Algoritmos de Busca em Mapas
Um estudo educacional da Busca em Largura (BFS)
Resumo
Este material apresenta, de forma gradual, o problema de encontrar caminhos em mapas
representados por grades. O foco é o algoritmo de Busca em Largura, conhecido pela sigla
BFS (do inglês Breadth-First Search). Além da explicação conceitual, são analisados três
cenários com diferentes posições de início e objetivo e três níveis de complexidade. O propósito
é compreender não apenas qual caminho foi encontrado, mas também por que a quantidade de
células exploradas varia entre os experimentos.
Conteúdo
1 O problema de busca de caminhos
2
2 Da grade para um grafo
2.1 Comparação inicial entre algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3 Como funciona a Busca em Largura
3.1 Estruturas de dados necessárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Execução passo a passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Custo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
3
3
4 Como ler os experimentos
4.1 Cenário 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Cenário 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Cenário 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
5
6
5 Resultados consolidados
5.1 Indicadores derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
6 O que os resultados ensinam
7
7 Limitações e extensões
7
8 Questões para revisão
8
9 Conclusão
8
1
Algoritmos de busca em mapas
1
Busca em Largura (BFS)
O problema de busca de caminhos
Encontrar um caminho é uma tarefa recorrente em robótica móvel, jogos digitais, logística e sistemas
de navegação. Em termos simples, deseja-se responder à seguinte pergunta:
Como sair de uma posição inicial e alcançar um objetivo sem atravessar obstáculos?
Neste estudo, o ambiente é representado por um occupancy grid, ou mapa de ocupação. Trata-se
de uma grade dividida em células, na qual cada célula informa se uma pequena região do ambiente
pode ou não ser atravessada.
Vocabulário essencial. Uma célula livre pode ser visitada; uma célula bloqueada
representa um obstáculo; a célula de partida indica o início da busca; e a célula objetivo
indica o destino.
Para este documento, considera-se que um movimento leva o agente de uma célula para uma
vizinha permitida. O conjunto de movimentos aceitos deve ser definido antes da execução do
algoritmo. Em uma grade com vizinhança de quatro direções, por exemplo, são permitidos
movimentos para cima, para baixo, para a esquerda e para a direita.
2
Da grade para um grafo
Embora o ambiente seja desenhado como uma grade, um algoritmo de busca pode interpretá-lo
como um grafo:
• cada célula livre corresponde a um vértice (ou nó);
• uma ligação entre duas células vizinhas corresponde a uma aresta;
• as células bloqueadas não participam das rotas possíveis;
• encontrar um caminho equivale a encontrar uma sequência de vértices entre a partida e o objetivo.
Essa transformação é importante porque permite empregar algoritmos clássicos de busca em
grafos, como DFS, BFS, Dijkstra e A*.
2.1
Comparação inicial entre algoritmos
Tabela 1: Visão geral de algoritmos comuns de busca
Algoritmo
Estratégia
Garante menor caminho?
Observação didática
DFS
Aprofunda uma rota
antes de testar alternativas.
Explora o mapa por camadas de distância.
Não, em geral.
Usa pilha ou recursão e pode
seguir cedo por uma direção
pouco promissora.
Usa uma fila e serve como referência neste estudo.
BFS
Dijkstra
A*
3
Expande primeiro o
menor custo acumulado.
Combina custo acumulado e estimativa até o
objetivo.
Sim, quando todas as
ações têm o mesmo
custo.
Sim, para custos não negativos.
Sim, sob condições apropriadas da heurística.
Adequado quando movimentos possuem custos diferentes.
Em geral direciona melhor a
busca ao destino.
Como funciona a Busca em Largura
A BFS explora as células em camadas. Primeiro visita as células a um movimento da partida;
depois, as células a dois movimentos; em seguida, as células a três movimentos, e assim por diante.
2
Algoritmos de busca em mapas
Busca em Largura (BFS)
Essa ordem explica por que ela encontra um caminho com o menor número de passos quando todos
os movimentos possuem o mesmo custo.
3.1
Estruturas de dados necessárias
Uma implementação típica utiliza:
• uma fila, que preserva a ordem de descoberta das células;
• um conjunto de visitados, que impede a exploração repetida de uma mesma célula;
• um registro de predecessores, usado para reconstruir o caminho após alcançar o objetivo.
3.2
Execução passo a passo
1. Coloque a célula de partida na fila e marque-a como visitada.
2. Retire a primeira célula da fila.
3. Se ela for o objetivo, encerre a busca.
4. Examine seus vizinhos livres.
5. Para cada vizinho ainda não visitado, registre seu predecessor, marque-o como visitado e coloque-o
no fim da fila.
6. Repita os passos 2 a 5 enquanto houver células na fila.
7. Se a fila ficar vazia antes de o objetivo ser encontrado, não existe caminho válido nas condições
definidas.
Por que o caminho é mínimo? Como a BFS examina todas as células a uma distância
d antes das células a uma distância d + 1, o primeiro encontro com o objetivo corresponde
ao menor número de movimentos, desde que todas as arestas tenham o mesmo custo.
3.3
Custo computacional
Em um grafo com V vértices e E arestas, a complexidade de tempo da BFS é
O(V + E),
pois cada vértice é visitado no máximo uma vez e cada aresta é examinada um número constante
de vezes. O consumo de memória também é O(V ), devido à fila, ao conjunto de visitados e ao
registro de predecessores. Em uma grade, isso significa que, no pior caso, uma grande parte das
células livres poderá ser armazenada e explorada.
4
Como ler os experimentos
Foram avaliados três cenários. Em cada cenário, são mantidos os níveis de complexidade simples,
intermediário e difícil. Todos os mapas possuem 100 células, mas a quantidade de obstáculos
cresce com a dificuldade:
• simples: 15 células bloqueadas e 85 livres;
• intermediário: 37 células bloqueadas e 63 livres;
• difícil: 48 células bloqueadas e 52 livres.
As duas imagens de cada caso devem ser lidas em conjunto. A primeira apresenta a configuração
inicial: células livres em branco, obstáculos em preto, partida em verde e objetivo em vermelho.
A segunda apresenta o estado final da busca: o trajeto reconstruído aparece em azul, as regiões
processadas são indicadas em cinza e as células em ciano pertencem à fronteira ainda aberta no
instante registrado. Assim, é possível comparar o produto final (o caminho) com o trabalho
computacional necessário para encontrá-lo (as células exploradas).
3
Algoritmos de busca em mapas
4.1
Busca em Largura (BFS)
Cenário 1
(a) Mapa simples.
(b) Mapa intermediário.
(c) Mapa difícil.
Figura 1: Configurações iniciais dos mapas do cenário 1.
(a) Resultado no mapa simples.
(b) Resultado no mapa intermediário.
(c) Resultado no mapa difícil.
Figura 2: Estado final da BFS no cenário 1: caminho, exploração e fronteira.
Neste cenário, os mapas simples e intermediário produzem caminhos de mesmo comprimento (14),
mas exigem 81 e 58 células exploradas, respectivamente. Isso mostra que a quantidade de células
livres, por si só, não determina o comprimento da rota. Já o mapa difícil força um desvio maior: o
caminho cresce para 22 células e todas as 52 células livres são exploradas.
4
Algoritmos de busca em mapas
4.2
Busca em Largura (BFS)
Cenário 2
(a) Mapa simples.
(b) Mapa intermediário.
(c) Mapa difícil.
Figura 3: Configurações iniciais dos mapas do cenário 2.
(a) Resultado no mapa simples.
(b) Resultado no mapa intermediário.
(c) Resultado no mapa difícil.
Figura 4: Estado final da BFS no cenário 2: caminho, exploração e fronteira.
O cenário 2 evidencia o efeito da distância entre partida e objetivo. No mapa simples, apenas
16 células são exploradas para produzir um caminho de comprimento 5. Conforme os obstáculos
impõem desvios, o comprimento aumenta para 7 e depois para 17, acompanhado pelo crescimento
da exploração para 24 e 40 células.
5
Algoritmos de busca em mapas
4.3
Busca em Largura (BFS)
Cenário 3
(a) Mapa simples.
(b) Mapa intermediário.
(c) Mapa difícil.
Figura 5: Configurações iniciais dos mapas do cenário 3.
(a) Resultado no mapa simples.
(b) Resultado no mapa intermediário.
(c) Resultado no mapa difícil.
Figura 6: Estado final da BFS no cenário 3: caminho, exploração e fronteira.
Neste cenário, o mapa difícil apresenta um resultado particularmente instrutivo: seu caminho tem
comprimento 12, igual ao do mapa simples, mas somente 39 células são exploradas, contra 77
no caso simples. Os obstáculos reduziram o número de alternativas disponíveis e canalizaram a
expansão da BFS. Portanto, adicionar obstáculos nem sempre aumenta o esforço da busca; o efeito
depende de onde eles estão posicionados.
5
Resultados consolidados
As Tabelas 2, 3 e 4 reúnem as métricas dos experimentos. A coluna “células exploradas” mede o
esforço da busca, enquanto o “comprimento do caminho” mede o tamanho da solução encontrada.
Essas grandezas estão relacionadas, mas não são equivalentes.
Tabela 2: Métricas da BFS no cenário 1
Complexidade
Total
Bloqueadas
Livres
Exploradas
Caminho
Simples
Intermediário
Difícil
100
100
100
15
37
48
85
63
52
81
58
52
14
14
22
6
Algoritmos de busca em mapas
Busca em Largura (BFS)
Tabela 3: Métricas da BFS no cenário 2
Complexidade
Total
Bloqueadas
Livres
Exploradas
Caminho
Simples
Intermediário
Difícil
100
100
100
15
37
48
85
63
52
16
24
40
5
7
17
Tabela 4: Métricas da BFS no cenário 3
5.1
Complexidade
Total
Bloqueadas
Livres
Exploradas
Caminho
Simples
Intermediário
Difícil
100
100
100
15
37
48
85
63
52
77
49
39
12
14
12
Indicadores derivados
Para aprofundar a leitura, pode-se calcular a taxa de exploração:
células exploradas
× 100%.
células livres
Por exemplo, no mapa simples do cenário 1, a BFS explora
taxa de exploração =
81
× 100% ≈ 95,3%
85
das células livres. No mapa simples do cenário 2, essa taxa é de apenas
16
× 100% ≈ 18,8%.
85
Os dois mapas possuem o mesmo número de células livres, mas exigem esforços muito diferentes.
A posição relativa entre partida e objetivo e a distribuição espacial dos obstáculos são, portanto,
decisivas.
6
O que os resultados ensinam
1. Mais obstáculos não significa automaticamente mais exploração. Obstáculos podem
gerar desvios, mas também podem eliminar alternativas e direcionar a expansão.
2. Um caminho curto não implica necessariamente uma busca pequena. A BFS pode
examinar muitas células situadas na mesma camada de distância antes de alcançar o objetivo.
3. A posição do objetivo é importante. Um objetivo próximo tende a ser encontrado após
poucas camadas, embora a configuração do mapa possa alterar esse comportamento.
4. Exploração e solução medem aspectos diferentes. O número de células exploradas
representa custo computacional; o comprimento do caminho representa a qualidade da rota em
número de movimentos.
5. A BFS é completa em grafos finitos. Se existir um caminho e o controle de visitados estiver
correto, a busca conseguirá encontrá-lo. Se a fila esvaziar, partida e objetivo estão desconectados.
7
Limitações e extensões
A BFS é uma excelente ferramenta introdutória e uma referência confiável para grades sem custos
diferenciados. Entretanto, ela não considera que certos terrenos possam ser mais difíceis de
7
Algoritmos de busca em mapas
Busca em Largura (BFS)
atravessar, nem utiliza informação sobre a direção do objetivo. Em mapas maiores, a expansão em
todas as direções pode consumir bastante memória.
Como continuidade, podem ser realizados os seguintes experimentos:
• comparar BFS e DFS usando exatamente os mesmos mapas;
• atribuir custos diferentes às células e aplicar o algoritmo de Dijkstra;
• aplicar o A* e verificar se sua heurística reduz a quantidade de células exploradas;
• permitir movimentos diagonais e observar como muda o comprimento dos caminhos;
• medir tempo de execução e consumo de memória em grades maiores.
8
Questões para revisão
1. Por que a BFS utiliza uma fila, e não uma pilha?
2. Em que condição a BFS garante um caminho de custo mínimo?
3. Qual é a diferença entre uma célula explorada e uma célula pertencente ao caminho final?
4. Por que o mapa difícil do cenário 3 explora menos células que o mapa simples?
5. Qual algoritmo seria mais apropriado se atravessar algumas células custasse mais que atravessar
outras?
9
Conclusão
Os experimentos mostram que o comportamento de um algoritmo de busca não depende apenas
da quantidade de obstáculos. A distância até o objetivo, a disposição das células bloqueadas e
o número de rotas alternativas influenciam diretamente a expansão. A BFS encontra o menor
caminho em número de movimentos quando todos os movimentos têm o mesmo custo, mas pode
explorar grande parte do espaço livre antes de chegar ao destino. Por isso, analisar simultaneamente
o comprimento do caminho e a quantidade de células exploradas oferece uma compreensão mais
completa do desempenho do algoritmo.
8