Cálculo de la cantidad de pintura necesaria para pintar un logo inspirado en
el logo del Real Madrid usando integrales y geometría
lbs372
Introducción:
El cálculo integral es una de las ramas de las matemáticas en el proceso de integración o anti-derivación.
Este concepto es muy común en la ingeniería y en las matemáticas en general y se utiliza principalmente
para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones. El cálculo integral fue utilizado por primera vez por los
científicos como Arquímedes y René Descartes. El cálculo integral se originó principalmente para el
estudio del área de figuras planas.1 Para buscar el área debajo de una curva se necesita el cálculo integral,
y se aplica dibujando rectángulos de anchura finita y altura igual al valor de la función en el centro del
intervalo. 2
El concepto principal de esta investigación es la aplicación de conceptos matemáticos, específicamente en
el área de la geometría y calculo integral, para calcular el área de la superficie de un logo creado por mí
inspirado en el logo del equipo de futbol Real Madrid, para saber el espacio que ocupa y poder pintarlo en
la pared de mi habitación. Esta investigación se inclina por la rama del diseño gráfico deportivo y uno de
los objetivos principales es demostrar como las herramientas matemáticas pueden verse reflejadas de
manera practica en áreas donde se sale de lo tradicional.
Además de mi amor por este equipo y sus increíbles atributos los cuales lo identifican, me interesaría
pintar el logo en mi pared ya que mi casa se encuentra en remodelación, y pensé que sería una gran idea
recrear este logo y calcular el área de las partes que tienen color usando figuras geométricas y calculo
integral con las funciones del contorno del logo, con el propósito de saber cuánta pintura haría falta y que
tan difícil seria de pintar en la pared de mi habitación.
1
HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL. (2015, 13 noviembre). busin-review-blog-es.
https://joserogg.wixsite.com/busin-review-blog-es/single-post/2015/11/13/historia-del-calculo-integral
2
Integral. (s. f.). http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbasees/integ.html#:~:text=%C3%81rea%20Bajo%20una%20Curva&text=El%20%C3%A1rea%20bajo%
20la%20curva,en%20el%20centro%20del%20intervalo.
1
El Real Madrid es el equipo más grande de Europa siendo el equipo de futbol con más copas de Europa
ganadas en toda la historia, fundado en 1902 por Juan Padrós. 3 Este es un club de futbol profesional en la
primera división de España ¨La Liga¨. Durante todos estos años, como cualquier equipo de futbol, posee
un logo o escudo el cual ha sido modificado con el paso de los años. Desde su comienzo fue un logo muy
simple y superficial sin ninguna complejidad, pero más adelante se convertiría en toda una identidad que
se caracteriza por su grande y ornamentada corona y sus colores que lo distinguen de todos los otros.
Imagen 1 Primer logo del Real Madrid 4
Imagen 2 Logo actual del Real Madrid 5
La geometría es la rama de las matemáticas que se centra en el estudio de las propiedades de las líneas,
planos, ángulos, formas y las distancias y relaciones entre ellos. 6 La geometría junto al cálculo integral
juega un papel muy importante ya que gracias a estos dos conceptos de las matemáticas se podrá llevar a
cabo este proyecto de manera efectiva.
Desde pequeño siempre he seguido al club merengue, siempre me he sentido muy atraído a los uniformes
con su gran y hermoso escudo, además de que yo también practico y juego futbol casi profesionalmente y
3
¿Conoces la historia del Real Madrid? – Primavera blanca. (s. f.). Primavera Blanca.
https://www.primaverablanca.es/conoces-la-historia-del-realmadrid/#:~:text=El%20Real%20Madrid%20fue%20fundado,honor%20al%20rey%20Alfonso%20XIII.
4
As.com. (2020, 30 junio). Así ha sido la evolución del escudo del Real Madrid. AS.com.
https://as.com/futbol/2020/06/30/album/1593517445_500476.html
5
Madrid, R. (2023, 17 noviembre). Bellingham and Linda Caicedo, winners of Golden Boy and Golden Girl 2023.
Real Madrid C.F. - Web Oficial. https://www.realmadrid.com/
6
Cursos de geometría. (s. f.). edx. Recuperado 18 de septiembre de 2023, de
https://www.edx.org/es/aprende/geometria#:~:text=La%20geometr%C3%ADa%20es%20la%20rama,la%20superfic
ie%20de%20una%20esfera.
2
mi equipo favorito es el Real Madrid, por eso me inspiro en el diseño del escudo actual en este equipo
para realizar mi proyecto de investigación el cual se creó en el 2001. 7
En este proyecto voy a crear un logo nuevo inspirado en el logo del equipo de futbol Real Madrid en
GeoGebra, con el fin de crear funciones que se asemejen al logo actual del equipo, luego calcular el área
del logo usando integrales con las funciones ya creadas, con el propósito de conocer cuanto espacio
tomaría recrearlo en la pared de mi habitación.
Primero que todo, escogí las letras M, F y C para hacer mi logo, la M significa Madrid del equipo Real
Madrid, la F del Fútbol y la C de Club, estas letras conforman el nombre Madrid Fútbol Club, me inspire
en el logo del Madrid como mencione anteriormente y el logo luce de esta manera:
Gráfico 1 Logo creado por mí en GeoGebra
Para llevar a cabo esta investigación, en primer lugar, voy a buscar la imagen del logo que me va a servir
de inspiración, luego crearé funciones que describan las partes que quiero que mi logo tenga. Luego de
tener el logotipo recreado, dividiré las partes que están coloreadas para calcular las áreas de cada una
utilizando calculo integral y geometría para después identificar la cantidad de pintura que voy a necesitar.
7
Javier-Mercadal. (2023, 28 julio). Así fue el primer escudo del Real Madrid. Relevo.
https://www.relevo.com/futbol/liga-primera/primer-escudo-real-madrid-20230718084807nt.html#:~:text=Actualmente%2C%20el%20escudo%20del%20Real,29%20de%20junio%20de%201920.
3
Los objetivos específicos son:
•
Utilizar la aplicación GeoGebra para crear el logo a la medida real.
•
Crear funciones que describan el contorno del logo para hallar la longitud de todas sus partes.
•
Utilizar geometría y calculo integral para recrear el logo del Real Madrid a escala real.
Desarrollo:
Gráfico 2 Logo creado por mí en GeoGebra
Las letras se identifican como M: Color azul, F: color negro y por último la C color rojo.
Para la ecuación de la circunferencia: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 8 realicé un sistema de ecuaciones con el fin de
encontrar la abscisa del intercepto en x:
{
𝑥2 + 𝑦2 = 1
𝑦 = √𝑥
𝑦 = √𝑥
8
Zill, D., & Dewar, J. D. (2012). Algebra, trigonometría y geometría analítica (3rd ed.) [Google]. McGRAWHILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. https://uasdsanjuan.org/wp-content/uploads/2014/10/4algebratrigonometri_a-y-geometri_a-anali_tica-3ra-Edicio_n-Dennis-G.-Zill-1.pdf
4
(√𝑥)2 + 𝑥 2 = 1
𝑥=
−1 ± √5
≈ 0.618
2
Para determinar cuanta pintura se usaría en la recreación del logo utilizaría la fórmula de arco de longitud:
𝑏
𝐿 = ∫𝑎 √1 + (𝑓 ′ (𝑥))2
9, donde a y b son: 0 y 0.618, y 𝑓(𝑥) = √𝑥.
Esta fórmula calcula la distancia
que hay en la función 𝑦 = √𝑥, donde a es el límite inferior que sería 𝑎 = 0 y b el límite superior que sería
la abscisa del intercepto que hallamos anteriormente 𝑏 = 0.618. Y esta fórmula se desarrolla de la
siguiente manera:
2
𝐿 = ∫ √1 + (𝑓 ′ (𝑥)) 𝑑𝑥
Para empezar, hallamos la primera derivada de 𝑓(𝑥):
1
𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥 2
1 1
1 1
1
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2−1 = 𝑥 −2 =
2
2
2√𝑥
Ahora sustituimos en la ecuación principal:
0.618
𝐿=∫
0
0.618
=∫
0
√1 + (
1
2√𝑥
2
0.618
) 𝑑𝑥 = ∫
0
√1 +
1
𝑑𝑥
4𝑥
0.618
0.618
4𝑥 + 1
√4𝑥 + 1
√4𝑥 + 1
√
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
4𝑥
2√𝑥
√4𝑥
0
0
9
Marta. (2022, 1 noviembre). Longitud del arco | Superprof. Material Didáctico - Superprof.
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/longitud-del-arco.html
5
Usamos la siguiente propiedad: 𝐼 = ∫ 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) 10
1 √4𝑥 + 1
𝐿= ∫
𝑑𝑥
2
√𝑥
•
Para continuar resolviendo utilizaremos un método llamado integración por partes que permite
calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando esta fórmula. La fórmula del
método seria la siguiente: 𝐼 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 11
Para utilizar esta fórmula se necesita determinar u, du, v y dv
𝑢 = √4𝑥 + 1
𝑑𝑢 =
Se demuestra que: 𝑢′ =
2
√4𝑥 + 1
𝑑𝑥
2
√4𝑥+1
𝑢
′
1 ′
1
1
= ((4𝑥 + 1)2 ) = (4𝑥 + 1)−2 ∙ 4 =
2
𝑑𝑣 =
1
√𝑥
2
√4𝑥 + 1
𝑑𝑥
𝑣 = 2√𝑥
10
Zill, D., & Dewar, J. D. (2012). Algebra, trigonometría y geometría analítica (3rd ed.) [Google]. McGRAWHILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. https://uasdsanjuan.org/wp-content/uploads/2014/10/4algebratrigonometri_a-y-geometri_a-anali_tica-3ra-Edicio_n-Dennis-G.-Zill-1.pdf
11
Strang, G. (2022, 24 marzo). 3.1 Integración por partes - Cálculo volumen 2 | OpenStax.
https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/3-1-integracion-porpartes#:~:text=Entonces%2C%20la%20f%C3%B3rmula%20de%20integraci%C3%B3n,v%20%E2%88%92%2
0%E2%88%AB%20v%20d%20u%20.&text=La%20ventaja%20de%20utilizar%20la,por%20otra%2C%20posi
blemente%20m%C3%A1s%20f%C3%A1cil.
6
1
Se demuestra que: ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 2√𝑥 + 𝐶
√
∫
1
√𝑥
1
1
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 =
1
𝑥 −2+1
𝑥2
=
= 2√𝑥 + 𝐶
1
1
− +1
2
2
Reemplazamos en la integral:
1
1
1
𝐿 = 2 ∫ √4𝑥 + 1 ∙ 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣
√
1
1
2
𝐿 = ∙ [𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢] = ∙ [√4𝑥 + 1 ∙ 2√𝑥 − ∫ 2√𝑥 ∙
𝑑𝑥]
2
2
4𝑥+1
√
1
4√𝑥
1
4√𝑥
𝐿 = 2 ∙ [2√𝑥 √4𝑥 + 1 − ∫ 4𝑥+1 𝑑𝑥] = √𝑥 √4𝑥 + 1 − 2 ∫ 4𝑥+1 𝑑𝑥
√
√
1
√𝑥
√𝑥
𝐿 = √𝑥√4𝑥 + 1 − ∙ 4 ∫
𝑑𝑥 = √𝑥√4𝑥 + 1 − 2 ∫
𝑑𝑥
2
√4𝑥 + 1
√4𝑥 + 1
Llegado a este punto, me centraré en resolver esta integral. Ahora para continuar tendremos que utilizar
otro método llamado integración por sustitución, el cual consiste en sustituir una función por una variable
u con el propósito de facilitar la integración.12
𝑢 = √𝑥
𝑢2 = 𝑥
𝑑𝑢 =
1
2√𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 2√𝑥𝑑𝑢
12
Integración por partes: Apuntes bachillerato | StudySmarter. (s. f.). StudySmarter ES.
https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/integracion-porpartes/#:~:text=Como%20regla%20general%2C%20utiliza%20la,no%20van%20a%20ninguna%20parte.
7
Reemplazamos:
𝐿=∫
√𝑥
√4𝑥 + 1
𝐿=∫
𝑑𝑥 = ∫
2𝑢2
√4𝑢2 + 1
𝐿 = 2∫
𝑢
√4𝑢2 + 1
𝑑𝑢 = 2 ∫
∙ 2√𝑥 𝑑𝑢 = ∫
𝑢2
√4𝑢2 + 1
𝑑𝑢 = 2 ∫
𝑢
√4𝑢2 + 1
∙ 2𝑢 𝑑𝑢
𝑢2
√4 (𝑢2 + 1)
4
𝑑𝑢
𝑢2
1
𝑢2
𝑢2
𝑑𝑢 = 2 ∙ ∫
𝑑𝑢 = ∫
𝑑𝑢
2
1
1
1
√𝑢 2 +
√𝑢 2 +
2√𝑢2 +
4
4
4
Para seguir utilizamos el método llamado sustitución trigonométrica, la cual consiste en reescribir la
ecuación en términos de la variable (𝜃) y su diferencial (𝑑𝜃), resolver la integral y luego reescribir el
resultado en términos de x 13.
14
Ilustración 1 Ejemplo de triangulo para caso correspondiente
1
𝑢 = tan 𝜃
2
1
𝑑𝑢 = sec 2 𝜃 𝑑𝜃
2
13
Cienciayt. (2020, 3 mayo). Sustitución trigonométrica - Cienciayt. https://cienciayt.com/matematicas/calculointegral/sustitucion-trigonometrica/
14
Cienciayt. (2020, 3 mayo). Sustitución trigonométrica - Cienciayt. https://cienciayt.com/matematicas/calculointegral/sustitucion-trigonometrica/
8
1
4
1
2
2
1
4
1
4
√𝑢2 + = √( tan 𝜃) + = √ tan2 𝜃 +
1
1
1
4
1
= √4 (1 + tan2 𝜃) = 2 √sec 2 𝜃 = 2 sec 𝜃
Reemplazamos:
2
1
(2 tan 𝜃) 1
1
∫
𝑑𝑢 = ∫
∙ sec 2 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ tan2 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝜃
1
4
sec 𝜃 2
√𝑢2 + 1
2
4
𝑢2
1
= ∫ tan2 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝜃
4
Utilizamos la siguiente identidad pitagórica:
tan2 𝜃 + 1 = sec 2 𝜃 15
tan2 𝜃 = sec 2 𝜃 − 1
Sustituimos:
∫
𝑢2
1
1
1
𝑑𝑢 = ∫ tan2 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝜃 = ∫(sec 2 𝜃 − 1) sec 𝜃 𝑑𝜃 = ∫(− sec 𝜃 + sec 3 𝜃) 𝑑𝜃
4
4
4
√𝑢2 + 1
4
Utilizamos la siguiente propiedad de la integral:
∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥) + ∫ 𝑔(𝑥) 16
15
Abramson, J. (2022, 18 mayo). 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades - Precálculo 2ed |
OpenStax. https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/7-1-resolver-ecuaciones-trigonometricas-conidentidades
16
Integrales inmediatas. (s. f.).
https://departamento.us.es/dma1euita/TMRP/Integraldescomposicion.htm#:~:text=La%20integral%20de%20una%
20suma,las%20integrales%20de%20las%20funciones.&text=La%20integral%20del%20producto%20de,la%20integr
al%20de%20la%20funci%C3%B3n.
9
1
1
[∫ − sec 𝜃 𝑑𝜃 + ∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃] = [− ∫ sec 𝜃 𝑑𝜃 + ∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃]
4
4
La integral de secante es:∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|sec 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥| + 𝐶 17
Sustituimos:
1
[−(𝑙𝑛|sec 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃|) + ∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃]
4
Ahora pasamos a resolver la integral restante:
∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ sec 2 𝜃 ∙ sec 𝜃 𝑑𝜃
Utilizamos nuevamente el método de integración por partes, utilizando la fórmula citada anteriormente:
La demostración que sigue a continuación fue inspirada de un video de YouTube. 18
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
En donde:
𝑢 = sec 𝜃
𝑑𝑢 = sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝑣 = sec 2 𝜃 𝑑𝜃
𝑣 = tan 𝜃
Reemplazando en la fórmula:
∫ sec 𝜃 sec 2 𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ tan 𝜃 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
17
Funciones. (2023, 10 octubre). Integral de la secante. Funciones Matemáticas.
https://www.funciones.xyz/integral-de-la-secante/
18
MateFacil. (2016, 3 septiembre). 164. Integral de secante cúbica mediante integración por partes.
TRIGONOMETRICA. EJERCICIO RESUELTO. [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=gWu7UwQciuw
10
∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ tan2 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝜃
Utilizamos la identidad trigonométrica citada anteriormente:
tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1
Sustituimos:
∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫(sec 2 𝜃 − 1) sec 𝜃 𝑑𝜃
∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫(sec 3 𝜃 − sec 𝜃) 𝑑𝜃
∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − (∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 − ∫ sec 𝜃 𝑑𝜃 )
∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 + ∫ sec 𝜃 𝑑𝜃
La integral de secante fue hallada anteriormente, por lo que la sustituimos en esta ecuación:
∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 + ln (|sec 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃|)
∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 + ∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 + ln (|sec 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃|)
2 ∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 + ln (|sec 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃|)
∫ sec 3 𝜃 𝑑𝜃 =
sec 𝜃 tan 𝜃 + ln (|sec(𝜃) + 𝑡𝑎𝑛(𝜃)|)
2
Reemplazamos este resultado en la ecuación que teníamos anteriormente:
∫
𝑢2
1
sec 𝜃 tan 𝜃 + 𝑙𝑛|sec 𝜃 + tan 𝜃|
𝑑𝑢 = [−𝑙𝑛|sec 𝜃 + tan 𝜃| +
]
4
2
1
√𝑢2 +
4
11
1 −𝑙𝑛|sec 𝜃 + tan 𝜃| + sec 𝜃 tan 𝜃
1
= [
] = [−𝑙𝑛|sec 𝜃 + tan 𝜃| + sec 𝜃 tan 𝜃]
4
2
8
Para la comprobación de esta integral me guie de un video en YouTube. 19
Recordemos que hicimos la sustitución:
1
𝑢 = tan 𝜃
2
Despejando 𝜃: 𝜃 = arctan 2𝑢
Sustituyendo:
∫
∫
𝑢2
1
√𝑢2 + 4
𝑑𝑢
𝑢2
1
𝑑𝑢 = [−𝑙𝑛|sec(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2𝑢) + 𝑡𝑎𝑛(arctan 2𝑢)| + sec(arctan 2𝑢) tan(arctan 2𝑢)]
1
8
√𝑢2 +
4
Remplazamos: tan(arctan 2𝑢) = 2𝑢
∫
𝑢2
1
𝑑𝑢 = [− ln|sec(arctan 2𝑢) + 2𝑢| + sec(arctan 2𝑢) 2𝑢]
1
8
√𝑢2 +
4
Recordemos que hicimos la sustitución:
𝑢 = √𝑥
Sustituyendo:
∫
𝑢2
1
√𝑢2 + 4
1
𝑑𝑢 = [− ln|sec(arctan 2√𝑥) + 2√𝑥| + sec(arctan 2√𝑥) 2√𝑥]
8
Ahora evaluamos en el límite inferior y superior, siendo estos 0 y 0.618:
19
MateFacil. (2016, 3 septiembre). 164. Integral de secante cúbica mediante integración por partes.
TRIGONOMETRICA. EJERCICIO RESUELTO. [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=gWu7UwQciuw
12
∫
√𝑥
1
𝑑𝑥 = [− ln|sec(arctan 2√0.618) + 2√0.618| + sec(arctan 2√0.618) 2√0.618]
8
√4𝑥 + 1
1
= 8 [−1.234 + 2.9296] = 0.21195 metros
𝐿 = √𝑥 √4𝑥 + 1 − 2 ∫
√𝑥
𝑑𝑥
√4𝑥 + 1
𝐿 = √0.618√4(0.618) + 1 − 2(0.21195) = 1.044 metros
2𝐿 = 2.084 metros
Ahora para calcular la longitud de la curva C utilizaremos la misma fórmula de arco de longitud:
2
𝐿 = ∫ √1 + (𝑓 ′ (𝑥)) 𝑑𝑥
Pero antes hay que despejar (𝑦) en la ecuación de la circunferencia a la que pertenece la letra C:
𝑥2 + 𝑦2 = 1
𝑦2 = 1 − 𝑥2
𝑦 = √1 − 𝑥 2
Para calcular la longitud de la curva C utilizaremos un cuarto de la circunferencia del círculo, por lo que
los límites de integración serian de −1 a 0. Esta seria la parte superior de la letra C, por lo que habrá que
multiplicar por dos el resultado de nuestra integral para conseguir el arco de longitud de la figura
completa. Por lo que la ecuación nos queda así:
0
2
𝐿 = 2 ∫ √1 + (𝑓 ′ (𝑥)) 𝑑𝑥
−1
Para continuar hallamos 𝑓 ′ (𝑥):
13
1
𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 2 = (1 − 𝑥 2 )2
1
1
𝑓 ′ (𝑥) = 2 (1 − 𝑥 2 )−2 ∙ (−2𝑥) =
1
2√1−𝑥 2
∙ (−2𝑥) = −
𝑥
√1−𝑥 2
Sustituimos:
𝐿 = 2 ∫ √1 + (−
𝑥
√1 − 𝑥 2
2
) 𝑑𝑥 = 2 ∫ √1 +
𝑥2
1 − 𝑥2 + 𝑥2
√
𝑑𝑥
=
2
∫
𝑑𝑥
1 − 𝑥2
1 − 𝑥2
1
1
= 2∫√
𝑑𝑥 = 2 ∫
𝑑𝑥
2
1−𝑥
√1 − 𝑥 2
Ahora utilizaremos el método de sustitución trigonométrica:
20
Ilustración 2 Ejemplo de triangulo para caso correspondiente
Reemplazamos:
𝐿 = 2∫
1
1 cos 𝜃 𝑑𝜃 = 2 ∫ 1 𝑑𝜃 = 2𝜃
cos 𝜃
Deshacemos la sustitución utilizando la tabla:
𝑥 = sen 𝜃
20
Cienciayt. (2020, 3 mayo). Sustitución trigonométrica - Cienciayt. https://cienciayt.com/matematicas/calculointegral/sustitucion-trigonometrica/
14
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝜃
Evaluamos para los limites superior e inferior 0 y −1
𝐿 = [2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥]0−1 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (0) − 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (−1)
𝜋
𝐿 = 2 ∙ 0 − 2 ∙ (− ) = 𝜋
2
Quedo comprobado que la longitud de la curva 𝐶 = 𝜋. Por lo tanto 𝐶 = 3.14 metros.
Para buscar la longitud letra F sumaremos la longitud de los tres segmentos que la componen: (ver
imagen 2).
1 + 0.8 + 0.6 = 2.4 metros
Conclusión:
En este proyecto se pueden observar cálculos de longitud de una curva utilizando la fórmula de
𝑏
𝐿 = ∫𝑎 √1 + (𝑓 ′ (𝑥))2 , en los cuales fue necesario realizar integrales un poco complejas, ya que en
algunos casos se requería aplicar algunas propiedades de integración acompañadas de sustitución
geométrica, la cual al ser aplicadas en integrales se complicaba el desarrollo de estas. Sin embargo, a
pesar de estas pequeñas complicaciones se pudo completar la finalidad del proyecto.
Luego de la finalización del proyecto, quedan cumplidos los objetivos planteados al en la primera parte.
Como se ha visto, las curvas que se necesitaría para pintar en la pared de mi habitación con el logo
creado, conformados por las letras identificadas con colores azul (M), rojo (C) y negro (F) necesitaran una
longitud de: 𝑀 = 2.084 metros, 𝐶 = 3.14 metros y por último la letra F que mide 2.4 metros.
Para encontrar la pintura necesaria para realizar este logo en la pared de mi habitación, procederemos a
encontrar cuantos litros hace falta para la longitud de cada letra, pero primero debemos establecer el
15
ancho que poseerá cada letra el cual será 0.1 metros. Luego de tener la longitud y el ancho de cada letra
procederemos a calcular la cantidad de pintura que hace falta.
Para saber cuántos litros de pintura necesitan todas las letras, debemos multiplicar el largo por el ancho
con el fin de obtener la suma de sus 𝑚2 :
Para la letra M:
2.084 ∙ 0.1 = 0.2084𝑚2
Para la letra C:
3.14 ∙ 0.1 = 0.314𝑚2
Para la letra F:
2.4 ∙ 0.1 = 0.24𝑚2
El total de metros cuadrados que se necesitarían pintar para realizar el logo sería de 3.812𝑚2 . A la pintura
rendir 7 metros cuadrados por litro, para saber la cantidad de litros que harán falta se realiza el siguiente
planteamiento:
3.812
= 0.545 litros de pintura
7
Por último, en este proyecto se descubrió que para recrear el logo creado por mí en la pared de mi
habitación me hará falta 0.545 litros de pintura.
Una idea que me surge es como afectaría el cambiar el radio de mi circunferencia a la longitud total de la
curva.
El haber completado los objetivos planteados al inicio del proyecto, no quita el hecho de que se fueran
presentando ciertas dificultades en el proceso. Para empezar, se me dificultó el uso de GeoGebra y la
creación del logo, lo cual me atrasó un poco debido a que sin el logo creado no podía continuar con los
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cálculos que le seguían. Por otro lado, tuve que aprender a utilizar distintos métodos de integración solo
para resolver una integral, lo cual hizo que perdiera mucho tiempo investigando acerca de este tema y
realizando un sin número de cálculos.
Independientemente de las limitaciones, debo reconocer que este proyecto me ha ayudado a desarrollar
múltiples habilidades. En primer lugar, reforcé mi capacidad de investigación, debido a que el trabajo
necesitaba un previo conocimiento de cálculos matemáticos los cuales algunos tenían un cierto nivel de
dificultad el cual conllevaba mucha investigación para comprenderlos y realizarlos exitosamente. Sin
mencionar la habilidad de poder utilizar un programa como GeoGebra.
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