PNV5202
Efeitos Hidrodinâmicos de Baixa
Frequência Induzidos por Ondas em
Sistemas Oceânicos
Aula 10
A aproximação de ruído-branco;
O problema da estimativa dos
amortecimentos;
Wave-drift damping: breve
discussão
PNV5202
Introdução
• Discutiremos, inicialmente, um outro tipo de aproximação que pode ser
empregado na avaliação das forças de baixa-frequência, conhecida como
aproximação de ruído-branco. Aqui, não se trata de uma aproximação
sobre a força de excitação em si, mas sim sobre o espectro de potência
destas forças, a qual se justifica pelas características típicas da resposta
dinâmica dos sistemas flutuantes.
• Em seguida, abordaremos um outro problema inerente à previsão dos
movimentos de baixa-frequência, relacionado às incertezas quanto às
forças de amortecimento, frequentemente dominadas por efeitos viscosos
do escoamento.
• Por fim, trataremos de uma das fontes de amortecimento envolvidas no
problema que não está relacionada aos efeitos viscosos, mas sim às
variações na frequência de encontro entre as ondas incidentes e a
estrutura flutuante à medida que esta última percorre seu passeio lento.
Trata-se do fenômeno conhecido como wave-drift damping, objeto de
acirradas discussões no final da década de 1990 e de difícil modelagem
computacional.
PNV5202
Referências bibliográficas
MATOS, V.L.F; SIMOS, A.N.; SPHAIER, S.H. Second-order resonant heave, roll and pitch
motions of a deep-draft semi-submersible: Theoretical and experimental results. Ocean
Engineering, v. 38, n. 17-18, p. 2227–2243, 2011
MATSUMOTO, F.T. Modelagem de Efeitos de Segunda-Ordem nos Movimentos de Roll de
Plataformas Tipo FPSO, Tese de Doutorado, EPUSP, 2013
SIMOS, AN; SPARANO, JV; ARANHA, JAP; MATOS, VLF, 2nd Order Hydrodynamic Effects on
Resonant Heave, Pitch and Roll Motions of a Large-Volume Semi-Submersible Platform, in
Proc. of the ASME 27th Int Conf on Offshore Mechanics and Arctic Engineering (OMAE2008),
2008.
SIMOS, A.N.; RUGGERI,F.; WATAI,R.A.; SOUTO-IGLESIAS, A.; LOPEZ-PAVON, C. Slow-drift
of a floating wind turbine: An assessment of frequency-domain methods based on model tests.
Renewable Energy, v. 116, p. 133–154, 2018
Para um estudo a respeito da modelagem teórica do wave-drift damping:
Aranha, J. A. P. (1994). Formula for wave damping in the drift of a floating body. Journal of
Fluid Mechanics, 275, 147-55
Aranha, J. A. P. (1996). Second-order horizontal steady forces and moment on a floating body
with small forward speed. Journal of Fluid Mechanics, 313, 39-54
Aranha, J. A. P., Silva, S., Martins, M. R., & Leite, A. J. P. (2001). A weathervane ship under
wave and current action: an experimental verification of the wave drift damping formula.
Applied Ocean Research, 23( 2), 103-110
A aproximação de ruído-branco
• Relembremos, incialmente que, como vimos na aula passada, para um mar
irregular incidindo sobre a estrutura em uma direção β, o espectro de força
de baixa-frequência em segunda-ordem no gdl α é expresso por:
, (
, )=8
∞
∫
( ,
( ) ( + )
+ , )
2
𝜔
𝑑
𝛽
𝜇
𝜔
𝜔
𝛼
𝑇
𝜇
𝜔
𝑆
𝜔
𝑆
𝛽
𝛼
𝐹
0
• E, aqui, faremos a suposição adicional de que é razoável desconsiderar os acoplamentos
dinâmicos entre os movimentos, para tratar cada grau-de-liberdade isoladamente.
𝜇
𝑆
4
5
A aproximação de ruído-branco
• Nessa condição, já sabemos que a resposta lenta do sistema a uma
excitação irregular é da forma:
( ) = Re
∑
=1
( ) faz o papel de uma função de transferência que relaciona o movimento em questão à
onde a função
força excitação, ou uma função de transferência de força unitária, que no caso do sistema flutuante é dada
por (*):
( )= −
2(
𝑗
𝑡
𝜇
𝑖
𝑁
𝛼
𝛼
𝑐
𝛼
𝛼
𝑗
𝑏
𝜇
𝑖
𝛽
𝑒
𝛼
𝛼
𝑗
𝜇
𝐹
𝛼
𝑎
𝛼
𝛼
𝑗
𝜇
𝛼
𝑚
𝑗
𝜇
𝐻
𝜇
𝑗
𝜇
𝛼
+
1
)+
+
(*) considerando aqui que, eventuais efeitos externos de amortecimento ou de rigidez esteja
devidamente linearizados e somados aos termos de amortecimento potencial e de rigidez
hidrostática
𝑗
𝑡
𝑗
𝛼
𝛼
𝑥
𝐻
𝐻
−
(
,
)
( )
6
A aproximação de ruído-branco
• E o espectro de energia do movimento se relacionará diretamente
com o espectro de força através da relação:
, (
( )
, (
, )
• A chamada aproximação de ruído-branco vai então explorar as características da
função de transferência
( ) para propor uma simplificação que nos será bastante
𝛽
𝜇
𝛼
𝐹
𝑆
𝜇
𝐻
𝛽
𝛼
𝜇
𝛼
𝜇
𝛼
𝑥
útil. A condição para que essa simplificação seja válida será a de que o espectro de
resposta seja de banda-estreita.
𝑆
𝐻
, )=
2
A aproximação de ruído-branco
• Como tratamos de movimentos ressonantes, é fácil perceber qual
será a implicação prática dessa condição:
=
• Na ressonância, teremos:
,
e o módulo da função de transferência de força unitária na frequência
ressonante se reduzirá a :
(
ou, ainda, lembrando que:
, )
=
(
1
,
, )=2
(
, )
, [
+
(
, )]
𝛼
𝑛
𝜔
𝛼
𝛼
𝛼
𝑏
𝜔
𝑛
onde corresponde ao fator de amortecimento crítico do movimento
em questão.
𝛼
𝜁
𝛼
𝑛
𝜔
𝛼
𝛼
𝑎
𝛼
𝛼
𝑚
𝑛
𝜔
𝛼
𝛼
𝑛
𝜔
𝛼
𝛼
𝑛
𝑛
𝜔
𝛼
𝐻
𝛼
𝛼
𝛼
𝜔
𝑏
𝜇
𝜁
7
8
A aproximação de ruído-branco
(
, )
=
2
[
2
,
1
(
+
, )]
=
2
1
E, então, é fácil perceber que, ao tratarmos de movimentos que
estejam submetidos a baixo nível de amortecimento, a energia do
movimento estará concentrada em uma pequena faixa de
frequências em torno da frequência ressonante.
𝛼
𝛼
𝑛
𝜔
𝐻
𝛼
𝛼
𝛼
𝜁
𝑐
𝛼
𝜁
𝛼
𝑛
𝜔
𝛼
𝛼
𝑎
𝛼
𝛼
𝛼
𝑚
𝜔
𝑛
Observando, então, que os sistemas flutuantes costumam apresentar
níveis de amortecimento na faixa de 10% do crítico ou menores,
essa condição é frequentemente atendida na prática.
9
A aproximação de ruído-branco
A aproximação de ruído-branco vai, então, aproveitar-se desta
situação para propor que, quando o amortecimento do sistema é
suficientemente baixo, pode-se considerar:
, (
( )
, (
, ,
)
Ou seja, como a função de transferência é de banda-estreita em
torno da frequência ressonante = , , é razoável aproximar o
𝛼
𝛽
𝜶
𝒏
𝝎
𝛼
𝐹
𝑆
𝜇
𝐻
𝛽
𝛼
𝜔
𝑛
𝜇
𝛼
𝑥
espectro de força como um espectro de força constante (daí o nome
ruído-branco) para o cômputo da resposta.
𝑆
𝜇
, )≅
2
10
A aproximação de ruído-branco
Uma ilustração gráfica para esta consideração é dada na figura
abaixo, aqui considerando o movimento lento de roll de uma
estrutura semissubmersível:
( )
𝜔
𝐻
Figura extraída de
Simos et al. (2008)
2
11
A aproximação de ruído-branco
A aproximação pode ser explorada também para se estimar
diretamente a variância do movimento ( 2, ) em questão, dado que,
como argumenta Faltinsen (1990), nessa situação tem-se também:
2
,
)∫
, ,
( )
2
≅
, (
2
0
∞
, (
, ,
)=8∫ ( ) ( +
( ,
, )
𝛼
𝑥
𝛼
𝛼
𝛼
𝜔
𝑑
𝛽
𝑛
𝛼
𝜷
𝜶
𝒏
𝜔
𝛼
𝝎
𝑆
𝝎
𝐹
𝑏
𝜋
𝝎
𝜶
𝑻
𝛼
𝑛
𝜇
𝑑
𝜔
𝜇
𝛼
𝜔
𝑆
𝐻
𝜔
𝑆
𝛽
𝛼
𝑛
𝜔
𝛼
𝛽
𝐹
𝛼
𝑛
𝑆
𝜔
𝛼
𝛼
𝐹
𝜎
𝑥
𝑐
𝛼
0
𝑆
𝜎
, (
≅
∞
+
, ,
, ,
)
)
2
A aproximação de ruído-branco
• Obviamente, a grande vantagem que resulta da aproximação de
ruído-branco é o fato de que não mais será necessário computar as
QTFs para todos pares de frequência ( , ), mas apenas para a
diagonal correspondente a ( ,
+
, ), o que reduz sensivelmente
o número de problemas de segunda ordem a ser resolvido.
𝜶
𝒏
𝑖
𝑗
𝒊
𝒊
• Além disso, deve-se notar que, caso as condições de estudo
favoreçam, a aproximação pode ser combinada com qualquer uma
das outras simplificações já discutidas para o cômputo das QTFs
(como por exemplo a Aproximação de Newman), trazendo uma
redução ainda maior do esforço computacional envolvido.
𝝎
𝜔
𝜔
𝝎
𝝎
12
A aproximação de ruído-branco
• Se combinada com a aproximação de Newman, a aproximação de
ruído-branco corresponderá, então, a aproximar o espectro de força
de segunda-ordem por:
∞
, )≅8
( ) ( +
, ( ,
∫
, ( , )≅
(
, )
0
,
+
)
,
2
𝜶
𝜔
𝑑
𝜷
𝝎
𝒏
𝝎
𝜶
𝑫
𝛼
𝑛
𝜔
𝜔
𝑆
𝜔
𝑆
𝛽
𝛼
𝑛
𝛼
𝜔
𝑆
𝛽
𝛼
𝐹
𝐹
𝟐
• A validade da aproximação de ruído-branco já foi demonstrada em
uma série de estudos envolvendo sistemas variados, como semisubmersíveis e FPSOs, e tanto em estudos envolvendo derivas-lentas
horizontais como também para movimentos lentos verticais. Alguns
exemplos serão apresentados nos próximos slides.
𝜇
𝑆
13
14
A aproximação de ruído-branco
• FOWT (flutuador semissubmersível)
Extraídas de Simos et al (2018)
15
A aproximação de ruído-branco
• Deep-draft Oil & Gas semissubmersible
Extraídas de Matos et al (2011)
16
A aproximação de ruído-branco
• FPSO: Condição de carga 90%
Extraídas de Matsumoto (2013)
17
A aproximação de ruído-branco
• FPSO: Condição de carga 49%
Extraídas de Matsumoto (2013)
A aproximação de ruído-branco
• O estudo de Matsumoto (2013) evidenciou que, em geral, calados
mais baixos do FPSO resultavam em erros maiores para a
aproximação de ruído branco, pois implicavam em uma banda de
resposta mais larga.
• É importante mencionar que Matsumoto propôs, então, uma
aproximação distinta, inspirada na aproximação de ruído-branco
original, mas supondo que, ao invés do espectro de força, a própria
QTF de momento fosse suposta constante e igual a seu valor quando
= , . Com isso, buscou preservar a variação da energia dos
𝛼
𝑛
diferentes grupos de ondas e conseguiu uma redução sensível dos
erros.
𝜔
𝜇
18
19
A aproximação de ruído-branco
• A aproximação proposta por Matsumoto (2013) pode ser escrita na
forma:
, (
∫
(
( ) ( + )
0
+ ( −
, ),
)
2
onde a função
faz o papel de um RAO para amplitude de onda
unitária e é calculada sempre com os valores da QTF em sua diagonal
Tα(ω, + , , β).
𝛚
𝛚
𝜶
𝛂
𝐧
𝜔
𝑑
𝜷
𝜶
𝒏
𝝎
𝝁
𝟏
𝝎
𝜶
𝝃
𝜇
𝜔
𝑆
𝜔
𝑆
𝛽
𝜇
𝜶
𝒙
𝟐
• A figura a seguir ilustra a variação obtida com esta proposta para o
calado que havia resultado no maior erro da aproximação original de
ruído-branco (carregamento 49%)
𝑺
𝝃
, )≅8
∞
20
A aproximação de ruído-branco
• FPSO: Condição de carga 49%
Extraídas de Matsumoto (2013)
21
Estimativa de amortecimentos
• A essa altura, já ficou evidente que as condições que impõem
movimentos lentos relevantes estão também associadas a baixos
níveis de amortecimento fluido da estrutura.
• Uma estimativa precisa do nível de amortecimento ressonante da
estrutura é difícil, principalmente pelo fato de que este
amortecimento é geralmente dominado por efeitos viscosos, que estão
além do alcance do modelo de escoamento empregado para o
cômputo das QTFs e demais coeficientes inerciais.
22
Estimativa de amortecimentos
• Caso o aluno se atente para os detalhes dos artigos citados nesta aula,
que visavam predizer os movimentos lentos induzidos por ondas em
diferentes sistemas amarrados, perceberá que frequentemente se
recorre aos chamados ensaios de decaimento (ou extinção) como uma
referência para o nível de amortecimento do sistema.
Ensaios de oscilação forçada da estrutura são também uma alternativa, mas em
geral são mais trabalhosos e requerem atuadores de maior porte que, geralmente,
não estão disponíveis.
23
Estimativa de amortecimentos
Extraída de Simos et al (2018)
Um dos métodos para se estimar os coeficientes linear e quadrático de
amortecimento a partir dos ensaios de decaimento (decremento logarítmico) é
discutido, por exemplo, em Faltinsen (1990)
24
Estimativa de amortecimentos
• No entanto, esse procedimento é obviamente questionável, dado que
as forças de amortecimento produzidas nos ensaios de decaimento não
reproduzem aquelas que ocorrerão quando do movimento da estrutura
em ondas por várias razões:
▫ ausência dos campos de ondas incidente e difratado;
▫ ausência dos efeitos dos movimentos em outros graus de liberdade
sobre o escoamento ao redor da estrutura;
▫ etc.
• Com isso, é importante ter em mente que a previsão dos
amortecimentos é sempre um fator de erro importante, exigindo que
as previsões de movimentos ressonantes sejam acompanhadas, pelo
menos, da consideração de uma margem de incerteza razoável para
os mesmos.
25
Wave-drift damping
• Por fim, não se pode concluir a discussão sobre amortecimentos sem
que se comente a contribuição do chamado wave-drift damping para
os mesmos.
• A origem deste amortecimento está associada ao efeito Doppler e é
simples de compreender: Dado que o corpo passeia durante seus
movimentos lentos com uma certa velocidade cuja magnitude
chamaremos de U, a frequência de encontro entre a estrutura e a onda
incidente varia continuamente no decorrer de cada ciclo de oscilação
de acordo com a fórmula:
ω =ω 1−
(
𝛽
𝑠
𝑜
𝑐
𝑈
𝑒
𝑐
onde c corresponde à celeridade da onda
)
26
Wave-drift damping
• Nesta situação, haverá então uma variação contínua das forças de
deriva (chamemo-nas de D ) em relação àquelas observadas quando o
corpo está parado (chamemo-nas D0 ). Desconsiderando termos da
2
ordem
, podemos escrever:
D = D0 +
D0
onde o termo de variação, sendo proporcional à velocidade, atuará
como uma força de amortecimento sobre a estrutura que se
movimenta.
𝑈
𝜕
𝑈
𝑈
𝑈
𝑈
𝜕
• Para um melhor entendimento dos aspectos físicos do problema,
recomenda-se ao aluno a leitura do artigo seminal de Aranha (1994).
27
Wave-drift damping
• Aranha (1994) mostrou então que, para um corpo bidimensional:
D (ω) = D0(ω ) 1 − 4
(
)
• Expressão que, se expandida em relação a U, leva também ao seguinte
resultado:
D (ω) = D0(ω) −
[ (
1
ω
D0(ω)
)]
+ 4D0(ω)
expressão que ficou conhecida no meio como “fórmula de Aranha”.
𝜔
𝜕
𝑐
𝜕
𝑈
𝑈
𝑒
𝑈
𝑈
𝑐
• O termo entre colchetes representa um coeficiente de amortecimento
associado ao movimento do corpo com velocidade U
28
Wave-drift damping
• Aranha (1996) posteriormente estendeu a expressão acima para corpos
tridimensionais e considerando os três movimentos no plano
horizontal (surge, sway e yaw).
• Em Aranha et al. (2001), a variação do ângulo de equilíbrio em yaw de
um modelo de FPSO em configuração turret registrado em ensaios de
reboque em ondas permitiu uma validação contundente da fórmula:
29
Wave-drift damping
Ângulo de equilíbrio
estimado sem WDD
estimado com WDD
Extraídas de Aranha et al. (2001)
30
Wave-drift damping
• No tratamento do problema no domínio da frequência em casos em
que U é constante (avanço do navio, correnteza), a fórmula de Aranha
tem aplicação simples, e pode mesmo ser estendida facilmente para o
estudo de casos em mares irregulares (ver Aranha et al (2001)).
• A quantificação dos efeitos de wave drift damping nas forças de deriva
lenta e a transposição destes resultados para o domínio do tempo,
porém, são mais complexas e sujeitas a dúvidas quanto à sua
implementação. Ainda assim, a fórmula fornece uma base sólida para
uma avaliação da relevância do WDD em problemas reais, além de ser
mais um belo exemplo de como uma abordagem simples, baseada em
conceitos físicos essenciais, é capaz fornecer resultados práticos a
respeito de fenômenos naturalmente complexos.