¿Qué problemas estudia la cinemática?
Primer problema.
Como se discutió en las de!niciones preliminares, si se conoce la posición de una partícula como función del
tiempo (es decir, su trayectoria), es posible determinar su velocidad como función del tiempo derivando la
función posición con respecto al tiempo. En una dimensión, la velocidad se de!ne como
vx (t) =
dx(t)
.
dt
Ejemplo: Velocidad a partir de la posición
Supóngase que la posición de una partícula está dada como función del tiempo, tal como se muestra en
la grá!ca, y se desea encontrar la velocidad después de transcurridos dos segundos. Si la posición está
dada por
x(t) = 0.8t2 → 1.45t → 2,
posición vs tiempo
6 x(m)
4
2
t(s)
0.5
→0.5
→2
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
velocidad vs tiempo
6 v(m/s)
4
2
t(s)
0.5
→0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
→2
Problema inverso
Si se conoce la velocidad como función del tiempo para un intervalo de tiempo dado, ¿es posible encontrar
la posición para cualquier instante en dicho intervalo? Respuesta: Si se tiene la velocidad como función
del tiempo, es posible encontrar la posición como función del tiempo mediante la integración de la función
velocidad:
x(t) = x0 +
)︄ t
t0
v(t) dt
Segundo problema: aceleración a partir de la velocidad o posición
Si se conoce la velocidad de una partícula como función del tiempo, para un intervalo de tiempo dado, siempre
es posible conocer la aceleración de la partícula como función del tiempo (para el mismo intervalo de tiempo)
derivando la función de velocidad con respecto al tiempo:
ax (t) =
dvx (t)
dt
Ahora, la función de velocidad se obtiene como la derivada de la función posición, entonces se tiene:
d
d
ax (t) = vx (t) =
dt
dt
[︄
dx(t)
dt
]︄
=
d2 x(t)
dt2
Esto es: si se conoce la posición como función del tiempo para un intervalo de tiempo dado, siempre es
posible conocer la aceleración como función del tiempo para dicho intervalo:
d2 x(t)
ax (t) =
dt2
Ejemplo: aceleración a partir de la velocidad
Supóngase que se tiene la velocidad de una partícula como función del tiempo, del ejemplo anterior:
vx (t) = 0.5t + 8
Y se quiere conocer la aceleración de la partícula para t = 5 s.
Para encontrar la aceleración como función del tiempo para el intervalo comprendido entre 0 y 10 segundos,
basta con derivar la función de velocidad con respecto al tiempo:
ax (t) =
dvx (t)
d
= (0.5t + 8) = 0.5 m/s2
dt
dt
Por lo tanto, la aceleración de la partícula es constante e igual a 0.5 m/s2 en todo el intervalo.
El grá!co de aceleración en función del tiempo será una línea horizontal constante.
2
aceleración vs tiempo
a(m/s2 )
1.5
1
0.5
t(s)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Ejemplo: aceleración a partir de la posición
Supóngase que la posición de una partícula como función del tiempo está dada por la función:
x(t) = 4t3 + 8t + 9
para el intervalo comprendido entre 0 y 5 segundos, y se quiere conocer la aceleración de la partícula
para t = 2 s.
posición vs tiempo
600
x(m)
400
200
t(s)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Para encontrar la aceleración como función del tiempo en ese intervalo, basta con derivar dos veces la función
de posición con respecto al tiempo:
d2 x(t)
d
ax (t) =
=
2
dt
dt
[︄
]︄
d
d
(4t3 + 8t + 9) = (12t2 + 8) = 24t
dt
dt
Por lo tanto, la aceleración en t = 2 s es:
ax (2) = 24 · 2 = 48 m/s2
El grá!co de aceleración en función del tiempo será una línea recta creciente, ya que la aceleración depende
linealmente del tiempo.
150
aceleración vs tiempo
a(m/s2 )
100
50
t(s)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Problema inverso
¿Es posible encontrar la velocidad a partir de la aceleración? Si se conoce la aceleración como función
del tiempo para un intervalo de tiempo dado, es posible encontrar la velocidad como función del tiempo
mediante la integración de la función aceleración:
¿Es posible encontrar la posición a partir de la aceleración? Si se conoce la aceleración como función
del tiempo para un intervalo de tiempo dado, es posible encontrar la posición para cualquier instante en
dicho intervalo integrando dos veces la función aceleración. Esto es: si se integra la función aceleración una
vez y se tiene una condición sobre la velocidad, se puede encontrar la velocidad como función del tiempo. Y
como ya se vio antes, si se integra la función velocidad y se tiene una condición sobre la posición, se puede
encontrar la posición como función del tiempo.
Ejemplo: Velocidad desde una aceleración
Supóngase que se tiene la aceleración de una partícula como función del tiempo, como se muestra en
la grá!ca, y que se pide encontrar su velocidad después de transcurridos 5 segundos. Si la aceleración
está dada por la función:
ax (t) = 2t + 3
y sabiendo que la velocidad para t = 0 era 4 m/s.
Aceleración vs. tiempo
30
a (m/s2 )
25
20
15
10
5
t (s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Velocidad vs. tiempo
160
140
v (m/s)
120
100
80
60
40
20
t (s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ejemplo: Posición a partir de una aceleración
Supóngase que se tiene la aceleración de una partícula como función del tiempo, como se muestra en
la grá!ca, y que se pide encontrar su posición después de transcurridos 5 segundos. Si la aceleración
está dada por la función:
ax (t) = 2t + 3
y sabiendo que para t = 0 la velocidad era 4 m/s y la posición era →2 m.
posición vs tiempo
800
x(m)
600
400
200
t(s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Casos Especiales
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
El Movimiento Rectilíneo Uniforme describe el movimiento de una partícula que se desplaza a lo largo de
una trayectoria recta con velocidad constante vx en el tiempo. Si se conoce la velocidad de una partícula,
su posición puede obtenerse a partir de la relación integral:
x = x0 +
)︄ t
t0
vx dt.
Dado que en el MRU la velocidad vx es constante, puede extraerse de la integral:
x(t) = x0 + vx (t → t0 ),
donde x0 es la posición inicial en el instante t0 .
Propiedades del MRU
• Aceleración nula: La velocidad no varía en el tiempo, por lo que
ax (t) =
dvx
= 0.
dt
• Desplazamiento proporcional al tiempo: En intervalos de tiempo iguales se recorren distancias
iguales.
• Velocidad constante: La velocidad media coincide con la velocidad instantánea en cualquier intervalo
de tiempo.
Interpretación grá!ca
1. Grá!ca x vs. t: Es una recta cuya pendiente corresponde a la velocidad vx .
Posición vs Tiempo
12 x(m)
10
8
6
4
2
t(s)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
2. Grá!ca v vs. t: Es una recta horizontal. El área bajo la curva entre dos instantes representa el desplazamiento !x.
6
Velocidad vs Tiempo
v(m/s)
5
4
3
2
1
t(s)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Relaciones cinemáticas del MRU
x(t) = x0 + vx (t → t0 ),
vx = constante,
ax = 0,
!x = vx !t.
Ejemplo: Entrega de volantes
Jill sale de su casa para entregar volantes para su venta de garaje; viaja hacia el este a lo largo de la
calle bordeada de casas. A 0.5 km y 9 minutos después se queda sin volantes y tiene que volver sobre
sus pasos hasta su casa para conseguir más, lo cual le toma 9 minutos más. Tras recoger más volantes,
vuelve a emprender el mismo camino al continuar por donde lo dejó y termina a 1.0 km de su casa; en
esta tercera etapa tarda 15 minutos. En ese momento regresa hacia su casa en dirección oeste; después
de 1.75 km y 25 minutos se detiene a descansar.
a) ¿Cuál es el desplazamiento total de Jill hasta el punto en que se detiene a descansar?
b) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento !nal?
c) ¿Cuál es la velocidad media durante todo su viaje?
d) ¿Cuál es la distancia total recorrida?
e) Realice un grá!co de la posición en función del tiempo.
Tiempo t (min)
Posición xi (km)
Desplazamiento
(km)
!xi
Velocidad v (km/min)
Posición vs. Tiempo
2
1.5
x(km)
1
0.5
→0.5
t (min)
10
20
30
40
50
60
→1
→1.5
→2
Velocidad vs. Tiempo
0.1
v (km/min)
5 · 10→2
t (min)
10
→5 · 10→2
→0.1
20
30
40
50
60
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado describe el movimiento de una partícula que se desplaza en línea recta bajo la acción de una aceleración constante. En este caso, las ecuaciones cinemáticas
pueden deducirse directamente a partir de las de!niciones fundamentales de velocidad y aceleración.
Las relaciones básicas del movimiento son:
vx (t) = vx0 +
)︄ t
t0
ax (t) dt,
x(t) = x0 +
)︄ t
t0
vx (t) dt.
Si la aceleración es constante (ax = constante), la velocidad se obtiene integrando:
vx (t) = vx0 +
)︄ t
t0
ax dt.
Como ax no depende del tiempo, se tiene:
vx (t) = vx0 + ax (t → t0 ).
Esta expresión muestra que, en el MRUV, la velocidad varía linealmente con el tiempo.
Como ya se tiene la velocidad como función del tiempo, se puede ahora integrar para encontrar la posición
como función del tiempo:
x(t) = x0 +
)︄ t
t0
vx (t) dt,
y sustituyendo la expresión obtenida para la velocidad:
x(t) = x0 +
)︄ t
t0
[vx0 + ax (t → t0 )] dt.
Al integrar término a término se obtiene:
x(t) = x0 + vx0 (t → t0 ) + 12 ax (t → t0 )2 .
También es posible obtener una ecuación que no dependa explícitamente del tiempo. Para ello, utilizamos la
de!nición de aceleración como la derivada de la velocidad respecto al tiempo:
ax =
dvx
.
dt
Usando la regla de la cadena:
ax =
dvx dx
dvx
= vx
.
dx dt
dx
Separando variables:
vx dvx = ax dx.
Integrando entre las condiciones iniciales y !nales:
)︄ vx
vx0
vx dvx =
)︄ x
x0
ax dx.
Dado que la aceleración es constante:
1 2
2
(v → vx0
) = ax (x → x0 ).
2 x
Finalmente, se obtiene:
2
vx2 = vx0
+ 2ax (x → x0 ).
Esta ecuación es especialmente útil cuando el tiempo no es conocido explícitamente.
Resumen de ecuaciones del MRUV
vx (t) = vx0 + ax (t → t0 )
x(t) = x0 + vx0 (t → t0 ) + 12 ax (t → t0 )2
2
vx2 = vx0
+ 2ax (x → x0 )
a) Grá!ca aceleración-tiempo (ax → t) para movimiento rectilíneo con aceleración positiva constante ax . b)
Grá!ca velocidad-tiempo (vx → t) para movimiento rectilíneo con aceleración positiva constante ax . La
velocidad inicial v0x también es positiva en este caso. c) Grá!ca x → t del movimiento de una partícula dada.
La pendiente de la tangente en cualquier punto es igual a la velocidad en ese punto
Ejemplo: Alcance entre vehículos
Un conductor que viaja a rapidez constante de 15 m/s (unas 34 mi/h) pasa por un cruce escolar, cuyo
límite de velocidad es de 10 m/s (unas 22 mi/h). En ese preciso momento, un o!cial de policía en su
motocicleta, que está parado en el cruce, arranca para perseguir al infractor, con aceleración constante
de 3.0 m/s2 . a) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el o!cial de policía alcance al infractor? b) ¿A qué
rapidez va el policía en ese instante? c) ¿Qué distancia total habrá recorrido cada vehículo hasta ahí?
Posición vs Tiempo
El policía y el conductor se
encuentran cuando se cruzan
sus grá!cas x–t.
160
x (m)
120
Conductor
80
40
0
Policía
0
2
4
6
8
10
12
t (s)
Caída libre
En caída libre todos los objetos se mueven bajo la acción exclusiva de la gravedad, despreciando la resistencia
del aire. Cerca de la super!cie de la Tierra, todos los cuerpos experimentan la misma aceleración constante
dirigida hacia abajo:
ωg = → 9.8 ε̂ m/s2
Si el movimiento ocurre en el eje vertical y, las ecuaciones cinemáticas son:
vy (t) = vy0 → g(t → t0 )
y(t) = y0 + vy0 (t → t0 ) → 12 g(t → t0 )2
2
vy2 = vy0
→ 2g(y → y0 )
Estas ecuaciones describen el movimiento vertical de un objeto tanto si se deja caer como si se lanza hacia
arriba o hacia abajo.
Ejemplo: Movimiento ascendente y descendente en caída libre
Considere una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edi!cio. La pelota parte
desde la altura del barandal con rapidez inicial ascendente de 15.0 m/s y posteriormente queda en caída
libre. Al descender, la pelota apenas libra el barandal. En este lugar, g = 9.8 m/s2 . Determine:
a) La posición y velocidad de la pelota a 1.00 s y 4.00 s después del lanzamiento.
b) La velocidad cuando la pelota se encuentra a 5.00 m sobre el barandal.
c) La altura máxima alcanzada y el instante en que ocurre.
d) La aceleración de la pelota en la altura máxima.
Movimiento de proyectiles
Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y posteriormente sigue una trayectoria determinada únicamente por la aceleración
gravitacional (despreciando la resistencia del aire).
El camino que sigue el proyectil se denomina
trayectoria.
El movimiento de un proyectil está contenido en un
plano vertical que contiene el vector de velocidad
inicial vω0 . Su trayectoria depende sólo de vω0 y de la
aceleración hacia abajo debida a la gravedad:
ax = 0,
ay = →g
Análisis del movimiento
La clave del análisis consiste en tratar de manera independiente las coordenadas x y y. El movimiento puede
entenderse como la combinación de:
• Movimiento horizontal con velocidad constante.
• Movimiento vertical con aceleración constante.
Si se desprecia la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil es una combinación de movimiento
horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante.
Si en t = 0 la partícula se encuentra en (x0 , y0 ) con componentes iniciales v0x y v0y , las ecuaciones de
movimiento son:
Movimiento horizontal
Movimiento vertical
vx = v0x
vy = v0y → gt
x = x0 + v0x t
y = y0 + v0y t → 12 gt2
Si expresamos la velocidad inicial en términos de su magnitud v0 y el ángulo de lanzamiento ϑ0 :
v0x = v0 cos ϑ0
v0y = v0 sin ϑ0
Podemos obtener la distancia r del proyectil al origen (la
magnitud del vector de posición ωr) como:
↑
r = x2 + y 2
La rapidez del proyectil (la magnitud de su velocidad) en
cualquier instante es:
v=
[︄
vx2 + vy2
La dirección de la velocidad, en términos del ángulo ϑ
que forma con el eje +x, está dada por:
vy
vx
El vector de velocidad ωv es tangente a la trayectoria en
todos los puntos.
tan ϑ =
Podemos deducir una ecuación para la forma de la trayectoria en términos de x y y eliminando t de las
ecuaciones posición (suponiendo x0 = y0 = 0) se obtiene:
g
2
y = (tan ϑ0 ) x → 2v2 cos
2ω x
0
0
Como v0 , ϑ0 y g son constantes, la expresión tiene la forma y = bx → cx2 que corresponde a la ecuación de
una parábola.
Ejemplo: Una pelota de béisbol
Un bateador golpea una pelota de béisbol de modo que ésta sale del bate a una rapidez v0 = 37.0 m/s
con un ángulo ϑ0 = 53.1→ , en un lugar donde g = 9.80 m/s2 . a) Calcule la posición de la pelota y la
magnitud y dirección de su velocidad cuando t = 2 s. b) Determine cuándo la pelota alcanza el punto
más alto y su altura h en ese punto. c) Obtenga el alcance horizontal R, es decir, la distancia horizontal
desde el punto de partida hasta donde la pelota cae al suelo.
Ejemplo: Altura máxima y alcance máximo
Para un proyectil lanzado con rapidez v0 y ángulo inicial ϑ0 (entre 0→ y 90→ ), deduzca expresiones
generales para la altura máxima h y el alcance horizontal R. Para una v0 dada, ¿qué valor de ϑ0 da la
altura máxima? ¿Y qué valor da el alcance horizontal máximo?