Estructuras Algebraicas
Grado en Matemáticas
Curso 2024-25
Tema 1: Grupos
Índice
1. Definición y primeras propiedades
1.1. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Grupos cı́clicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5
7
2. Homomorfismos y Teorema de Cayley.
2.1. Grupo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Morfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
11
3. Teorema de Lagrange. Grupos cociente. Teoremas de isomorfı́a.
3.1. Clases laterales. Teorema de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Subgrupos normales. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Teoremas de isomorfı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
15
16
4. Productos directos
4.1. Producto directo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Producto directo interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Teorema Fundamental de Grupos Finitos Abelianos . . . . . . . . . . .
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18
19
21
5. Aplicaciones
22
1.
Definición y primeras propiedades
Contenido 1.1: Definición y ejemplos de grupos. Subgrupos. Grupos cı́clicos.
La definición de grupo fue introducida Heinrich Weber y Walter von Dyck en 1882,
aunque no consigió una aceptación universal hasta el siglo XX. Este término ya habı́a
sido utilizado por Galois sobre el 1830, para describir conjuntos de aplicaciones inyectivas
que actuaban sobre conjuntos finitos y que se agrupaban para formar conjuntos cerrados
para la composición de estas aplicaciones, ¡eran las permutaciones!.
Definición 1.1. Dado un conjunto no vacı́o G, una operación interna en G es una
aplicación
m :G × G → G
(a, b) 7→ m(a, b),
que asigna a cada par (a, b) de elementos de G un elemento m(a, b) de G. Se dice que
el conjunto G es cerrado para la operación m.
1
Para desarollar la teorı́a adoptaremos la notación multiplicativa m(a, b) = ab. Otras
notaciones a + b aditiva, a ∗ b, a ◦ b,. . . .
Las primeras operaciones binarias que aprendemos son la suma y el producto de
números enteros. Decimos que Z es cerrado para la suma y también que es cerrado para
el producto.
Dado n ≥ 1, el subconjunto Zn = {0, 1, . . . , n − 1} es cerrado para la suma módulo
n y también para el producto módulo n. Estas dos operaciones internas tienen un papel
muy importante en álgebra.
Definición 1.2. Un conjunto no vacı́o G en el que está definida una operación interna,
que asocia a cada par (a, b) de elementos de G un elemento ab de G, se dice que es un
grupo si verifica las propiedades:
1. Asociativa a(bc) = (ab)c para todo a, b, c ∈ G.
2. Existencia de elemento neutro Existe un elemento e ∈ G tal que ae = ea = a, para
todo a ∈ G.
3. Existencia de inverso Para todo a ∈ G existe un elemento a−1 ∈ G tal que a−1 a =
aa−1 = e.
Si G verifica sólo la propiedad asociativa se llama semigrupo. Si G es un semigrupo que
contiene un elemento neutro, se llama monoide.
Diremos que un semigrupo (o un grupo) es abeliano o conmutativo si su operación
interna es
4. Conmutativa ab = ba para todo a, b ∈ G.
Ejemplos 1.3.
1. Los conjuntos Z, Q, R, C con la suma son grupos abelianos, escribiremos (G, +). Su elemento neutro es 0 y el inverso de a es −a.
El conjunto N = {0, 1, 2, . . .} de los números naturales es cerrado para la suma
y tiene elemento neutro 0, pero no existen los inversos. Por tanto (N, +) es un
monoide.
Cualquiera de los conjuntos anteriores, con el producto es un monoide (G, ·). El
elemento neutro es e = 1.
2. Sea G uno de los conjuntos Q, R ó C. Denotamos por G∗ = G − {0}. Con el
producto se tiene que (G∗ , ·) es un grupo abeliano.
3. El conjunto Mn×m (R) de las matrices de n filas y m columnas con entradas en R
es un grupo abeliano con la suma de matrices.
4. El conjunto Mn (R) = Mn×n (R), n > 1 con el producto de matrices es un monoide,
cuyo elemento neutro es la matriz identidad In . No es conmutativo.
5. El conjunto de las sucesiones de números reales con la suma es un grupo abeliano.
2
6. El conjunto de las funciones reales de variable real con la suma de funciones es un
grupo abeliano.
Teorema 1.4. Unicidad del neutro. En un monoide G (y por tanto en un grupo) el
elemento neutro e es único. En un grupo G se verifica:
1. Cancelación. (A derecha) ba = ca implica que b = c; (a izquierda) ab = ac implica
que b = c.
2. Unicidad del inverso Para cada a ∈ G existe un único a−1 ∈ G tal que a−1 a =
aa−1 = e.
Demostración.
En un grupo G, con notación multiplicativa, dado a ∈ G:
1. El inverso de a ∈ G se denota por a−1 .
2. Se define a0 := e.
3. Dado n entero positivo an := a · · ·(n) · · · a y a−n := (a−1 )n .
Con esta notación se tiene que
an am = an+m = am an y (an )m = anm , n, m ∈ Z.
Sin embargo, si a, b ∈ G son distintos,
(ab)n 6= an bn
a no se que G sea conmutativo.
Traducir estas definiciones a notación aditiva ”+”.
Ejemplos 1.5.
1. Grupo de enteros módulo n. El conjunto Zn = {0, 1, . . . , n −
1}, con n ≥ 1 es un grupo con la suma módulo n. Para todo m ∈ Zn , el inverso
de m es n − m.
Para n ≥ 2, con el producto módulo n, el conjunto Zn serı́a un monoide. Lo que
normalmente falla es la existencia de inversos. Por ejemplo en Z4 los elementos 1
y 3 tienen inversos, pero 0 y 2 no tienen inversos. Escribimos la tabla de Cayley
para la multiplicación módulo 4 en Z4
· mod 4
0
1
2
3
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
2. (L. Euler, 1761) Recordemos que ab mod n es el resto de la división de ab por n:
el único entero r tal que ab = nq + r, siendo 0 ≤ r < n.
Por la identidad de Bezout, un número entero m tiene inverso multiplicativo módulo n sı́ y sólo si (m, n) = 1.
Dado un número natural n > 1, definimos U (n) como el conjunto de números
enteros positivos menores que n que son primos relativos con n.
U (n) = {m ∈ N∗ | m < n, (m, n) = 1}.
Es un grupo con la multiplicación módulo n. Probar que es cerrado para esta
operación.
Para n = 10 se tiene que U (10) = {1, 3, 7, 9}. La tabla de Cayley de U (10) es
· mod 10
1
3
7
9
1
1
3
7
9
3
3
9
1
7
7
7
1
9
3
9
9
7
3
1
Cuando n es primo, U (n) = {1, 2, . . . , n − 1}.
3. Grupo lineal general de matrices n × n sobre R. El conjunto
GL (n, R) = {A ∈ Mn (R) | det(A) 6= 0}
es un grupo no abeliano con el producto de matrices. Probar para n = 2.
4. Sean G1 y G2 dos grupos. Podemos dotar al producto cartesiano de G1 × G2 de
estructura de grupo definiendo la siguiente operación
(a1 , a2 ) · (b1 , b2 ) = (a1 · b1 , a2 · b2 ), para todo (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ G1 × G2 .
Por ejemplo Z2 × Z2 es un grupo abeliano con la suma módulo 2 en ambas componentes, es el llamado grupo de Klein que tiene 4 elementos.
Sin embargo Z × Z3 también es grupo abeliano, con la suma de números enteros
en la primera componente y la suma módulo 3 en la segunda. Tiene infinitos
elementos.
Definición 1.6. El número de elementos (finito o infinito) de un grupo G se llama
orden de G y se denota por |G|.
El orden de Z es infinito y el orden de Z3 = {0, 1, 2} es |Z3 | = 3. El orden de
U (10) = {1, 3, 7, 9} es 4.
Como descubriremos, los grupos finitos tienen propiedades aritméticas muy interesantes. Para facilitar su estudio necesitamos introducir nueva terminologı́a y notación.
4
Definición 1.7. El orden de un elemento a de un grupo G es el menor entero positivo n
tal que an = e. Si dicho entero no existe diremos que a tiene orden infinito. Denotaremos
el orden de a por |a|.
En notación aditiva |a| = n sı́ y sólo si na = 0.
Ejemplos 1.8.
1. En (Z, +), todo elemento no nulo a tiene orden infinito ya que
∗
{na | n ∈ N } = {a, 2a, 3a, . . .} no incluye al cero.
2. En (Z10 , +), con la suma módulo 10, tenemos que |2| = 5 y |7| = 10.
3. El grupo U (15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} con la multiplicación módulo 15 tiene
orden 8. Se tiene que |7| = 4 y |13| = 4.
1.1.
Subgrupos
Definición 1.9. Un subgrupo H de G es un subconjunto de G, que es un grupo con
la misma operación de G. Utilizaremos la notación H ≤ G. Si H 6= G, escribiremos
H < G.
Dado un grupo G, existen dos subgrupos triviales: G y {e}. Si H es un subgrupo de
G que no es trivial diremos que es un subgrupo propio.
Obsérvese que Zn con la suma módulo n no es un subgrupo de Z, ya que no son
grupos para la misma operación suma.
Para verificar que un subconjunto es un subgrupo no es necesario probar todas las
propiedades.
Teorema 1.10. Sea H un subconjunto no vacı́o de un grupo G. Se tiene que H es
subgrupo de G sı́ y sólo si
1. ab ∈ H, ∀a, b ∈ H.
2. a−1 ∈ H, ∀a ∈ H.
Demostración.
Las afirmaciones 1 y 2 del teorema anterior implican que el elemento neutro e de G
también pertenece al subgrupo H. En caso contrario, H no serı́a un subgrupo de G.
Teorema 1.11. Sea H un subconjunto no vacı́o de un grupo G. Se tiene que H es
subgrupo de G sı́ y sólo si ab−1 ∈ H, ∀a, b ∈ H.
Demostración.
Ejemplos 1.12.
1. Grupo especial lineal. SL (n, R) = {A ∈ Mn (R) | det(A) = 1} es
un subgrupo de GL (n, R) con el producto de matrices.
2. Grupo ortogonal. On (R) = {A ∈ GL (n, R) | AAt = I} es un subgrupo de GL (n, R).
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3. Grupo especial ortogonal. SOn (R) = {A ∈ GL (n, R) | AAt = I, det(A) = 1} es un
subgrupo de On (R) y también de SL (n, R). Si n = 2, 3 grupos de rotaciones en Rn
con respecto al origen.
4. Grupo diédrico. Denotemos por Dn al conjunto de las simetrı́as de un polı́gono
regular de n lados. Este conjunto es un grupo con la composición que también se
llama grupo diédrico de orden 2n.
Fijemos en R2 el sistema de referencia ortonormal
R = {O = (0, 0); B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}}.
Coloquemos un polı́gono regular P ⊂ R2 de n lados centrado en el origen de
coordenadas O. Definimos Dn como el conjunto de isometrı́as γ : R2 → R2 que
dejan fijo el origen γ(O) = O y tales que γ(P) = P.
De esta forma Dn con la composición es un grupo: ya que dadas γ1 , γ2 ∈ Dn la
composición γ2 ◦ γ1 es una isometrı́a que verifica (γ2 ◦ γ1 )(O) = O y (γ2 ◦ γ1 )(P) =
P. Análogamente la inversa γ1−1 de γ1 es una isometrı́a que verifica (γ1−1 )(O) = O
y (γ1−1 )(P) = P
Definimos algunos subgrupos importantes.
Teorema 1.13. Sea G un grupo y a ∈ G. El conjunto
hai = {an | n ∈ Z}
es un subgrupo de G, llamado grupo cı́clico generado por a. Además hai es un grupo
abeliano.
Demostración.
Si H = hai diremos que H es el subgrupo generado por a o que a es un generador de
H. Observamos que hai podrı́a ser un grupo finito
Proposición 1.14. La intersección de cualquier familia de subgrupos de un grupo es
un subgrupo.
Demostración. Ejercicio.
Definición 1.15. Dado un subconjunto X de un grupo G, llamaremos subgrupo generado por X y lo denotaremos hXi, al menor subgrupo de G que contiene a X, es decir,
a la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a X.
Definición 1.16. El centro de un grupo G es el conjunto
Z(G) = {a ∈ G | ax = xa, ∀x ∈ G}.
Definido por J. A. de Seguier en 1904.
Teorema 1.17. El centro Z(G) de un grupo G es un subgrupo de G.
Demostración. Ejercicio.
6
1.2.
Grupos cı́clicos
Estudiamos a continuación los grupos cı́clicos con detalle.
Lema 1.18. Sea G un grupo y a ∈ G. Se verifica que:
1. Si |a| = ∞ entonces ai = aj sı́ y sólo si i = j.
2. Si |a| = n < ∞ entonces hai = {e, a, a2 , . . . , an−1 } y, ai = aj sı́ y sólo si n | (i − j).
Demostración.
Proposición 1.19. Sea G un grupo y a ∈ G. Se verifica que:
1. |a| = |hai| .
2. Supongamos que |a| = n < ∞. Si ak = e entonces n | k.
Demostración. Es consecuencia del Lema 1.18.
Los grupos cı́clicos (Z, +) y (Zn , +) son propototipos de todos los grupos cı́clicos.
Independientemente de quien sea el grupo G, si a ∈ G tiene orden finito n, la multiplicación en hai se realiza mediante la suma módulo n, es decir
ai · aj = ak ⇔ (i + j) = k mod n.
Si a tiene orden infinito, la multiplicación en hai se realiza mediante la suma en Z.
Probaremos más adelante que todo grupo cı́clico de orden infinito es isomorfo a
(Z, +) y de orden finito n es isomorfo a (Zn , +).
Proposición 1.20. Sea G un grupo y a ∈ G. Supongamos que |a| = n < ∞. Se verifica
que:
1. hak i = ha(n,k) i .
n
2. |ak | = (n,k)
.
Demostración.
1.
2. Demostrar que para cualquier divisor d de n se tiene que |ad | = nd .
Como consecuencia de la proposición anterior tenemos el siguiente teorema.
Teorema 1.21. En un grupo cı́clico finito, el orden de un elemento divide al orden del
grupo.
Corolario 1.22. Sea G un grupo y a ∈ G tal que |a| = n.
1. hai i = haj i ⇔ (n, i) = (n, j).
2. hai = haj i ⇔ (n, j) = 1.
7
Demostración. Ejercicio.
Corolario 1.23. Los generadores de (Zn , +) son los elementos de
U (n) = {k ∈ Zn | (n, k) = 1}.
Teorema 1.24. [Teorema Fundamental de grupos cı́clicos] Todo subgrupo de un grupo
cı́clico es cı́clico. Si G = hai un grupo cı́clico de orden n, entonces verifica que:
1. El orden de todo subgrupo de G divide a n.
2. Para cada divisor d > 0 de n, existe exactamente un subgrupo H ≤ G de orden d,
H = han/d i.
Demostración.
Corolario 1.25. Los subgrupos de (Zn , +) son de la forma hn/di, para cada divisor
d > 0 de n. Además hn/di es el único subgrupo de orden d.
Definición 1.26. La función phi de Euler se define como
φ(1) = 1, φ(n) = |U (n)|, n > 1.
Sirve para contar el número de elementos de cada orden en un grupo cı́clico finito.
Teorema 1.27. Sea G un grupo cı́clico de orden n. Dado un divisor d > 0 de n, el
número de elementos de orden d en G es φ(d).
Demostración. Ejercicio.
Corolario 1.28. En un grupo finito G, el número de elementos de orden d es divisible
por φ(d).
Demostración. Ejercicio.
2.
Homomorfismos y Teorema de Cayley.
Contenido 1.2: Grupos simétricos y diédricos. Homomorfismos y Teorema de Cayley.
2.1.
Grupo simétrico
A principios del siglo XIX los únicos grupos que se estudiaban eran los grupos de
permutaciones.
Definición 2.1. Dado un conjunto no vacı́o A, una permutación de A es una biyección
b : A → A. Danotamos por Biy (A) al conjunto de todas las biyecciones de A en si
mismo.
8
El conjunto Biy (A) es un grupo con la composición que llamamos grupo de permutaciones de A. Este grupo se puede definir para un conjunto A de cardinal infinito pero
nos centramos en el caso en el que A es finito. Si A = {a1 , . . . , an } podemos identificarlo
con {1, . . . , n} estableciendo la biyección
A −→ {1, . . . , n}, ai 7→ i.
Ası́ el grupo Biy (A) se identifica con el grupo Biy ({1, . . . , n}).
Definición 2.2. El grupo simétrico Sn es el grupo Biy ({1, . . . , n}), es el grupo de todas
las permutaciones de {1, . . . , n} con la composición de permutaciones.
El número de permutaciones de n elementos es n!, luego |Sn | = n!. Además Sn no
es abeliano para n ≥ 3 (probar como ejercicio).
Podemos expresar una permutación σ ∈ Sn con notación matricial, de la forma
1
2
···
n
.
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
Ejemplos 2.3. Denotemos por Dn al conjunto de las simetrı́as de un polı́gono regular
de n lados. Este conjunto es un grupo con la composición que se llama grupo diédrico de
orden 2n.
1. Comparar D3 y S3 .
2. Comparar D4 y S4 .
Cauchy introdujo la notación de ciclos en 1815.
Definición 2.4. El m-ciclo (a1 a2 . . . am ) de Sn es una permutación σ que deja fijos los
n − m elementos de {1, . . . , n}\{a1 , . . . , am } y define σ(ai ) = ai+1 , i = 1, . . . , m − 1.
Ejemplo 2.5.
1. Para todo k = 1, . . . , m−1, los ciclos (a1 . . . am ) y (a1+k . . . am a1 . . . ak )
representan la misma permutación.
2. Los 2-ciclos son las transposiciones (a1 , a2 ).
3. Los ciclos disjuntos conmutan (1 2)(3 4 6) = (3 4 6)(1 2).
Proposición 2.6. Los ciclos disjuntos de Sn conmutan.
Demostración.
Teorema 2.7. Toda permutación de un conjunto finito de n elementos, que sea distinta
de la identidad, se escribe de forma única como producto de k ciclos disjuntos, k < n.
Demostración.
Teorema 2.8. El orden de una permutación de un conjunto finito, escrita como producto de ciclos disjuntos, es el mı́nimo común múltiplo de la longitud de los ciclos.
9
Demostración.
1. Probar que un ciclo de longitud m tiene orden m.
2. El producto de dos ciclos disjuntos α y β de órdenes m1 y m2 respectivamente es
mcm(m1 , m2 ).
Teorema 2.9. Toda permutación de n elementos se puede escribir como producto de
transposiciones.
Demostración.
En particular, un m-ciclo es producto de m − 1 transposiciones
(a1 . . . am ) = (a1 a2 )(a2 a3 ) · · · (am−1 am ) = (a1 am ) · · · (a1 a2 ),
pero esta descomposición no es única. Observamos además que la permutación identidad
id = (a1 a2 )(a1 a2 ).
Teorema 2.10. El número de transposiciones en que descompone una permutación es
siempre par o impar.
Q
Demostración. Dado el polinomio p(x1 , . . . , xn ) = i<j (xi − xj ) y σ ∈ Sn definimos
σ(p) =
Y
(xσ(i) − xσ(j) ).
i<j
Observamos que σ(p) = ±p. Si τ es una transposición entonces τ (p) = −p. De esta
forma si σ = τ1 τ2 · · · τk es el producto de k transposiciones entonces
σ(p) = τ1 τ2 · · · τk (p) = (−1)k p.
Si (−1)k = 1 entonces k es par y si (−1)k = −1 entonces k es impar.
Supongamos que σ = τ10 τ20 · · · τh0 descompone como un producto de transposiciones
distinto. Entonces
σ(p) = τ10 τ20 · · · τh0 (p) = (−1)h p.
Ha de verificarse que
(−1)k = (−1)h ⇔ 2 | (k − h).
Es decir k ≡ h( mod 2) son iguales módulo 2, dicho de otra forma, ambos son pares o
impares.
Definición 2.11. Una permutación de un conjunto finito de elementos es una permutación par si descompone como un producto de un número par de transposiciones y es
una permutación impar si descompone como un producto impar de transposiciones.
Dada una permutación σ ∈ Sn que descompone en k transposiciones, se define la
signatura de σ como sign(σ) = (−1)k . Por lo tanto,
σ es par (impar) sı́ y sólo si sign(σ) = 1(−1).
10
Definición 2.12. El conjunto de todas las permutaciones pares de Sn es un subgrupo
que recibe el nombre de subgrupo alternado An .
Se puede demostrar de forma directa que Sn tiene el mismo número de permutaciones
pares que impares y que por tanto |An | = n!/2. Haremos una demostración más elegante
utilizando el Teorema de Lagrange.
2.2.
Morfismos de grupos
Describimos a continuación las aplicaciones que son compatibles con las operaciones
internas de dos grupos, y que además proporcionan una forma de relacionar o comparar
grupos distintos.
Definición 2.13. Sean G y G0 dos grupos, con notación multiplicativa. Diremos que
una aplicación f : G −→ G0 es un homomorfismo o morfismo de grupos si
f (a · b) = f (a) · f (b), ∀a, b ∈ G.
Hay que mencionar el morfirmo trivial que envı́a todo elemento de G al elemento
neutro de G0 .
Ejemplos 2.14. Son morfirmos de grupos las siguientes aplicaciones:
1. f : Z −→ Z, definido por f (n) = 3n.
2. El determinante det : GL (n, R) −→ R∗ .
3. El signo de una permutación sign : Sn −→ {±1}.
4. Dado un subgrupo H ≤ G, el morfismo inclusión, ι : H −→ G, ι(h) = h, ∀h ∈ H.
Proposición 2.15. Sea G y G0 grupos con elementos neutros e y e0 respectivamente. Si
f : G −→ G0 un morfirmo de grupos entonces se verifica que:
1. f (a1 · . . . · ak ) = f (a1 ) · . . . · f (ak ), ∀a1 , . . . , ak ∈ G.
2. f (e) = e0 .
3. f (a)−1 = f (a−1 ), ∀a ∈ G.
Demostración. Ejercicio.
Un morfirmo de grupos determina dos subgrupos importantes, imagen y núcleo.
Definición 2.16. Sea f : G −→ G0 un morfirmo de grupos. Llamaremos núcleo de f ,
que denotaremos Ker (f ), al subconjunto de G
Ker (f ) = f −1 (e0 ) = {a ∈ G | f (a) = e0 }.
La imagen de f es el subconjunto de G0
Im (f ) = f (G) = {f (a) | a ∈ G}.
11
Proposición 2.17. Sea f : G −→ G0 un morfirmo de grupos. Se verifica que:
1. Im (f ) es un subgrupo de G0 .
2. Ker (f ) es un subgrupo de G.
Demostración.
Ejemplos 2.18.
1. el núcleo del homomorfismo det es el grupo especial lineal
SL (n, R) = {A ∈ Mn (R) | det(A) = 1} = (det)−1 (1),
que es un subgrupo de GL (n, R).
2. El núcleo del morfismo sign : Sn −→ {±1} es el subgrupo alternado Ker (sign ) =
An .
Proposición 2.19. Un morfismo de grupos f : G −→ G0 es inyestivo sı́ y sólo si
ker(f ) = {e}.
Demostración.
Recordar que una aplicación f : G −→ G0 es inyectiva si se verifica una de las
siguientes afirmaciones, que son equivalentes:
1. ∃a, b ∈ G tales que f (a) = f (b) ⇒ a = b.
2. ∀a, b ∈ G tales que a 6= b ⇒ f (a) 6= f (b).
Diremos que f es sobreyectiva si Im (f ) = G0 . Si f es inyectiva y sobreyectiva diremos
que es biyectiva.
Definición 2.20. Un monomorfirmo es un morfismo de grupos inyectivo. Un epimorfirmo es un morfismo de grupos sobreyectivo. Un isomorfirmo es un morfismo de grupos
biyectivo
Ejemplos 2.21. Demostrar que son isomorfos:
1. Un grupo cı́clico de orden infinito es isomorfo a (Z, +).
2. Un grupo cı́clico de orden finito n es isomorfo a (Zn , +).
3. Dos grupos cı́clicos del mismo orden son isomorfos.
Teorema 2.22 (Cayley (1854)). Todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones.
Demostración. Construimos un grupo de permutaciones P (G) candidato a ser isomorfo
a G. Dado a ∈ G definimos la aplicación
Ta : G −→ G, Ta (b) = ab, ∀b ∈ G.
1. Demostrar que Ta es una permutación de los elementos de G.
12
2. Definimos el conjunto P (G) = {Ta | a ∈ G}. Demostrar que P (G) es un grupo con
la composición de aplicaciones.
3. Demostrar que la aplición
φ : G −→ P (G), φ(a) = Ta , ∀a ∈ G
es un isomorfismo de grupos.
El grupo P (G) recibe el nombre de representación regular a izquierda de G.
Ejemplo 2.23. Calcular la representación regular a izquierda de U (12).
3.
Teorema de Lagrange. Grupos cociente. Teoremas de
isomorfı́a.
Contenido 1.3: Teorema de Lagrange. Grupo cociente. Teoremas de isomorfı́a
3.1.
Clases laterales. Teorema de Lagrange.
Sea G un grupo.
Definición 3.1. Sea H un subgrupo de G. Para cada a ∈ G definimos el conjunto
aH = {ah | h ∈ H},
que llamaremos clase lateral a izquierda de H en G para el elemento a. También se define
la clase lateral a derecha
Ha = {ha | h ∈ H}.
Ejemplos 3.2. Escribir las clases laterales a izquierda y derecha de:
1. H = {(1), (1 3)} en S3 . A izquierda
H, (1 2)H = {(1 2), (1 3 2)}, (2 3)H = {(2 3), (1 2 3)}.
A derecha
H, H(1 2) = {(1 2), (1 2 3)}, H(2 3) = {(2 3), (1 3 2)}.
Observemos que en general aH 6= Ha.
2. H = {0, 3, 6} en Z9 .
Proposición 3.3. Sea H un subgrupo de G. Para todo a, b ∈ G se verifica que:
1. aH = bH ⇔ a ∈ bH.
2. aH = bH ó aH ∩ bH = ∅.
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3. |aH| = |H|.
4. aH es subgrupo de G sı́ y sólo si aH = H, sı́ y sólo si a ∈ H.
Demostración.
Dado un grupo G y un subgrupo H. Las clases laterales a izquierda (o derecha) de
H en G, establecen una relación en G de la forma
a ∼ b ⇔ aH = bH.
Diremos que a es congruente a izquierda (o derecha )con b módulo H y escribiremos
a ≡ b( mod H).
Teorema 3.4. Dado un subgrupo H de un grupo G. La congruencia a izquierda ≡
( mod H) (o derecha ) módulo H es una relación de equivalencia. La clase de a es
a = aH y a es un representante.
Demostración. Es suficiente demostrar que el conjunto de las clases de equivalencia
{aH | a ∈ G} es una partición de G. Por la Proposición 3.3, sólo falta ver que
G = ∪a∈G aH.
Otra demostración alternativa es probar que la relación ≡ ( mod H) es de equivalencia: es reflexiva, simétrica y transitiva. (Ejercicio).
Definición 3.5. Sea H un subgrupo de un grupo G. Llamaremos conjunto cociente de
G por H, que denotaremos G/H, al conjunto
G/H = {a = aH | ∀a ∈ G}.
Llamaremos ı́ndice de H en G, que denotaremos [G : H] al cardinal del conjuto cociente
G/H, es decir [G : H] = |G/H|.
La aplicación G → G/H definida por a 7→ aH, recibe el nombre de paso al cociente
por H. Es una aplicación sobreyectiva.
¡En general G/H no es un grupo! En la siguiente sección estudiaremos las condiciones
que tiene que verificar H para que G/H sea un grupo.
Ejemplo 3.6. Si n > 0 entonces Z/nZ = {0, . . . , n − 1}.
Lagrange formuló su versión de este teorema en 1770, pero la primera desmostración
completa se hizo 30 años después por Pietro Abbati.
Teorema 3.7 (Teorema de Lagrange). Sea G un grupo (finito). Si H es un subgrupo
de G entonces
|G| = [G : H]|H|.
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Demostración. Las clases laterales a izquierda (o derecha) establecen una relación de
equivalencia ≡ ( mod H) en G. Por tanto, tenemos una partición de G
G = ∪a∈G/H aH,
que es una unión de clases laterales a izquierda disjuntas. Como además |aH| = |H|,
hemos demostrado que |G| = [G : H]|H|.
En otras palabras, |H| divide |G| y además, el número de clases laterales a izquierda
(derecha) distitas de H en G es [G : H]. Si G es finito, entonces |G| y |H| so finitos y
escribimos [G : H] = |G|/|H|. En particicular, si G es finito, el orden de un elemento
divide al orden del grupo.
Corolario 3.8. En un grupo finito, el orden de cada elemento divide al orden del grupo.
Corolario 3.9. Un grupo de orden primo es cı́clico.
El opuesto del Teorema de Lagrange es falso.
Ejemplo 3.10. El grupo alternado A4 tiene orden 12 pero no tiene ningún subgrupo de
orden 6.
3.2.
Subgrupos normales. Grupo cociente
Definición 3.11. Un subgrupo H de un grupo G se dice que es un subgrupo normal si
aH = Ha, ∀a ∈ G.
Se denota por H C G.
Teorema 3.12. Un subgrupo H de G es normal sı́ y sólo si xHx−1 ⊆ H, ∀x ∈ G.
Demostración. Ejercicio.
Ejemplos 3.13.
1. Todo subgrupo de un grupo abeliano es un subgrupo normal.
2. El subgrupo SL (2, R), de las matrices 2 × 2 con determinante 1, es un subgrupo
normal de GL (2, R).
Teorema 3.14 (O. Hölder, 1889). Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Si H es un
subgrupo normal de G entonces el conjunto cociente G/H = {aH | a ∈ G} es un grupo
con la operación interna (aH)(bH) = abH.
Demostración.
1. La operación interna está bien definida. Es decir, esta operación
define un aplicación G/H × G/H → G/H. Es en este punto dónde utilizamos que
H C G, para probar que el producto no depende del representante. Supongamos
que aH = a0 H y bH = b0 H entonces existen h1 , h2 ∈ H tales que
a0 b0 = ah1 bh2 = a(bh3 )h2 = abh3 h2 ∈ abH,
por ser H C G entonces bH = Hb y h1 b = bh3 , con h3 ∈ H. Tenemos ası́ que
a0 b0 H = abH.
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2. Satisface las propiedades de grupo: Elemento neutro eH, el inverso de aH es a−1 H.
Comprobar que se satisface la propiedad asociativa.
Observamos que el teorema anterior es una equivalencia. Es decir, G/H es grupo sı́
y sólo si H C G. Dado x ∈ G,
xHx−1 H = (xx−1 )H = H ⇒ xHx−1 ⊆ H.
Ejemplo 3.15. Demostrar que todo subgrupo H de ı́ndice 2 en un grupo G es normal,
es decir si [G : H] = 2 entonces H B G. Por lo tanto se verifica que:
1. An es subgrupo normal de Sn y Sn /An es un grupo.
2. El subgrupo H de las rotaciones de Dn es un subgrupo normal y Dn /H es un
grupo.
Ambos grupos cociente son isomorfos a Z2 .
3.3.
Teoremas de isomorfı́a
Dado un morfismo de grupos f : G −→ G0 , podemos considerar el conjunto cociente
G/Ker (f ).
Lema 3.16. Sea f : G −→ G0 un morfismo de grupos. Se tiene que:
1. f −1 (f (a)) = aKer (f ), para todo a ∈ G.
2. |Im (f )| = [G : Ker (f )].
3. |G| = |Im (f )||Ker (f )|.
Demostración.
1. Dado h ∈ Ker (f ), f (ah) = f (a)f (h) = f (a)e = f (a). Por tanto
aKer (f ) ⊆ f −1 (f (a)).
Por otra parte, si b ∈ f −1 (f (a)) entonces f (b) = f (a). Utilizando que f es morfismo de grupos y que G0 es grupo obtenemos que f (a−1 b) = e0 . Esto implica que a−1 b ∈ Ker (f ) y por tanto que b ∈ aKer (f ). Hemos demostrado que
f −1 (f (a)) ⊆ aKer (f ).
2. De hecho f (b) = f (a) sı́ y sólo si aKer (f ) = bKer (f ).
3. Es consecuencia del Teorema de Lagrange.
Observamos que si |Ker (f )| = n entonces todas las clases laterales a izquierda de
Ker (f ) en G tienen n elementos, es decir
|aKer (f )| = |Ker (f )| = n, ∀a ∈ G.
Diremos que f es un morfirmo n-a-1, ya que para cada elemento f (a) de f (G) existen
n elementos de G cuya imagen es f (a), estos son los de la clase de a, es decir
f (aKer (g)) = {f (a)}.
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Proposición 3.17. Sea f : G −→ G0 un homomorfismo de grupos y H un subgrupo de
G. Se verifica que:
1. f (H) = {f (h) | h ∈ H} es un subgrupo de G0 .
2. Si H es cı́clico entonces f (H) es cı́clico.
3. Si H es abeliano entonces f (H) es abeliano.
4. Si H es normal en G entonces f (H) es normal en Im (f ).
5. Si |H| < ∞ entonces |f (H)| divide a |H|.
Demostración. Ejercicio.
Proposición 3.18. Sea f : G −→ G0 un homomorfismo de grupos y K un subgrupo de
G0 .
1. f −1 (K) = {a ∈ G | f (a) ∈ K} es un subgrupo de G.
2. Si K es normal en G0 entonces f −1 (K) es normal en G.
Demostración. Ejercicio
Teorema 3.19. Si f : G −→ G0 es un homomorfismo de grupos entonces Ker (f ) es un
subgrupo normal de G.
Demostración. Sabemos que Ker (f ) es un subgrupo de G. Como Ker (f ) = f −1 (e0 ) y
{e0 } es un subgrupo normal de G0 , por la Proposición 3.18, 2, tenemos que Ker (f ) es
un subgrupo normal de G.
Por los teoremas 3.19 y 3.14 el conjunto cociente G/Ker (f ) es un grupo.
Teorema 3.20. Dado un morfismo de grupos f : G −→ G0 , la aplicación f de G/Ker (f )
en Im (f ) definida por f (aKer (f )) = f (a) es un isomorfirmo de grupos. Es decir,
G/Ker (f ) e Im (f ) = f (G) son isomorfos
G/Ker (f ) ≈ Im (f ).
Demostración. Denotemos la aplicación
f : G/Ker (f ) → Im (f ), f (aKer (f )) = f (a).
Probemos que φ es un isomorfismo:
1. f está bien definida, no depende del representante de una clase.
2. Es un homomorfismo de grupos.
3. Por definición es sobreyectiva. Demostremos que es inyectiva. Supongamos que dos
clases de G/Ker (f ) tienen la misma imagen. Es decir, existen a, b ∈ G tales que
f (a) = f (b) entonces, por el Lemma 3.16 aKer (f ) = bKer (f ).
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Ejemplo 3.21. Finalmente podemos demostrar que Z/nZ y Zn son isomorfos. Definir
el morfirmo f : Z −→ Zn , f (m) = m( mod n). Su núcleo es nZ.
La aplicación π : G −→ G/Ker (f ) es un morfismo de grupos sobreyectivo, llamado proyección natural y definido por π(a) = aKer (f ). Dado el morfismo inclusión
ι : Im (g) −→ G0 , se tiene que f = ι ◦ f ◦ π.
4.
Productos directos
Contenido 1.5: Productos directo externo e interno. Aplicaciones
4.1.
Producto directo externo
Definición 4.1. Dados los grupos G1 , . . . , Gn , su producto directo externo es el conjunto
G1 × . . . × Gn = {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ Gi )},
que tiene estructura de grupo con la siguiente operación interna
(a1 , . . . , an )(b1 , . . . , bn ) = (a1 b1 , . . . , an bn )
siendo ai bi la operación interna en Gi .
Ejemplos 4.2. Observemos que en algunas ocasiones Zn × Zm es isomorfo a Znm y en
otras no:
1. Clasificación de los grupos de orden 4. Todo grupo de orden 4 es isomorfo a
Z4 o isomorfo a Z2 × Z2 .
2. Probar que Z2 × Z3 ≈ Z6 .
Proposición 4.3. El orden de un elemento a = (a1 , . . . , an ) en un producto directo
G1 × . . . × Gn es igual a
|a| = mcm (|a1 |, . . . , |an |).
Demostración. Ejercicio.
Teorema 4.4. Sean G1 , . . . , Gn grupos cı́clicos de órdenes |Gi | = oi , i = 1, . . . , n. El
producto directo externo G1 ×. . .×Gn es cı́clico de orden o1 ·. . .·on sı́ y sólo si (oi , oj ) = 1,
i 6= j.
Demostración.
1. Demostrar que el resultado se verifica para n = 2.
18
2. Utilizar inducción sobre n. Podemos escribir
G1 × · · · × Gn × Gn+1 = G1 × Gn+1
y por el apartado anterior es cı́clico sı́ y sólo si G1 y Gn+1 son cı́clicos de órdenes
o = |G1 | y on+1 primos relativos. Por hipótesis de inducción el resultado queda
demostrado.
Ejemplo 4.5. Un grupo se puede expresar de muchas formas distintas
Z2 × Z2 × Z3 × Z5 ≈ Z2 × Z6 × Z5 ≈ Z2 × Z30 .
Por otra parte
Z2 × Z2 × Z3 × Z5 ≈ Z2 × Z6 × Z5 ≈ Z2 × Z3 × Z2 × Z5 ≈ Z6 × Z10 .
Por lo tanto Z2 × Z30 ≈ Z6 × Z10 , sin embargo estos grupos no son isomorfos a Z60 .
4.2.
Producto directo interno
Un retı́culo es un conjunto ordenado en el que cada dos elementos tiene supremo e
ı́nfimo.
Los subgrupos de un grupo G forman un retı́culo con la inclusión de subgrupos
R = {H | H ≤ G}.
Dados H1 y H2 subgrupos de G, el ı́nfimo es H1 ∩ H2 y el supremo H1 ∨ H2 = hH1 ∪ H2 i.
Dados dos subgrupos H y K de un grupo G, definimos el conjunto
HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K},
que en general no es un subgrupo de G.
Proposición 4.6. Dados dos subgrupos H y K de un grupo G. Se verifica que:
|H||K|
1. Si H y K son grupos finitos entonces: |HK| = |H∩K|
2. Si |H| y |K| son primos relativos entonces |H ∩ K| = {e}.
3. E l conjunto HK es un subgrupo de G sı́ y sólo si HK = KH. En dicho caso,
HK = hH ∪ Ki.
Demostración. Ejercicio.
Definición 4.7. Un grupo G es el producto directo interno de dos subgrupos normales
H y K si
G = HK y H ∩ K = {e}.
Escribiremos G = H ⊗ K.
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Los requisitos de esta definición nos permiten demostrar el siguiente resultado.
Teorema 4.8. Si un grupo G = H ⊗ K es el producto directo interno de dos subgrupos
normales H y K, entonces es isomorfo al producto directo externo de H y K
G = H ⊗ K ≈ H × K.
Demostración. Descomponemos la demostración en los siguientes pasos:
1. Para todo h ∈ H y k ∈ K, probar que hk = kh utilizando la normalidad de H y
K, junto con H ∩ K = {e}.
2. Todo elemento a de G puede expresarse de forma única de la forma a = hk, con
h ∈ H y k ∈ K.
3. Definir f : G −→ H × K, f (hk) = (h, k) y demostrar que es un isomorfismo.
Ejemplos 4.9.
1. En D6 denotemos por τ una simetrı́a y σθ una rotación de ángulo
θ. Se tiene que
D6 = H ⊗ K, H = hτ, σ120 i, K = hσ180 i,
es decir H y K son subgrupos normales de D6 , D6 = HK y su intersección es la
identidad. Además D6 ≈ H × K.
2. En S3 tomamos los subgrupos H = h(1, 2, 3)i y K = h(1, 2)i. Se tiene que S3 = HK
y H ∩ K = {e}. Sin embargo no es el producto directo interno de H y K ya que K
no es subgrupo normal de S3 . De hecho H × K es cı́clico y por tanto no isomorfo
a S3 .
Definición 4.10. Un grupo G es el producto directo interno de n subgrupos normales
H1 , . . . , Hn si
1. G = H1 H2 · · · Hn = {h1 · · · hn | hi ∈ Hi }.
2. (H1 · · · Hi ) ∩ Hi+1 = {e}, i = 1, . . . , n − 1.
Se demuestra que
G = H1 H2 · · · Hn ≈ H1 × · · · × Hn .
Hasta ahora hemos visto los siguientes teoremas de clasificación:
Clasificación de grupos cı́clicos, Teorema 1.24. Todo grupo cı́clico de orden n es
isomorfo a Zn .
Como consecuencia directa del Teorema de Lagrante, todo grupo de orden primo
p es isomorfo a Zp , Corolario 3.9.
También estamos preparados para estudiar las demostraciones de los siguietnes teoremas de clasificación:
20
Teorema 4.11. Todo grupo de orden 2p, siendo p primo mayor o igual que 2, es isomorfo a Z2p o a Dp .
Demostración. Gallian, Teorema 7.3.
Teorema 4.12. Todo grupo de orden p2 , siendo p primo, es isomorfo a Zp2 o a Zp ×Zp .
Como consecuencia, todo grupo de orden p2 es abeliano.
Demostración. Demostración 1: Gallian, Teorema 9.8.
Demostración 2: Por Gallian, Teorema 23.2 (basado en la ecuación de clases), sabemos que Z(G) tiene más de un elemento. Por el Teorema de Lagrange, el orden de Z(G)
divide a |G| = p2 y existen dos posibilidades:
1. |Z(G)| = p2 en cuyo caso Z(G) = G, lo que prueba que G es abeliano.
|G|
2. |Z(G)| = p, por el teorema de Lagrange [G : Z(G)] = |Z(G)|
= p. Esto implica que
G
el grupo cociente Z(G)
es cı́clico, Corolario 3.9. Como consecuencia el ejercicio 10
de la hoja 4, obtenemos que G es abeliano.
Ejemplos 4.13.
1. Enumera todos los grupos finitos de orden 1 ≤ n ≤ 15 con n 6=
8, 12, salvo isomorfismos.
2. Si n = 8, tenemos 3 grupos de orden 8 abelianos, D4 y Q8 el grupo de los cuaterniones.
Describir Q8
3. Si n = 8, tenemos 2 grupos de orden 12 abelianos, D6 , A4 y T .
Describir T .
4.3.
Teorema Fundamental de Grupos Finitos Abelianos
Describimos de forma sistemática todos los grupos abelianos de orden finito, salvo
isomorfismos.
Teorema 4.14. Todo grupo finito abeliano G es producto directo interno de grupos cı́clicos de orden una potencia de un primo. Además el número de términos en el producto
y sus órdenes están determinados de forma única.
G = Cpn1 ⊗ . . . ⊗ Cpns s ,
1
siendo Cpni un grupo cı́clico de orden pni i , para un número primo pi .
i
Demostración. Proyecto.
21
Por lo tanto G es isomorfo al producto directo externo
G ≃ Zpn1 × . . . × Zpns s .
1
La primera demostración de este resultado se debe a Leopold Kronecker, 1858. Por
ser una demostración larga y difı́cil se descompone en varios lemas previos, ver Gallian
Tema 11.
PROYECTO: Demostrar el Teorema Fundamental de Grupos Finitos
Abelianos. La demostración se puede dividir en 4 lemas. Explicar la demostración.
Gallian, J. Contemporary Abstract Alegbra. Páginas 223-225.
Podemos utilizar el teorema fundamental para dar un algoritmo que permite construir todos los grupos finitos abelianos de cualquier orden.
Ejemplo 4.15. Dado un número primo p, existe un grupo de orden pk para cada partición de k, un conjunto de números enteros positivos {n1 , . . . , ns } cuya suma es k,
k = n1 + · · · + ns .
Todo grupo de orden pk es isomorfo a:
1. k=1. Zp .
2. k=2. Zp2 ó Zp × Zp .
3. k=3. Zp3 , Zp2 × Zp ó Zp × Zp × Zp .
4. k=4. Zp4 , Zp3 × Zp , Zp2 × Zp × Zp ó Zp × Zp × Zp × Zp .
Realizamos con Maple los siguientes ejercicios:
Ejemplo 4.16. Construimos en Maple, las clases no isomofas de grupos finitos abelianos de orden n = 392.
Corolario 4.17. Sea G un grupo finito abeliano. Si d divide al orden de G entonces G
tiene un subgrupo de orden d.
Ejemplo 4.18. Sea G un grupo abeliano de orden 72. Producir un subgrupo de orden
12.
5.
Aplicaciones
Teorema 5.1. Supongamos que p y q son dos enteros positivos primos relativos. Entonces U (pq) es isomorfo a U (p) × U (q).
Demostración. Proyecto.
PROYECTO: Criptografı́a en clave pública. Explicar Algoritmo RSA
22
1. Demostrar el Teorema 5.1.
2. Exponer el algoritmo RSA de encriptación en clave pública.
3. Explicar un ejemplo de aplicación.
Gallian, J. Contemporary Abstract Algebra. Páginas 162-165.
PROYECTO. Aplicaciones de la teorı́a de grupos. Explicar aplicaciones en:
1. Seguridad de Datos.
2. Firmas digitales.
3. Genética.
4. Circuitos eléctricos.
Gallian, J. Contemporary Abstract Algebra. Página 161-162, 165-166.
Referencias
[1] Artin, M., Algebra. Pearson, 2ª Edición, 2011.
[2] Gallian, J.A., Contemporary Abstract Algebra. Houghton Mifflin Company, Boston- New York. 8ª
Edición, 2002.
[3] Grillet, P.A., Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007.
[4] Hungerford, T. W., Algebra, volume 73 of. Graduate Texts in Mathematics, 20-31, 8º Edición,
1980.
[5] Sancho de Sales, P. Álgebra Conmutativa. Colección Manuales UEX-111, 2016.
https://matematicas.unex.es/ sancho/Asignatura.
[6] Van der Waerden, B.L., Algebra (Vol. 1). Springer Science & Business Media, 2003.
23