Noen formler i emnet IF400
Forwardpriser:
P
F0,T
= S0 e−δ T (forhåndsbetalt),
F0,T = S0 e(r−δ )T ,
Leierate: δl = α − g.
Renter, kuponger, obligasjoner:
P(0, n) =
1
,
[1 + r(0, n)]n
[1 + r0 (t1 ,t2 )]t2 −t1 =
[1 + r0 (0,t2 )]t2
P(0,t1 )
1
=
=
.
[1 + r0 (0,t1 )]t1
P(0,t2 ) P0 (t1 ,t2 )
n
M
1 − Pt (t, T )
C/m
. B(y) = ∑
+
n
i
P
(t,t
)
(1
+
y/m)
(1
+
y/m)n
∑i=1 t i
i=1
i=1
"
#
n
n
1
i
C/m
M
B(y)
∂ B(y)
+
=−
= −B(y) × Dmod = −
× DMac .
∑
i
n
∂y
1 + y/m i=1 m (1 + y/m)
m (1 + y/m)
1 + y/m
n
Bt (t, T, c, n) = ∑ cPt (t,ti ) + Pt (t, T ),
Generell swap-pris: R =
Pari kupong: c =
∑ni=1 P0 (0,ti )F0,ti
∑ni=1 P0 (0,ti )
Put-call-sammenhenger: Call(K,t) − Put(K,t) = NV(F0,t − K)
P
P
C(ST , QT , T − t) − P(ST , QT , T − t) = Ft,T
(S) − Ft,T
(Q)
Ch (x0 , K, T ) = x0 K · Pu (
1 1
, ,T)
x0 K
Opsjonsverdsettelse:
∆ · S + B = e−rh Cu
e(r−δ )h − d
u−d
+Cd
u − e(r−δ )h
u−d
Ft,t+h +σ √h
e
St
Ft,t+h −σ √h
e
d=
St
u=
!
,
C(S, K, σ , r, T, δ ) = Se−δ T N(d1 ) − Ke−rT N(d2 )
= e(r−δ )h+σ
= e(r−δ )h−σ
√
h
√
h
ln(S/K) + (r − δ + 12 σ 2 )T
√
σ T
√
d2 = d1 − σ T
d1 =
P(S, K, σ , r, T, δ ) = Ke−rT N(−d2 ) − Se−δ T N(−d1 ),
P
P
P
P
C(F0,T
(S), F0,T
(K), σ , T ) = F0,T
(S)N(d1 ) − F0,T
(K)N(d2 )
P
P
P
P
(S), F0,T
(K), σ , T ) = F0,T
(K)N(−d2 ) − F0,T
(S)N(−d1 ),
P(F0,T
P (S)/F P (K)] + 1 σ 2 T
ln[F0,T
0,T
2
√
σ T
√
d2 = d1 − σ T
d1 =
Normalfordelingen: Det vises til tabellen for verdiene for N(x). Ellers gjelder N 0 (x) =
1 2
√1 e− 2 x .
2π
Opsjonsgrekere: Delta (∆) er e−δ T N(d1 ) for call, e−δ T [N(d1 ) − 1] for put. Gamma (Γ) har samme verdi for
put og call, nemlig
0
e−δ T N
√ (d1 ) .
Sσ T
Evigvarende amerikanske opsjoner:
K
CallAm =
h1 − 1
K
PutAm =
1 − h2
h1 − 1 S
h1 K
h1
h2 − 1 S
h2 K
h2
1 r−δ
h1 = − 2 +
2
σ
1 r−δ
h2 = − 2 −
2
σ
s
s
r−δ 1
−
σ2
2
2
r−δ 1
−
σ2
2
2
Risikabel selskapsgjeld (nullkupong)
B0 = e−(r+s)T B̄,
s=
Q
1
1
ln
≈ L.
T
RQ + 1 − Q
T
+
2r
σ2
+
2r
σ2