Líneáris függvények
Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m ≠ 0,
m, b ∈ R els fokú függvényeknek nevezzük.
Az f(x) = mx + b képletben
- a b megmutatja, hogy a függvény hol metszi az y
tengelyt, majd
- az m (meredekség) megmutatja, hogy az el bb kapott
pontból jobbra lépve egy egységet hány (m) egységet
lépjünk fölfele (m > 0), vagy lefele (m < 0).
Ábrázoljuk az f(x) = 2x + 3 függvényt!
Ábrázoljuk az f(x) = −3x + 1 függvényt!
Az y tengelyt (0, 3) pontban metszi a függvény,
ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 2-t
fölfele. Az így kapott pontokat összekötjük.
Az y tengelyt (0, 1) pontban metszi a függvény,
ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 3-at
lefele. Az így kapott pontokat összekötjük.
y
y
10
10
8
(0,3)
6
-5
6
4
4
2
2
0
-10
8
-2
0
5
10
x
0
-10
-5
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
0
5
10
x
−1
Ábrázoljuk az f(x) = 3 x − 2 függvényt!
Az y tengelyt (0, −2) pontban metszi a függvény,
1
-ot
3
ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd
fölfele (3-at jobbra, 1-et felfelé).
Az így kapott pontokat összekötjük.
8
8
6
6
4
4
2
2
-2
0
5
10
x
5
fölfele (5-öt jobbra, 1-et felfele).
Az így kapott pontokat összekötjük.
y
10
0
-5
Az y tengelyt (0, 1) pontban metszi a függvény,
ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 1 -öt
y
10
-10
1
Ábrázoljuk az f(x) = 5 x + 1 függvényt!
0
-10
-5
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
0
5
10
x
Ábrázoljuk az f(x) = 2x függvényt!
Az y tengelyt (0, 0) pontban metszi a függvény,
ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 2-t
fölfele. Az így kapott pontokat összekötjük.
1
Ábrázoljuk az f(x) = 2 x függvényt!
Az y tengelyt (0, 0) pontban metszi a függvény,
ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 1 -et
2
fölfele (2-t jobbra, 1-et felfele).
Az így kapott pontokat összekötjük.
y
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
-10
-5
-2
0
y
5
10
x
0
-10
-5
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
0
5
10
x
Ábrázoljuk az f(x) = x függvényt!
Ábrázoljuk az f(x) = −x függvényt!
Az y tengelyt (0, 0) pontban metszi a függvény,
ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 2-t
fölfele. Az így kapott pontokat összekötjük.
Az y tengelyt (0, 0) pontban metszi a függvény,
ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 1-et
fölfele. Az így kapott pontokat összekötjük.
y
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
-10
-5
-2
y
10
0
5
10
x
0
-10
-5
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
0
5
10
x
Függvények jellemzése
ÉT:
értelmezési tartomány
A változó lehetséges értékeinek a halmaza. jelölés:Df
ÉK:
értékkészlet
A lehetséges függvényértékek halmaza.
ZH:
zérushely
Széls érték
min:
Egy f függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindazon x
értékeit, melyre f(x) = 0.
Az a pont, ahol a függvény érinti6metszi az x tengelyt
minimum
max:
maximum
Monotonitás
mon. n :
monoton n
mon. csökken:
monoton csökken
Paritás:
jelölés:Rf
Egy függvénynek minimuma van az értelmezési tartományhoz tartozó x0 helyen, ha
az ott felvett f(x0) függvényértéknél kisebb értéket sehol sem vesz fel a függvény.
Egy függvénynek maximuma van az értelmezési tartományhoz tartozó x0 helyen,
ha az ott felvett f(x0) függvényértéknél nagyobb értéket sehol sem vesz fel a
függvény.
Azt mondjuk, hogy az f függvény monoton növekv az értelmezési tartomány egy
intervallumán, ha az intervallum bármely x1 < x2 elemeihez rendelt
függvényértékekre az f(x1) ≤ f(x2) reláció áll fenn.
Azt mondjuk, hogy az f függvény szigorúan monoton növekv az értelmezési
tartomány egy intervallumán, ha az intervallum bármely x1 < x2 elemeihez rendelt
függvényértékekre az f(x1) < f(x2) reláció áll fenn.
Azt mondjuk, hogy az f függvény monoton csökken az értelmezési tartomány egy
intervallumán, ha az intervallum bármely x1 < x2 elemeihez rendelt
függvényértékekre az f(x1) ≥ f(x2) reláció áll fenn.
Azt mondjuk, hogy az f függvény szigorúan monoton csökken az értelmezési
tartomány egy intervallumán, ha az intervallum bármely x1 < x2 elemeihez rendelt
függvényértékekre az f(x1) > f(x2) reláció áll fenn.
Legyen az értelmezési tartományának minden elemével együtt annak ellentettje is
eleme az értelmezési tartományának; (x ∈ Df, akkor –x ∈ Df) és
Egy függvényt párosnak nevezünk, ha minden értelmezési tartománybeli elem
ellentettjéhez az eredeti elemhez rendelt függvényértékeket rendeli; (minden x ∈ Df
esetén f(x) = f(–x)).
Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha minden értelmezési tartománybeli elem
ellentettjéhez az eredeti elemhez rendelt függvényérték mínusz egyszeresét rendeli;
(minden x ∈ Df esetén f(x) = – f(–x)).
Példák
f(x) = −3x + 1
f(x) = 2x + 3
y
10
y
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
-10
-5
-2
0
5
10
x
-10
-5
-2
0
5
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
ÉT:
ÉK:
ZH:
Sz.é. min.:
max.:
Mon .csökken:
Mon. n :
Paritás
x∈R
y∈R
x = – 1,5
–
–
–
]–∞ ; ∞[
–
ÉT:
ÉK:
ZH:
Sz.é. min.:
max.:
Mon .csökken:
Mon. n :
Paritás
x∈R
y∈R
x = 0,5
–
–
]–∞ ; ∞[
–
–
10
x
1
f(x) = 5 x + 1
−1
f(x) = 3 x − 2
y
10
y
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
-10
-5
-2
0
5
10
x
0
-10
-5
-2
-4
5
-4
-6
-6
-8
-8
-10
ÉT:
ÉK:
ZH:
Sz.é. min.:
max.:
Mon .csökken:
Mon. n :
Paritás
0
-10
x∈R
y∈R
x=–6
–
–
]–∞ ; ∞[
–
–
ÉT:
ÉK:
ZH:
Sz.é. min.:
max.:
Mon .csökken:
Mon. n :
Paritás
x∈R
y∈R
x = –5
–
–
–
]–∞ ; ∞[
–
10
x
1
f(x) = 2 x
f(x) = 2x
y
10
y
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
-10
-5
-2
0
5
10
x
-10
-5
-4
-4
-6
-6
ÉT:
ÉK:
ZH:
Sz.é. min.:
max.:
Mon .csökken:
Mon. n :
Paritás
-2
0
-8
-8
-10
-10
x∈R
y∈R
x= 0
–
–
–
]–∞ ; ∞[
páratlan
ÉT:
ÉK:
ZH:
Sz.é. min.:
max.:
Mon .csökken:
Mon. n :
Paritás
x∈R
y∈R
x=0
–
–
–
]–∞ ; ∞[
páratlan
5
10
x
f(x) = x
f(x) = −x
y
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
-10
-5
ÉT:
ÉK:
ZH:
Sz.é. min.:
max.:
Mon .csökken:
Mon. n :
Paritás
-2
y
10
0
5
10
x
0
-10
-5
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
x∈R
y∈R
x=0
–
–
–
]–∞ ; ∞[
páratlan
ÉT:
ÉK:
ZH:
Sz.é. min.:
max.:
Mon .csökken:
Mon. n :
Paritás
0
5
x∈R
y∈R
x=0
–
–
]–∞ ; ∞[
–
páratlan
10
x