Capítulo 10. Rotação
Capítulo 10. Rotação .
Posição angular
θ :=
s
.
r
Velocidade angular média e instantânea
ωmed :=
∆θ
θ2 − θ1
=
.
∆t
t2 − t1
ω :=
A unidade no SI é o rad/s.
dθ
.
dt
Aceleração angular média e instantânea
αmed :=
∆ω
ω2 − ω1
=
.
∆t
t2 − t1
α :=
A unidade no SI é o rad/s2 .
dω
.
dt
Relação entre as variáveis lineares e angulares
s = θr , v = ωr , at = αr .
v2
= ω2r .
r
2πr
2π
T =
=
.
v
ω
ar =
Fazer exercício.
Energia Cinética de Rotação
1 2
Iω ,
2
K =
onde I é o momento de inércia definido como
X
I :=
mi ri2 ,
i
ou
Z
I :=
r 2 dm.
Exercício: Calcule o momento de inércia de duas massas
pontuais de 1kg que estão unidas por uma barra de massa
desprezível de 50 cm de comprimento, em relação ao centro
de massa do sistema.
Exercício: Qual é a energia cinética das massas do exercício
anterior se as mesmas giram com velocidade angular de 2,0
rad/s em torno do centro de massa?
Teorema dos Eixos Paralelos.
I = Icm + Mh2 .
A demonstração do teorema se encontra no livro texto.
Torque
~ em relação a origem é
O torque (ou momento) de uma força F
definido como
~,
~τ := ~r × F
onde ~r é a coordenada do ponto de aplicação da força. A
unidade de torque é o newton metro.
Em módulo
τ = rF sen φ = rF⊥ = r⊥ F ,
~ e ⊥ representa uma componente
onde φ é o ângulo entre ~r e F
~
~
de r ou F perpendicular ao outro vetor.
r⊥ = r sen φ, F⊥ = F sen φ.
~ estão no plano da página; um torque que tende a girar
Se ~r e F
no sentido anti-horário é positivo, enquanto que no sentido
horário é negativo.
Fazer exercícios.
2a Lei de Newton para rotação.
O torque da força resultante (em módulo) se relaciona com o
momento de inércia e com a aceleração angular por
τres = Iα.
~ res = m~a.
Note a semelhança com F
Trabalho e Energia Cinética de rotação.
O trabalho para rotação em torno de um eixo fixo é dado por
Z θ2
W =
τ dθ.
θ1
O teorema trabalho energia cinética para rotação fica
∆K =
1 2 1 2
Iω − Iωi = W .
2 f
2
Demonstração da Equação para Energia Cinética de
rotação. (optativo)
A energia cinética de várias partículas é
K =
n
X
1
i=1
2
mi vi2 .
Se elas giram todas com velocidade angular ω em torno de um
ponto comum, então
vi = ωri ,
logo
K =
n
X
1
i=1
2
mi vi2 =
n
X
1
i=1
2
n
mi (ωri )2 =
1 2X
1
ω
mi ri2 = Iω 2 .
2
2
i=1
Demonstração da 2a Lei de Newton para rotação. (optativo)
Vamos nos limitar a um caso simples de uma única partícula
de massa m.
O torque da força resultante em relação a origem é
τres = rFres,t = r (mat ) = rm(αr ) = (mr 2 )α = Iα.