión media de
consumidores (27 ,27 por l 00) es superi or a la media global del 20 por I OO.
En general , el análi sis de la varianza proporciona segmentos más homogéneos en sí y más heterogéneos entre sí que el método de Bel son, Por otra parte, al igual que con éste y con la técnica x2, si se dispusiera de 1m1s información
sobre la distribución de la población, sería posible seguir subd i vid iendo el mercado en segmentos más peq ueños en tan to que su gran número y reducido tamaño no resulten poco operativos.
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DE M ANDA
489
Nivel de renta
A+B
e
6.800
3.200
1.330
670
2.176
01956
0,2094
A+C
B
6,400
3.600
1.320
680
2.304
o,1889
A
B+ C
3.200
6.800
650
1.350
2.176
o,1985
P+O
R
6.700
3.300
1.1 00
900
2.211
P+R
6.800
3.200
1.400
600
p
3.500
6.500
500
1.500
0,2063
0,2031
Nivel cultural
a
TABLA 7.15
Problema 7.5.7
O+R
01642
0,2727
2.176
2.275
0,4136
®
0,4016
e
0,2059
O, 1875
0,7353
O, 1429
0,2308
17,58
Segmentación de mercados. El método del análisis
de la varianza
Una empresa promotora de cierto tipo de espectáculos teatrales en una ciudad
ha realizado una encuesta a 10.000 personas de la misma, de las que sólo 1.000 resultaron asistentes habituales a esta clase de espectáculos . La distribución de las
mismas, según distintos criterios de segmentación, se presenta en la tabla 7 .16.
..
Edad
J. Jóvenes
A. Adultos
N. Ancianos
3.500
4.000
2.500
200
500
300
2.500
4.000
3.500
250
600
150
D
V
4.000
5,000
500
500
425
500
60
15
Sexo
H
V
5.000
5.000
400
600
Clase social
A
M
B
Estado civil
s
e
TABLA 7.16
490
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
.
Se desea determinar qué cr ilerio de segmentac ión es prererible según el arn1l isis ele la va ri an za.
RESOLUCIÓN
E l porcentaj e med io general ele consum icl ores,y, ele este ser vic io es el 10
por 100 (( 1.000/10 .000) 100) . Los restantes cálc ulos prec isos se recogen en la
tabla 7 . 17.
Edad
J
A+N
J+A
N
J+N
A
B
A+B
M
@
200
800
2.275
o,1231
7.500
2.500
700
300
1.875
0,0933
0,12
1,33
6.000
4.000
500
500
2.400
0,0833
o,125
4,16
2.500
7.500
250
750
1.875
o, 10
o, 10
o
6300
3.500
850
150
2.275
01308
0,0429
16,67
Clase social
A
M+ B
A+M
0,0571
3.500
6.500
a
6.000
4.000
400
600
2. 400
00667
o, 15
S+C
D+V
S+D
C+V
S+V
D+C
9.000
1.000
925
75
900
O, 1028
0,075
0,6944
4.500
5.500
485
515
2.475
0,1078
0,0936
0,4947
4.500
5.500
440
560
2.475
0,0978
0,0403
s
4.000
6.000
425
575
2.400
5.000
5.000
500
500
2.500
500
9.500
60
940
47 5
500
9.500
15
985
475
0,03
O,1036
~
5.000
5.000
400
500
2.500
0,08
o, 12
0
Estado civil
C+ D+V
e
S+ D+V
V
S +C + D
D
S +C+V
o, 1018
o, 1063
0,0958
o, 10
o, 10
o,12
0,2604
o
0,2105
0,0989
Sexo
TABLA 7.17
H
V
l:STUDIO DEL M ERCADO Y DE LA DEMANDA
491
El criterio preferible es la clase social, segmentando la población en dos categorías: las clases A y M por un lado y la B por otro.
Problema 7.5.8
Segmentación de mercados. El método del análisis
de la varianza
Una población se ha dividido en dos categorías dicotómicas, A y B. Se ha
tomado una muestra de 10.000 personas , de las que 6.800 resultaron pertenecer a la categoría A. El número de personas que resultaron ser consumidoras del
producto en cuestión, es de 2 .000, de las que 670 pertenecen a la categoría B.
¿Cuánto vale el coeficiente que, en el método del análisis de la varianza, permite determinar el criterio de segmentación que es preferible?
TABLA 7.18
A
6.800
1.330
B
3.200
670
RESOLUCIÓN
D
NN
= _1_
2 (y - y ) 2
N
,
2
1-2
N, = 6.800
N 2 = 3.200
E
1.330
y1 = - ' = -=0,1955
N1
6.800
y2 -
E2
N
2
-
670
= o,2093
3.200
--
6.800 X 3.200 (0,1955 - 0,2093)2
· 10.000
D l- 2 = 0,2068
492
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
6.
La experimentación comercial
Problema 7.6.1
Experimentación comercial
La empresa Suneclsa desea esti mar el carácter signi f icati vo ele los efectos
promocionales ele la fuerza ele ventas en la venta ele sus productos. Para ello ha
real izado un ex per imento consistente en med ir las ventas en tres establec imien tos minor istas que, por lo demás, son semej antes entre sí, en diez meses
consecuti vos. En el establec imiento I reali zó un i mportante es fu erzo promocio na! , siendo de nivel medio e l realizado en el 2 y prácticamente nulo el desarrol lado en el establecimiento 3 . L as ventas reg istradas se recogen en la tabla 7. 19.
1
2
3
4
100
100
100
5
6
7
8
9
10
Ventas totales
980
100
80
80
90
60
70
70
80
90
110
80
80
70
110
100
60
70
870
700
90
100
90
Gran total = 980 + 870 + 700 = 2.550
TABLA 7.19
¿Es significati vo el efecto de esta vari able en las ventas para ni veles de signifi cación del 5 y del I por 100?
RESOLUCIÓN
Siendo X,k l as ventas del día t e n el establec imiento k, la venta medi a mensual por establecimiento fue:
3
10
¿ ¿
X=
1
k; J ;
30
1
= -2.550
- - = 85 u.f.
30
ESTUDIO DEL MERC ADO Y DE LA DEMANDA
493
En el primer establecimiento la venta media fue:
10
I?
11
980
X1 = - - = - 10
10
= 98 u.f.
y en el segundo y tercero:
10
10
1~?
12
870
X 2 = -10- = -10- = 87 uf
.. ·,
¡~Jx¡J
X3 = -
-
10
700
= - - = 70 u.f.
10
Las diferencias observadas entre las ventas en los distintos meses de los diversos establecimientos y el nivel medio de ventas general (dispersión total)
puede atribuirse a dos tipos de causas:
La dispersión o variabilidad de las ventas de los establecimientos respecto a las ventas medias de los mismos (dispersión residual).
La diferencia de las ventas medias de los establecimientos respecto al
nivel medio general de ventas (dispersión factorial).
La variabilidad total (dispersión total) se mide por el coeficiente definido
por la suma de las desviaciones cuadráticas respecto a la media general:
m
11
D r = L L (Xrk - X)2
k=I r= I
donde n es el número de observaciones de cada grupo (diez en este caso) y m el
número de grupos (tres en este problema).
El análisis de la varianza permite distinguir la parte de variabilidad debida
a factores incontrolados (dispersión residual), de la parte debida a la variable
explicativa (dispersión factorial) y verificar su carácter significativo. La dispersión factorial se mide por el coeficiente :
111
-
D1 = n I (Xk - X)2
k= I
y la residual por:
m
11
_
Dr = L L (X1k - Xk)2
k= I r=I
Denominando N al número total de observaciones (N = mn) (treinta en este
problema), se deduce , mediante simples operaciones aritméticas, que:
494
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
= -\' -\' X 2,. - 2X -\' -\' X,. + N(X) 2 =
111
JI
, - 11
"' ,,
-y -y X ,.
2 -
=
,
1
lt
111
-
,
11
-
1
,,, ,,
2XNX + N(X) 1 = \ ' y X 2 + N(X )2
1, - 1
•
- - ,.
11
1
De forma se mejante se obtie nen las siguien tes ex pres iones:
rtl
_
_
111
11
Df = 11 -Y (X• ) 2 - N(X) 2 ·' D,. = -Y -\ ' X ,.2 k= 1
k - 11
1
111
-
11 Y (X )2
,
-
1
•
Así:
pues:
[
11
f (Xk)2 - N(X) + [ I ±x ~k - I (Xk)2] = ~ ~ Xlk - N(X)2
2
, =1
11
]
k = lt = l
k= l
k = lt = I
En la figura 7 .1 se sintetizan los resultados obten idos.
La dispersión factorial mide la variabilidad de las med ias ele los grupos respecto a la media general. Por e l contrario , la di spersión residual , al ca lcularse
dentro de los grupos, tiende a refl ejar la va riab il idad derivada ele fac to res incontrolados. S i la variabi Iidad facto rial fuera significativa mente s upe rior a la
res idual, se podría conc luir que ex iste un efecto dife re nc ial debido a la variable explicati va o variable controlada e n el ex perimen to. Para determinar si la
d iferenc ia es significati va, se c al cula e l estadístico F , y con las tablas estad ísticas apro piadas (véase apé ndice ele tablas) se verifica si e l coc ie nte entre
ambas es sig nifi cativamente s upe rior a la unidad . El estadístico F se de fine
como sigue:
s2
s2,.
F = -.:::L
m
n
I ~ xrk --------►
/rp •:1 f • l
~
n k 1(Xk)2
----►
N(X)2 ----►
FIG URA 7. 1
ESTUDIO DEL MERC ADO Y DE LA DEMANDA
495
donde S} es la cuasi varianza factorial:
y
S;la cuasivarianza residual:
D,.
S;=-N--~m-
La cuasivarianza total vale:
s2
=
T
Los denominadores de estos tres últimos cocientes son los denominados
«grados de libertad» de cada uno de ellos.
En la tabla 7 .20 se recogen los cálculos precisos para resolver el problema
enunciado.
A la vista de estos resultados , la contribución de la dispersión factorial a
la variabilidad total es apreciable. El efecto diferencial de la variable «fuerza
de ventas» es acusado, pues incluso a un nivel de significación del 1 por 100,
el valor de F correspondiente, según tablas, al cociente en el que el numerador
tiene dos grados de libertad y el denominador 27 (F0 _01 (2 ,27)) es sustancialmente inferior al calculado. El efecto de esta variable en las ventas es
significativo tanto a un nivel de significación del 5 por 100 como a un nivel del
1 por 100.
m -
n I ( X k) 2 = 10(982 + 872 + 702 ) = 220.730
1
2
6 .400
6.400
4.900
8.100
10.000
6.400
6.400
8.100
12. 100
4.900
3.600
10
12.100
10,000
4.900
Total
96.800
77.300
50.000
3
4
5
6
7
8
9
10.000
12.100
10.000
10.000
10.000
8.100
8.100
10.000
3.600
3.600
3.600
4.900
4.900
6.400
6 .400
8 .100
k- 1
N(X)2 = 30(85)2 =216,750
o,=220.730 - 216.750 = 3.980
D, = 224.100 - 220.730 = 3.370
DT = 224.100 - 216.750 = 7.350
3.980
S 2 = - - = 1.990
'
3- 1
3 37
S2 = ·
= 124 81
r
30 - 3
'
º
F= 1.990 = 15 94
124,81
'
F0,01(2,27) = 5,5
F0,05 (2,27) = 3,3
m
n
Gran total = 96.800 + 77 .300 + 50.000 = 224.100 =I I X ~k
TABLA 7.20
496
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
k- 1 r- 1
Problema 7.6.2
Experim entación com ercial
La empresa A unedosa desea estud iar el carácter signi fi cativo del efecto del
precio en la venta de su producto . Para el lo ha rea l izado un ex per imento consistente en med ir las ven tas en tres establecimientos m inori stas distanciados y
que, por lo demás, son semejantes entre sí, en doce días consecuti vos. En el primer establec imiento, el producto se vende a un precio bajo , siendo intermedio
el fijado en el segundo establecim iento y elevado el del tercer establecimiento. Las ventas registradas se recogen en la tabl a 7 .21.
130
120
130
130
130
120
120
200
200
210
210
200
200
190
200
160
150
160
160
160
150
150
170
120
190
170
130
10
190
160
11
12
210
170
130
120
210
170
110
Total
2. 410
1.930
1.490
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Gra n total 2.41 O + 1,930 + 1.490 = 5.830
TABLA 7.21
¿Se puede considerar significativo el efecto ele esta var iable en las ventas?
RESOLUCIÓN
La venta med ia diaria genera l fue:
X=
5.830
36
16 1,94
En cuanto a las ventas medias ele cada uno de los establecim ientos se tiene:
x1 = -
2 .4 1O
-
= 200,81
12
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
497
X2 =
X3 =
1.930
12
1.490
12
= 160 ,83
= 124,16
Los restantes cálculos se recogen en la tabla 7 .22.
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
40.000
40.000
44.100
44.100
40.000
40.000
36.100
40.000
36.100
36.100
44.100
44.100
25.600
22.500
25.600
25.600
25.600
22.500
22.500
28.900
28.900
25.600
28.900
28.900
16.900
14.400
16.900
16.900
16.900
14.400
14.400
14.400
16.900
16.900
14.400
12.100
Total 484.700 311 .100
185.500
m
TABLA 7.22
n
¿ ¿,., x:k
Gran total = 981.300 =
k• l
n
¿
~,(XJ = 12(200,83 + 160,832 + 124,162) +
2
2
= 979.425
N(X)2 =36(161,94 )2 =944.136
o , = 979.425 - 944.136 = 35.289
D, = 981.300 - 979.425 = 1.875
Dr = 981.300 - 944.136 = 37.164
35.289
= 17.644,5
3- 1
1.875
s2=
= 56.818
,
36 - 3
17.644,5
F=
= 310,53
56.818
F0_01 (2,33) = 5,3
~f =
F0 ,05(2,33) = 3,3
La contribución de la dispersión factorial a la variabilidad total es apreciable. El efecto diferencial de la variable «precio» es acusado, pues, incluso a
un nivel de significación del 1 por 100, el valor de F, en tablas, correspondiente
a estos grados de libertad es sustancialmente inferior al calculado. El efecto de
esta variable es significativo tanto a un nivel de significación del 5 por 100
como a un nivel del 1 por 100.
Problema 7.6.3
Experimentación comercial
Para estudiar la eficacia de la publicidad en vallas se han tomado tres ciudades similares, realizándose una campafía fuerte en Ja primera, una intermedia en la segunda y ninguna en la tercera. Transcurrido un tiempo , se midieron
las ventas en ocho semanas y se calcularon las ventas medias semanales , que
resultaron ser 230 en la primera ciudad, 170 en la segunda y 80 en la tercera. Se
desea conocer la dispersión factorial.
498
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
x1 + x2 + X3
X = ----'---~--"-3
230 + 170 + 80
- - - - - - = 160
3
D¡ = 8 l (Xl)2 + (X2) 2 + (X_Y I - N(X) 2 =
= 8(2302 + 1702 + 80 2) -
Problema 7 .6.4
24 . 160 2 = 9 1.200
Experimentación comercial
Para estudi ar la efi cacia ele la publ icidad en va ll as, se han tornado tres
ciudades similares, rea lizándose una ca mpaña fu erte en la primera, una intermedia en la segunda y ning una en la tercera. Tran scurrido un ti empo, se midieron las ventas en ocho semanas y se calcularon las ventas medias semanales , que resultaron ser 130 en la primera ciudad , 70 en la segunda y 8 en la
tercera. Se desea conocer la el ispersión factorial.
RESOLUCIÓN
Es un problema semejante al anteri or . E n este caso:
x 1 = 130
x2 = 70
X3 = 8
Por lo tanto:
x + x + X_--"'-=-130 + 70 + s
- -- - = 69 33
2
1
X =---'----~-
3
3
3
'
D¡ = 8 l(Xl) 2 + (XY + (XY .I - N(X) 2 =
= 8[( J30) 2 + (70) 2 + (8)2] - 24 . 69 ,33 2 =
=
Problema 7 .6.5
174.9 12 - 115.359,57 = 59.552,43
Experimentación comercial
La empresa Reunedesa se dedica a la fabr icación y venta ele un licor extraído de caña de azúcar y mondas de patatas. Hasta el mo mento , su promoción
se ha basado en publicidad en prensa de ámbito nacional. A ctualmente, sus directi vos están considerando la posibilidad de introducir la publicidad en vallas.
Para estudiar los efectos de esta variab le en las ventas, han rea li zado un experimento co nsistente en tornar tres c iudades ele c aracterísticas simil ares y
ESTUDIO DEL MERCADO Y DE LA DEMANDA
499
realizar una fuerte campaña de publicidad de este tipo en una de ellas (ciudad
1), una campaña de tipo medio en otra ciudad (ciudad 2) y ninguna en la tercera.
Transcurrido cierto tiempo desde el comienzo de las campañas, se midieron las
ventas en las tres ciudades durante ocho semanas. Los resultados obtenidos se
recogen en la tabla 7 .23.
1
TABLA 7.23
110
115
120
125
2
3
4
5
6
7
8
Total
100
95
100
130
120
115
110
110
115
110
100
100
100
90
90
90
945
820
740
Gran total = 945 + 820 + 740 = 2.505
¿Se puede considerar significativo el efecto de la publicidad en vallas en las
ventas de este licor?
RESOLUCIÓN
El nivel medio semanal de ventas fue:
2.505
X = - - = 104,375
24
En cuanto a las ventas semanales medias de las tres ciudades, se obtiene:
945
X l = - 8-
820
X 2 = - 8-
= 118 ,125
= 102 ,5
740
X 3 = -8- = 925
,
Los restantes cálculos se recogen en la tabla 7 .24.
500
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
m ·-
n ' (Xt)2
l
1
12.100
2
3
13.225
14.400
4
15.625
5
6
7
8
16.900
14.400
Total
8.100
7.225
8.100
9.025
9 .025
10.000
12.100
13.225
10.000
10.000
13.225
12.100
12.100
10.000
10.000
8.100
8.100
8.100
111.975
84.550
68.650
m
n
k
11 1
Gran tota l = 265. 175 = ¿ I
x:k
1
8(118,1252 + 102,52 + 92,52
264.128, 12
N(X)2 = 24(104,375)2 = 261 .459,37
o,
264.128,12
D,
261 .459,37
2.668,75
265.175
264.128, 12
1.046,88
Dr - 265.175
261 .459,37
3.715,63
2.668,75
= 1.334,375
S¡=
52r =
F=
3 - 1
1.046,88
24 - 3
1.334,375
49.851
= 49,851
F0_05 (2,21) = 3,47
= 26,77
F0 _01 (2,21) = 5,78
TABLA 7.24
La contribuc ión de la di s pe rsión factorial (2 .668 ,75) a la va riabilidad total
(3 .715 ,63) es apreciable. E l efecto difere nc ia l de la variable co ntrolada «public idad e n vall as» es ac usado, pues incluso a un nivel de sig nificac ión de l 1
por I00 e l valor de F obtenido es sustanc ialmente s upe rior al que corresponde,
según tablas, a estos grados d e libe rtad.
ESTUDIO DEL MERC ADO Y DE LA DEMANDA
501
Variables mercadotécnicas
8
El posicionamiento de marcas
La creación de nuevos productos
La decisión de determinación de precios y sus limitaciones
Diferenciación y discriminación de precios
La publicidad
La venta personal
1.
El posicionamiento de marcas
Problema 8. l . l
Posic ionamiento de marcas
L a em presa Orangu necl ha real izado una encuesta en la que los consumi dores encuestados ca l ificaron las cuatro ma rcas ele refrescos de naranja que
compiten en el mercado en base a los dos criteri os que se consideran determ inantes en la selecc ión de los consumidores: su nivel de burbujas y su du lzor.
Los consumidores puntuaron l as marcas, de meno r a mayor percepción de ni vel de burbujas, asignándo les de uno a diez puntos. De la misma forma puntuaron de uno a d iez las marcas según percibieran menor o mayor nivel de dulzor. Los resultados promed ios se recogen en l a tabla 8.1.
7
TABLA 8.1
B
7
6
e
3
8
D
5
5
De la encuesta se deduce además que la posición considerada ideal , por el
segmento al que pertenecen los consumidores encuestados, tiene una puntuación de 5 en burbujas y ele 6 en dulzor. Se desea determin ar:
a) La posición que ocupa cada marca en relac ión a las demás y a la ideal.
b) La ordenación de la participación en el mercado ele l as cuatro marcas suponiendo que ésta depende sólo de la prox imidad de cada una ele ellas a
la posic ión idea l.
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
505
RESOLUCIÓN
En la figura 8.1 se representan las posiciones de dos marcas, 1 y 2, con arreglo a dos atributos de posicionamiento , x e y .
Por el teorema de Pitágoras , la distancia entre ellas será:
D 12 = Y(x2 - X1) 2 + (Yz - Y1)2
En la figura 8.2 se representan las posiciones de las cuatro marcas de refrescos con relación a los dos atributos seleccionados, y en la tabla 8 .2 se recogen los cálculos precisos para determinar las distancias entre las distintas
marcas.
Siendo D ;, la distancia de la marca i respecto a la posición ideal (i = A, B,
C, D), obviamente resulta:
Dv, < DA/< D 81 < De,
y
FIGURA 8.1
X
La marca más próxima a la posición ideal es la D , seguida de la A , ésta de
la B y por último la marca C. Por consiguiente, si la cuota de mercado de la
marca i se designa por q;, se cumplirá que:
506
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
A
x=7
y= 4
B
x =6 y=7
\ (7 - 6)2 - (4 - 7)2 =
= 3,16
\ (7 - 8)2 -'- (4 - 3)2 =
= 1,41
\ (7 - 5)2 - (4 - 5)2 =
= 2,24
\ (7 - 6)2 - (4
\ (6 - 8)2 + (7 - 3)2 =
= 4,47
\ (6 - 5)2 - (7 - 5)2 =
= 2,24
\ (6 - 6)2 - (7
=2
Y (8 - 5)2 + (3 - 5)2 =
= 3,61
\ (8 - 6)2 - (3 - 5)2 =
= 2,83
e
x=8
<
)>
;:;J
►
CP
m
'en
sm
;:;J
()
)>
o
o
-¡
m,
()
z
R
)>
en
o,
o-..,¡
y=3
5)2 =
= 1,41
5)2 =
\ (5 - 6)2 + (5 - 5)2 =
D
x= 5 y= 5
=1
TABLA 8.2
Burbujas (y)
7
--------------------------- ----r B
--
¡
6
5
o
¡
¡
i
----------------------------------------------, ---------. Ideal
''
-----------------------·-····--·-----••i----·· ----~·-· ----· -f A
3
---------------------------------------------------- ~----------f--------- ~------- -• e
:
i
:
1'
:
:
i
:
'
:
:
:
j
j
'
!
¡
i
i
j
6
7
¡
2
~
FIGURA 8.2
Problema 8.1.2
''
4
2
3
4
5
!
8
Dulzor (x)
Posicionamiento de marcas
Según los consumidores consultados, la marca A tiene 2 puntos en burbujas
y 6 en dulzor, en tanto que la posición ideal es 5 en burbujas y 6 en dulzor.
¿ Cuál es la distancia de la marca A a la posición ideal?
RESOLUCIÓN
DA1 = Y(x1 - xA)2 + (y 1 - yA)2 = Y(5 - 2)3 + (6 - 6) 2 = 3
Problema 8. 1.3
Posicionamiento de marcas
Según los consumidores consultados, la marca de refrescos A tiene 3 puntos en burbujas y 8 en dulzor, en tanto que la posición ideal es 5 en burbujas y
6 en dulzor. ¿Cuál es la distancia de la marca A a la posición ideal?
508
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Di\/ = [(3 - 5)2 + (8 - 6)2) 112 = 2,83
Problema 8.1.4
Posic ionamiento de marcas
La e mpresa Refrunedo lsa ha reali zado una e nc uesta e ntre los consumidores
de cie rto segme nto de un me rcado de cierto tipo de re fresco con alcoho l, e n el
que los e nc uestados puntu aro n de uno a d iez, a cad a una d e las c uatro ma rcas
que compite n e n él , según e l grado de burb uj as, alcohol y dul zor q ue percibe n
e n las mi smas. Los resul tados promedios se recogen e n la ta bla 8.3.
A
TABLA 8.3
B
2
6
5
e
2
8
6
D
3
7
6
De la e nc uesta se deduce, además, que la posició n que se cons ide ra ideal e n
este segme nto tie ne una puntnació n de tres puntos e n burbujas, ocho e n alcoho l y c inco e n dul zor. Se desea de terminar:
a) L a dista ncia de la posic ió n que ocupa cada marca e n relación a las posicio nes de las demás y a la ideal .
b) L a o rdenació n de la participación e n el me rcado de las c uatro marcas,
suponiendo que ésta de pe nde solamente de la proximidad de cada una de
ellas a la posición ideal.
RESOLUCIÓN
General izando a tres atributos de posiciona miento x, y y z los resultados del
primer proble ma , la distancia e ntre las marcas 1 y 2 se medirá por e l coeficie nte
D 12 = V(x2 - x1) 2 + (Y2 - Y1F + ( z2 - Z1) 2
E n la tabla 8.4 recogen los cálc ulos precisos para de te rminar las d istanc ias
e ntre las dife re ntes marcas .
L a m áxi ma partic ipac ió n e n e l me rcado corresponderá a las marcas C y D
seguidas de la A y e n último lugar la marca B .
VARIABLES MERC ADOTÉ C NIC A S
509
....o,
o
"l)
AJ
o►
-l
o
)>
u,
CJ
m
º
::V
m
o
o
oz
CJ
m
m
s::
"l)
A
X=4
y=1
z= 4
;;o
8
u,
)>
X=2
m
(/)
y= 6
z=1
V!4- 2l2 + 11- 612 + !4- 512 = \!(4- 212 + (7- 8l2 + (4- 6l2 = \!!4- 3¡2 + (7- 1¡ 2 + (4- 5¡2 = V !4- 3¡2 + 11- 8)2+ (4- 5¡2 =
= 2,45
=3
= 2,24
= 1,73
\!(2 - 2¡2 + !6- 812 + (5 - 612 = \!(2- 3¡2 + (6- 1¡2 + (5- 612 = \!(2- 312 + (6- 812 + !5-512 =
= 2,24
= 1,73
= 2,24
e
\!(2- 3)2 + (8- 112 + (6- 612 = \!(2- 312 + (8- 812 + !6- 512 =
= 1,41
= 1,41
X=2
y= 8
z =6
o
X=3
\!(3- 312 + (7- 8)2 + (6- 512 =
= 1,41
y=7
z =6
TABLA 8.4
2.
La c reación d e nue vos produc tos
Problema 8.2. l
La c reación de nuevos produc tos. Selección
L a empresa U nedc lectra , S . A., se dedi ca a la fab ricación y venta ele aparatos ele vídeo y sonido. Para com petir en c ierto segmento ha decid ido incorporar un nuevo modelo ele aparato ele vídeo a su gama ele productos . L as opc iones ex istentes con los med ios técnicos y finan c ieros di spo nibles son:
a) L anzar el modelo tipo A, que requiere una in versión ele 1.000 millo nes
ele u.m . para obtener una capac idad ele prod ucción ele 50.000 uni dades/año, con un fluj o neto ele caj a, por unidad vendida, de 15 .000 u .m.
b) L anzar el m odelo tipo B , q ue requiere una inversió n ele 1.500 millones
ele u.m ., con una capac idad producti va de 100.000 unidades/año, siendo
el flujo neto de caj a, por unidad vendida, de 20 .000 u.m.
Tras los necesarios estudios se estima que el pr imer año la demanda puede
ser alta ( 100 .000 unidades/año) con una probabilidad del 70 po r 100 , y baj a
(40.000 un idades/año) con un a probab ilidad del 30 por 100 . Para el segundo
año se considera que la demanda se mantendrá al m ismo ni vel que el año anteri or con una probabilidad del 80 po r 100. Se estima un cos te variable adicional de 5 .000 u.m. por cada unidad en que la capacidad de producción excede
a las ventas anuales.
A l fin alizar el primer año , si la empresa lanzó el modelo t ipo A puede
mod ificar las instalaciones y pasar a producir el modelo tipo B , pero con una inversió n ad ic io nal de 750 m illo nes ele u .m.
Se desea determi nar la dec isión óptima aplicando el criteri o del valor actual
neto esperado para un tipo de descuento del 10 por 100 y suponiendo que coinc iden ingresos y cobros, así co mo costes y pagos.
RESOLUCIÓN
Veamos l a fi gura 8.3.
L os v alo res actua les netos de los di st intos ca mi nos se ca lcu lan de l siguiente modo :
VA NI == - 1.000.000.000 + -
15 .000 X 50 .000
- ----1J
15 .000 X 50 .000
l,P
= 30 I .652 .893 U .111.
15 .000 X 40 .000 - 5 .000 X 10.000
15 .000 X 50 .000
\/ANII = - 1.000 .000 .000 + - - - - - - - +
1,12
1, 1
136 .363 .636 u .111.
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
511
- -- - --
Primer año - - - - - . . . --
Segundo año ~
o
08
08 02
DA 08
7
404.958.678
- 12.396.694
8
SA
1.090.909.090
9
IV -586.776.860
DA 02
V 119.834.711
08 08
VI - 45.454.545
DA 02
VII 28.925.620
08 08
VIII 768.595.042
DA 08
IX 1.971.074.380
X 731.404.959
DA 02
XI 607.438.017
08 08
FIGURA 8.3
11 136.363.636
111 652.892.562
08 02
08 02
A = Elegir modelo A
8 = Elegir modelo 8
1 301.652.893
XII -632,231.405
C8 = Cambiar a modelo 8
DA = Demanda alta
08 = Demanda baja
SA = Seguir con modelo A
En este segundo camino, la demanda es baja en el segundo año, por lo que
sólo se venden 40.000 u.f. y existe un coste adicional de 5.000 u.m. por cada
unidad en que la capacidad de producción (50.000 u.f.) excede a esas ventas.
15 .000 X 50 .000
VANIII = - l .000 .000 .000 + - -- - - -
750.000.000
.000 X 100.000
----- + -20---- - 1,1
1,1
1,l2
= 652.829.562 u.m.
En el camino III, al final del primer año la empresa modifica sus instalaciones abonando 750 millones de u.m., con lo que pasa a poder producir
100.000 unidades a 20.000 u.m. de flujo , cada una; unidades que se producen
y venden al ser alta demanda del segundo año.
15 .000 X 50 .000
VAN1v = -1.000.000.000 + - -- - - 1,1
7 50 .000 .000
1 ,1
+
20 .000 X 40 .000 - 5 .000 X 60 .000
+ - -- - - -- - - - - - = -586.776.860 u.m.
1,l2
15.000 X 40.000 - 5.000 X 10.000
VANv = -1.000.000 + - - -- - - - -- -- - +
1,1
512
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
15 .000 X 50 .000
+ - - - - - - = J 19.834.7 11 u.m.
1' 12
15 .000 X 40 .000 - 5 .000 X 1 .000
VANv, = - 1.000.000.000 + - - - - - - - -- - - - +
1,1
20 .000 X 40 .000 - 5 .000 X 10 .000
+ - - - · - ---- - - - - - = -45.454.545 u.m .
2
1' 1
15.000 X 40 .000 - 5.000 X 10.000
VANv 11 = - 1.000.000.000 + - - - -- -- - - - - - 1,1
7 50 .000 .000
20 .000 X 100 .000 _
1J
1' 1
- - ----- + - - - -2
- 2 8 .925 .620 U.ll1.
15.000 X 40.000 - 5.000 X J 0.000
VANv 111 = - 1.000.000.000 + - -- -- - - - - - - - J' J
750.000.000
20 .000 X 40.000 - 5.000 X 60.000 _
1,1
1,12
O
- - - - - - + - - - - - - -- - ---- - - 7 68 .5 95. 42 U.ll1.
20 .000 X l 00 .000
20 .000 X l 00 .000
VAN,x = - 1.500 .000 .000 + - - - - - -- + - -- -- - =
'
1, l
1 ,J2
= 1.971 .074.380 u .111.
20 .000 X 100 .000
VANx = - 1.500.000.000 + - - - - - - +
1,1
20 .000 X 40 .000 - 5 .000 X 60 .000 _
+ - - - - - -- - -- - - - 7 3 l. 404 .9 5 9 u.111.
l ,J2
20 .000 X 40 .000 - 5 .000 X 60 .000
VANx, = -1.500.000.000 + - - - - -- - - -- - - +
l ,J
20 .000 X l 00 .000
+ - - - - - - = 607.438.0 17 U . ll1.
l ,J2
20 .000 X 40 .000 - 5 .000 X 60 .000
\IANXII = - 1.500 .000.000 + - - - -- - - - - -- - - - - +
l ,1
+ 20.000 X 40.000 - 5.000 X 60.000 = _ 632 _23 1 .405 u.m.
J ,J2
Los valores actuales esperados de los nudos aleatorios y decisionales se calculan de la form a habitual. Siguiendo este cri terio, la decisión ópti ma es lanzar
el mode lo tipo B, co n lo que se co nsigue un valo r actual neto esperad o
( 1.090 .909 .090) superior que si se lanza el modelo tipo A (469 .669 .422).
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
513
Problema 8.2.2
La creación de nuevos productos. Viabilidad
La empresa Abuluned , S. A., se encuentra estudiando la posibilidad de lanzar un nuevo producto que supondría, en concepto de costes fijos anuales,
10.000 u.m. , con independencia de la cantidad que fuera elaborada y vendida.
Tales costes incluyen las amortizaciones de las inversiones efectuadas en el diseño y desarrollo del producto, en el montaje y puesta en marcha de las cadenas de producción , en el lanzamiento del producto , etc. Además, se estima que ,
con cada unidad producida , se incurriría en un coste variable unitario de 20
u.m. que incluye las materias primas y la mano de obra incorporada, así como
costes de distribución y otros varios. De los sondeos realizados se deduce
que cada unidad de producto podría ser vendida en un precio igual a 60 u.m. Se
está realizando la previsión de ventas del producto. ¿Qué volumen de ventas
anual es preciso para que el producto genere beneficios?
RESOLUCIÓN
Igualando los ingresos correspondientes a un volumen de ventas X, y los
costes que le corresponden, se obtiene:
60X = 10.000 + 20X -
10.000
X = - -- = 250 u.f.
40
A 250 u .f. de ventas (punto muerto o umbral de rentabilidad) le corresponde
un beneficio nulo. A partir de ese volumen de ventas anual comenzará a generar beneficios.
Problema 8.2.3
La creación de nuevos productos. Planificación
y desarrollo
En la empresa Electruned, S. A. , se han realizado los primeros estudios preliminares para la planificación y desarrollo de su nuevo producto Heliman , un
helicóptero plegable de bolsillo para uso individual. El desarrollo del proyecto requiere la realización de las ocho actividades siguientes:
A: Investigación mercadotécnica.
B: Desarrollo de un modelo prototipo.
C: Al mismo tiempo se diseña y desarrolla el planteamiento de la campaña
publicitaria inicial.
D: Realización de pruebas técnicas del producto.
E: Pruebas mercadotécnicas para analizar las reacciones de los consumidores al nuevo producto.
F : Análisis financiero de las necesidades mercadotécnicas y productivas.
514
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
2
B
HT = 1
HL = O
HI = O
HT = O
HL = O F
HI = O
3
e
3
<
Número
del nudo
)>
;;;J
~
CD
r
m
(/)
s:
m
o)>
o
o--,
Tiempo
early
;;;J
m,
o
z
o
)>
(/)
01
01
FIGURA 8.4
Tiempo
last
Camino crítico
HT = Holgura total
HL = Holgura libre
HI = Holgura independiente
G: Modificaciones de la idea inicial derivadas de las pruebas mercadotécnicas y del análisis financiero .
H: Decisión final sobre la comercialización o no del producto.
En la tabla 8 .5 se detallan las actividades que es necesario realizar con anterioridad a cada una de ellas y sus duraciones probables.
Se desea establecer el grafo PERT para el desarrollo de este producto ,
con indicación de las duraciones esperadas de las actividades, tiempos early y
last, holguras y camino crítico.
RESOLUCIÓN
Resolviendo de la forma habitual se obtiene el grafo de la figura 8.5.
A
TABLA 8.5
3.
5
3
B
A
3
2
e
A
4
3
D
B
5
3
E
e
7
4
F
D
5
3
G
E,F
6
4
H
G
3
2
2
2
La decisión de determinación de precios
y sus limitaciones
Problema 8.3.1
Elasticidad media de la demanda respecto al precio
La empresa Peluned, S. A., ha observado que al aumentar el precio de su
producto B.0.T., de 100 a 120 u.m., sus ventas mensuales se han reducido de
1.000 u.f. a 900 u.f. sin que exista otra razón que pueda explicar esta disminución. Se desea estimar la elasticidad de la demanda, respecto al precio, en ese
intervalo.
516
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
RESOLUCIÓN
Como ya se sabe, la elasticidad ele la demanda (e¡) respecto al precio (p), en
un punlo de la curva ele demanda, se define como:
dq/q
/ = - --
dp/q
Pero , al tomar un intervalo finito , en el que se mod ifi can prec ios y canti dades demandadas, ha de defini rse un coeficiente de elasticidad med io en el intervalo. Así, si el precio inicial es p , y se modifi ca hasta p 2 , con lo cual , como
consecuencia, la demanda varía desde c¡ 1 hasta q2 , la elasticidad med ia en el intervalo vale:
6.q/c¡
e=--6.p/q
donde:
6.q = C/2 - q,
6.p = P2 - P,
q=
p=
C/2 + q,
2
P2 + P,
2
Con lo cual :
E n el caso del producto B .O.T. ele la empresa Pel uned, se obtiene:
e = -
Problema 8.3.2
120 + 100
- - -(900 + 1.000
900 - 1.000 )
= 0,5789
120 - 100
X - - - --
Elasticidad de la demanda respecto al precio y variación
de precios e ingresos
¿Puede considerarse adecuada l a decisión de l a empresa del prob lema anterior , desde el punto de vista de la maximi zación de los ingresos?
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
517
RESOLUCIÓN
Los ingresos antes de la modificación de los precios eran:
q 1p 1 = 1.000 X 100 = 100.000 u.m.
y después de dicha modificación son:
q-i)J 2 = 900 X 120 = 108.000 u.m.
Por tanto, desde el punto de vista de la maximización de los ingresos (que
no tiene por qué coincidir con la maximización de los beneficios) la decisión es
adecuada.
En las zonas de la curva de demanda en las que , como en este caso, la demanda es inelástica (e < 1), una modificación de los precios da lugar a una variación de la demanda de menor proporción. Así, aumentando el precio, la demanda se reduce en una proporción inferior y los ingresos crecen. Por el
contrario, cuando la demanda es elástica (e > 1) a las variaciones de precios siguen modificaciones de la cantidad demandada de proporciones más elevadas,
por lo que lo correcto, desde este punto de vista, es reducir los precios. El ingreso máximo se consigue en el precio para el cual se alcanza el punto de la
curva en el que la elasticidad es normal ( e = 1).
Problema 8.3.3
Elasticidad media de la demanda respecto al precio
Al aumentar el precio de un producto de 50 a 60 u.m., sus ventas mensuales se han reducido de 500 a 400 u.m, sin que exista otra razón que pueda explicar esa disminución. ¿Cuánto vale la elasticidad de la demanda respecto al
precio en ese intervalo?
RESOLUCIÓN
e
Problema 8.3.4
__ _ P2 + P I q2 -_q
60 + 50 400 - 500
1 _
- - - -- - - - - = 1,2222
q 2 + q , P2 - P 1
400 + 500 60 - 50
Competencia y precios
La empresa B viene actuando monopolísticamente, en cierto mercado, con
su producto. La empresa A va a comercializar una marca para competir, en ese
mercado, con la marca de la empresa B . Ambas han de fijar los precios de sus
marcas para el próximo período. El volumen de ventas que la empresa B perderá, y ganará la A, para cada combinación de precios fijados por ambas, se recoge en la tabla 8 .6.
518
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
P A1
300
25
150
PA2
70
80
450
P A3
400
100
160
P A4
50
95
200
A
TABLA 8.6
¿Cuál es la solución del juego si el ganador sigue el criteri o max imin y el
perd edor dec ide con el criteri o min imax? ¿Ex isten estrategias dominadas?
RESOLUCIÓN
Se trata de un sencillo juego ele suma cero. Por ejemplo , si la empresa B sigue la estrateg ia consistente en fija r el prec io P,n y la A la de f ijar el P,1,,
aquélla perderá 150 unidades ele ventas que ésta ganará. Si la empresa B fija el
precio p 113 , puede llegar a perder 450 unidades; si f ija el p 82 , podría perder 100,
y 400 si fija el P,w Con un cri terio prudente puede actuar lim itando su pérdida
máx ima (criterio minimax) y fijar el precio Pm· De forma semejante, en la columna derecha de la tab la 8.7 se han recogido las ventas que , cuando menos,
ganará la empresa A , bajo cada pos ibilidad ele actuación. Con el mi smo criterio pruden te, basado en garan t izarse una ganancia tan elevada como sea posible (criterio max imin), fija ría el prec io p 113 , con lo cual se asegura un aumento
ele ventas no i nferior a 100 un idades. Si los dos jugadores actúan ele este
modo , la solución del j uego es que la empresa A gana y la B pierd e 100 unidades ele venta.
P A1
300
25
150
25
P A2
70
80
450
70
P A3
400
100
160
100
P A4
50
95
200
50
400
100
450
A
TABLA 8.7
Máximos
Maximin
Minimax
La empresa A nunca fijaría el precio p,11 , pues, cualquiera que sea la estrategia seleccio nada por B, sus ganancias serán superiores si fija el precio p" 3 . De
forma semejante, la estrateg ia JJ,n, ele la empresa B , es dominada por la p 112 ,
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
519
pues , cualquiera que sea la elección de A , las pérdidas de B serían mayores si
sigue aquélla que si selecciona ésta. Las estrategias p Al y P83 son estrategias dominadas por otras.
Problema 8.3.5
Elasticidad de la demanda respecto al precio
y maximización del beneficio
El producto Edgo, elaborado por la empresa Susuned, S. A. , tiene un coste
variable de 15 u.m. y un coste fijo anual de 150.000 u.m. Si se ha estimado que
la demanda anual tiene la siguiente ecuación:
q = 175.000 - 300p
se desea determinar el precio que permite maximizar el beneficio anual.
RESOLUCIÓN
Los ingresos anuales tendrán la siguiente función:
I = pq = p(175.000 - 300p) = 175.000p - 300p2
Siendo la de los costes totales anuales:
CT = 150.000 + l5q = 150.000 + 15(175.000 - 300p) =
= 2.775.000 - 4.500p
La función de beneficio anual es, en consecuencia:
B = I - CT = 175.000p - 300p2 - 2.775.000 + 4.500p
= -2.775.000 + 179.500p - 300p2
Derivando se obtiene la condición necesaria de óptimo:
dB
-
dp
= 179.500 - 600p = O
El precio óptimo es:
179.500
p = - -- = 299,16u.m.
600
pues se cumple la condición suficiente de máximo:
d 2B
dp 2
- - = - 600 < O
520
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Puede obser va rse que se cumple la condición necesaria ele ó pti mo establec ida en uno ele los primeros ejercic ios del área mercadotécnica ele este libro:
p =
I,
,,,
i
e,.
En efecto , en el precio óptimo:
dq
p
299, 16
I = - - · - = -(-300) - - - - - - - - ,,
dp
q
175 .000 - 300X299, 16
1,052785922
y, sustituyendo en la expres ió n anter io r , se obtiene:
1,052785922
-
p = - - - · - - - X 15 = 299 ,16
1,052785922 - 1
Problema 8.3.6
Elasticidad de la demanda respecto al precio
y maximización del benefic io
¿Cuál es el precio que permite maxi mizar los i ngresos del producto Eclgo ele
la empresa del problema anterior?
RESOLUCIÓN
Se trata ele max imizar:
I = pq
La condici ón necesaria será:
di
= O
dp
Es decir :
dq
dq
p-+ q = o -
P
--·- = l dp
q
dp
/ = 1
,,
Como se señaló anteriormente , los m~í.x imos ingresos son los correspondientes al prec io para el cual la el asticidad es no rm al. En este caso:
p
f,, = - (-300) - - - - - - = J -
175 .000 - 300p
/J = 29 1,7 Ll.111.
Co rn o puede observa rse, el precio que maximi za los ingresos no co incide
con el que max im iza los benefic ios.
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
521
Problema 8.3.7
Costes y precios
La empresa Guned, S. A., se dedica a la fabricación y venta del producto
XR9, para lo cual soporta unos costes fijos de 600.000 u.m . cada año, y un coste variable por unidad fabricada y vendida de 30 u.m. Trabajando a ritmo
normal, tiene capacidad para producir y vender 30.000 u.f. anuales. ¿Qué
precio ha de fijar esta empresa a su producto si desea obtener un margen de beneficio del 15 por 100 sobre el precio de coste, o coste total unitario?
RESOLUCIÓN
Dividiendo el coste total entre el número de unidades de producto se obtiene
el coste total unitario o precio de coste:
600.000 + 30 X 30.000
30.000
= 50 u.m.
Si se desea obtener un margen de beneficio del 15 por 100 sobre ese precio
de coste, el precio de venta será:
p = 50 + 0,15 X 50 = 1,15 X 50 = 57,5 u.m.
Problema 8.3.8
Costes y precios
¿ Cuáles son el precio mínimo y el precio técnico del producto XR9 de la
empresa Guned, S. A., del problema anterior?
RESOLUCIÓN
Como se sabe, el punto muerto (X) es el número de veces que los costes fijos ( CF) comprenden el margen bruto unitario (p - C,,):
CF X=-~
p- e,,
Cuando el precio de venta es superior al coste variable unitario (p > Cv),
con cada unidad vendida se «absorben» costes fijos en una cuantía igual
al margen bruto unitario. El punto muerto es el nivel de ventas en el cual los
costes fijos son cubiertos en su totalidad con el margen bruto total generado
((p > C,,)X = Cf,). A partir de ese nivel de ventas la empresa comienza a obtener beneficios. Para que el producto tenga capacidad de absorción de costes
fijos, su precio ha de ser superior a su coste variable unitario. De ahí que a este
último se le denomine precio mínimo (p11) . En este caso:
p 111 = 30 u.m.
522
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Se denomi na precio térnico a aquel que hace que el benefi cio total generado
por el produc to durante el ej erc ic io sea nu lo; es dec ir, aquel JJ, para el cual:
qp , = C,.- + C,,c¡
o, lo que es lo mismo,
C,.- + C,.r¡
Pr = ----"'-------'-'- = CTU
q
El prec io técnico es el coste total unitari o. En este caso:
P, =
Problema 8.3.9
so u.m.
Costes y precios
Una empresa tiene un cos te fijo anual ele 300.000 u.111. y un coste variabl e
unitar io ele 15 u.111. A r itmo no rmal produce 30.000 u .f. anuales. ¿Cuál es su
precio mínimo?
RESOLUCIÓN
El prec io mín imo es el coste variab le un itari o, es dec ir , l 5 u .m.
Problema 8.3.10
Costes y precios
Una empresa tiene un coste fijo anu al ele 500 .000 u.m . y un coste vari ab le
un itari o ele 20 u .m . A ritmo normal prod uce 20 .000 u .f. anu ales. ¿Cuá l es su
precio mínimo?
RESOLUCIÓN
El precio míni mo es el cos te vari ab le unitario, es dec ir , 20 u.m .
Problema 8.3.11
Costes y precios
El coste total anual ele la fa bricac ión ele un prod ucto es ele 500.000 .000 de
u .m . y se fa brican 100.000 u .f. al año . ¿Cuánto vale su prec io mínimo?
RESOLUCIÓN
No se puede reso lver porqu e el precio mínimo es el cos te vari able unitario
y el enunciado no da este elato .
VARIABLES MERC ADOTÉCNICAS
523
Problema 8.3. 12
Costes y precios
El coste total anual de la fabricación de un producto es de 10.000 u.m., la
empresa trabaja con un margen bruto del 10 por 100 sobre el precio, y se fabrican 200 u.f. al año. ¿Cuánto vale su precio mínimo?
RESOLUCIÓN
Al igual que en el ejercicio anterior, no se puede resolver el problema
porque el precio mínimo es el coste variable unitario y el enunciado no ofrece
este dato.
Problema 8.3.13
Costes y precios
Distribuidores Unedos, S. A., es una empresa dedicada a la compraventa y
distribución del producto telefónico Oid. El precio en que lo adquiere y otros
costes variables importan 300 u.m. por unidad de producto. Los costes fijos de
esta empresa son 1.200.000 u.m. anuales . El volumen anual de ventas, a ritmo
de trabajo normal, se estima en 20.000 u.f. Se desea determinar el precio que ha
de fijar para obtener un margen bruto unitario del 25 por 100 de los costes variables. ¿Qué porcentaje mínimo de margen es preciso para la cobertura de los
costes fijos?
RESOLUCIÓN
p - C.,= 0 ,25C., -. p = 1,25C., = 1,25 X 300 = 375 u.m.
Para que se cubran los costes fijos ha de cumplirse:
(p - C,,)q 2::: CF
Pero, siendo sel tanto por uno de margen:
p - C" = sC.,
Por consiguiente, la condición de cobertura de costes fijos puede escribirse como:
sC,,q 2::: CF
Entonces:
e
S 2::: _ F_
C"q
En este caso:
1.200.000
s 2:::-- -- = 0 ,2 = 20 por 100
300 X 20.000
524
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Problema 8.3.14
Costes y precios
¿Qué prec io hab ría de fij a r la e mp resa del proble m a a nte rior si desea o bte ne r un ma rgen b ruto unitario , sobre precio de ven ta, del 20 por 100? ¿Qué
porcentaje mínimo ha de establecer para q ue se c ubran los costes fij os?
RESOLUCIÓN
P = e,. = o ,2op -
e
300
P = --"- = - - = 375 u .m .
0 ,80
0 ,8
o ,80p = e,. -
De nominando ta l po rcentaje establecido sobre precio de venta , la cond ic ión
de cobertura de costes fij os se puede establecer de la s igu ie nte fo rma:
donde :
p - C., = lp -
p =
~-
p- C = -
l - t
I'
e,.
-- C
1- /
I'
__!s;__
j -
l -
/
1
En este caso:
1.200.000
, ~---- - - -- - -- = 0 ,166 = 16,66 por 100
1.200 .000 + 300 X 20 .000
Problema 8.3.15
Costes y precios
U na e mpresa fija su precio aplicando c ie rto tanto de re ntab ilidad sobre el
coste variable. Para este a ño se prevé un coste fijo por cada unidad de producto
de 60 u .m. y e l coste va riable unitario es de 300 u.m. Para no inc urrir e n pérdidas, ese tanto de re ntabi li dad no ha de ser infe rio r que ¿cuánto?
RESOLUCIÓN
C1.. = 60 X q
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
525
Para que se cubran los costes fijos ha de cumplirse que:
(p - C)q ~ CF
Siendo s ese tanto de rentabilidad:
p - C.,= sC.,
sC.,q ~ CF
s~_
e
F_·
C.,q
60q
60
C.,q
C.,
= -- = -
60
= - - = O,2 por 1 = 20 por 100
300
Por tanto, para no incurrir en pérdidas el tanto de rentabilidad no ha de ser
inferior al 20 por 100.
Problema 8.3.16
Costes, canal de distribución y precios
El canal por el que se distribuye cierto producto está formado por cuatro intermediarios , cada uno de los cuales fija su precio de venta aplicando un margen del 20 por 100 sobre el precio en que lo compra. Si el precio en el que el
fabricante se lo vende al primer intermediario es de 100 u.m., ¿en qué precio lo
adquiere el consumidor final?
RESOLUCIÓN
Denominando P; al precio en que lo vende el intermediario i, se obtiene:
p 1 = 100(1 + 0,20) = 120 u.m.
P 2 = 120(1 + 0,20) = 100(1 + 0,20) 2 = 144 u.m.
P 3 = 100(1 + 0,20)3 = 172,8 u.m.
P 4 = 100(1 + 0,20)4 = 207 ,36 u.m. = Precio en que adquiere el producto
el consumidor final
Problema 8.3. 17
Costes, canal de distribución y precios
¿Cuál sería el precio en el que adquiriría el producto el consumidor final del
ejercicio anterior si los intermediarios fijaran sus precios de venta de manera
que obtuvieran un margen del 20 por 100 sobre tales precios de venta?
RESOLUCIÓN
Cada intermediario fija su precio de venta añadiendo un 20 por 100 del mismo a su precio de compra (precio de venta del miembro anterior del canal):
526
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
p1 =
100
0:-S
= 125
P2 =
0:-S = 0 ,82 = 156 ,25
125
/7¡ 1
= /J; - 1
1 - 0 ,2
0 ,8
u .111.
100
U. 117.
100
p = - - = 195 3 1
J
0 ,8 3
,
100
p 4 = - - = 244, 14 = Precio en que adquiere el prod ucto el consum idor fin al
0 ,8 4
Problema 8.3.18
Costes, canal de distribución y precios
Hasta llegar al consumidor, cierto producto sigue un canal formado por cinco intermediarios, cada uno de los cuales lo vende a un precio resultante de
aplicar un 12 por 100 de margen sobre el prec io en que lo adquiere. Si el fabricante desea que el precio de venta final al consumidor sea ele 200 u.m., ¿qué
precio deberá aplicarle en su venta al primer intermed iario?
RESOLUCIÓN
Precio ele venta al co nsumidor = p 5 .
Precio de venta del fabri cante= p 0 .
p5
200
p 5 = p 0 (J ,12)5 ---e. Po = - = - - = l 13,49 u.m.
1,12 5
Problema 8.3.19
1,125
Costes, canal de distribución y precios
¿Qué precio debería fij ar e l fabricante del ej ercicio anteri or para que el pagado por el consumidor sea de 200 u.m ., sí los cinco intermediarios fijan el
margen del 12 por 100 sobre el prec io en que el los venden el producto?
RESOLUCIÓN
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
527
Po
(1 - 0,12) 2
P5 = (l _ P~,l )5 = 200 2
Problema 8.3.20
Po= 200(1 - 0 ,12)5 = 105,55 u .m.
Costes, canal de distribución y precios
El canal por el que se distribuye un producto está integrado por 5 intermediarios cada uno de los cuales establece su precio de venta aplicando un margen del 12 por 100 sobre ese precio en el que lo vende. Si el fabricante desea
que el precio que paga el consumidor final sea 250 u.m. , ¿qué precio debe aplicar al primer mayorista?
RESOLUCIÓN
Conforme se ha visto en el problema anterior:
P 0 = 250(1 - 0 ,12)5 = 131 ,93 u.m.
Vendiendo el producto al primer mayorista en un precio unitario de 131 ,93
u.m. , el precio final que se aplique al consumidor será 250 u .m .
Problema 8.3.21
La fijación de precios basada en la percepción
de la relación calidad/precio
Una empresa fabricante de mecheros no recargables ha realizado una encuesta entre 1.000 personas para fijar el precio de su producto. Se les entregó
una lista de precios de 20 u.m. a 180 u.m. y se les pidió que señalaran el precio
máximo al que comprarían el mechero, considerándolo excesivamente caro
para ese precio o cualquier otro superior, y el precio al cual, o por debajo del
cual, ya no lo comprarían por considerarlo de baja calidad. Los resultados obtenidos, una vez tabulados, se recogen en la tabla 8.8.
528
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
90
10
30
50
100
150
40
100
110
150
50
100
120
200
60
200
130
300
70
250
140
100
80
150
150
50
90
100
160
30
100
50
170
5
110
180
TABLA 8.8
Total
120
1.000
Total
1.000
La interpretación de la tabla es sencil la. Por ejemplo, ex isten c inco personas que no pagarían 80 u.m. , o más, por un mechero; diez q ue pagarían 80 pero
no 90 o más, etc. De fo rma semejante, de las 1.000 personas, 50 no comprarían un mec hero q ue costara me nos de 110 u.m ., 100 lo comprarían a más de 90
u. m. , pe ro no por ese importe o menos, etc.
Se desea determina r e l precio para el cua l e l prod ucto es aceptado por el
mayo r nú mero de cons um idores .
RESOLUCIÓN
En la tabla 8.9 se recogen los cálculos precisos para la reso luc ió n. La columna A recoge el número de personas que no consideran excesivo cada uno de
los precios . Así, de las 1.000 personas, cinco deja n de aceptar el produc to a las
80 u.m. de prec io, resta ndo 995 que lo aceptan. De éstas, diez dejan de acepta rlo para un prec io ig ua l a 90 u.m. , quedando 985 aceptantes, y así sucesivamente . De fo rma semejante, la columna B refleja el número de personas que rec haza e l producto por cons idera r s u precio exces ivame nte bajo. As í , por
ejemplo , un prec io de 100 u.m. es exces ivamente bajo para 50 personas , el de
90 u .m. es s ig nificati vo ele baja ca lidad para 150 personas (las 50 a nteriores ,
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
529
TABLA 8.9
20
1.000
1.000
30
1.000
1.000
o
o
40
1.000
950
50
50
1.000
850
150
60
1.000
750
250
70
1.000
550
450
80
995
300
695
90
985
150
835
100
835
50
785
110
685
685
120
485
130
185
140
85
150
35
160
5
170
o
180
o
o
o
o
o
o
o
o
o
<:e=
485
185
85
35
5
o
o
que rechazaban cualquiera igual o inferior a 100, y las 100 que rechazaban cual
quiera menor o igual que 90). Un precio de 80 u.m. es rechazado por 300 personas (las 150 anteriores más las 150 que rechazaban cualquier precio no superior a 80 u.m.) , y así sucesivamente. La columna C recoge el número de personas que aceptan el precio, sin considerarlo ni excesivamente elevado ni
significativo de escasa calidad. Es la diferencia entre las columnas A y B. El
precio para el cual el producto es aceptado por mayor número de consumidores (835) es el de 90 u.m.
En la tabla 8.10 se recoge otra forma semejante de resolver el problema.
530
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
TABLA 8. 10
Problema 8.3.22
o
o
30
o
o
40
50
50
150
60
250
70
450
o
o
o
o
o
o
80
700
5
695
90
850
15
835
100
950
165
785
110
1.000
315
685
120
1.000
515
485
130
1.000
815
185
140
1.000
91 5
85
150
1.000
965
35
160
1.000
995
5
170
1.000
1.000
180
1.000
1.000
o
o
20
50
150
250
450
=
La fijación de precios basada en la percepción
de la relación calidad/precio
Una e mp resa fabricante ele d iversos utensil ios desechables va a lan zar a l
me rcado un nue vo bolígrafo. Para fijarle precio, ha rea lizado una e nc ues ta a
500 personas a las que e ntregó una lis ta de precios de 15 a 50 u.m. , e n la que
estas personas marcaron e l precio má x imo para e l cua l, y po r e nc ima del
c ua l, no comprarían el bolíg rafo , y aquel ta n bajo que les res ultaría ind icati vo
de baja calidad y dejaría n ele adqu irirlo a ese precio o a c ualquie r otro infe ri o r.
Los resultados, una vez tabulados, se recogen e n la tabla 8.J 1.
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
53 1
.
TABLA 8.11
.
15
15
20
20
50
25
50
25
200
30
100
30
170
35
150
35
65
40
150
40
15
45
50
45
50
50
Se desea determinar el precio para el cual el producto es aceptado por el
mayor número de consumidores.
RESOLUCIÓN
En la tabla 8 .12 se recogen los cálculos precisos para la resolución.
TABLA 8.12
532
15
500
500
20
500
500
25
450
450
o
o
o
30
350
250
100
35
200
80
120
40
50
15
35
45
o
o
o
o
o
o
50
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
<=
Diferenciación y discriminación de precios
4.
Problema 8.4. l
Diferenc iac ión y disc riminación de precios
U na empresa elabora y ve nde cierto producto diferenc iado en N marcas,
cada una de las cuales se dirige a un segmento de mercado di ferente. Si seconocen las funcio nes de demanda de estos segmentos y la func ión de costes ele
la empresa, se desea determinar las reglas que, en términos de elasticidades respecto al precio, permitan f ij ar los prec ios de cada una de las marcas, siendo el
objeti vo la rnax imización del benefi c io de l a empresa.
RESOLUCIÓN
Di cho benefi cio será:
S = (/ 1 + 12 + " ' + /N) -
c.,.
donde /; son los ingresos del segmento i(/; = JJ;q) y C.,. son los costes totales, de
la empresa. Es decir:
S = (plql + JJ2q2 + ··' + pNqN) -
c.,.
do nde C.,. (los costes totales de la empresa) dependerá del volumen ,de producció n. D eri vando respecto a cada uno de los p;' se obt ienen l as condi ciones
necesarias de óptimo:
as
aq
ac.,. aq
- - = Pi - -1 + ql - - - . - -1 = o
ap1
ap1
aq1 ap1
as
aq2
ac .,. aq
- - = /J2 - + q2 - - - . - -2 = Ü
ap2
ap2
aq2 ap2
En general , para cualq uier segmento i puede escribirse:
as
aq.
aq.
- - = P; __, + q; - C' - -'=O, para todo i = 1, 2, ... , N
ap;
ap¡
api
1
(l)
Otra fo rma de opt imizar es derivando respecto a cada uno de los (f;, dado que q, =.{(JJJ Véase Pérez Gorostegui, E.:
Dirección de Empresas, Editoria l Univers itaria Ramó n A reces , Madrid, 2021.
VARIABLES MERC ADOTÉC NIC AS
533
donde C' es el denominado «coste marginal» , o modificación que experimenta el coste total por una nueva unidad de modificación de la cantidad
producida y vendida:
ac.
ac
aq.
ac
aQ
aq¡
aQ
aq¡
C' = __
r = _ _r · - - ' = _ _r, para todo i = 1, 2, .. . ,N
pues Q es la cantidad total producida y vendida y, por consiguiente:
Dividiendo entre ( -q¡) en la expresión ( 1), se obtiene:
p.
aq.
aq.
1
q¡
ap¡
ap¡
q¡
- - ' · - - ' - 1 + C' - - ' · -
= O,
para todo i = 1, 2, ... ,N
de donde se deduce que:
l¡ - 1 - C' }:;_ = O,
para todo i = 1, 2, ... , N
P;
(donde l¡ es 1a elasticidad de la demanda, respecto al precio, en el segmento i)
o, lo que es lo mismo:
P; =
l¡
l 1. - 1
C',
para todo i = 1, 2, ... , IN
o bien:
p{ 1 - +) = C', para todo i = 1, 2, ... , IN
1
Por consiguiente, en el óptimo:
Problema 8.4.2
Diferenciación y discriminación de precios
La empresa Luned, S. A., fabrica y vende un detergente diferenciado en dos
marcas, denominadas R23 y Limpol, la primera de las cuales dirige a un mercado industrial de empresas de limpieza, destinando el segundo al mercado de
consumo. La función de demanda del mercado industrial tiene como ecuación:
q¡ = 275.000.000p, 1•25
534
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
en tanto que la del mercado d e consumo es:
C/2 = 60 .000 .000p2 IO/'J
El cos te variabl e unit ari o es idéntico para ambas marcas e igual a 20 u.m.
Además, ha ele soportar unos costes fijos de 2 .000 .000 de u.m. anuales. Se desea determinar el precio óptimo en cada uno ele los segmentos, en orden a maximi zar el benefi c io anual ele l a empresa, y el valor ele este úl ti mo .
RESOLUCIÓN
La func ión de cos tes de esta empresa es:
c.,.= 2 .000.000 + 20(q l + Ch)
Por con siguiente, el coste marg inal es constan te e igual a:
C' =
acr = acr = 20
aq1
aq2
En cuanto a las elasti cidades de la demanda en ambos segmento s, son
tam bién constantes por tratarse ele fun ciones exponenciales :
11 = - 275 .000.000(- J ,25)p 12 -25 .EJ._ =
q1
= 275 .000.000 X l ,25p 11·25 - - - - - - -1 25- = 1,25
275 .000 .000p 1 •
/
2
= - 60.ÜÜ0 .000( - ~ )p 2( I0/ 9 )- I /J 2 =
q,
9
= 60 .000 .000 _!_Q_ ¡r 2 1019
9
J
60 .000 .000p:¡
1019
10
9
Apli cando la regla de optimización desarroll ada en el ejercicio anterior se
obti ene:
p1 = -
p2 =
/1
1 25
~ - C' = - -'- - X 20 = 100 u .m.
/
1,25 - l
1
/,
10/9
C - = - - -- X 20 = 200 u.m.
-
/2 -
1
( 10/9) - 1
En el mercado industrial , el prec io óptimo es de 100 u.m. , en tanto que en
el de consumo es ele 200 u .111 . E l benefi cio as í obten ido es :
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
535
donde:
q 1 = 275.000.000 X 100- 1•25 =
q2 =
60.000.000 X 200- 1019
869.626,37
= 166.514,20
Por consiguiente, el beneficio es:
B = 100 X 869.626,37 + 200 X 166.514,20 - 2.000.000 -20(869.626,37 + 166.514,20) = 97.542.663,30 u.m.
Problema 8.4.3
Diferenciación y discriminación de precios
Una empresa fabricante distribuye su producto en dos mercados, A y B. La
elasticidad de la demanda respecto al precio vale 2 en el mercado A y 1,5 en el
mercado B. El objetivo de la empresa es maximizar su beneficio. Si el precio
óptimo en el mercado B es 30, ¿ cuál es el precio óptimo en el mercado A?
RESOLUCIÓN
En el óptimo:
En este caso:
De donde se deduce que:
PA = 20
536
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
5.
La publicidad
Problema 8.5. 1
Selección de medios y soportes publicitarios
Una empresa dispone ele dos soportes, A y 8, para d irig irse a una población
objeti vo ele S0.000 personas. La aud iencia del primer soporte es ele 32.000 personas, en tanto que la del segundo es ele 2S.000 . Hay 8.000 personas expuestas
a los dos soportes. Se desea conocer la penetración ele los soportes, su penetración conjunta y la penetrac ió n neta.
RESOLUCIÓN
La penetración del soporte i es la proporción que representa el número ele personas expuestas a ese soporte (n¡) respecto al tamaño ele la población objeti vo:
En este caso:
32.000
- = O,64 por 1 = 64 por 100
P" -- S0.000
2S.000
J'J /J -- 50 .000
= O,S0 por 1 = SO por 100
Del mi smo modo se define la penetración conjunta de dos soportes, que ,
siendo n ij el número de personas expuestas a los soportes i y}, será:
n ij
Pu=--¡::¡
En este caso:
8.000
-PAl) -- S0 .000
= 0,16 por 1 = 16 por 100
Por lo tanto, hay un 64 por ciento de personas ex puestas al soporte A y un
50 por ciento expuestas al B, pero, dado que hay un 16 por ciento que están expuestas a los dos , la penetración neta es el 98 por cien:
P = P" + Pu - p"'1 = 0 ,64 + O,SO - 0 ,16 = 0,98 por J = 98 por 100
Evidentemente, al mismo resultado se llega si se calcula en primer lugar la audiencia neta , que es el resu ltado ele restar la audiencia conjunta (8.000 personas)
a la aud iencia bruta total (32.000 del soporte A más 25.000 del soporte 8):
11,\/
1
= 11" + "u - 11,\/1 = 32.000 + 2S .000 - 8.000 = 49.000 personas
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
537
La penetración neta será la proporción que representa la audiencia neta respecto a la población objetivo:
49.000
p = 50.000 = 0 ,98 por 1 = 98 por 100
Problema 8.5.2
Selección de medios y soportes publicitarios
La empresa Funed, S. A., dispone de los soportes S" S2 y S3 para dirigirse a
una población objetivo de 100.000 personas. Las audiencias brutas de tales soportes son de 20.000, 30.000 y 40.000 personas , respectivamente. Existen
5 .000 personas expuestas al 1 y al 2, 10 .000 al 2 y al 3 y 8 .000 expuestas al 1
y al 3. El número de personas expuestas a los tres soportes es de 1.000. Se desea determinar las penetraciones de los soportes , sus penetraciones conjuntas,
la audiencia neta y la penetración neta.
RESOLUCIÓN
Se llama penetración del soporte i a la proporción que, de las personas a las
que se dirige el mensaje (N) , representan las que resultan expuestas al mismo
(n), es decir, al cociente (véase figura 8.5):
FIGURA8.5
En este caso:
20.000
100.000
JJ, = - - - = 0 ,2
538
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
P2 =
pJ =
30 .000
100.000
40.000
100.000
= 0 ,3
= 0,4
De forma semejante se define la penetración conjunta ele los soporte i y j (p¡) .
Siendo 11u el número ele personas ex puestas simultáneamente a los soportes i
/_¡:
p /}..
=
11 ..
-1L
N
A sí pues :
5.000
P1 2
=
/J1 3
=
P 23
=
100.000
8.000
100.000
10.000
100.000
= 0 ,05
= 0 ,08
= 0, 1
En cuanto a la penetración ele los tres soportes, se obtiene:
n
1.000
p 123 = ---111.. = - - - - = O 01
N
100.000
'
La audiencia neta será:
1/
= 17 1 + /1,2 + 17 3 - 17 12 - 11 13 - 17 23 + 11 123 =
= 20 .000 + 30 .000 + 40 .000 - 5 .000 - 8 .000 - l O.0000 + 1.000 =
= 68.000 personas
y la penetración neta:
68.000
= - -- = 0 ,68
N
100.000
p = -
11
que también puede calcularse del siguiente modo:
jJ =
_!!__ =
N
11 1
+ 17 2 + 11 3 - 11 12 - 17 13 - 11 23 + 11 123 =
N
= P i + /J 2 + /J3 - P1 2 - /J1 3 - /J23 + P m =
= 0,2 + 0 ,3 + 0 ,4 - 0 ,05 - 0 ,08 - 0 ,1 + 0,01 = 0 ,68
Utilizando los tres soportes resultaría expues ta al mensaje el 68 por 100 de
la población obj eti vo.
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
539
Problema 8.5.3
Selección de medios y soportes publicitarios
La empresa Brunedisa va a lanzar una campaña publicitaria con la que pretende obtener una audiencia neta de 900 .000 personas de una población objetivo formada por 1.000.000 de personas. Se va a realizar una sola inserción en
cada uno de los soportes disponibles y las posibles combinaciones de éstos son
las siguientes:
-
Plan A: Utilización de los soportes 1 y 2.
Plan B: Utilización de los soportes 2 y 3.
Plan C: Utilización de los soportes 1, 2 y 3.
Las audiencias de los soportes y el coste por inserción en los mismos se recogen en la tabla 8.13.
1
2
3
1y 2
1y3
2y3
1, 2 y 3
TABLA 8.13
400.000
500.000
600.000
160.000
190.000
200.000
100.000
350.000
200.000
75.000
Se desea determinar el plan más eficaz y el de mayor eficiencia.
RESOLUCIÓN
Plan A:
Audiencia neta = 400.000 + 500.000 - 100 .000 = 800.000 personas
800.000
Penetración neta = - - - - = O 8
1.000.000
'
Coste= 160.000 + 190.000 = 350.000 u.m.
Coste
Ratio de coste unit. = - - - -- Audiencia neta
-
350.000
- - - = 0.4375 u.m./persona
800.000
Plan B:
· Audiencia neta = 500.000 + 600.000 - 200.000 = 900.000 personas
540
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
900.000
Pe net rac ión neta = - - - - = 0,9
1.000.000
Coste = 190.000 + 200.000 = 390 .000 u .m.
Coste
Ratio de coste unit. = - - - - A udiencia neta
390.000
- -- = 0.4333 u.m ./persona
900.000
Plan C:
Audiencia neta = 400.000 + 500.000 + 600.000 - 100.000 - 350.000 - 200.000 + 75.000 = 925.000 personas
Penetración neta=
925 000
·
= 0 ,925
1.000.000
Coste= 160.000 + 190.000 + 200.000 = 550.000 u.m.
Coste
Ratio de coste uni t. = - -- - Audiencia neta
550.000
- - - = 0.5946 u.m ./persona
925.000
La eficac ia se mide en relación a la consecución de los objetivos. El plan
más efi caz es e l C, que permite obtener una pe netrac ió n neta del 92,5 por 100.
La eficiencia se miele en relación al cumplimie nto de los objetivos con los mínimos costes . El plan más eficie nte es el B , q ue permi te alcanzar e l objetivo de
obtener una audiencia de 900.000 personas, con el coste unitario más bajo
(0 ,4333 u.m ./pe rsona).
Problema 8.5.4
Selecció n de medios y soportes p ub licitarios
En una campaña public itaria puede n utilizarse tres soportes: A, By C. Las
penetraciones de cada uno de e llos son las s iguientes, en tanto por uno: 0 ,6 e l
A , 0,2 el By 0 ,5 e l C. Las penetraciones conjuntas son: 0 ,1 el A y el B ; 0 ,2 el A
y e l C; 0 ,1 e l By e l C , y 0 ,025 el A , el By el C. ¿C uánto vale la pene tración
neta de los tres soportes en tanto por uno?
RESOLUCIÓN
P = P11 + PJJ + Pe - PAIJ - P11c - P/)c + P,wc =
= 0 ,6 + 0,2 + 0 ,5 - 0 ,1 - 0 ,2 - 0,1 + 0 ,025 = 0 ,925
VARIABLES MERCADOTÉCNICAS
541
Problema 8.5.5
Selección de estrategias publicitarias en situación
de competencia
Los beneficios anuales futuros de la empresa Runed, S. A. , dependen de la
estrategia publicitaria que siga y de la reacción de la competencia. Las estrategias alternativas de esta empresa son E 1 , E 2 , E 3 y E4 , y la competencia puede
reaccionar de las formas R 1, R2 o R 3 . Así, los beneficios (en u.m.) que Runed,
S. A., obtendría bajo cada estrategia, según sea la reacción de los competidores , se recogen en la tabla 8 .14.
TABLA 8.14
150
140
303
160
110
350
200
100
190
Se desea determinar qué estrategia es preferible según distintos criterios de
decisión, asignando, en el criterio de Hurwicz, un coeficiente de optimismo del
60 por 100.
RESOLUCIÓN
a) Criterio de Laplace, o de igual verosimilitud (tabla 8.15)
(100 + 200 + 300)/3 = 200
(150 + 140 + 303)/3 = 197,67
(160 + 110 + 350)/3 = 206,67
TABLA 8.15
(200 + 100 + 190)/3 = 163,33
La estrategia preferible es la E 3 , a la que le corresponde el máximo beneficio esperado cuando las estrategias tienen igual verosimilitud.
b) Criterio maximax u optimista (tabla 8.16):
542
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
300
303
350
TABLA 8.16
200
L a estrategia preferi ble es la E1 , a la que le correspo nde el mé1x i 1110 bene·
fi c io pos ible.
e) C riterio 111 ax i111in , pes i mista , o ele W alcl ( tabl a 8. 17):
140
110
TABLA 8. 17
100
Bajo este criteri o , la estrategia preferibl e es la E, ; siguiéndola, la em presa
se asegura ele que, c ualquiera que sea la reacción ele- la com petenc ia, su benefi c io nunca será i nferior a 140 u.m .
d) Criteri o ele optim ismo parci al ele Hurw icz (ex = 0 ,6) (tabla 8. 18) :
TABLA8.18
303
140
237,8
350
110
254
200
100
180
Bajo este criteri o la estrategia preferible es la E3 .
e) C riteri o ele Savage . L a matriz ele pesares sería la ele la tabl a 8. 19 .
VARIABLES MERC ADOTÉ C NIC A S
543
100
60
TABLA8.19
40
90
o
90
o
100
160
160
La estrategia preferible sería la E 2 , a la que le corresponde el rrúnimo pesar.
Problema 8.5.6
Control de la eficacia de la publicidad
La empresa Turunedsa se dedica a la fabricación y venta de un producto alimenticio carente de alimento alguno, especialmente apropiado para dietas de
rápido adelgazamiento. Hasta hace algún tiempo, lo ha distribuido sólo en farmacias bajo la marca Adelgamin y su promoción se ha basado en la labor desarrollada , especialmente entre médicos y farmacéuticos , por su fuerza de
ventas. Hace tres meses ha comenzado a distribuirlo , además, en tiendas de alimentación, bajo la marca Mini Figura 2000, y su promoción se ha centrado en
publicidad en vallas. Para estudiar la eficacia de este medio publicitario se tomaron tres ciudades de características similares, realizándose una fuerte campaña en la primera, una campaña de tipo medio en la segunda y ninguna en la
tercera. Transcurrido cierto tiempo desde el comienzo de las campañas, se mi-
TABLA 8.20
544
1
110
85
45
2
100
80
50
3
110
75
45
4
100
80
40
5
120
80
40
6
125
85
40
7
130
85
45
8
135
90
45
Total
930
660
350
Gra n tota l = 930 + 660 + 350 = 1.940
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
dieron las ven tas en las tres ci udades durante un período ele ocho semanas. Los
resultados obtenidos se recogen en la tabl a 8.20.
¿Se puede considerar significa ti vo el erecto ele la publicidad en vallas en la
venta ele este producto?
RESOLUCIÓN
El ni vel med io semanal de ventas fue:
-
x = 1.940 = 80,83
24
En cuanto a las ventas semanales medias de las tres ciudades, se obtiene:
x = -930
- = 1 16,25
1
8
660
x,- = -8- = 82,50
350
x3 = -8- = 43 ,75
L os restantes cálculos necesari os, ya ex pl icados en el área de ex perimentació n comercia l , se recogen en la tabla 8.2 1.
n ~ (Xk)2 = 8(116,252 + 82,52 + 43,752 ) =
5
6
7
8
12.100
10.000
12.100
10.000
14.400
15.625
6.400
6.400
7.225
16.900
18.225
7,225
8.100
1.600
2.025
2.025
Total
109.350
54.600
15.400
2
3
4
m
7.225
6.400
5.625
n
Gran tota l =~ I
k l k- 1
TABLA 8.21
2.025
2.500
2.025
1.600
1.600
x:k = 179.350
= 177.875
N(X) 2 = 24(80,83)2 = 156.816,66
k l
o,=
177.875 - 156.816,66 = 2 1.058,33
D, = 179.350 - 177.875 = 1.475
DT = 179.350 - 156.816,66 = 22.533,33
s:=21.058,33 = 10.529,17
3-
1
1 475
·
S2 =
= 70,238
'
24 - 3
F = 10.529, 17 =
70,238
F0 ,05 (2,2 1) : 3,47
,
149 91 {
F0 ,01 (2,2 1) - 5,78
La con tribución de la dispersió n factori al (2 1.058,33) a la vari abil idad total (22.533 ,33) es apreciable. E l efecto diferencial de la vari able controlada «pu
bl icidad en va ll as» es acusado , pues, inc luso a un ni vel de significación del 1
VARIABLES MERC ADOTE C NIC AS
545
por 100, el valor de F obtenido es sustancialmente superior al que corresponde , según tablas, a estos grados de libertad .
6. La venta personal
Problema 8.6. 1
Retribución de la fuerza de ventas
Las ventas medias mensuales de un vendedor de la empresa Unedleo son de
300 .000 u.m. A los vendedores les paga un sueldo fijo de 100.000 u.m. mensuales y una comisión del 10 por 100 del importe en el que sus ventas excedan
el promedio. Además , paga 15.000 u.m. por cada nuevo cliente que un vendedor consig ue. ¿Qué sueldo percibirá un vendedor que ha vendido por
200 .000 u.m. a antiguos clientes y 250.000 a tres clientes nuevos?
RESOLUCIÓN
Sueldo fijo ................................................................ 100.000 u.m.
Comisión 10 por 100 s/(450.000 - 300.000) ......... 15.000 u.m.
Prima por captación de clientes 3 X 15.000 ........... 45.000 u.m.
Total .......................................................................... 160.000 u.m.
Problema 8.6.2
Retribución de la fuerza de ventas
Para el próximo período, la empresa Virgunedsa ha fijado a uno de sus vendedores un objetivo de ventas de 3 .000 unidades, en tanto que la previsión de
este vendedor es de 3 .200. Se desea determinar el porcentaje de prima que percibirá este vendedor, bajo el sistema OPR 1 , para cada uno de los siguientes niveles de ventas efectivas:
2.500,
2.700 ,
3.000,
3.200,
3.400
RESOLUCIÓN
Denominando:
O = Objetivo fijado por la empresa.
P = Previsión del vendedor.
R = Venta efectiva.
1 Gonik , J.: «Las primas a los vendedores en función de sus previsiones de venta», Harvard-Deusto Business Review,
primer trimestre 1980 , págs. 7 1-80.
546
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
bajo el sistema OPR el porcentaje de prima (OP/?) depende ele la prev isión y la
rea li zac ión de l vendedor del siguiente modo :
OPR = l 20PI O
cuando P = R
OPR = 60(P + R)/O
cuando P < R
OPR = 60(31? - P)/O cuando P > R
Así pues, en este caso se te ndría (O = 3.000 , P = 3.200) (tabla 8.22) :
2.500
p ·R
60(3 X 2.500 - 3.200)/3.000 - 86 %
2.700
p> R
60(3 X 2.700
3.000
P> R
60(3 X 3.000 - 3.200)/3.000 = 116%
3.200
P= R
120(3.200/3.000) = 128%
3.400
P< R
60(3.200 + 3.400)/3.000 = 132 %
3.200)/3.000
98%
TABLA 8.22
Problema 8.6.3
Retribución de la fuerza de ventas
Determinar el porcentaj e de prima del vendedor del ej erc ic io anterior,
para los m ismos ni veles de ven tas efecti vos, pero con cada uno de los siguientes ni veles de prev isiones :
2.500 ,
2 .700 ,
3.000 ,
3.200 ,
3.400 ,
3 .600
RESOLUCIÓN
Aplicando las ex pres iones reseñadas anteriormente se ha elaborado la tabla
8.23 .
Obv iamente , para cada ni vel de prev isiones real izadas por el vendedor , la
prima es tanto mayor cua nto mayor sea su ni vel efectivo de ventas. Pero,
ade1mís , para cada nivel de ventas efecti vas la prima es tanto mayor cuanto más
acertado haya sido en su prev isión. A sí , el sistema OPR incenti va las ventas y
la certeza en las prev isiones, estimulando al vendedor para obtener la i nformación precisa para la previsió n empresarial de las ventas y la planificación de
la empresa .
VARIABLES MERC ADOTÉ C NIC AS
547
11
TABLA 8.23
Problema 8.6.4
2.500
100
114
2.700
96
118
122
3.000
90
102
120
124
128
3.200
86
98
116
128
132
3.400
82
94
112
124
136
3.600
78
90
108
120
132
Retribución de la fuerza de ventas
¿Qué porcentaje de prima OPR corresponde a un vendedor cuando coinciden su objetivo, sus previsiones y sus ventas efectivas?
RESOLUCIÓN
Cuando P = R:
OPR = 120P! O
Cuando, además, O = P:
OPR = 120
Problema 8.6.5
Retribución de la fuerza de ventas
Un vendedor tiene un objetivo de 500 unidades , su previsión de ventas era
450 y ha vendido 425. ¿Cuál es su prima bajo el sistema OPR?
RESOLUCIÓN
En este caso:
P> R
Por tanto:
60(3R - P)
OPR = - -- -
o
548
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
60(3 · 425 - 450)
- - - - -- - - = 99 por 100
50 0
Problema 8.6.6
Retribución de la fuerza de ventas
U n vendedor tiene un objeti vo ele ventas ele 500 unidades al año , había previsto vender 400, y realmente ha vendido 300. ¿Cuánto vale su prima OPR?
RESOLUCIÓN
En este caso P > R . Por consiguiente, la ex presión aplicable es:
60(3 /? - P)
OPR = -- -O
=
60(3 X 300 - 400)
500
= 60 por 100
V ARIABLES MERC ADOTÉC NIC AS
549
Pruebas objetivas
de autoevaluación
En este apartado se, recogen doce pruebas objeti vas de autoevaluac ió n .
Las cuatro pri mera s permiten contrastar los conocimientos adquiridos en las
dos primeras partes del libro. Las cuatro siguientes se refieren a las dos últimas
partes . Las cuatro últimas recogen preguntas de todo el libro.
Cada prueba consta de veinte preguntas «tipo test», cada una de las cuales
tiene cuatro alternati vas de resolución , de las cuales solo es co rrecta una de
ellas. Se debe marcar en «ninguna de las otras» cuando se considera que ninguna de l as otras tres respuestas es correcta . Se marca en «varias de las otras»
cuando se estima que hay más de una respuesta correcta.
En ocasiones se obl iga a m arcar lo mismo que en la pregunta anterior con
objeto de duplicar su ponderación.
Tras cada prueba , se incluye l a relación de respuestas junto con una referencia al problema al que se refi ere cada pregunta .
Para autoevaluarse, sume 0 ,5 puntos por cada pregunta bien respondida y
reste 0 ,15 puntos por cada pregunta que responda mal . N o sume ni reste nada
en las preguntas que no conteste. El ni vel de aprobado requiere con seguir
cinco puntos.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
553
l. PRUEBAS DE LAS PARTES I Y 11
1.1. Primera prueba
1. ENUNCIADOS
l. ¿Cuál es la entropía asociada al lanzamiento de una moneda perfecta?
a) Más de dos bits.
b) Un nit.
e) - log2 (2)
d) Un bit.
2. Los proyectos de inversión A y B tienen el mismo riesgo, requieren unos desembolsos iniciales de 2.000 y 1.000 u.m. , respectivamente, y generan ilimitadamente unos flujos de caja anuales constantes iguales a 1.000 u.m. la inversión A y 500 u.m. la inversión B . ¿Qué inversión es preferible según el VAN
antes de resolver la discrepancia?
a) La A.
b ) La B .
e) Depende del tipo de descuento que se aplique.
d) Son indiferentes entre sí.
3. Al resolver la discrepancia de la pregunta anterior, ¿qué inversión es preferible según el VAN?
a) LaA .
b) La B.
e) Depende del tipo de descuento que se aplique.
d) Son indiferentes entre sí.
4. En la siguiente matriz, Pes el perdedor, y Ges el ganador. ¿Cuántos puntos
de silla existen?
a) Ninguno.
b) Uno.
e) Dos .
d) Tres .
Estrateg ias de G
554
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
Estrateg ias de P
A
- 300
50
20
B
-200
- 50
-20
e
- 400
- 20
- 10
S. En el programa linea l :
Minimizar: Z = I Sx + l 2y
4x + 8y ~ 44
5.r + 4y ~ 40
14.r + 3y ~ 42
.r,y ~ o
a) Ex iste rmís de una solu c ión correcta.
b) La solución es .r = 2,04 , y = 4,48 .
e) La soluciónes.r = 6,y = 2,5.
el) Lasol ución esx = 11 ,y = 0.
6. Una empresa estud ia un p réstamo ele 2.000.000 u.m. q ue req ueriría un
pago bianual de 200.000 u.m. durante 6 años, al final de los cual es devol vería
los 2.000.000 u.111. ¿Cu~ínto vale su coste anual ?
a) 26,2 por 100.
b) 15,2 por 100.
e) 4,88 por l00.
e/) Ni nguna de las otras.
7. Un proveedor permite aplazar el pago 60 días y ofrece un descuento del 20
por 100 por el pago al contado. El impuesto sobre el beneficio es el 33 por IOO .
¿Cuál es el coste an ual neto de impuestos de este créd ito comerc ial ?
a) 153,2453 por 100.
b) 188,5847 por 100 .
e) 137,0788porl00.
d) Ninguna ele las otras.
8. En un grafo PERT, la fl echa ele una acti vidad parte de un nudo que tiene una
oscilación de 3, y tiene su destino en un nudo que tiene una oscilación de 2. E l
tiempo los/ del nudo de destino es 44, el tiempo early del de ori gen es 20 y l a
actividad dura 10. ¿C uánto va le su holgura independiente?
a) 9.
b) 12.
e) 1 1.
d) Ninguna ele las otras .
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
555
9. En la siguiente matriz , P es el perdedor y Ges el ganador. ¿Cuántos puntos
de silla existen?
Estrategias de P
Estrategias de G
A
- 100
50
20
B
200
- 50
- 20
e
20
-20
-10
a) Ninguno.
b) Uno.
e) Dos .
d) Ninguna de las otras.
10. En principio, pensábamos que una moneda era perfecta, pero recibimos un
mensaje que dice que existe una probabilidad del 75 por 100 de que salga cara.
Si la información se mide en nits, ¿cuál es la información de canal de ese mensaje?
a) 0 ,13.
b) 0 ,693 1.
e) 0,18875.
d) Faltan datos.
11. Si se compra un terreno y se descubre agua subterránea, se ganan 50.000
u.m., pero, si no se descubre agua, se pierden 20.000 u.m. La probabilidad de
que no haya agua es del 60 por 100. ¿Cuál es el límite máximo que se puede
pagar por cualquier información relativa a la existencia de agua?
a) 32.000 u.m.
b) 38 .000 u.m.
e) 50.000 u.m.
d) Ninguna de las otras .
12. Marque (o no marque , si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a).
b)
e)
d)
556
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
13. Del balance y cuenta de resu ltados de una em presa se desprende que de su
financ iación tota l , integrad a por 100 millo nes de u.m ., el 60 por 100 es tá formada por financiación propia, compuesta por 60.000 acciones, y el 40 por 100
por capitales ajenos, a los que paga un interés del 14 por 100. Este año sus acti vos han generado un benefici o de 25 millones ele u.m. , y el impuesto sobre la
renta de las soc iedades tiene un tipo del 35 por 100 . Se desea determi nar la rentabilidad fina nciera ele esta empresa después ele impuestos.
a) 32,34 por I OO.
b) 2 1,02 po r 100 .
e) 11 ,32 por 100 .
e/) N inguna de las otras .
14. Una in versión req uiere un desembo lso ini cial de 3.000 u.m. y dura dos
años , en el primero ele los cuales genera un flujo ele caja de 2.000 u.m. , siendo
ele 4.500 el generado en el segundo. Se desea saber su VAN , para una inflación
anual del 6 por 100 y una rentabi l idad anual req uerida del 8 por 100.
a) 2 .1 80,66 U.m.
b) 2.2 17 u.m .
e) 1.867 ,35 u .m.
d) Ni nguna de las otras.
15. ¿Cuánto vale la tasa ele rentabilidad interna real de la in versión ele la pregunta anterior?
a) 60 ,26 por 100.
b) 106 , 19 por 100.
e) 69 ,88 por 100.
d) Ni nguna de las otras.
16. U na empresa, cuyo per íodo med io ele maduración econó mi co es ele 103
días, paga al contado tocios sus gastos sal vo las materias primas, de l as que adquiere y consume 20.000.000 de u.111 . al año . Se desea conocer su período medio de maduración financiero, sabiendo que mantiene una deuda media con sus
proveedores de 4.000.000 ele u .m.
a) 30 días.
b) 73 días.
e) 133 días.
d) Ningu na ele las otras.
17. A una empresa cuyo cos te del capital es el 12 por 100, se le presentan dos
alternati vas de in versión mutuamente excluyentes , X e Y. A la al ternati va X se
le asigna una prim a ele ri esgo del 3 por IOO sobre la rentabilidad del acti vo li -
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
557
bre de riesgo que se estima en un 4 por 100, en tanto que la prima de riesgo que
se asigna a la inversión Y es el 5 por 100. La rentabilidad esperada de la inversión Yes el 15 por 100. ¿Cuál es la rentabilidad requerida de la inversión X?
a) 7 por 100.
b) 13 por 100.
e) 12 por 100.
d) Ninguna de las otras.
18. Una inversión que requiere un desembolso inicial de 3.000 u.m. tiene
una duración ilimitada. Se espera que el flujo de caja del próximo año valga
800 u.m. y que luego crezca a una tasa anual constante del 7 por 100. La tasa de
inflación anual es el 10 por 100. ¿Cuánto vale su rentabilidad real anual?
a) 21,52 por 100.
b) 36,36 por 100.
e) 45 por 100.
d) Ninguna de las otras.
19. La rentabilidad trimestral de una inversión es el 0,1 por 100. ¿Cuánto vale
su rentabilidad anual?
a) 4 ,06 por 100.
b) 1,2 por 100.
e) 52,35 por 100.
d) Ninguna de las otras .
20. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
11. RESPUESTAS CORRECTAS
Respuesta
correcta
Número
de problema
d
1.2.1
2
a
3.5.21
3
d
3.5 .25
4
b
1.1.J 3
Pregunta
558
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
5
a
1.5.7
6
e
3 .5 .46
7
a
3 .5 .36
8
a
1.6.32
9
a
1 .1 . 11
10
a
1.2 .6
11
d
1 .4 .1 3
12
<l
13
b
2.3 .5
14
a
3 .4.2
15
d
3.4.2
l6
a
2.4.6
17
b
3 .8.5
18
a
3.5. 15
19
d
3 .5.3
20
d
l .2. Segunda prueba
l. ENUNCIADOS
l. D el antepenúltimo nudo de un grafo PERT parten dos acti vidades . E l tiempo lasr del último nudo vale 53 y sobre la flecha que va directamente de uno de
esos nudos al otro fi gura una duración de 3. D el penúltimo nudo al último hay
una flecha que representa una acti v idad fi ctici a. El tiempo /ast del penúltimo
nudo ha de va ler:
a) SO.
b) SO o menos de 50 .
e) SO o más de 50.
d) Fa ! tan elatos.
2. Un banco ha concedido a un cliente un préstamo ele 2.000.000 de u.m .
por el que, al fi nal de cada uno de los doce tri mestres ele su duración , le cobrará
un interés del 3 por 100. E l úl timo tr imestre el cl iente deberá devolver el
princ ipal del préstamo y los intereses del último trimestre. ¿Cuánto vale la rentabilidad anu al de la in versión del banco?
a) 12 por 100.
b) 12,55 por 100.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
559
e) 13,01 por 100.
d) Ninguna de las otras.
3. Un decisor ha de tomar la decisión Dl o la D2. Si se decide por Dl, puede
suceder El, con una probabilidad de 40 por 100, o E2. Si se decide por D2,
puede suceder E3, con una probabilidad del 20 por 100, o E4 . Tanto si sucede
El, como si suceden E2, E3, o E4, a continuación pueden suceder A o B, que
tienen la misma probabilidad. Si finalmente sucede A, el decisor gana 1.000
u.m., en tanto que si sucede B, gana 2 .000 u.m. ¿Qué decisión es preferible?
a) Dl.
b) D2.
e) D 1 o D2, y B.
d) Las dos decisiones son indiferentes entre sí.
4. Si se compra un terreno y se descubre la existencia de plata, se ganan
5.000 u.m., pero si no se descubre se pierden 2.000 u.m. La probabilidad de que
no haya plata es del 70 por 100 ¿Cuál es el límite máximo que se puede pagar
por cualquier información relativa a la existencia de agua?
a) 100 U.ID.
b) 1.400 u.m.
e) 600 u.m.
d) 1.500 U.ID.
S. Un proveedor permite aplazar el pago medio año y ofrece un descuento del
20 por 100 por el pago al contado. El impuesto sobre el beneficio es el 33 por
100. ¿Cuál es el coste anual neto de impuestos de este crédito comercial?
a) 37,69 por 100.
b) 70,14 por 100.
e) 36,31 por 100.
d) Ninguna de las otras.
6. Antes de tener en cuenta el impuesto sobre el beneficio (cuyo tipo de gravamen es el 33 por 100) ni la tasa de inflación (que es el 4 por 100), el coste de
un empréstito es el 24 por 100. ¿Cuál es el coste después de tener en cuenta ambas cuestiones?
a) 11,6154 por 100.
b) 12,8846 por 100.
e) 12,25 por 100.
d) Ninguna de las otras.
560
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
7. Se sabe q ue los ti e mpos o ptimista , más pro bable y pesimi sta de un a act i v i dad val en 17, 19 y 27 días, respecti vamente. ¿Cuánto vale su tie mpo PERT?
a) 2,7778 .
b) 19.
e) 1,6667 .
e/) Ning una de las otras.
8. En e l prog r ama linea l:
Minim i zar: Z = l 5x + l 5y
20x + 32y::; 25
x+y= I
.x,y 2:: O
a) Exi ste más de una soluc i ó n correcta.
b) L a soluc ión es x = 0,5833, y= 0,4 167.
e) L a so luc i ó n es x = 0,75, y = 0,25.
d) N i ng una de l as ot ras.
9. Sabemos q ue los d i videndos de una acción crecen un JO por 100 cada año ,
y q ue su coti zaci ó n actual es de 3.500 u.m . ¿Cuál ser á su cotizac ió n dentro de
un año si se mantie ne su rentabilidad requerida?
a) 3 .850.
b) 3.500.
e) 3. l 50.
e/) Ning una de l as otras.
10. Se sabe que los ti empos opti mi sta , más probabl e y pesimi sta de una activ idad val en 2 , 4 y 6 días, respecti vamente. ¿Cuánto vale su t iempo PERT?
a) 2,7778.
b) 4.
e) 1,6667.
d) N ing una de las o tras.
11. ¿Cuánto val e la c uota me nsual constante que amortíza un préstamo de
2 .850 u.m . en cuatro años, siendo l a TAE apli cab le el 20 por 100?
a) 84,27285 U.m.
b) 47 ,5 u .m.
C) 59 ,375 U.m.
d) Ninguna de l as otras.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
561
12. Las inversiones A y B tienen unas rentabfüdades esperadas respectivas del 15
por 100 y del 18 por 100. Sus primas de riesgo son del 4 por 100 y del 8 por 100,
respectivamente. El coste de la financiación de la empresa es el 10 por 100, y la
rentabilidad del activo libre de riesgo es el 6 por 100. ¿Qué inversión es efectuable?
a) Ninguna.
b) Las dos .
e) LaA.
d) La B .
13. Para financiar 100 millones de adquisición de materias primas, podemos
optar entre un crédito comercial a dos años que ofrece el proveedor, con un descuento por pago al contado del 20 por 100, o un crédito bancario a dos años con
un tipo de interés del 10 por 100 anual. El banco cobra una comisión inicial de
500.000 u.m. y exige que la devolución del principal se realice junto con los intereses del segundo año.¿ Qué fuente de financiación es preferible?
a) Son indiferentes entre sí.
b) Depende del tipo de descuento que se aplique.
e) El crédito comercial.
d) El crédito bancario .
14. Si la rentabilidad bursátil por dividendos de una empresa es el 25 por 100,
ha obtenido un beneficio de 900.000 u.m. y aplica un coeficiente de reparto del
10 por 100, ¿cuánto vale su capitalización bursátil?
a) 360.000 u.m .
b) 2.250.000 u .rn.
e) 22.500 u.m.
d) Ninguna de las otras.
15. ¿Cuál es la entropía asociada al lanzamiento de una moneda perfecta, si la
información se mide en nits?
a) 1 nit.
b) 0,9 nits.
e) 0,6931 nits.
d) Ninguna de las otras.
16. Marque (o no marque , si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
562
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
17. Una in versión genera ad infi nitum un flujo ele caja an ual constante de 100
u.m. y su ren tabi lidad requerid a es el 10 por 100 anua l . ¿Qué VAN mínimo ha
de ex igírsele para que sea co ngruente con la ex igencia ele que su plazo ele recuperac ión simp le no sobrepase los 5 años?
a) 600 U.111.
b) 450 u.m.
e) I .000u.m.
e/) N inguna ele las otras.
18. En la siguiente matri z, P es el perdedor y C es el ganador. ¿Cuántos pu ntos ele silla ex isten?
Estrategias de P
A
Estrategias de G
B
200
50
80
e
120
80
90
a) Ninguno.
b) Uno.
e) Dos.
e/) N inguna ele las otras.
19. L a empresa Madura , S. A. , compró y consu mió el pasado año, para la fabricación de su producto, 20.000 u.m. de materias primas y, por térm ino medio,
mantuvo un ni vel ele existencias de las mismas en almacén de 2.000 u.m .
¿Cuánto vale su período med io ele al macenamiento?
a) 36,5 días.
b) 18,25 días.
e) I0días.
e/) Ninguna de l as otras.
20. Marque (o no marque , si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
el)
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
563
11. RESPUESTAS CORRECTAS
Pregunta
Respuesta
correcta
Número
de problema
1
a
1.6.30
2
b
3.5.4
3
d
1.4.4
4
d
1.4.14
5
c
3.5.37
6
a
3.6.2
7
d
1.6.39
8
a
1.5.8
9
a
3.5.42.
10
b
1.6.40
11
a
3.5.30
12
c
3.8.6
13
d
3.5.38
14
a
2.3.9
15
c
1.2.5
16
c
17
d
3.9.10
18
a
1.1.12
19
a
2.4.3
20
a
l .3. Tercera prueba
l. ENUNCIADOS
l. Una empresa se financia en un 25 por 100 con recursos ajenos, la rentabilidad neta de sus ventas ha sido del 50 por 100 y su activo ha rotado 10 veces
¿Cuánto ha valido su rentabilidad financiera?
a) 125 por 100.
b) 16,6 por 100.
e) 666 ,6 por 100.
d) 12,1 por 100.
564
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
2. Con una infl ación an ual de l 6 por c ie n y una re ntabilidad re al deseada de l 12
po r 100, ¿qué re ntabilidad no minal se apl icará?
a) 5,66 po r 100 .
b) 18,72 por 100.
e) 2 por 100.
el) 13 po r 100.
3. Si se compra un terreno y se descubre oro, se ganan 180.000 u.m. , pe ro, s i
no se descubre oro, se pierden 120.000 u.m. La probabilidad ele que no haya
oro es del 60 por 100. ¿Cuál es e l valor esperado ele la información perfecta?
a) 0 U.m.
b) 60.000 u.m.
e) 72.000 U.m.
e/) Ninguna de las otras .
4. El pasado año una empresa tuvo un ratio de endeudamie nto total del 0,5 po r
1, una rentabilidad finan c iera de l 20 po r 100 y obtuvo un ma rge n neto sobre
ventas del 15 por 100. ¿Cuál fu e la rotación de s u ac tivo?
a) 0 ,0045 veces.
b) 0 ,8889 veces.
e) 2 ,6667 veces.
e/) Ninguna de las otras.
S. Un proyecto está formado por tres actividades: la acti vidad A, que dura 8 días;
la 8, que dura 15 días, y la C, que dura 4 días . La única restricción de precedenc ia
es que las ac tividades A y B precede n a la C. En e l PERT correspondiente:
a) El tie mpo early del nudo núme ro 3 vale 8 días .
b) La flecha de la acti vidad B parte del nudo 1 y finali za en e l 3.
e) No hay ning una actividad ficti c ia.
e/) Ninguna ele las o tras .
6. Una e mpresa tiene un período medio de maduración económico de 7 días y
paga a sus proveedores en un plazo de 4 días . Diariamente cons ume 1.000 u .f.
de materias primas, que tie ne n un prec io unitario de 125 u.m. Se desea conocer
e l importe de l fondo de maniobra que necesita esta e mpresa para pago de
primeras materias.
a) 875 .000 U.m.
b) 375 .000 u.m .
C) 500.000 U.m.
e/) Ning una de las otras.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
565
7. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
8. Una vez determinado el camino crítico de un proyecto, resulta estar formado
por 100 actividades, de las cuales:
20 actividades tienen una duración optimista de 4 días, un tiempo más
probable de 6 días y un tiempo pesimista de 7 días.
80 actividades tienen una duración optimista de 15 días, un tiempo
más probable de 18 días y un tiempo pesimista de 20 días.
¿Cuánto vale la duración esperada del proyecto?
a) 1.225,05 días.
b) 1.543,33 días.
e) 995,22 días.
d) Ninguna de las otras.
9. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
10. En principio pensábamos que una moneda era perfecta, pero recibimos un
mensaje que dice que existe una probabilidad del 25 por 100 de que salga cara.
Si la información se mide en nits, ¿cuál es la información de canal de ese mensaje?
a) 0 ,13 nits.
b) 0 ,18 nits.
e) 0 ,051 nits.
d) Ninguna de las otras.
11. La holgura total de la actividad que va del nudo i alj vale 20. La oscilación
del nudo i vale 15 y la del nudo j vale 10. ¿Cuánto vale la holgura independiente de la actividad?
a) 45.
b) 25.
566
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
e) - 5.
e/) Ninguna ele las otras.
12. En el prog ram a linea l:
Maximi zar:Z = 40.r + 25y
70x + 70y :s 650
50.r + 75y :s 300
70x + 35y :s 280
x ,y 2::: O
a) Ex iste más de una so lución correcta.
b) L a solución es x = 3, y= 2.
e) No ex iste solución.
d) Ninguna ele las otras.
13. Las duraciones ele las inversiones mutuamente excluyentes A y B son ili mitadas. La primera tiene un desembolso inicial ele 500 u.m. y un flujo ele caja
anual constante ele 250 u.m. La inversió n B requiere un desembolso inicial de
1.000 u.m. y genera un fluj o d e caja anual co nstante ele 600 u.m . ¿Qué inversión es preferibl e según el VAN?
a) D epende ele si el problema se plantea antes o después ele la resolución ele
la disc repancia.
b) Depende de l tipo de descuento que se apl ique.
e) A.
d) B.
14. Se están analizando dos inversiones mutuamente excluyentes, A y B , cuyas
características más relevantes son las siguientes:
In versión A: la rentabi lidad que cabe esperar de l a misma es del 7 por
100 an ual. Por ser una in versión muy segura se le apl ica una pr ima por
r iesgo del 2 por 100.
Inversión B: su realizac ión conlleva un cierto ni vel ele riesgo, por lo que
se le apl ica una prima del 4 por J00. Su rentabilidad esperada es del 9
por J00 .
El coste de la financ iación de esta empresa es del 6 por 100 y l a rentabilidad
del activo libre de riesgo es del 3 por IOO. Se desea saber qué inversión es preferib le.
a ) La A.
b) La B.
e) No es rea li zabl e ni ngu na.
d) N inguna de las otras.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
567
15. ¿Cuántas soluciones existen en el siguiente programa lineal?:
Maximizar:x
8y + 5x ::::e: 40
3y +
X$ 3
x:5 3
x,y ::::e: O
a) Una.
b) Infinitas.
e) Tres.
d) Ninguna solución.
16. En un grafo PERT sólo existen tres actividades reales y una ficticia. La actividad A parte del nudo 1 y termina en el 2. La actividad B parte del nudo 1 y
termina en el 3. La actividad C parte del nudo 2 y termina en el 4 . La actividad
ficticia parte del nudo 3 y termina en el 4. ¿Es correcto?
a) Siempre.
b) Nunca.
e) En un caso particular.
d) Ninguna de las otras.
17. ¿Cuál es la cuota mensual constante que amortiza un préstamo de 25 millones de u.m. en 6 años con un tipo de interés del 10 por 100 anual?
a) 478.348 ,71.
b) 457.728,05.
e) 381.944,44.
d) Ninguna de las otras.
18. Una empresa muy rentable utiliza tres fuentes de financiación: créditos, por
un importe de 40 u.m. con un coste anual del 12 por 100; un empréstito de obligaciones por un importe de 50 u.m. y con un coste anual del 13 por 100; y capital propio, por un importe de 110 u.m. con un coste anual del 14 por 100. En
los mencionados costes no se han tenido en cuenta la inflación , que es el 5 por
100 anual, ni el impuesto sobre la renta de las sociedades, que tiene un tipo de
gravamen del 35 por 100. ¿Cuál es el coste medio ponderado real después de
tener en cuenta ambas cuestiones?
a) Ninguna de las otras.
b) 3,502 por 100.
e) 6,819 por 100.
d) 6,069 por 100.
568
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
19. Se desea determinar el VAN ele una in versión cuyo desembolso inicial es de
2.000 u.111 ., siendo su duración ele 20 años. T al inversión generaría el próx imo
año un fluj o ele caj a de 1.000 u .111. y los nujos de caja posteriores crecerían a
una tasa anual del 5 por 100. La rentab ili dad req ueri da ele esta inversió n es el
12 por 100 anual.
a) 16.344,25.
b) 12.285,7 1.
e) 8.356 ,30.
d) N in guna ele las otras.
20. Un importe de 30 millones ele u.m. se financ ia con un préstamo de cuotas
mensuales constantes que ti e ne un tipo de interés anual del 12 por 100 . ¿Qué
parte de la c uota del primer mes corresponderá a pago ele intereses?
a) 284.663 ,79.
b) 300.000.
e) 360.000 .
e/) Ningu na de las otras.
11. RESPUESTAS CORRECTAS
Pregunta
Respuesta
correcta
Número
de problema
l
c
2.5.6
2
b
1.3.9
3
c
1.4. 10
4
b
2.5.4
5
b
1.6 .28
6
b
2.4.13
7
b
8
b
9
b
10
a
1.2.6
11
c
1.6.3 1
12
b
1.5.9
13
d
3 .5. 19
14
c
3.8.4
15
d
1.5.20
1.6.45
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
569
16
b
1.6.28
17
b
3.5.31
18
d
3.7.2
19
e
3.5.14
20
a
3.5.32
l .4. Cuarta prueba
1. ENUNCIADOS
l. Una inversión requiere un desembolso inicial de 625 u.m. y genera los siguientes flujos de caja: 300 u.m. al cabo de un mes , 200 u.m. al cabo de un semestre y 500 u.m. al cabo de dos años. Si la rentabilidad anual requerida es el
12 por 100, ¿cuánto vale su VAN?
a) 300,5.
b) 188,23.
e) 457 ,63.
d) Ninguna de las otras.
2. Una inversión que requiere un desembolso inicial de 2.000 u.m. tiene una
duración ilimitada. Se espera que el flujo de caja del próximo año valga 1.000
u.m. y que luego crezca a una tasa anual constante del 5 por 100. La tasa de inflación anual es el 10 por 100. ¿ Cuánto vale su rentabilidad real anual?
a) 40,91 por 100.
b) 36,36 por 100.
e) 45 por 100.
d) 42,07 por 100.
3. ¿Cuántas soluciones tiene el siguiente programa lineal?
Maximizar: Z = x + y
lOx + 14y ~ 70
2lx + 15y ~ 105
x,y ~ O
a) Una.
b) Dos.
e) Ninguna.
d) Infinitas.
570
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
4. ¿En un proyec to que com;ta de 8 ac tiv idades, la acti v idad A precede a la E;
l a By l a C preceden a l a D; y l as actividades F. C y H preceden a l as ac tividades A , B y C. Las ac ti v idades C, D, E y /-/ duran una u.t. , l as acti v idades By
F duran d os u .t. , y las ac ti vi daclcs A y C duran t res u .t. Por consigu iente:
o) L a ho lg ura li bre de la acti v idad C va le I u.t.
b) La holg ura independiente ele l a acti v idad F va le 2 u .1.
e) La ho l g ura total de l a acti v idad C va le 2 u.t.
d) N ing una de las o tras.
5. Nav iunedsa es una empresa declicacla a la fabri cación de naves de recreo
cuyo ciclo ele ex plotac ión dura 90 días. Cada 30 días tie ne unos cos tes to tal es
ele 50.000.000 u.m ., ele los cua les e l 60 por 100 corresponde a prim eras materias, el 30 po r 100 a m ano ele obra y el 10 po r 100 restante a gastos generales.
Los aplazamientos en los pagos son de 30 días la mano de o bra , 60 días las primeras materias y 15 días los o tros gastos. Se desea saber el fon do ele maniobra
que ha ele mantener si desea u n m argen ele seguridad del 12 por 100 sobre e l
mínimo necesari o.
a) 79.750.000 U.m.
b) 77.500.000 u .m.
e) 8 1.200.000 U.m.
d ) 72.500.000 u.m.
6. E n el progra m a li neal :
M ax imizar:Z = 120.r + 75y
2 10x + 2 10y s 1.950
l 50x + 225y s 900
105.r + 21 Oy s 840
x,y ;?; O
a) Existe más de una soluc ió n correcta .
/J) La soluc ió n es x = 3, y = 2.
e) No ex i ste soluci ó n .
d) N ing una de l as otras.
7. U n proyecto de inversión de 90 mi llones de u .m. se financia con un préstamo
de cuotas mensuales constantes que tiene un tipo de interés anual del 12 por 100.
¿Qué parte ele la cuota de l pri m er mes correspo nderá a pago ele intereses?
a) 853.99 1 ll.m .
b) 9 12.3 15 u .m.
e) 1.080 .000 u .111.
d) 9 .000 .000 U .lll.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
571
8. Sabemos que los dividendos de una acción crecen un 10 por 100 cada año y
que su cotización actual es de 700 u.m. ¿Cuál será su cotización dentro de un
año si se mantiene su rentabilidad requerida?
a) Faltan datos.
b) 770 u.m.
e) 630 u.m.
d) 500 u.m.
9. ¿Qué tipo de interés ha de aplicar un banco, en los préstamos que concede,
si desea obtener un tipo de rentabilidad neto de inflación del 12 por 100 anual
acumulativo y la tasa media de crecimiento de los precios es del 9 por 100,
también anual y acumulativa?
a) 22,08 por 100.
b) 5,69 por 100.
e) 21 por 100.
d) Ninguna de las otras.
10. ¿Cómo se explica que con unas ventas de 50 millones de u.m. y un beneficio operativo de 45 millones, la rentabilidad económica de una empresa
haya sido sólo el 2 por 100?
a) Por la baja rentabilidad de las ventas.
b) Por la baja rotación del capital.
e) Por la escasez de activos.
d) Ninguna de las otras.
11. Las duraciones de las inversiones mutuamente excluyentes A y B son ilimitadas. La primera tiene un desembolso inicial de 2.000 u.m. y un flujo de
caja anual constante de 1.200 u.m. La inversión B requiere un desembolso inicial de 1.000 u.m. y genera un flujo de caja anual constante de 500 u.m. ¿Qué
inversión es preferible según el VAN?
a) Depende de si el problema se plantea antes o después de la resolución de
la discrepancia.
b) Depende del tipo de descuento que se aplique.
e) A.
d) B.
12. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
572
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
e)
d)
13. Un préstamo de 10.000 u.m. a cinco años tiene una TAE del 9 po r 100 y se
amortiza con cuotas trimestrales constantes. De la c uota del prime r trimestre,
¿q ué parte corresponde a devo luc ión de princ ipal?
a) 500.
b) 642,73.
e) 417,73.
d) 404,33.
14. El coste del capital-acciones de una empresa es e l 10 por 100, retiene e l 40
por 100 ele sus beneficios y no tie ne endeudamie nto. ¿Cuál es e l coste ele su autofi nanc iación?
a) El JO por 100.
b) El 4 por 100.
e) E l 2,5 por 100.
d) Ninguna ele las otras.
15. Si la tasa ele inflación es e l I O por 100 an ua l, la re ntabilidad anual real de
una inversión es e l 12 por 100. ¿Cuál será su rentabilidad rea l para una tasa de
inflación del 20 por 100?
a) El 2 por 100.
b) El 1 ,66 por 100.
e) E l 2,67 por 100.
d) Ninguna de las otras.
16. Si la re ntabilidad económ ica de una e mpresa es e l 40 po r 100 y su capital
total ha rotado dos veces, ¿cuánto va le la rentabi lidad de sus ve ntas?
a) El 50 por 100 .
b ) El 80 por 100.
e) El 20 por 100.
d) Ni ng una de las otras.
17. Marque (o no ma rque, s i allí no lo hi zo) lo mis mo que e n la pregunta an te rior .
a)
b)
e)
d)
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
573
18. Una inversión que requiere un desembolso inicial de 400 u.m. dura dos
años y genera unos cobros de 600 u.m. el primer año y 800 el segundo. El primer año requiere un pago de 200 u.m. y el segundo otro de 400 u.m. ¿Cuánto
vale el índice de rentabilidad de esta inversión si su rentabilidad requerida es
el 12 por cien anual?
a) 0 ,23
b) 1,3
e) 2,21
d) 0 ,76
19. Del primer nudo de un árbol de decisión parten tres ramas. La primera tiene una probabilidad del 15 por 100 y termina en un nudo que tiene un valor asociado de 1.000 u.m.; la segunda tiene una probabilidad del 35 por 100 y finaliza en un nudo que tiene un valor asociado de 1.500 u.m.; la tercera termina en
un nudo cuyo valor asociado es -900 u.m. ¿Cuál es el valor asociado al nudo 1?
a) 1.500 u.m.
b) 225 u.m.
e) 35 u.m.
d) Ninguna de las otras.
20. ¿Cuántas soluciones existen en el siguiente programa lineal?:
Max z = l 2x + 9y
Restricciones: 5x +y> 5; x + 2y 2': 4; 4x + 3y 2': 24; x, y 2': O
a) Ninguna.
b) Una.
e) Dos.
d) Infinitas.
11 . RESPUESTAS CORRECTAS
574
Pregunta
Respuesta
correcta
Número
de problema
1
d
3.5.5
2
a
3.5.16
3
a
1.5 .16
4
c
1.6.34
5
a
2.4.12
6
d
1.5 .11
7
a
3.5.32
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
8
b
3.5.44
9
a
1.3.7
10
b
2.3 .1 0
11
a
3 .5 .20
12
e
13
el
3.5 .33
14
a
3 .5 .46
15
e
3 .4.4
16
e
2 .3 .11
17
e
18
b
3.9. 15
19
el
1.4.6
20
el
1.5 .1 2
2. PRUEBAS DE LAS PARTES 111 Y IV
2.1 . Primera prueba
1. ENUNCIADOS
l. Una empresa necesita adquirir unos componentes que puede comprar en e l
ex teri or por S.000 u.111. cada unidad , o fabric arlos ella con un cos te variable de
2.500 u.111. y un coste fijo anual de 200 .000 u.111. Se desea saber cuántos componentes debe necesitar al año corn o mínimo para que sea prefe r ib le fabr icarlos.
a) 40 u .f.
b ) 80 u.f.
e) 20 u.f.
d) Ning una de l as otras.
2. Una empresa tenía prev is to para el pasado año obtener un margen unitario
de 250 u .m . vendiendo su produc to a un prec i o unitario de 1.000 u.111. En real iclacl , ha vencl ido 7 .000 .000 el e un i d acles f ísicas con un coste variabl e un itari o
el e 600 u.111. ¿Cu,1n to ha valido su desv iac ión en cos tes?
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
575
a) 1.050.000.000 de u.m.
b) Hacen falta más datos.
e) 1.750.000.000 de u.m.
d) Ninguna de las otras.
3. Una empresa ha de elegir entre las ciudades A, B y C para ubicar una
planta industrial. Los costes de los factores objetivos en cada una de ellas son
400, 100 y 500 u.m., respectivamente. Se desea conocer los coeficientes de factores objetivos de cada una de las ciudades según el método de Brown-Gibson.
a) El coeficiente de la ciudad A es 0 ,1724.
b) El coeficiente de la ciudad B es O,6897.
e) Varias de las otras.
d) Ninguna de las otras.
4. Hasta llegar al consumidor, cierto producto sigue un canal formado por cinco intermediarios, cada uno de los cuales lo vende a un precio resultante de
aplicar un 12 por 100 de margen sobre el precio en que lo vende. ¿Qué precio
deberá fijar el fabricante al primer intermediario para que el precio pagado por
el consumidor sea de 200 u.m.?
a) 113,49 u.m.
b) 152 u.m.
e) 105,55 u.m.
d) Ninguna de las otras.
5. Al aumentar el precio de un producto de 50 a 60 u.m., sus ventas mensuales
se han reducido de 500 a 400 u.f. , sin que exista otra razón que pueda explicar
esa disminución. ¿Cuánto vale la elasticidad de la demanda respecto al precio
en ese intervalo?
a) 0 ,6053.
b) 1,2222.
e) 0 ,5789 .
d) Ninguna de las otras.
6. Para estudiar la eficacia de la publicidad en vallas se han tomado tres ciudades similares, realizándose una campaña fuerte en la primera, una intermedia en la segunda y ninguna en la tercera. Transcurrido un tiempo, se midieron
las ventas en ocho semanas y se calcularon las ventas medias semanales , que
resultaron ser 230 en la primera ciudad, 170 en la segunda y 80 en la tercera. Se
desea conocer la dispersión factorial.
576
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
a) 2 1.058,33 .
b ) 9 1.2 00 ,00.
e) 705.600,00.
d) N ing una de las o tras .
7. Marque (o no marque, s i a llí no lo hi zo) lo m ismo que e n la pregunta anterior:
a)
b)
e)
d)
8. En una e mpresa, según los índices de Las peyres, s u producc ión ha a ume ntado un 15 por 100 y ha utilizado un JO por 100 menos de factores . ¿En qué
po rcentaj e se ha modificado s u produc ti vidad g lobal?
a) 25,22 por 100.
b) 27 ,78 por I OO.
e) 50 por !OO.
d ) Ningu na de las o tras .
9. Marque (o no marque, s i a llí no lo hizo) lo mismo que e n la pregunta a nterior:
a)
b)
e)
d)
10. La distribuc ión por c lases sociales de las 1.000 pe rsonas e nc uestadas y d e
las IOO que res ultaron consumidoras de l produc to e n c uestió n es la s ig ui e nte:
e
3.000
500
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
577
¿ Cuánto vale el coeficiente de discriminación del método de la x2 , S, en la
mejor segmentación posible?
a) 190 ,47.
b) 300,71.
e) 17,58.
d) Ninguna de las otras.
11. Cierto producto tiene un coste variable unitario de 15 u.m. y su demanda
tiene la siguiente ecuación:
q = 175.000 - 300p
Se desea determinar el precio que maximiza el beneficio anual.
a) 367 ,53 u.m.
b) 253,24 u.m.
e) 299,16 u.m.
d) Ninguna de las otras.
12. Los factores subjetivos que se consideran en 1a localización de una instalación son X, Y y Z, por cuya importancia relativa se les ha asignado unas ponderaciones del 10, 20 y 70 por ciento, respectivamente. Al estimar la medida en
la que cada uno de los factores se encuentra presente en cada una de las tres
ciudades que se piensan como posibles localizaciones, se ha considerado que:
En la localidad A el factor X y el Y se encuentran presentes a nivel débil, y que el factor Z se encuentra presente a nivel fuerte.
En la localidad B, los tres factores se encuentran presentes a nivel intermedio.
En la localidad C , el factor X se encuentra presente a nivel débil, el Y a
nivel intermedio y el Z a nivel fuerte.
Se asigna un punto al cumplimiento de un factor a nivel débil , dos puntos a
su cumplimiento a nivel intermedio y cuatro puntos a su cumplimiento a nivel
fuerte. Los coeficientes de factores subjetivos de las tres ciudades de acuerdo
con el método Brown-Gibson son:
a) 0,345 por uno en la ciudad A.
b) O,385 en la ciudad B.
c) 0,27 en la ciudad C.
d) Ninguna de las otras ..
13. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
578
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
e)
e/)
14. Un bien ele eq uipo tiene un valor inicial de 10.000 u.m . y un valor res idual
de 2.000. Si se le amort izara por el método de los números dígitos crecientes,
la cuota del segundo año valdría 1.600 u.111 . ¿C uál será la cuota del segundo
año si se apl ica el método del tanto fij o sobre una base decreciente?
a) 3 .3 12,6 u.m .
b) 2.2 15,26 U.111.
C) 19 12,35 U.m.
el) Ninguna de las otra s.
15. En una tarea, la remuneración del tiempo ele trabajo efecti vo es de 500 u.m.
cada hora y D. Funedio tarda 3 horas en rea li zar la tarea. Bajo el sistema
Y ork, D . Funedio cobraría 3 .500 u.111. por tarea real izada . ¿Cm1l es el tiempo ele
ej ecuc ión para el que es máx ima l a prima po r tarea rea li zada en el si stema
Rowan?
a) 4 horas.
b) 2 horas.
c) 3 horas .
el) Ninguna de las anteri o res .
16. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior:
a)
b)
e)
d)
17. El beneficio bruto estándar prev isto para un producto era de 1.250 millones de u.111. con un margen de beneficio bruto unitario de 250 u.m . En realidad
se han vendido 7.000.000 de u .f. ¿Cuánto ha va lido la desviación en cantidades,
en millones de u .111.?
a) 142 ,86.
b ) 500.
e) 8.500.
d) Ninguna ele las otra s.
18. M arque (o no marque, si al lí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior:
a)
b)
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
579
e)
d)
19. Para la fabricación y venta de su producto, una empresa soporta unos
costes fijos de 600.000 u.m. cada año y un coste variable unitario de 30 u.m.
Trabajando a ritmo normal tiene capacidad para producir y vender 30 .000
u .f. anuales. ¿Cuál es el precio mínimo de este producto?
a) 50.
b) 30.
e) 40.
d) Ninguna de las otras.
20. Una empresa fabricante distribuye su producto en dos mercados, A y B. La
elasticidad de la demanda respecto al precio vale 2 en el mercado A y 1,5 en el
mercado B. El objetivo de la empresa es maximizar su beneficio. Si el precio
óptimo en el mercado B es 30, ¿ cuál es el precio óptimo en el mercado A?
a) 20.
b) 40.
e) 22 ,5.
d) Ninguna de las otras.
11. RESPUESTAS CORRECTAS
580
Pregunta
Respuesta
correcta
Número
de problema
l
b
5.1.2
2
a
7.2.5
3
e
6.1.3
4
a
8 .3 .18
5
b
8 .3.3
6
b
6.6.3
7
b
8
b
9
b
10
a
7.5.4
11
e
8.3.5
12
a
6.1.4
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
5.3.5
13
a
14
b
5.4.11
15
b
5.5. 15
16
d
17
b
18
b
19
b
8.3.7
20
a
8.4.3
7.2.6
2.2. Segunda prueba
1. ENUNCIADOS
l. En una e mpresa utilizan los factores de producc ió n A, B y C para e labo rar
los produc tos X, Y y Z. E n la s ig uiente tabla se recogen, e n unidades físicas y en
unidades mone tarias, las cantidades e laboradas de los tres productos y las
empleadas de los tres factores e n dos años consecuti vos.
¿Cuál ha s ido la tasa de prod uctiv idad g lo bal ?
Factor A
100
1.000
150
1.800
Factor 8
110
2.200
120
2.880
Factor C
200
6.000
190
6.840
Producto X
200
8.000
210
10.920
Producto Y
250
7.500
240
8.640
Producto Z
400
16.000
500
26.000
a) 8,3 1 por 100.
b) 1,0 83 por 100.
e) - 7 ,67 por 100.
el) N ing una de las otras .
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
581
2. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior:
a)
b)
e)
d)
3. La diferencia entre el precio de adquirir un componente fuera y su coste variable unitario si se fabrica dentro es el 0,25 por 100 del coste fijo anual total
que requiere fabricarlo dentro. ¿Para qué volumen de componentes anuales es
indiferente fabricarlos o comprarlos?
a) 4.
b) 400.
e) 2.500.
d) Ninguna de las otras.
4. Se ha adquirido un bien de equipo por 225.000 u.m. Sólo se le puede vender
en 25.000 u.m. cualquiera que sea el momento en el que se retire. El coste medio anual de mantenimiento (CMAM) depende de su duración en años según la
siguiente tabla:
1
2.500
2.500
2.550
4
5
2.700
2.085
Se aplica el método de amortización lineal y la inferioridad de servicio se ajusta a la siguiente expresión:
IS, = 20 .000 + 5 .000t
donde tes el número de años que dura el bien de equipo. ¿Cuál es su duración
óptima segun el método MAPI?
a) 1 año.
b) 3 años.
e) 5 años.
d) Ninguna de las otras.
5. Si la remuneración de la hora de trabajo es 1.000 u.m. y con el destajo se
percibirían 6.000 u.m. por tarea realizada, ¿para qué tiempo de ejecución de la
tarea es máxima la prima por cada tarea realizada en el sistema Rowan?
a) 6horas.
b) 10 minutos.
582
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
e) 3 horas.
e/) Ninguna de las otras.
6. ¿Cuál es la renta anual equivalente a un bien ele equipo que req uiere un desembo lso inicial ele 1.000 u.m. y que genera los siguientes flujos ele caja: 350
el primer año, 650 el segundo y 600 el tercero. Tipo ele descuento: 10 por 100 .
a) 304 ,50.
b) 303, 10.
e) 123, 11.
e/) Ninguna ele las otras.
7. Una empresa acaba ele co nstru ir un co mplejo valorado en 100.000 u.m. Al
final ele los cuatro años ele su duración se venderá el complejo en un valor
residual esti mado ele 20.000 u.m. Se desea saber el tanto que hay que aplicar
para amorti zarlo en el método del tanto fijo sobre una base amorti zable decrec iente.
a) 0,33 126.
b) 0 ,20.
e) 0 , 10.
e/) Ninguna ele las otras.
8. Una em presa di spone de los soportes S 1, S2 y S3 para dirig irse a una población objeti vo de 200.000 personas. Las aud iencias brutas de tales soportes
son de 40.000, 60.000 y 80.000 personas , respectivamente. Existen 10.000 personas expuestas al S I y al S2, 20 .000 al S2 y al S3 , y 16.000 expuestas al SI y
al S3 . E l número de personas expuestas a los tres soportes es ele 2.000. Se desea conocer la penetración neta ele los tres soportes .
a) 0 ,68.
b ) 0 ,67 .
e) 0 ,66.
e/) Ninguna ele las otras.
9. Un vendedor tiene un objetivo ele 500 unidades, su previ sión ele ventas era
450 y ha vendido 425. ¿Cuál es su prima bajo el sistema OPR?
a) 99porl00.
b) 108 por 100.
e) 105 por 100.
d) Ninguna de las otras.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
583
10. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
11. Una población se ha dividido en dos categorías dicotómicas, A y B. Se ha
tomado una muestra de 15.000 personas , de las que 2.500 resultaron pertenecer a la categoría A. El número de personas que resultan ser consumidoras del
producto en cuestión es de 7 50, de las que 650 pertenecen a la categoría B.
¿Cuánto vale el coeficiente S, correspondiente al método de la x2 ?
a) 25.
b) 625.
e) 6.
d) Ninguna de las otras.
12. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
13. Si la tasa de productividad global de una empresa ha sido el 30 por 100 y
su índice de evolución de los factores empleados de Laspeyres ha valido 95 por
100, su índice de evolución de la producción de Laspeyres ha sido:
a) 21,53 por 100.
b) 120 por 100.
e) 123,5 por 100.
d) Ninguna de las otras.
14. En una tarea, la remuneración del tiempo de trabajo efectivo es de 500 u.m.
cada hora y D. Funedio tarda 3 horas en realizar la tarea. Bajo esl sistema York,
D. Funedio cobraría 3.500 u.m. por tarea realizada. ¿Cuál es el tiempo de
ejecución para el que es máxima la prima por tarea realizada en el sistema
Rowan?
a) 4 horas.
b) 2 horas.
e) 3 horas.
d) Ninguna de las anteriores.
584
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
15. L os fac tores subjeti vos que se consideran en la loca li zació n ele una instal ac ión son X, Y y z. por cuya importancia relati va se les ha asig nado unas
ponderac iones del 10 , 20 y 70 por ciento. respecti vamente. A l estima r la
medida en la que cada uno ele los factores se encuentra presente en cada una de
las tres c iudades que se piensan como posibles local izaciones. se ha consi derado que:
- En la localidad A el facto r X y el Y se encuentran presentes a ni vel débil ,
y que el factor Z se encuentra presente a nivel fuerte.
- En la local idad 8 , los tres factores se encuentran presentes a nivel i ntenned io.
- En la local idad C, el factor X se encuentra presente a ni vel débil , el Y a
ni ve l intermed io y el Za ni vel fue rte.
Se asigna un punto al cumplim iento ele un factor a ni vel débi l , dos puntos a
su cumplimiento a nivel intermed io y cuatro puntos a su cumplimiento a nivel
fuerte. Los coefic ientes ele factores subjeti vos ele las tres c iudades de acuerdo
con el método Brown-Gibson son:
0 ,345 por uno en la c iudad A .
b) 0 ,385 en la ciudad B.
e) 0,27 en la c iudad C.
a)
d) N inguna de las otras.
16. L as ven tas g lobales de un producto en todo el sector ha sido de 35 mil lones de u .f. Se preveía un margen de benefi cio unitario estándar de 250 u.m. ,
una cuota de ventas está ndar de un 12,5 por 100 y un beneficio bru to estándar
de 1.250 mi ll ones de u.m . ¿C uál ha sido su desv iación en el tamaño del mercado , en mi l lones ele u.m .?
a) - J 56,25.
b) 65 ,25 .
e) - 312,5.
d) N inguna de las otras.
17. Para rea lizar una experimentación comercial se midieron las ventas en tres
mercados, A, B y C, durante doce semanas . A l elevar al cuadrado esos 36 datos
y sumar los resultados, se obtu vo 981.300. La venta media fu e de 200 ,8333 u.f
en el A , 160 ,8333 en el B y 124, 1667 en el C. ¿Cuánto va le la di spersión factor ia l?
4.875.
35 .289.
e) 40 .1 64 .
a)
b)
d) N inguna ele las otras.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
585
18. Hasta llegar al consumidor, cierto producto sigue un canal formado por
cinco intermediarios, cada uno de los cuales lo vende aplicando un margen de
beneficio del 12 por 100 de su precio de venta. Si el fabricante desea que el precio final de venta al consumidor sea de 100 u.m., ¿qué precio deberá aplicarle
en su venta al primer intermediario?
a) 56,74.
b) 52,77 .
e) 189 ,49.
d) Ninguna de las otras.
19. En una campaña publicitaria pueden utilizarse tres soportes: A, By C. Las
penetraciones de cada uno de ellos son las siguientes, en tanto por uno: 0,6 el
A, 0,2 el By 0,5 el C. Las penetraciones conjuntas son: 0,1 el A y el B; 0,2 el
A y el C; 0,1 el By el C, y 0,025 el A, el By el C. ¿Cuánto vale la penetración
neta de los tres soportes en tanto por uno?
a) 0,875.
b) 0 ,950.
e) 0,925.
d) Ni nguna de las otras.
20. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
11. RESPUESTAS CORRECTAS
586
Pregunta
Respuesta
correcta
Número
de problema
1
a
5 .3.3
2
a
3
b
5.1.3
4
b
5.4.8
5
c
5.5.9
6
c
5.4.4
7
a
5.4.10
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
8
a
8.5.2
9
a
8.6.5
10
a
11
e
12
e
13
e
5.3.6
14
b
5.5.15
15
a
6.1 .4
16
a
7.2.7
17
b
7.6.2
18
b
8.3. 18
19
e
8.5.4
20
e
7.5.5
2.3. Tercera prueba
l. ENUNCIADOS
l. La distribuc ión por cl ases soci ales ele las 15 .000 per sonas encuestadas y ele
las 750 que resultaron consu midoras del producto en cuestión es la si guiente:
A
8
8.500
590
e
4.000
60
¿Cuánto vale el coefi ciente ele di scriminac ió n del método ele la x2 , S, en l a
mejor segmentac ión posible?
a) 147,83.
b) 133 ,64.
e) 6 .
e/) Ninguna ele l as otras.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
587
2. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
3. Una persona tarda 10 horas en realizar una tarea cuyo tiempo previsto es de
12 horas. El salario del tiempo de trabajo efectivo es de 1.000 u.m. por hora.
¿Qué remuneración percibe esta persona por tarea realizada según el destajo?
a) 12.000 u.m.
b) 12.500 u .m.
e) 13.375 u.m.
d) Ninguna de las otras.
4. Una empresa ha de elegir entre las ciudades A, B y C para ubicar una
planta industrial. Los costes de los factores objetivos en cada una de ellas son
400, 100 y 500 u.m., respectivamente. Se desea conocer los coeficientes de factores objetivos de cada una de las ciudades según el método de Brown-Gibson.
a) El coeficiente de la ciudad A es 0,1724.
b) El coeficiente de la ciudad Bes 0 ,6897.
e) Varias de las otras.
d) Ninguna de las otras.
S. Para aplicar el método Brown-Gibson en la selección de la localización de
una instalación , una empresa ha evaluado las ciudades A, B y C, obteniendo los
tres coeficientes de factores objetivos siguientes: 0,1724 para A, 0,6897 para B
y 0,1379 para C. Los coeficientes de factores subjetivos han sido 0 ,345, 0,27 y
0,385, respectivamente. Se desea conceder a los factores objetivos una importancia cuatro veces superior que a los subjetivos y no existe ninguna ciudad
en la que el coeficiente de un factor crítico valga cero. Por consiguiente, los índices de localización valen:
a) 0,20692 en la ciudad A.
b) O,50450 en la ciudad B.
e) 0,15899 en la ciudad D.
d) Ninguna de las otras.
6. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
588
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
e)
d)
7. El desembol so inicial de un bien de equipo es de 50 u.m. y genera lres flu jos de caja anual es: 35 el primer año , 50 el segundo y 6 el tercero. Si el tipo de
descuento adecuado a este análi sis es el 10 por 100, ¿cuánto va le la renta
anual equi valente a este bien ?
a ) 30,6 1.
/J) 24,62.
e) 12,3 1.
d) Ningun a de las otras.
8. Los factores subjetivos que se consideran en la localización de una instalación son X , Y y Z, por cuya importancia relati va se les ha asignado unas ponderaciones del 10, 20 y 70 por ciento, respecti vamente. Al estimar la medida en
la que cada uno de los factores se encuentra presente en cada una de las tres
ciudades que se piensan como posibles localizac iones, se ha considerado que:
- En la localidad A el factor X y el Y se encuentran presentes a nivel débi l ,
y que el factor Z se enc uentra presente a ni vel fuerte.
- E n la local idad B, los t res factores se encuentran presentes a nivel in tenned io.
- En la localidad C , el factor X se encuentra presente a ni ve l débil , el Y a
nive l intermed io y el Za ni vel fuerte.
Se asigna un punto al cu mplimiento de un fac tor a ni vel débi l , dos puntos a
su cumplimiento a ni vel interm edio y cuatro puntos a su cumplimiento a ni vel
fuerte. Los coeficientes de factores subjetivos de las tres ciudades de acuerdo
con el método Brow n-G ibson son:
a) 0,345 por uno en la ciudad A.
/J) 0,385 en la c iudad B .
e) 0,27 en la ci udad C .
d) Ni nguna de las otras.
9. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
10. Según los índices de L aspeyres, la producción ha aumentado un 6 por 100
y se han utilizado un 5 por ciento menos de factores . Por consiguiente el IPG
ha val ido:.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
589
a) 1,1053.
b) 1,1579.
e) 1,1158.
d) Ninguna de las otras.
11. Un bien de equipo tiene un valor inicial de 10.000 u.m. y un valor residual
de 2.000. Si se le amortizara por el método de los números dígitos crecientes,
la cuota del segundo año sería 1.600 u.m. ¿Cuál será la cuota del segundo año
si se aplica el método del tanto fijo sobre una base decreciente?
a) 1.632,44.
b) 1.593 ,12.
e) 2.215,26.
d) Ninguna de las otras.
12. Una empresa dispone de los soportes Sl, S2 y S3 para dirigirse a una población objetivo de 1.000.000 de personas. Los costes por inserción son
160.000, 190.000 y 200.000 u.m., respectivamente. Las audiencias brutas de tales soportes son de 400.000, 500.000 y 600.000 personas, también respectivamente. Existen 100.000 personas expuestas al Sl y al S2, 200.000 al S2 y al
S3, y 350 .000 expuestas al S 1 y al S3. El número de personas expuestas a los
tres soportes es de 75.000. Se desea el ratio de coste unitario del plan consistente en realizar una sola inserción en cada uno de los tres soportes.
a) 4 ,04.
b) 0,25.
e) 0,5946.
d) Ninguna de las otras.
13. Un vendedor tiene un objetivo de ventas de 3 .000 unidades y su previsión
es 3.200. ¿Cuánto vale su porcentaje de prima para unas ventas de 2.700 en el
sistema OPR?
a) 132 por 100.
b) 140 por 100.
e) 98 por 100.
d) Ninguna de las otras.
14. Una empresa tiene un coste fijo anual de 300.000 u.m. y un coste variable
unitario de 15 u.m. A ritmo normal produce 30.000 u.f. anuales. ¿Cuál es su
precio mínimo?
a) 25 u.m.
b) 15 u.m.
e) 57 ,25 u.m.
590
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
e/) Ninguna de las olras.
15. Segú n los consumi dores consultados, la ma rca de refrescos A tiene 3
puntos en burbujas y 8 en du lzor, en lanlo que la posición ideal es 5 en burbujas
y 6 en dulzor. ¿Cuá l es la d istancia de la marca A a la pos ición ideal ?
o) 1,4 1.
b) 4.
e) 2.
e/) N inguna ele las otras.
16. Una empresa tenía prev isto para el pasado año obtener un margen unilario
ele 250 u.m . vendiendo su producto a un precio unitario de 1.000 u.m. En realidad ha vendido 7 .000.000 ele unidades físicas con un cos te variable unitario
de 600 u.m. ¿Cuánto ha valido su desv iación en costes?
a) 1.050.000.000 de u .111 .
b) Hacen fa lta más datos.
e) 1.750.000.000 de u.m.
e/) N inguna de las otras.
17. Marque (o no marqu e, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anteri or.
a)
b)
e)
el)
18. Se ha encuestado a J0.000 personas, de las que 1.000 resultaron ser co nsumi doras del producto. Su d istribu ción según su estado ci v il es la siguiente:
Muestra
Consum idores
4.000
5.000
500
500
425
500
60
15
Según el análi sis de la varian za, la mejor agru pación es aquella en la que
una de las dos ca tegorías es:
o) S + C .
b) V.
e) D.
e/) N ingun a de las otras.
PRUEBAS O BJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓ N
591
19. Para fijar el precio a un bolígrafo se ha pedido a 500 personas que señalen
en una lista el precio máximo (PM) para el cual y por encima del cual no comprarían el bolígrafo y aquel tan bajo (PB) que les resultaría indicativo de baja
calidad y dejarían de adquirirlo a ese precio o a cualquier otro inferior. Los resultados tabulados son los siguientes:
25
=~:m::.::~¡m¡':m::iE~== 50
20
50
30
35
40
100
150
150
25
200
30
35
170
65
45
50
40
15
¿Cuál es el precio para el que el producto es aceptado por mayor número de
consumidores?
a) 35.
b) 40.
e) 45.
d) Ninguna de las otras.
20. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
11. RESPUESTAS CORRECTAS
592
Pregunta
Respuesta
correcta
Número
de problema
1
a
7.5.3
2
a
3
a
5.5.2
4
e
6.1.3
5
a
6.1.5
6
a
7
d
5.4.5
8
a
6.1.4
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
9
a
10
e
5.3.9
11
e
5.4. 11
12
e
7.5.3
13
e
7.6.2
14
b
7.3.9
15
d
7.1.2
16
a
7.2.5
17
a
18
b
7.5.7
19
a
7.3.2 1
20
a
2.4. C uarta prueba
l. ENUNCIADOS
l. ¿Qué porcentaje de prima OPR corresponde a un vendedor c uando coi nciden su objeti vo, sus previsiones y sus ventas efecti vas?
a) 60 .
b) 120.
e) J 80 .
e/) Ninguna de las otras.
2. H asta llegar al consumidor , cierto producto sigue un canal formado por cinco i ntermediarios, cada uno de los cuales lo vende a un precio resu ltante de
aplicar un 12 por 100 de margen sobre el precio en que lo vende. ¿Qué precio
deberá fijar el fabricante al primer intermediario para que el precio pagado por
el consumidor sea de 200 u.m.?
a) J 13,49 U.111.
b) J52 U.111 .
e) 105 ,55 U.111 .
e/) Ninguna de las otras.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
593
3. Una empresa tiene un coste fijo anual de 500.000 u.m. y un coste variable
unitario de 20 u.m. A ritmo normal produce 20.000 u.f. anuales. ¿Cuál es suprecio mínimo?
a) 45 U .ID.
b) 15 U.ID.
e) Hacen falta más datos.
d) Ninguna de las otras.
4. Según los consumidores consultados, la marca de refrescos A tiene 3 puntos en burbujas y 8 en dulzor, en tanto que la posición ideal es 5 en burbujas y
6 en dulzor. ¿ Cuál es la distancia de la marca A a la posición ideal?
a) 1 ,41.
b) 4.
e) 2.
d) Ning una de las otras.
5. En una empresa , la productividad global ha subido un 20 por 100 y, según
el índice de Laspeyres, su producción se ha reducido un 20 por 100. ¿En qué
porcentaje se ha modificado la cantidad de factores que ha utilizado, según ese
índice?
a) - 100 .
b) - 40 por 100.
e) - 50por100.
d) -33,33 por 100.
6. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
7. La distribución por edades de las 10 .000 personas encuestadas y de las 1.000
que resultaron consumidoras del producto en cuestión es la siguiente:
594
J
3.000
250
A
5.000
600
N
2.000
150
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
¿Cu,ín to va le el coeric iente de d iscriminación del método de la x2 , S, en In
mejor seg mentació n pos ibl e?
a) 15,62.
b) 40.
e) 5 1,90.
d) N inguna de las otras.
8. L a matriz de tran sición, que se supone estacionaria , de cierto mercado en el
que compiten tres marcas ele un producto que se adquiere semanalmente es la
siguiente:
/J11 P1 2
[0 ,5 0 ,1 0,4]
P 2 1 P 22 P 2 .1
= 0 ,1 0 ,8 0 , 1
[
P .11 Pn Pn
0 ,3 0 ,2 0 ,5
/J "]
¿Hac ia qué cuota ti ende la marca I a largo plazo?
a) 0,4333.
b ) 0 ,2666.
e) 0 ,3.
d) Ni nguna de las otras.
9. M arque (o no marqu e, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anten or.
a)
b)
e)
el)
10. Los factores subjeti vos q ue se consideran en la localizac ión de una in stalación son X, Y y Z, por cuya importancia relati va se les ha asignado unas ponderaciones del IO, 20 y 70 por ciento , respecti vamente. A l estimar la medida en
la que cada uno de los factores se encuentra presente en cada una de las tres ciudades que se piensan como pos ibles localizaciones, se ha considerado que:
- En la local idad A el factor X y el Y se encuentran presentes a ni vel débi 1,
y que el factor Z se encuentra presente a ni vel fue rte.
- En l a local iclad B , los tres factores se encuentran presentes a nivel i ntermedio .
En la localidad C, el factor X se encuentra presente a nivel débil , el Y a
nivel i ntermedio y el Z a nivel fuerte.
Se asigna un punto al cumplim iento de un facto r a ni vel débil , dos puntos a
su cumplimiento a nivel i nter medio y cuatro puntos a su cumplim iento a ni vel
fuerte. L os coe ficientes de factores subj eti vos de las tres c iudades ele acuerdo
con el método Brown-Gibson son:
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
595
a) 0,345 por uno en la ciudad A.
b) 0,385 en la ciudad B.
e) 0,27 en la ciudad C.
d) Ninguna de las otras.
11. Marque (o no marque , si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
12. El coste total anual de la fabricación de un producto es de 500 millones de
u.m. y se fabrican 100.000 u.f. al año. ¿Cuánto vale su precio mínimo?
a) 200.
b) 5.000.
e) Faltan datos.
d) Ninguna de las otras.
13. Si a una persona que tarda 5 horas en realizar la tarea se le pagase con el
sistema Rowan , el incentivo horario valdría 6.250 u.m. y conseguiría la máxima
prima realizando la tarea en 4 horas. ¿Cuánto cobra por tarea realizada si trabaja bajo el sistema de destajo?
a) 80.000.
b) 20.000.
e) 5 .000.
d) Ninguna de las otras.
14. En la siguiente tabla se recogen los valores de retiro (V,) y el valor de los
flujos restantes (VAR,) de un equipo en los cuatro años de su duración técnica.
¿Cuál es su duración óptima si el tipo de descuento es el 10 por 100?
596
1
150
205,035
2
95
135,535
3
60
59,090
4
o
o
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
a) Un año.
b) Dos años.
e) Tres años.
e/) C ua tro años.
15. U na e mpresa tiene un coste varia ble unitari o de 300 u.m. y un coste fijo
a nual de J .200.000 u.m. Su vo lume n anual de ventas, a ritmo de trabajo normal ,
es de 20 .000 u.f. ¿Qué porcentaje mínimo de margen bruto unitario, sobre prec io de venta, ha d e establecer para que se c ubran s us costes fij os?
a) 14 por 100.
b) 20 po r 100.
e) 25 po r 100.
e/) N ing una de las otras .
16. La distribuc ió n por c lases sociales de las 10.000 pe rsonas e nc uestadas y
de las 1.000 que resultaron consu midoras del produc to e n c uestión es la s ig uie nte:
A
2.500
250
M
4.000
600
B
3.500
150
¿Cuánto vale e l coefi c ie nte de di scriminac ión del análisis d e la va rian za ,
D 1_ 2 , e n la mejor segme ntac ió n pos ible?
a) 16 ,67.
b) O.
e) 17 ,58 .
e/) Ning un a de las otras.
17. Para aplicar e l método Brown-Gibson e n la selecció n de la localización de
una instalación, una e mpresa ha evaluado las ciudades A , B y C, obtenie ndo los
tres coefici e ntes de fac tores objetivos s iguientes: O,J724 para A , 0,6897 para B
y O, 1379 para C. Los coeficientes de facto res subjeti vos han s ido 0 ,345, 0 ,27 y
0 ,385, respec ti vamente. Se d esea concede r a los factores o bje ti vos una importanc ia c uatro veces superior que a los subjetivos y no ex iste ning una c iudad
e n la que el coefi ciente de un fac tor crítico valga cero. Por cons ig uie nte, los índices de localizac ió n vale n:
a) 0 ,20692 e n la c iudad A .
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
597
b) O,50450 en la ciudad B.
0,15899 en la ciudad D .
d) Ninguna de las otras.
e)
18. Una empresa tenía previsto vender el pasado año 5.000.000 de u.f. de su
producto, suponiendo que las ventas totales de la industria fueran 40.000 .000
de u.f. En ese caso habría obtenido un beneficio bruto de 10.000.000.000 de
u.m. En realidad, las ventas totales de toda la industria han sido de 35 .000.000
de u.f. ¿Cuánto vale la desviación en el tamaño del mercado?
a) -156.250.000.
b) - 175.050.000.
e) -136.450.000.
d) Ninguna de las otras.
19. Una empresa se dedica a comprar en el extranjero, por un precio unitario
de 812.500 u.m., un producto que vende en España. Cada año compra y vende
400 u.f. del producto. El coste de gestión de cada pedido es de 781.250 u.m. y
el coste de tener una unidad de producto almacenada durante un año es de
168 .750 u.m., excluyendo los costes financieros. El coste de oportunidad del
capital es el 10 por 100. ¿Cuántos pedidos debe realizar al año? Tómese el año
comercial.
a) 50.
b) 25.
7,2.
d) Ninguna de las otras.
e)
20. Una persona tarda 3 horas en realizar una tarea cuyo tiempo previsto es de
4 horas. El salario del tiempo de trabajo efectivo es de 2.500 u.m. por hora.
¿ Qué remuneración percibe esta persona por tarea realizada según el sistema
Rowan?
a) 10.000 u.m.
b) 6.500 u.m.
e) 9.375 u.m.
d) Ninguna de las otras.
11. RESPUESTAS CORRECTAS
598
Pregunta
Respuesta
correcta
Número
de problema
1
b
8.6.4
2
c
8 .3.18
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
3
el
8.3. 10
4
el
8 .1.2
5
u
5 .3.7
6
el
7
b
7 .5.4
8
b
7.3.3
9
b
10
a
11
a
12
e
8 .3 .11
13
a
5.5. 10
14
e
5 .4.7
15
el
8.3. 13
16
e
7 .5.7
17
a
6 .1.5
18
el
7 .2 .8
19
el
6.4.4
20
e
5 .5.8
6.1 .4
3. PRUEBAS GLOBALES
3. 1. Primera prueba
1. ENUNCIADOS
l. En principio , pensábamos que una moneda era perfecta , pero recibimos un
mensaje que d ice que ex iste una probabi lidad del 20 por 100 de que salga cara. Si
la información se m iele en nits, ¿cuál es la informac ión ele canal ele ese mensaje?
a) O, 13.
b) 0 , 19.
e) 0 ,18.
d) 0, 12.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
599
2. En la siguiente matriz, P es el perdedor, y G es el ganador. ¿Cuántos puntos
de silla existen?
Estrategias de P
Estrategias de G
B
300
150
180
e
220
180
190
a) Ninguno.
b) Uno.
e) Dos.
d) Tres.
3. Un decisor ha de tomar la decisión Dl o la D2. Si se decide por Dl, puede
suceder El, con una probabilidad de 40 por 100, o E2. Si se decide por D2,
puede suceder E3, con una probabilidad del 20 por 100, o E4 . Tanto si sucede
El, como si suceden E2, E3, o E4, a continuación pueden suceder A o B, que
tienen la misma probabilidad. Si finalmente sucede A, el decisor gana 1.000
u.m., en tanto que si sucede B , gana 2.000 u.m. ¿Qué decisión es preferible?
a) El.
n) E2.
e) NiE1,niE2.
d) Las dos decisiones son indiferentes entre sí.
4. Si se compra un terreno y se descubre agua subterránea, se ganan 80.000
u.m., pero, si no se descubre agua, se pierden 20.000 u.m. La probabilidad de
que no haya agua es del 60 por 100 ¿Cuál es el límite máximo que se puede pagar por cualquier información relativa a la existencia de agua?
a) 32.000 u.m.
b) 38.000 u.m.
e) 30.000 u.m.
d) 20.000 u.m.
5. Los inversores de cierto mercado de capitales esperan que el próximo dividendo por acción de cierta empresa sea de 100 u.m. y que posteriormente
crezcan a una tasa interanual del 12 por 100. La cotización actual de cada acción es de 500 u.m. ¿Cuál es el coste del capital obtenido mediante emisión de
acciones de esta empresa?
600
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
a) 35 por I OO.
b) 30 por 100.
e) 32 por 100.
d) 22 por I OO.
6. Del primer nudo ele un árbol ele decisión parten varias ramas. Una ele ellas
( la rama PG) tiene su destino en un nudo aleatorio del que parten tres rama s. La
primera tiene una probab il idad de 0,65 y tiene en un resultado final de 1.000.
La segunda tiene una probabilidad de 0,10 y finaliza en un resultado de 500. La
tercera tiene una probabilidad de 0,25 y un resultado fina l de - 100. ¿Cuál es
la desv iación típica de l a decisión correspond iente a l a rama PG?
a) 47 1.
b ) 22 1.875 .
e) 675.
d) 455.625.
7. El valor sustancial de una empresa es de 50 u.m. y se espera que obtenga un
beneficio anual de 25 u.m. Se desea conocer su fondo de comercio por el
método directo considerando que el ti po de rentabilidad norma l es el 12 por
100 , que, para actual izar los benefi cios, ha de aplica rse un tipo del 15 por I 00
y que la empresa durará 15 años.
a) 192,36 U.m.
b) 111,1 U.m.
e) 292,36 U.m.
d) 222,2 U.111.
8. En relación al beneficio neto de una empresa, sus costes finan cieros representan un 10 por 100. Sus costes fij os no financieros representan un 20 por JOO
de su benefi cio económi co. ¿En qué porcentaje se modificará su rentabilidad financiera si sus ventas crecen un 50 por l 00?
a) En un 100 por 100.
b) En un 75 por 100.
e) En un 66 por 100.
e/) En un 50 por 100.
9. ¿Cuántas soluciones existen en el siguiente programa lineal ?
Maximi zar: Z = 4x + 6y
4.r + 2y 2: 4
3x + 2y 2: 6
2x + 3y :-s 6
..\", y 2: o
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
601
a) Una.
b) Dos.
e) Tres.
d) Infinitas.
10. En un grafo PERT sólo existen tres actividades reales. La actividad A parte del nudo 1 y termina en el 2. La actividad B parte del nudo 1 y termina 3. La
actividad C parte del nudo 2 y termina en el 3. ¿Es correcto?:
a) Si .
b) No porque falta una actividad ficticia.
e) No porque sobra un nudo.
d) No porque falta un nudo .
11. Una empresa tiene un perfodo medio de maduración económico de 6
días. Cada operario cobra 1.000 u.m. por hora trabajada, diariamente se aplican
32 horas/hombre y el período medio que transcurre desde que se incorpora la
mano de obra al proceso productivo hasta el momento de su pago es de 3 días.
¿Qué fondo de maniobra necesita esta empresa para el pago de mano de obra?
a) 32.000 u.m.
b) 96.000 u .m.
e) 48.000 u.m.
d) Faltan datos.
12. Un Banco desea calcular la rentabilidad real de un préstamo que tiene un
tipo de interés del 16 por 100 , sabiendo ,que la inflación anual es el 6 por 100 .
a) 16 por 100.
b) 20,75 por 100.
e) 9,43 por 100.
d) 10,64 por 100.
13. Una inversión requiere un desembolso inicial de 62,5 u.m. y genera los siguientes flujos de caja: 30 u .m. al cabo de un mes, 20 u.m. al cabo de un semestre y 50 u.m. al cabo de dos años. Si la rentabilidad anual requerida es el
12 por 100, ¿cuánto vale su VAN?
a) 88,476 u.m.
b) 25,976 u.m.
e) 37,500 u.m.
d) 122,377 u.m.
14. Una inversión tiene flujos de caja anuales constantes y una duración ilimitada. Si el único requisito que se le exige es que tenga una rentabilidad anual
602
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
mínima del 20 por 100, ¿qué plazo de recuperació n máx imo se le está ex ig iendo?
a ) 15 aiíos .
b) 12 años.
e) 4 años.
d) Ninguna de las otras.
15. Una empresa emite un empréstito de 100.000 obligacio nes que tienen un
nomina l de 1.000 u.m . cada un a y un pl azo de amo rti zación de dos años, sin
prima ni quebranto de emisión ni de reembo lso, siendo su tipo de interés
anual el 15 por 100. El sindicato bancario encargado ele colocar la emisión entre sus clientes le cobra a la e mpresa un 5 por 100 del importe emitido . ¿C uál
es el coste ele este empréstito?
a) 15 por 100 .
b) 18,2 por 100 .
e) 2 1,22 por 100 .
d) 16,37 por I OO.
16. ¿Cuántas sol uciones ex isten en el siguiente programa linea l ?:
Min z = 12x+9y;
Restricc iones: 5x +y > 5; x + 2y ~ 4; 4x + 3y ~ 24 ; x, y 2c: O
a) Ninguna .
b) Una.
e) D os .
d) rnf i ni tas.
17. Una empresa tiene un acti vo valorado en 120.000 u.m. que fin ancia co n
deudas en un 25 por 100. L as ventas de su produc to duplican su punto muerto
y su benefi c io neto triplica sus costes fin ancieros . ¿En qué po rcentaje aumentará su rentabilid ad fin anciera si sus ventas aumentan un 20 por 100?
a) 22,5 por 100.
b) 24,3 por l OO.
e) 53,4 por 100.
d) 2 1,2 por 100.
18. El margen bruto un itario ele un producto representa el I por mil de sus costes fijos anuales y se vende a un precio unitari o ele 10.000 u.111 . ¿Cuánto vale su
pun to muerto?
a) 1.000 u .f.
b) 2 u.f.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
603
e) 18.000 u.f.
d) Faltan datos .
19. Las ventas del producto de una empresa triplican su punto muerto, y su beneficio neto duplica sus costes financieros. ¿Cuánto vale su apalancamiento total?
a) 6.
b) 2,25.
e) 2,67.
d) 3,25.
20. Una población se ha dividido en dos categorías dicotómicas, A y B . Se ha
tomado una muestra de 10.000 personas, de las que 6.800 resultaron pertenecer a la categoría A. El número de personas que resultaron ser consumidoras del
producto en cuestión, es de 2.000, de las que 670 pertenecen a la categoría B.
¿Cuánto vale el coeficiente que, en el método del análisis de la varianza, permite determinar el criterio de segmentación que es preferible?
a) 98,90.
b) 0,41.
e) 26,05.
d) 9,89.
11. RESPUESTAS CORRECTAS
604
Pregunta
Respuesta
correcta
Número
de problema
1
b
1.2.6
2
a
1.1.15
3
d
1.4.4
4
a
1.4.15
5
c
3 .5 .41
6
a
1.4.5
7
b
4.4.6
8
c
4 .2 .3
9
d
1.5.17
10
a
1.6.8
11
b
2.4.14
12
c
3.4.5
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
13
14
15
3.5.5
3.9.11
b
d
3.4. 10
1.5.1 3
4.2.6
b
16
17
18
b
19
b
4. 1.4
4.1.16
20
b
7.5.8
e
a
3.2. Segunda prueba
l. ENUNCIADOS
l. En la siguiente matriz, Pes e l perdedor y G es el ganador. ¿Cuántos puntos
de s il la ex isten?
Estrategias de P
A
Estrategias de G
B
200
- 100
- 40
e
40
- 40
- 20
a) N ing uno.
b) U no.
e) Dos.
d) Ni ngu na de las otras.
2. En principio, pensábamos que una moneda era perfec ta , pero recib imos un
mensaje que dice que ex iste una probabilidad del 33 por 100 de q ue salga cara.
Si la informació n se mide en n its, ¿cuál es la información de canal de ese mensaje?
a) 0,13 .
b) 0,059.
e) 0, 18875.
d) Faltan datos.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
605
3. Un decisor ha de tomar la decisión Dl o la D2. Si se decide por Dl, puede
suceder El, con una probabilidad de 40 por 100, o E2. Si se decide por D2 ,
puede suceder E3, con una probabilidad del 20 por 100, o E4. Tanto si sucede
El , como si suceden E2, E3 , o E4, a continuación pueden suceder A o B, que
tienen la misma probabilidad. Si finalmente sucede A, el decisor gana 1.000
u.m. , en tanto que si sucede B, gana 2.000 u.m. ¿Qué decisión es preferible?
a) El.
b) E2.
e) NiEl,niE2.
d) Las dos decisiones son indiferentes entre sí.
4. Para conseguir una información perfecta debemos pagar 6.000 u.m. y el resultado de la misma puede ser el suceso A, con el que ganaríamos 40.000
u.m., o el suceso B , con el que perderíamos 20.000 u.m. La probabilidad de
que suceda A es del 60 por 100. ¿Cuál es el valor esperado neto de la información perfecta?
a) 16.000 u.m.
b) 10.000 u.m.
e) 18.000 u.m.
d) Ninguna de las otras.
S. El beneficio neto anual disponible para los accionistas de Truned, S.A., es
128 u.m. y su valor sustancial importa 900 u.m. ¿Cuánto vale el fondo de comercio de esta empresa por el método directo, si sus accionistas pueden obtener en el mercado financiero un tipo de interés normal del 10 por 100?
a) 3,8 u.m.
b) 380 u.m.
e) 90 u.m.
d) 450 u.m.
6. Al reducirse un 10 por 100 las ventas del producto de una empresa, su beneficio económico se reduce un 10,53 por 100. Si su coeficiente de apalancamiento financiero vale 1,1168, ¿en qué porcentaje se modificará su rentabilidad
financiera?
a) - 17 ,6 por 100.
b) - 11,76 por 100.
e) - 10,17 por 100.
d) - 12,37 por 100.
7. Una empresa tiene un activo que vale 60 millones de u .m. financiado al 20
por 100 con deudas a las que abona un interés del 8 por 100 anual, y su apa-
606
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
lancamiento operati vo vale 1,2. ¿En qué porcentaje aumentará su rentabilidad
eco nómica si sus ventas aumentan un 12 por 100?
a ) 16 por 100.
b ) 14,4 por I OO.
e) 13,824 porl00.
d ) .18 por 100.
8. L os cos tes f'ijos anua les ele una empresa valen 100 u.m. Si el cos te variable
unitario ele su producto es igual a I O u.m. y vende la unidad en 6 u.m. , el punto muerto:
a) Vale O.
b) E s infinito.
e) Vale -25.
d) No exi ste.
9. ¿Cuántas soluc iones ex isten en el siguiente programa l ineal:
Min imi zar: Z = l 6x + Sy
4x + 2y 2:'.: 4
3x + 6y 2:'.: 6
x + y 2:'.: l
x,y 2:'.: O
a) Ni nguna.
b) Una.
e) D os.
d) Infinitas.
10. En un proyecto que consta de 8 actividades: la actividad A precede a las acti vidades D, F y G ; la actividad D precede a la E; las activ idades E , F y G preceden a la C y a la H; y la C precede a la B. ¿Cuántas actividades ficticias existen en el grafo-PERT correspondiente?
a) Ninguna .
b) Dos.
e) Una.
d ) Tres.
11. Una empresa cuyo período de maduración económico es de 83 días paga al
contado todos sus gastos sal vo las materia s primas, de l as que adq uiere y
consume 20.000 u.m. al año. Se desea conocer su período medio de maduración
f inanc iero , sabiendo que mantiene una deud a media con sus proveedores de
4.000 U.m.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
607
a) 73 días.
b) 10 días.
e) 93 días.
d) 30 días.
12. Para aplicar el método Brown-Gibson en la selección de la localización de
una instalación, una empresa ha evaluado las ciudades A, By C, obteniendo los
tres coeficientes de factores objetivos siguientes: 0,1724 para A, 0,6897 para B
y 0 ,1379 para C. Los coeficientes de factores subjetivos han sido 0,345, 0,27 y
0,385, respectivamente. Se desea conceder a los factores objetivos una importancia cuatro veces superior que a los subjetivos y no existe ninguna ciudad
en la que el coeficiente de un factor crítico valga cero. Por consiguiente, los índices de localización valen:
a) 0,20692 en la ciudad A.
b) O,50450 en la ciudad B.
e) 0,15899 en la ciudad D.
d) Ninguna de las otras.
13. Los dividendos de una acción crecen un 12 por 100 cada año y su cotización actual es de 1.750 u.m. ¿Cuál será su cotización dentro de un año si se
mantiene su rentabilidad requerida?
a) Falta un dato.
b) 1562,5 u.m.
e) 1.960 u.m.
d) 24 por 100.
14. Una inversión genera ad infinitum un flujo de caja anual constante de 200
u .m. y su rentabilidad requerida es el 5 por 100 anual. ¿Qué VAN mínimo ha de
exigírsele para que sea congruente con la exigencia de que su plazo de recuperación simple no sobrepase los 4 años?
a) 600 u.m.
b) 450 u.m.
e) Ninguna de las otras.
d) 750 u.m.
15. Los factores subjetivos que se consideran en la localización de una instalación son X, Yy Z, por cuya importancia relativa se les ha asignado unas
ponderaciones del 10, 20 y 70 por ciento, respectivamente. Al estimar la
medida en la que cada uno de los factores se encuentra presente en cada una de
las tres ciudades que se piensan como posibles localizaciones , se ha considerado que:
608
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
- En la localidad A el factor X y el Y se encuentra n presentes a ni vel déb il ,
y que el fac tor Z se encuentra presente a ni vel fu erte.
- En la loca lidad B , los Lres factores se encuen tran presentes a ni vel i ntermed io.
- En la local iclacl C, el facto r X se encuent ra presente a ni vel clébi 1, el Y a
ni vel intermedio y el Z a nivel fuerte.
Se asigna un punto al cumplimiento de un fac tor a ni vel débi l , dos puntos a
su cumplim iento a ni vel in termedio y cuatro puntos a su cumplimiento a ni vel
fuerte. Los coefi cientes de fac tores subjeti vos ele las tres ciudades ele acuerdo
co n el método Brown-Gibson son:
a) 0,345 por uno en l a ciudad A.
b) 0,385 en la ci udad B .
e) 0 ,27 en la ciudad C.
d) Ninguna de las otras.
16. ¿Cuántas soluciones ex isten en el siguiente programa lineal ?:
Maximi zar z = x + y
Restricc iones : 2x + y :S 4 ; x + 2y :S 4 ; x, y 2: O
a) Una.
b ) D os.
e) Infinitas.
d) N ing una de las otras.
17. U na empresa se dedi ca a comprar en A sia , por un prec io unitario de
406.250 u.m. , un producto que vende en Europa. Cada año compra y vende 200
unidades físicas de producto. El coste de gestión de cada pedido es de 78 J .250
u.m. y el coste de tener una un idad almacenada durante un año es de 84.375
u.m. , excluyendo los costes financieros. El coste ele oportunidad del capital es
el 10 por 100 an ual. ¿Cuántos pedidos debe efectuar al año?
a) 4.
6.
e) 12.
d) 8.
b)
18. En una tarea, la remuneración del tiempo de trabajo efectivo es ele 500 u.m.
cada hora y D. Fu ned io tarda 3 horas en real izar l a tarea. Bajo el sistema
York , D. Funedio cobraría 3.500 u.m. por tarea reali zada. ¿Cuál es el tiempo de
ej ecución para el que es máxima la prima por tarea realizada en el sistema Rowan?
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
609
a) 2 horas.
b) 3 horas.
e) 4 horas.
el) 1 hora.
19. En cierto mercado compiten tres marcas de cierto producto de consumo
que se adquiere semanalmente. Efectuando un sondeo entre los establecimientos minoristas en los que se venden se estima que, de cada cien consumidores del producto, en la semana que ahora termina 10 adquirieron la marca 1 y 20 la dos. Se ha realizado, además, un sondeo sobre la intención de
compra de los consumidores y se ha llegado a la conclusión de que: 1) de cada
cien consumidores que adquirieron la marca 1 la pasada semana, 50 volverán
a adquirirla y 10 cambiarán a la 2; 2) en relación a la marca 2, de cada cien que
la adquirieron la pasada semana, 80 la volverán a adquirir y 10 cambiarán a la
1; en cuanto a la marca 3, de cada cien adquirentes la última semana, 30 cambiarán a la 1 y 20 a la 2. Suponiendo que la matriz de transición es estacionaria, a largo plazo la cuota de mercado de la tercera marca será:
a) 26,67 por 100 .
b) 43,33 por 100.
e) 12,23 por 100.
el) Ninguna de las otras.
20. La empresa Unedosa a comienzos del mes pasado preveía producir 125 u.f.
y utilizar 150 u .f. de materias primas a un precio de 200 u .m. cada una. En
realidad utilizó 155 u .f. de materias primas a un precio de 240 u .m. cada una,
y su producción fue de 100 u.f. Según los costes estándares, la desviación téc-
nica fue:
a) 5.000 u.m.
b) 13.200 u.m.
e) 1.750 u.m.
el) 7.000 u.m.
11. RESPUESTAS CORRECTAS
Respuesta
correcta
Número
de problema
a
1.1.14
2
b
1.2.6
3
d
1.4 .4
4
c
1.4.16
Pregunta
610
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
5
b
4.4.7
6
b
4.2.5
7
b
4.2.7
8
d
4.1.2
9
d
1.5. 18
10
e
1.6.1 2
11
b
2.4 .1 5
12
a
6. 1.5
13
e
3 .5 .43
14
e
3.9. 12
15
a
6.1 .4
16
a
1.5.1 5
17
a
6.4.4
18
a
5.5 .11
19
d
7 .3.3
20
d
5 .2.5
3.3. Tercera prueba
l. ENUNCIADOS
1. U n proyecto consta de nueve acti vidades. Antes de comenzar las acti vidades A , C y B ( todas las cuales preceden a las actividades G , H e
han de terminarse las actividades F, E y D. Todas las activ idades duran 7 u.t. salvo la F
y la C que duran 9 u.t. , y la H y la / que duran 5 u.t. En el grafo PERT se comprueba que:
n,
a) El camino críti co dura 18 u.t.
b) H ay 3 actividades fi cticias.
e) Hay 10 nudos.
d ) Ninguna de las otras.
2. Para rea l izar cierto trabajo con un rendimiento normal se prec isan 6 horas.
Un trabajador tiene una remuneración ele 500 u. 111 . por hora y efectú a ese trabajo en 5 horas. La semana consta ele 40 horas laborables. Por lo tanto , la remunerac ión semanal ele este trabajador será:
a) 23.200 u.111. cuando el incenti vo horario es de 400 u. 111.
b) 23 .333,33 u.m. cuando se apli ca el destajo.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
6 11
e) 24.000 u.m. cuando se aplica el sistema Rowan .
d) Ninguna de las otras.
3. La información que se obtiene al lanzar una moneda que no contiene ninguna imperfección es:
a) l bit.
b) 1,4427 bits.
e) Inferior a un nit.
d) Varias de las otras.
4. Según los índices de Laspeyres, la producción de una empresa ha aumentado
un 6% y ha utilizado un 5% menos de factores. Por consiguiente, su productividad global se ha modificado en un:
a) 10,53%.
b) 15,79%.
e) 11 ,58%.
d) Ninguna de las otras.
5. Una empresa tiene un activo de 100 millones u.m. financiado al 50% con capital ajeno que tiene un coste anual del 5%. Su beneficio anual neto ha sido de
20 millones de u.m. ¿Cuál ha sido la rentabilidad de sus ventas si su capital total ha rotado dos veces?
a) 11,25% .
b) 10%.
e) 7 ,5%.
d) Ninguna de las otras.
6. El canal por el que se distribuye un producto está integrado por 5 intermediarios cada uno de los cuales establece su precio de venta aplicando un margen del 12 por 100 sobre ese precio e n el que lo vende. Si el fabricante desea
que el precio que paga el consumidor final sea 250 u.m. , ¿qué precio debe aplicar al primer mayorista?
a) 131 ,93 u.m.
b) 105 ,55 u.m
e) 116,10 u.m.
d) Ninguna de las otras.
7. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
612
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
8. En la siguiente matri z ele dec isión, A , B y C son las estrategias del perdedor ,
y X, Y y Z son las del ganador. ¿Cuántos puntos de silla ex isten?
A
15
30
27
B
35
20
23
e
27
23
24
a) Ninguno .
b) Uno.
e) Dos.
e/) Tres .
9. Una empresa necesita anualmente 200 u.f. del elemento W. E l coste ele gestión ele cada pedido de W es 36 u.m. y tener un elemento W almacenado durante
un año c uesta 25 u.m. Por consiguiente, el número de unidades ele W que se ha
de enc argar en cada pedido es:
a) 24 u.f.
b) 30 u.f.
e) 40 u.f.
el) Ninguna de l as otras.
10. U na inversión cuy a duración no ti ene límite precisa un desembol so inicial
de 20 u.m. y generará un fluj o de caja de 8 u.m. el próximo año, a parti r del
c ual crecerá a una tasa constante anual del 7% . Si la ta sa de inflación anual es
el 10%, su rentabilidad anual real será:
a ) 3J ,81 % .
b ) 33 ,64% .
e) 42,73% .
e/) Ninguna de l as otras.
11. Una empresa dispone de dos soportes , A y B, para diri girse a una población
objetivo ele 50.000 personas. La audienc ia del primer soporte es de 32.000 personas, en tanto que la del segundo es ele 25.000. H ay 8.000 personas expuestas
a los dos soportes. Por consig uiente:
a) La aud ienc ia bruta son 49.000 personas.
b ) La penetrac ión neta es el 98 por c iento .
e) Varias de las otras.
e/) Ninguna de l as otra s.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
613
12. Una empresa cuyo valor sustancial importa 100 u.m. tiene una duración ilimitada, generando un beneficio anual de 50 u .m. y el tipo de descuento aplicable es el 15% anual. Si el tipo de rentabilidad normal que puede obtenerse en
el mercado financiero es el 20% anual con un riesgo semejante al de la inversión en esta empresa, se deduce que:
a) El superbeneficio anual de los accionistas es 40 u.m.
b) El fondo de comercio es 200 u.m.
e) El valor global en el método directo es 200 u.m.
d) Ninguna de las otras.
13. El pasado año en ACISA fabricaron 6 millones de unidades de su producto
con un coste variable unitario de 0 ,25 unidades monetarias (u .m) en concepto
de materia prima y mano de obra que requiere cada unidad. Además, incurrieron en un coste fijo de 10.500.000 u.m . Por consiguiente:
a) Su coste variable total fue 1.500.000 u .m.
b) Su coste total medio fue 2 u.m.
e) Varias de las otras.
d) Ninguna de las otras.
14. ¿Cuánto vale Zen el óptimo del siguiente programa lineal?
Minimizar: Z = Sx + 4y + 24z
5x + y + 4z ::5 12
X+ 2y + 3z ::5
9
x,yz 2: O
a) 10
b) 12
e) 14
d) Ninguna de las otras.
15. ¿Qué tipo de interés anual aplica un prestamista a sus clientes si espera que
la tasa de inflación sea del 2% al año y obtiene cada año una rentabilidad del
6% en términos reales?
a) 8,15 %.
b) 8,07 %.
e) 8,12%.
d) Ninguna de las otras.
614
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
16. Se ha de eleg ir entre las in versiones mutuamente excluyentes X e Y, qu e
ti enen unas primas ele riesgo respectivas del 8 y del 4%, siendo la rcntabiliclacl
libre de ri esgo del 6% . L as rentabilidades esperada s ele X e Y son del 18 y del
15% respecti vamente. Si el coste de financ iac ión ele la empresa es del 10 % :
o ) Es rea lizable la in versión X.
b ) Es real izable la in versión Y.
e) No es realizable ning una ele las dos in versiones .
d ) Ninguna de las otras.
17. En la locali zac ión ele una fábri ca, a los fac tores objeti vos se les atribu ye
una importan c ia dos veces may or que a los subjeti vos. ¿Cuánto va le el índ ice
de confiabil iclacl?
a) 0 ,800 .
b) 0 ,833 .
e) 0 ,667 .
d ) N inguna ele las otras .
18. Si no hubiera inflac ión, el flujo ele caja ele cierta in versión, c uy a durac ión
es ilimitada , se mantendría co nstante e igual al del próx imo año , en c uy o
caso su rentabi lidad sería del 12% anual. Sin embargo , si la inflac ión fuera del
6 ,363636% anual , a partir del próximo año el flujo ele caja ele la i nversión c recería a una tasa del 5% interanual. Por lo tanto , en el caso de exi stenci a de esa
inflac ión (son válidas las aprox imaciones i n feriores a una centés ima) :
a) L a rentabil iclacl aparente será del 17% .
b ) La rentabiliclacl rea l será del 10% .
e) Vari as de las otras.
d ) N ing una de las otras .
19. Para c ierto factor ele producción, una empresa prev ió a comienzos del tri mestre pasado un prec io unitario de 500 u .m. y el real ha sido de 600 u.m . L a
cantidad real mente utilizada de este factor ha siclo ele 3 .100 u J . Si la desviac ión
total ha sido ele 660 .000 u.111. , la desv iación técnica ha siclo :
a ) 700.000 ll.m.
b ) 17 5 .000 u . 111.
e) 3S0 .000 u.rn.
d ) Ninguna ele las otras.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
615
20. Marque (o no marque, si allí no lo hizo) lo mismo que en la pregunta anterior.
a)
b)
e)
d)
11. RESPUESTAS CORRECTAS
Pregunta
Respuesta
correcta
Número
de problema
1
c
1.6.42
2
a
5.5 .1 7
y siguientes
616
3
d
1.2.1 y 1.2.5
4
c
5.3.9
5
a
2.3.13
6
a
8.3.20
7
a
8
a
1.1.20
9
a
6.4.5
10
b
3 .5.16
11
b
8.5.1
12
b
4.4.8 y 4.4.9
13
c
2.2.1
14
b
1.5.14
15
c
1.3.8
16
b
3.8.6
17
c
5.1.5
18
c
3.5 .13
19
c
5.2.4
20
c
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
y
3.4. Cuarta prueba
l. ENUNC IADOS
l. La hol gura tota l de la activ idad que va del nudo i al .i va le - 5. La oscilación
del nudo ; vale 15 y la del nudo j vale I O. ¿ Cufoto vale la holgura total ele la acti v idacl?
a) Es imposible.
b) 20.
e) 35 .
e/) N i nguna de las otras.
2. El valor sustancial de Unedivalsa es de 100 u.m. y se espera que obtenga un
beneficio anual de 50 u.m. Considerando que el tipo de rentabi l idad normal es
el 12% y que, para actuali zar los benefi cios, ha de aplicarse un tipo del 15%,
suponiendo que la empresa durará ilimitadamente:
a) Su fondo de comercio por el método indirecto vale 192,36 u .m.
b) Su valor global por el método alemán va le I 96, 18 u .m.
e) Su valor de rendimiento vale 333,33 u.m.
d) Su fondo de comercio por el método di recto vale 222,20 u.m
3. Una empresa ha de eleg ir entre las ciudades A, By C para ubicar una planta industrial. Los costes de los factores objeti vos en cada una de ellas son 400,
100 y 500 u.m. , respectivamente. Según el método de Brown-Gibson, los coeficientes de factores objetivos son:
a) 0,1379 en la ciudad A.
b) 0,6897 en la ciudad B.
e) 0,1724 en la ciudad C .
e/) Ninguna de las otras P 359 .
4. Para segmentar su mercado, una empresa ha tomado una muestra de 1.000
personas, a las que ha encuestado, concluyendo que 100 personas resultaron
consumidoras de su producto, y que la distribución se prod uce, según el criterio
de edad , del siguiente modo:
Jóvenes
Adultos
500
60
Ancianos
200
15
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
617
Según el método de la x2 , la mejor agrupación dicotómica es la que coloca
en uno de los grupos a:
a) Los jóvenes.
b) Los adultos.
e) Los ancianos.
d) Faltan datos.
5. Las duraciones de las inver siones mutuamente excluyentes A y B son ilimitadas. La primera tiene un desembolso inicial de 2.000 u.m. y un flujo de
caja anual constante de 1.200 u.m. La inversión B requiere un desembolso inicial de 1.000 u.m. y genera un flujo de caja anual constante de 500 u.m. Por
consiguiente , según el VAN:
a) Es preferible la inversión A.
b) Es preferible la inversión B.
e) Faltan datos (se necesita conocer el tipo de descuento) .
d) Ninguna de las otras.
6. En la siguiente matriz, P es el perdedor, y G es el ganador. ¿Cuántos puntos
de silla existen?
Estrategias de P
Estrategias de G
A
200
500
440
B
600
300
360
e
440
360
380
a) Ninguno.
b) Uno.
e) Dos.
d) Tres.
7. Un vendedor tiene un objetivo de ventas de 1.500 unidades, y su previsión
es 1.600 ¿Cuánto vale su porcentaje de prima para unas ventas de 1.700 en el
sistema OPR?
a) 132%.
b) 140%.
e) 128%.
d) 150%.
618
PRACTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
8. El producto ele un a empresa ti ene unos cos tes fijos anuales de 200 .000
u.111. y un coste vari able unitari o ele 100 u.m . Si el prec io unitario de venta es ele
200 u .111., ¿cufoto va le su punto muerto?
a) -2 .000 uJ.
b) 2.000 u.f.
e) El punto muerto no ex iste.
d) Ni nguna ele las otras .
9. ¿Qué rentabi liclad anual neta ele inflac ión obt iene qu ien apli ca un tipo nominal del 12 por ciento anual acumulativo, si la tasa ele inflac ión es el 4 por 100
también anual y acumulativa?
a) El 8%.
b) El 7 ,69% .
e) El 16,48%.
d ) Ni ngu na ele las otras .
10. ¿C uántas so luc io nes existen en el siguiente programa li neal ?
M aximizar:
X
8y + Sx 2: 40
3y +
X S
3
xs 3
x, y 2: O
a) Una.
b) D os.
e) Tres.
d) N inguna ele las otras.
11. Del nudo aleatorio número 3 ele un árbol ele decisión parten las ramas P, M
y G, que ti enen unas probabi liclacles respecti vas del 10%, del 70% y de l 20%.
L os va lores en los que t ienen desti no esas ramas son los siguientes: -200 la
rama P, -400 la ram a M y 800 la rama C. ¿Cuál es el va lo r asociado al nudo 3?
a) - 140.
b) 300.
e) E s incorrecto .
e/) N ingun a ele l as otra s.
12. Con una infl ac ió n anual del 6% y una rentabil idad rea l anual deseada
del 12%, ¿qué rentab iliclacl nominal anual se aplicará?
a) 5 ,36% .
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
619
b) 5,66%.
e) 18,72%.
d) Ninguna de las otras.
13. Una empresa compra y vende cada año 400 u.f. de su producto Gruned. El
coste de gestión de cada pedido es de 195.312,5 u.m. , y el coste de tener una
u.f. almacenada durante un año es de 250.000 u.m. ¿Cuál es el volumen óptimo de pedido?
a) 40 u.f.
b) 15 u.f.
e) 25 u.f.
d) Ninguna de las otras.
14. Del antepenúltimo nudo de un grafo PERT (nudo a) parten dos actividades.
El tiempo last del último nudo (nudo u) vale 53 u.t. y sobre la flecha que va directamente del nudo a al nudo u figura una duración de 3 u.t. Del penúltimo
nudo al último hay una flecha que representa una actividad ficticia . El tiempo
last del antepenúltimo nudo vale:
a) 50 u.t.
b) 50 u.t. o menos de 50 u.t.
e) 50 u.t . o más de 50 u.t.
d) Faltan datos.
15. Una empresa se financia en un 25% con recursos ajenos, la rentabilidad
neta de sus ventas ha sido del 50% y su activo ha rotado 10 veces ¿Cuánto ha
valido su rentabilidad financiera?
a) 666,6%.
b) 625%.
e) 375%.
d) 833,3%.
16. Hasta llegar al consumidor, cierto producto sigue un canal formado por
cuatro intermediarios, cada uno de los cuales lo vende a un precio resultante de
aplicar un 20 por 100 de margen sobre el precio en que lo adquiere. ¿Qué precio pagará el consumidor si el fabricante se lo vende al primer intermediario en
100 u.m.?
a) 113 ,49 u.m.
b) 105 ,55 u.m.
e) 52,77 u.m.
d) 207,36 u.m.
620
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
17. Una inversión cuya duración no Liene lím ite precisa un desembo lso inic ial
ele 20 u.111 . y generará un flujo ele caj a ele 8 u.111 . el próx imo año , a partir del
cual crecerá a una Lasa constanle anual del 7%. Si la tasa ele inflación anual es
el 10% , su rentabilidad anual real será:
a ) 3 1,8 1% .
b) 33,64% .
e) 42 ,73% .
d) N ing una ele las otras.
18. U n program a li neal tiene cuatro vari ables y tres restricciones. Su dual tendrá:
a) Tres va ri ables y cuatro restricc io nes.
b) D oce restri cciones y doce vari ables .
e) Tres vari ables y siete restri cciones .
d ) N inguna ele las otra s.
19. M arque (o no marque , si allí no lo hizo) lo mismo que en l a pregunta anterior .
a)
b)
e)
d)
20. L a diferenci a entre adquirir un componente fuera y su coste vari ab le uni tario si se fabrica dentro es el 0 ,25 % del coste fijo anual total que requ iere fabricarl o dentro. ¿Para q ué vo lumen de componentes anuales es indiferente fa bricarl os o comprarl os?
a) 400 co mponentes.
b ) 250 co mponentes.
e) 1.250 componentes .
d ) N inguna ele las otras.
PRUEBAS OBJETIVAS DE AUTOEVALUACIÓN
621
11. RESPUESTAS CORRECTAS
Respuesta
correcta
Número
de problema
b
l.6.3 1
2
c
4.4.5
3
b
6.1.3
4
b
7 .5.4
5
a
3.5.20
6
a
1.1.15
7
a
8.6.2
8
b
4.1.2
9
b
3.2.2
10
d
1.5.20
11
a
1.4.11
12
c
1.3.9
13
c
6.4.3
14
a
1.6.30
15
a
2.5.6
16
d
8.3.16
17
b
3.5.16
18
a
1.5.10
19
a
20
a
Pregunta
622
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
5.1.3
Apéndice de tablas
estadísticas
Percen tiles de la distribución x1/g .l.
g. l.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
35
40
45
50
55
60
70
80
90
100
120
140
160
180
200
250
300
350
400
450
500
750
1.000
5.000
00
0 ,05
0 ,1
0 ,0 39 0,0 157
0 ,00 1 0,00 1
0,005 0,008
0,0 16 0,023
0 ,032 0 ,042
0 ,050 0 ,064
0,069 0 ,085
0 ,089 0, 107
0. 108 0,128
0, 126 0 ,148
0 , 144 0,167
0 , 16 1 0 , 184
0 ,177 0 ,201
0 ,193 0,2 17
0 ,207 0,232
0 ,22 1 0 ,246
0,234 0,260
0,247 0 ,272
0,258 0 ,285
0 ,270 0 ,296
0 ,29 1 0 ,3 17
0,3 10 0,337
0,328 0,355
0 ,345 0 ,37 1
0 ,360 0,386
0 ,394 0 ,420
0 ,423 0,448
0 ,448 0,472
0 ,469 0 ,494
0,488 0,5 12
0 ,506 0 ,529
0 ,535 0,558
0,560 0 ,582
0,58 1 0,602
0,599 0,6 19
0 ,629 0,648
0 ,653 0 ,67 1
0 ,673 0 ,690
0 ,689 0 ,706
0,703 0,7 19
0 ,732 0,746
0,753 0 ,767
0 ,770 0 ,783
0 ,784 0 ,796
0 ,795 0,807
0,805 0,8 16
0 ,839 0 ,848
0,859 0,868
0 ,936 0 ,939
1
1
6
5
0 ,5
1,0
2,5
5,0
10
20
3
1
2
0 ,0 16
0 , 106
0, 195
0 ,266
0,322
0,367
0,405
0,436
0.463
0,487
0,507
0,525
0,542
0 ,556
0 ,570
0 ,582
0 ,593
0 ,604
0,6 13
0,622
0 ,638
0 ,652
0,665
0,676
0 ,687
0,708
0,726
0 ,74 1
0 ,754
0 ,765
0 ,774
0 ,790
0 ,803
0 ,8 14
0,824
0,839
0,850
0 ,860
0 ,868
0 ,874
0 ,887
0 ,897
0 ,904
0,9 11
0,9 16
0 ,920
0 ,934
0 ,943
0,974
1
0.064
0,223
0,335
0,4 12
0,469
0 ,5 12
0,546
0 .574
0.598
0,6 18
0,635
0 ,65 1
0 ,664
0,676
0,687
0,697
0,706
0,714
0,722
0 ,729
0 ,742
0,753
0 ,762
0,77 1
0,779
0,795
0 ,809
0 ,820
0,829
0,837
0,844
0 ,856
0 ,865
0 ,873
0 ,879
0 ,890
0 ,898
0 ,905
0,9 10
0.9 15
0,924
0 ,93 1
0 ,936
0 ,940
0 ,944
0 .946
0,956
0 ,962
0 ,983
1
0,0''39 0,0 16 0,0 98 0 ,0 39
0 ,005 0,01 0 0,025 0 ,052
0 ,024 0,038 0,072 0, 11 7
0 ,052 0,074 0 ,12 1 0 , 178
0 ,082 0 ,111 0 , 166 0,229
0 ,113 0, 145 0 ,206 0,272
0 ,141 0 , 177 0 ,24 1 0 ,3 10
0 , 168 0,206 0,272 0,342
0. 193 0,232 0.300 0 .369
0,2 16 0 ,256 0,325 0,394
0 ,237 0 ,278 0 ,347 0,4 16
0,256 0,298 0,367 0.436
0 ,274 0,3 16 0,385 0.453
0 ,29 1 0 ,333 0,402 0.469
0 ,307 0,349 0 ,41 8 0,484
0,32 1 0 ,363 0,432 0 ,498
0,335 0,377 0 ,445 0 ,5 10
0,348 0 ,390 0,457 0 ,522
0 ,360 0,402 0,469 0 ,532
0 ,372 0,4 13 0,480 0 ,543
0 ,393 0 ,434 0 ,499 0 ,56 1
0,4 12 0,452 0,5 17 0 ,577
0 ,429 0,469 0,532 0 ,592
0 ,445 0 ,484 0 ,547 0 ,605
0 ,460 0,498 0 ,560 0,6 16
0,491 0 ,529 0 ,588 0,642
0,5 18 0,554 0,6 11 0 ,663
0 ,540 0 ,576 0 .630 0 ,680
0,560 0,594 0 ,647 0,695
0,577 0,6 10 0 ,662 0,708
0,592 0,625 0 ,675 0 ,720
0,6 18 0,649 0,697 0 ,739
0 ,640 0,669 0 ,7 14 0,755
0,658 0 ,686 0 ,729 0 ,768
0 ,673 0.70 1 0,742 0 ,779
0,699 0 ,724 0,763 0,798
0 ,719 0,743 0 ,780 0 ,8 12
0,736 0 ,758 0,793 0 ,824
0,749 0 ,77 1 0 ,804 0 ,833
0,76 1 0 ,782 0,8 14 0,84 1
0 ,785 0,804 0.832 0 ,858
0 ,802 0,820 0 ,846 0 ,870
0 ,8 16 0,833 0,857 0,879
0,827 0 ,843 0,866 0,887
0 ,837 0 ,852 0 ,874 0 ,893
0,845 0,859 0 ,880 0,898
0,872 0 ,884 0,90 1 0,9 17
0 ,889 0,899 0,9 14 0,928
0,949 0,954 0,96 1 0 ,967
1
1
1
1
30
40
50
60
0,455
0 ,693
0 ,789
0 ,839
0,870
0,89 1
0,907
0 ,9 18
0.927
0,934
0 ,940
0 ,945
0 ,949
0,953
0 ,956
0 ,959
0 ,96 1
0 ,963
0 ,965
0,967
0,970
0,972
0,974
0,976
0,978
0 ,98 1
0 ,983
0 ,985
0 ,987
0 ,988
0,989
0 ,990
0 ,992
0 ,993
0 ,993
0,994
0,995
0,996
0,996
0,997
0,997
0 ,998
0,998
0 ,998
0,999
0 ,999
0,999
0,999
1,00
1
0,708
0,9 16
0,982
1,0 11
1,03
1,04
1,04
1,04
1.05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1.05
1,05
1,04
1,04
1,04
1,04
1,04
1,04
1,04
1,04
1,03
1,03
1,03
1,03
1,03
1,03
1,02
1,02
1,02
1,02
1,02
1,02
1,02
1,02
1,0 1
1,0 1
1,0 1
1,00
1
APÉNDICE DE TABLAS ESTADÍSTICAS
625
0 , 148 0,275
0 ,356 0,5 11
0 ,475 0,623
0,549 0,688
0 ,600 0,73 1
0,638 0,762
0 ,667 0 ,785
0,691 0,803
0.7 10 0.8 17
0,727 0,830
0,74 1 0,840
0,753 0,848
0 ,764 0 ,856
0 ,773 0,863
0 ,78 1 0 ,869
0 ,789 0 ,874
0 ,796 0,879
0 ,802 0 ,883
0 ,808 0 ,887
0,8 13 0 ,890
0,823 0 ,897
0 ,83 1 0 ,902
0,838 0,907
0,845 0,9 11
0 ,850 0,9 15
0 ,862 0 ,922
0 ,872 0 ,928
0 ,880 0 ,933
0,886 0,937
0,892 0,94 1
0,897 0,944
0,905 0,949
0.9 11 0 ,952
0 ,9 17 0 ,955
0,92 1 0,958
0,929 0,962
0 ,934 0,965
0 ,939 0 ,968
0 ,942 0 ,970
0 ,945 0 ,972
0 ,95 1 0,975
0 ,956 0 ,977
0 ,959 0,979
0 ,962 0,98 1
0,964 0 ,982
0.966 0 ,983
0 ,972 0 ,986
0 .976 0.988
0,989 0 ,995
1
1
0 .0 3 16 debe leerse como 0,000 16, etc.
Percentiles de la distribució n x1/g.l. (conti nuación)
70
80
90
95
97,5
99
99,5
99,9
99,95
g. l.
1,07
1,20
1,22
1,22
1,21
1,2 1
1,20
1,19
1,18
1,18
1,17
1,17
1,16
1,16
1,1 5
1,15
1,15
1,14
1,14
1,14
1,13
1,13
1,12
1,12
1 ,12
1,11
1,10
1,10
1,09
1,09
1,09
1,08
1,08
1,07
1,07
1,06
1,06
1,06
1,05
1,05
1,04
1,04
1,04
1,04
1,03
1,03
1,03
1,02
1,01
1
1,64
1,61
1,55
1,50
1,46
1,43
1,40
1,38
1,36
1,34
1,33
1,32
1,31
1,30
1,29
1,28
1,27
1,26
1,26
l ,25
1,24
1,23
1,22
1,22
1,21
1,19
1,18
1,17
l ,16
1,16
1,15
1,14
1,13
1,12
1,12
l ,11
1,10
l ,09
1,09
1,081,07
1,07
1,06
1,06
1,06
1,05
1,04
1,04
1,02
l
2,7 1
2,30
2,08
1,94
1,85
1,77
1,72
1,67
1,63
1,60
1,57
1,55
1,52
1,50
1,49
1,47
1,46
1,44
1,43
1,42
1,40
1,38
1,37
1,35
1,34
1,32
l,30
l ,28
1,26
1,25
1,24
1,22
1,21
1,20
1,18
1,17
1,16
1,15
1,14
1,13
1,12
1,11
1,10
1,09
1,09
1,08
1,07
1,06
1,02
l
3,84
3,00
2,60
2,37
2,21
2 ,10
2,0 1
1,94
1,88
1,83
1,79
1,75
1,72
l ,69
1,67
1,64
1,62
1,60
1,59
1,57
1,54
1,52
1,50
1,48
1,46
1 ,42
] ,39
1,37
1,35
1,33
1,32
1,29
1,27
1,26
1,24
l ,22
1,20
1,19
1,18
1,17
l ,15
1,14
1,1 3
1,12
1,11
1,11
1,09
1,07
1,03
l
5,02
3,69
3,l 2
2,79
2,57
2,41
2 ,29
2,19
2,11
2,05
1,99
1,94
1,90
1,87
1,83
1,80
1,78
1,75
1,73
1,7 1
1,67
1,64
1,6 1
1,59
1,57
1,52
1,48
l ,45
l,43
1,41
1,39
1,36
1,33
1,3 1
1 ,30
1,27
1,25
1,23
1,22
1,21
1,18
1,17
1,15
1,14
1,13
1,13
1,10
1,09
1,04
1
6 ,64
4,61
3,78
3,32
3,02
2,80
2,64
2,51
2,4 1
2,32
2,25
2,18
2,13
2,08
2,04
2,00
1,97
1,93
1 ,90
1 ,88
1,83
1,79
1,76
1,72
1,70
l ,64
l ,59
1,55
1,52
1,50
1,47
1,43
1,40
1,38
1,36
1,32
1,30
1,28
1,26
1,25
1,22
1,20
] ,18
1,17
1 ,16
l ,15
1,12
1,1 1
1,05
1
7,88
5,30
4,28
3,72
3,35
3,09
2,90
2,74
2,62
2,52
2,43
2,36
2,29
2,24
2,19
2 ,14
2,10
2,06
2,03
2,00
1,95
1,90
1,86
1,82
1,79
1,72
1,67
1,63
l ,59
1,56
1,53
1,49
1,45
] ,43
1,40
1,36
1,33
1,31
1,29
1,28
1,25
1,22
1,21
1,19
1,18
1,17
1,14
1,12
1,05
1
10,83
6,90
5,42
4,62
4,10
3,74
3,47
3,27
3,10
2,96
2,84
2,74
2,66
2,58
2,56
2 ,45
2,40
2,35
2,3 1
2,27
2,19
2,13
2,08
2,03
1,99
1,90
1,84
1,78
1,73
1,69
l ,66
1,60
1,56
1,52
1,49
1,45
1,41
1,38
1,36
1,34
1,30
1,27
1,25
1,24
1,22
1,21
1,17
1,14
1,06
1
12,12
7,60
5,91
5,00
4,42
4,02
3,72
3,48
3,30
3,14
3,01
2,90
2,81
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626
PRÁCTICAS DE DIRECCIÓN DE EMPRESAS
co
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2,11
2,06
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253
19,5
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2,11
2,06
2,01
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254
19,5
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36
3:23
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2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
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1,81
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1,76
1,73
1,71
1,62
1,51
1,39
1,25
1,00
Áreas bajo la curva 11or111al tip(/1cada de O a ~
P(O 5 s 5 ::.)
Eje111p/os
P(O s s s 1,23) = 0 ,3907
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P(- 1,23 5 s 5 1,23) = 2 X 0.3907
~
o
z
o
0,0
0,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
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0 ,6
0 ,7
0 ,8
0 ,9
1,0
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1,2
1,3
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1,6
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2 ,6
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2.8
2,9
3 ,0
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3,2
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3,9
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0,4999
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0,4995
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0 ,4998
0.4998
0 ,4999
0 ,4999
0 ,5000
l
2
3
4
5
6
7
8
9
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0 ,2642
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0 ,3888
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0.5000
APÉNDIC E DE TABLAS ESTADÍSTICAS
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