Introdução ao Cálculo Integral
Eliakim P. Q. Café
December 28, 2025
1
Sumário
1 Integral definida
3
2 Definição de integral definida pela Soma de Riemann
3
3 Teorema Fundamental do Cálculo
4
4 Integrais indefinidas
6
5 Exercícios
6
2
1
Integral definida
Sabemos que a área abaixo da curva do gráfico de uma função constante é dada por
A = f (x)∆x.
y
y = f (x)
a
x
b
Tomando o gráfico de uma função
y = f (x),
é possível subdividi-lo em tantos trechos constantes quanto se queira. Por simplicidade,
assumamos que
∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn .
Tem-se, portanto,
f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + · · · + f (xn )∆x ∼ Área.
2
Definição de integral definida pela Soma de Riemann
De maneira compacta, podemos escrever este somatório como a seguinte soma (que é chamada
Soma de Riemann):
n
X
Área ∼
f (xi )∆x.
i=1
y
y = f (x)
a
b
x
Isso nos fornece uma aproximação da área abaixo da curva do gráfico. Tomando
∆x → 0,
3
o erro tende a zero. Portanto,
Área = lim
n
X
∆x→0
f (xi )∆x.
i=1
A este somatório chamamos integral definida de a a b (em que a = x1 e b = xn ):
n
X
Z b
f (x) dx = lim
∆x→0
a
3
f (xi )∆x.
i=1
Teorema Fundamental do Cálculo
Seja y = f (x) uma função contínua e diferenciável no intervalo [a, b].
Definimos
Z x
A(x) =
f (t) dt.
a
y
y = f (x)
a
x
x
Esta função calcula a área abaixo do gráfico para todo x ∈ [a, b].
Tem-se
Z
Z
x
b
f (x) dx = A(x + ∆x) − A(x).
f (x) dx −
A=
a
a
Como
f (x)∆x ∼ A(x + ∆x) − A(x),
segue que
A(x + ∆x) − A(x)
d
=
A(x).
∆x→0
∆x
dx
f (x) = lim
Logo,
d
f (x) =
dx
Z x
d
f (x) =
dx
Z
Generalizando,
f (t) dt .
a
f (x) dx .
4
Demonstração
Aplicando a expressão do Teorema do Valor Médio em cada subintervalo, temos:
f (c1 )∆x = F (x2 ) − F (x1 ),
f (c2 )∆x = F (x3 ) − F (x2 ),
..
.
f (cn−1 )∆x = F (xn ) − F (xn−1 ).
Somando todas as igualdades, os termos simétricos se cancelam, restando
n
X
f (ci )∆x = F (xn ) − F (x1 ).
i=1
Fazendo a = x1 , b = xn e tomando o limite quando ∆x → 0, obtemos
lim
n
X
∆x→0
f (ci )∆x = F (b) − F (a).
i=1
Pela definição de integral definida, segue que
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Seja y = f (x) uma função contínua e diferenciável no intervalo [a, b]. Pelo Teorema do
Valor Médio, existe um ponto c tal que
f ′ (c) =
f (x + ∆x) − f (x)
.
∆x
Isso significa que, em algum ponto do intervalo, a taxa de variação média é igual à taxa
de variação instantânea. Equivalentemente,
f ′ (c)∆x = f (x + ∆x) − f (x).
Dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos e aplicando essa relação em cada um deles,
obtemos uma soma telescópica.
Tomando F (x) como uma primitiva de f (x), isto é,
F ′ (x) = f (x),
temos
f (ci )∆x = F (xi+1 ) − F (xi ).
Somando todas as parcelas e passando ao limite, concluímos novamente que
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
5
y
tangente
secante
x
4
x + ∆x
x
Integrais indefinidas
Sabendo que a integral é a operação que reverte a derivada, podemos integrar um grande
número de funções apenas fazendo a seguinte pergunta: que função é necessário derivar para
obter esta que estamos integrando?
Exemplo:
Z
cos x dx
Sabendo que
tem-se que
d
(sin x + c) = cos x,
dx
Z
cos x dx = sin x + c.
Exemplo:
Z
axn dx
Pela regra da derivada de potências,
d axn+1
+ c = axn ,
dx n + 1
logo,
5
Z
axn+1
ax dx =
+ c.
n+1
n
Exercícios
Resolva as integrais a seguir, considerando apenas que a integral reverte a derivada.
R
1. x2 dx
R
2. 5x4 dx
R
3. x dx
6
4.
R
7 dx
5.
R
cos x dx
6.
R
x dx
7.
R
3 cos x dx
8.
R
4x dx
9.
R
(x3 + x) dx
10.
R
(2x2 + cos x) dx
Solucionário
3
1. x3 + c
2. x5 + c
2
3. x2 + c
4. 7x + c
5. sin x + c
2
6. x2 + c
7. 3 sin x + c
8. 2x2 + c
4
2
9. x4 + x2 + c
3
10. 2x3 + sin x + c
Propriedades da Integral
Sejam f (x) e g(x) funções integráveis e k uma constante real.
• Linearidade:
Z
Z
[f (x) + g(x)] dx =
• Constante multiplicativa:
Z
f (x) dx +
Z
Z
kf (x) dx = k
• Integral de uma constante:
f (x) dx
Z
k dx = kx + c
7
g(x) dx
• As primitivas diferem por constante:
Z
f (x) dx = F (x) + c
Observação: Todas essas propriedades são válidas também para a integral definida.
Exercícios de Integral Definida
1.
R1
2.
R2
3.
R3
4.
Rπ
5.
R1
6.
R2
7.
R2
8.
R π/2
9.
R1
10.
R4
x dx
0
x2 dx
0
2x dx
1
0
5 dx
0
1
cos x dx
(x + 1) dx
3x2 dx
0
0
0
sin x dx
(2x + 1) dx
1
x dx
Solucionário — Integrais Definidas
1.
h 2 i1
2.
h 3 i2
x
2
0
x
3
0
= 21
= 38
3
3. [x2 ]1 = 8
4. [sin x]π0 = 0
5. [5x]10 = 5
h 2
i2
6. x2 + x = 25
1
2
7. [x3 ]0 = 8
8
8. [− cos x]π/2
=1
0
1
9. [x2 + x]0 = 2
h 2 i4
10. x2 = 15
2
1
9