Fórmulas Black y Scholes:
Para los precios de opciones europeas tanto de compra como de venta sobre divisas:
c = Se -rf T N(d1) – Ee –rT N(d2)
p = Ee –rT N(-d2) – Se -rf T N(-d1)
DONDE:
c = PRIMA DE LA OPCION CALL (SU PRECIO TEORICO)
p = PRIMA DE LA OPCION PUT (SU PRECIO TEORICO)
S = PRECIO SPOT DEL SUBYACENTE (O DE CONTADO, EN EL MERCADO)
E = PRECIO DE EJERCICIO (A VECES SE DENOMINA X)
N (d1), N (d2), N (-d2) y N (-d1) SON DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR
rf =TASA FORANEA (EN DECIMAL, ANUAL)
r = TASA LOCAL (EN DECIMAL, ANUAL)
T = TIEMPO (EN UNIDADES ANUALES)
s = DESVIACION ESTANDAR (VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL SUBYACENTE) (EN DECIMAL, ANUAL)
e = NÚMERO e, BASE DE LOS LOGARITMOS NATURALES = 2.718281828
CADA FÓRMULA CONTIENE UNA RESTA COMPUESTA DE DOS ELEMENTOS. CADA UNO DE ESTOS
ELEMENTOS CONSTA DE TRES FACTORES, QUE SE MULTIPLICAN MUTUAMENTE.
SE INICIARÁ LA EJEMPLIFICACIÓN CON UNA OPCION DE VENTA PUT
E = $20.75
S = $19.67
rf = 1.82%
r = 4.63%
T = 5 MESES = 5/12 AÑOS = .416667 AÑOS
N(-d2) = 0.79790883
N(-d1) = 0.78304997
s = 8% ESTE DATO SOLAMENTE ES DE CARÁCTER INFORMATIVO
DE LA FÓRUMA PARA CALCULAR LA PRIMA DE UNA OPCIÓN DE VENTA (PUT):
p = Ee –rT N(-d2) – Se -rf T N(-d1)
SE SUSTITUYE:
p = 20.75 (2.718281828 -.(0463 X .416667) ) 0.79790883 – 19.67 (2.718281828 –(.0182 X.416667) ) 0.78304997
PRIMERO SE RESUELVE LO SIGUIENTE:
e –rT = (2.718281828 -.(0463 X .416667) ) = 0.98089323
e -rf T = (2.718281828 –(.0182 X.416667) ) = 0.99244535
AHORA SE SUSTITUYE EN CADA ELEMENTO CORRESPONDIENTE:
p = 20.75 (0.98089323) 0.79790883 – 19.67 (0.99244535) 0.78304997
P = 16.2402648 – 15.28623162
p = $ 0.95403315
INTERPRETACIÓN: LA PRIMA DE UNA OPCIÓN PUT ($0.95) LE DA EL DERECHO A SU COMPRADOR
(LARGO) A VENDER DIVISAS A $20.75, CUANDO EN EL MERCADO ESTÁN A $19.67, A 5 MESES.
COMO EL PRECIO DE EJERCICIO ES SUPERIOR AL SPOT, LA OPCIÓN SE ENCUENTRA “IN THE
MONEY”, “ITM” O “DENTRO DEL DINERO”, ES DECIR ES ATRACTIVO EN ESTE MOMENTO EJERCER
EL DERECHO (LO ÚNICO QUE SE RESTARÍA DE LA GANANCIA E - S, SERÍA EL IMPORTE DE LA
PRIMA).
AHORA UN EJEMPLO CON UNA OPCION DE COMPRA CALL (MISMOS DATOS QUE LA ANTERIOR)
E = $20.75
S = $19.67
rf = 1.82%
r = 4.63%
T = 5 MESES = 5/12 AÑOS = .416667 AÑOS
N(-d2) = 0.79790883
N(-d1) = 0.78304997
s = 8% ESTE DATO SOLAMENTE ES DE CARÁCTER INFORMATIVO
DE LA FÓRUMA PARA CALCULAR LA PRIMA DE UNA OPCIÓN DE COMPRA (CALL):
c = Se -rf T N(d1) – Ee –rT N(d2)
TENEMOS LOS SIGUIENTES DATOS:
N(-d2) = 0.79790883
N(-d1) = 0.78304997
PARA OBTENER N(d2) y N(d1) SE USA LO SIGUIENTE:
N(d2) = 1 - N(-d2) = 1 - 0.79790883 = 0.20209117
N(d1) = 1 - N(-d1) = 1 - 0.78304997 = 0.21695003
SI NOS DIERAN N(d2) y N(d1), se haría lo siguiente para obtener N(-d2) y N(-d1):
N(-d2) = 1 - N(d2) = 1 - 0.20209117 = 0.79790883
N(-d1) = 1 - N(d1) = 1 - 0.21695003 = 0.78304997
Y EN LOS CÁLCULOS PARA PUT, SE OBTUVO:
e –rT = 0.98089323
e -rf T = 0.99244535
SE SUSTITUYE:
c = 19.67 (0.99244535) 0.21695003 - 20.75 (0.98089323) 0.20209117
c = 4.235168367 - 4.113269687
c = $ 0.12189868
INTERPRETACIÓN: LA PRIMA DE UNA OPCIÓN CALL ($0.12) LE DA EL DERECHO A SU COMPRADOR
(LARGO) A COMPRAR DIVISAS A $20.75, CUANDO EN EL MERCADO ESTÁN A $19.67, A 5 MESES.
COMO EL PRECIO DE EJERCICIO ES SUPERIOR AL SPOT, LA OPCIÓN SE ENCUENTRA “OUT THE
MONEY”, “OTM” O “FUERA DEL DINERO”, ES DECIR NO ES ATRACTIVO EN ESTE MOMENTO
EJERCER EL DERECHO (LO ÚNICO QUE SE PERDERÍA SERÍA EL IMPORTE DE LA PRIMA).
RELACIÓN PRIMA CARA ITM / PRIMA BARATA OTM = p / c EN ESTE CASO PARTICULAR
p = $ 0.95403315
c = $ 0.12189868
RELACIÓN PRIMA CARA ITM / PRIMA BARATA OTM = 0.95403315 / 0.12189868 = 7.82644364975
LA PRIMA DE LA OPCION PUT “ITM” ES CASI 8 VECES MÁS CARA QUE LA DE LA OPCIÓN CALL
“OTM”