3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
Sistema de ordem 1
𝑑𝜃𝑜 (𝑡)
𝑎1 .
+ 𝑎0 . 𝜃𝑜 (𝑡) = 𝑏0 . 𝜃𝑖 (𝑡)
𝑑𝑡
Considerando:
𝑑𝜃𝑜 (0)
= 0, 𝜃𝑜 (0) = 0
𝑑𝑡
Aplicando a Transformada de Laplace temos:
𝑎1 . 𝑠𝜃𝑜 (𝑠) + 𝑎0 . 𝜃𝑜 (𝑠) = 𝑏0 . 𝜃𝑖 (𝑠)
Definindo o ganho no domínio s:
𝜃𝑜 (𝑠)
𝑏0
𝐺(𝑠) =
=
𝜃𝑖 (𝑠) 𝑎1 . 𝑠 + 𝑎0
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
Sistema de ordem 1
 b0
 a0
b0 / a0
.
G ( s) = 
=

 a1.s + a0  a0 (a1 / a0 ).s + a0 / a0
onde:
𝑎1 Τ𝑎0 = 𝜏
Constante de tempo do sistema
𝑏0 Τ𝑎0 = 𝐺𝑠𝑠
Ganho em regime estacionário
Reescrevendo G(s):
GSS
G(s) =
 .s + 1
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
Sistema de ordem 1
𝑎1 𝑑𝜃𝑜 (𝑡) 𝑎0
𝑏0
.
+ . 𝜃𝑜 (𝑡) = . 𝜃𝑖 (𝑡)
𝑎0
𝑑𝑡
𝑎0
𝑎0
Como:
𝑎1 Τ𝑎0 = 𝜏
𝑏0 /𝑎0 = 𝐺𝑆𝑆
Reescrevendo a equação diferencial de primeira ordem:
𝑑𝜃𝑜 (𝑡)
𝜏.
+ 𝜃𝑜 (𝑡) = 𝐺𝑆𝑆 . 𝜃𝑖 (𝑡)
𝑑𝑡
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
Sistema de ordem 1
 o ( s ) = G ( s ). i ( s )
GSS
 0 ( s) =
. i ( s)
 .s + 1
 0 (t ) = ????
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
Resposta para uma Entrada Degrau
𝐴
𝜃𝑖 (𝑠) =
𝑠
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace
𝐺𝑆𝑆 𝐴
𝜃0 (𝑠) =
.
𝜏. 𝑠 + 1 𝑠
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
Resposta para uma Entrada Degrau
Exemplo:
Gss = 3
 =2
G ( s) =
Simulação no FT3D
3
.
2.s + 1
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
Sensor de pressão
A resposta temporal de um sensor de pressão está representada no
gráfico abaixo, determine:
a) A função de transferência no domínio da frequência S;
b) A equação diferencial que rege o comportamento do sensor
Ganho em regime
estacionário
Δ𝜃𝑜 (∞)
𝐺𝑠𝑠 =
Δ𝜃𝑖 (∞)
𝐺𝑆𝑆 =
(50 − 0) 𝑚𝑉
(100 − 0) 𝑘𝑃𝑎
𝐺𝑠𝑠 = 0,5 𝑚𝑉 Τ𝑘𝑃𝑎
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
Sensor de pressão
Constante de tempo
𝑡 = 36 𝑠
𝜃𝑜 36 = 40 𝑚𝑉
𝐺𝑠𝑠 = 0,5 𝑚𝑉 Τ𝑘𝑃𝑎
𝐴 = 100 𝑘𝑃𝑎
𝑡
−𝜏
𝜃𝑜 𝑡 = 𝐺𝑆𝑆 . 𝐴. (1 − 𝑒 )
𝜃𝑜 𝑡 = 50. (1 − 𝑒
𝑡
22
−
)
𝜏 = 22 𝑠
3-Resposta de Sistemas de Ordem 1
Sensor de pressão
A função de transferência no domínio
da frequência S
𝐺𝑆𝑆
𝐺(𝑠) =
𝜏. 𝑠 + 1
0,5
𝐺(𝑠) =
22𝑠 + 1
A equação diferencial que rege o
comportamento do sensor
𝑑𝜃𝑜 (𝑡)
𝜏.
+ 𝜃𝑜 (𝑡) = 𝐺𝑆𝑆 . 𝜃𝑖 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝜃𝑜 (𝑡)
22.
+ 𝜃𝑜 (𝑡) = 0,5. 𝜃𝑖 (𝑡)
𝑑𝑡