Cálculo IV
Examen 1
1. Sea Ω = ℚ×ℚ ∩ 0, 1 × 0, 1 , Ω es un conjunto de parejas en 𝒥 = 0, 1 × 0, 1 ,
con entradas racionales; es decir,
Ω = 𝑥, 𝑦 ; 𝑥 ∈ ℚ ∩ 0, 1 𝑦 𝑦 ∈ ℚ ∩ 0, 1
La función siguiente, definida en 𝒥, es o no integrable, si lo es, cuánto vale su
integral. (si es integrable o no demostrarlo)
𝑓 𝑥, 𝑦 =
1 𝑠𝑖 𝑥, 𝑦 ∈ Ω
0 𝑠𝑖 𝑥, 𝑦 ∉ Ω
2. En cada uno de los siguientes incisos, decir si son o no verdaderos, si son
verdaderos demostrar la afirmación, si no lo son, encontrar un contraejemplo y
explicar por qué no lo es.
a) Todo conjunto numerable en ℝ! tiene medida cero en ℝ! .
b) Un conjunto no numerable puede tener medida cero en ℝ! .
c) Todo conjunto de contenido cero en ℝ! , tiene medida cero en ℝ! .
d) Una recta ℓ ⊆ 𝑅! es de medida cero en 𝑅! .
3. Demostrar lo siguiente:
Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones definidas en un rectángulo 𝐽 ⊆ ℝ! , entonces, para
toda partición 𝑃 de 𝐽 que induce subretángulos 𝑠 se satisfacen las siguientes
desigualdades:
a) 𝑚! 𝑓 + 𝑚! 𝑔 ≤ 𝑚! (𝑓 + 𝑔)
𝑀! (𝑓 + 𝑔) ≤ 𝑀! 𝑓 + 𝑀! 𝑔
b) 𝑆(𝑓, 𝑃) + 𝑆(𝑔, 𝑃) ≤ 𝑆(𝑓 + 𝑔, 𝑃)
𝑆 𝑓 + 𝑔, 𝑃 ≤ 𝑆 𝑓, 𝑃 + 𝑆(𝑔, 𝑃)
Donde 𝑚! 𝑓, 𝑚! 𝑔 y 𝑚! (𝑓 + 𝑔) son, los ínfimos de 𝑓, 𝑔 y (𝑓 + 𝑔)
respectivamente y
𝑀! 𝑓, 𝑀! 𝑔 y 𝑀! (𝑓 + 𝑔) los supremos 𝑓, 𝑔 y (𝑓 + 𝑔).
4. Exlica las razones por las cuales es necesario utilizar los conceptos siguientes:
a) En la definición de 𝑆(𝑓, 𝑃) y 𝑆 𝑓, 𝑃 se pide el ínfimo y el supremo de la
función respectivamente.
b) En la definición de 𝑠𝑢𝑝 𝑆(𝑓, 𝑃) y 𝑖𝑛𝑓 𝑆 𝑓, 𝑃 se pide el ínfimo y el
supremo de los conjuntos, respectivamente.
5. Demuestra:
a) Sea 𝑓: 𝐽 → 𝑅, 𝐽 un rectángulo en 𝑅! y
y
𝐴 = 𝑆 𝑓, 𝑃 𝑃 ∈ 𝒫! ; 𝒫! 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐽
𝐵 = 𝑆 𝑓, 𝑃 𝑃 ∈ 𝒫! ; 𝒫! 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐽
Tales que para toda 𝑆 𝑓, 𝑃 ∈ 𝐴 y para toda 𝑆 𝑓, 𝑃 ∈ 𝐵 ocurre que
𝑆 𝑓, 𝑃 ≤ 𝑆 𝑓, 𝑃 .
b) Sean
y
𝐴! = 𝑆 𝑓, 𝑃! 𝑃! ∈ 𝒫! ; 𝒫! , 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐽
𝐵! = 𝑆 𝑓, 𝑃! 𝑃! ∈ 𝒫! ; 𝒫! , 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐽
Sean 𝐴! ⊆ 𝐴 y 𝐵! ⊆ 𝐵 tales que 𝑠𝑢𝑝𝐴! = 𝑖𝑛𝑓𝐵! ,
entonces
𝑠𝑢𝑝𝐴 = 𝑖𝑛𝑓𝐵
6. Demuestra usando el criterio de Riemann 𝑆 − 𝑆 < 𝜀
Sea 𝑓 integrable en 𝐽 y 𝑓 𝑥 ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅! , entonces 𝑓 ! es integrable.
7. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 0, 1 × 0, 1
Encontrar:
a) 𝑖𝑛𝑓 𝑆 𝑓, 𝑃! 𝑃! 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 0, 1 × 0, 1
b) 𝑠𝑢𝑝 𝑠 𝑓, 𝑃! 𝑃! 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 0, 1 × 0, 1
c)
𝑥 𝑑 𝑥, 𝑦
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