AIDE-MÉMOIRE - GMC 3002/GIN 3080 - Dynamique de la commande appliquée - EXAMEN PARTIEL
1.Introduction
d
PID : u(t) = Kp e(t) + Kd dt
e(t) + Ki
R
e(t)dt,
Implantation numérique : ui = Kp ei + Kd
e −e
i
t
i−1
∆t
+ Ki
Pi
k=1 ek ∆t
2.Transformation de Laplace
Définitions
F (s) = L {f (t)} =
R∞
0
f (t)e−st dt,
U (t − a) =
0 pour t < a
,
1 pour t ≥ a
δ(t) =
Table de Laplace
f (t)
F (s) = L(f (t))
1
1
s
δ(t)
1
n!
tn (n = 0, 1, . . . )
sn+1
Γ(x + 1)
tx (x ≥ −1 ∈ R)
sx+1
k
sin(kt)
2
s + k2
s
cos(kt)
s2 + k2
1
eat
s−a
k
sinh(kt)
s2 − k2
s
cosh(kt)
s2 − k2
at
bt
1
e −e
a−b
(s − a)(s − b)
aeat − bebt
s
a−b
(s − a)(s − b)
Expansion en fractions partielles
X(s) =
f (t)
F (s) = L(f (t))
(1)
teat
(2)
tn eat
1
(s − a)2
n!
(s − a)n+1
2ks
(s2 + k2 )2
(3)
t sin(kt)
(4)
(5)
t sinh(kt)
(6)
(7)
(8)
L {f (t − a) U (t − a)} = e−as F (s)
(13)
sin(at)
t
L {eat f (t)} = F (s − a)
(14)
L {f 0 (t)} = sF (s) − f (0)
(15)
L {f 00 (t)} = s2 F (s) − sf (0) − f 0 (0)
(16)
L {f (n) (t)} = sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) . . .
−f (n−1) (0)
s2 + k 2
(s2 − k2 )2
a
arctan
s
t cosh(kt)
L {af (t) + bg(t)} = aL {f (t)} + bL {g(t)}
(12)
s2 − k2
(s2 + k2 )2
2ks
(s2 − k2 )2
t cos(kt)
R∞
∞ pour t = 0
et −∞
δ(t)dt = 1
0 pour t 6= 0
Propriétés et théorèmes
R
Avec F (s) = L {f (t)} = 0∞ f (t)e−st dt
(17)
L
(18)
(10)
(11)
e−a s
√
s√
−a s
e
1
2
√ e−a /4t
πt
a
2
e−a /4t
√
3
2 πt
a
erfc
√
2 t
√
e−a
s
0
f (τ )dτ
lim f (t) =
√
(9)
R t
t→0+
(19)
=
1
F (s)
s
lim sF (s)
s→+∞
lim f (t) = lim sF (s)
s→0
Rt
f
(τ
)g(t
−
τ )dτ = F (s)G(s)
τ =0
t→+∞
(20)
s
(21)
b0 sm + b1 sm−1 + b2 sm−2 + · · · + bm−1 s + bm
A
B
C
Ds + E
Fs + G
Hs + I
=
+
+
+ ... + 2
+ 2
+ 2
+ ...
sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + · · · + an−1 s + an
(s + a)
(s + a)2
(s + b)
(s + B1 s + C1 )
(s + B1 s + C1 )2
(s + B2 s + C2 )
Intégrale par parties
R∞
R∞
udv = uv|∞
0 − 0 vdu
0
3.Modélisation et représentation d’un système dynamique
Fonction de transfert et diagramme fonctionnel
Ei (s)
Eo (s)
Ei (s)
Eo (s)
Système dynamique
G(s)
Représentation par variables d’état
G(s) =
Eo (s)
Ei (s)
Passage d’une représentation d’état
à une fonction de transfert
ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
Inversion d’une matrice
−1
1
d
−b
a b
=
−c
a
c d
ad − bc
G(s) = C (sI − A)−1 B + D
4.Système de commande et diagramme fonctionnelle
Blocs en série
U (s)
X(s)
Y (s)
G1 (s)
G2 (s)
Déplacement d’un comparateur/sommateur
U (s)
Y (s)
U (s)
+
−
Blocs en parallèle
U (s)
G1 (s)
X1 (s)
H1 /G1
H1
G1 (s)G2 (s)
G1
Y (s)
−
+
G2
U (s)
+
−
Y (s)
−
+
G1
G2
Y (s)
+
+
U (s)
Y (s)
Déplacement d’un point de mesure
G1 (s) + G2 (s)
X2 (s)
U (s)
Y (s)
+
−
G2 (s)
G1
U (s)
Y (s)
+
−
G2
G1
H1
G2
H1 G 2
Blocs en rétroaction
Inversion de deux comparateurs/sommateurs
U (s)
E(s)
+
−
Y (s)
G1 (s)
H(s)
U (s)
G1 (s)
1 + G1 (s)H(s)
Y (s)
H1
U (s)
+
−
+
+
H1
Y (s)
G1
G2
U (s) +
+
Il y a autant de fonctions de transfert que de combinaisons entrée-sortie pour un système à multiples entrées et/ou sorties.
1
Y (s)
+
−
G1
G2
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5.Réponse des systèmes dynamique et critères de performance
Réponses indicielles des systèmes dynamiques
Ordre 0 : x(t) = K
Ordre 1 : x(t) = K 1 − e−t/τ
e−ζωn t
sin
1− p
1 − ζ2
p
2
avec ωd = (1 − ζ )ωn
Ordre 2 : x(t) = K
p
ωd t + tan−1
1 − ζ2
ζ
!!
Temps de montée
wd
1
1
tan−1
=
tan−1
tr =
wd
−σ
wd
!
p
1 − ζ2
où β = tan−1
ζ
Y (s)
+
−
GCD (s)
0.5
7.Compensation à action PID
Parabole unitaire
K̃A = lim s2 GCD (s)
K̃P = K
K̃V = 0
K̃A = 0
ess =
Type
1
Type
2
s
s
s
Sans perturbation
+1
+ 1 ...
+1
K
z
z
z
Yd (s)
E(s)
KI
1
2
m
GCD (s) =
+
s
s
s
KP + KD s +
−
sN
+1
+ 1 ...
+1
s
p1
p2
pp
ess =
1 + K̃P
K̃P = ∞
1
=
=∞
0
1
K̃V
1
ess =
=0
=
∞
1 + K̃P
1
ess =
K̃V
1
1
=
=0
ess =
∞
1 + K̃P
Erreur statique
en position
Y (s)
G(s)
E(s)
+
−
U (s)
Gc (s)
D(s)
+
+
Y(s)
G(s)
K̃A = 0
1
=
K
ess =
K̃V = ∞
K̃P = ∞
Yd (s)
1
=
ess =
=∞
0
K̃A
1
K̃V = K
1
U (s)
Avec perturbation à l’entrée du syst. à commander
s→0
s→0
1
1
=
K̃A
1
=∞
0
8.Stabilité d’un système dynamique
K̃A = K
1
1
ess =
=
=0
∞
K̃V
Erreur statique
en traı̂nage
1
1
ess =
=
K
K̃A
Erreur statique
en accélération
Table 1 : Erreur en régime permanent en boucle fermée en fonction du type du système (GCD (s))
et de l’entrée.
sn
sn−1
sn−2
sn−3
.
.
.
s0
a0
a1
b1
c1
.
.
.
b2 =
a2
a3
b2
c2
.
.
.
a4
a5
b3
c3
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
a1 a4 − a0 a5
a1
9.Représentations graphiques d’une fonction de transfert harmonique
U (s)
Y (s)
G(s)
Pour une entrée u(t) = U sin(ωt), la sortie est y(t) = Y (ω) sin(ωt + ϕ(ω)) où Y (ω) = |G(jω)| U et ϕ(ω) = ∠G(jω).
La fonction de transfert harmonique G(jω) est illustrée avec les lieux de :
- Bode : |G(jω)| et ∠G(jω) en fonction de ω
- Nyquist : = (G(jω)) en fonction de < (G(jω))
- Nichols : |G(jω)| en fonction de ∠G(jω)
Terme intégral
Terme dérivée
1er ordre au dénominateur
1er ordre au numérateur
2e ordre au dénominateur
40
40
40
40
40
20
20
20
20
20
0
0
0
0
0
−20
−20
−20
−20
−20
−40
−40
−40
−40
−40
180
90
0
−90
−180
180
90
0
−90
−180
180
90
0
−90
−180
180
90
0
−90
−180
180
90
0
−90
−180
1
10
1
ζ
Rampe unitaire
K̃V = lim sGCD (s)
Type
0
π−β
wd
=
100
90
80
M p(%)
Pulsation
70
p naturelle amortie
wd = wn 1 − ζ 2
60
50
Dépassement maximal vs
40
taux d’amortissement
√
30
(−ζ/ 1−ζ 2 )π
Mp = e
20
10
0
Échelon unitaire
K̃P = lim GCD (s)
s→0
!
Temps pour atteindre Mp
π
π
tp =
=
p
wd
wn 1 − ζ 2
6.Erreur en régime permanent d’un système en boucle fermée
E(s)
1 − ζ2
−ζ
Temps de réponse à 2 % et 5% d’erreur
4
4
3
3
ts à 2% = 4τ =
=
, ts à 5% = 3τ =
=
σ
ζwn
σ
ζwn
Forme normalisée des fonctions de transfert
X(s)
Ordre 0 :
=K
U (s)
X(s)
K
1
Ordre 1 :
=
où τ =
U (s)
τs + 1
ωc
2
K
X(s)
Kωn
= Ordre 2 :
= 2
2
s 2
2ζ
U (s)
s + 2ζωn s + ωn
+
s+1
ωn
ωn
Pulsation, fréquence et période
1
ω = 2πf ,
T =
f
Yd (s)
p
1
10
ωc
2
10ωc
ωc
10ωc
ωn 10ωn
AIDE-MÉMOIRE - GMC 3002/GIN 3080 - Dynamique de la commande appliquée - EXAMEN FINAL
10.Prédiction des performances en BF à partir de la fonction de transfert en BO
Lecture du gain statique à partir du lieu de Bode d’un système
80
60
20 log K̃P
40
60
20
40
Z =N +P
où
40
0
20
−20
0
0
−40
−20
−20
−60
−40
−40
−80
−60
−60
−100
−80
−80
10−1
−120
10−1
−100
10−1
100
101
20
20 log K̃V
100
Critère de stabilité de Nyquist
101
Z : nb de pôles de GBF (s) dans le plan complexe droit
N : nb d’encerclements du pt −1 + j0 par la courbe
G(s)H(s) (dans le sens horaire)
P : nb de pôles de G(s)H(s) dans le plan complexe droit
20 log K̃A
100
101
Marge de gain et marge de phase - système à phase minimale
40
20
1
0
20
MG > 0
−20
∠ (G(jω)) (deg)
−60
10−1
100
101
102
0
MG > 0
γ>0
γ>0
−40
−180
−1
−225
−270
10−1
γ>0
0
−20
−90
−135
|G(jω)| (dB)
MG> 0
−40
=(G(jω))
|G(jω)| (dB)
40
100
101
102
−1
0
1
−60
−270
−225
<(G(jω))
ω (rad/s)
−135
−90
∠ (G(jω)) (deg)
11.Analyse des performances en BF à partir de la FT en BO
γ (deg)
Bande passante (-3dB) vs fréquence naturelle
1
p
ωb = ωn 1 − 2ζ 2 + 4ζ 4 − 4ζ 2 + 2 2
−180
Marge de phase en BO vs ζ en BF pour un!système d’ordre 2
2ζ
γ = tan−1 p
(1 + 4ζ 4 )1/2 − 2ζ 2
Bande passante vs fréquence de croisement du gain
(ωb en BF) ≈ (ωcg en BO)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
approx.
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
ζ(−)
12.Conception d’une compensateur à l’aide de la FT en BO
13.Quelques aspects techniques de la commande
Définition d’un délai : Gd (s) = e
Bode Diagram
Magnitude (dB)
20 log 1
α
0
φm
Phase (deg)
0
0
1
T
1
αT
Bode Diagram
Magnitude (dB)
0
20 log 1
β
20 log 1
β
0
Frequency (rad/s)
3
ωm
Frequency (rad/s)
1
βT
−td s
20 log 1
α
Phase (deg)
Ici, la variable T ne représente pas une période comme c’était le cas à la section 5.
Ts + 1
Compensateur à avance de phase : Gc (s) =
avec 0 < α < 1
αT s + 1
Le compensateur à avance de phase permet d’ajouter de la phase dans une plage de fréquences
donnée. L’objectif est d’augmenter la phase à la fréquence de croisement du gain ωcg pour
augmenter la marge de phase γ.
Avec le γ actuel, on peut trouver l’avance de phase requise si Gc n’affectait pas la fréquence
de croisement du gain. On ajoute une marge de 5 à 12 deg additionnelle pour tenir en compte
cet effet =⇒ φm =⇒ α
√ On calcule le gain d’amplitude à ωm , i.e. Am = 20 log 1/ α et on fixe ωm à la valeur de la
pulsation où l’amplitude est −Am et on trouve T .
1−α
1
, ωm = √
sin φm =
1+α
αT
Ts + 1
Compensateur à retard de phase : Gc (s) =
avec β > 1
βT s + 1
Le compensateur à retard de phase permet de diminuer la fréquence de croisement du gain
ωcg . L’objectif est de diminuer ωcg pour profiter d’une plage où la phase est plus élevée et où
γ sera alors plus élevée.
γdésirée =⇒ phase requise =⇒ ωcg requis si Gc (s) n’avait pas d’effet sur la phase
γdésirée + marge de 5 à 12 deg =⇒ phase requise =⇒ ωcg requis
=⇒ amplitude actuelle à ωcg =⇒ β
1
ωcg
=⇒ T =
où ω ≈
ω
5
1
T