Formelsamling för E0013E
Introduktion till elektroteknik
Torbjörn Löfqvist, SRT/LTU
Vse 0.04β, 2023
2
0.1
Formelsamling till E0013E
Växelspänning
Komplexvärda storheter anges i fetstil.
0.1.1
Representation av spänningar och strömmar med jω-metoden
I jω-metoden representeras en spänning u(t) = Um cos(ωt + β) av motsvarande komplexa storhet
U = Um ejβ eller√med annan notation som U = Um ∠β. Motsvarande gäller för strömmar. Det gäller
också att Um = 2Urms för alla harmoniska funktioner.
Alternativt kan en spänning u(t) = Um cos(ωt + β) representeras av en komplex spänning U =
Um ej(ωt+β) . Motsvarande gäller då också för strömmar.
0.1.2
Kirchoffs spänningslag
n
X
uk (t) = 0
k=1
Kirchoffs spänningslag gäller även för komplexa eller Laplacetransformerade spänningar.
0.1.3
Kirchoffs strömlag
n
X
ik (t) = 0
k=1
Kirchoffs strömlag gäller även för komplexa eller Laplacetransformerade strömmar.
0.1.4
Konstitutiv relation för motstånd
Den konstitutiva relationen för motstånd med den linjära resistansen R
u(t) = Ri(t)
För komplexa storheter gäller motsvarande relation
U = RI
För Laplacetransformerade storheter gäller motsvarande relation
U = RI(s)
0.1.5
Konstitutiva relationer för ideal spole
Den konstitutiva relationen för en ideal spole med den linjära induktansen L
u(t) = L
alternativt
1
i(t) = i(t0 ) +
L
di
dt
Z t
u(τ )dτ
t0
För komplexa storheter gäller motsvarande relation
U = jωLI
För Laplacetransformearde storheter gäller motsvarande relation
U (s) = sLI(s) − Li(0)
Impedansen för spolen tecknas ZL = jωL eller sL.
3
Formelsamling till E0013E
0.1.6
Konstitutiva relationer för ideal kondensator
Konstitutiva relationen för en ideal kondensator med den linjära kapacitansen C:
Z
1 t
u(t) = u(t0 ) +
i(τ )dτ
C t0
alternativt
i(t) = C
du
dt
För komplexa storheter gäller motsvarande relation:
1
I
jωC
U=
För Laplacetransformerade storheter gäller motsvarande relation:
I(s) = sCU (s) − Cu(0)
Impedansen för kondensatorn tecknas Zc = 1/jωC eller 1/sC.
0.2
Serie- och parallellkoppling
En impedans Z = R + jX där realdelen utgörs av en resistans R och imaginärdelen av en reaktans X
0.2.1
Parallellkopplade impedanser
Parallellkopplade impedanser kan ersättas av en ekvivalent impedans enligt:
n
X 1
1
=
Zp
Zk
k=1
För en krets med parallellkopplade impedanser enligt figuren nedan gäller att
I1 = I
Z2
Z1 + Z2
Figur 1: Parallellkopplade impedanser
0.2.2
Seriekopplade impedanser
Seriekopplade impedanser kan ersättas av en ekvivalent impedans enligt:
Zs =
n
X
Zk
k=1
För en krets med seriekopplade impedanser enligt figuren nedan gäller att:
U1 = U
Z1
Z1 + Z2
4
Formelsamling till E0013E
Figur 2: Seriekopplade impedanser
0.3
Superpositionsprincipen
Superpositionsprincipen säger att i en krets som är uppbyggd av linjära komponenter och fler källor än
en (spänningskällor och/eller strömkällor) så är varje källas bidrag till olika stömmar och spänningar
i kretsen oberoende av övriga källors bidrag. Totala strömmen i en viss gren eller totala spänningen
över en viss gren kan alltså beräknas som summan av bidragen från de olika källorna.
0.4
Tvåpolssatsen - Thevenin- och Nortonekvivalenter
Tvåpolssatsen säger att i en krets bestående av spänningskällor, strömkällor och linjära komponenter utifrån sett elektriskt kan representeras av en tvåpol i form av en spänningskälla i serie med en
impedans (Theveninekvivalent), alternativt en strömkälla parallellt med en impedans (Nortonekvivalent). Tvåpolssatsen säger alltså att det finns ett E0 , ett Z0 och ett I0 sådana att spänningen U och
strömmen I är desamma i de tre modellerna nedan.
Figur 3: Tvåpolssatsen
Det gäller att E0 = Z0 I0 .
E0 , Z0 och I0 kan bestämmas genom analys av den linjära tvåpolen på olika sätt. Man kan utnyttja att
E0 måste ha samma värde som tomgångsspänningen (lasten bortkopplad) för den linjära tvåpolen och
att I0 måste ha samma värde som kortslutningsströmmen (lasten kortsluten) för den linjära tvåpolen.
0.5
Filter
Gränsfrekvens, eller gränsfrekvenser, ωc sägs vara uppnådda då filtrets spänninsgöverföringsfunktion
uppfyller följande villkor
1
√ |H(ω)|max = |H(ωc )|
2
där
|H(ω)| = |
V(ω)u
|
V(ω)i
5
Formelsamling till E0013E
0.6
Effekt och energi
0.6.1
Momentan effekt
Den momentana effekten p definieras
dW
dt
där W är energi. Komponenten i figuren nedan mottager den momentana elektriska effekten p(t) =
u(t)i(t).
p=
Figur 4: Komponent tar emot elektrisk effekt
0.6.2
Effekt och energi
Komponenten i figuren nedan mottager mellan tidpunkterna t1 och t2 energin W där
Z t2
W =
p(t)dt.
t1
Figur 5: Komponent tar emot elektrisk energi
Därmed blir energin Wc som lagras i en kapacitans vid tidpunkten t
Wc (t) =
1 2
Cu (t)
2 c
där uc (t) är spänningen över kapacitansen.
Energin WL som lagras i en induktans vid tidpunkten t är
WL (t) =
1 2
Li (t)
2 L
där iL (t) är strömmen genom induktansen.
0.6.3
Komplex effekt
Komponenten i figuren mottager den komplexa effekten S = P + jQ där
S=
1 ∗
1
1
1
1
2
2
UI = I 2 Z = U 2 ∗ = Urms I∗rms = Irms
Z = Urms
2
2
2 Z
Z∗
I∗ är komplexkonjugatet av I.
Används i stället rms-värden, eller effektivvärden, av de komplexa strömmarna och spänningarna
definieras den komplexa effekten som
S = Urms I∗rms
där indexet avser rms eller effektivvärde.
6
Formelsamling till E0013E
Figur 6: Komponent tar emot elektrisk energi
0.6.4
Aktiv och reaktiv medeleffekt
Den komplexa medeleffekten S (VA) kan uppdelas i en aktiv medeleffekt P (Watt) och en reaktiv
medeleffekt Q (VAR) enligt
S = P + jQ
Den aktiva medeleffekten P kan skrivas
P =
1
Vm Im cos(φv − φi )
2
där cos(φv − φi ) = cos(ϕ) = pf kallas effektfaktor. Index m betecknar toppvärden. Det gäller därmed
också att
P
pf =
Vrms Irms
0.7
Trefasssystemet
Figur 7: a) Y-Y och b) Y-∆ kopplade trefassystem
Fasspänningar
V1n = Vf 0◦ ,
V2n = Vf 120◦ ,
V3n = Vf 240◦
För ett balanserat system är de tre lastimpedanserna lika stora vilket ger lika stora linjeströmmar i
de tre faserna. Då gäller också att huvudspänningarna mellan faserna är lika stora samt att fasförskjutningen för ström och spänning mellan faserna är 120◦ . Då gäller
Huvudspänningar
V12 = Vh 30◦ , V23 = Vh 150◦ , V31 = Vh 270◦
där
Vh =
0.8
√
3Vf
Magnetiskt kopplade kretsar
Primärsida benäms 1 och sekundärsida benämns 2.
7
Formelsamling till E0013E
0.8.1
Egeninduktans och ömseinduktans
Egeninduktans
dφ
di
där N är antalet trådvarv, φ det magnetiska flödet och i strömmen genom spolen.
Lindningsvarvtal
N2
n=
N1
L=N
där N1 och N2 är antalet trådvarv hos primär- respektive sekundärsidan.
Magnetisk kopplingskoeffecient
M
k=√
L1 L2
där M är den ömsesidiga induktansen [H].
0.8.2
Prickkonvention
För att bestämma polaritet på de fyra anslutningarna på en en-fas transformator används två prickar
för att ange referenspolaritet för in- och utspänningarna. Om en ström går in vid anslutning med
punkt på den ena spolen så kommer referenspolariteten hos den inducerade spänningen i den andra
spolen att vara positiv vid den punkt-markerade anslutningen.
Figur 8: Prickkonventionen för transformatorer
0.8.3
Ideal transformator
För en ideal transformator försummas järn- och kopparförluster samt det antas att den magnetiska
kopplingskoeffecienten k = 1, då gäller:
Spänning och ström, se figuren ovan för polaritet/fasläge.
V2
N2
=
=n
V1
N1
I2
N1
1
=
=
I1
N2
n
8
Formelsamling till E0013E
Impedanstransformation
N1
1
Z2 = ( )2 Z2
n2
N2
Zt =
0.9
Likströmsmaskiner
Inducerad spänning v(t) i en sluten slinga med N trådvarv
v(t) = N
0.9.1
dφ
dt
Grundläggande elektriska modeller
Figur 9: Kretsmodeller för likströmsmaskiner med a) separat b) parallell (shunt) och c) permanent
magnetisering
0.9.2
Ankarspänning
E=
pN
φn = k1 φn
60
där p är antal poler hos motorn, n dess varvtal i varv/minut och N antal lindningsvarv hos ankaret.
φ är magnetiska medelflödet och k1 konstant (maskinberoende).
0.9.3
Elektrodynamiskt vridmoment
Elektrodynamiskt vridmoment
M=
pN
Ia φ = k2 Ia φ
2π
där k2 konstant (maskinberoende).
0.9.4
Magnetisering
För en linjär likströmsmaskin gäller att
φ = KIm
där K är en maskinberoende konstant.
0.9.5
Avgiven axeleffekt
Pavg = M ω − Pf o = EIa − Pf o
där Pf o = Eo Iao är maskinens tomgångsförluster.
9
Formelsamling till E0013E
0.9.6
Verkningsgrad
η=
Pin − (Pf o + Pf m + Pf b )
Pin
2
där Pin = tillförd elektrisk
Pf o = tomgångsförluster samt Pf m = Rm Im
= Um Im magnetiseP effekt,
2
ringsförluster och Pf b =
Ra Ia belastningsförluster.
0.10
Asynkronmaskiner
Eftersläpning (slip)
s=
ns − n
ns
där ns är synkronvarvtalet och n är aktuellt varvtal.
0.10.1
Synkronvarvtal
ns =
120
f
p
där p är motorns poltal och fe matningsspänningens frekvens.
0.10.2
Rotorfrekvens
fr = sfe
0.10.3
Elektrodynamiskt vridmoment
Figur 10: Ekvivalent krets för en av faserna i en kortsluten asynkronmotor
Md =
1
3sR20 VT2h
0
ωs (sRT h + R2 )2 + s2 (XT h + X20 )2
där VT h , RT h och XT h är ekvivalenta Theveninparametrar.
Theveninspänningen
Vth =
jRo Xo
V1
(R1 Ro − X1 Xo ) + j(R1 Xo + Ro X1 + Ro Xo )
Theveninimpedansen
Zth = RT h + jXT h
där
RT h =
Ro R1 Xo (Ro Xo + R1 Xo + Ro X1 ) − Ro Xo X1 (Ro R1 − Xo X1 )
(R1 Ro − X1 Xo )2 + (R1 Xo + Ro X1 + Ro Xo )2
(1)
10
Formelsamling till E0013E
XT h =
Ro R1 Xo (Ro Xo + R1 Xo + Ro X1 ) + Ro Xo X1 (Ro R1 − Xo X1 )
(R1 Ro − X1 Xo )2 + (R1 Xo + Ro X1 + Ro Xo )2
För små eftersläpningar (små s) kan uttrycket för elektrodynamiskt vridmoment ovan approximeras.
Då gäller
V 2s
M =k 1
R2
där k är en maskinberoende konstant och R2 är rotorresistansen per fas.
0.10.4
Effektflöde
Figur 11: Modell av effektflöde i asynkronmotor
All effekt har enhet Watt [W] och räknas per fas.
p1 = tillförd elektrisk effekt
p1 = pg + p1f e + p1cu
p1f = p1f e + p1cu = statorförluster där p1f e = järnförluster, p1cu = R1 I12 = Ohmsk förlust i lindning
pg = luftgapseffekt
pg = pmek + p2f + p2f r
p2f = p2f e + p2cu = rotorförluster där p2f e = järnförluster ≈ 0, p2cu = spg = Ohmska förluster i
rotorn, s är eftersläpningen
p2f r = friktionsförluster
p2 = p2 − p2f r = M ω2 = M 2πn2 /60 = avgiven mekanisk effekt och n2 axelvarvtal.
0.10.5
Verkningsgrad
elektrisk verkningsgrad
η=
p2
p1
ηtot =
p2a
p1
Total verkningsgrad
0.11
Andra nyttiga samband
0.11.1
Trigonometriska formler
sin2 (α) + cos2 (α) = 1
sin2 (α) =
1
(1 − cos(2α))
2
cos2 (α) =
1
(1 + cos(2α))
2
11
Formelsamling till E0013E
sin(2α) = 2cos(α)sin(α)
sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
Notera att arctan, eller tan−1 , är bara definierad i högra halvplanet, det medför att vinklar större än
±π/2 måste kompenseras för detta
Derivator
d
cos(θ) = −sin(θ)
dθ
d
sin(θ) = cos(θ)
dθ
Periodtid och vinkelhastighet
ω = 2πf = 2π
1
T
Omvandling mellan grader och radianer
θrad =
0.11.2
θgrader 2π
360
Medelvärden
• Tidsmedelvärde
1
fmedel =
T2 − T1
Z T2
f (t)dt
T1
• Effektivvärde, eller RMS- (root-mean-square) värde
s
fe = frms =
1
T2 − T1
Z T2
[f (t)]2 dt
T1
Om f (t)
√ är en harmonisk funktion med amplituden fmax kommer rms-värdet att blir frms =
fmax / 2
0.11.3
Linjära differentialekvationer
• Ordning ett
df
+ αf = β
dt
har lösning
β
α
där A bestäms ur begynnelsevillkoret. Tidskonstanten för systemet är
f (t) = Ae−αt +
τ = 1/α
• Ordning två
d2 f
df
+ 2α + ω02 f = 0
dt2
dt
har olika lösningar beroende på storleken på α relativt ω0
12
Formelsamling till E0013E
. α > ω0 , överdämpat system
f (t) = Aes1 t + Bes2 t
där
s1,2 = −α ±
q
α2 − ω02
. α < ω0 , underdämpat system
f (t) = e−αt (A cos(βt) + B sin(βt))
där
s1,2 = −α ± j
q
ω02 − α2 = −α ± jβ
. α = ω0 , kritiskt dämpat system
f (t) = Ae−αt + Bte−αt
A och B i lösningarna ovan bestäms ur begynnelsevillkoren.
0.11.4
Komplexa tal
Ett komplext tal Z kan skrivas som
p
A2 + B 2 (cos(φ) + j sin(φ))
Z = A + jB =
där
B
)
A
√
och j = −1. Notera att funktionen arctan(...) endast är definierad för positiva A.
φ = arctan(
Låt två komplexa tal Z1 , Z2 representeras av

 Z1 = A + jB

Z2 = C + jD
De komplexa talen kan även skrivas som

 Z1 = αejξ1 = α ξ1

Z2 = βejξ2 = β ξ2
där

√
 α = A2 + B 2 , och ξ1 = arctan ( B
A)

β=
√
C 2 + D2 , och ξ2 = arctan ( D
C)
Följdaktligen blir räknereglerna för vinkelhake- (eller Steinmetz-) notation
α
Z1
A + jB
α ξ1
=
=
=
ξ1 − ξ2
β ξ2
β
Z2
C + jD
Z1 Z2 = (A + jB)(C + jD) = α ξ1 β ξ2 = αβ ξ1 + ξ2
samt
Z1 + Z2 = (A + jB) + (C + jD) = A + C + j(B + D) =
p
(A + C)2 + (B + D)2 arctan ( B+D
A+C )
och med Steinmetznotation
α ξ1 +β ξ2 = α(cos(ξ1 )+j sin(ξ1 ))+β(cos(ξ2 )+j sin(ξ2 )) = α cos ξ1 +β cos ξ2 +j(α sin(ξ1 )+β sin(ξ2 )).