Demostración del número e
Victoria Rios Rodriguez
9 de abril de 2025
1.
Demostración
Vamos a demostrar que el número e es irracional por contradicción.
Supongamos que e ∈ Q, es decir, que existe una fracción irreducible tal que:
e=
p
q
con p, q ∈ Z, q > 0
Sabemos que:
e=
1+
1
1
1
+ + ··· +
1! 2!
q!
+
1
1
+
+ ···
(q + 1)! (q + 2)!
Multiplicamos ambos lados por q!:
1
1
1
1
1
q! · e = q! · 1 + + + · · · +
+ q! ·
+
+ ···
1! 2!
q!
(q + 1)! (q + 2)!
Sabemos que q! · e = p · (q − 1)!, ası́ que:
1
1
q! q!
+
+ ···
p · (q − 1)! = q! + + + · · · + 1 +
1! 2!
(q + 1) (q + 1)(q + 2)
Como p · (q − 1)! ∈ N, entonces:
q! q!
q! + + + · · · + 1 ∈ N y
1! 2!
1
1
+
+ ···
(q + 1) (q + 1)(q + 2)
∈N
Pero:
1
1
+
+ ···
(q + 1) (q + 1)(q + 2)
<
1
1
1
+
+
+ ···
(q + 1) (q + 1)2
(q + 1)3
La serie de la derecha es una serie geométrica, cuya suma es:
1
1
a1
q+1
=
1 = q
1−r
1 − q+1
Por tanto:
1
1
+
+ ···
(q + 1) (q + 1)(q + 2)
<
1
<1
q
Eso implica que estamos afirmando que un número natural es menor que 1, lo cual es imposible.
⇒⇐
Por contradicción, concluimos que e ∈
/ Q, es decir, e es irracional.
1